第一类对面积的曲面积分

今后, 假定f (x, y, z)在Σ上连续.
3. 对面积的曲面积分的性质
若Σ可分为分片光滑的曲面Σ1及Σ2, 则
f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS f ( x, y, z)dS.
1
Σ2
4
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
4. 对面积的曲面积分的几何意义
当f ( x, y, z) 1时,空间曲面Σ的面积:
Dxy
的二 2 (5 x)dxdy
对重 称积
Dxy
性分 2 5dxdy 125 2π.
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
一、概念的引入
实例 曲面构件质量
若曲面Σ是光滑的,它的面密度为连续函数
( x, y, z),求它的质量. 解 第一步: 将Σ分为许多所极谓其曲微面小光的滑子域,
即曲面上各点处都 以dS为代表, 取 ( x, y, z) d有S切, 则平面,且当点在
dS的质量为: M dM 曲(面x,上y,连z)续dS移动时,
Duv
( y,z) ( u, v )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(z, x) ( u, v )
2
( x, (u,
y) v)
2
dudv
.
10
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对面积的曲面积分时,首先应根据
曲面Σ选好投影面,确定投影域并写出 曲面Σ的方程,然后算出曲面面积元素;
最后将曲面方程代入被积函数, 化为二 重积分进行计算.
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
Dxy
曲面Σ选好投影面
算出曲面面积元素
8
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
(2) 若曲面Σ: y y( x, z)
则 f ( x, y, z)dS
f [x, y(x,z) , z]
1
y
2 x
yz2dxdz
Dxz
(3) 若曲面Σ: x x( y, z)
则 f ( x, y, z)dS
2
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
n
称 f (i ,i , i ) Si 极限为函数f (x, y, z)在
i 1
曲面Σ上 对面积的曲面积分 或
第一类曲面积分.记为 f ( x, y, z)dS. 即
n
f ( x, y, z)dS
lim 0 i1
f (i ,i , i )Si
积分曲面 被积函数 曲面面积元素
如曲面是 闭曲面,则积分号写成
3
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
2. 存在条件
定理10.7 若Σ是分片光滑曲面, 函数f (x, y, z) 在光滑曲面Σ上连续 (或除有限条分段光滑曲线 外, f (x, y, z)在Σ上连续, 且在Σ上有界), 则函数 f (x, y, z)在Σ上的第一类(对面积)曲面积分存在.
设Σ : x2 y2 z2 a2(z 0),Σ1为Σ在第一卦
限中的部分, 则有
z
(A) xdS 4 xdS. (B) ydS 4 ydS.
1
(C) zdS 4 xdS.
Σ
Σ1
O
y
(D) xyzdS 4x xyzdS.
1
1
分析反观(C关),于其平左面端y的O被z与积x函Oz数对称f (,x而, y(,Az))(B)z(D(x)与y
(i ,i , )
有界. (1)把Σ 任意分成n小块ΔSi (ΔSi同时也表示
第i 小块曲面的面积), (2) 设点(i ,i , i )为Si上任
意取定的点, 作乘积 f (i ,i , i )Si ,(3) 并作和 n
f (i ,i , i )Si ,(4) 如果当各小块曲面的直径
i 1
的最大值 0时,这和式的极限存在, 则
A 1 dS
1
z
2 x
z
2 y
d
D
5. 对面积的曲面积分的物理意义
面密度为连续函数 ( x, y, z)的光滑曲面
的质量M为: M ( x, y, z)dS;
其质心坐标为:
x
1 M
x( x,
y,
z )dS ,
y
1 M
y( x,
y, z)dS,
z
1 M
z( x,
y, z)dS.
5
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
左不端出的现)被可积看函作数x或y关的于偶x函是数奇,函故数有或关于y是奇函
数. 故(A)(B)(D)左端zd的S 积 4分均z为dS0, 而右端的积分均
大于0. 因此(A)(B)(D)均不成1 立.
不又出1反现有观)轮可(换C看)对,作其称x左或性端y,的故的偶被函1积z数d函S, 数故 有f1(xxd, yS,,z从) 而z选(x与(Cy).
f [ x( y, z) , y, z]
1
x
2 y
xz2dydz
D yz
9
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
(4) 若曲面Σ: x x(u,v), y y(u,v), z z(u,v),
(u,v) Duv , 则
f ( x, y, z)dS f [x(u,v), y(u,v),z(u,v)]
第二步: 求和取极限切平面也连续转动.
M ( x, y, z)dS.
Σ
1
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义 z : z z(x, y)
Si •
(i ,i , i )
1. 定义
定义10.3 设曲面Σ是
O
Dxy
y
光滑的, 函数 f (x, y, z)在Σ上 x (i )xy •
11
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
对称性
例 计算 ( x y z)dS,其中为平面y z 5
被柱面 x2 y2 25 所截得的部分.
z
解 曲面 : z 5 y
投影域: Dxy {(x, y) | x2 y2 25}
O
故 ( x y z)dS
2 ( x y 5 y)dxdy
7
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
三、对面积的曲面积分的计算法
思想是: 化为二重积分计算. 按照曲面的不同情况分为以下四种:
(1) 若曲面Σ: z z( x, y) 曲面的面积元素
则 f ( x, y, z)dS
dS
1
z
2 x
z
2 y
dxdy
将曲面方程代入被积函数
f [x, y, z(x, y) ]
补充
设分片光滑的 曲面Σ关于yOz面对称, 则
f ( x, y, z)dS
0,
当f (x, y, z)为 x的奇函数,
2 f ( x, y, z)dS. 当f (x, y, z)为 x的偶函数
1
其中 1 : x x( y, z) 0.
6
10.4 第一类(对面积)的曲面积分
研究生考题(选择题3分)