第七章 相关与回归分析上课
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大学统计学原理经典课件第七章 相关与回归分析
y=f(x布在直线周围
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
x
相关关系与函数关系的联系
（1）都可用函数式加以描述，但表达式不
同； （2）函数有时也可能表现为相关关系； （3）相关分析有时需要利用函数关系数学 表达式来研究； （4）相关关系是相关分析的研究对象，函 数关系是相关分析的工具。
变量之间的关系
学历和收入之间的关系 广告投入与销售额之间的关系
第一节
相关分析的意义和任务
一. 相关关系的概念
二. 相关关系的种类 三. 相关分析的主要内容
一、相关关系的概念
函数关系 （确定性关系） ⒈ 出租汽车费用与行驶里程： 总费用=行驶里程 每公里单价
G KP
相关关系
（非确定性关系）
2 2 2 2 2
13 9145651.19 12827.5 7448 13 16073323.77 12827.5 13 5213898 7448
2
0.9978
人均国民收入与人均消费金额之间的相关系数为 0.9978，说明两者之间是高度线性相关的。
第三节 直线回归分析
2
2
或化简为
r
n x x n y y
2 2 2
n xy x y
2
简单相关系数的方向和程度的决定因素 ( x x )( y y ) 根据公式， r ( x x ) ( y y)
2 2
则说明是正相关； ( x x)( y y ) 0 ，则是负相 关； ( x x)( y y ) 0 ，则是零相关。
x
另一类是变量间不存在完全的确定性关系， 不能用精确的数学公式来表示，虽然这些变 量间存在着十分密切的关系，但不能由一个 或几个变量的值精确地求出另一个变量的值。 这些变量间的关系称为相关关系，把存在相 关关系的变量称为相关变量。
数据分析技术课件第7章 相关与回归
相关与回归
相关分析与回归分析都是研究变量之间相关关系的分析方法，两者之间既有联系也有区别。 首先，两者都是研究非确定性变量之间的相关关系，并能测度线性相关程度的大小。其次，两者之 间又有明显的区别。相关分析与回归分析在概念上有明显不同。相关分析是以测度两个变量之间的线性 关系程度为主要目的，而在回归分析中，我们并不主要对这种线性关系程度感兴趣，感兴趣的却是试图 根据其他变量的设定值来估计或预测某一变量的平均值。 例如在研究学生的数学课成绩和统计课成绩之间的相关关系时，相关分析的主要目的是分析学生的 数学成绩和统计学成绩之间的线性关系程度，而回归分析的主要目的是能否从一个学生的已知数学成绩， 去预测他的统计学平均成绩。 此外，在回归分析中，对因变量和自变量的处理方式存在着不对称性。因变量是统计的、随机的， 也就是它有一个概率分布。而自变量则被看作是在重复抽样中取固定值的。因此，我们假定学生的数学 成绩被固定在给定的水平上，而统计学成绩则是在这些水平上度量的。但在相关分析中，我们对称地对 待这两个变量，因变量和自变量之间不加区别。数学成绩与统计学成绩之间的相关就是统计学成绩与数 学成绩之间的相关。
相关系数
相关关系是一种非确定性的关系。自变量与因变量之间的相关关系虽然可以 通过绘制相关图的形式较为直观的展现出来，但是相关图缺乏一个定量的描述 从而无法准确告诉我们自变量与因变量之间具体相关到何种程度。为了能够更 加准确地描述自变量与因变量之间的线性相关程度，可以通过计算相关系数来 进行相关分析。
表7-15 某地区2012-2019年人均消费支出和人均纯收入数据表
年度 纯收入 消费支出
2012 2090.1 1617.2
2013 2161.1 1590.3
2014 2210.3 1577.4
《统计学原理与应用》课件第07章 相关与回归分析
74.4 172.0 248.0 418.0 575.0 805.2 972.0 1,280.0
104,214
4,544.6
统计学基础
第七章 相关与回归分析
根据计算结果可知：Βιβλιοθήκη x 36.4y 880
n8
x2 207.54
y2 104,214
xy 4,544.6
Fundamentals of Statistics
n x2 ( x)2 n y2 ( y)2
公式7—3
公式7—3是实际工作中使用较多的计算公式
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（四）相关系数的运用
（1）相关系数有正负号，分别表示正相关和负相关。
（2）相关系数的取值范围在绝对值的0 之1 间。其值大小 反映两变量之间相关的密切程度。
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的种类
3.相关关系按照相关的方向分为正相关和负相 关 正相关：是指一个变量的数量变动和另一个变 量的数量变动方向一致.
负相关：当一个变量的数量变动与另一个变量 的数量变动方向相反时,称为负相关.
Fundamentals of Statistics
统计学基础
统计学基础
第七章 相关与回归分析
二、相关关系的测定 （一）相关系数的含义：
相关系数是在直线相关的条件下，用来说明两个 变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。
Fundamentals of Statistics
统计学基础
第七章 相关与回归分析
（二）相关系数的作用
1.说明直线相关条件下,两变量的相关关系的密切程 度的高低. (见教材第159页说明)
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
统计学第7章相关与回归分析PPT课件
预测GDP增长
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
利用回归分析，基于历史GDP数据和其他经济指标，预测未来GDP 的增长趋势。
预测通货膨胀率
通过分析通货膨胀率与货币供应量、利率等经济指标的关系，利用回 归分析预测未来通货膨胀率的变化。
市场研究
消费者行为研究
通过回归分析研究消费者购买决策的影响因素， 如价格、品牌、广告等。
市场细分
利用回归分析对市场进行细分，识别不同消费者 群体的特征和需求。
线性回归模型假设因变量和自变量之间 存在一种线性关系，即当一个自变量增 加时，因变量也以一种可预测的方式增
加或减少。
参数估计
参数估计是用样本数据来估计线性回 归模型的参数β0, β1, ..., βp。
最小二乘法的结果是通过解线性方程 组得到的，该方程组包含n个方程（n 是样本数量）和p+1个未知数（p是 自变量的数量，加上截距项）。
回归模型的评估
残差分析
分析残差与自变量之间的关系， 判断模型的拟合程度和是否存在
异常值。
R方值
用于衡量模型解释因变量变异的 比例，值越接近于1表示模型拟
合越好。
F检验和t检验
用于检验回归系数是否显著，判 断自变量对因变量的影响是否显
著。
05 回归分析的应用
经济预测
预测股票市场走势
通过分析历史股票数据，利用回归分析建立模型，预测未来股票价 格的走势。
回归模型的评估是通过各种统计 量来检验模型的拟合优度和预测 能力。
诊断检验（如Durbin Watson检 验）可用于检查残差是否存在自 相关或其他异常值。
03 非线性回归分析
非线性回归模型
线性回归模型的局限性
线性回归模型假设因变量和自变量之间的关系是线性的，但在实 际应用中，这种关系可能并非总是成立。
统计学 第七章 相关回归分析PPT课件
• 二、相关系数的测定 • 三、等级相关系数的测定
一、相关关系的一般判断
1.定性分析——根据一定的经济理论 和实践经验的总结
防止虚假相关或伪相关!
2.相关表和相关图
（1）简单相关表
销售额与流通 费用相关表
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
二、相关系数的测定
相关系数是在直线相关条件下，表明两个现
象之间相关关系的方向和密切程度的综合性 指标。一般用符号r表示。
类型 ➢直线相关系数 ➢等级相关系数
1.直线相关系数的计算
（1）积差法
r
2 xy
x y
r——直线相关系数；
x ——变量数列x的标准差； y ——变量数列y的标准差；
2xy——变量数列x与y的协方差。
单变量分组 某市家庭收入与消费支出相关表
家庭月收入（元）
8000以上 7000～8000 6000～7000 5000～6000 4000～5000 3000～4000 2000～3000 1000～2000 1000以下
家庭户数（户） 3 3 6 9 8 34 20 11 6
家庭月平均支出（元） 3025 2820 2652 2486 2255 1960 1536 976 662
流通费用
30
散点图 20
销售额（万元） 10 16 32 40 74 120 197 246 345
流通费用（万元） 1.8 3.1 5.2 7.7 10.4 13.3 18.8 21.2 28.3
10
0 0
100
200
300
400
销售额
（2）分组相关表
适用场合：原始资料较多
一、相关关系的一般判断
1.定性分析——根据一定的经济理论 和实践经验的总结
防止虚假相关或伪相关!
2.相关表和相关图
（1）简单相关表
销售额与流通 费用相关表
年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006
二、相关系数的测定
相关系数是在直线相关条件下，表明两个现
象之间相关关系的方向和密切程度的综合性 指标。一般用符号r表示。
类型 ➢直线相关系数 ➢等级相关系数
1.直线相关系数的计算
（1）积差法
r
2 xy
x y
r——直线相关系数；
x ——变量数列x的标准差； y ——变量数列y的标准差；
2xy——变量数列x与y的协方差。
单变量分组 某市家庭收入与消费支出相关表
家庭月收入（元）
8000以上 7000～8000 6000～7000 5000～6000 4000～5000 3000～4000 2000～3000 1000～2000 1000以下
家庭户数（户） 3 3 6 9 8 34 20 11 6
家庭月平均支出（元） 3025 2820 2652 2486 2255 1960 1536 976 662
流通费用
30
散点图 20
销售额（万元） 10 16 32 40 74 120 197 246 345
流通费用（万元） 1.8 3.1 5.2 7.7 10.4 13.3 18.8 21.2 28.3
10
0 0
100
200
300
400
销售额
（2）分组相关表
适用场合：原始资料较多
(7)第7章相关与回归分析第一节(1)
516543.4
y2
0.81 1.21 23.04 10.24 60.84 7.29 2.56 156.25
1 6.76 0.09
16 0.64 12.25 104.04
9 0.04 0.16
1 46.24 134.56 2.56 1.44 51.84 10.24
660.1
统计学
r
n xy x y
17080.1
x2
4529.29 12387.69
29929 6528.64 39880.09 262.44 11534.76 34373.16 9235.21 5299.84 4121.64 17476.84 3433.96 30485.16 69432.25 6288.49 219.04 5402.25 610.09 19432.36 135571.24 9158.49 12012.16 38494.44 10444.84
统计学
（二）相关表
10家公司的年销售收入与广告支出原始数据
广告费
（万元）
33 80
年销售收入 12 26
（百万元）
58 40 30 72 33 56 65 90 14 13 12 22 12 14 20 30
6 - 14
统计学
（二）相关表
10家公司年销售收入与年广告费的相关表
广告费
（万元）
年销售收入
n
统计学
相关系数的计算
r
x x y y
2
2
x x y y
xy xy n
x2
y2
x 2
n
y 2
n
n xy x y
n x 2 x2 n y 2 y2
r
y2
0.81 1.21 23.04 10.24 60.84 7.29 2.56 156.25
1 6.76 0.09
16 0.64 12.25 104.04
9 0.04 0.16
1 46.24 134.56 2.56 1.44 51.84 10.24
660.1
统计学
r
n xy x y
17080.1
x2
4529.29 12387.69
29929 6528.64 39880.09 262.44 11534.76 34373.16 9235.21 5299.84 4121.64 17476.84 3433.96 30485.16 69432.25 6288.49 219.04 5402.25 610.09 19432.36 135571.24 9158.49 12012.16 38494.44 10444.84
统计学
（二）相关表
10家公司的年销售收入与广告支出原始数据
广告费
（万元）
33 80
年销售收入 12 26
（百万元）
58 40 30 72 33 56 65 90 14 13 12 22 12 14 20 30
6 - 14
统计学
（二）相关表
10家公司年销售收入与年广告费的相关表
广告费
（万元）
年销售收入
n
统计学
相关系数的计算
r
x x y y
2
2
x x y y
xy xy n
x2
y2
x 2
n
y 2
n
n xy x y
n x 2 x2 n y 2 y2
r
第七相关与回归分析优秀课件
析
表示为 y = p x (p 为单价)
第
一
圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = R2
节
相
关 企业的原材料消耗额(y)与产量(x1) 、单位产量消耗(x2) 、
基
原材料价格(x3)之间的关系可表示为y = x1 x2 x3
本
概
念
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与 回 归 分 析 第 一 节
若是根据样本数据计算的，则称为样本相关 系数，记为 r
第
七 章
相关关系的测度
相
（相关系数）
关
与 样本相关系数的计算公式:
回
归
分 析
r (x x)(y y)
第
(x x)2 (y y)2
一
节
相 或化简为: r
n xy x y
关 基
n x2 x2 n y2 y2
本
概
念
第 七
相关关系的测度
析
t 0.9987 13 2 64.9809
第
1 0.99872
一
节 2.根据显著性水平＝0.05，查t分布表得t(n-2)=2.201
相
关 基 本
由于t=64.9809>t(13-2)=2.201，拒绝H0，人均消费金
额与人均国民收入之间的相关关系显著
念
完全负线性相关
负线性相关
非线性相关
不相关
第
七 章
变量间的关系
相 关
（相关关系）
与
回
归
分
析
第 一 节 相 关 基 本 概 念
第 七
变量间的关系
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第七章 相关与回归分析
第一节 第二节 第三节 相关与回归分析的基本概念 相关分析 一元线性回归分析
实例1: 中国妇女生育水平的决定因素是什么? 妇女生育水平除了受计划生育政策影响以外，还可能 与社会、经济、文化等多种因素有关。 1. 影响中国妇女生育率变动的因素有哪些？ 2. 各种因素对生育率的作用方向和作用程度如何？ 3. 哪些因素是影响妇女生育率主要的决定性因素？ 4. 如何评价计划生育政策在生育水平变动中的作用？ 5. 计划生育政策与经济因素比较,什么是影响生育率的决定 因素？ 6. 如果某些地区的计划生育政策及社会、经济、文化 等因素发生重大变化，预期对这些地区的妇女生育 水平会产生怎样的影响？
第二节 相关分析
3.判断标准 给定显著性水平α ，查自由度为 n-2 的临 界值tα /2 ，若|t|≥tα /2 ，表明相关系数 r 在 统计上是显著的，应否定ρ =0而接受ρ ≠0的假 设；反之，若|t|＜tα /2 ，应接受ρ =0的假设。
第三节 一元线性回归分析
一、总体回归函数与样本回归函数 二、回归系数的估计 三、一元线性回归模型的预测
如果其函数形式是只有一个自变量的线性函数,如 E(Y|Xi)=α +β Xi,称为一元线性回归函数，也称为 简单线性回归函数。
（四）一元线性回归函数
第三节 一元线性回归分析
（五）总体回归函数（PRF）
1.概念：将总体因变量Y的条件均值表现为自变量X 的某种函数，这个函数称为总体回归函数（简记为 PRF）。 2.表现形式： （1）条件均值表现形式
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 2 4 6 8 10
第一节 相关与回归分析的基本概念
（三）从变量相关关系变化的方向看 正相关——变量同方向变化 A 同增同减 (A) 负相关——变量反方向变化 一增一减 (B) B （四）从变量相关的程度看 完全相关 (B) 不相关 (C) C 不完全相关 (A)
第三节 一元线性回归分析
（八）样本回归函数与总体回归函数的区别 1.总体回归函数虽然未知，但它是确定的；总体回 归线只有一条 样本回归线随抽样波动而变化，可以有许多条。 2.样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总 体回归线的近似表现。 3.总体回归函数的参数虽未知，但是确定的常数； 样本回归函数的系数可估计，但是随抽样而变化 的随机变量。 4.总体回归函数中的ui是不可直接观测的； 而样本回归函数中的ei是只要估计出样本回归函数 的系数就可以计算的数值。
实例2: 全球吃死的人比饿死的人多?
据世界卫生组织统计，全球肥胖症患者达3 亿人，其中儿童占2200万人，11亿人体重过重。 肥胖症和体重超常早已不是发达国家的“专利”， 已遍及五大洲。目前，全球因”吃”致病乃至死 亡的人数已高于因饥饿死亡的人数。
(引自《光明日报》刘军/文）
问题: 肥胖症和体重超常与死亡人数真有显著的 数量关系吗? 这些类型的问题可以运用相关分析与回归分析的 方法去解决。
-17.920119 0.09552685
第三节 一元线性回归分析
二、回归系数的估计
（一）回归系数估计的思想： 1.为什么只能对未知参数作估计? 参数是未知的、不可直接观测的、不能精确计算的，能 够得到的只是变量的样本观测值 2. 结论 : 只能通过变量样本观测值选择适当方法去近似地 估计回归系数。 3.前提: u是随机变量其分布性质不确定，必须作某些假 定，其估计才有良好性质，其检验才可进行。 4.原则: 使参数估计值“尽可能地接近”总体参数真实值
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、变量间的相互关系 二、相关关系的类型 三、相关分析与回归分析
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、变量间的相互关系
（一）确定性的函数关系 Y =f(X)
（二）不确定性的统计关系—相关关系
Y = f（ X ） + ε
（三）没有关系
(ε为随机变量)
35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 X 20 30
或者
第三节 一元线性回归分析
（七）样本回归函数与总体回归函数的联系 1.样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函 数形式一致 。
2. 3.
是对总体回归函数参数的估计。 是对总体条件期望E(Y|Xi)的估计
4.残差 e 在概念上类似总体回归函数中的随机误差u。 （具体见书上图形） 5.回归分析的目的： 用样本回归函数去估计总体回归函数。
第一节 相关与回归分析的基本概念
（三）相关分析与回归分析的联系
1.共同的研究对象：都是对变量间相关关系的分 析 2.只有当变量间存在相关关系时，用回归分析去 寻求相关的具体数学形式才有实际意义 3.相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度， 要确定变量间相关的具体数学形式依赖于回归 分析
第二节 相关分析
总 体
样 本
自变量固定值
第一节 相关与回归分析的基本概念
（二）相关分析和回归分析的区别 1、研究目的：
相关分析是用一定的数量指标（相关系数）度 量变量间相互联系的方向和程度；回归分析却 是要寻求变量间联系的具体数学形式，是要根 据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。
2、变量的处理：
⑴在相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的 划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析 中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的， 对变量进行自变量和因变量的划分。因此，在回归分 析中，变量之间的关系是不对等的。 ⑵在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在 回归分析中，自变量是给定的非随机变量，因变量才 是随机的，因变量是具有一定概率分布的随机变量。 即将自变量的给定值代入回归方程后，所得到的因变 量的估计值不是惟一确定的，而会表现出一定的随机 波动性。
变量间关系的图形描述：
Y
坐标图(散点图)
第一节 相关与回归分析的基本概念 二、相关关系的类型
（一）从涉及的变量数量看 单相关 复相关 偏相关 （二）从变量相关关系的表现形式看 线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
第二节 相关分析
第二节 相关分析
2．相关图 相关图又称散点图，它是用直角坐标系的x轴 代表一个变量，y轴代表另一个变量，将两个 变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出 来，用以表明相关点分布状况的图形。 根据表7–1的资料可以绘制相关图如图7–1。
(万元)
70 60 50 40 30 20 10 0 0 20 40 年广告费投入 60 80
假定4：随机扰动ui与自变量Xi不相关。
Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)][Xi-E(Xi)]=0
假定5：正态性假定ui ～N(0,σ2)
第三节 一元线性回归分析
（三）回归系数的估计：普通最小二乘法（OLS） 1.基本思想：
希望所估计的 偏离实际观测值Yi的残差ei越小越好。 ^ 2 可以取残差平方和∑ei 作为衡量 与Yi 偏离程度的标准， Yi 即最小二乘准则。
一、相关关系的描述 1．相关表
相关表是一种统计表。它是直接根据 现象之间的原始资料，将一变量的若干变 量值按从小到大的顺序排列，并将另一变 量的值与之对应排列形成的统计表。
第二节 相关分析
例7–1 某财务软件公司在全国有许多代理商， 为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额 的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观 察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数 据，并编制成相关表，见表7–1。
月均销售额
(万元)
第二节 相关分析
二、相关系数 （一）总体相关系数
1.对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程 度的总体相关系数为：
cov(X , Y ) var(X ) var( Y)
总体相关系数反映总体两个变量X和Y的线性相关程度。 2. 特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定的 总体相关系数是客观存在的特定数值。
rXY
第二节 相关分析
（二）样本相关系数
1.通过X和Y 的样本观测值去估计样本相关系数 变量X和Y的样本相关系数通常用rXY 表示
2.特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机 样本的观测值计算出来的，是对总体相关系数的估 计，它是个随机变量。
例7-2某地高校教育经费（x）与高校学生人数 （y）连续六年的统计资料如下表：
第三节 一元线性回归分析
一、总体回归函数与样本回归函数 （一） Y 的条件分布 （二）回归线
Y 在 X 取某固定值条件下的分布。
对于X 的每一个取值，都有Y 的条件期望与之对应， 在坐标图上Y 的条件期望的点随X 而变化的轨迹所 形成的直线或曲线，称为回归线。
（三）回归函数
如果把Y 的条件期望E(Y|Xi)表示为X 的某种函数： E(Y|Xi)=f(Xi) , 这个函数称为回归函数。
第三节 一元线性回归分析
（二）一元线性回归的基本假定
假定1：零均值假定。E(ui|Xi) = 0
假定2：同方差假定。
Var(ui|Xi)=E[ui
-E(ui|Xi)]2=E(ui2)=σ2
假定3：无自相关假定。
Cov(ui ,uj)=E[ui -E(ui)][uj -
E(uj)]=E(ui ,uj)=0
第一节 相关与回归分析的基本概念
2、回归分析 1、回归的古典意义： 高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系: 无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的 趋势
第一节 相关与回归分析的基本概念
（2）回归的现代意义
回归分析：关于一个变量对另一个或另外多个 变量依存关系的研究，用适当的数学模型近似 地表达或估计变量之间的平均变化关系。 (3)回归的目的（实质）： 由固定的自变量去估计因变量的平均值
第一节 第二节 第三节 相关与回归分析的基本概念 相关分析 一元线性回归分析
实例1: 中国妇女生育水平的决定因素是什么? 妇女生育水平除了受计划生育政策影响以外，还可能 与社会、经济、文化等多种因素有关。 1. 影响中国妇女生育率变动的因素有哪些？ 2. 各种因素对生育率的作用方向和作用程度如何？ 3. 哪些因素是影响妇女生育率主要的决定性因素？ 4. 如何评价计划生育政策在生育水平变动中的作用？ 5. 计划生育政策与经济因素比较,什么是影响生育率的决定 因素？ 6. 如果某些地区的计划生育政策及社会、经济、文化 等因素发生重大变化，预期对这些地区的妇女生育 水平会产生怎样的影响？
第二节 相关分析
3.判断标准 给定显著性水平α ，查自由度为 n-2 的临 界值tα /2 ，若|t|≥tα /2 ，表明相关系数 r 在 统计上是显著的，应否定ρ =0而接受ρ ≠0的假 设；反之，若|t|＜tα /2 ，应接受ρ =0的假设。
第三节 一元线性回归分析
一、总体回归函数与样本回归函数 二、回归系数的估计 三、一元线性回归模型的预测
如果其函数形式是只有一个自变量的线性函数,如 E(Y|Xi)=α +β Xi,称为一元线性回归函数，也称为 简单线性回归函数。
（四）一元线性回归函数
第三节 一元线性回归分析
（五）总体回归函数（PRF）
1.概念：将总体因变量Y的条件均值表现为自变量X 的某种函数，这个函数称为总体回归函数（简记为 PRF）。 2.表现形式： （1）条件均值表现形式
11.2 11 10.8 10.6 10.4 10.2 10 0 2 4 6 8 10
第一节 相关与回归分析的基本概念
（三）从变量相关关系变化的方向看 正相关——变量同方向变化 A 同增同减 (A) 负相关——变量反方向变化 一增一减 (B) B （四）从变量相关的程度看 完全相关 (B) 不相关 (C) C 不完全相关 (A)
第三节 一元线性回归分析
（八）样本回归函数与总体回归函数的区别 1.总体回归函数虽然未知，但它是确定的；总体回 归线只有一条 样本回归线随抽样波动而变化，可以有许多条。 2.样本回归线还不是总体回归线，至多只是未知总 体回归线的近似表现。 3.总体回归函数的参数虽未知，但是确定的常数； 样本回归函数的系数可估计，但是随抽样而变化 的随机变量。 4.总体回归函数中的ui是不可直接观测的； 而样本回归函数中的ei是只要估计出样本回归函数 的系数就可以计算的数值。
实例2: 全球吃死的人比饿死的人多?
据世界卫生组织统计，全球肥胖症患者达3 亿人，其中儿童占2200万人，11亿人体重过重。 肥胖症和体重超常早已不是发达国家的“专利”， 已遍及五大洲。目前，全球因”吃”致病乃至死 亡的人数已高于因饥饿死亡的人数。
(引自《光明日报》刘军/文）
问题: 肥胖症和体重超常与死亡人数真有显著的 数量关系吗? 这些类型的问题可以运用相关分析与回归分析的 方法去解决。
-17.920119 0.09552685
第三节 一元线性回归分析
二、回归系数的估计
（一）回归系数估计的思想： 1.为什么只能对未知参数作估计? 参数是未知的、不可直接观测的、不能精确计算的，能 够得到的只是变量的样本观测值 2. 结论 : 只能通过变量样本观测值选择适当方法去近似地 估计回归系数。 3.前提: u是随机变量其分布性质不确定，必须作某些假 定，其估计才有良好性质，其检验才可进行。 4.原则: 使参数估计值“尽可能地接近”总体参数真实值
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、变量间的相互关系 二、相关关系的类型 三、相关分析与回归分析
第一节 相关与回归分析的基本概念
一、变量间的相互关系
（一）确定性的函数关系 Y =f(X)
（二）不确定性的统计关系—相关关系
Y = f（ X ） + ε
（三）没有关系
(ε为随机变量)
35 30 25 20 15 10 5 0 0 10 X 20 30
或者
第三节 一元线性回归分析
（七）样本回归函数与总体回归函数的联系 1.样本回归函数的函数形式应与设定的总体回归函数的函 数形式一致 。
2. 3.
是对总体回归函数参数的估计。 是对总体条件期望E(Y|Xi)的估计
4.残差 e 在概念上类似总体回归函数中的随机误差u。 （具体见书上图形） 5.回归分析的目的： 用样本回归函数去估计总体回归函数。
第一节 相关与回归分析的基本概念
（三）相关分析与回归分析的联系
1.共同的研究对象：都是对变量间相关关系的分 析 2.只有当变量间存在相关关系时，用回归分析去 寻求相关的具体数学形式才有实际意义 3.相关分析只表明变量间相关关系的性质和程度， 要确定变量间相关的具体数学形式依赖于回归 分析
第二节 相关分析
总 体
样 本
自变量固定值
第一节 相关与回归分析的基本概念
（二）相关分析和回归分析的区别 1、研究目的：
相关分析是用一定的数量指标（相关系数）度 量变量间相互联系的方向和程度；回归分析却 是要寻求变量间联系的具体数学形式，是要根 据自变量的固定值去估计和预测因变量的值。
2、变量的处理：
⑴在相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的 划分问题，变量之间的关系是对等的；而在回归分析 中，则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的， 对变量进行自变量和因变量的划分。因此，在回归分 析中，变量之间的关系是不对等的。 ⑵在相关分析中所有的变量都必须是随机变量；而在 回归分析中，自变量是给定的非随机变量，因变量才 是随机的，因变量是具有一定概率分布的随机变量。 即将自变量的给定值代入回归方程后，所得到的因变 量的估计值不是惟一确定的，而会表现出一定的随机 波动性。
变量间关系的图形描述：
Y
坐标图(散点图)
第一节 相关与回归分析的基本概念 二、相关关系的类型
（一）从涉及的变量数量看 单相关 复相关 偏相关 （二）从变量相关关系的表现形式看 线性相关——散点图接近一条直线(左图) 非线性相关——散点图接近一条曲线(右图)
25 20 15 10 5 0 0 2 4 6 8 10 12
第二节 相关分析
第二节 相关分析
2．相关图 相关图又称散点图，它是用直角坐标系的x轴 代表一个变量，y轴代表另一个变量，将两个 变量间相对应的变量值用坐标点的形式描绘出 来，用以表明相关点分布状况的图形。 根据表7–1的资料可以绘制相关图如图7–1。
(万元)
70 60 50 40 30 20 10 0 0 20 40 年广告费投入 60 80
假定4：随机扰动ui与自变量Xi不相关。
Cov(ui,Xi)=E[ui-E(ui)][Xi-E(Xi)]=0
假定5：正态性假定ui ～N(0,σ2)
第三节 一元线性回归分析
（三）回归系数的估计：普通最小二乘法（OLS） 1.基本思想：
希望所估计的 偏离实际观测值Yi的残差ei越小越好。 ^ 2 可以取残差平方和∑ei 作为衡量 与Yi 偏离程度的标准， Yi 即最小二乘准则。
一、相关关系的描述 1．相关表
相关表是一种统计表。它是直接根据 现象之间的原始资料，将一变量的若干变 量值按从小到大的顺序排列，并将另一变 量的值与之对应排列形成的统计表。
第二节 相关分析
例7–1 某财务软件公司在全国有许多代理商， 为研究它的财务软件产品的广告投入与销售额 的关系，统计人员随机选择10家代理商进行观 察，搜集到年广告投入费和月平均销售额的数 据，并编制成相关表，见表7–1。
月均销售额
(万元)
第二节 相关分析
二、相关系数 （一）总体相关系数
1.对于所研究的总体，表示两个相互联系变量相关程 度的总体相关系数为：
cov(X , Y ) var(X ) var( Y)
总体相关系数反映总体两个变量X和Y的线性相关程度。 2. 特点：对于特定的总体来说，X和Y的数值是既定的 总体相关系数是客观存在的特定数值。
rXY
第二节 相关分析
（二）样本相关系数
1.通过X和Y 的样本观测值去估计样本相关系数 变量X和Y的样本相关系数通常用rXY 表示
2.特点：样本相关系数是根据从总体中抽取的随机 样本的观测值计算出来的，是对总体相关系数的估 计，它是个随机变量。
例7-2某地高校教育经费（x）与高校学生人数 （y）连续六年的统计资料如下表：
第三节 一元线性回归分析
一、总体回归函数与样本回归函数 （一） Y 的条件分布 （二）回归线
Y 在 X 取某固定值条件下的分布。
对于X 的每一个取值，都有Y 的条件期望与之对应， 在坐标图上Y 的条件期望的点随X 而变化的轨迹所 形成的直线或曲线，称为回归线。
（三）回归函数
如果把Y 的条件期望E(Y|Xi)表示为X 的某种函数： E(Y|Xi)=f(Xi) , 这个函数称为回归函数。
第三节 一元线性回归分析
（二）一元线性回归的基本假定
假定1：零均值假定。E(ui|Xi) = 0
假定2：同方差假定。
Var(ui|Xi)=E[ui
-E(ui|Xi)]2=E(ui2)=σ2
假定3：无自相关假定。
Cov(ui ,uj)=E[ui -E(ui)][uj -
E(uj)]=E(ui ,uj)=0
第一节 相关与回归分析的基本概念
2、回归分析 1、回归的古典意义： 高尔顿遗传学的回归概念 父母身高与子女身高的关系: 无论高个子或低个子的子女 都有向人的平均身高回归的 趋势
第一节 相关与回归分析的基本概念
（2）回归的现代意义
回归分析：关于一个变量对另一个或另外多个 变量依存关系的研究，用适当的数学模型近似 地表达或估计变量之间的平均变化关系。 (3)回归的目的（实质）： 由固定的自变量去估计因变量的平均值