2016年秋季学期新版北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数课件2
北师大版八年级数学上册：5.5应用二元一次方程组-里程碑上的数(教案)
-例如：在本节课的里程碑问题中，学生需要理解小明和小华行走速度与相遇时间的关系，将这一关系转化为方程组中的未知数和方程。
（2）熟练运用加减消元法和代入法解二元一次方程组，求解实际问题。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个含有一个未知数的方程构成的，它们共同拥有两个未知数。它在解决两个相关联的量的问题中起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何将里程碑问题转化为二元一次方程组，并通过求解方程组找到小明和小华相遇的情况。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和如何选择消元方法这两个重点。对于难点部分，如如何从实际问题中抽象出数学模型，我会通过举例和逐步引导来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过角色扮演，学生可以直观地感受方程组中各变量的意义。
二、核心素养目标
1.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提升数学应用意识。
2.通过二元一次方程组的建立与求解，锻炼学生的逻辑思维和推理能力，增强数学抽象素养。
3.在小组合作与交流中，提高学生的数学表达与沟通能力，培养团队合作精神。
4.引导学生体会数学在生活中的广泛应用，增强数学建模素养，激发学习兴趣。
-通过实际例题，让学生动手操作，加深对方程组解的实际意义的理解。
-对于拓展案例，鼓励学生自主探索，教师适时提供指导，帮助学生适应问题条件的变化，灵活运用所学知识。
北师大版八年级数学上册《5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数》课件
x y 68 (100x y) (100 y x) 2178
即xx
y y
68 22
解该方程组，得xy
45 23
•1、使教育过程成为一种艺术的事业。 •2、教师之为教，不在全盘授予，而在相机诱导。2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021 5:45:59 AM •3、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人4、智力教育就是要扩大人的求知范围 •5、教育是一个逐步发现自己无知的过程。 •6、要经常培养开阔的胸襟，要经常培养知识上诚实的习惯，而且要经常学习向自己的思想负责任。2021年10月 2021/10/242021/10/242021/10/2410/24/2021
题意得
x 28
y 42
1 4
2
x
42
y 28
4
2 3
本节课你学到了什么?
小结
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎 样的？与同伴交流．
问题
分析 抽象
方程(组)
求解 检验
解答
列二元一次方程解决实际问题的一般步骤： 审： 审清题目中的等量关系． 设： 设未知数． 列： 根据等量关系，列出方程组． 解： 解方程组，求出未知数． 答： 检验所求出未知数是否符合题意，写出答案．
十位与
里
里 个位数
里
12：00
13:00
是一个两位数，它 的两个数字之和为
字与12： 00时所 看到的
正好颠 倒了.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ14:00
比12:00时看到的 两位数中间多了
个0
如果设小明在12：700看到的数的十位数字是x，个位数字是y，那么 （1）12：00时小明看到的数可表示为___1_0_x__+_y____,
096.北师大版八年级数学上册5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数(教案)
5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数教学目标1．利用二元一次方程组解决数字问题和行程问题；(重点)2．进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程．课前准备教材，课件，电脑（视频播放器）教学过程第一环节知识回顾１．一个两位数的十位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：１０ｘ＋ｙ.２．一个三位数，若百位数字为ａ，十位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：100a+10b+c.３．一个两位数，十位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：100a+b.４．ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：1000a+b.设计意图：通过复习，为本节课的继续学习做好铺垫.实际效果：提问学生，教师加以点评，这样经过知识的回顾，学生基本能熟练地用代数式表示有关数字问题.第二环节情境引入1．Flash动画，情景展示.小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；１３：００十位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０．分析：设小明在１２：００看到的数十位数字是ｘ，个位数字是y，那么相等关系：１．１２：００看到的数，两个数字之和是７：x＋y＝７.２．路程差：１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），１３：００－１４：００：（１００x＋y）－（１０y＋x），路程差相等：（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.根据以上分析，得方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.解方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）.整理得x＋y＝７，x = 1，因此，小明在１２：００时看到的里程碑上的数是１６．提示：要学会在图表中用含未知数的代数式表示出要分析的量；然后利用相等关系列方程.2．Flash动画，情景再现.3．学法小结：（1）对较复杂的问题可以通过列表格的方法理清题中的未知量、已知量以及等量关系，这样，条理比较清楚．（２）借助方程组解决实际问题．设计意图：生动的情景引入，意在激发学生的学习兴趣；利用图表帮助分析使条理清楚，降低思维难度，并使列方程解决问题的过程更加清晰；学法小结，着重强调分析方法，养成归纳小结的良好习惯.实际效果：动画引入，使数字问题变的更有趣，确实有效地激发了学生的兴趣，学生参与热情很高；借助图表分析，有效地克服了难点，学生基本都能借助图表分析，在老师的引导下列出方程组.4．变式训练师生共同研究下题：有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数．分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由十位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：百位数字十位数字个位数字表达式原数x y100 x + y新数y x10 y + x相等关系：１．原三位数－４５＝新三位数２．９ 百位数字＝两位数－３解：设百位数字为x，由十位数字与个位数字组成的两位数为y，根据题意的得：１００x＋y＝１０y＋x，９x＝y－３.解得x＝４，y＝3９.答：原来的三位数是４３９．设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段.实际效果：首先由学生思考，说出设未知数的方法，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决.本例中，要求一个三位数，学生习惯设三个未知数，可是只有两个等量关系，学生发现不太好解答，思维陷入僵局，这时通过教师的引导，发现这里十位数字与个位数字组成的两位数在问题中一直连在一起，因此可以将它们看成一个整体，这时学生一下子豁然开朗，然后列出了方程组并解出该题.第三环节 练习提高1．李刚骑摩托车在公路上高速行驶，早晨7:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是9；8:00时看里程碑上的两位数与7:00时看到的个位数和十位数颠倒了；9:00时看到里程碑上的数是7:00时看到的数的8倍，李刚在7:00时看到的数字是18 . 分析：设李刚在７：００看到的数十位数字是x ，个位数字是y ，那么设计意图：练习2是教材上“里程碑上的数”例题的变式，活学活用，强化图表分析法，使学生知识过手.（如果此例改为其他例题，未尝不可，但实践中我们发现，对同一问题的变式运用更有利于学生掌握图表分析法）. 实际效果：本例的解答学生比较得心应手，最重要的是学生基本上都学会了用图表来帮助分析数字问题.2．选一选小颖家离学校4800米，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路.她跑步去学校共用了30分.已知小颖在上坡时的平均速度是6千米/时，下坡时的平均速度是12千米/时.问小颖上、下坡各多少千米？ Ａ．1.2，3.6； Ｂ．1.8，3； Ｃ．1.6，3.2．分析：本题间接设未知数更简洁.解：设上坡x 时，下坡y 时，据题意得：6x+12y=4.8 ，x ＋y ＝0.5. 解之得 x ＝0.2， y ＝0.3.选Ａ.设计意图：在解应用题时只考虑题目要求什么就设什么为未知数，有时关系式难寻求，方程也难解.因此，可以根据题目条件选择与要求的未知量有关的某个量为未知数，以便找出符合题意的相等关系，从而达到解题的目的.当然，这两个练习，也遵从了由易到难的原则. 实际效果：多数学生都解答本题目，都易考虑用间接设未知数，降低思维和计算难度.3．列方程 CIN 公司第二季度进出口总额是９８０万元，第二季度进口额比一季度增长了３９％，出口额增长了４１％，进出口总额增长了４０％，第二季度的进，出口额分别是多少？6.3123.0,2.162.0=⨯=⨯分析：设第二季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元： 进口额出口额进出口总额一季度 %391+x %411+y %401980+二季度xy９８０%391++%411+=%401+，x + y =980.若设第一季度的进口额为x 万元，出口额为y 万元，则：x ＋y ＝ ９８０÷（１＋４０％），（１＋３９％）x ＋（１＋４１％）y ＝９８０.根据学生设不同未知数出现不同的方程组，若没有考虑到另一种设法，教师给予补充.设计意图：练习3的设置，着重于直接设未知数和间接设未知数列出方程的对照比较，使学生在设未知数时，以简洁和降低计算难度为优.实际效果：学生在直接设未知数时表示已知量未知量有部分学生出错，并且计算难度较大；转化为间接设未知数的学生表达量更准确，计算难度更低；由此对比，学生更易发现设间接未知数有时更利于方程组的建立和解答，从而把间接设未知数作为列方程组解应用题的重要方面来考虑.第四环节 合作学习现实生活和数学学习中，有许多问题可以借助二元一次方程组解决．试编制一个可以用下面的二元一次方程组解决的应用题．x ＋y ＝２， ５x －y ＝１０.学生分组进行编题和互评，然后每组请一个同学将本组评选出的编的最好的应用题向全班同学汇报.（评选方法：切合实际、联系生活、有想象力并且正确无误）设计意图：着重于逆向思维训练，体会自己编题，从编题人的高度审视列方程组解决实际应用题，同时培养学生的合作意识，通过合作，让学生互相评价、修正，使学生思维跳出固定进口额出口额进出口总额一季度 xy９８０÷（１＋４０％） 二季度 （１＋３９％） x（１＋４１％） y９８０50100150200250300350400450500第一季度第二季度进口出口单一的生活圈，更关注与现实世界的交融，开阔视野.实际效果：有部分学生缺乏想象力，视野狭窄，经过同学互评纠正和互相学习对现实问题与数学结合有了更深的体会.大多数学生对这种编题形式很感兴趣，课堂气氛轻松活跃.第五环节学习反思：１．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．２．这种处理问题的过程可以进一步概括为：分析求解问题解答抽象检验３．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，设间接未知数可帮助转化问题，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用．设计意图：对学习内容作回顾整理，提炼方法思想.第六环节布置作业1．甲、乙两个两位数，若把甲数放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求这两个数．2．某车间每天能生产甲种零件600个，或者乙种零300个，或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配成一套，要在63天内生产中,使生产的零件全部成套，问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？3．请你寻找一个利用化归的思想方法解决数学问题的实例．教学反思1．突破难点的策略列方程解应用题的分析方法多种多样，本课继上一节增收节支继续介绍分析数字等问题的一种比较有效的方法——图表分析法.本节课除了要解决数字问题外，在设元的技巧上加以引导，如变式练习中设三个未知数无法解决的问题，可以转化为通过视为整体设两个未知数解决；同时在练习2，3中选择直接未知数和间接未知数列方程，比较设未知数的思维难度和计算难度，然后进行优化选择，这样可以培养学生多种思维方式，突破难点.2．关注数学思想方法的揭示数学思想方法是数学学习的灵魂.教学中注意关注蕴含其中的数学思想方法（如化归方法）的揭示，如果教学时间允许，可以专门介绍化归思想及其运用，这样既可提高学生的学习兴趣，开阔视野，同时也提高学生对数学思想的认识，提升解题经验．初中数学公式大全1过两点有且只有一条直线2两点之间线段最短3同角或等角的补角相等4同角或等角的余角相等5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版八年级数学上册5.5： 应用二元一次方程组——里程碑上的数
探究1 14:00 比12：00时看到的两位数中间多了个0
如果设小明在12：00看到的数的十位数字是x，个 位数字是y，那么：
（3）14：00时小明看到的数可表示为__1_0__0_x_+_y____,
1.如果一个两位数的十位数字与个位数字之和为6，
那么这样的两位数的个数是（ B）
A.3 B.6
C.5
D.4
2. 一个两位数，十位数字与个位数字的和是7，如果
这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字
对调后组成的两位数，设十位数字为x,个位数字为y， x+y=7
列出方程__1_0x_+_y_+_4_5_=_1_0y+x
探究2
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边 接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的 两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位 数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求 这两个两位数．
两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小 的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小 的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四 位数大2178，求这两个两位数．
5.5应用二元一次方程组
——里程碑上的数
授课人：王梓锋
知识回顾
64 （1）一个两位数，十位上的数是6，个位上的数是4，这个两位数是______.
（2）10一b+个a 两位数，个位数字是a，十位数字是b，则这个两位数用代数式表示为
，
若交1换0a个+b位和十位上的数字，得到一个新的两位数用代数式表示为
北师大版初中数学八年级(上)备课资料5-5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
5应用二元一次方程组——里程碑上的数典型例题题型一列二元一次方程组解决数字问题例1有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大5，如果把这两个数字的位置对换，那么所得的新数与原数的和是143，求这个两位数.分析：如果一个两位数十位上的数字为a，个位上的数字为b，这个两位数就表示为10a+b；如果一个三位数百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，这个三位数就表示为100a+10b+c.本题中的相等关系：①个位上的数字-十位上的数字＝5，②原数+新数＝143.解：设原来的两位数中，个位上的数字为x，十位上的数字为y，则原数为10y+x，把这两个数字的位置对换后，所得的新数为10x+y.根据题意，得5, 1010143, x yy x x y-=⎧⎨+++=⎩解得9,4. xy=⎧⎨=⎩所以这个两位数为10y+x＝10×4+9＝49.答：这个两位数为49.点拨：利用方程组解决数字问题时，一般不直接设这个数，而是设这个数的各数位上的数字，再利用数的表示方法表示出这个数.例2有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小45，又知百位数字的9倍比十位和个位数字组成的两位数小3，求原三位数.分析：根据两个条件，可知不必设成三个未知数，只需把它看成一个百位数字x和一个由十位与个位数字组成的两位数y，则这个三位数就可看成100x+y；若将最左边的数字移到最右边，则x就变成了个位数字，y就扩大了10倍，新三位数可表示为10y+x.因此相等关系为：(1)百位数字×9＝由十位与个位数字组成的两位数-3；(2)新三位数＝原三位数-45.解：设原三位数的百位数字为x，由十位与个位数字组成的两位数为y.根据题意，得93, 1010045, x yy x x y=-⎧⎨+=+-⎩解得4,39.xy=⎧⎨=⎩则4×100+39＝439.答：原三位数为439.点拨：此题通过灵活选设未知数，将一个三元问题转化成了二元问题.题型二列二元一次方程组解决行程问题例3某中学新建的塑胶操场环形跑道一圈长400 m，甲、乙两名同学从同一起点同时出发，相背而跑，40 s后首次相遇；若从同一起点同时同向而跑，200 s后甲首次追上乙，求甲、乙两名同学的速度.分析：在环形跑道上，同时同地出发，相背而跑，为相遇问题，首次相遇时，相等关系为：甲跑的路程+乙跑的路程＝跑道一圈的长；若从同一地点同时同向而跑，甲首次追上乙为追及问题，相等关系为：甲跑的路程-乙跑的路程＝跑道一圈的长.解：设甲同学的速度为x m/s，乙同学的速度为y m/s.根据题意，得()40400, 200200400, x yx y+⨯=⎧⎨-=⎩整理，得10,2,x yx y+=⎧⎨-=⎩解得6,4.xy=⎧⎨=⎩答：甲同学的速度为6 m/s，乙同学的速度为4 m/s.点拨：相遇问题中，(甲速+乙速)×时间＝总路程；追及问题中，(甲速-乙速)×时间＝甲、乙相距的路程.例4甲、乙两地相距160 km，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地出发，相向而行，43h 相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1 h 后调转车头原速返回，在汽车再次出发12h 时追上了拖拉机.这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？ 分析：画直线型示意图理解题意(如图1所示).图1这里有两个未知数：(1)汽车的行程；(2)拖拉机的行程.有两个相等关系：(1)相向而行：汽车43h 行驶的路程+拖拉机43h 行驶的路程＝160 km ； (2)同向而行：汽车12h 行驶的路程＝拖拉机112⎛⎫+ ⎪⎝⎭h 行驶的路程. 解：设汽车每小时行驶x km ，拖拉机每小时行驶y km. 根据题意，得4()160,3111,22x y x y ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=+ ⎪⎪⎝⎭⎩解得90,30.x y =⎧⎨=⎩ 90×4132⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝165(km)，30×4332⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝85(km). 答：汽车行驶了165 km ，拖拉机行驶了85 km.题型三 列二元一次方程组解决航速问题例5 一轮船从甲地到乙地顺流航行需4 h ，从乙地到甲地逆流航行需6 h ，那么一木筏从甲地漂流到乙地需多长时间？分析：对于航速问题，主要有如下两个公式：①顺速＝静速+水(风)速；②逆速＝静速-水(风)速.显然本题中所求的木筏由甲地漂流到乙地所需的时间，实际上就是水从甲地流到乙地需要的时间，木筏漂流的速度就是水流的速度，如果本题采用直接设法，则难以解决，故选用间接设法，设出轮船在静水中的速度和水流速度，为了解题更简单，可增设一个未知数，即甲、乙两地间的路程.解：设轮船在静水中的速度为x km/h ，水流速度为y km/h ，甲、乙两地间的路程为a km.根据题意，得4(),6(),x y a x y a +=⎧⎨-=⎩解这个方程组，得x ＝5y .把x ＝5y 代入①，得a ＝4×(5y +y )＝24y . 所以木筏从甲地漂流到乙地所需时间为a y ＝24y y＝24(h). 答：木筏从甲地漂流到乙地需24 h.点拨：本题中有三个未知数，但是却只有两个方程，所以在解题后是得不到具体数据的，不过我们可以把其中的一个未知数看作一个常数，如上面的y ，其他的未知数就可以用这个未知数来表示.a 的参与增加了方程组的可理解性，更能提供操作的可能性，便于解题.题型四列二元一次方程组解决年龄问题例6一名学生问老师：“您今年多大？”老师风趣地说：“我像你这样大时，你才出生；你到我这么大时，我已经36岁了.”请求出老师、学生今年的年龄.分析：本题的相等关系：①老师的年龄-学生的年龄＝相差年龄(学生今年年龄)；②增长的年龄+老师的年龄＝36.解：设老师今年x岁，学生今年y岁.根据题意，得,36,x y yx y x-=⎧⎨-+=⎩解得24,12.xy=⎧⎨=⎩答：老师今年24岁，学生今年12岁.注意：人与人的年龄是同时增长的，所以老师与学生的年龄差是不变的.题型四开放拓展题例7如图2所示，在3×3的方格内，填写了一些代数式和数.图2(1)在图①中，各行、各列及对角线上三个数之和都相等，请求出x，y的值.(2)把满足(1)的其他6个数填入图2②中的方格中.分析：依题意可知图2①中有两个等式：2x+3+2＝2+(-3)+4y，2x+3+2＝2x+y+4y，由此可以列出二元一次方程组求解.解：(1)由已知条件可列出方程组2322(3)4, 23224,x yx x y y++=+-+⎧⎨++=++⎩整理，得2343,55,x yy+=-⎧⎨=⎩解得1,1.xy=-⎧⎨=⎩(2)由(1)可得如图3所示的方格.图3说明：本题列方程组时有不同的列法，具有一定的开放性，虽然所列的方程组可能不同，但结果是一样的.拓展资源经典有趣的行程问题1甲、乙两人分别从相距100 米的A、B两地出发，相向而行，其中甲的速度是2米/秒，乙的速度是3 米/秒.一只狗从A地出发，先以6米/秒的速度奔向乙，碰到乙后再掉头冲向甲，碰到甲之后再跑向乙，如此反复，直到甲、乙两人相遇.问在此过程中狗一共跑了多少米？这可以说是最经典的行程问题了.不用分析小狗具体跑过哪些路程，只需要注意到甲、乙两人从出发到相遇需要20 秒，在这20 秒的时间里小狗一直在跑，因此它跑过的路程就是120 米.2假设你站在甲、乙两地之间的某个位置，想乘坐出租车到乙地去.你看见一辆空车远远地从甲地驶来，而此时整条路上并没有别人与你争抢空车.我们假定车的行驶速度和人的步行速度都是固定不变的，并且车速大于人速.为了更快地到达目的地，你应该迎着车走过去，还是顺着车的方向往前走一点？在各种人多的场合下提出这个问题，此时大家的观点往往会立即分为鲜明的两派，并且各有各的道理.有人说，由于车速大于人速，我应该尽可能早地上车，充分利用汽车的速度优势，因此应该迎着空车走上去，提前与车相遇.另一派人则说，为了尽早到达目的地，我应该充分利用时间，马不停蹄地赶往目的地.因此，我应该自己先朝目的地走一段路，再让出租车载我走完剩下的路程.其实答案出人意料的简单，两种方案花费的时间显然是一样的.只要站在出租车的角度上想一想，问题就变得很显然了：不管人在哪儿上车，出租车反正都要驶完甲地到乙地的全部路程，因此你到达乙地的时间总等于出租车驶完全程的时间，加上途中接人上车可能耽误的时间.从省事儿的角度来讲，站在原地不动是最好的方案！不过不少人都找到了这个题的一个缺陷，那就是在某些极端情况下，顺着车的方向往前走可能会更好一些，因为你或许会直接走到终点，而此时出租车根本还没追上你！。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析《里程碑上的数》是北师大版八年级数学上册第五章《方程与不等式》的第五节内容，主要介绍了解二元一次方程组的方法及其应用。
本节内容是在学生已经掌握了二元一次方程组的基础知识上进行的，通过实例引导学生将实际问题转化为二元一次方程组，进一步巩固和提高学生的数学建模能力。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力，对于二元一次方程组的概念和求解方法有一定的了解。
但在实际应用中，学生可能对于如何将实际问题转化为数学模型还有一定的困难，需要通过实例进行引导和训练。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握解二元一次方程组的方法，能够将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.过程与方法：通过实例分析，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，提高学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，使学生感受到数学在生活中的应用，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并求解。
2.难点：如何引导学生发现实际问题中的数量关系，建立数学模型。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过实例引导学生自主探索和合作交流，从而达到教学目标。
六. 教学准备1.教具：多媒体教学设备2.学具：笔记本、文具3.教学素材：相关的生活实例七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的实际问题，如购物问题、路线问题等，引导学生发现这些问题都可以用数学模型来表示，从而引出本节课的主题——应用二元一次方程组。
2.呈现（10分钟）呈现一个购物问题，让学生尝试将其转化为数学模型。
在学生思考的过程中，教师给予适当的引导和提示，帮助他们发现问题的数量关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试将其转化为二元一次方程组，并求解。
教师在这个过程中给予适当的指导，帮助他们解决遇到的问题。
八年级数学上册 5.5 应用二元一次方程组 里程碑上的数学案(新版)北师大版
八年级数学上册 5.5 应用二元一次方程组里程碑上的数学案（新版）北师大版【学习目标】课标要求：1、归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤、2、让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型、目标达成：1、在解决问题过程中，学会借助图表分析问题，感受化归思想。
2、让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气、本节课的重点是教学生会用图表分析数字问题。
难点是将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型；设间接未知数转化解决实际问题。
学习流程：【课前展示】１、一个两位数的位数字是ｘ，个位数字是ｙ，则这个两位数可表示为：-------------２、一个三位数，若百位数字为ａ，位数字为ｂ，个位数字为ｃ，则这个三位数为：----------------３、一个两位数，位数字为ａ，个位数字为ｂ，若在这两位数中间加一个０，得到一个三位数，则这个三位数可表示为：-------------------４、ａ为两位数，ｂ是一个三位数，若把ａ放在ｂ的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为：---------------【创境激趣】小明星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，根据动画中的情景，你能确定他在１２：００看到的里程碑上的数吗？【自学导航】１２：００是一个两位数，它的两个数字之和为７；１３：００位与个位数字与１２：００所看到的正好颠倒了；１４：００比１２：００时看到的两位数中间多了个０、分析：设小明在１２：００看到的数位数字是ｘ，个位数字是y，那么时刻百位数字位数字个位数字表达式１２：００ x y10x+y１３：００ yx10y+x１４：００ x 0 y100x+y【合作探究】相等关系：１、１２：００看到的数，两个数字之和是７：x ＋y＝７、２、路程差：１２：００－１３：００：（１０y＋x）－（１０x＋y），１３：００－１４：００：（１００x＋y）－（１０y＋x），路程差相等：（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y ＋x）、根据以上分析，得方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y ＋x）、解方程组x＋y＝７，（１０y＋x）－（１０x＋y）＝（１００x＋y）－（１０y＋x）、整理得 x＋y＝７， x =1 ， y＝６x、解得y =6、【展示提升】典例分析知识迁移有一个三位数，现将最左边的数字移到最右边，则比原来的数小４５；又知百位数字的９倍比由位数字和个位数字组成的两位数小３，试求原来的３位数、分析：数字问题中，设未知数也很有技巧，此问题中由位数字和个位数字组成的两位数是一个“整体”，可设为一个未知数y，百位数设为x：百位数字位数字个位数字表达式原数 x y100 x + y新数 y x10 y + x相等关系：１、原三位数－４５＝新三位数２、９百位数字＝两位数－３解：设百位数字为x，由位数字与个位数字组成的两位数为y，根据题意的得：１００x＋y＝１０y＋x，９x＝y－３、解得x＝４，y＝3９、答：原来的三位数是４３９、设计意图：设计本题，意在让学生了解，在具体解决问题时，不一定直接设未知数，设间接未知数是复杂问题简单化的解决途径之一，是转化思想的应用手段。
5.5应用二元一次方程组——里程碑上的数例题与讲解
5 应用二元一次方程组——里程碑上的数1．数字问题(1)多位数字表示问题两位数＝十位数字×10＋个位数字．三位数＝百位数字×100＋十位数字×10＋个位数字．如：一个两位数，个位数字是a ，十位数字是b ，所以这个两位数是b 个10和a 个1的和，那么这个数可表示为10b ＋a ；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为10a ＋b .(2)数位变换后多位数的表示两位数x 放在两位数y 的左边，组成一个四位数，这时，x 的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x 个100，而两位数y 在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y 个1.因此用x ，y 表示这个四位数为100x ＋y .同理，如果将x 放在y 的右边，得到一个新的四位数为100y ＋x .一个两位数，个位上的数是m ，十位上的数是n ，如果在它们之间添上零，十位上的n 便成了百位上的数．因此这个三位数是由n 个100,0个10，m 个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n ＋m .【例1】 一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数，求这个两位数．分析：用下表表示(这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ) 十位数字 个位数字 两位数原两位数 x y 10x ＋y新两位数 y x 10y ＋x相等关系：(1)个位数字＋十位数字＝7；(2)原来的两位数＋45＝对调后组成的两位数．解：设这个两位数的十位数字为x ，个位数字为y ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝7，10x ＋y ＋45＝10y ＋x .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝6.所以原两位数是16.析规律 数字与数位的关系 解决此类问题，关键是从实际问题中确定相等关系，根据相等关系的个数确定列方程还是列方程组，当问题中涉及两个相等关系时，列方程组解决问题比较简单．2．行程问题(1)行程问题：路程＝速度×时间①追击问题：一般特征：同地、同向、不同时，抓路程之间的关系建立等量关系． ②相遇问题：一般特征：同时、相向、不同地，常用的关系：路程和＝全程． ③航行问题：顺水航行的速度＝船在静水中的速度＋水速；逆水航行的速度＝船在静水中的速度－水速．(2)行程问题的应用：借助图示解答【例2】 已知某一铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1 min ，整列火车完全在桥上的时间为40 s ，求火车的长度和速度． 分析：解此类问题的关键是分析好火车“开始上桥到完全过桥”与“整列火车完全在桥上”的含义，可根据“路程”与“速度”找等式．解：设火车的长度为x m ，火车的速度为y m/s ，则根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000＋x ＝60y ，1 000－x ＝40y .解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝200，y ＝20.所以火车的长度为200 m ，火车的速度为20 m/s.3．怎么解答图形信息题在近几年的中考试题中，出现了一类有趣的图形信息题，即根据日常生活和生产中的实际应用问题绘出图形，让同学们看图分析，捕捉图中提供的数学信息，然后求解．这类问题，大多可用列二元一次方程组的方法求解．图形信息题作为一种新型的中考试题，越来越受到命题者青睐，一类和二元一次方程组有关的图形信息题，不仅考查了同学们从图形中获取信息的能力，而且还考查了根据所得信息列出方程组的能力．图形信息题就是根据文字、图表、图形、图象等给出的数据信息，通过整理、加工、处理等手段去解决实际问题的一类题．解答信息题时，首先要仔细阅读题目所提供的材料，从中捕捉有关信息(如数据间的关系与规律图象的形状特点、变化趋势等)，然后对这些信息进行加工处理，并联系相关数学知识，从而实现信息的转换，使问题顺利获解．【例3】 根据图中提供的信息，可知一个杯子的价格是( )．A ．51元B ．35元C ．8元D ．7.5元 解析：本题以实物图形给出信息，从图中可以知道，一个水壶和一个杯子共43元，两个水壶和三个杯子共94元，因此可设杯子的单价为x 元，水壶的单价为y 元，根据图形信息，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝43，3x ＋2y ＝94.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝8，y ＝35.所以一个杯子的价格是8元，选C.答案：C谈重点 审清题意列方程组列二元一次方程组解实际问题，重点在于正确找出实际问题中的两个等量关系，并把它们表示成两个方程．难点是一些难度较大的题目，有迷惑人的因素存在，等量关系隐蔽，往往不易找到或容易找错．解题时必须弄懂题中奥妙，突破解题瓶颈，理清数量之间的内在联系．4．用方程组解决与图形有关的问题用二元一次方程组解图形中的问题，是一种重要的解题方法，这种解题思想就是重要的数形结合思想．利用数形结合思想解决问题，需要认真观察，分析图形性质中隐含的相等关系．列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．这类问题的相等关系一般隐含在图形中，掌握图形的特征，从隐含条件中发现相等关系是解决问题的关键．【例4】 用8块相同的矩形地砖拼成一块大的矩形地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，求每块地砖的长与宽．分析：列二元一次方程组解决图形问题，需要从图形中找出数量关系，设出恰当的未知数，列出方程．解：设每块地砖的长为x cm ，宽为y cm ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝60，2x ＝x ＋3y . 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝45，y ＝15.所以每块地砖的长为45 cm ，宽为15 cm.。
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案 新版北师大版
八年级数学上册5.5应用二元一次方程组_里程碑上的数教案新版北师大版一. 教材分析本节课的内容是北师大版八年级数学上册5.5应用二元一次方程组。
这部分内容是学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法的基础上，进一步探究二元一次方程组在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，学生能够熟练运用二元一次方程组解决实际问题，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习了二元一次方程组的基本概念和解法后，对于如何将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解，还有一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过适当的例子，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生积极解决问题的态度。
四. 教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为二元一次方程组，并运用解法求解。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为数学问题。
五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，教师引导学生将实际问题转化为数学问题，并通过举例子的方式，让学生理解二元一次方程组在实际问题中的应用。
同时，运用小组合作的学习方式，培养学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备一些实际问题，用于引导学生转化为数学问题。
2.学生准备：学生需要预习相关知识，了解二元一次方程组的基本概念和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引导学生将其转化为数学问题。
例如，某商店进行促销活动，一件商品原价80元，现在打八折，同时赠送一件价值30元的商品，求购买一件商品的实际花费。
2.呈现（10分钟）教师呈现问题，让学生思考如何用数学模型来表示这个问题。
引导学生列出二元一次方程组，并解释为什么这样表示。
北师大版八年级数学上册 第五章 二元一次方程组：5.5 应用二元一次方程组里程碑上的数 教案
集体备课教案第1页/共4页第2页/共4页 教学过程 一、课前准备 1. 如果一个两位数的个位数字为a ，十位上的数字为b ，那么这个两位数可表示为___________;如果交换个位和十位数字,得到的新两位数为________.2. 一个两位数，个位数字为x ，十位上的数字为y ，如果在它们的中间加一个零,变成一个三位数,那么这个三位数可表示为___________.3. 有两个两位数a 和b ，如果将a 放在b 的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数用代数式表示为___________ ；如果将a 放在b 的右边，将得到一个新的四位数，那么这个四位数用代数式可表示为 ___________.设计意图：通过复习及展示学生中可能出现的错误，为本节课的继续学习做好铺垫.二、情境引入探究活动：小明12:00时看到里程碑上的数是多少？小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.如果设小明在12∶00时看到的数十位数字是x ，个位数字是y ，那么(1)小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为 ；根据两个数字之和是7，可列出方程为 。
(2)13∶00时看到的里程碑上的数可表示为 ；12∶00～13∶00间摩托车行驶的路程是 。
(3)14∶00时看到的里程碑上的数可表示为 ；13∶00～14∶00间摩托车行驶的路程是 。
(4)12：00～13：00与13：00～14：00两段时间内摩托车的行驶路程有什么关系？你能列出相应的方程吗？写出完整的解答过程.三、合作学习内容：例1两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大2178，求这两个两位数．学生先独立思考例1，在此基础上，教师根据学生思考情况组织交流与讨论． 意图：二备记录：第3页/共4页四、学法小结 1. 解决这类数字问题的关键是什么？2.用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？3.对于这类实际问题，你有什么疑问？五、达标测试1.已知甲、乙两数之和是42，甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数. 设甲数为x ，乙数为y ，由题意可得方程组 （ ）⎩⎨⎧=-=+⎪⎩⎪⎨⎧==-⎩⎨⎧==+⎩⎨⎧==+04342.4342.4342.3442.y x xy D y x yx C y x y x B y x y x A2.一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位数字大3，若把百位上的数字与个位数字对调，得到的新数比原来数小198，则原数为（ ）．（A ）971 （B ）917 （C ）719 （D ）7913.一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1.这个两位数是多少？六、课堂小结(1)本节课你学会了什么？谈谈你的学习体会.(2)本节课运用了那些数学思想？七、作业布置习题5.6板书设计：5.5里程碑上的数一、列方程解应用题的一般步骤： 探究一： 例1：1、审- -审题2、找--找等量关系3、设--设未知数（直接、间接）4、列--列方程（组）5、解--解方程组6、检--检验是否满足方程（组）及实际意义第4页/共4页。
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3 5 60x＋60y＝1.2 B. x＋y＝16 3 5 60x＋60y＝1200 D. x＋y＝16
6．(2016·锦州模拟)哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当 我的年龄是你现在的年龄的时候，你就是18岁”．如果现在弟弟是x岁，哥 哥的年龄是y岁，下列方程组正确的是( D )
8．体育文化用品商店购进篮球和排球共20个，进价和售价如下表： 全部销售完后共获利润260元． (1)购进篮球和排球各多少？ (2)销售6个排球的利润与销售几个篮球的利润相等？
篮 排 球 球 进价(元/个) 80 50 解：(1)设购进篮球x个，＝20， x＝12
解得 y＝8 （95－80）x＋（60－50）y＝260，
(2)(60－50)×6＝60(元)，60÷(95－80)＝4(个)
9．商店把塑料凳整齐地叠放在一起，据图中的信息，10个塑料凳整齐 50 cm. 地叠放在一起时的高度是____
10．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一 段时间看到的里程碑上的数如下：
x＋y＝362 A. 100y＋x－（1000y＋x）＝18270 x＋y＝362 B. 100x＋y－（1000y＋x）＝18270 x＋y＝362 C. 1000y＋x－（100y＋x）＝18270 x＋y＝18270 D. 100x＋y－（1000y＋x）＝362
4．有一个两位数和一个一位数，若将两位数放在一位数的前面，得到 的三位数比将一位数放在两位数的前面得到的三位数少36，又知这两数的和 为20，求出这两个数．
200 m，火车的速度为____ 20 m/s.
12．小明和小亮做加法比赛游戏．小明把一个加数后面的0少写了一
个，得到的和为242；而小亮把另一个加数后面的0也少写了一个，得到的和 为341，你知道原来两个加数分别是多少吗？
1 x＋y＝242， 10 x＝320 解：设原来的两个加数分别为x，y，则有 解得 1 y＝210 x＋10 y＝341，
14．某工厂用如图①所示的长方形和正方形纸板做成如图②所示的A，B 两种长方体形状的无盖纸盒．现有正方形纸板140张，长方形纸板360张，刚 好全部用完，问能做成多少个A型盒子？多少个B型盒子？
(1)根据题意，甲和乙两同学分别列出的方程组如下：
x＋2y＝140， 甲： 4x＋3y＝360；
x＋y＝140， 乙： 3 4x ＋ 2y＝360.
时 间 碑 上
12：00
13：00
14：30
十位与个位 比12：00时 A．24 B．42 C．51 D．15 是一个两位 数字与12： 的 看到的两位
则12：00时看到的两位数是(D )
11．已知一座铁路桥长1000 m，一列火车从桥上通过，测得火车从开始 上桥到车身完全通过共用60 s，而整列火车在桥上的时间是40 s，则火车的长 度为
13．一个三位数，十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之 和，个位上的数字与十位上的数字的和是9，如果把这个三位数的百位数字 和个位数字调换，所得的新三位数比原三位数大297，求原三位数．
解：设个位数字为x，百位上的数字为y，则十位上的数字为(9－x)，列
9－x＝x＋y， 方程组有 100x＋10（9－x）＋y－ [100y＋10（9－x）＋x]＝297， x＝4， 解得 ∴原三位数为154 y ＝ 1 ，
解：设两位数为x，一位数为y，
x＋y＝20， 则有 （10x＋y）－（100y＋x）＝－36， x＝18， 11y－x＝4， 化简得 解得 所以这两个数分别是18，2 y ＝ 2. y ＋ x ＝ 20 ，
5．(习题改编)小新家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为 下坡路，她去学校共用了16分钟．假设小颖上坡路的平均速度是3千米/时， 下坡路的平均速度是5千米/时，若假设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分 钟，根据题意可列方程组为( B )
第五章
二元一次方程组
5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
1．已知一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，如果在中间插入一
个0，变成一个三位数，则这个三位数可以表示为( B )
A．100b＋10a B．100b＋a C．100a＋10b D．100a＋b
2．一个两位数的十位数字与个位数字之和是8，把这个两位数加上18， 结果恰好成为数字对调后组成的两位数，求这个两位数．设个位数字为x， 十位数字为y，所列方程组正确的是( B )
根据两位同学所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义： 甲：x表示 A型盒x个，y表示
B型盒y个 ； 乙：x表示 A型盒用了x张正方形纸板 ， y表示 B型盒用y张正方形纸板 ；
(2)求出做成的A型盒子和B型盒子分别有多少个？(写出完整的解答过程)
x＋y＝8 A. xy＋18＝yx x＋y＝8 B. x＋10y＋18＝10x＋y x＋y＝8 C. 10x＋y＋18＝yx x＋y＝8 D. 10（x＋y）＝yx
3．一个两位数和一个三位数，它们的和为362，在三位数的右边写上两 位数，得到一个五位数；在三位数的左边写上两位数，也得到一个五位数， 前一个五位数比后一个五位数大18270.设这个三位数为x，两位数为y，则所 列方程组正确的是( B )
x＝y－18 A. y－x＝18－y y－x＝18 B. x－y＝y＋18 x＋y＝18 C. y－x＝18＋y y＝18－x D. 18－y＝y－x
7．抗洪救灾小组A地段原有28人，B地段原有15人，现又调来29人分配到A，
B两个地段，要求调配后A地是B地人数的2倍，则往A地调____人， 往B地 20 9 调____人．