苏教版高中数学“数列的概念”教材研读与认识
苏教版高中数学数列教学的数学思想探讨
次． 为 不 同 知 识 掌 握 程 度 的 高 中生 提 供 了 不 同 的知 识 巩 固训 练 需 求 ． 促 使 学 生
学 习 形 式 的 多 样 化．
的小 兔 ． 在一 个月 后将 长成 大兔 ． 这 对
大 兔 再 过 一 个 月 就 会 生 出 一 对 新 的 小
外 ．此 类 知 识 存 课 堂 教 学 巾 的 引 入 ． 还
据 等 比数 列 的求 和 公 式 ． 对 学 生 的 目标
仍 然 是 数 学 教 学 的 一个 重 点．解 题 能 够
倒１ 世界 奥林 匹克运动会 于１ ８ ９ ６
年再希腊 的首都雅典 首次举 办 ． 之 后 每
４ 年举办一 次 ． 若 故 没 能 如 期 举 行 ， 其
帮 助 学 生 巩 固 数 学 基 础 知 识 ． 锻 炼 技 巧 ． 同 时蕴 涵 了 丰 富 的 数 学 思 想 ．如 果 从数 学知识背景 的角度来讲 ． 解 题 过 程
学 与 生 活 中 的各 个方 面之 间 的联 系．
塔 七层 ． 红 灯 向下成 倍增 ． 共 灯 百 八
十一 ． 请 问塔 顶 几盏 灯 ？” 此 问题 属 于 练 习层 次 的 数 学 问题 ． 解 题 思 路 主 要 是 依
例 ２ 作 出 一个 等 边 三角 形 ，然 后
将等边 ｉ角形的 三条边分别 等分 ． 以每
教 学研究 ＞ 教学 反思
程 中 所 蕴 涵 的 更 深 层 次 的 数 学 思 想 的 培 养．新 课 标 对 数 学 教 学 中数 学 思 想 的
数学教学 通讯（ 中等教 育 ） 在 数 学解 题 之 中 感悟 领 会
江苏专版高中数学第4章数列4.1数列第1课时数列的概念及通项公式课件苏教版选择性必修第一册
解
观察数列中的数，可以看到 0 = 1 − 1 ， 3 = 4 − 1 ， 8 = 9 − 1 ， 15 = 16 − 1 ，
24 = 25 − 1 ， … ，所以它的一个通项公式为 = 2 − 1 .
② 1 ， −3 ，5， −7 ，9， … ；
数列各项的绝对值为1，3，5，7，9， … ，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，
的通项公式可能为( ABC )
A. = −1
B. = ቊ
C. = cos π
−1, = 2 − 1,
( ∈ ∗ )
1, = 2
D. = sin
π
2
[解析] 观察数列 { } 的前5项可知， { } 的通项公式可能为
= −
−, = −
题型分析·能力素养提升
【课标要求】通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法（列表、图
象、通项公式），了解数列是一种特殊函数.
01
要点深化·核心知识提炼
知识点1.数列及其有关概念
按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫作这个数列的项.数列
的一般形式可以写成 1 , 2 , 3 , … , , … ,简记为 { } ，其中 1 称为数列 { } 的第1项
6 = 4 + 2 ，分母满足 5 = 3 × 1 + 2 ， 8 = 3 × 2 + 2 ， 11 = 3 × 3 + 2 ，
14 = 3 × 4 + 2 ，所以它的一个通项公式为 =
+2
.
3+2
（3） −3 ，7， −15 ，31;
高三数学专题复习—数列苏教版知识精讲
高三数学专题复习—数列苏教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题复习——数列【高考要求】了解数列的概念，掌握等差数列与等比数列。
二. 基本内容：1. 一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2. 等差数列的通项公式：a n =a 1+（n －1）d a n =a k +（n －k ）d （其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项） 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数3. 等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+ ； S n =2)(1n a a n +； S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4. 等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n 5. 等差中项公式：A=2ba + （有唯一的值） 6. 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n －1a n = a k q n －k（其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0）7. 等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 （是关于n 的正比例式）；当q≠1时，S n =q q a n --1)1(1 S n =qq a a n --118. 等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9. 等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m － S 3m 、……仍为等差数列10. 等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11. 等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a •=•12. 等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 、S 4m － S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为－1的情况除外）13. 两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n －b n }仍为等差数列14. 两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n •b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15. 等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列 16. 等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17. 三个数成等差的设法：a －d ，a ，a+d ；四个数成等差的设法：a －3d ，a －d ，，a+d ，a+3d18. 三个数成等比的设法：a/q ，a ，aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3，a/q ，aq ，aq 3（因为其公比为2q >0，对于公比为负的情况不能包括） 19. {a n }为等差数列，则{}na c（c>0）是等比数列20. {b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } （c>0且c ≠1） 是等差数列【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=.解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+= ∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得10d ,2d 21-== ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）①2n ≥时，212322a a a +++…2128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42nn a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）.由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-， ∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k -单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k -≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得： 212+++=n n n b b b ， ∴ }{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ， 29,22122==b b b a 则 ， ∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ， ∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2n n S a b =⋅+，且13a =. （1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112，又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L 231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n nT -=++++-L ，111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足 121(lg lg lg )k k b a a a k=+++L *()N k ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410n n a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n nS b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n n b a a =，12n nS b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2n n n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n）∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2，若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴= 当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴= {}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-，11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++ 比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++<<-即 当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中n n n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有（c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1），将c n =2n ＋3n代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2 =[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]，即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n=0， 解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3. 事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ，c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）= 21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]qk －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21又n 2个数都是正数， ∴a 11 = d = q =21 ， ∴a kk = k k 2n n S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ， 1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ， 两式相减得：n n nS 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式； （2）设n n nnn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值； （3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==-（2）由（1）得n n n b 212-=， n n n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得 )21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--. nn 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-，设*,232)(N n n n f n∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(N n n n f n∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ )(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ； ⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ，由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L 6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故 ⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n nn 9S 22n 56n n ≤≥（3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ，∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n mn >+对任意*N n ∈成立，*()1N nn n ∈+Q 的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n mT >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *.（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。
高中数学 《数列》教案5 苏教版必修5
数 列教学目标1．理解数列概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列表法和图象法表示数列；2．理解数列的通项公式的概念，能根据数列的前几项写出数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；3．对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；4．数列的前n 项的和的公式及其应用． 5．提高观察、抽象的能力． 教学重点1．理解数列概念； 2．通项公式的应用． 教学难点根据一些数列的前几项写出数列的一个通项公式．克服难点的关键是由各项的特点，分析、寻找各项的构成未规律． 教学方法发现式教学法教学过程 设置情境考察下列问题：某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位（如图），那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，…． ①人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为1740，1823，1906，1989，2072，…． ②某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为2个，那么每过1分钟，1个细胞分裂的个数依次为1，2，4，8，16，…． ③“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完．如果将“一尺之棰”视为１份，那么每日剩下的部分依次为1，21，41，81，161，…． ④ 某种树木第1年长出幼枝，第２年幼枝长成粗干，第３年粗干可生出幼枝（如图），那么按照这个规律，各年树木的枝干数依次为1，1，2，3，5，8，…． ⑤从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15，5，16，16，28，32． ⑥问题1 这些问题有什么共同的特点？ 把数按照一定的次序排成一列．意义建构、数学理论 数列的概念按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number ），数列的一般形式可以写成1a ，2a ，3a ，…，n a ，…，简记为｛n a ｝．其中1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．思考：能不能把数列的定义改成“按照一定规律排列的一列数称为数列”？数列中数的有序性，如果我们将数列1，2，4，8，16，…中2，4位置交换得：1，4，2，8，16，…这个数列就是与原数列不同的数列了．项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项．在数列｛n a ｝中，1a 称为数列｛n a ｝的第１项（或称为首项），2a 称为第２项，…，n a 称为第n 项．…．数列的分类：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．在上面我们考察的数列中那些是有穷数列，那些是无穷数列？学生活动问题2 上面这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系： 项 20， 22， 24， 26， 28，…． ①↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5这个数列的某一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 218+=来表示其对应关系，即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项． 进一步考察上面这些数列，依次可以写出第n 项与n 的关系如下：数列②：n a =1740+(n-1)83(n ∈N *)，数列③：12-=n n a （n ≥1，n ∈N ）， 数列④：121-=n n a （n ≥1，n ∈N ）．必须注意，不是所有的数列都可以写出上面这样的关系的，如数列⑥．通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．问题3 数列的通项公式与函数有何联系？为了解决这个问题我们先回顾函数的有关概念．在前面第二章中我们一起学习了有关映射与函数的知识，现在我们再来回顾一下函数的定义:如果A 、B 都是非空数集，那么A 到B 的某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应，这样的对应叫做从从A 到B 的一个函数，记作：)(x f y =，其中A x ∈．从函数的观点来观察数列的通项公式，数列实际上就是特殊的函数，数列可以看作是一个定义域为正自然数集N +（或它的有限子集{}n ,,2,1 的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式．我们知道函数通常可以用列表法、图象法和解析式法来表示，因此数列也可以用列表法、图象法及解析式来表示．数列的通项公式实际上就是数列的解析式．下面我们结合例题来看看如何用列表法及图象法表示数列．数学应用例1 已知数列｛n a ｝的通项公式，写出这个数列的前5项，并作出它的图象：（1）n a ＝1+n n ； （2）n a ＝nn2)1(-． 解特点：它们都是一群弧立的点．从函数的观点看数列，它就是一种特殊函数的一列函数值．因为，数列中的每一个数都对应着一个序号；反之，每个序号也都对应着数列中一个数，如数列1，21，31，41，51中第3项（序号3）就对应着数31，第5项对应着数51．因此，可以认为这个数列是定义在集合{1，2，3，4，5}上的函数f (n )依次得到的函数值，而f (n )＝n1就是这个函数的解析式．为什么要用函数的观点看数列呢？因为这样才能从本质上去理解数列的通项公式、求和公式、递增与递减等等有关问题，并用所学过的函数知识去指导我们解有关数列的问题．一方面不是所有的数列都很方便地能写出它的通项公式（如同有的函数关系不能用解析式表达一样）；另一方面，有的数列的通项公式在形式上可能不唯一，如―1，1，―1，1，―1，1,…，它的通项公式可以是a n ＝(－1)n，也可以是a n ＝cos n π，还可以是⎪⎩⎪⎨⎧-=.1,1为奇数时为奇数时n n a n例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）1，3，5，7；（2）2122-，3132-，4142-，5152-；（3）211⨯，321⨯-，431⨯，541⨯-．［分析］（1）项1=2×1-1， 3=2×2-1， 5=2×3-1， 7=2×4-1， ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 ∴12-=n a n ；（2）序号：1 2 3 4↓ ↓ ↓ ↓项分母：2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1↓ ↓ ↓ ↓ 项分子： 22-1 32-1 42-1 52-1∴11)1(2+-+=n n a n ；‖ ‖ ‖ ‖ )11(11)1(1+⨯- )12(21)1(2+⨯- )13(31)1(3+⨯- )12(21)1(2+⨯-∴)1(1)1(+-=n n a nn ．例3 写出以下各数列的一个通项公式：（1）－1，58，－715，924，－1135，…；（2）2－1，4＋21，8－31，16＋41，…；（3） 0.9，0.99，0.999，0.9999，…；帮助学生分析为什么题中要说明是写出一个通项公式．解 （1）要求出此数列的通项公式应分别寻找符号、分子、分母的变化规律．符号：－1，1，－1，1，…规律为(－1)n；分母：3，5，7，9，11…(第一项应化成－33)，规律为2n ＋1；分子：3，8，15，24，35，…，可看作22－1，32－1，42－1，52－1，62－1，…规律为（n +1）2－1，故a n ＝(－1)n121)1(2+-+n n ．（2）数列的每一项分别由两部分组成，前一部分2，4，8，16，…，规律为2n；后一部分－1, 21，－31，41，…，规律为nn 1)1(⋅-， ∴ a n ＝2n＋n n )1(-．（3）数列可看成1－0.1，1－0.01，1－0.001，1－0.0001，…， ∴n n a --=101． [说明] 仅仅根据数列的前几项写出数列的通项公式应该说是不科学的，因为后面未写出的项是否满足此规律不得而知，因此这类题仅作“寻找数列各项变化规律”的练习用，以培养观察、分析能力．例4 已知数列a 1＝2，a n ＋1＝2＋nna a -12，写出它的前4项．解： a 1＝2，a 2＝2＋1112a a -＝－2，a 3＝2＋2212a a -＝2＋32)2(1)2(2=---⨯， a 4＝2＋3312a a -＝6． [说明] 通过递推关系给出数列也是构成数列的一种重要方法，数学中有不少重要的数列都是由递推公式构成的，如由a 1＝a 2＝1，且a n ＝a n －1＋a n －2(n ≥3)就得出有名的斐波拉契数列：211 1 ⨯↓ 321 3 ⨯-↓ 431 3 ⨯-↓ 541 4 ⨯-↓（3）序号1，1，2，3，5，8，13，…．数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n 与a n 之间的关系为：⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 这个关系式今后常常要用．例5 数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋1，求a 1、a 5的值．解： 根据⎪⎩⎪⎨⎧∈≥-==-),,2(),1(*11N n n S S n S a n nn 可得311==S a ， 183351455=-=-=S S a ．课堂练习（1）若数列的通项公式是a n ＝n (n ＋1)，则a n ＋1－a n 为（ ）．[C]Ａ．2n Ｂ．2n ＋1 Ｃ．2n ＋2 Ｄ．2n ＋3（2）数列{a n }为1，0，1，0，…，则下列各式中不能作为它的通项公式的是（ ）．[C]Ａ．2)1(11+-+n Ｂ．si n 22πn Ｃ．3)4)(2(--n n Ｄ．2cos 1πn -（3） 已知数列5，11，17，23，29，…，则55是它的第 项．[21]（4） 写出下列数列的一个通项公式：① －1，3，－5，7，－9，…； ② －267,175103,51-，…； ③ 1618,816,414,212，…； ④ 189,167,145,123+-+-,…．[①2n －3；② (－1)n 1)1(122++-n n ； ③ 2n ＋(21)n ；④ n n 212+＋(－1)n] （5）已知{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，写出它的前6项，并推测它的通项公式．[ 3，7，15，31，63，127；推测a n ＝2n ＋1－1．]课堂小结这李课我们学习了数列及有关定义，会根据通项公式求其任意一项，并会根据数列的前n 项求一些简单数列的通项公式．课后作业 书P32习题2.1 1，2，3，5．。
高中数学教学课例《数列的概念》课程思政核心素养教学设计及总结反思
进行课堂检测,增进对学生学习情况的了解.
为了达到以上教学目标，顺利突出重点、突破难点，
在具体教学中，我把这节课分为七个任务,分别是：“益
智游戏——引入概念”；“观察归纳——形成概念”； 教学过程
“合作探究——深化概念”；“示范演练——应用概
念”；“在线评价——及时反馈”；“拓展提升——内
化知识”；“分层作业——学业诊断”.下面我将对每
和感受成功.
“生”动数学——生是指学生
学生是课堂的主体，在教学设计中，每一个环节都
力求调动学生，让他们思维动起来，让他们去思考，探
究，这才是真正的生动课堂．
任务四：示范演练——应用概念（10 分钟） 课前，学生凭借预习所获取的数列概念的相关知 识，分析例题和变式，尝试对例题及变式的求解；课堂 中采用师生互动、小组合作的方法引导学生探究，从而 突出重点.本环节要求学生掌握两个不同类型的题型： ①根据通项公式写出前几项并会判断某个数是否为该 数列中的项；②根据数列的前几项写出一个通项公式.
高中数学教学课例《数列的概念》教学设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《数列的概念》
称
《数列的概念》选自高等教育出版社《数学》（基
础模块）下册第六章第一节，它的地位和作用可以从三
高中数学 第2章 数列教材分析 苏教版必修5
数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，也是研究离散现象常见的数学模型．在我们的日常生活和科学研究中，会遇到如存款利息、购房贷款、资产折旧、人口增长、放射性物质的衰变等问题，它们都可以运用数列模型抽象为数学问题并予以解决．在数学及其发展过程中，数列占有重要的地位．学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义．一、本章设计意图本章以现实问题为背景，体现了“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”的教学过程．通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数（实际上，数列可以看作由列表法给出的函数）．等差数列和等比数列是数列的两个基本模型． 从等差数列与等比数列的定义入手，通过探索它们的性质和有关的一些基本数量关系（如等差数列中，n a n d a ,,,1与n S 之间的数量关系；等比数列中，n a n q a ,,,1与n S 之间的数量关系）以及这两种数列模型的应用，让学生进一步体会数列的特征和研究数列的基本方法．因此等差数列和等比数列是本章的重点教学内容．本章教材突出了数列和函数的内在联系．数列是定义域为正整数集N *(或它的有限子集)的函数（“离散型”函数），数列的通项公式则是相应函数的解析式．实际上，等差数列是一次型函数，等比数列是指数型函数．数列具有函数的一般性质，也可以研究它的单调性、最值等，但它没有奇偶性．由于数列（作为函数）的定义域的特殊性，使得数列可以通过“递推”的方式确定，这是数列不同于一般函数的基本特点．教材中虽然没有给出“递推”的概念，但在等差数列和等比数列的定义及求通项公式的过程中渗透了“递推”的思想．在本章的教学中，不宜将数列有关递推的内容进行拓展． 本章内容的设计，注意突出数学思想方法．除了对数列概念的介绍充分体现了函数的思想，在探索数列的性质以及公式的推导和应用中，突出了特殊到一般的归纳思想、一般到特殊的演绎思想；在等差数列、等比数列的研究中运用类比思想；在有关等差数列、等比数列的计算中突出方程思想等．例如在等差数列前n 项和公式的推导及应用中，先从特殊的计算钢管总数的方法过渡到一般等差数列求和的方法，再应用获得的公式解决一些实际问题；运用类比于函数的概念、性质、表达式，可以得到对等差数列和等比数列相应问题的研究；运用类比于等差数列的通项、性质，可以得到对等比数列相应问题的研究．教材中对等差数列、等比数列前n 项和公式的推导，实际上提供了一种数列求和的算法．前者通过对钢管总数的计算获得“逆序求和”的算法，并给出这一算法的几何解释．后者运用消元思想，获得“错位相减”的算法．教材重视信息技术与相关知识的整合，如利用Excel中丰富的财务函数，进行有关投资或贷款等方面的计算、作出数列的图象等，让学生感受现代技术手段在数学中的作用，促进数学学习，帮助学生认识数学的本质．在数学中，数列的内容涉及函数、极限、级数等，它实际上是联系初等数学与高等数学的桥梁．由于数列在日常生活中广泛的应用性，以及数列在今后进一步学习数学中的基础性，奠定了本章内容在数学教学中的重要地位．本章教材的设计，注意体现学生是学习的主体的思想．在给出大量的生活实例之后，给学生一定的思考和探索空间，促使教学方式和学习方式的改变．让学生通过观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、讨论和交流体验数学；在习题中设置了“探究·拓展”栏目，为学有余力的学生提供一些富有挑战性的问题，进一步激发学习兴趣，拓宽视野，提高数学素养；教材设置了旁白、思考、阅读、链接等内容，为学生主动探究数学知识的产生和发展提供了空间．二、本章教学要求本章中，我们将通过对日常生活中大量的实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题．1．通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数；2．通过实例，理解等差数列、等比数列的概念；3．探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式．在探索和推导公式的过程中，培养学生观察、分析、探索、归纳的能力，体会特殊到一般，一般到特殊的思想方法．在应用公式的过程中，要求学生能熟练的运用方程思想进行计算并解决有关问题；4．体会等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系；5．能在具体问题情境中，发现等差、等比数列模型，并能用有关知识解决相应的问题；6．通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生数学地提出、分析、解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础．三、本章教学建议在教学中，要让学生充分体验数学知识的形成过程，尽可能地让学生经历观察、分析、猜想、抽象、概括、归纳、类比等发现和探索过程．根据学生的具体情况，可以引导学生对教材中有关等差数列、等比数列的基本数量关系的问题，作相应的拓展．通过有关习题的解决，可以探索等差数列与等比数列的一些简单性质．这种已有资源的挖掘和拓广，对学生自主性学习能力的培养是十分重要的．在本章教学中，要重视对学生从实际问题中抽象出数列模型能力的培养，通过必要的练习，掌握等差数列、等比数列中的基本数量关系，但训练要控制难度和运算的复杂程度．本章所配备的例题和习题中，有许多来源于古代数学和现代数学中的素材，如“正方形筛子”、“三角形数”、“雪花曲线”等，也有来自于现实生活情景的题目，有些问题体现了数学文化价值，如第七届国际数学教育大会会徽，斐波那契数列等．教学中要注意加强与实际生活的联系，同时也可以利用这些内容提高学生对学习本章内容的兴趣，调动学习积极性．本章的教学大约安排12课时，具体如下： 2.1 数列的概念与简单表示约2课时 2.2 等差数列约4课时 2.3 等比数列约4课时 本章复习与小结约2课时四、 拓展资料1. 数列的通项公式．通项公式是数列中一种重要的表示法． 数列与函数的解析式一样，不是每个数列都可以写出它的通项公式，如素数数列就写不出它的通项公式． 对于有限项的数列，一定可以写出它的通项公式．例如，已知数列的前5项为 0,0,0,0,7．写出这个数列的一个通项公式．若选取多项式函数表达这个数列的通项公式，常用如下的方法求解：方法一 设这个数列的通项公式为 54233241k n k n k n k n k a n ++++=，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ．将n = 1, 2, 3, 4, 5分别代入上式，可得关于54321,,,,k k k k k 的一次方程组． 解这个方程组，得这个数列的通项公式为.)24503510(247234+-+-=n n n n a n 方法二 由,7,054321=====a a a a a 于是，这个数列的通项公式可以表示为)45)(35)(25)(15()4)(3)(2)(1(7--------⋅=n n n n a n ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ．化简后，得这个数列的通项公式为)4)(3)(2)(1(247----=n n n n a n ，其中n = 1, 2, 3, 4, 5 ． 上述两种方法中，方法一采用待定系数法，对于所选取的不是多项式类型的函数也同样适用；将方法二的结论推广为一般形式，可以得到，若已知数列的前k 项为,,,,21k a a a Λ则这个数列的通项公式可以表示为)]1([)2)(1()]1([)2)(1()2()32)(12()()3)(1()1()31)(21()()3)(2(21--------⋅++------⋅+------⋅=k k k k k n n n a k k n n n a k k n n n a a k n ΛΛΛΛΛΛΛ，其中n = 1, 2,…, k ．实际上，这个结论就是著名的拉格朗日（Lagrage 1736 — 1813）内插公式．由此，我们证明了结论“有限项的数列，一定可以写出它的通项公式”的正确性．在实际工作中，当我们考察某两个变量之间的关系时，若能测得它们变化的一组数据．运用拉格朗日（Lagrage 1736 — 1813）内插公式，可以得到关于这两个变量之间变化关系的一个经验公式（多项式型函数）．更精细的研究，将涉及如何选择函数的类型以及回归直线理论等．2. 斐波那栔数列的通项公式．斐波那栔数列是由一对兔子繁殖而引发出来的一个有趣的数学问题． 它与我们熟知的黄金分割、优选法等都有着密切的联系． 这对兔子的繁殖问题是：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生出小兔，此后每个月生一对小兔． 如果不发生死亡，那么一对刚出生的小兔一年可繁殖成多少对？由此得到斐波那栔数列：1,1,2,3,5,8……，一般的有)(*12N n F F F n n n ∈+=++． 下面运用化归思想给出求它的通项公式的一个方法，即由原数列构造等比数列}{1n n pF F -+，其中R p ∈．斐波那栔数列的递推公式可以改写为R q p pF F q pF F n n n n ∈-=-+++,)(112，则⎩⎨⎧-==+,1,1pq q p 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.251,251q p （取一组解） }{1n n pF F -+Θ是等比数列，.)1()(11121n n n n n q q p q pF F pF F =-=-=-∴--+ ,,)(,)(,)(11221232332122---------=-=-=-=-n n n n n n n n n n q pF F pq pF F p q p pF F p q p pF F p ΛΛΘ.1])(1[11122111p q q p q qp q p q q p pq q F p F n n n n n n n n n --=--=+++=-∴-------Λ 化简得 .11qp q p p q q p q p F nn n n n n --=--+=-- 于是得到斐波那栔数列的通项公式为 ].)251()251[(51n n n F --+=。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修5 2.1.1 数列》6
启迪学生数学思维，营造课堂数学文化———“数列的概念〞教学设计与研究数学是探索自然现象、社会现象规律的工具和语言，数学又是一种文化素养，需要平时的点滴积淀与熏陶。
前苏联著名数学教育家A．A．斯托利亚尔曾说过：“数学这个术语可以表示一种思维活动，或者表示这种活动的结果——理论。
〞本节课的教学内容“数列的概念〞为数列的起始课，属于概念教学，看似简单而机械，但其间却蕴含了重要的数学思想和极大的数学价值，笔者尝试在本节课中，通过营造课堂数学文化气氛，使学生通过思维活动形成理论结果，将理论融入思维。
一．教学整体思路及重难点把握：本节课的教学内容根本可分为三局部，一是数列概念的建构，二是数列的表示方法，三是数列与函数的关系。
其中，数列的概念及其表示方法为本节课的重点，数列与函数关系的理解那么为难点。
三局部内容看似零散而琐碎，教师假设只是着眼于将其“陈列〞于学生面前，那便是抛弃这节课的精华与灵魂。
数学从微观上看是一种思维活动，数学教育是思维的教育；从宏观上看，又是一种文化，一种观念系统，数学教育是数学文化的教育。
笔者用一条主线将三个教学内容按逻辑顺序串联起来：用数学的眼光来看世界→用数学的语言来描述世界→用数学的思想方法来研究世界。
这条主线既是我们这节课的教学顺序，推动了学生思维的递进，又渗透着数学文化，从本质上来说也是我们“学数学〞和“用数学〞的根本环节。
二．课堂教学的层次结构及设计思路：为了开展学生的数学思维、营造数学文化，新教材更加强调数学概念形成的背景；重视介绍数学知识发生开展的来龙去脉；注重帮助学生学会运用数学语言去描述周围世界出现的数学现象；注重帮助学生体验数学在解决实际问题中的作用，拓展学生的视野，从而体会数学的应用价值。
我们更希望学生能在解决实际问题中，感悟数学的作用，体验数学与日常生活及其他学科的联系，逐步形成和开展数学应用意识，提高实践能力。
基于上述原因及目的，在本节课的课堂教学上，笔者采用了三个递进的层次结构逐步展开教学活动：一、通过“用数学的眼光来看世界〞引导学生进行从特殊到一般的数列概念生成，培养学生的数学意识；二、通过“用数学的语言来描述世界〞引导学生从“数〞与“形〞两个方面描述数列，表示出所要研究的数学对象。
苏教版《数学》——“数列”教材分析
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 苏教版《数学》——“数列”教材分析第三章数列教材分析本章是数列，特别是等差数列与等比数列，有着较为广泛的实际应用奎屯王新敞新疆如各种产品尺寸常要分成若干等级，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级，比如鞋的尺码；当其中的最大尺寸与最小尺寸相差较大时(这种情况是多数) ，常按等比数列进行分级，比如汽车的载重量、包装箱的重量等奎屯王新敞新疆特别值得一提的是，数列在产品尺寸标准化方面有着重要作用奎屯王新敞新疆数列在整个中学数学教学内容中，处于一个知识汇合点的地位，很多知识都与数列有着密切联系，过去学过的数、式、方程、函数、简易逻辑等知识在这一章均得到了较为充分的应用，而学习数列又为后面学习数列与函数的极限等内容作了铺垫奎屯王新敞新疆课本采取将代数、几何打通的混编体系的主要目的是强化数学知识的内在联系，而数列正是在将各知识沟通方面发挥了重要作用奎屯王新敞新疆由于不少关于恒等变形、解方程(组) 以及一些带有综合性的数学问题都与等差数列、等比数列有关，学习这一章便于对学生进行综合训练，从而有助于培养学生综合运用知识解决问题的能力奎屯王新敞新疆本章教学约需 17 课时，具体分配如下：3. 1 数列约 2 课时 3. 2 等差数列约 2 课时 3. 3 等差数列前 n 项和约 2 课时 3. 4 等比数列约 2 课时 3. 5 等比数列前 n 项和约 2 课时研究性课题：1 / 10分期付款中的有关计算约 3 课时小结与复习约 4 课时一、内容与要求本章从内容上看，可以分为数列、等差数列、等比数列三个部分奎屯王新敞新疆在数列这一部分，主要介绍数列的概念、分类，以及给出数列的两种方法奎屯王新敞新疆关于数列的概念，先给出了一个描述性定义，尔后又在此基础上，给出了一个在映射、函数观点下的定义，指出：从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集(或它的有限子集) 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值奎屯王新敞新疆这样就可以将数列与函数联系起来，不仅可以加深对数列概念的理解，而且有助于运用函数的观点去研究数列奎屯王新敞新疆关于给出数列的两种方法，其中数列的通项公式，教材已明确指出它就是相应函数的解析式奎屯王新敞新疆点破了这一点，数列与函数的内在联系揭示得就更加清楚奎屯王新敞新疆此外，正如并非每一函数均有解析表达式一样，也并非每一数列均有通项公式(有通项公式的数列只是少数) ，因而研究递推公式给出数列的方法可使我们研究数列的范围大大扩展奎屯王新敞新疆递推是数学里的一个非常重要的概念和方法，数学归纳法证明问题的基本思想实际上也是递推奎屯王新敞新疆在数列的研究中，不仅很多重要的数列是用递推公式给出的，而且它也是获得一个数列的通项公式的途径：先得出较为容易写出的数列的递推公式，然后再根据它推得通项公式奎屯王新敞新疆但是，这项内容也是极易膨胀的，例如研究---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用递推公式给出的数列的性质，从数列的递推公式推导通项公式等，这样就会加重学生负担奎屯王新敞新疆考虑到学生是在高一学习，我们必须牢牢把握教学要求，只要能初步体会一下用递推方法给出数列的思想，能根据递推公式写出一个数列的前几项就行了奎屯王新敞新疆在等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线)奎屯王新敞新疆在推导等差数列前 n项和的公式时，突出了数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便奎屯王新敞新疆在等比数列这一部分，在讲等比数列的概念和通项公式时也突出了它与指数函数的联系奎屯王新敞新疆这不仅可加深对等比数列的认识，而且可以对处理某类问题的指数函数方法和等比数列方法进行比较，从而有利于对这些方法的掌握奎屯王新敞新疆二、本章的特点 (一) 在启发学生思维上下功夫本章内容，是培养学生观察问题、启发学生思考问题的好素材，使学生在获得知识的基础上，观察和思维能力得到提高奎屯王新敞新疆在问题的提出和概念的引入方面，为了引起学生的兴趣，在本章的前言里用了一个有关国际象棋3 / 10棋盘的古代传说作为引入的例子奎屯王新敞新疆它用一个涉及求等比数列的前 n 项和的麦粒数的计算问题给学生造成了一个不学本章知识、难获问题答案的悬念，又在学了等比数列后回过头来解开这个悬念；在讲等差数列与等比数列的概念时，都是先写出几个数列，让学生先观察它们的共同特点，然后在归纳共同特点的基础上给出相应的定义奎屯王新敞新疆在推导结论时，注意发挥它们在启发学生思维方面的作用奎屯王新敞新疆例如在讲等差数列前 n 项和的公式时，没有平铺直叙地推导公式，而是先提出问题：1+2+3+. . . +100 = ?，并指出著名数学家高斯 10 岁时便很快算出它的结果，以激发学生的求解热情，然后让学生在观察高斯算法的基础上，发现上述数列的一个对称性质：任意第 k 项与倒数第 k 项的和均等于首末两项的和，从而为顺利地推导求和公式铺平了道路奎屯王新敞新疆在例题、习题的表述方面，适当配备了一些采用疑问形式的题，以增加问题的启发成分奎屯王新敞新疆如 3. 3 例 4：已知数列的通项公式为n a =pn 十 q，其中 p、 q 是常数，那么这种数列是否一定是等差数列? 如果是，其首项与公差是什么? 又如:如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么这个数列有什么特点？这样就增加了题目的研究性奎屯王新敞新疆在讲有些例题时，加了一小段分析，通过不多的几句话点明解题的思路奎屯王新敞新疆如对于上面提到的3. 3 例 4 ，加的一段分析是：由等差数列定义，要判定 {n a } 是不是等差数列，只要看---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 是不是一个与 n 无关的常数就行了奎屯王新敞新疆话虽不多，但突出了从定义出发这种最基本的证明方法奎屯王新敞新疆 (二) 加强了知识的应用除了上面提到的研究性课题多具有应用性的特点以外还在教材中适当增加了一些应用问题奎屯王新敞新疆如在阅读材料里介绍了有关储蓄的一些计算；在所增加的应用问题里还涉及房屋拆建规划、绕在圆盘上的线的长度等奎屯王新敞新疆 (三) 呼应前面的逻辑知识，加强了推理论证的训练考虑到《新大纲》更加重视对学生逻辑思维能力的培养，且在前面第一章已介绍了简易逻辑，为进行推理论证作了准备，紧接着又在第二章函数里进行了一定的推理论证训练，因此本草在推理论证方面有所加强奎屯王新敞新疆 (四) 注意渗透一些重要的数学思想方法由于本章处在知识交汇点的地位，所蕴含的数学思想方法较为丰富，教材在这方面也力求充分挖掘奎屯王新敞新疆教材注意从函数的观点去看数列，在这种整体的、动态的观点之下使数列的一些性质显现得更加清楚，某些问题也能得到更好的解决，例如复习参考题 B 组第 2 题便是一个典型例子奎屯王新敞新疆方程或方程组的思想也是体现得较为充分的，不少的例、习题均属这种模式：已知数列满足某某条件，求这个数列奎屯王新敞新疆这类问题一般都要通过列出方程或方程组．然后求解奎屯王新敞新疆关于递推的思想方法，不仅在数列的递推公式里有所体现奎屯王新敞新疆5 / 10观察、归纳、猜想、证明等思想方法的组合运用在本章里得到了充分展示．为学生了解它们各自的作用、相互间的关系并进行初步运用提供了条件奎屯王新敞新疆三、教学中应注意的几个问题(一) 把握好本章的教学要求由于本章联系的知识面广，具有知识交汇点的特点，在应试教育的一步到位的教育思想的影响下，本章的教学要求很容易拔高，过早地进行针对高考的综合性训练，从而影响了基本内容的学习和加重了学生负担奎屯王新敞新疆事实上，学习是一个不断深化的过程奎屯王新敞新疆作为在高一(上) 学习的这一章，应致力于打好基础并进行初步的综合训练，在后续的学习中通过对本章内容的不断应用来获得巩固和提高奎屯王新敞新疆最后在高三数学总复习时，通过知识的系统梳理和进一步的综合训练使对本章内容的掌握上升到一个新的档次奎屯王新敞新疆为此，本章教学中应特别注意一些容易膨胀的地方奎屯王新敞新疆例如在学习数列的递推公式时，不要去搞涉及递推公式变形的论证、计算问题，只要会根据递推公式求出数列的前几项就行了；在研究数列求和问题时，不要涉及过多的技巧. (二) 有意识地复习和深化初中所学内容对于初中学过的多数知识．在高中没有系统深入学习的机会奎屯王新敞新疆而初中内容是学习高中数学的必要基础，因而在学习高中内容时有意识地复习、深化初中内容显得特别重要奎屯王新敞新疆本章是高中数学的第三章，距离初中数学较近，与初中数学的联系最广，因而教学中应在沟通初、高中数学方面尽可能多地作一些努力奎屯王新敞新疆 (三) 适当加强---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 本章内容与函数的联系适当加强这种联系，不仅有利于知识的融汇贯通，加深对数列的理解，运用函数的观点和方法解决有关数列的问题，而且反过来可使学生对函数的认识深化一步奎屯王新敞新疆比如，学生在此之前接触的函数一般是自变量连续变化的函数，而到本章接触到数列这种自变量离散变化的函数之后，就能进一步理解函数的一般定义，防止了前面内容安排可能产生的学生认识上的负迁移；本章内容与函数的联系涉及以下几个方面奎屯王新敞新疆 1．数列概念与函数概念的联系奎屯王新敞新疆相应于数列的函数是一种定义域为正整数集(或它的前 n 个数组成的有限子集) 的函数，它是一种自变量等距离地离散取值的函数奎屯王新敞新疆从这个意义上看，它丰富了学生所接触的函数概念的范围奎屯王新敞新疆但数列与函数并不能划等号，数列是相应函数的一系列函数值奎屯王新敞新疆基于以上联系，数列也可用图象表示，从而可利用图象的直观性来研究数列的性质奎屯王新敞新疆数列的通项公式实际上是相应因数的解析表达式奎屯王新敞新疆而数列的递推公式也是表示相应函数的一种方式，因为只要给定一个自变量的值 n，就可以通过递推公式确定相应的 f(n)奎屯王新敞新疆这也反过来说明作为一个函数并不一定存在直接表示因变量与自变量关系的解析式奎屯王新敞新疆 2．等差数列与一次函数、二次函数的联系奎屯王新敞新疆从等差数列的通项公式可以知道，公差不为零的等差数列的每一项 an是关于项数 n 的一次函数式奎7 / 10屯王新敞新疆于是可以利用一次函数的性质来认识等差数列奎屯王新敞新疆例如，根据一次函数的图象是一条直线和直线由两个点唯一确定的性质，就容易理解为什么两项可以确定一个等差数列奎屯王新敞新疆此外，首项为1a 、公差为 d 的等差数列前 n 项和的公式可以写为：即当时，n S 是 n 的二次函数式，于是可以运用二次函数的观点和方法来认识求等差数列前 n 项和的问题奎屯王新敞新疆如可以根据二次函数的图象了解n S 的增减变化、极值等情况奎屯王新敞新疆 3．等比数列与指数型函数的联系奎屯王新敞新疆由于首项为1a 、公比为 q 的等比数列的通项公式可以写成 qqaSn它与指数函数 y=xa 有着密切联系，从而可利用指数函数的性质来研究等比数列奎屯王新敞新疆 (四) 注意等差数列与等比数列的对比，突出两类数列的基本特征等差数列与等比数列在内容上是完全平行的，包括：定义、性质(等差还是等比) 、通项公式、前 n 项和的公式、两个数的等差(等比) 中项奎屯王新敞新疆具体问题里成等差(等比) 数列的三个数的设法等奎屯王新敞新疆因此在教学与复习时可采用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别奎屯王新敞新疆顺便指出，一个数列既是等差数列又是等比数列的充要条件是它是非零的常数列奎屯王新敞新疆教学中应强调，等差数列的基本性质是等差，等比数列的基本性质是等比，这是我们研究有关两类数---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 列的主要出发点，是判断、证明一个数列是否为等差 (等比) 数列和解决其他问题的一种基本方法奎屯王新敞新疆要让学生注意，这里的等差 (等比 ) ，是对任意相邻两项来说的奎屯王新敞新疆上述基本性质，引申出两类数列的一种对称性：即与数列中的任一项等距离的两项之和(之积) 等于该项的 2 倍(平方) . 利用上述性质，常使一些问题变得简便奎屯王新敞新疆对于学有余力的学生，还可指出等差数列与等比数列描述了两种最简单、最重要的变化：等差数列描述的是一种绝对均匀变化，等比数列描述的是一种相对均匀变化奎屯王新敞新疆非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，这就成为教材之所以重点研究等差数列与等比数列的主要原因所在奎屯王新敞新疆 (五) 注意培养学生初步综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法的能力综合运用观察、归纳、猜想、证明等方法研究数学，是一种非常重要的学习能力奎屯王新敞新疆事实上，在问题探索求解中，常常是先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路；然后用归纳方法进行试探，提出猜想；最后采用证明方法(或举反例) 来检验所提出的猜想奎屯王新敞新疆应该指出，能够充分进行上述研究方法训练的素材在高中数学里并非很多，而在本章里却多次提供了这种训练机会，因而在教学中应该充分利用，不要轻易放过奎屯王新敞新疆(六) 在符号使用上与国家标准一致为便于与国际交流，关于9 / 10量和单位的新国家标准中规定自然数集 N＝{0， l，2． 3， } ，即自然数从 O 开始奎屯王新敞新疆这与长期以来的习惯用法不同，会使我们感到别扭奎屯王新敞新疆但为了不与上述规定抵触，教学中还是要将过去的习惯用法改变过来，称数集{1， 2， 3， } 为正整数集.。
数列概念说课PPT课件1 苏教版
教材分析
目标分析
说明反思
教学方法
教学过程
教材的地位和作用 课时安排和说明
2 课时
学情分析 三维目标 教学重点和难点
1.理解数列的概念，了解数列的分类，理解数列是一种特殊的函数，会用列举
法和图像法表示数列。
教学目标是基于对教材、教学大纲和
学生学情的分析相应制定的。同时，
2.理解数列通项公式的概念，会根据通项公在式新写课出程数理列念的的前指几导项下，，会关根注据学简生单的
1.创设情境—引入概念
讲述“棋盘的麦粒”历史典故
师生共同演绎，推导得出每个格子的麦粒数按放置的先后排成一列数：
1,2,22,23,24,...,263
2.观察归纳——形成概念
某剧场有30排座位，第一排有20个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位， 那么各排的座位数依次为20，22，24，26，28，… .
题 作 为 教 学 的 主 线
以 学 生 作 为 活 动
数列与函数的关系：
数列的实质：定义域为正整数集 N （或其有限子集 1，2，…n ）
的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值；
1Hale Waihona Puke a 12a 2
3
a 3
n
a
n
1、在春节图片和视频中重温春节生活 的欢快 和喜悦 ，激发 学生对 传统节 日、民 俗文化 的热爱 之情。 2、在送祝福的实践活动中对为社会服 务的劳 动者表 达感谢 之情 3、了解春节的相关习俗，感受春节的 热闹气 氛。 4、知道春节期间有很多人还在辛勤工 作，学 习用自 己的方 式表达 对他人 劳动的 感谢之 情。 5．经历三次认知冲突后意识到摆的摆 动快慢 与摆长 有关。 6．经历实验和数据分析，理解同一个 摆，摆 长越长 ，摆动 越慢， 摆长越 短，摆 动越快 。 7．用测量与比较的方法研究摆的摆动 快慢规 律。
高中数学_数列的概念与简单表示法教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、教材分析《数列的概念与简单表示法》是高中数学必修5第二章第一节的内容，起着承前启后的作用。
一方面，数列与前面学习的函数有着密切的联系。
数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的数学模型；另一方面，数列概念的学习又为进一步学习等差数列、等比数列等内容作了准备。
作为数列的起始课，为达到新课标的要求，从一开始就培养学生的研究意识、创新意识、合作意识和应用意识，打造数列教与学的良好开端。
二、教学目标1.理解数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型;2.了解数列的分类，并会根据数列的前几项抽象归纳出数列的通项公式；3.体会数列是一种特殊的函数；了解数列的三种表示法。
三、教学重难点教学重点：理解数列的概念；教学难点：根据数列的前几项抽象归纳出数列的通项公式；将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列和函数之间的关系。
四、教法与学法启发式教学——引导学生去思考，鼓励学生去探索，培养学生的创造性思维。
探究式学习——组织学生小组讨论，合作交流，共同解决问题。
五、教学过程（一）“国际象棋”小故事讲述“国际象棋”小故事，提问学生“国王有没有能力满足老人的要求？”，激发学生的学习兴趣。
然后，和学生一起探究，得到一组数：2363……通过对1,2,2,2,,2数的分析，让学生真正理解国王是没有能力满足老人的要求的。
从而最终，引入这节课的学习内容：《数列的概念与简单表示法》（二）创设情境，引入概念1.自然界中，花瓣的个数：2、3、5、8、132.古语：一尺之棰，日取其半，万世不竭。
3.古希腊毕达哥拉斯学派的基本观点：数是万物的本源。
他们曾经在沙滩上画点或用小石子来表示数，得到三角形数、正方形数。
以上事例涉及5组数，让学生观察并归纳其共同特点，引入数列及其有关概念。
活动：典例1你会判断吗？1.由无穷多个3所组成的一列数是数列吗？3，3，3，3，3, …2.以下两个数列是同一数列吗？54, 60, 55, 58, 64, 55, 58, 60, 57, 54.54, 60, 55, 58, 55, 64, 58, 60, 57, 54.3.由2，3，a，5，b，6，这几个元素能构成数列吗？讨论：结合这三个题目,讨论数列与集合的区别。
《数列的概念》 说课稿
《数列的概念》说课稿尊敬的各位评委老师：大家好！今天我说课的题目是《数列的概念》。
下面我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重难点、教法与学法、教学过程、板书设计这几个方面来展开我的说课。
一、教材分析《数列的概念》是高中数学必修 5 第二章数列的第一节内容。
数列是高中数学的重要内容之一，它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在实际生活中也有很多实际问题可以转化为数列问题来解决。
本节课是数列的起始课，主要介绍了数列的定义、通项公式、数列的分类等基础知识。
通过本节课的学习，为后续学习等差数列、等比数列等内容奠定了基础，同时也有助于培养学生的数学思维能力和逻辑推理能力。
二、学情分析在学习本节课之前，学生已经学习了函数的相关知识，具备了一定的函数思维和抽象概括能力。
但是，数列对于学生来说是一个全新的概念，学生在理解数列的定义和通项公式时可能会存在一定的困难。
此外，学生在学习过程中可能会出现对数列概念的理解不够深入，对通项公式的应用不够熟练等问题。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生从具体实例出发，通过观察、分析、归纳等方法，帮助学生理解数列的概念和通项公式。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解数列的概念，能够区分数列与集合。
（2）掌握数列的通项公式，能够根据通项公式写出数列的任意一项。
（3）了解数列的分类，能够判断一个数列是有穷数列还是无穷数列，递增数列还是递减数列。
2、过程与方法目标（1）通过对实际问题的分析，培养学生的数学建模能力和抽象概括能力。
（2）通过对数列通项公式的探究，培养学生的观察、分析、归纳和推理能力。
3、情感态度与价值观目标（1）让学生在自主探究和合作交流的过程中，体验数学学习的乐趣，增强学习数学的自信心。
（2）通过对数列在实际生活中的应用的介绍，让学生体会数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。
四、教学重难点1、教学重点（1）数列的概念和通项公式。
（2）根据通项公式写出数列的任意一项。
苏教版必修五数列教案.docx
第一课时：§2. 1数列的概念与简单表不法教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式；了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项.过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力.情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程一. 情境引入：问题1：一牧羊人赶着一群羊通过36个关口，每过一个关口，守关人将拿走当时羊的一半，然后退还一只，过完这些关口后，牧羊人只乘2只羊，则原来牧羊人赶了多少只羊？本题蕴含什么数学知识，你能解决这个问题吗？问题2：考察下列的数据，看看有什么共同特点？(1)20, 22, 24, 26, 28,…。
________________________(2)1740, 1823, 1906, 1989, 2072, ________________(3)1,2, 4, &16, ________________(4)1, -1, 1, -1, 1, -1, ••• o _________________________(5)1, 1, 2, 3, 5, 8,…o _________________________(6)从1984年到2004年，我国共参加了6次奥运会，各次参赛获得的金牌总数依次为15,5, 16, 16, 28, 32…二. 讲授新课知识点1•数列的定义：(了解)(1) ______________________________ 叫做数列.注意：①数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；②定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现(2)数列的项：_______________________________________________________(3). (了解) 数列的般形式：下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？知识点2.(重点) 数列的通项公式：写出问题2中数列的通项公式注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.知识点3. ( 了解)数列与函数的关系: __________________________________________________________知识点4. (了解)数列的分类：1)根据数列项数的多少分：有穷数列，无穷数列；2)根据数列项的大小分：递增数列；递减数列；常数数列；摆动数列。
苏教版高中数学必修5数列的概念与简单表示法1
数列的概念与简单表示法●教学目标知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力．情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
●教学重点数列及其有关概念，通项公式及其应用●教学难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式●教学过程Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序号有这样的对应关系：项 1 51413121↓ ↓ ↓ ↓ ↓序号 1 2 3 4 5 这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：n a n 1=来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n ，就可以求出该数列相应的各项 结合上述其他例子，练习找其对应关系⒋ 数列的通项公式：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=n n a ，也可以是|21cos |π+=n a n .⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第 项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()n a f n =，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
苏教版高中数学“数列的概念”教材研读与认识
课” ， 特别 强调要有上好“ 章起始课” 的意 识 ， 加 强 对
“ 章起 始课 ” 的教学 研究 ， 让“ 章起 始课 ” 成 为学 生学 会 学 习的原 动力 。笔 者认 为 ， 教 师 只有 站 在整 章 高度 准
确地把 握 教材 设计 意 图 ， 并潜心地研读教材， 悉 心 地
深化 理念 和完 善举 措 ， 才能最 大 限度 地 提 高学 生学 习
构 与平衡 过程 ， 呈螺旋状地不断上升 ， 每一 种 已达 到 相对 平衡 状 态 的建 构 ， 都将 为新 的 平衡 提 供条 件 与可
能， 认知 螺旋 的建 构过 程及 其质 量 决定 了学生 的学 习 水 平 。学 生 对 数 学 概 念 及 其 思 想 方 法 的 认 识 和 理 解 ，
了解 函数 的最值 与值 域 的关 系 ， 对 定义 中的 不等 式恒 成 立做 好概 念辨 析 ， 即认 识 “ 厂 （ ） ≤ Ｓ（ ｘ 。 ） 恒 成 立， 则 ｆ （ ｘ 。 ） 为 一＿ 厂 （ ｚ ） 的最 大 值” 与“ 厂（ ｚ ） ≤ ａ恒 成 立， （ ｚ ） ∈［ ， ］ 或 （ ） ∈（ ｍ， ） ， 则 ≤ ａ ” 之 间 的 联 系与 区别 。 ３ ． ２ 《 数学 ４ 》 （ 必修 ） 的 三角 函数 图像 性质 学 习阶段 通 过三角 函数 最值 与周 期 的关 系 ， 促进 学 生 对 函 数最 值 定 义 的 理 解 。可 配 备 习 题 ： 设 函 数 ｆ（ ５ １ ５ ＂ ） 一
高考 不 考数列 定 义 ； 另外 ， 由于 时 间 紧 、 任务重， 认 为 “ 数列 的概念 ” 的教 学 无 足轻 重 ， 通 常是 “ 轻轻滑过” ，
甚 至 认 为 正 儿 八 经 地 教 纯 属 浪 费 时 间 。 持 有 上 述 观 ３ ． １ 《 数学 １ （ 必修 ） 的 初 学 阶 段
苏教版高中数学必修五数列的概念.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作数列的概念一、基础知识1.等差数列的概念：2.等差数列的通项公式：3.等差数列前n 项和公式：4.等比数列的概念：5.等比数列的通项公式：6.等比数列前n 项和公式：二、基础练习1.写出数列(1)167,95,43,1的一个通项公式 (2)978,756,534,312⨯⨯⨯⨯的一个通项公式 (3)10001,1001,101,11的一个通项公式2.在等差数列{}n a 中,若24,2,121=-==+n n S S d a ,则=n3.已知四个数依次成等差数列,且四个数的平方和为94,首尾两个数之积比中间两数之积少18,则此等差数列为4.一个直角三角形三边的长成等差数列,则这个直角三角形三边长的比为5.在等比数列{}n a 中,若306,6312=+=a a a ,则=n a ;=n S6.已知数列{a n }中,⎩⎨⎧+=为偶数为奇数n n n a n n ,2,12,则=+54a a 7.在1和256中间插入3个数,使这5个数成等比数列,则公比q=8.已知数列{a n }中,前n 项和为:n n S n 22+=,那么=10a9.已知一个等比数列的前3项的积为3,后三项的积为9,且所有项的积为243,则该数列的项数为10.已知等差数列{a n }中,2,231-==d a .(1)求8a ; (2)求数列{}a 中正数项的个数; (3)求数列{}n a 前n 项和的最大值.11.在等比数列{}n a 中,已知4,2141==a a . (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}2na 的前5项和.12.有四个数,其中前3个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12,求这4个数.13.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和,nS b n n =. (1)求证:数列{b n }是等差数列;(2)若S 7=7,S 15=75,求数列{b n }的前n 项和T n .。
高三数学数列知识精讲 苏教版
高三数学数列知识精讲一. 本周教学内容：数列二. 本周教学目标：1. 理解数列的概念，了解数列通项公式的意义；了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
2. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
3. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。
三. 本周知识要点： （一）数列（1）一般形式：n a a a ,,,21⋯ （2）通项公式：)(n f a n = （3）前n 项和：及数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：（二）等差数列1. 等差数列的定义：①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
2. 等差数列的判定方法：②定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。
③等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。
3. 等差数列的通项公式：④如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。
该公式整理后是关于n 的一次函数。
4. 等差数列的前n 项和：⑤2)(1n n a a n S +=⑥d n n na S n 2)1(1-+= 对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。
5. 等差中项：⑥如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：2ba A +=或b a A +=2在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。
5. 等差数列的性质：⑦等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=⑧对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，则q p m n a a a a +=+ 也就是： =+=+=+--23121n n n a a a a a a⑨若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
苏教版高中数学“数列的概念”教材研读与认识
作者：秦承林
来源：《文理导航》2016年第14期
【摘要】“数列的概念”选自苏教版《数学5》（必修）第二章“数列”第一课时的内容。
在这一课时中先通过观察一组组数据，来引导学生了解数列的概念，再通过观察法求出数列的通项公式。
“数列”作为第二章的第一课时，因此具有举足轻重的作用。
但是，很多老师都没有展现出应有的重视：一方面，凭借着考试出题的分值，来判别内容重要与否。
他们认为高考中数列出题核心在于等差数列、等比数列，而且“数列的概念”不在考试范围内；另外一方面，由于高中数学的时间紧迫、教学任务极其繁重，许多教师认为将时间花费在“数列的概念”上不值当。
持有上述观点的教师是有着教学失误的，笔者会在接下来的论文中进行具体阐释。
【关键词】苏教版；高中数学；数列概念；认识
一、对教材的整体把握
整个教材的编写是有一定的知识框架与结构，是为实现一定的教学目标的。
章节与章节之间、课时与课时之间都有着紧凑的呼应关系，是循序渐进，缺一不可的。
苏教版教材“入口浅、寓意深”，通过大量的事例来引入数学课题，这大大加深了学生对于知识的理解，也激励他们解决实际问题，实现了知识“从生活中来，到生活中去”的原则。
如果在“数列的概念”这章的教学活动中没有投入激情，则会让学生在接下来的学习中丧失了应该具有的热情，可以说是原动力不足。
更何况，对于数列的定义没有掌握透彻，则会对整个知识框架缺乏整体的把握，这也会对接下来的学习产生阻碍，没有实现教学的连贯性和预期的教学效果。
我们应该从整体着眼，仔细钻研教材，吃透每一章节。
二、教学过程的别出心裁
（一）从生活实例引入课题
“数列的概念”这一章节是从列举多个生活事例来引导学生思考，激发学生已有的知识体系或生活体验，来促使他们自己来归纳数列的定义。
如先通过一个故事来计算出棋盘上应该放置的麦粒数，然后把它们按照放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263，……；接下来引入细胞分裂的问题，细胞由一个分裂成两个，再由两个分裂成四个……以此类推23；再通过我们的无限小数π约到两小数、三位小数、四位小数……然后将它们的近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，……；接着提出由于人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，如果从出现那次算起，那么这颗彗星出现的年份分别是什么？通过计算可算出依次为1740，1823，1906，1989，…；然后再由计算剧场如果第一排
20个座位、后一排比前一排多两个，以此类推各排的座位数分别是：20，22，24，26，…，38；最后列举的事例则是说出从1984年到近年，我国运动健儿共参加六次奥运会，获得金牌依次排列是：15，5，16，16，28，32。
组织学生观察这组数据后，启发学生概括其特点，最后由老师进行总结出数列的定义。
这种引入能激发学生的兴趣，让学生在贴近实际生活中探求新知，体会到数学是生动的，是来源于生活的。
（二）通过图像和实际操作加深理解
在了解数列的定义之后，为了更全面的了解数列，需要将概念从直观到形式化。
因此，课本中将“Excle”“几何画板”等信息技术工具展现给学生。
这与传统单一的教学手段有极大不同，能将整个课堂氛围变得活跃起来。
比如利用坐标轴让学生充分感受到数列中数的急剧变化。
（三）习题加以巩固
在教材中的习题设置了“练习”“感受·理解”“思考·运用”“探究·拓展”等栏目，这些栏目设计是层层递进、循序渐进的，因此这些题目是由基础到拔高的飞跃。
比如第33页“练习”栏目的第二、三题是已知数列的通项公式，求数列特殊项的值；第五题是已知数列的一些特殊项，求数列的通项公式，这些都是较为基础的题目，提高学生的观察、归纳、概括能力。
“感受·理解”栏目的习题出题方式会更加灵活一些，需要学生能够进行思考，更能激发学生的探知欲。
比如说：“156是不是数{n（n+2）}中的项？如果是，那它是数列的第几项？”它就极大刺激学生的学习积极性。
“思考·运用”栏和“探究.拓展”栏对于学生的要求会更高一些，要求学生从本质上去理解知识，掌握它的精髓，而不只是停留在概念性的理解上面，而是能灵活多变、多角度与多层次的去钻研。
三、教学理念的深化
《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示教学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法。
”了解新课标，认真钻研教材，仔细揣摩教材在内容上分层次进行编排的特点，设计出合理的教学目标。
其实无论是后面章节中求数列的通项公式还是递推公式，都是基于对数列概念的理解，只是侧重点不同而已。
因此，要引起该有的重视。
首先要吃透教材，确定出教学过程之中的教学重难点；其次教师也应该充分考虑到学生的知识层次与接受能力，设置出具有启发性又易于让学生接受的问题链，引导学生积极主动思考；然后，在教学过程中能随机应变，引导学生建构完整
的知识结构；最后，丰富教学活动的形式，采取多用的教学方式，调动学生的积极性，使其在轻松活跃的氛围之下，掌握知识，达到预期的教学目的。
总结
概念教学没有引起广大教师的重视这个局面亟需转变，教师要有全局观，宏观上，对于教材的整个脉络结构、知识框架有清醒的认识；微观上，对于每个章节都仔细的钻研，体会编者的设计理念与用意。
“数列的概念”这一小节是基石，后面的知识内容都与它紧密相关。
苏教版的编纂者也是别出心裁，能够从生活实例中上升到数学理论知识，并且这章节的栏目设计既新颖又符合学生的知识接受层次，能“深入浅出”，促使学生主动学习与探究。
【参考文献】
[1]殷伟康.基于函数观点的“数列的概念”教学实践与思考[J].中学数学，2016，（1）：42-44
[2]廖碧.数列的概念与简单表示法[J].少儿科学周刊（教育版），2014，（2）：12-12
[3]于洋.新课程下“数列概念”的教材比较研究[J].中学数学杂志（高中版），2014，（6）：10-14
[4]张培强.概念教学活水开源——“等差数列的概念”教学片断与反思[J].中国数学教育：高中版，2012，（10）：21-23。