复数代数形式的运算
复数代数形式的乘除运算课件
即
-2 = 4( + 2),
3 + 8 = -2.
解得
= -2,
或 = -4,
= -1,
= 2.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(2)∵f(z)=2z+-3i,∴f(+i)=2(+i)+( + i)-3i=2+2i+z-i-3i=2+z-2i.
1
例 3 设 z 是虚数,ω=z+ 是实数,且-1<ω<2,
(1)求|z|的值及 z 的实部的取值范围;
1-
(2)设 u=1+,求证:u 为纯虚数.
1
思路分析:(1)按常规解法,设 z=x+yi(x,y∈R),化简 ω=z+ ,找出实部、
虚部可以列出等量关系式求解;(2)证明 u 为纯虚数,可按定义证明实部
为零,虚部不为零,或证明 u+=0,且 u≠0.
3.2.2 复数代数形式的
乘除运算
(1)解:∵z 是虚数,
∴可设 z=x+yi,x,y∈R,且 y≠0.
1
-i
1
∴ω=z+ =x+yi++i =x+yi+2 +2=x+2 +2 + - 2 +2 i.
∵ω 是实数且 y≠0,∴y-2 +2 =0.∴x2+y2=1,即|z|=1.此时 ω=2x.
若 z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
(2)共轭复数的性质
①z·
=|z|2=||2;②||=|z|;③z+=2a,z-=2bi;④1 ± 2 = 1 ±
3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义(最新整理)
复数代数形式的四则运算3．2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义预习课本P107～108，思考并完成下列问题(1)复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？(2)复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？1．复数的加、减法法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R)，则z 1＋z 2＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ，z 1－z 2＝(a －c )＋(b －d )i.2．复数加法运算律设z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．3．复数加、减法的几何意义设复数z 1，z 2对应的向量为，，则复数z 1＋z 2是以，为邻边的OZ 1――→ OZ 2――→ OZ 1――→ OZ 2――→ 平行四边形的对角线 所对应的复数，z 1－z 2是连接向量与的终点并指向OZ ――→ OZ 1――→ OZ 2――→的向量所对应的复数．OZ 1――→[点睛] 对复数加、减法几何意义的理解它包含两个方面：一方面是利用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理，另一方面对于一些复数的运算也可以给予几何解释，使复数作为工具运用于几何之中．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)复数与向量一一对应．( )(2)复数与复数相加减后结果只能是实数．( )(3)因为虚数不能比较大小，所以虚数的模也不能比较大小．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝3－4i ，则z 1＋z 2等于( )A ．8i B ．6C ．6＋8iD ．6－8i答案：B3．已知复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z 等于( )A ．0B ．2iC ．6D ．6－2i 答案：D4．在复平面内，复数1＋i 与1＋3i 分别对应向量和，其中O 为坐标原点，OA ――→ OB ――→则||等于( )AB ――→A.B ．22C. D ．410答案：B复数代数形式的加、减运算[典例] (1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.(2)已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y 为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝________.[解析] (1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i ＝－2－i.(2)z 1－z 2＝[(3x －4y )＋(y －2x )i]－[(－2x ＋y )＋(x －3y )i]＝[(3x －4y )－(－2x ＋y )]＋[(y －2x )－(x －3y )]i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以Error!解得x ＝1，y ＝0，所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝.2[答案] (1)－2－i (2)2复数代数形式的加、减法运算技巧(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)算式中若出现字母，首先确定其是否为实数，再确定复数的实部与虚部，最后把实部与实部、虚部与虚部分别相加减．(3)复数的运算可以类比多项式的运算：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算． [活学活用]已知复数z 1＝a 2－3－i ，z 2＝－2a ＋a 2i ，若z 1＋z 2是纯虚数，则实数a ＝________.解析：由条件知z 1＋z 2＝a 2－2a －3＋(a 2－1)i ，又z 1＋z 2是纯虚数，所以Error!解得a ＝3.答案：3复数加减运算的几何意义[典例] 如图所示，平行四边形OABC 的顶点O ，A ，C 分别表示0,3+2i ，-2+4i.求：(1) 表示的复数；AO ――→(2)对角线表示的复数；CA ――→(3)对角线表示的复数．OB ――→[解] (1)因为＝，所以表示的复数为－3－2i.AO ――→ －OA ――→ AO ――→(2)因为＝－，所以对角线表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5CA ――→ OA ――→ －OC ――→ CA ――→－2i.(3)因为对角线＝＋，所以对角线表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋OB ――→ OA ――→ OC ――→ OB ――→4i)＝1＋6i.复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)是与以原点为起点，Z (a ，b )为终点的向量一一对应的．(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数可能改变．[活学活用] 复平面内三点A ，B ，C ，A 点对应的复数为2＋i ，向量对应的复数为1＋2i ，BA ――→向量对应的复数为3－i ，求点C 对应的复数．BC ――→解：∵对应的复数为1＋2i ，对应的复数为3－i.BA ――→ BC ――→∴＝－对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.AC ――→ BC ――→ BA ――→又∵＝＋，OC ――→ OA ――→ AC ――→∴C 点对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.复数模的最值问题[典例] (1)如果复数z 满足|z ＋i|＋|z －i|＝2，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( )A ．1 B.12C ．2 D.5(2)若复数z 满足|z ＋＋i|≤1，求|z |的最大值和最小值．3[解析] (1)设复数-i ，i ，-1-i 在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z+i|+|z-i|=2，|Z1Z2|=2，所以点Z 的集合为线段Z1Z2.问题转化为：动点Z 在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，因为|Z1Z3|=1.所以|z+i+1|min=1.[答案] A(2)解：如图所示， ||＝＝2.OM ――→(－\r(3))2＋(－1)2所以|z |max ＝2＋1＝3，|z |min ＝2－1＝1.[一题多变]1．[变条件、变设问]若本例题(2)条件改为已知|z |＝1且z ∈C ，求|z －2－2i|(i 为虚数单位)的最小值．解：因为|z |＝1且z ∈C ，作图如图：所以|z －2－2i|的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P (2,2)的距离，所以|z －2－2i|的最小值为|OP |－1＝2－1.22．[变条件]若题(2)中条件不变，求|z －|2＋|z －2i|2的最大值和最小值．3解：如图所示，在圆面上任取一点P ，与复数z A ＝，z B ＝2i 对应点A ，B 相连，得向3量，，再以，为邻边作平行四边形．PA ――→ PB ――→ PA ――→ PB ――→P 为圆面上任一点，z P ＝z ，则2||2＋2||2＝||2＋(2||)2＝7＋4||2，(平行四边形四条边的PA ――→ PB ――→ AB ――→ PO ′――→ PO ′――→平方和等于对角线的平方和)，所以|z －|2＋|z －2i|2＝.312(7＋4|z －32－i |2)而max ＝|O ′M |＋1＝1＋，|z －32－i |432min ＝|O ′M |－1＝－1.|z －32－i |432所以|z －|2＋|z －2i|2的最大值为27＋2，最小值为27－2.34343层级一 学业水平达标1．已知z ＝11－20i ，则1－2i －z 等于( )A ．z －1 B ．z ＋1C ．－10＋18iD ．10－18i解析：选C 1－2i －z ＝1－2i －(11－20i)＝－10＋18i.2．若复数z 满足z ＋(3－4i)＝1，则z 的虚部是( )A ．－2B ．4C ．3D ．－4解析：选B z ＝1－(3－4i)＝－2＋4i ，故选B.3．已知z 1＝2＋i ，z 2＝1＋2i ，则复数z ＝z 2－z 1对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B z ＝z 2－z 1＝(1＋2i)－(2＋i)＝－1＋i ，实部小于零，虚部大于零，故位于第二象限．4．若z 1＝2＋i ，z 2＝3＋a i(a ∈R)，且z 1＋z 2所对应的点在实轴上，则a 的值为( )A ．3B ．2C ．1D ．－1解析：选D z 1＋z 2＝2＋i ＋3＋a i ＝(2＋3)＋(1＋a )i ＝5＋(1＋a )i.∵z 1＋z 2所对应的点在实轴上，∴1＋a ＝0，∴a ＝－1.5．设向量，，对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，那么( )OP ――→ PQ ――→ OQ ――→A ．z 1＋z 2＋z 3＝0B ．z 1－z 2－z 3＝0C ．z 1－z 2＋z 3＝0D ．z 1＋z 2－z 3＝0解析：选D ∵＋＝，∴z 1＋z 2＝z 3，即z 1＋z 2－z 3＝0.OP ――→ PQ ――→ OQ ――→6．已知x ∈R ，y ∈R ，(x i ＋x )＋(y i ＋4)＝(y －i)－(1－3x i)，则x ＝__________，y ＝__________.解析：x ＋4＋(x ＋y )i ＝(y －1)＋(3x －1)i∴Error!解得Error!答案：6 117．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________.解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝ ＝5.32＋42答案：58．已知z 1＝a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－3b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R)，若z 1－z 2＝4，则a ＋b ＝3233________.解析：∵z 1－z 2＝a ＋(a ＋1)i －[－3b ＋(b ＋2)i]＝＋(a －b －1)i ＝4，323(32a ＋33b )3由复数相等的条件知Error!解得Error!∴a ＋b ＝3.答案：39．计算下列各式．(1)(3－2i)－(10－5i)＋(2＋17i)；(2)(1－2i)－(2－3i)＋(3－4i)－(4－5i)＋…＋(2 015－2 016i)．解：(1)原式＝(3－10＋2)＋(－2＋5＋17)i ＝－5＋20i.(2)原式＝(1－2＋3－4＋…＋2 013－2 014＋2 015)＋(－2＋3－4＋5－…－2 014＋2 015－2 016)i ＝1 008－1 009i.10．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R)，且z 1＋z 2＝5－6i ，求z 1－z 2.解：∵z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i ，∴z 1＋z 2＝x ＋3＋(2－y )i ＝5－6i ，∴Error!解得Error!∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i ，∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝－1＋10i.层级二 应试能力达标1．设z ∈C ，且|z ＋1|－|z －i|＝0，则|z ＋i|的最小值为( )A ．0 B ．1C. D.2212解析：选C 由|z ＋1|＝|z －i|知，在复平面内，复数z 对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y ＝－x ，而|z ＋i|表示直线y ＝－x 上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y ＝－x 的距离即为.222．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量对应的复数Z 1Z 2――→为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i解析：选D ＝－，即终点的复数减去起点的复数，∴(5－2i)－(3＋Z 1Z 2――→ OZ 2――→ OZ 1――→4i)＝2－6i.3．△ABC 的三个顶点所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，复数z 满足|z －z 1|＝|z －z 2|＝|z －z 3|，则z 对应的点是△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心解析：选A 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P 到△ABC 的顶点A ，B ，C 距离相等，∴P 为△ABC 的外心．4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量，对应OA ――→ OB ――→的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则对应的复数是( )CD ――→A ．2＋4iB ．－2＋4iC ．－4＋2iD ．4－2i解析：选D 依题意有＝＝－.而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i ，故CD ――→ BA ――→ OA ――→ OB ――→对应的复数为4－2i ，故选D.CD ――→5．设复数z 满足z ＋|z |＝2＋i ，则z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则|z |＝ .x 2＋y 2∴x ＋y i ＋＝2＋i.x 2＋y 2∴Error!解得Error!∴z ＝＋i.34答案：＋i 346．在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i ，OA ――→ OC ――→ AB ――→那么对应的复数为________．BC ――→解析：＝－＝－(＋)＝3＋2i －(－2＋i ＋1＋5i)＝BC ――→ OC ――→ OB ――→ OC ――→ OA ――→ AB ――→(3＋2－1)＋(2－1－5)i ＝4－4i.答案：4－4i7．在复平面内，A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求向量，，对应的复数；AB ――→ AC ――→ BC ――→(2)判断△ABC 的形状．(3)求△ABC 的面积．解：(1)对应的复数为2＋i －1＝1＋i ，AB ――→对应的复数为－1＋2i －(2＋i)＝－3＋i ，BC ――→对应的复数为－1＋2i －1＝－2＋2i.AC ――→(2)∵||＝，||＝，||＝＝2，AB ――→ 2BC ――→ 10AC ――→82∴||2＋||2＝||2，∴△ABC 为直角三角形．AB ――→ AC ――→ BC ――→(3)S △ABC ＝××2＝2.12228．设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，且4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，又ω＝sin θ－icos θ，求z 3的值和|z －ω|的取值范围．解：∵4(a ＋b i)＋2(a －b i)＝3＋i ，∴6a ＋2b i ＝3＋i ，33∴Error!∴Error!∴z ＝＋i ，3212∴z －ω＝－(sin θ－icos θ)(32＋12i )＝＋i (32－sin θ)(12＋cos θ)∴|z －ω|＝(32－sin θ)2＋(12＋cos θ)2＝ 2－3sin θ＋cos θ＝ ＝ ，2－2(32sin θ－12cos θ)2－2sin (θ－π6)∵－1≤sin ≤1，(θ－π6)∴0≤2－2sin ≤4，∴0≤|z －ω|≤2，(θ－π6)故所求得z ＝＋i ，|z －ω|的取值范围是[0,2]．3212。
复数的代数形式的四则运算
五、课堂小结： 1.复数加减法的运算法则： (1)运算法则:设复数z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i. (2)复数的加法满足交换律、结合律,即对 任何z1,z2,z3∈C,有:
z1+z2=z2+z1,
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
i
4n
4. i的指数变化规律：
1,
i
4 n 1
i ,
i
4n4n2Fra bibliotek1 ,
4n2
i
4 n 3
i
i i
4 n 1
i
i
4 n 3
0, (n N )
4.复数的除法法则
先把除式写成分式的形式,再把分子与分 母都乘以分母的共轭复数,化简后写成代数形 式(分母实数化).即
( 2 ) (2 i ) (2 3 i ) 4 i
(3 ) 5 (3 2 i )
(4) 4i (4i 4)
答案： (1) 2 + 2i
(2) 0
(3) 2 - 2i
(4) 4
练习: 1.计算 (2 3i )(2 3i )
13
2.已知 (3 i ) z 10 ,则 z _____. 3.已知 f ( x ) x 3 2 x 2 5 x 2 ,则 f (1 2i ) =_____.
z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
3. i的指数变化规律：
i i
4n
4 n 1
复数的几种表示形式的转换及计算
u（t）
U
m
cos（t
）
u
i（t）
I m cos（t
）
i
－－本书采用cosine函数。
二、正弦量的三要素
1．幅值Um/Im：
Um、Im －－振幅，正弦量的极大值 当cos(ω t+)=1时，imax=Im；当cos(ω t+)=-1时，imin=-Im。 Imax-Imin=2Im －－正弦量的峰－峰值
2．角频率ω ：
ƒ －－自然频率，单位：Hz（赫兹）
ƒ=50Hz－－工频
ƒ=1/T
ω －－角频率：正弦量的相位随时间变化的速度。
2f 2
T
单位：rad/s（弧度/秒）
二、正弦量的三要素
3．初相位：
ω t+ －－相位，又称相角：随时间变化的角度。
单位：弧度
初相位：正弦量在t＝0时刻的相位，简称初相。
⑤|12|=π
－－u1和i2反相。
§8-3 相量法的基础
一、相量法的引入
正弦稳态电路频率特点： 在线性电路中，如果电路的激励都是同一频率
的正弦量，则电路全部的稳态响应都将是同频率的 正弦量。
由于正弦稳态电路频率的特点，将同频率的正 弦量的三要素之一()省去，其余两要素用复数形 式来表示正弦量的方法称为相量法。
）
u1
i2
2
Icos（t
）
i2
12 （t u1）（t i2） u1 i2
①12>0 ②12<0 ③12=0 ④|12|=π /2
－－u1超前i2； －－u1滞后i2； －－u1和i2同相； －－u1和i2正交；
高中数学第四章4.2复数的四则运算代数形式的加减运算及其几何意义素材
代数形式的加、减运算及其几何意义
一、建立复数运算的原则
作为复数的实数，在复数集里运算和在实数集里的运算是一致的.
二、复数的加法和减法
1．数学语言表达：12z a bi z c di =+=+，，则12()()z z a c b d i ±=±+±．
2．文字语言表达：两个复数相加（减），就是把实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），所得结果仍是复数.
3．复数加减法的几何意义：由于复数z a bi =+←−−−
→一一对应点()Z a b ，←−−−→一一对应OZ ，因此复数的加减法可以利用向量的加减法来表示．若111z x y i =+，
222z x y i =+对应的向量22()OZ x y =，，且1OZ 和2OZ 不共线（共线时可以直接计算），以1OZ 和2OZ 为邻边作平行四边形12OZ ZZ ，则
1212OZ OZ OZ z z =+=+，211212Z Z OZ OZ z z =-=-，故复数加（减）法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则（向量减法的三角形法则）．。
复数的有关运算
⑤. z = z
⑥. z = z ⇔ z ∈ R
数或0 数或
( z 2 ≠ 0) ⑦. z + z = 0 ⇔ Z为纯虚 为纯虚
④ . z = ( z)
n
n
四.共轭复数与模的性质及其运算 共轭复数与模的性质及其运算
① . | z1 ⋅ z2 |=| z1 | ⋅ | z2 |
| z−z1 | +| z −z2 | =2a (|z1 -z2 |=2a) (5).双曲线： z − z1 | −| z − z2 | = ±2a 双曲线： 双曲线 | (|z1 - z2 |> 2a)
(6).射线：z−z1 | −| z −z2 | =±2a 射线： 射线 |
(7).圆环 圆环: r <| z − z0 |< R 圆环 复数方程与直角坐标方程的转化
1 3 1 3 二. ω = - + i(或ω＝- - i) 的性质 2 2 2 2 2 ①. 1+ ω + ω = 0
② . ω = 1 (周 T = 3) 期
3
③. ω =
1
ω
=ω
2
④ . ω n + ω n +1 + ω n + 2 = 0
一、复数的四则运算问题
1、已知复数z = 1 + i (1)设ω = z 2 + 3 z − 4，求ω； z 2 + az + b = 1 − i，求实数a，b的值 （2）如果 2 z − z +1
a + b = 1 a = −1 ⇒ ∴ a + 2 = 1 b = 2
4 2、设z + ∈ R，z − 2 |= 2，求z | z 解：设z = x + yi( x、y ∈ R，且z ≠ 0)
(完整版)复数的代数形式及其运算
复数的代数形式及其运算第85课时课题：复数的代数形式及其运算一．教学目标：掌握复数的基本题型，主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模，共轭复数，解复数方程等。
二．教学重点：复数的几何表示，计算复数模，共轭复数,解复数方程等。
三．教学过程:（一）主要知识：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律(1）i=1，i=i,i=1，i=i;(3)i・i・i・i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律(1)Arg（z・z）＝Argz＋Argz（3）Arg=nAr gz(n∈N）.。
.，n1.或z∈R。
要条件是|z|＝|a|.（6）z・z≠0,则4．根的规律：复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚根成对共轭出现。
5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式||z｜|z｜｜≤｜z±z｜≤｜z｜+|z|的运用.即｜z±z｜≤｜z|+|z|等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。
|z±z|≥|z|｜z|等号成立的条件是：z,z所对立的向量共线且异向。
（二）范例分析Ⅰ.2004年高考数学题选1.(2004高考数学试题(浙江卷,6)）已知复数z1=3+4i, z2=t+i，且是实数，则实数t=（）A．B．C．?D．？2。
(2004年北京春季卷,2)当时，复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限3.(2004年北京卷，2）满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是（ C ) A．一条直线B．两条直线C．圆D．椭圆Ⅱ.主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。
反之亦然。
这种化归的思想方法应贯穿复数的始终。
【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式,正面求解。
复数的乘除法
ac bd bc ad (a+bi) c+di = 2 2 i 2 2 c d c d
这种方法叫做公式法
复数相除的另一种解法.
②利用分母实数化：
a bi (a bi)(c di) [ac bi (di)] (bc ad )i c di (c di)(c di) c2 d 2
三、复数的除法运算规则：
①设复数a+bi (a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商 为x+yi (x，y∈R)， 即(a+bi)÷(c+di)=x+yi ∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知解这个方程组，得于是有
(ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 2 i 2 2 2 2 c d c d c d
这种方法叫做分母实数化法 给分子分母同乘以分母的共轭复数
例2计算
(1 2iBiblioteka (3 4i)1 2i 解： (1 2i ) (3 4i) 3 4i
(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
除法：先把两个复数相除写成分数形式，然后把分子 与分母都乘以分母的共轭复数，使分母“实数化”，最 后再化简，这种方法叫做分母实数化法 。
5.求1 i i i .... i
2 3
2008
______
注意: i 4n 1, i 4n1 i, i 4n2 1, i 4n3 i
第8讲 复数的四则运算 (解析版)
第8讲 复数的四则运算一、考点梳理考点1 复数的加减法、乘法运算设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数，复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .几个常用结论（1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=-，（3）()()22b a bi a bi a +=-+例1．（1）设i 是虚数单位，复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，那么z 1+z 2＝（ ）A ．2﹣iB ．2+iC ．﹣2﹣iD ．﹣2+i【分析】利用复数的加法运算即可求解．【解答】解：∵复数z 1＝1+2i ，z 2＝1﹣3i ，∴z 1+z 2＝2﹣i ，故选：A ．（2）复数（2+i ）2＝（ ）A ．4﹣3iB ．3﹣4iC ．4+3iD ．3+4i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【解答】解：因为（2+i ）2＝3+4i ，故选：D ．（3）设z ＝i 3+1（i 是虚数单位），是z 的共轭复数，则﹣z 2＝（ ）A ．3﹣iB ．1+3iC ．﹣1﹣iD ．1﹣2i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：z ＝i 3+1＝﹣i +1，∴＝1+i，∴﹣z2＝1+i﹣（1﹣i）2＝1+i﹣1+2i﹣i2＝1+3i，故选：B．（4）已知复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，则z1•z2虚部为（）A．﹣4B．4C．3D．3i【分析】利用复数的四则运算求出z1•z2，然后由复数的定义即可得到答案．【解答】解：因为复数z1＝2+i，z2＝﹣1+2i，所以z1•z2＝（2+i）（﹣1+2i）＝﹣2+4i﹣i+2i2＝﹣2+3i﹣2＝﹣4+3i，由复数的定义可知，z1•z2虚部为3．故选：C．（5）已知2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，则实数a＝（）A．2﹣i B．﹣4C．2D．4【分析】由题意利用实系数一元二次方程虚根成对定理，韦达定理，求得实数a．【解答】解：∵已知z＝2+i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2﹣i是关于x的方程x2+ax+5＝0的根，∴2+i+（2﹣i）＝﹣a，解得a＝﹣4，故选：B．【变式训练1】．若（1+i）+（2﹣3i）＝a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（）A．3，﹣2B．3，2C．3，﹣3D．﹣1，4【分析】由复数的加法运算化简等式左边，然后由实部等于实部，虚部等于虚部求得a，b的值．【解答】解：由（1+i）+（2﹣3i）＝3﹣2i＝a+bi，得a＝3，b＝﹣2．故选：A．【变式训练2】．（1﹣i）（4+i）＝（）A．3+5i B．3﹣5i C．5+3i D．5﹣3i【分析】根据复数代数形式的运算法则，计算即可．【解答】解：（1﹣i）（4+i）＝1×4+1×i﹣i×4﹣i2＝5﹣3i．故选：D．【变式训练3】．若Z＝1+i，则|Z2﹣Z|＝（）A．0B．1C．D．2【分析】由Z＝1+i，得到Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝﹣1+i，再求出|Z2﹣Z|．【解答】解：∵Z＝1+i，∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，∴|Z2﹣Z|＝＝．故选：C．【变式训练4】．若复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，实数m＝（）A．1B．0C．0或1D．1或﹣1【分析】利用纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数z＝m（m﹣1）+（m﹣1）i是纯虚数，∴m（m﹣1）＝0，m﹣1≠0，∴m＝0，故选：B．【变式训练5】．若2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，则a+b＝（）A．1B．﹣1C．9D．﹣9【分析】题目给出的是实系数一元二次方程，2﹣i是该方程的一个虚根，则方程的另一个根为2+i，则根据韦达定理即可求出．【解答】解：因为2﹣i是关于x的实系数方程x2+ax+b＝0的一根，根据实系数方程虚根成对原理知，方程x 2+ax +b ＝0的另一根为2+i ，根据韦达定理得2﹣i +2+i ＝﹣a ，（2+i ）（2﹣i ）＝b ，∴a ＝﹣4，b ＝5，∴a +b ＝1，故选：A ．考点2 复数的除法运算复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化） 几个常用结论（1）i i -=1， （2） i ii =-+11 ， （3） i i i -=+-11 例2．（1）复数＝（ ）A ．﹣2﹣9iB ．C ．﹣D ． 【分析】利用复数除法的运算法则，分子分母同乘以分母的共轭复数，即可求出所求．【解答】解：＝， 故选：C ．（2）复数（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．i B ．﹣i C ．1+iD ．1﹣i 【分析】利用复数的运算法则求出复数＝i ，由此能求出复数（i 为虚数单位）的共轭复数． 【解答】解：复数＝＝＝＝i ，∴复数（i 为虚数单位）的共轭复数为﹣i ． 故选：B ．（3）设z ＝+i ，则|z |＝（ ） A ． B ． C ． D ．2【分析】先求z ，再利用求模的公式求出|z |．【解答】解：z＝+i＝+i＝．故|z|＝＝．故选：B．（4）＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：＝．故选：D．【变式训练1】．＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i【分析】分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再利用虚数单位i的幂运算性质，求出结果．【解答】解：＝＝＝2﹣i，故选：D．【变式训练2】．已知z＝，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．﹣1+3i D．﹣1﹣3i【分析】先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．【解答】解：z＝＝，所以＝﹣1﹣3i，故选：D．【变式训练3】．设i是虚数单位，则复数i3﹣＝（）A．﹣i B．﹣3i C．i D．3i【分析】通分得出，利用i的性质运算即可．【解答】解：∵i是虚数单位，则复数i3﹣，∴＝＝＝i，故选：C．【变式训练4】．复数（）2＝（）A．﹣3﹣4i B．﹣3+4i C．3﹣4i D．3+4i【分析】首先进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘方运算，合并同类项，得到结果．【解答】解：（）2＝[]2＝（1﹣2i）2＝﹣3﹣4i．故选：A．考点3 解方程例3．（1）已知＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知＝1+i（i为虚数单位），∴z＝＝＝﹣1﹣i，故选：D．（2）已知，则复数z＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：，∴＝（1+i）（2+i）＝1+3i．则复数z＝1﹣3i．故选：A．（3）若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．（4）已知＝b+i（a，b∈R），其中i为虚数单位，则a+b＝（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】先化简复数，再利用复数相等，解出a、b，可得结果．【解答】解：由得a+2i＝bi﹣1，所以由复数相等的意义知a＝﹣1，b＝2，所以a+b＝1另解：由得﹣ai+2＝b+i（a，b∈R），则﹣a＝1，b＝2，a+b＝1．故选：B．（5）若i（x+yi）＝3+4i，x，y∈R，则复数x+yi的模是（）A．2B．3C．4D．5【分析】利用复数的运算法则把i（x+yi）可化为3+4i，利用复数相等即可得出x＝4，y＝﹣3．再利用模的计算公式可得|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．【解答】解：∵i（x+yi）＝xi﹣y＝3+4i，x，y∈R，∴x＝4，﹣y＝3，即x＝4，y＝﹣3．∴|x+yi|＝|4﹣3i|＝＝5．故选：D．【变式训练1】．若z（1+i）＝2i，则z＝（）A．﹣1﹣i B．﹣1+i C．1﹣i D．1+i【分析】利用复数的运算法则求解即可．【解答】解：由z（1+i）＝2i，得z＝＝1+i．故选：D．【变式训练2】．若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．【解答】解：＝i，则＝i（1﹣i）＝1+i，可得z＝1﹣i．故选：A．【变式训练3】．若复数z满足3z+＝1+i，其中i是虚数单位，则z＝．【分析】设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z＝a+bi，则＝a﹣bi（a，b∈R），又3z+＝1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）＝1+i，化为4a+2bi＝1+i，∴4a＝1，2b＝1，解得a＝，b＝．∴z＝．故答案为：．【变式训练4】．已知a，b∈R，i是虚数单位．若（a+i）（1+i）＝bi，则a+bi＝1+2i．【分析】利用复数的乘法展开等式的左边，通过复数的相等，求出a，b的值即可得到结果．【解答】解：因为（a+i）（1+i）＝bi，所以a﹣1+（a+1）i＝bi，所以，解得a＝1，b＝2，所以a+bi＝1+2i．故答案为：1+2i．【变式训练5】．若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B．C．4D．【分析】由题意可得z＝＝，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z 的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，∴z＝＝＝＝+i，故z的虚部等于，故选：D．二、课堂检测1．下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）2B．i2（1﹣i）C．（1+i）2D．i（1+i）【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断出结论．【解答】解：A．i（1+i）2＝i•2i＝﹣2，是实数．B．i2（1﹣i）＝﹣1+i，不是纯虚数．C．（1+i）2＝2i为纯虚数．D．i（1+i）＝i﹣1不是纯虚数．故选：C．2．设（1+i）x＝1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|＝（）A．1B．C．D．2【分析】根据复数相等求出x，y的值，结合复数的模长公式进行计算即可．【解答】解：∵（1+i）x＝1+yi，∴x+xi＝1+yi，即，解得，即|x+yi|＝|1+i|＝，故选：B．3．若z＝4+3i，则＝（）A．1B．﹣1C．+i D．﹣i【分析】利用复数的除法以及复数的模化简求解即可．【解答】解：z＝4+3i，则＝＝＝﹣i．故选：D．4．＝（）A．i B．C．D．【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可．【解答】解：＝＝+．故选：D．5．若z＝1+2i，则＝（）A．1B．﹣1C．i D．﹣i【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：z＝1+2i，则＝＝＝i．故选：C．6．（多选）设复数z满足＝i，则下列说法错误的是（）A．z为纯虚数B．z的虚部为﹣iC．在复平面内，z对应的点位于第二象限D．|z|＝【分析】利用复数的运算法则化简z，再利用有关知识即可判断出正误．【解答】解：复数z满足＝i，∴z＝＝＝﹣﹣i，则z不是纯虚数，虚部为﹣，在复平面内，z对应的点位于第三象限，|z|＝＝．故说法错误的是ABC．故选：ABC．7．（多选）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2【分析】利用复数的模的有关性质和运算，结合共轭复数的概念对各个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当＝z3时，则，所以＝，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则，可得，所以，故选项D错误．故选：BC．8．计算：（2+7i）﹣|﹣3+4i|+|5﹣12i|+3﹣8i＝13﹣i．【分析】根据复数的基本运算法则和复数模长的定义进行化简即可．【解答】解：原式＝2+7i﹣5+13+3﹣8i＝13﹣i，故答案为：13﹣i．9．已知复数z满足1+2zi＝i，其中i是虚数单位，则|z|＝．【分析】先化简复数z，再直接求模即可．【解答】解：依题意，，故．故答案为：．10．设复数z满足＝|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z＝﹣i．【分析】利用复数模的计算公式、共轭复数的定义即可得出结论．【解答】解：复数z满足＝|1﹣i|+i＝+i＝+i，则复数z＝﹣i，故答案为：﹣i．11．已知复数在z1＝a+i，z2＝1﹣i，a∈R．（Ⅰ）当a＝1时，求z1•的值：（Ⅱ）若z1﹣z2是纯虚数，求a的值；（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）把a＝1代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案；（Ⅱ）利用复数代数形式的减法运算化简，再由实部为0求解；（Ⅲ）利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解．【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，z1•＝（1+i）（1+i）＝1+i+i﹣1＝2i；（Ⅱ）由z1﹣z2＝（a+i）﹣（1﹣i）＝a﹣1+2i是纯虚数，得a﹣1＝0，即a＝1；（Ⅲ）由＝在复平面上对应的点在第二象限，得，即﹣1＜a＜1．12．已知：复数z＝（1+i）2+，其中i为虚数单位．（1）求z及|z|；（2）若z2+a，求实数a，b的值．【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算化简z，再由复数模的计算公式求解；（2）把z代入z2+a，整理后利用复数相等的条件列式求解．【解答】解：（1）∵，∴；（2）由z2+a，得：（﹣1+3i）2+a（﹣1﹣3i）+b＝2+3i，即（﹣8﹣a+b）+（﹣6﹣3a）i＝2+3i，∴，解得．。
复数的运算
(a bi) (c di) （a c) (b d )i
（a c) (b d )
复数乘法：按二项式相乘法则进行， 把i2换成-1,然后把实部和虚部分别 合并．
Z1〃Z2=(a+bi)〃(c+di) =ac+adi+bci+bdi2 =(ac-bd)+(ad+bc)i
复数的运算
复数的几种表示方法：
代数表示: Z=a+bi(a,b∈R) 几何表示:复平面上的点Z(a,bx
o z 即表示z=a + bi
定义
设z1=a+bi,z2=c+di,加法规则
z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i 两个复数的和仍然是复数,实部与实部 相加,虚部与虚部相加. 例题
1.（5 + 4 i)- (3 + 2 i)= (5-3)+(4-2)i =2+2i
2. (5 – 6 i) + (-2 - i) - (3 + 4 i) =(5-2-3) +(- 6-1-4 ) i =-11i
几何意义
两个复数相减法,即为 它们对应的向量相减.
oz1 oz2 z2 z1
复数乘方：用二项式定理展开计算．
复数除法：分子、分母同乘以分母的 共轭虚数，根据z〃z =|z|2,使分母 实数化。
z1 a bi (a bi )(c di ) z2 c di (c di )(c di ) ac bd bc ad 2 i 2 2 2 c d c d
1.已知f ( z) 1 z, z1 2 3i, z2 5 i, 求f ( z1 z2 )
电工技术：复数的表示形式及复数的四则运算
一、复数的四种表示形式
虚数单位 j =
1.代数形式： 在复平面上表示 •
1
j2 = -1
A a jb
+j b
复数的模 复数的辐角
A r
a r cos ψ
b r sin ψ
r a2 b2 b ψ arctan a
O
a +1
2. 三角函数形式
A r cos ψ jr sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
A 32 42 5
求它们的和、差、积、商。
B 82 62 10
4 A arctan 53o 3
6 B arctan 37 o 8B 10370A Nhomakorabea 5530
A B 51053 37 5090
A 5 53 37 0.516 B 10
A1 A1 1
A2 A2 2
A1 A1 1 2 A2 A2
二、复数的四则运算
例题：已知两个复数
解：
A B 3 8 j 4 6 11 j10
A 3 j4
B 8 j6
A B 3 8 j 4 6 5 j 2
二、复数的四则运算
2.复数的乘法运算 • 都转换为极坐标表达式或指数式，两复数的模相乘作为积的模，幅角相加作为积的模角。
A1 A1 1
A2 A2 2
3.复数的除法运算
A1 A2 A1 A2 1 2
• 都转换成极坐标式或指数式，将两复数的模相除作为商的模，幅角相减作为商的模角。
这两种表示形式适用于复数的加减运算。 简化画法
复数的代数运算公式
复数的代数运算公式一、复数的定义复数是由实数和虚数构成的数，可以表示为 a+bi 的形式，其中 a 和 b 分别为实部和虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
二、复数的加法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的加法运算可以用以下公式表示：(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i三、复数的减法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的减法运算可以用以下公式表示：(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i四、复数的乘法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的乘法运算可以用以下公式表示：(a+bi) * (c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i五、复数的除法对于两个复数 a+bi 和 c+di，它们的除法运算可以用以下公式表示：(a+bi) / (c+di) = [(ac+bd)/(c^2+d^2)] + [(bc-ad)/(c^2+d^2)]i六、复数的共轭对于一个复数 a+bi，它的共轭可以用以下公式表示：(a+bi)的共轭 = (a-bi)七、复数的模对于一个复数 a+bi，它的模可以用以下公式表示：|a+bi| = √(a^2+b^2)八、复数的幂运算对于一个复数 a+bi 和一个整数 n，它们的幂运算可以用以下公式表示：(a+bi)^n = (a^2+b^2)^(n/2) * cos(nθ) + (a^2+b^2)^(n/2) * sin(nθ)i九、复数的指数函数对于一个复数 a+bi，它的指数函数可以用以下公式表示：e^(a+bi) = e^a * cos(b) + e^a * sin(b)i十、复数的对数函数对于一个复数 a+bi，它的对数函数可以用以下公式表示：ln(a+bi) = ln|a+bi| + i * arg(a+bi)复数的代数运算公式包括加法、减法、乘法、除法、共轭、模、幂运算、指数函数和对数函数等。
复数代数形式的四则运算-知识讲解
复数代数形式的四则运算【要点梳理】要点一、复数的加减运算1.复数的加法、减法运算法则： 设1z a bi =+，2z c di =+（,,,a b c d R ∈），我们规定：12()()()()z z a bi c di a c b d i +=+++=+++21()()z z c a d b i -=-+-要点诠释：（1）复数加法中的规定是实部与实部相加，虚部与虚部相加，减法同样。
很明显，两个复数的和（差）仍然是一个复数，复数的加（减）法可以推广到多个复数相加（减）的情形．（2）复数的加减法，可模仿多项式的加减法法则计算，不必死记公式。
2.复数的加法运算律:交换律：z 1+z 2=z 2+z 1结合律:：(z 1+z 2)+z 3=z 1+(z 2+z 3)要点二、复数的加减运算的几何意义1. 复数的表示形式：代数形式：z a bi =+（,a b R ∈）几何表示：①坐标表示：在复平面内以点(,)Z a b 表示复数z a bi =+（,a b R ∈）； ②向量表示：以原点O 为起点，点(,)Z a b 为终点的向量OZ 表示复数z a bi =+.要点诠释：复数z a bi =+←−−−→一一对应复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应平面向量OZ 2．复数加、减法的几何意义：如果复数1z 、2z 分别对应于向量1OP 、2OP ，那么以1OP 、2OP 为两边作平行四边形12OPSP ，对角线OS 表示的向量OS 就是12z z +的和所对应的向量.对角线21P P 表示的向量21P P 就是两个复数的差12z z -所对应的向量.设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，b )，2OZ =(c ，d )以1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是OZ ，由于OZ =1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )，所以1OZ 和2OZ 的和就是与复数(a +c )+(b +d )i对应的向量类似复数加法的几何意义，由于z 1－z 2=(a －c )+(b －d )i ，而向量12Z Z = 1OZ -2OZ =(a ，b )-(c ，d )=(a -c ，b -d )，所以1OZ 和2OZ 的差就是与复数(a －c )+(b －d )i 对应的向量要点诠释：要会运用复数运算的几何意义去解题，它包含两个方面：（1）利用几何意义可以把几何图形的变 换转化成复数运算去处理（2）反过来，对于一些复数运算式也可以给以几何解释，使复数做为工具运用于几何之中。
复数的加减运算及其几何意义zhy
4.（i +i）+ i (1 i )
2
5. 5i (3 4i ) ( 1 3i )
变式1： 设z1 x 2i , z2 3 yi ( x , y R ),
且z1 z2 5 6i , 求z 2 x yi
若f ( z) 2z 3i, 求f ( z1 z2 )
(2)若z C , z 2, 求 z 2 3i 的最大值和最小值 .
(3)若z C, 且 z 2 2i 1, 求 z 3 4i 的最大值 和最小值.
例7, (1)设z C, 且 z 1 z i , 求 z 2 i 的最小值
(2)设z C, 且 z i z i 2, 求 z 1 i 的 最小值
Z2(c,d)
Z1(a,b)ຫໍສະໝຸດ o|z1-z2|表示什么?
x
表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离
1.如图的向量OZ对应的复数是 z，试 作出下列运算的结果对 应的向量. (2) z i (3) z (2 i )
y
（ 1 ）z 1
O
x
例 2． 在复平面内, 复数6 5i,3 4i对应的
已知复数z满足z z 2 8i , 求复数z 变式2：
2.复数加法运算的几何意义? OZ1+OZ2 = OZ 表示复数z1+ z2
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
3.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
复数的四种表示方法
复数的四种表示方法
复数可以有以下四种表示方法：
1. 代数形式：复数可以表示为一个实数和一个虚数的和，例如
a + bi，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位，满足i^2 = -1。
在代数形式中，实部和虚部都可以是任何实数。
2. 坐标形式：复数可以表示为在复平面上的坐标点(x, y)，其
中x是实部，y是虚部。
复平面上的x轴被称为实轴，y轴被
称为虚轴。
3. 极坐标形式：复数可以表示为模长和角度的形式，即r * (cosθ + isinθ)，其中r是模长，θ是角度。
在极坐标形式中，模长是复数到原点的距离，角度是复数与实轴的夹角。
4. 指数形式：复数可以表示为指数的形式，即re^(iθ)，其中r
是模长，θ是角度，e是自然对数的底数。
在指数形式中，复
数可以方便地进行运算，特别是在乘法和除法操作中。
复数的代数形式及运算
第三节 复数的代数形式及运算【目录】题型1 复数代数形式的运算 题型2 复数代数形式的综合应用三、解答题题型1 复数代数形式的运算1．计算：（1）54)31()22(i i -+； （2）1996)12(32132i ii-+++-。
解：（1）原式===-=+--+=-⋅+w wi i i i i 22)2()2321(2])1[()231(2)1(5252254i i 31)2321(2+-=+-。
（其中ω=i 2321+-）。
（2）原式=9989989982)22(])12[(321)321(i i i i i ii i +=-+=-+++=i+i 4×249+2=i+i 2=-1+i.2．设f(x, y)=x 2y-3xy+y 2-x+8，求：（1）f(1+i, 2-i)的值； （2）[f(2-5i, 2-5i)]-1的值。
解：（1）f(1+ i, 2-i)=(1+i)2·(2-i)-3(1+i)(2-i)+(2-i)2-(1+i)+8 =2i(2-i)-3(3+i)+(3-4i)-1-i+8=2+4i-9-3i+3-4i+7-i=3-4i ；（2）若x=y ，则f(x, y)=x 3-2x 2-x+8，又x=2-5i ，∴(x-2)2=(-5i)2，即x 2-4x+9=0，而x 3-2x 2-x+8=(x 2-4x+9)(x+2)-2x-10, ∴f(2-5i, 2-5i)=0-2(2-5i)-10=-14+25i,∴[f(2-5i, 2-5i)]-1=i i i 108510872165221614)52()14(521422--=--=+---. （3）∵(1-i 3)10=1-C 110·i 3+C 210·(i 3)2-C 310·(i 3)3+…，∴(1-i 3)10的展开式中奇数项之和为复数(1-i 3)10的实数。
又(1-i 3)10=[-2·10)]2321(i +-=210ω10=210ω=210)2321(i +-=-29+29i 3，∴(1-i 3)10的展开式中各奇数项的和为-29。
3.2.2复数代数形式的乘除运算
对应的点为Z，若点Z位于第一象限，求实
数m的取值范围.
课堂小结
1.复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结 果中把i2 换成－1，并且把实部和虚部分别合并. 2.实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立. 3.共轭复数的相关概念. 4.复数代数形式的除法实质：分母实数化. 5.体会类比的方法.
1.理解复数代数形式的乘除运算法则. 2.会进行复数代数形式的乘除运算. 3.了解互为共轭复数的概念.
类比(a+b)×(c+d)
=ac+ad+bc+bd
计算：(1+3i)(2-3i)
=1×2+1×(-3i)+2×3i+3i×(-3i) =2-3i+6i-9i2 =11+3i
合作探究
探究1： 复数代数形式的乘法运算 设z1=a+bi,z2=c+di 是任意两个复数，那么它们 乘积为： (a+bi)(c+di)= ac+adi+bci+bdi2 = ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(ad+bc)i.
探究2：复数的乘法是否满足交换律，结 合律以及乘法对加法的分配律？
对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C,有
z1·z2=z2·z1
(交换律)
(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3) (结合律)
z1(z2+z3)=z1·z2+z1·z3
(分配律)
例2 计算: (1)(1+i)2; (2)(3+4i)(3-4i)；
这与作根式除法时的处理是很类似的.
7.2复数的运算
授课主题复数代数形式的加减、乘除运算教学目标1．掌握复数的代数形式的加法、减法运算法则，并熟练地进行化简、求值．2．了解复数的代数形式的加法、减法运算的几何意义．3．会进行复数代数形式的乘、除运算．教学内容1．复数的加法与减法．(1)复数的加、减法法则．(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.即两个复数相加(减)，就是实部与实部，虚部与虚部分别相加(减)．(2)复数加法的运算律．复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3).2．复数加、减法的几何意义．复数z1，z2对应的向量OZ1→，OZ2→不共线．(1)复数加法的几何意义：复数z1＋z2是以OZ1→，OZ2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ→所对应的复数．因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行．(2)复数减法的几何意义：复数z1－z2是连结向量OZ1→，OZ2→的终点，并指向被减向量所对应的复数．3．复数乘法运算法则．设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i，那么(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i.4．复数乘法的运算律．对任意复数z1、z2、z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z35．复数除法运算法则．a＋b ic＋d i＝(a＋b i)(c－d i)(c＋d i)(c－d i)＝[ac＋b i·(－d i)]＋(bc－ad)ic2＋d2＝(ac＋bd)＋(bc－ad)ic2＋d2＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i.6．共轭复数．(1)设z1＝a＋b i，z2＝a－b i.当两个复数的实部相等、虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记z的共轭复数为z.(2)z·z＝(a＋b i)(a－b i)＝a2＋b2＝|z|2＝|z|2.题型一复数的加减运算例1计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i(a，b∈R)．解析：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋b i)－(2a－3b i)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.点评：复数加减运算法则的记忆：①复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，加减运算的结果还是一个复数；②把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．巩 固 计算：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)；(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ； (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i.解析：(1)(－1＋3i)＋(3－23i)＝－1＋3＋(3－23)i ＝2－3i.(2)⎝⎛⎭⎫22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22＋22i －⎝⎛⎭⎫－22－22i ＝⎝⎛⎭⎫22＋22＋22＋⎝⎛⎭⎫22－22＋22i ＝322＋22i. (3)[](2－3i )－(a －b )i ＋(a ＋b )i ＝2－3i ＋[]－(a －b )＋(a ＋b )i ＝2＋(2b －3)i.题型二 复数加减运算的几何意义例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ，A ，C 对应的复数分别为0,3＋2i ，－2＋4i ，试求：(1)AO →表示的复数；(2)CA →表示的复数；(3)求点B 对应的复数．解析：(1)AO →＝－OA →，所以AO →表示的复数为－(3＋2i)，即－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，所以CA →表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，所以OB →表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i. 点评：利用复数加减法的几何意义解题：①z 1＋z 2的几何意义是以OZ 1→，OZ 2→为邻边的平行四边形OZ 1ZZ 2的对角线OZ →所在向量；②z 1－z 2的几何意义是连接向量OZ 1→，OZ 2→的终点，并指向被减数的向量Z 2Z 1→所对应的复数；③复平面内两点间距离公式：d ＝|z 1－z 2|(其中z 1，z 2是复平面内两点z 1和z 2所对应的复数，d 为z 1和z 2的距离)．巩 固 在复平面内， 复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA →和OB →， 其中O 为坐标原点，则||AB →＝______. 解析：AB →＝OB →－OA →＝－2＋2i ，所以|AB →|＝2 2.答案：22题型三 复数的模相关的运算例3 已知复数z 满足z ＋|z|＝2＋8i ，求复数z.解析：解法一 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R)，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ，∴⎩⎨⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－15，b ＝8.∴z ＝－15＋8i. 解法二 将原式化为z ＝2－|z |＋8i ，∵ |z |∈R ，∴2－|z |是z 的实部，∴|z |＝(2－|z |)2＋82，即|z |2＝68－4|z |＋|z |2.∴|z |＝17.代入z ＝2－|z |＋8i ，得z ＝－15＋8i.点评：复数模的相关运算，主要是根据求模公式或复数相等的充要条件将复数问题化为实数问题来解决．巩 固 已知z 1＝(3x －4y )＋(y －2x )i ，z 2＝(－2x ＋y )＋(x －3y )i ，x ，y为实数，若z 1－z 2＝5－3i ，则|z 1＋z 2|＝______.解析：z 1－z 2＝[](3x －4y )＋(y －2x )i －[](－2x ＋y )＋(x －3y )i＝[](3x －4y )－(－2x ＋y )＋[](y －2x )－(x －3y )i ＝(5x －5y )＋(－3x ＋4y )i ＝5－3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5x －5y ＝5，－3x ＋4y ＝－3，解得x ＝1，y ＝0. 所以z 1＝3－2i ，z 2＝－2＋i ，则z 1＋z 2＝1－i ，所以|z 1＋z 2|＝|1－i|＝ 2.答案：2题型四 复数的乘法与除法运算例4 计算：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ⎝⎛⎭⎫32＋12i (1＋i)； (3)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(4)(5－295i)÷(7－35i)．解析：(1)原式＝1－i 2＋(－1＋i)＝2－1＋i ＝1＋i.(2)原式＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－34－34＋⎝⎛⎭⎫34－14i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32＋12i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－32－12＋⎝⎛⎭⎫12－32i ＝－1＋32＋1－32i. (3)原式＝－2＋3i 1＋2i ＝(－2＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－2＋6)＋(3＋4)i 12＋22＝45＋75i. (4)原式＝5－29 5 i 7－3 5 i ＝(5－29 5 i )(7＋3 5 i )(7－3 5 i )(7＋3 5 i )＝(35＋29×15)＋(155－29×75)i 72＋(35)2＝470－188 5 i 94＝5－2 5 i. 点评：两个复数代数形式的除法运算步骤：①把除式写为分式；②分子、分母同时乘以分母的共轭复数；③对分子、分母分别进行乘法运算；④把运算结果化为复数的代数形式．巩 固 (1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝________.(2)已知i 为虚数单位，则复数1－3i 3＋i的共轭复数是________． 解析：(1)(1＋i)(－1－i)(3＋i)(1＋3i)＝－(1＋i)2(3×1＋(3)2i ＋i ＋3i 2)＝－2i ×4i ＝－8i 2＝8.(2)1－3i 3＋i ＝(1－3i )(3－i )(3＋i )(3－i )＝3－i －3×3i ＋3i 29－i 2＝－10i 10＝－i ，所以1－3i 3＋i的共轭复数为i. 答案：(1)8 (2)i题型五 共轭复数的应用例5 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i(a ，b ∈R)，由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ，即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3. 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.点评：(1)要熟悉复数的一些常用性质如z z ＝|z |2＝|z |2，z ∈R ⇔z ＝z 等．(2)当已知条件出现复数等式时，常设出复数的代数形式，利用相等复数的充要条件转化为实数问题求解．巩 固 已知z －1z ＋1为纯虚数，且(z ＋1)(z －＋1)＝|z |2，求复数z . 解析：由(z ＋1)(z ＋1)＝|z |2得z ＋z ＝－1，①由z －1z ＋1为纯虚数，得z －1z ＋1＋z －1z ＋1＝0，所以z ·z －1＝0.② 设z ＝a ＋b i ，代入①②，得a ＝－12，a 2＋b 2＝1. 所以a ＝－12，b ＝±32.所以z ＝－12±32i. 答案：z ＝－12±32i 题型六 复数范围内解方程问题例6 已知1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根(b ，c 为实数)．(1)求b ，c 的值；(2)试判断1－i 是否是方程的根．解析：(1)∵1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝0，2＋b ＝0.得b ＝－2，c ＝2. ∴b ，c 的值为b ＝－2，c ＝2.(2)∵方程为x 2－2x ＋2＝0，把1－i 代入方程左边，得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i 是方程的根．点评：在复数范围内解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c ∈R)，将根设为m ＋n i ，再利用复数相等的充要条件解决问题．巩 固 若复数z 满足方程z 2＋2＝0，则z 3为( )A ．±22B ．－2 2C ．－22iD ．±22i解析：由z 2＋2＝0⇒z ＝±2i ⇒z 3＝±22i ，故选D.答案：D题型七 利用i n 的周期性求解例7 i 是虚数单位，i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝________(用a ＋b i 的形式表示，a ，b ∈R)．分析：利用i 的周期性化简求和．解析：i ＋2i 2＋3i 3＋…＋8i 8＝i －2－3i ＋4＋5i －6－7i ＋8＝4－4i.答案：4－4i点评：熟记i 的周期性，即i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋3＝0(n ∈N *)．记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ；②1－i 1＋i ＝－i ，1＋i 1－i＝i ；③1i ＝－i. 巩 固 化简：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝____________. 解析：2＋2i (1－i )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2 014＝2(1＋i )－2i ＋⎝⎛⎭⎫22i 1 007＝i(1＋i)＋(－i)1 007＝i ＋i 2＋(－1)1 007×i 1 007 ＝i －1－i 4×251＋3＝i －1－i 3＝－1＋2i.答案：－1＋2i（加减）A 组1．a ，b 为实数，设z 1＝2＋b i ，z 2＝a ＋i ，当z 1＋z 2＝0时，复数a ＋b i 为( )A ．1＋iB ．2＋iC ．3D ．－2－i答案：D2．|(3＋2i)－(4－i)|等于( )A.58B.10 C ．2 D ．－1＋3i解析：|(3＋2i)－(4－i)|＝|－1＋3i|＝(－1)2＋32.故选B.答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i答案：CB 组一、选择题1．已知复数z 1＝2＋i, z 2＝1＋2i, 则复数z ＝z 2－z 1在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：B2．复平面内两点Z 1和Z 2分别对应于复数3＋4i 和5－2i ，那么向量Z 1Z 2→对应的复数为( )A ．3＋4iB ．5－2iC ．－2＋6iD ．2－6i答案：D3．若x 是纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y )i ，则x ＋y 等于( )A ．1＋52iB ．－1＋52i C ．1－52i D ．－1－52i 解析：设x ＝a i(a ∈R)，原方程化为2a i －1＋i ＝y －(3－y )i ，即－1＋(2a ＋1)i ＝ y －(3－y )i ，得 －1＝y, 2a ＋1＝－(3－y )．解得 a ＝－52，y ＝－1，选D. 4．满足条件|z －i |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应点的轨迹是( )A ．一条直线B ．两条直线C ．圆D ．椭圆解析：因为|3＋4i|＝32＋42＝5，所以|z －i|＝5，设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则有x 2＋(y －1)2＝5，即x 2＋(y －1)2＝25.故选C.答案：C5．复数z 1＝1＋icos θ，z 2＝sin θ－i ，则|z 1－z 2|的最大值为( )A ．3－2 2 B.2－1 C ．3＋2 2 D.2＋1解析：|z 1－z 2|＝|(1＋icos θ)－(sin θ－i)|＝(1－sin θ)2＋(1＋cos θ)2＝3－2(sin θ－cos θ)＝3＋22sin (θ－π4)≤3＋22＝2＋1.故选D. 答案：D二、填空题6．若复数z 1＋z 2＝3＋4i ，z 1－z 2＝5－2i ，则z 1＝__________.答案：4＋i7．已知|z |＝5，且z －2＋4i 为纯虚数，则复数z ＝________.解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z －2＋4i ＝(x －2)＋(y ＋4)i.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋4≠0，x 2＋y 2＝5，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.所以z ＝2±i. 答案：2±i 8．如图，平行四边形顶点A ，B ，C 所对应的复数分别为i,1,4＋2i(A ，B ，C ，D 按逆时针方向排列)．(1)向量BA →对应的复数为____________；答案：－1＋i(2)向量BC →对应的复数为____________；答案：3＋2i(3)向量BD →对应的复数为____________；答案：2＋3i(4)点D 坐标是____________．答案：(3,3)三、解答题9．设f (z )＝z －3i ＋|z |，若z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，求f (z 1＋z 2)的值．解析：因为z 1＝－2＋4i ，z 2＝5－i ，所以z 1＋z 2＝(－2＋4i)＋(5－i)＝3＋3i.于是f (z 1＋z 2)＝f (3＋3i)＝(3＋3i)－3i ＋|3＋3i|＝3＋3 2.10．在复平面内，复数－3－i 与5＋i 对应的向量分别是OA →与OB →，其中O 是原点，求向量OA →＋OB →，BA →对应的复数及A ，B 两点间的距离．解析：向量OA →＋OB →对应的复数为(－3－i)＋(5＋i)＝2.∵BA →＝OA →－OB →，∴向量BA →对应的复数为(－3－i)－(5＋i)＝－8－2i.∴A ，B 两点间的距离为|－8－2i|＝(－8)2＋(－2)2＝217.（乘除）A 组1．设复数满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )A ．－1＋iB ．－1－iC ．1＋iD ．1－i解析：z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i.故选A.答案：A2．已知z 1＋i＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1－3i B ．1－3iC ．3＋iD ．3－i解析：由题意知z ＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案：B3．复数2i 1＋i(i 是虚数单位)的虚部是( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i答案：AB 组一、选择题1．(2013·广东卷)若复数z 满足i z ＝2＋4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是( )A ．(2,4)B ．(2，－4) C. (4，－2) D ．(4,2)解析：z ＝2＋4i i＝4－2i 对应的点的坐标是(4，－2)，故选C. 答案：C2．(2013·山东卷)若复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －为( )A ．2＋iB ．2－iC ．5＋iD ．5－i解析：由(z －3)(2－i)＝5得，z －3＝52－i＝2＋i ，所以 z ＝5＋i ，所以z ＝5－i.故选D. 答案：D3．设a ，b ，c ，d ∈R ，则复数(a ＋b i)(c ＋d i)为实数的充要条件是( )A ．ad －bc ＝0B ．ac －bd ＝0C ．ac ＋bd ＝0D ．ad ＋bc ＝0解析：a ，b ，c ，d ∈R ，复数(a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i 为实数，∴ad ＋bc ＝0，选D.答案：D4．已知复数z ＝1＋i ，则z ＋1z2＝( ) A.12－i B.12＋i C ．－12－i D ．－12＋i 答案：A二、填空题5．设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(其中i 为虚数单位)，则z 的模为________．解析：z (2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i 与3＋2i 的模相等，z 的模为2.答案：26．(2013·重庆卷)已知复数z ＝5i 1＋2i(是虚数单位)，则|z |＝________________. 解析：|z |＝⎪⎪⎪⎪5i 1＋2i ＝55＝ 5. 答案： 57. 设i 是虚数单位，复数1＋a i 2－i为纯虚数，则实数a ＝_________________. 解析：1＋a i 2－i ＝1＋a i 2－i ·2＋i 2＋i ＝2－a ＋(2a ＋1)i 5，因为1＋a i 2－i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2. 答案：28．若复数z 满足|z |－z －＝101－2i，则z ＝________. 解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则有a 2＋b 2－a ＋b i ＝2＋4i.所以⎩⎨⎧a 2＋b 2－a ＝2，b ＝4，得a ＝3，b ＝4. 所以z ＝3＋4i.答案：3＋4i三、解答题9．已知复数3z －z －对应的点落在射线y ＝－x (x ≤0)上，|z ＋1|＝2，求复数z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则3z －z ＝3a ＋3b i －a ＋b i ＝2a ＋4b i ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4b ＝－2a ，b ＞0.① 又由|z ＋1|＝2，得(a ＋1)2＋b 2＝2，②由①，②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，所以z ＝－2＋i. 10. 复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限内，若复数0，z ，z －对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝(1＋i )2(1＋i )(a ＋b i )1－i＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①因为复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，所以|z |＝|z －z |，把z ＝－2a －2b i 代入化简，得|b |＝1.② 又因为z 点在第一象限内，所以a ＜0，b ＜0.由①②，得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1.故所求a ＝－3，b ＝－1.。
复数的各类表达形式
复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。
二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。
复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。
这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。
也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。
式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。
这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)。
向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量〔亦称矢量〕，在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。
向量的运算法那么1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法那么和三角形法那么。
OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减〞a=(x,y)b=(x',y') 那么a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
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z1 = a + bi , z2 = c + di (a, b, c, d ∈R)
(1)z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i (2)z1 z2 = (a c) + (b d)i (3)z1 z2 = (ac bd) + (ad + bc)i z1 a + bi (a + bi) (c di) (4) = = z2 c + di (c + di) (c di)
Z1Z2 = OZ1 OZ2 = z1 z2
4.几个常用的运算结论: (1) 的周期性; i (2) (1+ i) 1+ i =i (3) 1 i 则: ω
2
n
( = 2i ;1i) = 2i
2
1 i ; = i 1+ i
1 3 (4)若 ω = + i 2 2
3
,
2
=1 , ω = ω
5.在复数集中解方程: (1)对于方程 ax + b = 0(a, b ∈C) 转化为复数的除法运算问题. (2)对于方程 ax + bx + c = 0: ① 若 a, b, C ∈R : 韦达 ≥ 0方程有两个实根; 定理 < 0方程有一对共轭虚根; 成立
说明: 说明:
(1)复数四则运算的结果仍然是一个复数; (2)复数的四则运算满足交换律,结合律和 分配律;从而可以把复数代数形式的运算看 复数代数形式的运算看 作是多项式的运算,但最后把 i 写成-1, 作是多项式的运算
2
把运算结果写成 a+ bi 的形式. (3)复数的除法法则:分母实数化.
2.复数加,减运算的几何意义: 满足向量加,减法的平行四边形法 则或三角形法则. 3.复平面内的两点间距离公式: 设复平面内两点 Z1,Z2对应的复数分 别为 z1, z2 , 则:
(三)提高性练习: 《导与练》P236: "考点演练"
三.归纳提升: 1.《导与练》P236:"易错扫描" 2.《导与练》P236:"感悟提升"
作
业
《广东新高考》A P32~33: 复数代数形式的运算
�
2
பைடு நூலகம்
b ± i x= 2a
②若 a, b, c 为虚数: 其根的情况具有多样性,要根据条 件来分析. 此时,根的存在性与 的符号无关 根的存在性与 的符号无关.
二.知识应用: (一)再现性练习: 《导与练》P235:
"基础检测" "典例研习"
(二)巩固性练习:
《新高考总复习》P105~106: "基础练习" "例题精选"