随机二叉搜索树上的若干强极限性质

二叉树知识点总结

二叉树知识点总结1. 二叉树的性质1.1 二叉树的性质一：二叉树的深度二叉树的深度是指从根节点到叶子节点的最长路径长度。

对于一个空树而言，它的深度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的深度为1。

根据定义可知，深度为k的二叉树中，叶子节点的深度值为k。

由此可知，二叉树的深度为所有叶子节点深度的最大值。

1.2 二叉树的性质二：二叉树的高度二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最短路径长度。

对于一个空树而言，它的高度为0；对于只有一个根节点的树而言，它的高度为1。

由此可知，二叉树的高度总是比深度大一。

1.3 二叉树的性质三：二叉树的节点数量对于一个深度为k的二叉树而言，它最多包含2^k - 1个节点。

而对于一个拥有n个节点的二叉树而言，它的深度最多为log2(n+1)。

1.4 二叉树的性质四：满二叉树满二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的每个节点要么是叶子节点，要么拥有两个子节点。

满二叉树的性质是：对于深度为k的满二叉树而言，它的节点数量一定是2^k - 1。

1.5 二叉树的性质五：完全二叉树完全二叉树是一种特殊类型的二叉树，它的所有叶子节点都集中在树的最低两层，并且最后一层的叶子节点从左到右依次排列。

对于一个深度为k的完全二叉树而言，它的节点数量一定在2^(k-1)和2^k之间。

2. 二叉树的遍历二叉树的遍历是指按照一定的顺序访问二叉树的所有节点。

二叉树的遍历主要包括前序遍历、中序遍历和后序遍历三种。

2.1 前序遍历（Pre-order traversal）前序遍历的顺序是：根节点 -> 左子树 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，前序遍历的结果就是按照“根-左-右”的顺序访问所有节点。

2.2 中序遍历（In-order traversal）中序遍历的顺序是：左子树 -> 根节点 -> 右子树。

对于一个二叉树而言，中序遍历的结果就是按照“左-根-右”的顺序访问所有节点。

2.3 后序遍历（Post-order traversal）后序遍历的顺序是：左子树 -> 右子树 -> 根节点。

动态规划-最优二叉搜索树

动态规划-最优⼆叉搜索树摘要：本章介绍了⼆叉查找树的概念及操作。

主要内容包括⼆叉查找树的性质，如何在⼆叉查找树中查找最⼤值、最⼩值和给定的值，如何找出某⼀个元素的前驱和后继，如何在⼆叉查找树中进⾏插⼊和删除操作。

在⼆叉查找树上执⾏这些基本操作的时间与树的⾼度成正⽐，⼀棵随机构造的⼆叉查找树的期望⾼度为O(lgn)，从⽽基本动态集合的操作平均时间为θ(lgn)。

1、⼆叉查找树⼆叉查找树是按照⼆叉树结构来组织的，因此可以⽤⼆叉链表结构表⽰。

⼆叉查找树中的关键字的存储⽅式满⾜的特征是：设x为⼆叉查找树中的⼀个结点。

如果y是x的左⼦树中的⼀个结点，则key[y]≤key[x]。

如果y是x的右⼦树中的⼀个结点，则key[x]≤key[y]。

根据⼆叉查找树的特征可知，采⽤中根遍历⼀棵⼆叉查找树，可以得到树中关键字有⼩到⼤的序列。

介绍了⼆叉树概念及其遍历。

⼀棵⼆叉树查找及其中根遍历结果如下图所⽰：书中给出了⼀个定理：如果x是⼀棵包含n个结点的⼦树的根，则其中根遍历运⾏时间为θ(n)。

问题：⼆叉查找树性质与最⼩堆之间有什么区别？能否利⽤最⼩堆的性质在O(n)时间内，按序输出含有n个结点的树中的所有关键字？2、查询⼆叉查找树⼆叉查找树中最常见的操作是查找树中的某个关键字，除了基本的查询，还⽀持最⼤值、最⼩值、前驱和后继查询操作，书中就每种查询进⾏了详细的讲解。

（1）查找SEARCH 在⼆叉查找树中查找⼀个给定的关键字k的过程与⼆分查找很类似，根据⼆叉查找树在的关键字存放的特征，很容易得出查找过程：⾸先是关键字k与树根的关键字进⾏⽐较，如果k⼤⽐根的关键字⼤，则在根的右⼦树中查找，否则在根的左⼦树中查找，重复此过程，直到找到与遇到空结点为⽌。

例如下图所⽰的查找关键字13的过程：（查找过程每次在左右⼦树中做出选择，减少⼀半的⼯作量）书中给出了查找过程的递归和⾮递归形式的伪代码：1 TREE_SEARCH(x,k)2 if x=NULL or k=key[x]3 then return x4 if(k<key[x])5 then return TREE_SEARCH(left[x],k)6 else7 then return TREE_SEARCH(right[x],k)1 ITERATIVE_TREE_SEARCH(x,k)2 while x!=NULL and k!=key[x]3 do if k<key[x]4 then x=left[x]5 else6 then x=right[x]7 return x（2）查找最⼤关键字和最⼩关键字根据⼆叉查找树的特征，很容易查找出最⼤和最⼩关键字。

二叉排序树

二叉排序树1．二叉排序树定义二叉排序树（Binary Sort Tree）或者是一棵空树；或者是具有下列性质的二叉树：（1）若左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于根结点的值；若右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于根结点的值。

（2）左右子树也都是二叉排序树，如图6-2所示。

2．二叉排序树的查找过程由其定义可见，二叉排序树的查找过程为：（1）若查找树为空，查找失败。

（2）查找树非空，将给定值key与查找树的根结点关键码比较。

（3）若相等，查找成功，结束查找过程，否则：①当给值key小于根结点关键码，查找将在以左孩子为根的子树上继续进行，转（1）。

②当给值key大于根结点关键码，查找将在以右孩子为根的子树上继续进行，转（1）。

3．二叉排序树插入操作和构造一棵二叉排序树向二叉排序树中插入一个结点的过程：设待插入结点的关键码为key，为将其插入，先要在二叉排序树中进行查找，若查找成功，按二叉排序树定义，该插入结点已存在，不用插入；查找不成功时，则插入之。

因此，新插入结点一定是作为叶子结点添加上去的。

构造一棵二叉排序树则是逐个插入结点的过程。

对于关键码序列为：｛63，90，70，55，67，42，98，83，10，45，58｝，则构造一棵二叉排序树的过程如图6-3所示。

4．二叉排序树删除操作从二叉排序树中删除一个结点之后，要求其仍能保持二叉排序树的特性。

设待删结点为*p（p为指向待删结点的指针），其双亲结点为*f，删除可以分三种情况，如图6-4所示。

（1）*p结点为叶结点，由于删去叶结点后不影响整棵树的特性，所以，只需将被删结点的双亲结点相应指针域改为空指针，如图6-4（a）所示。

（2）*p结点只有右子树或只有左子树，此时，只需将或替换*f结点的*p子树即可，如图6-4（b）、（c）所示。

（3）*p结点既有左子树又有右子树，可按中序遍历保持有序地进行调整，如图6-4（d）、（e）所示。

设删除*p结点前，中序遍历序列为：① P为F的左子女时有：…，Pi子树，P，Pj，S子树，Pk，Sk子树，…，P2，S2子树，P1，S1子树，F，…。

二叉排序树

就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，且其平均的执行时间均为O(lgn)，因此更有效。二分查找所涉及的有序表是一个向量，若有插入和删除结点的操作，则维护表的有序性所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时，宜用向量作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作；若有序表里动态查找表，则应选择二叉排序树作为其存储结构。
if(q->lchild) //*q的左子树非空，找*q的左子树的最右节点r. {for(q=q->lchild;q->rchild;q=q->rchild); q->rchild=p->rchild; } if(parent->lchild==p)parent->lchild=p>lchild; else parent->rchild=p->lchild; free(p)； /释放*p占用的空间 } //DelBSTNode
下图(a)所示的树，是按如下插入次序构成的： 45，24，55，12，37，53，60，28，40，70 下图(b)所示的树，是按如下插入次序构成的： 12，24，28，37，40，45，53，55，60，70
在二叉排序树上进行查找时的平均查找长度和二叉树的形态有关： ①在最坏情况下，二叉排序树是通过把一个有序表的n 个结点依次插入而生成的，此时所得的二叉排序树蜕化为棵深度为n的单支树，它的平均查找长度和单链表上的顺序查找相同，亦是(n+1)/2。 ②在最好情况下，二叉排序树在生成的过程中，树的形态比较匀称，最终得到的是一棵形态与二分查找的判定树相似的二叉排序树，此时它的平均查找长度大约是lgn。 ③插入、删除和查找算法的时间复杂度均为O(lgn)。 (3)二叉排序树和二分查找的比较就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。

二叉树实验心得(优秀5篇)

二叉树实验心得(优秀5篇)二叉树实验心得篇1二叉树实验心得在进行二叉树实验的过程中，我不仅掌握了一个重要的数据结构——二叉树，还从中体验到了深入理解一个数据结构的魅力和乐趣。

在实验开始时，我首先学习了二叉树的基本概念，如节点、左子树、右子树等。

我明白了二叉树是一种重要的数据结构，它具有层次结构，每个节点最多有两个子节点，且没有祖先节点的左或右子树中的任何一个节点。

接下来，我学习了二叉树的遍历，包括前序遍历、中序遍历和后序遍历。

通过实验，我明白了这些遍历方式的实现原理，并能够灵活地应用它们。

此外，我还学习了递归和迭代两种方法来实现这些遍历方式，这两种方法各有优点和缺点，我深入了解了它们之间的差异。

在进行实验的过程中，我遇到了一些问题，如递归方法导致的栈溢出，以及中序遍历中的栈和队列的使用。

我通过查阅资料和讨论，解决了这些问题，并从中获得了宝贵的经验。

通过这次实验，我更加深入地理解了二叉树的结构和遍历方式，并能够在实际应用中灵活使用。

我明白了数据结构的重要性，以及深入理解数据结构的过程中的乐趣。

同时，我也学会了如何解决问题，并从中获得了宝贵的经验。

总的来说，这次实验是一个非常有意义的经历，我不仅掌握了新的知识，还锻炼了自己的解决问题的能力。

我相信，这次实验将对我未来的学习和工作产生积极的影响。

二叉树实验心得篇2二叉树实验心得这次实验我们了解了二叉树的基本概念，包括二叉树、结点、左子树、右子树、祖先节点等概念。

通过实验，我们对二叉树的性质有了更深刻的理解，比如二叉树只有左子树或右子树，没有左右子树的情况，即空子树。

在实现二叉树时，我们了解了二叉树节点的定义和插入节点的多种方法，包括先插法、后插法等。

我们还学会了利用二叉树来解决实际问题，比如快速查找等问题。

在实验过程中，我们对二叉树的知识进行了深入探究，收获颇丰。

通过这次实验，我对二叉树有了更深刻的认识，明白了二叉树在计算机科学中的重要性。

同时，我对自己的编程能力也有了新的认识，发现自己可以在理解算法的基础上更好地实现它们。

数据结构——- 二叉树

证明： 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外，每个 ●性质3：结点都有一个边e进入任何一棵二叉树，若其终端结点数为n0， n=e+1 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出，因此 e=n1+2n2 G B (4)由（2）（3） F C D n=n1+2n2+1 (5)由（4）-（1）可得 G n0=n2+1
《数据结构与算法》
★★★★★
第五章二叉树
廊坊师范学院数学与信息科学学院
树型结构--实例:五子棋
A
B
D
E
F
C
…...........
…...........
第五章二叉树
本章重点难点
重点：二叉树的定义，性质，存储结构以及相关的应用——遍历，二叉搜索树，堆优先队列，Huffman树等难点：二叉树的遍历算法及相关应用
证明： 5.1 二叉树的概念
(1)总结点数为 ●二叉树的主要性质 n=n0+n1+n2 (2)除根结点外，每个 ●性质3：结点都有一个边e进入任何一棵二叉树，若其终端结点数为n0， n=e+1 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 (3)边e又是由度为1或2 A 的点射出，因此 e=n1+2n2 G B (4)由（2）（3） F C D n=n1+2n2+1 (5)由（4）-（1）可得 G n0=n2+1
A B C E D F G
证明：由性质4可推出
由性质2（深度为k的二叉树，至多有2k+1-1 个结点）可知，高度为h(k+1)的二叉树，其有n (n>0)个结点的完全二叉树的高度为结点个数n满足：「log2(n+1) ,深度为「log2(n+1) -1 2h-1-1<n<=2h-1 高度:二叉树中最大叶结点的层数+1 2h-1<n+1<=2h 取对数得到： 0层 1 h-1<log2(n+1)<=h 3 1层 2 因为h是整数，所以 h= log2(n+1) 5 2层 4

二叉树的性质总结

一、二叉树的性质性质1、二叉树的第i 层上至多有2 i-1（i ≥1）个结点。

用数学归纳法证明推广：k 叉树(或度为k 的树)的第i 层上至多有k i-1（i ≥1）个结点性质2、度为h 的二叉树中至多含有2h-1个结点。

21-1 + 2 2-1+……+ 2 h-1 = 2 h -1推广：深度为h 的k 叉树(或度为k 的树)中至多含有 (k h -1)/(k-1)个结点k 1-1 + k 2-1+……+ k h-1 =( k h -1)/(k-1)性质3、若在任意一棵二叉树中，有n0个叶子结点，有n2个度为2的结点，则：n0=n2+1证明：设：有n0个叶子结点，有n1个度为1的结点，有n2个度为2的结点，则二叉树中结点总数为：n=n0+n1+ n2 (1)设分支的总数为m,则：m= n1+2 n2 (2)因为n=m+1（3）所以： n0+n1+ n2 = n1+2 n2 +1整理得： n0= n2+1推广: 度为k 的树有n 1个度为1的结点， n 2个度为2的结点，n k 个度为k 的结点则n 0为:性质3推广的证明于性质3的证明设：有n 0个叶子结点，有n 1个度为1的结点， n 2个度为2的结点，n k 个度为k 的结点则结点总数为：n=n 0+n 1+ n 2 +……+n k (1)设分支的总数为m,则：m= n 1+2 n 2+……+kn k因为n=m+1（3）所以：n 0+n 1+ n 2 +……+n k = n 1+2 n 2+……+kn k +1整理得： n 0= 0n 1+1n 2+……+(k-1)n k +1性质4、具有n 个结点的完全二叉树，其深度为⎣㏒2n ⎦+1证明：设n 个结点的完全二叉树的深度为k ，根据性质2可知，k-1层满二叉树的结点总数为： 2k-1-1k 层满二叉树的结点总数为： 2k -1显然有：2k-1 - 1 < n ≤ 2k - 1 [ 2k- 1 ≤ n < 2k取对数有：k -1 ≤ log 2n < k因为k 是整数，所以k -1 = ⎣log 2n ⎦ ， k= ⎣㏒2n ⎦+1结论成立。

数据结构 -第12周查找第3讲-二叉排序树.pdf

以二叉树或树作为表的组织形式，称为树表，它是一类动态查找表，不仅适合于数据查找，也适合于表插入和删除操作。

常见的树表：二叉排序树平衡二叉树B-树B+树9.3.1 二叉排序树二叉排序树（简称BST）又称二叉查找（搜索）树，其定义为：二叉排序树或者是空树，或者是满足如下性质（BST性质）的二叉树：❶若它的左子树非空，则左子树上所有节点值（指关键字值）均小于根节点值；❷若它的右子树非空，则右子树上所有节点值均大于根节点值；❸左、右子树本身又各是一棵二叉排序树。

注意：二叉排序树中没有相同关键字的节点。

二叉树结构满足BST性质：节点值约束二叉排序树503080209010854035252388例如:是二叉排序树。

66不试一试二叉排序树的中序遍历序列有什么特点？二叉排序树的节点类型如下：typedef struct node{KeyType key;//关键字项InfoType data;//其他数据域struct node*lchild,*rchild;//左右孩子指针}BSTNode;二叉排序树可看做是一个有序表，所以在二叉排序树上进行查找，和二分查找类似，也是一个逐步缩小查找范围的过程。

1、二叉排序树上的查找Nk< bt->keybtk> bt->key 每一层只和一个节点进行关键字比较！∧∧p查找到p所指节点若k<p->data，并且p->lchild=NULL，查找失败。

若k>p->data，并且p->rchild=NULL，查找失败。

查找失败的情况加上外部节点一个外部节点对应某内部节点的一个NULL指针递归查找算法SearchBST()如下（在二叉排序树bt上查找关键字为k的记录，成功时返回该节点指针，否则返回NULL）：BSTNode*SearchBST(BSTNode*bt,KeyType k){if(bt==NULL||bt->key==k)//递归出口return bt;if(k<bt->key)return SearchBST(bt->lchild,k);//在左子树中递归查找elsereturn SearchBST(bt->rchild,k);//在右子树中递归查找}在二叉排序树中插入一个关键字为k的新节点，要保证插入后仍满足BST性质。

二叉查找树

二叉查找树一、二叉查找树：查找树是一种数据结构，它支持多种动态集合操作，包括search，minimum，maximum，predecessor，successor，insert以及delete。

在二叉查找树上执行的基本操作时间与树的高度成正比。

对于一棵含有n个结点的完全二叉树，这些操作的时间复杂度为O(log2n)。

但是，如果树是含有n个结点的线性链，则这些操作的最坏情况下的运行时间为O(n)。

（一）二叉查找树的概念：二叉查找树（BST，Binary Search Tree）又称二叉排序树或二叉搜索树，它或者是一棵空树，或者是一棵具有如下性质的非空二叉树：（1）若它的左子树不空，则左子树上所有节点的值均不大于它的根节点的值；（2）若它的右子树不空，则右子树上所有节点的值均不小于它的根节点的值；（3）它的左、右子树也分别为二叉查找树。

等价定义：若以中序遍历二叉查找树，则会产生一个所有节点关键字值的递增序列。

例如：右下图的树，中序遍历得到的数值为（3，12，24，37，45，53，61，78，90，100）。

二叉查找树之所以又称为二叉排序树，因为它是“排过序”的二叉树，但并非是“用于排序”的二叉树。

不难发现，二叉查找树这种数据结构的优势在于它的有序性，这是其它类似功能的数据结构无法达到的。

比如有序线性表虽然有序，但是插入算法的时间复杂度为O(n)；堆的插入算法虽然时间复杂度为O(log2n)，但是堆并不具有有序性。

因此，我们要充分发挥二叉查找树的优势，就要充分利用其有序性和插入、查找算法的高效性。

所以，如果要经常对有序数列进行“动态”的插入或查找工作，就可以采用二叉查找树来实现。

依据二叉查找树的定义，我们知道：具有相同结点集的二叉查找树，可能的形态很不同。

例如对于集合{1，2，3}所建立的二叉查找树就可能是下图所示的五种形态的任一种。

（二）二叉查找树的数据结构一棵二叉查找树是按二叉树结构来组织的。

最优二叉搜索树

8
2 最优二叉搜索树
xal
wan wil wen wim wul xem yo xul yu m
zol zom
yon
zi
A
A代表其值处于代表其值处于wim和wul之间的可能关键码集合代表其值处于和之间的可能关键码集合
9
2 最优二叉搜索树
在二叉搜索树中搜索一个元素x 在二叉搜索树中搜索一个元素
1 2 3 2 (c) (d) (a) (b) (e) 1 3 1 2 1 3 2 1 2 3
• 设每个内、外结点检索的概率相同：pi=qi=1/7，设每个内、外结点检索的概率相同：，求每棵树的平均比较次数（成本）。求每棵树的平均比较次数（成本）。 • 若P1=0.5, P2=0.1, P3=0.05, q0=0.15, q1=0.1, q2=0.05, q3=0.05，求每棵树的平均比较，次数（成本）。次数（成本）。 13
2 最优二叉搜索树
在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层，在检索过程中，每进行一次比较，就进入下面一层， • 对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加。对于成功的检索，比较的次数就是所在的层数加1。 • 对于不成功的检索，被检索的关键码属于那个外部结对于不成功的检索，点代表的可能关键码集合，点代表的可能关键码集合，比较次数就等于此外部结点的层数。点的层数。
6
2 最优二叉搜索树
2、最优二叉搜索树、
存在的两个问题 1 在实际中也会遇到不成功检索的情况。在实际中也会遇到不成功检索的情况。不成功检索的情况 2 在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。在实际中，不同标识符会有不同的检索概率。不同的检索概率 • 对给定的标识符集合，希望给出构造二分搜索对给定的标识符集合，树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优树的方法，使得所构造的二分搜索树具有最优的性能。的性能。

NOIP初赛复习4二叉树的遍历和性质

二叉树的遍历（图1）（图2）二叉树的遍历运算（递归定义）(1)先序遍历：根，左子树，右子树根在先例如图1：271653894；图2：ABCKDEHFJG(2)中序遍历：左子树，根，右子树根在中例如图1：175632849；图2：BKCAHEDHFG(3)后序遍历：左子树，右子树，根根在后例如图1：153674982；图2：KCBHEJGFDA题型一：已知其中一些遍历结果，求其他遍历结果题型二：统计ｎ个不同的点可以构造多少棵不同的二叉树?Catalan数=C(n,2*n)/(n+1)题型三：中缀表达式向前缀和后缀表达式的转化每日练习注：题1已知先序和中序，二叉树是唯一的。

题2已知后序和中序，二叉树是唯一的。

题3已知先序和后序，二叉树不是唯一的。

1、已知先序：1243576，中序：2417536，请画出整棵二叉树。

2、已知后序：4526731，中序：4257631，请画出整棵二叉树。

3、已知先序：123456，后序：325641，请画所有二叉树的情况。

4、如果只知道先序ａｂｃ，画出所有可能二叉树形状，并且计算多少种？5、如果只知道中序ａｂｃ，画出所有可能二叉树形状，并且计算多少种？6、如果只知道后序ａｂｃ，画出所有可能二叉树形状，并且计算多少种？往年真题1.一颗二叉树的前序遍历序列是ABCDEFG，后序遍历序列是CBFEGDA，则根结点的左子树的结点个数可能是（）。

A．0B．2C．4D．62.表达式a*(b+c)-d的后缀表达式是：A)abcd*+-B)abc+*d-C)abc*+d-D)-+*abcd3.二叉树T，已知其先序遍历是1243576（数字为节点编号，以下同），后序遍历是4275631，则该二叉树的中根遍历是（）A．4217536B．2417536C．4217563D．24157364.二叉树T，已知其先根遍历是1243576（数字为结点编号，以下同），中根遍历是2415736，则该二叉树的后根遍历是（）A.4257631B.4275631C.7425631D.42765315.已知7个节点的二叉树的先根遍历是1245637(数字为结点的编号，以下同),后根遍历是4652731,则该二叉树的可能的中根遍历是()A.4265173B.4256137C.4231567D.42561736.已知7个节点的二叉树的先根遍历是1245637（数字为节点的编号，以下同），中根遍历是4265173，则该二叉树的后根遍历是（）A．4652731B．4652137C．4231547D．46531 727.已知6个结点的二叉树的先根遍历是123456（数字为结点的编号，以下同），后根遍历是325641，则该二叉树的可能的中根遍历是（）A.321465B.321546C.231546D.231465二叉树的性质性质1：二叉树第i层上的结点数目最多为。

求解二叉树中的最大路径和算法 c语言

求解二叉树中的最大路径和算法 c语言二叉树是一种常见的数据结构，由节点组成，每个节点最多有两个子节点。

在二叉树中，每个节点都包含一个数值，并且根据特定的规则，可以通过连接节点的边来形成路径。

二叉树中的最大路径和是指一条路径上所有节点值的和最大的情况，该路径可以经过任意节点，但不能重复经过节点。

求解二叉树中的最大路径和是一个常见的算法问题，有助于我们在解决二叉树相关问题时提供思路和方法。

在解决这个问题之前，我们需要了解二叉树的基本操作和性质。

二叉树的基本操作包括插入节点、删除节点、查找节点等。

而二叉树的性质包括二叉搜索树性质、平衡二叉树性质等，这些性质对于解决二叉树中的最大路径和问题也有一定的指导意义。

接下来，我们来考虑如何求解二叉树中的最大路径和。

要解决这个问题，我们可以通过递归的方式来遍历二叉树的每个节点，并计算以每个节点为根节点的最大路径和。

具体的思路如下：1. 对于每个节点，计算以该节点为根节点的最大路径和。

可以使用递归的方式，从根节点开始，分别计算左子树和右子树的最大路径和，然后加上当前节点的值。

这里需要注意，如果左子树或右子树的最大路径和为负数，则应该将其忽略，即不加在路径和中。

2. 在计算过程中，维护一个全局变量maxPathSum，用于保存当前的最大路径和。

在递归的过程中不断更新maxPathSum的值。

递归结束后，maxPathSum中的值即为二叉树中的最大路径和。

3. 最后，返回maxPathSum的值即可。

以上就是求解二叉树中最大路径和的算法思路。

通过这个算法，我们可以找到二叉树中的一条路径，使得路径上所有节点值的和最大。

这个问题在实际应用中也有一些变种，比如可以限制路径的起始节点和结束节点等，在解决这些问题时，我们可以根据以上算法进行相应的修改和扩展。

总而言之，求解二叉树中的最大路径和是一个常见的算法问题，它不仅能够帮助我们理解二叉树的基本操作和性质，还能够提供一种解决类似问题的思路和方法。

NOIP普及组初赛完善题：看最近六年有无规律可循？

NOIP普及组初赛完善题：看最近六年有无规律可循？完善程序，每年两题，每题每空2-4分，共28分。

【解题步骤】1、仔细读题，尤其是题目给你的解题思路：解决什么问题？用的什么算法？输入输出是什么？……2、要知道变量的含义，也可通过变量单词的意思知道，比如sum 表示和，que表示队列等等。

3、在充分了解前两点的基础上，先根据自己的想法大致想想：如果让你实现程序，你会怎么做。

4、通读程序，理顺程序结构，千万不要因为程序很长而觉得气馁，有时程序越长，填空越简单。

5、按照程序执行的顺序做，遇到难的先放一边，继续往下做。

有些空格很简单，一下就能看出来的。

6、到这步为止，程序大概意图就知道了，然后就是填比较难的几格了。

这一点就靠你对程序的理解了。

7、填完了以后，再执行一遍程序，有样例就结合样例，没样例就自己造数据模拟。

【解题技巧】1、变量初始化：这个得结合后面的运算确定，不过有些也很简单，如sum=0之类的。

2、for循环初、终值：如果是嵌套的循环，可结合父循环或子循环确定。

3、更新最优解：比较或赋值。

4、要填的空格与某句对应，这样的例子在下面能找到很多。

NOIP2011-1.子矩阵给输入一个n1*m1 的矩阵a，和n2*m2的矩阵b ，问a 中是否存在子矩阵和b 相等。

若存在，输出所有子矩阵左上角的坐标:若不存在输出“There isno answer ”。

#include<iostream>using namespace std;const int SIZE = 50;int n1,m1,n2,m2,a[SIZE][SIZE],b[SIZE][SIZE];int main(){int i,j,k1,k2;bool good ,haveAns;cin>>n1>>m1;for(i=1;i<=n1;i++)for(j=1;j<=m1;j++)cin>>a[i][j];cin>>n2>>m2;for(i=1;i<=n2;i++)for(j=1;j<=m2;j++)cin>>b[i][j];haveAns=false;for(i=1;i<=n1-n2+1;i++)for(j=1;j<=m1-m2+1;j++){good=true;for(k1=1;k1<=n2;k1++)for(k2=1;k2<=m2;k2++){if(a[i+k1-1][j+k2-1]!=b[k1][k2])good=false;}if(good){cout<<i<<''<<j<<endl;haveAns=true;}}if(!haveAns)cout<<"Thereis no answer"<<endl;return 0;}NOIP2011-2. 大整数开方输入一个正整数n ( 1 ≤n≤10^100)，试用二分法计算它的平方根的整数部分。

森林、树、二叉树的性质与关系

森林、树、⼆叉树的性质与关系森林、树、⼆叉树的性质与关系这篇博客写的太累了。

本⽂中对于这部分的讲解没有提到的部分：对于⼆叉树的遍历：重点讲了⾮递归遍历的实现⽅式和代码（递归⽅法使⽤的相对较多，请直接参考博客代码）对于哈夫曼编码和线索⼆叉树的代码实现没有列出。

树我们对于树和⼆叉树这⼀部分的内容主要研究树的逻辑结构和存储结构，由于计算机的特殊性存储结构及⼆叉树的简单性，我们更主要讨论⼆叉树的逻辑结构和存储结构并对其进⾏实现（其中包含⼆叉树的⼀些重要性质），另外我们在研究这⼀类问题时，⾸先要考虑到树与森林之间的转换，以及树与⼆叉树之间的转换。

从⽽简化为最简单的⼆叉树问题。

知识体系结构图：树的定义：（采⽤递归⽅法去定义树）树：n（n≥0）个结点的有限集合。

当n＝0时，称为空树；任意⼀棵⾮空树满⾜以下条件：（1）有且仅有⼀个特定的称为根的结点；（2）当n＞1时，除根结点之外的其余结点被分成m（m>0）个互不相交的有限集合T1,T2,… ,Tm，其中每个集合⼜是⼀棵树，并称为这个根结点的⼦树。

（⽤图的定义法去描述树：连通⽽不含回路的⽆向图称为⽆向树，简称树，常⽤T表⽰树）树的基本术语：结点的度：结点所拥有的⼦树的个数。

树的度：树中各结点度的最⼤值。

叶⼦结点：度为0的结点，也称为终端结点。

分⽀结点：度不为0的结点，也称为⾮终端结点。

孩⼦、双亲：树中某结点⼦树的根结点称为这个结点的孩⼦结点，这个结点称为它孩⼦结点的双亲结点；兄弟：具有同⼀个双亲的孩⼦结点互称为兄弟。

祖先、⼦孙：在树中，如果有⼀条路径从结点x到结点y，那么x就称为y的祖先，⽽y称为x的⼦孙。

路径：如果树的结点序列n1, n2, …, nk有如下关系：结点ni是ni+1的双亲（1<=i<k），则把n1, n2, …, nk称为⼀条由n1⾄nk的路径；路径上经过的边的个数称为路径长度。

结点所在层数：根结点的层数为1；对其余任何结点，若某结点在第k层，则其孩⼦结点在第k+1层。

二叉堆详解

5．3 应用举例5．3．1 二叉堆(Binary Heap)——树的应用举例5．3．1．1应用堆(Heap)的意义在计算机科学应用中，我们经常会碰见这样一种情况，即需要在一组给定数据中找到满足某种条件下的最优数据，比如从一个整型数组中找到其最大值、最小值的问题。

这样问题的解决方法虽然并不困难，但是由于这种最基本的操作会在其它众多算法中被多次调用，所以如果能找到一种足够有效的算法，使得这种操作的时间复杂度尽可能的降低，那么必然会对提高一些算法的效率有所帮助。

对于解决这种问题，我们通常的做法是从这组数据的第一个元素开始进行扫描，逐个比较这组数据中的每一个元素，当我们完成对数据的扫描后，即可获得我们所要求得的结果。

但这样做的效率无疑是极其低下的，我们必须比较所有数据后才能得到我们想要的数据，时间复杂度为O(n)。

显然这种解决方案在很多情况下是很不现实的。

如果我们再进一步思考，可能会得到这样一种办法，我们可以先对所有数据进行排序，然后我们就可以在这组有序数据集中一下子找到我们所需要的数据。

但是在以后我们会学到，对一组数据进行排序，通常情况下最优时间复杂度也只能达到O(nlogn)的程度，所以实际上并没有起到多大的优化效果。

但是这种方法确可以给我们一些启发，在计算机应用中，我们实际上很少需要对一堆固定的数据进行查找。

多数情况下是这样的，我们所需要查找的数据集是在不断变化的，或者向其中添加一新些数据，或者从其中删掉一些已经不需要的数据，甚至只是改变其中某个元素的值。

如果我们在而每次数据发生变化时，花费较少的代价去维护这组数据，使其有序，而每次查找都只需从有序数据集中直接获取数据，那么我们的优化目的就达到了。

现在我们将要介绍的数据结构堆就是这样一种帮我们实现这种操作的利器。

在取得最优值时只需O(1)的时间复杂度，而在堆中进行插入、删除、修改操作时，也只需要O(logn)的时间复杂度。

5．3．1．2 二叉堆的定义堆是一种特殊的树形结构，其特点是根结点的值最小(最大)，且根结点的子树也为一个堆，称为最小堆(最大堆)，有时也称小根堆(大根堆)。

高中信息技术浙教版：41树与二叉树教学设计

难点：分析不同场景下，如何选择合适的数据结构优化问题解决方案。
（二）教学设想
1.采用情境导入法，引导学生从实际应用中发现树与二叉树的概念。例如，从组织结构、家族谱系等生活实例入手，让学生感知树与二叉树在描述层次关系方面的优势。
2.结合课本，采用任务驱动法，让学生在完成具体任务的过程中，逐步掌握树与二叉树的基本性质、操作和应用。例如，设计查找、排序等实际编程任务，让学生在实践中掌握知识。
3.作业完成后，进行自我检查，确保程序无误，并对程序进行适当注释。
4.教师将根据作业完成情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、编程规范、创新能力等方面。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.教学活动：通过展示现实生活中的树状结构，如公司的组织架构、图书馆的书籍分类等，引发学生对树与二叉树概念的兴趣。
2.提出问题：如何用一种数据结构来表示这些具有层次关系的信息？引导学生思考树与二叉树在描述层次关系方面的优势。
3.引入新课：介绍树与二叉树是计算机科学中一种重要的数据结构，它可以很好地表示具有层次关系的信息，广泛应用于数据库、操作系统、网络等领域。
1.采用直观、生动的教学手段，如动画演示、实物模型等，帮助学生建立对树与二叉树结构的直观认识。
以实例为基础，引导学生逐步掌握递归思想，鼓励他们通过实际操作和编程实践来加深理解。
3.加强算法分析的教学，注重培养学生的逻辑思维能力和算法优化意识。
4.结合实际应用场景，激发学生的学习兴趣，使他们能够将所学知识灵活应用于实际问题。
二、学情分析
在本章节的教学中，学生已经掌握了线性表、栈和队列等基本数据结构，并具备了一定的编程基础。在此基础上，他们对树与二叉树的学习将面临以下挑战：
1.抽象思维能力：树与二叉树的结构相对复杂，学生需要具备较强的抽象思维能力，才能理解并运用树与二叉树的相关概念和性质。

二叉树的复习

考点六：二叉树及其基本性质1）二叉树及其基本概念树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。

具有以下两个特点：①非空二叉树只有一个根结点；②每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树和右子树。

度：结点的左右子树的个数，每一个结点的度最大为2，即所有子树（左子树或右子树）也均为二叉树，在二叉树中，一个结点可以只有左子树而没有右子树，也可以只有右子树而没有左子树。

树的度即为二叉树中最大的度的数。

叶子结点：既没有左子树也没有右子树的结点。

例如，一个家族中的族谱关系如图1-1 所示：A 有后代B，C；B 有后代D，E；C 有后代F；典型的二叉树如图1-1 所示：1)二叉树基本性质二叉树具有以下几个性质：性质1：在二叉树的第k 层上，最多有2k-1（k≥1）个结点；性质2：深度为m 的二叉树最多有2m-1 个结点；性质3：在任意一棵二叉树中，度为0 的结点（即叶子结点）总是比度为 2 的结点多一个。

性质4：具有n 个结点的二叉树，其深度至少为［log2n］+1，其中［log2n］表示取log2n 的整数部分。

1）满二叉树与完全二叉树满二叉树：除最后一层外，每一层上的所有结点都有两个子结点完全二叉树：除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值；在最后一层上只缺少右边的若干结点。

2）二叉树的遍历二叉树的遍历：(1) 前序遍历（DLR），首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树。

例如，对图1-1 中的二叉树进行前序遍历的结果（或称为该二叉树的前序序列）为：A，B，D，E，C，F。

(2) 中序遍历（LDR），首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树；并且，在遍历左、右子树时，仍然先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树。

例如，对图1-1 中的二叉树进行中序遍历的结果（或称为该二叉树的中序序列）为：D，B，E，A，C，F。