2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性结果测试

2013年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验文科数学试题参考答案及评分标准一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．选D 【解析】∵22,2>⇒<->x x x ，∴{}3,4,5,=L B ，{}0,1,2U B =ð． 2．选A 【解析】依题意有()11'=f ，()1120-+=f 即()13=f ，∴()()114'+=f f ． 3．选D 【解析】依题意有()sin 2sin 23x x πϕ⎫⎛+=-⎪⎝⎭，对任意x ∈R 都成立，∴22x ϕ+ 223x k ππ=-+，或2222,3x x k k πϕππ⎛⎫+=--+∈ ⎪⎝⎭Z ，即,6k k πϕπ=-+∈Z ，又0<<ϕπ，故56πϕ=． 4．选C 【解析】实数,x y 满足条件001x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，作出其可行域，可知当且仅当1x y ==时，()max 23x y +=．5．选B 【解析】将这2门考试分别记为,a b ，这5天分别记为1,2,3,4,5，则不同的方案有()()()()1,2,1,3,1,4,1,5a b a b a b a b ，()()()()2,1,2,3,2,4,2,5a b a b a b a b ， ()()()()3,1,3,2,3,4,3,5a b a b a b a b ，()()()()4,1,4,2,4,3,4,5a b a b a b a b ，()()()()5,1,5,2,5,3,5,4a b a b a b a b ，共20种情形，这2门考试被安排在连续两天的方案有()()()()1,2,2,3,3,4,4,5a b a b a b a b ，()()()()1,2,2,3,3,4,4,5b a b a b a b a 8种情 形，∴2门考试被安排在连续两天的概率为82205=． 6．选D 【解析】由()425111743542456112S a a d a d a d a ⨯⎫⎛+=⇒+++=⇒+=⇒= ⎪⎝⎭∴()1131371313132a a S a +⨯===．7．选B 【解析】对①，当10=x ，2x 不存在；对②任意的1x ，存在唯一的2x （21=-x x ）12()()1=f x f x 成立；对③，当11=x ，2x 不存在；对④，当12=x π，2x 不存在；8．选C 【解析】此几何体如图所示，∴()1221122332+⨯⋅=⨯⨯=ABCD V =PD S ． 9．选C 【解析】设(),i S ，由此框图得()()()213,15,47,9,2⎛⎫-⎛⎫→→→→ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L i i ．由21100212-⎛⎫≥⇒≥ ⎪⎝⎭i i ． 10．选C 【解析】∵由3c a =及正弦定理得sin 3=C A ，又120=︒C ，所以1sin1203sin 302︒=⇒=⇒=︒A A A ，∴30=︒B ． 11．选B 【解析】依题意,,B O C 三点不可能在同一直线上， ∴()cos cos 1,1OC OB OC OB BOC BOC ⋅=∠=∠∈-u u u r u u u r u u u r u u u r，又由OC OA OBλμ=+u u u r u u u r u u u r 得OA OC OB λμ=-u u u r u u u r u u u r ，于是2212OC OB λμμ=+-⋅u u u r u u u r ，记()()223f μλμ=+-．则()()22212326210f OC OB OC OB μμμμμμμ=+-⋅+-=--⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r可知()fμ22810μμ>-+()22222μ=-+≥，且()22410f μμμ<-+()2218μ=-+，无最大值，故()223λμ+-的取值范围为()2,+∞．12．选C 【解析】∵()()40,20,403f f f ⎫⎛><> ⎪⎝⎭，由零点存在条件，可知在区间()4,2,2,43⎫⎛ ⎪⎝⎭分别存在零点，记为12,x x ，不妨设12x x <，可以得到1212x x <<<， 又由()()11311log 103x f x x ⎫⎛=--= ⎪⎝⎭，()()22321log 103x f x x ⎫⎛=--= ⎪⎝⎭，故()1311log 13x x ⎫⎛--= ⎪⎝⎭，()2321log 13x x ⎫⎛-= ⎪⎝⎭．两式相减，得()()21323111log 1log 1033x x x x ⎫⎫⎛⎛-+-=-< ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，即()()3213log 11log 1x x --<，故()()21111x x --<，所以1212x x x x <+． 二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13．填i 【解析】∵()()()()11121112+++===--+i i i ii i i i ． 14．填12-n 【解析】当1=n 时，111=S =a ；当2≥n 时，由1n n a =S -及1n n n a =S S --，得12n n S =S -易知，10n S -≠，∴{}n S 是以11=S 为首项，以2为公比的等比数列，故11122--=⨯=n n n S ．15．填()1,2或()9,6-【解析】设()C a,b ，根据题意有141⎧+=-=+a b a ，化简后得2304+-=⎧⎨=⎩a b b a 或2504-+=⎧⎨=⎩a b b a （无解），解得12=⎧⎨=⎩a b 或96=⎧⎨=-⎩a b ， ∴点C 的坐标为()1,2或()9,6-．16【解析】设此正方体的棱长为1，则球O，与此正方体的表面及球O，，故所有与此正方体的表面及球O 的球面都相切的最大的球的体积之和与球O的体积之比为3341496:34326⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⎢⎥⨯ππ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 三、解答题（共6小题，共70分） 17．（Ⅰ）当2=k 时，∵3,24⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，∴sin cos ≠αα ()21f x x kx =-+关于2kx =对称，又()()sin cos =f f αα，∴sin cos 242+==k αα，∴1sin 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα ∵3,24⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，∴3,44⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππαπ，574612⇒+=⇒=πππαα∴5tantan7564tan tan tan 2512641tan tan 64-⎛⎫==-==- ⎪⎝⎭+πππππαππ…6分 （Ⅱ）∵3,24⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，∴sin cos ≠αα ()21f x x kx =-+关于2kx =对称，又()()sin cos =f f αα， ∴sin cos 22+=k αα，∴sin 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭πα ∵3,24⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，∴3,44⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππαπ3sin sin sin 44⎛⎫⇒<+< ⎪⎝⎭πππα即22001<<⇒<<k k ，故()0,1∈k ． …12分 18．（Ⅰ）由ABCD 为菱形，60ABC ∠=o，知ABC ∆为正三角形．∵E 是BC 的中点，∴AE BC ⊥，BC ∥AD ，则AE AD ⊥． 又AE PA ⊥，PA AD A =I ，∴AE ⊥平面PAD ， ∴AE PD ⊥； …6分 （Ⅱ）∵F 是PC 的中点，设O 是AC 的中点，则FO ∥PA ，故FO ⊥底面ABCD ，1133122AEC S AE EC ∆=⋅== ∴113313326F AEC AEC V S FO -∆=⋅=⨯⨯=． …12分 19．（Ⅰ）设第(1,2,,8)i i =L 组的频率为i f ，则由频率分布直方图知()710.0040.010.010.020.020.0160.008100.12=-++++++⨯=f∴这个人的分数在255~265之间的概率约是0.12； …4分 （Ⅱ）从这2000名学生的平均分数为2000.042100.12200.12300.2⨯+⨯+⨯+⨯2400.22500.162600.122700.08237.8+⨯+⨯+⨯+⨯=； …8分（Ⅲ）从第一组到第四组，频率为0.040.10.10.20.44+++=，而0.50.440.06-=将第五组[)235,245，按以下比例分割：0.0630.20.067=-∴中位数为2353238+=，∴应将分数线定为238分． …12分20．（Ⅰ）由222221,1 1.a y a x y a ⎧-=⎪⎪+⎨⎪+=⎪⎩得22222,11.1a x a a y a ⎧=±⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩不妨设222221,11a a M a a ⎫⎛--⎪ ++⎝⎭，左焦点为1F ． 2222111121MNa a k a a --+==+，由直线MN 过左焦点1F ，且倾斜角为45︒，可得22a =， 所求椭圆C 的方程为2212x y +=； …5分 （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．（ⅰ）当12x x =时，有AB x ⊥轴，此时0123x x x ==，12y y =-， 221020102000004933---⋅=⋅=---PA PBy y y y y y k k x x x x x ，又221112x y +=，∴22210111218x x y =-=-， 220012x y +=，∴220012x y =-，于是22222000104111829x x x y y ⎫⎫⎛⎛-=---=⎪⎪ ⎝⎝⎭⎭． ∴1PA PB k k ⋅=-，故PA ⊥PB ．（ⅱ）当12x x ≠时，设直线AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为0033y x y k x ⎫⎛+=- ⎪⎝⎭，即0033kx y y kx ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，记0033kxy m ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为y kx m =+，点A 、B 满足()()2222221422022y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩．∴122421kmx x k -+=+，21222221m x x k -=+． ∴()()()1212122242222121km my y kx m kx m k x x m km k k -+=+++=++=+=++， ()()()2222121212122221m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+．①若PA k ，PB k 中有一个不存在时，不妨设PA k 不存在，即PA x ⊥轴，此时()00,A x y -．∵00000000003333y y y y y x x x x x ⎫⎫⎛⎛----- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭=-=---，∴()00,x y -，00,33x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()00,x y -共线，可知()00,B x y -，∴PB ∥x 轴，故PA ⊥PB ． ②若PA k ，PB k 都存在．()()222200220012120102222010200121200222221214222121--+-++--++⋅=⋅==-----++-+++PA PBm m k y y y y y y y y y y y y k k k k km m x x x x x x x x x x x x k k()()22220022200212221422k y my m k kx kmx m +-+-=+++-，将0033kx y m ⎫⎛=-+ ⎪⎝⎭及220012+=x y ，代入此式，化简后得22200002220000816818168PA PBk x y kx y k k k x y kx y -++⋅==---，故PA ⊥PB ． 综上所述，PA ⊥PB ． …12分 20．（Ⅰ）()222()(1)()1-+-'=+x a ax f x x．（1）当0a =时，()222()1'=+xf x x．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减．当0a ≠，()2212()()1a x a x a f x x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭'=+． （2）当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x=，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -?，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-． （3）当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞，(,)a -+∞；单调减区间是1(,)a a-．（Ⅱ）（1）当0a =时，由（Ⅰ）可知，()f x 在[)0,+∞单调递增不存在最大值，∴不合题意．（2）当0a >时，由（Ⅰ）可知，)(x f 在10,a轾犏犏臌单调递增，在1(,)a +?单调递减，所以)(x f 在[)0,+?上存在最大值21()f a a=．下面研究最小值：∵)(x f 在10,a 轾犏犏臌单调递增，∴)(x f 在10,a 轾犏犏臌存在最小值(0)f ；∵)(x f 在1(,)a +? 单调递减，∴)(x f 在1(,)a+?不存在最小值。