第一类对面积的曲面积分

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对面积的曲面积分

3
3 : z 0,4 : x y x z 1
4
1
y
于是 Ò xyzdS xyzdS
1 2 3 4
由于在 1 : x 0, 2 : y 0,3 : z 0上,
f ( x, y, z) xyz 0
所以
xyzdS 0
1 2 3 1
x
z 1
2 1
O Dxy
3
4
1
y
在4上：z 1 x y,
）
r2 n (zx
,
zy
d
,1),
Q cos
1
, dS
1
z
2 x
z
2 y
1
z
2 x
z
2 y
d
的面积元素：
dS
1
z
2 x
z
2 y
d
计算对面积的曲面积分
——化为二重积分向xoy面投影Dxy
f ( x, y, z)dS : z z(x, y)
z z(x, y)
(x, y, z)在上变化
f ( x, y, z) dS : x x( y, z)
f x y, z , y, z
1
x
2 y
xz2 d
D yz
f ( x, y, z) dS
: y y(x, z)
f x, y x, z , z
1
y
2 x
yz2 d
Dxz
例1 计算 1 dS，其中：x2 y2 z2 a2
且在第一卦限的部分.
解由于不能表示成 z=z(x,y) 的形式,
现写成 x R2 y2
z
这样就需投影到yoz面上， H

曲线曲面积分公式总结

曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。

- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。

2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。

- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。

其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。

这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。

对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。

对面积的曲面积分公式

对面积的曲面积分公式1. 对面积的曲面积分的概念。

- 设曲面∑是光滑的，函数f(x,y,z)在∑上有界。

把∑任意分成n小块Δ S_i（Δ S_i同时也表示第i小块曲面的面积），设(ξ_i,eta_i,ζ_i)是Δ S_i上任意取定的一点，作乘积f(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i，并作和∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

- 如果当各小块曲面的直径的最大值λto0时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面∑上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作∬_∑f(x,y,z)dS=limlimits_λto0∑_i = 1^nf(ξ_i,eta_i,ζ_i)Δ S_i。

2. 对面积的曲面积分的计算方法。

- 一、利用曲面的方程化为二重积分计算。

- 设曲面∑的方程为z = z(x,y)，∑在xOy面上的投影区域为D_xy，函数z(x,y)在D_xy上具有连续偏导数，被积函数f(x,y,z)在∑上连续，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{xy}f[x,y,z(x,y)]√(1 + z_x)^2+z_{y^2}dxdy。

- 类似地，如果曲面∑的方程为x = x(y,z)，∑在yOz面上的投影区域为D_yz，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{yz}f[x(y,z),y,z]√(1 + x_y)^2+x_{z^2}dydz。

- 如果曲面∑的方程为y = y(z,x)，∑在zOx面上的投影区域为D_zx，则∬_∑f(x,y,z)dS=∬_D_{zx}f[x,y(z,x),z]√(1 + y_z)^2+y_{x^2}dzdx。

- 二、利用曲面的参数方程计算（略高于一般要求）- 设曲面∑的参数方程为<=ft{begin{array}{l}x = x(u,v) y = y(u,v) z =z(u,v)end{array}right.，(u,v)∈ D，且x(u,v),y(u,v),z(u,v)在D上具有连续偏导数，(∂(x,y))/(∂(u,v)),(∂(y,z))/(∂(u,v)),(∂(z,x))/(∂(u,v))不全为零，则dS=√(EG - F^2)dudv，其中E=x_u^2+y_u^2+z_u^2，F = x_ux_v+y_uy_v+z_uz_v，G=x_v^2+y_v^2+z_v^2。

高等数学第十章曲线积分与曲面积分(考研辅导班内部资料)

第十章曲线积分与曲面积分曲线积分一基本概念定义1 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d lim(,)nkkkL AB T k f x y s f sλξη→==∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()()01(,,)d lim(,,)nkkkk L AB T k f x y z s f s λξηζ→==∆∑⎰其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段曲线弧长的最大值，(,)k k ξη或(,,)k k k ξηζ是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第一类曲线积分表示物质曲线L 的质量，其中被积函数(,)f x y 或(,,)f x y z 表示曲线的线密度。

定义2 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）（1）平面曲线()L AB 的积分：()()01(,)d (,)d lim[(,)(,)]nkkkk k k L AB T k P x y x Q x y y f xf y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰（2）空间曲线()L AB 的积分：()(,,)d (,,)d (,,)d L AB P x y z x Q x y z y R x y z z ++⎰()01lim[(,,)(,,)(,,)]nkkkk k k k k k k k k T k f x f y f z λξηζξηζξηζ→==∆+∆+∆∑其中()T λ表示分割曲线()L AB 的分法T 的细度，即n 段的最大弧长，(,)k k ξη是第k 段弧上的任意一点。

物理意义：第二类曲线积分表示变力F 沿曲线L 所作的功，被积函数(,),(,)P x y Q x y 或(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 表示力F 在各坐标轴上的分量。

二基本结论定理1 （第一类曲线积分的性质）（1）无向性()()(,)d (,)d L AB L BA f x y s f x y s =⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLk f x y s k f x y s =⎰⎰；(2)[(,)(,)]d (,)d (,)d LLLf x yg x y s f x y s g x y s ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y s f x y s f x y s =+⎰⎰⎰．（4）弧长公式d Ls L =⎰(L 表示曲线L 的弧长)．（5）恒等变换积函数可用积分曲线方程作变换．（6）奇偶性与对称性如果积分弧段()L AB 关于y 轴对称，()(,)d L AB f x y s ⎰存在，则()()0,(,)(,)d 2(,)d (,)L AB L OB f x y x f x y s f x y s f x y x ⎧⎪=⎨⎪⎩⎰⎰关于是奇函数,，关于是偶函数.其中O 点是曲线弧段()L AB 与y 轴的交点．定理2 （第二类曲线积分的性质）（1）有向性()()(,)d (,)d L AB L BA P x y x P x y x =-⎰⎰．（2）线性性质 (1)(,)d (,)d LLkf x y x k f x y x =⎰⎰；(2) [(,)(,)]d (,)d (,)d L L Lf x yg x y x f x y x g x y x ±=±⎰⎰⎰．（3）路径可加性曲线L 分成两段1L 和2L （不重叠），则12(,)d (,)d (,)d LL L f x y x f x y x f x y x =+⎰⎰⎰．定理3 （第一类曲线积分与第二类曲线积分的关系）()()d d d d d d d d d d L AB L AB xy z P x Q y R z P Q R s ss s ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭⎰⎰()(cos cos cos )d L AB P Q R s αβγ=++⎰()d L AB =⋅⎰F s其中cos ,cos ,cos αβγ是曲线AB 上的点的切线的方向余弦，且d cos d ,d cos d ,d cos d x s y s z s αβγ===一般地，积分曲线的方向余弦是变量。

曲面积分

4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性质;
4
1 ds , 其中是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,

10.4第一类曲面积分

dz
o x
y
例8. 求椭圆柱面
位于 xoy 面上方及平面
x 2 a2 x 2 + a 2 dx = x + a 2 + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2
z = y 下方那部分柱面 Σ 的侧面积 S . 解: S = ∫∫ dS ∫
Σ
取dS = z ds
z
o x
= ∫ z ds = ∫ y ds
+ ∫ d z∫
0
1
1z
0 1z
1 dx (1+ x)2 1 dy 2 (1+ y)
+ ∫ d z∫
0
1
0
3 3 = + ( 3 1) ln 2 2
3. 计算 ∫∫ ( x + y + z )ds , 其中 Σ 为平面
y + z = 5 被柱面 x + y = 25 所截得的部分所截得的部分.
2 2
2
π
π
例6. 计算
其中 ∑ 是球面 x2 + y2
+ z = 2(x + y + z).
2
解: 显然球心为 (1 1 1) , 半径为 3 ,, 利用对称性可知
2 4 2 2 2 ∴ I = ∫∫ (x + y + z ) d S = ∫∫ (x + y + z) d S 3 ∑ 3 ∑ ∫∫∑ xd S = ∫∫∑ yd S = ∫∫∑ zd S 利用重心公式
= 4∫∫ xd S = 4 x ∫∫ d S
∑ ∑
∫∫∑ xd S x= ∫∫∑ d S

对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分

对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分曲面积分是多元函数的积分扩展，用于计算曲面上某个量的总和。

它分为对面积和对坐标的曲面积分。

对面积的曲面积分
对面积的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。

每个小面元的贡献取决于曲面上某个标量场的值以及该面元的面积。

计算对面积的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。

2.计算每个小面元的面积。

3.计算每个小面元上标量场的值。

4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。

对坐标的曲面积分
对坐标的曲面积分是通过将曲面分割成小面元，并对每个小面元的贡献进行求和得到的。

每个小面元的贡献取决于曲面上某个向量场的分量以及该面元的面积。

计算对坐标的曲面积分的一般步骤如下：
1.将曲面分割成小面元，可以使用直角坐标系、极坐标系或其他合适的坐标
系。

2.计算每个小面元的面积。

3.计算每个小面元上向量场的分量。

4.将每个小面元的贡献相加，并对所有小面元求和。

通过对面积的曲面积分和对坐标的曲面积分，我们可以计算曲面上各种量的总和，这在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。

曲面积分1

Dxz
(3) 若曲面Σ : x x( y, z ) 则
f ( x , y, z )dS

2 f [ x( y, z ) , y , z ] 1 x 2 xz dydz y
D yz
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
例求 x 2dS , : x 2 y 2 z 2 a 2
【思考】两类曲面积分的定义一个与的方向无关, 一个与
的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ?
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4. 常用计算公式及方法面积分第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 代入曲面方程 (方程不同时，分片积分) 第一类：面积投影第二类：有向投影 (4) 确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面转化二重积分
: z x 2 y 2 , dS 2d 积分曲面
zdS D

x y
2
2
2d
Dxy : x y 2 x
2 2
极坐标
xy
2 d
π 2 0
π 2 π 2
2 cos
0
d
16 2 cos 3 d 3
16 2 32 2 2. 3 3 9
1.对面积的曲面积分
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ : z z( x , y )
则

曲面的面积元素
2 dS 1 z x z 2 dxdy y
f ( x , y, z )dS 将曲面方程代入被积函数

第四节第一类曲面积分

)
（1）确定的方程: z z(x, y);
（2）确定在xoy 面上的投影区域 Dx y
（3）将曲面方程 z z(x, y) 及
dS
1
zx2
(
x,
y)
z
2 y
(
x,
y)
d
xd
y
代入 f (x, y, z) d S中即可。一投、二代、三换
说明: 1) 如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
1
z
2 x
z
2 y
d
xd
y
2d xd y,
Dx2y {( x, y) | x2 y2 1}, xdS x 2d xd y 0,
2
Dx2 y
例5. 计算 xdS , 其中是圆柱面 x2 y2 1,
平面 z x 2 及 z 0 所围成的空间立体的表面.
解: xdS xdS xdS
f (x, y, z) d S f [x( y, z), y, z] 1 xy2 xz2 d y d z
或
Dyz
y y(x, z), (x, z) Dxz
f (x, y, z) d S f [x, y(x, z), z] 1 yx2 yz2 d x d z
Dxz
2）若是 xoy 面上的一个闭区域 D 时，则
: x2 y2 z2 a2
2
d
1 2
2a
0
0
a r 2 r dr a2 r2
1 a4 (8 5
6
2)
思考: 若例3 中被积函数改为
计算结果如何 ?
例4. 计算| xyz | d S 为抛物面 z x2 y2（ 0 z 1）.

高数对面积的曲面积分讲解

如 : z z( x, y) ，则
dS
1

z
2 x

z
2 y
dxdy
“三投影”认清在二重积分是在区域上
xoy 平面上的投影区域 Dxy 进行的。
Dxy ，
10
2)如果曲面方程为 x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y( x, z), ( x, z) Dxz
21
例5 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f ( x, y, z)dS
解锥面 z x2 y2 与上半球面 z
x o Dx y y
a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的
投影域为 Dx y ( x, y)

1

x x2
y2
2

y x2
y2
2
O

dxdy

a
2a x
2dxdy
I ( xy y x2 y2 x x2 y2 ) 2dxdy
Dxy
20
y
0 2 x x2 y2dxdy
Dxy

2a cos

2
两片, 则计算较繁。解取曲面面积元素
则
I

0H
2
R2
R dz z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
28
例11 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
z = y 下方那部分柱面的侧面积 S 。

10考研数学大纲知识点解析(第十章曲线曲面积分(数学一)

.
（3）第一类曲线积分表示的物理意义是曲线的质量，故与方向无关.
【第一类曲线积分的性质】
（1）（2）（3）（4）（5）设在上
.
.
其中
没有公共部分．
. 其中表示的反方向的路径.
，则
.
特别的,
.
【第一类曲线积分的计算】设为光滑曲线，（1）若由参数方程
在上连续．给出，则
其中
在
上有一阶连续导数，且
（3）若积分曲线关于
轴对称，则
【例题】（89 年，数学一/数学二）
设平面曲线为下半圆
，则曲线积分
. ．
【答案】．【解析 1】参数法：设的参数方程为
【解析 2】将积分曲线的方程
，即
于是．
代入被积函数，得．
【例题】（98 年，数学一）
设为椭圆
，其周长记为 , 则
．
【答案】．
【解析】将的方程
函数
在空间曲线上的第一类曲线积分可类似定义为
．【空间中第一类曲线积分的计算】
若空间曲线的参数方程为
则
.
【例题】计算曲线积分上相应于从到的一段弧. 【解析】原式
，其中为螺旋线
.
【第二类曲线积分的概念（对坐标的曲线积分）】设为面内一条有向光滑曲线段，
函数
在有界，则它们在上的第二类曲线积分定义为
由解得
得到的微分方程，带入
，得
，
所以
，于是
．
【综合题】（06 年，数学一）设在上半平面偏导数，且对任意的都有向简单闭曲线，都有
内，函数
具有连续
．证明：对内的任意分段光滑的有

一,对面积的曲面积分的概念与性质

f(x ,y ,z )d S f[x ,y ,z (x ,y )1 ] zx 2 (x ,y ) zy 2 (x ,y )dx ． d
S
D x y
讨论：如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么
f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?
例 1 计算曲面积分 1 d ，其 S 中 S 是球面 x 2 y 2 z 2 a 2 被平面 S z zh(0<h<a)截出的顶部．
Mf(x,y,z)dS S
另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲面S的质量M也可用元素法来求： S上任意点(x, y, z)处的面积元素为dS 1zx2(x,y)zy2(x,y)dxd，y
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2．又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
于是 1 d S adxdy
S z D x a 2 y x 2 y 2
Dxy
a
2 a 2 h 2 rdr
d x ady
x 2 y 2
Dxy
1 1x
30xd 0 xy(1xy)dy
S1
S2
S4Oຫໍສະໝຸດ 11 Dxy y 3 0 1 x ( 1 6 x ) 3 d 1 3 ． x 2 x 0S 3
质量元素为 d M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)d x，d y
于是质量 M f[x,y,z(x,y)]1zx 2(x,y)zy 2(x,y)dx．dy

第7章4对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分

z (x，y，z(x,y)) dS
f x, y, z dS
f x, y, z x, y
1
z
2
x
zy2
dxdy
；
(1)
Dxy
定理的证明从略.
O x Dx(yx ,y)
▲▲▲
图 7-59
y
dxdy
10
2､对面积曲面积分的计算方法
第七章多元函数积分学
公式（1）表明，
在计算对面积的曲面积分 f x, y, zdS 时，只要把变量 z 换成 z( x, y) ，积分
第七章多元函数积分学
26
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章多元函数积分学
27
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章多元函数积分学
28
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章多元函数积分学
29
*3､对面积曲面积分的物理应用
第七章多元函数积分学
30
二、对坐标的曲面积分（第二类的曲面积分）
O
y
x
x=x ( y ,z )
37
▲▲▲ ▲▲▲
1、曲面的侧
第七章多元函数积分学
38
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章多元函数积分学
▲▲▲
v n
A
39
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章多元函数积分学
▲▲▲
A
40
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章多元函数积分学
41
2、对坐标的曲面积分的概念和性质
第七章多元函数积分学
31
1、曲面的侧
第七章多元函数积分学
32

第一类曲面积分

1zx2 z2y 1 ( 1 )2 ( 1 )23 ,
从而 xyzdS xyzdS
4
3x(y1xy)dxdy,
其中 Dxy是4在xO D 面 xyy 上的投, 影区域
即由直 x线 0, y0及xy1所围成的.闭区
因此
1 1 x
xyzdS 3x d x y (1 xy )d y
00
301x(1x)y22y331 0xdx
例2
计算曲面积分 1 dS ，其中是球面 x2y2z2a2 被平面
z
zh(0<h<a)截出的顶部．
解的方程为 z a 2 x 2 y 2 ．在 x O y 面上的投影区域
Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2．又
z
1 z x 2 z y 2 a 2 a x 2 y 2 ． h
若 f（x , y , z ) 关于z（或 x ，或 y ）是偶函数
f(x,y,z)d S2f(x,y,z)dS
1
其中 1是位于对称坐标部面分一侧
完全类似于三重积分的对称性
练习计算积分:
(x y z)ds, 其中 S 是上半球面 x2y2z2a2,z0;
s
z
略解：z a2 x2 y2,
zx
31x(1x)3dx
0
6
31(x3x23x3x4)d x 3 .
60
120
例5
计算
x2
1
y2
dS
其中是介于平面
z = 0 与 z = H 之间的圆柱面x2y2R2
解 y R 2 x 2 ,曲面分为左右两片。令 1:y R2x2
1在zo面 x 的投影区 D z x域 :0 为 z H R x R

9.4 第一类曲面(对面积的)积分

M = ∫∫ f ( x, y , z )dS
S
当积分曲面是封闭曲面时,常记当积分曲面是封闭曲面时常记
f ( x, y, z)dS ∫∫
S
9.4.2 第一类曲面积分的计算法
按照曲面的不同情况分为以下三种：按照曲面的不同情况分为以下三种：
1. 若曲面Σ :
则
Σ
z = z( x, y)
∫∫ f ( x , y , z )dS
Σ
2 2 其中 Σ 为抛物面 z = x + y （0 ≤ z ≤ 1）.
依对称性知：解依对称性知：
z
抛物面 z = x 2 + y 2 轴对称，关于z轴对称，
被积函数| xyz |关于 xoz 、 yoz 坐标面对称
y
x
为第一卦限部分曲面) 有 ∫∫ = 4 ∫∫ 成立，( Σ 1为第一卦限部分曲面
∫∫ f ( x, y, z)dS =∫∫ f ( x, y, z)dS +∫∫ f ( x, y, z)dS. Σ Σ Σ
1 2
Remark: (1)当曲面 Σ 为光滑或分片光滑曲面片当曲面为光滑或分片光滑曲面片,f(x,y,z)在Σ 在续时,f(x,y,z)在 Σ 上必可积以下恒设此条上必可积,以下恒设此以下恒设此2条上连续时在件满足. 件满足 (2)第一类曲面积分有如定积分类似的性质从略第一类曲面积分有如定积分类似的性质,从略第一类曲面积分有如定积分类似的性质从略. (3)第一类曲面积分的物理意义曲面的质量第一类曲面积分的物理意义:曲面的质量第一类曲面积分的物理意义
Σ Σ1
dS = 1 + z ′x 2 + z ′y 2 dxdy

关于在曲线曲面上积分的方法公式与技巧

关于在曲线曲⾯上积分的⽅法公式与技巧第⼀类曲线积分与第⼀类曲⾯积分从命名分析：第⼀类曲线曲⾯积分⼜被称为对弧长的曲线积分与对⾯积的曲⾯积分，这也表明第⼀类积分实际上是将我们熟悉的定积分（⼀元定积分与⼆重积分）中积分区域限定在⼀定长度的曲线上或⼀点⾯积的曲⾯上。

由于曲线与曲⾯是分段光滑的，被积函数在定义域上是对应⾜够连续的，这使得我们处理这类问题时关键问题是如何将弧长元素与⾯积元素转换为定积分中的d x 与⼆重积分中的d σ.计算公式：1、关于第⼀类曲线积分当使⽤参数⽅程描述三维曲线时，Γ:{x =x (t );y =y (t );z =z (t )} α≤t ≤β,弧长元素: ds =x ′2(t )+y ′2(t )+z ′2(t )dt 从⽽在指定区域上的第⼀类曲线积分可转换为，计算指定区间(α≤t ≤β)上对⼀元被积函数F (t )=f (x ,y ,z )关于微元ds =x ′2(t )+y ′2(t )+z ′2(t )dt 的定积分问题。

2、关于第⼀类曲⾯积分：当给定的曲⾯是关于Σ:z =z (x ,y )的显化表达式时，⾯积元素dS =1+z ′2x +z ′2y d σ从⽽在指定区域上的第⼀类曲⾯积分可转化为，计算指定区域(D =Pri z =0Σ)上对⼆元被积函数F (x ,y )=f (x ,y ,z (x ,y ))关于微元dS =1+z ′2x +z ′2y d σ的⼆重积分问题。

第⼆类曲线积分与第⼆类曲⾯积分从命名分析：第⼆类曲线曲⾯积分⼜被称为对坐标的曲线曲⾯积分，在实际问题上关于空间⼀点(x ,y ,z )∈R 3⽮量函数→A (x ,y ,z )沿着⼀定区域的积分结果。

在数学上常常将该⽮量→A 的对应分量表⽰为P (x ,y ,z ),Q (x ,y ,z ),R (x ,y ,z )他们都是关于位置坐标的函数，从⽽第⼆类积分有五种形式，⽽辨别它们并相互转化⼗分重要。