高三一轮复习 二次函数的最值问题
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略
二次函数复习二次函数解决最值问题的思路与策略二次函数复习：解决最值问题的思路与策略二次函数在高中数学中是一个重要的内容，涉及到了最值问题的求解。
本文将从复习二次函数的基本形式开始，逐步介绍解决最值问题的思路与策略。
一、二次函数的基本形式二次函数一般具有如下基本形式：f(x) = ax^2 + bx + c (a≠0)其中，a、b、c为实数，且a不等于0。
通过调整a、b、c的值，可以使二次函数的图像发生上下平移、左右平移和翻转等变化。
二、最值问题的定义在二次函数中，最值问题通常指的是求解函数的最大值或最小值。
最大值对应函数的顶点，最小值对应函数的谷点。
三、解决最值问题的思路解决最值问题的思路可以总结为以下几个步骤：1. 了解函数的基本形式：首先确定二次函数的基本形式，即f(x) = ax^2 + bx + c。
根据实际问题的给定条件，确定a、b、c的值。
2. 求解顶点坐标：通过平移变换，将二次函数的图像平移到合适的位置，使其顶点的坐标易于计算。
顶点的横坐标可通过 x = -b/(2a) 得到，而纵坐标可通过代入横坐标得到。
3. 判断最值类型：根据二次函数的开口方向（即a的正负）来判断最值类型。
当a>0时，函数开口向上，为最小值问题；当a<0时，函数开口向下，为最大值问题。
4. 求解最值：根据最值类型和顶点的坐标，可以直接得到函数的最值。
四、解决最值问题的策略解决最值问题的策略根据具体情况有所不同，下面列举了几种常见的策略：1. 利用函数的图像分析：通过观察二次函数的图像，分析函数在定义域上的变化趋势，找到最值所处的位置。
2. 利用对称性求解：当二次函数关于y轴对称时，可以利用对称性直接得到函数的最值。
3. 应用配方法：对于一些复杂的二次函数，可以通过配方法将其化简为标准的二次函数形式，然后再求解最值。
4. 利用一元二次不等式求解：通过将二次函数转化为一元二次不等式，可以得到函数的最值所在的区间，进而求解最值。
高考数学一轮复习 第二章 不等式 第6课 二次函数的最值 文(含解析)-人教版高三全册数学试题
第6课 二次函数的最值基本方法：数形结合。
配方→画图象→结合单调性及图象求解1．定义域为R 时例1．求函数2()23f x x x =--的最值【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x =当1x =时，min ()(1)4f x f ==，()f x 无最小值变式：求函数2()23f x x x =-++的最值解：2()(1)4f x x =--+，对称轴为1x =当1x =时，max ()(1)4f x f ==，()f x 无最小值 小结：当0a >时，2()f x ax bx c =++有最小值244ac b a -；当0a <时，2()f x ax bx c =++有最大值244ac b a- 2．定义域为闭区间的不含参数问题例2．求函数223y x x =--，[2,2]x ∈-的最大值和最小值．【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x = 22x -≤≤，∴当1x =时，min ()(1)4f x f ==；当1x =时，max ()(2)5f x f =-=变式：求函数223y x x =-++，[1,2]x ∈-的最大值和最小值．【解析】2()(1)4f x x =--，对称轴为1x = 12x -≤≤，∴当1x =-时，min ()(1)0f x f =-=当1x =时，max ()(1)4f x f ==小结：首先将二次函数式化为h k x a y +-=2)(的形式，若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0a >时，在顶点处取得最小值，在离对称轴较远的端点处取得大值．3．定义域为闭区间的含参数问题例3．已知二次函数2()21f x x ax =--，当[0,2]x ∈上有最小值()h a ，最大值为()g a 求（1）()h a 的解析式（2）()g a 的解析式【解析】（1）22()()1f x x a a =---，对称轴为x a =①当0a <时，()f x 在[0,2]上递增，min ()()(0)1h a f x f ===-；②当02a ≤≤时，()f x 在[0,]a 上递减，在[,2]a 上递增，2min ()()()1h a f x f a a ===--； ③当2a >时，()f x 在[0,2]上递减，min ()()(2)34h a f x f a ===-所以()h a 的解析式为210()102342a h a a a a a -<⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩（2）()f x 的最大值只能是(0)f 或(2)f ，不能是()f a而(0)1f =-，(2)34f a =-①当(0)(2)f f >，即1a >时，max ()()(0)1g a f x f ===-；②当(0)(2)f f ≤，即1a ≤时，max ()()(2)34g a f x f a ===-所以()g a 的解析式为11()341a g a a a ->⎧=⎨-≤⎩ 小结：求2()(0)f x ax bx c a =++>的最小值时，考虑对称轴在区间的左、中、右三种情况即可；求它的最大值时，只需根椐区间端点函数值讨论即可变式：已知221y x ax a =-++-在[0,1]x ∈时有最大值2，求a 的值【解析】二次函数的对称轴是x a =（1）当0a <时，则0x =时，max 12y a =-=，解得1a =-．（2）当01a ≤≤时，则x a =时，2max 12y a a =-+=，无解． （3）当1a >时，则1x =时，max 2y a ==，有2a =．综上可知，1a =-，或2a =．第6课：二次函数的最值作业1. 函数2()2f x x x =-的最值情况（ ）A ．有最大值1-，无最小值B 。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值． 【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4， 可知函数顶点坐标为（3，﹣4）， 当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0， 即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0， 解得x 1＝1，x 2＝5． 如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5． 则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（ ） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2， 解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38； 故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（ ） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2， 又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4， 解得a =−14， 故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（ ） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ． 【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2． 故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8． 故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为 ．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值． 【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）． （1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）． （2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）． 设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ， 则{−3m +n =0n =−3， 解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t， 解得{k =−12t =52， 故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152； （Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1， 故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（ ）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4， 解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（ ）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q， 解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t， 解得{a =1t =2， 故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为 ．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0）， 抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4． 故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是 ．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5， 故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）． 【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）． 【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ， 由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， 令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。
高三第一轮复习05----二次函数的最值问题讲义
二次函数的最值问题讲义一、知识要点：一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a=-2 当a >0时，抛物线开口向上若-∈ba m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-∉bam n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x ba=-2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。
当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()max=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图21221212 f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m i n =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222345当a <0时f x f n b a n f b a m b a n f m b a m ()()()()()()()m a x =->-≤-≤-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪，，，如图如图如图2222678f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min=-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
专题06：二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳精讲温故知新1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a例1：1．（多选）若关于x 的方程2(1)+2=0x m x m ---的两根为正数(包含等根)，则m 的取值可以是（ ）A ．122--B．-C ．1.9 D ．1.99【答案】BCD 【解析】 【分析】由一元二次函数零点的分布可得答案. 【详解】由题意，构建函数2()(1)2f x x m x m =--+-，因为关于x 的方程2(1)20x m x m --+-=的两根为正数(包含等根)， 所以()()()2Δ142010200m m m f ⎧=---⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩， 解得122m -+<， 故选：BCD. 2.已知函数()2()23f x x ax a a R =-+-∈．（1）若1a =时，求()f x 在区间1[,3]2上的最大值和最小值； （2）若()f x 的一个零点小于0，另一个零点大于0，求a 的范围. 【答案】（1） max 5y =；min 1y = ；（2）3a > 【分析】（1）求出函数的对称轴，再判断对称轴与区间的位置关系，从而得到函数的最值； （2）由题意得(0)0f <，即可得到答案； 【详解】（1）当1a =时，函数的对称轴为11[,3]2x =∈，∴min ()(1)1f x f ==，15(),(3)524f f ==， ∴max ()5f x =。
二次函数的最值问题(含答案)
---二次函数的最值问题一、内容概述对二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，若自变量为任意实数，则取最值情况为：（1）当0,2b a x a >=-时，244ac b y a -=最小值（2）当0,2b a x a <=-时，244ac b y a-=最大值若自变量x 的取值范围为()x αβαβ≤≤≠，则取最值分0a >和0a <两种情况，由α、β与2b a-的大小关系确定。
1．对于0a >：（1）当2baαβ<≤-，因为对称轴左侧y 随x 的增大而减小，所以y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
这里()y α、()y β分别是y 在x α=与x β=时的函数值。
（2）当2baαβ-≤≤，因为对称轴右侧y 随x 的增大而增大，所以y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最大值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最小值为()2b y a-. 2．对于0a <（1）当2baαβ<≤-，y 的最大值为()y β，最小值为()y α。
（2）当2baαβ-≤≤，y 的最大值为()y α，最小值为()y β。
（3）当2b a αβ≤-≤，y 的最小值为()y α、 ()y β中较大者，y 的最大值为()2b y a-. 综上所述，求函数的最大、最小值，需比较三个函数值：()y α、()y β、()2b y a- 二、例题解析例1 已知12,x x 是方程22(2)(35)0x k x k k --+++=的两个实数根，求2212x x +的最大值和最小值。
解：由于题给出的二次方程有实根，所以0∆≥，解得443k -≤≤- ∴y ＝2212x x +＝21212()2x x x x +-＝2106k k ---∵函数y 在443k -≤≤-随着k 的增大而减小 ∴当4k =-时，8y =最大值；当43k =-时，509y =最小值例2 （1）求函数243y x x =--在区间25x -≤≤中的最大值和最小值。
高中数学中的二次函数与最值问题
高中数学中的二次函数与最值问题二次函数是高中数学中的重要内容之一，其与最值问题的关系更是难以忽视。
本文将系统地介绍二次函数的定义、性质以及如何利用二次函数求解最值问题。
一、二次函数的定义与性质二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是实数且a不等于0。
二次函数的图像通常是一个抛物线，可以是开口向上或开口向下的形态。
以下是二次函数的一些重要性质：1. 零点：二次函数的零点是其对应的抛物线与x轴相交的点，即使得函数值为0的x值。
零点的求解可以通过因式分解、配方法或求根公式来实现。
2. 頂点坐标：二次函数的顶点是抛物线的最高点（当a小于0时）或最低点（当a大于0时）。
顶点的x坐标可以通过公式x=-b/2a来计算，y坐标则可将x值代入二次函数中得到。
3. 对称轴：二次函数的对称轴是通过抛物线的顶点并平行于y轴的线。
对称轴的方程形式为x=-b/2a。
4. 单调性：当a大于0时，抛物线开口向上，函数值随x的增大而增大；当a小于0时，抛物线开口向下，函数值随x的增大而减小。
二、二次函数求解最值问题的方法在实际问题中，我们常常需要求解二次函数的最大值或最小值。
这些问题可能涉及到经济、物理、几何等领域。
以下是求解二次函数最值问题的常用方法：1. 完成平方：通过将二次函数表示成平方项的和来求解最值问题。
对于一般形式的二次函数，可以通过配方法来实现。
例如，对于函数y=ax^2+bx+c，可以通过将x^2+bx视为一个完全平方进行变形，从而得到最小值或最大值。
2. 求导数：利用导数的性质，求解二次函数的导数，并找到导数为0的点。
这些点即为原函数的最值点。
求导数的方法可以通过一阶导数、二阶导数等进行，具体视题目要求而定。
3. 利用顶点坐标：如果已知二次函数的顶点坐标，则直接取顶点的y值即为函数的最值。
4. 利用最值问题的性质：根据二次函数的几何特性，当a大于0时，函数有最小值；当a小于0时，函数有最大值。
二次函数的最值问题
二次函数的最值问题二次函数是指形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0，x为自变量。
二次函数图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，而最值问题则是指在给定范围内，函数取得的最大值或最小值。
一、二次函数的最值问题二次函数的最值问题是数学中常见的问题之一，解决这类问题的关键是找到函数的顶点。
顶点即是抛物线的极值点，对于开口朝上的抛物线，顶点表示最小值；对于开口朝下的抛物线，顶点表示最大值。
二、求解二次函数的最值步骤求解二次函数的最值问题可按以下步骤进行：1. 确定二次函数的开口方向，即判断二次系数a的正负。
2. 利用求导的方法，求得二次函数的导函数。
3. 将导函数等于零并解方程，得到函数的顶点。
4. 求得函数的顶点后，判断是最小值还是最大值。
举例说明：以二次函数f(x) = 2x^2 - 4x + 3为例，来演示求解最值的过程。
1. 开口方向的判断：由于二次系数a为正数，故函数的开口朝上，顶点表示最小值。
2. 求导：首先对函数进行求导，得到导函数f'(x) = 4x - 4。
3. 求解顶点：令导函数f'(x)等于零，并解方程得到x = 1。
4. 判断最值：将x = 1代入原始函数f(x)中，得到f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1。
因此，函数f(x)的最小值为1，当x = 1时取得。
通过以上步骤，我们可以求解二次函数的最值问题。
然而，在实际问题中，最值问题往往还涉及到函数的定义域和范围等约束条件。
因此，在解决最值问题时，需要充分考虑这些条件，以确保结果的准确性和合理性。
总结：二次函数的最值问题是数学中常见而重要的问题。
通过分析二次函数的开口方向，并利用导数等工具求解顶点，我们能够准确地确定函数的最大值或最小值。
然而，在实际问题中，我们还需要注意约束条件的考虑，以确保最终结果的可行性。
只有在深入理解二次函数的特性和运用相应的求解方法时，才能更好地解决二次函数的最值问题。
高中数学二次函数的最值问题解析
高中数学二次函数的最值问题解析二次函数是高中数学中的重要内容之一，它在数学建模、物理等领域有着广泛的应用。
而二次函数的最值问题是二次函数的重要考点之一，也是高中数学中的重点难点之一。
本文将从最值问题的基本概念入手，通过具体的例题分析，帮助读者理解和掌握二次函数的最值问题的解法和技巧。
一、最值问题的基本概念在解决最值问题之前，我们首先要了解什么是最值。
最值即最大值和最小值，是函数在定义域内取得的最大和最小的函数值。
对于二次函数来说，最值问题即求解二次函数的最大值和最小值。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。
二次函数的图像是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。
当a>0时，抛物线开口向上，最小值存在；当a<0时，抛物线开口向下，最大值存在。
二、求解最值问题的方法1. 利用顶点公式顶点公式是求解二次函数最值问题的常用方法。
对于一般形式的二次函数y=ax^2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示二次函数的值。
例如，考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以通过顶点公式求解其最值问题。
首先，计算出顶点的横坐标x=-(-4)/(2*1)=2，然后代入函数得到纵坐标y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。
因此，该二次函数的最小值为-1，即y=-1时取得最小值。
2. 利用导数对于二次函数，我们还可以利用导数的概念来求解最值问题。
通过求解导数为0的点，可以找到函数的极值点，从而确定最值。
考虑二次函数y=x^2-4x+3，我们可以求解其导数y'=2x-4。
令导数等于0，得到2x-4=0，解得x=2。
将x=2代入函数得到y=f(2)=2^2-4*2+3=-1。
因此，该二次函数的最小值为-1，与利用顶点公式的结果一致。
三、举一反三通过上述例题的分析，我们可以总结出一些解决二次函数最值问题的技巧和方法。
首先，我们可以利用顶点公式或导数的方法来求解最值问题。
二次函数求线段最值问题
二次函数求线段最值问题二次函数求线段最值问题是指给定一个二次函数，要求求出函数在某个线段上的最大值或最小值。
以下是求解二次函数线段最值问题的详细步骤：1. 确定二次函数公式：首先，确定二次函数的标准形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c分别为常数。
根据具体问题的条件，可以得到函数的具体表达式。
2. 确定线段的范围：根据问题中给定的线段范围，确定函数的自变量x的取值区间。
这个区间必须在函数的定义域内。
3. 确定最值类型：判断问题中要求求解的是最大值还是最小值。
这可以通过问题的描述或背景来确定。
4. 求解最值点：针对求解最大值或最小值的情况，进行以下步骤：- 求解函数的导数f'(x)。
导数可以通过对函数f(x)进行求导得到。
- 解求导函数f'(x)的解析解或数值解。
这些解即为函数的驻点，也就是函数取得最值的可能点。
- 验证驻点是否在线段范围内。
检查求得的驻点是否在给定的线段范围内。
如果在范围内，则进入下一步；如果不在范围内，则取线段端点的函数值作为最值点。
- 计算驻点或线段端点的函数值。
将驻点或线段端点的x值代入二次函数，计算对应的函数值。
- 比较函数值大小，找出最值点。
比较上一步中得到的函数值，找出最大值或最小值点。
5. 补充边界情况：除了在线段内求解最值以外，还需要检查函数在线段的端点处的函数值。
比较端点的函数值与之前求得的最值点的函数值，确定最终的最值点。
6. 验证最值点：最后，将求得的最值点代入二次函数，验证它们是否为最大值或最小值。
即比较最值点的函数值与其他可能的函数值，以确定最值点的正确性。
以上是求解二次函数线段最值问题的详细步骤。
通过这些步骤，可以找到函数在给定线段上的最大值或最小值点。
注意，在具体的问题中，可能需要对步骤进行一些适当的调整和修改，以适应不同的求解需求。
二次函数最值问题解题技巧
二次函数最值问题解题技巧二次函数最值问题是高中数学中常见的一类问题，也是中考、高考中经常出现的题型之一。
解题时需要掌握一些解题技巧，下面就介绍一些二次函数最值问题的解题技巧。
1. 求最值的方法二次函数的最值可以通过求解二次函数的顶点来得到，顶点即为最值点。
二次函数的顶点公式为：(-b/2a , f(-b/2a))。
其中，a、b、c分别为二次函数的系数，f(x)表示函数值。
2. 求最值的条件要求二次函数的最值，必须先要满足二次函数的a值不为0，否则该函数就不是二次函数。
其次，需要根据二次函数的符号来判断最值，当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)，当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
3. 求最值的步骤求解二次函数的最值，一般可以分为以下几个步骤：（1）将二次函数化简为标准形式：y=ax+bx+c。
（2）求出二次函数的顶点坐标：(-b/2a , f(-b/2a))。
（3）判断二次函数的最值：当a>0时，函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，函数的最大值为f(-b/2a)。
（4）用最值来解题：根据题目要求，将二次函数的x值代入函数中求出对应的y值，从而得到函数的最值。
4. 拓展除了方法和步骤外，还有一些需要注意的点：（1）二次函数最值问题常常伴随着图像问题，需要将函数的图像画出来，从而更直观地理解问题。
（2）对于一些复杂的二次函数，可以借助计算器等工具来求解，但需要掌握求解方法和步骤。
（3）对于二次函数最值问题的解题，需要练习多种不同类型的题目，从而提高解题能力。
总之，掌握二次函数最值问题的解题技巧，需要学生在学习中不断积累，多加练习，从而提高数学解题能力。
二次函数的最值与极值问题
二次函数的最值与极值问题二次函数是一种具有一次项和二次项的多项式函数，通常用以下的一般形式表示：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在本文中，我们将讨论二次函数的最值与极值问题。
一、最值问题二次函数的最值表示函数的取值范围的极值点。
要确定二次函数的最值，首先需要弄清楚二次函数的开口方向。
当a > 0时，二次函数开口向上，此时函数的最小值为最值；当a < 0时，二次函数开口向下，此时函数的最大值为最值。
我们以一个具体的例子来说明。
考虑二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，根据题目要求，我们需要找到它的最值。
1. 确定二次函数的开口方向：由于a = 2 > 0，所以二次函数的开口向上。
2. 求出二次函数的顶点：二次函数的顶点是一个非常重要的概念，它是确定函数的最值的关键。
顶点的横坐标可以通过以下公式计算得到：x = -b/2a在这个例子中，我们可以计算得出：x = -( -3 ) / ( 2 × 2 ) = 3/4顶点的纵坐标可以通过将横坐标代入函数中计算得到：y = f(3/4) = 2 × (3/4)^2 - 3 × (3/4) + 1 = 11/8所以该二次函数的顶点为(3/4, 11/8)。
3. 确定最值：由于二次函数开口向上，所以顶点代表了函数的最小值。
所以函数f(x)的最小值是11/8，此时x取3/4。
二、极值问题极值点是指函数在某一点上的局部最值点。
对于二次函数来说，极值点就对应着函数的顶点。
回顾刚才的例子，我们已经计算出了二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点为(3/4, 11/8)。
这个顶点就是该函数的极小值点。
在极值问题中，有两种情况需要注意：1. 当二次函数开口向上时，顶点为极小值点；2. 当二次函数开口向下时，顶点为极大值点。
所以，在求二次函数的极值问题时，需要先找到顶点，再根据开口方向确定极值类型。
解二次函数的最值问题的步骤与技巧
解二次函数的最值问题的步骤与技巧二次函数是一种常见的数学函数形式，其表达式为f(x) = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数且a≠0。
解二次函数的最值问题是求解函数的最大值或最小值，这在数学及实际问题中都具有重要的意义。
本文将介绍解二次函数最值问题的步骤和技巧，帮助读者更好地理解和应用。
一、确定函数的开口方向要解二次函数的最值问题，首先需要确定函数的开口方向。
根据二次函数的导数和二次系数a的正负关系，可以判断函数的开口方向。
1. 当a＞0时，二次函数开口向上，图像形状为一个开口向上的抛物线，此时函数的最小值为负无穷，无最大值。
2. 当a＜0时，二次函数开口向下，图像形状为一个开口向下的抛物线，此时函数的最大值为负无穷，无最小值。
二、求出函数的顶点坐标函数的顶点是函数抛物线的最高点（当a＜0）或最低点（当a＞0）。
顶点坐标的求解可以通过求导或直接应用顶点公式完成。
1. 求解顶点坐标方法一：求导法通过对二次函数f(x) = ax^2 + bx + c求导，令导函数f'(x) = 0，即可得到顶点的横坐标x0。
将x0代入原函数，即可求得顶点的纵坐标f(x0)。
2. 求解顶点坐标方法二：顶点公式二次函数的顶点公式为x0 = -b/(2a)，f(x0) = f(-b/(2a)) = a(-b/(2a))^2 + b(-b/(2a)) + c。
三、判断最值根据函数的开口方向和顶点的坐标，可以判断函数的最大值或最小值。
1. 当a＜0时，二次函数开口向下，函数的最大值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。
2. 当a＞0时，二次函数开口向上，函数的最小值为f(x0)，此时的x0为顶点横坐标。
四、综合求解实例下面通过一个实例来综合运用以上步骤和技巧，解决一个二次函数的最值问题。
实例：求解函数f(x) = 2x^2 + 4x - 3的最值。
1. 确定开口方向：二次系数a = 2 > 0，说明函数开口向上。
二次函数的最值问题教案
二次函数的最值问题教案
教学目标：
1. 理解二次函数的最值概念，掌握求解二次函数最值的方法。
2. 学会分析和解决实际问题，培养创新思维和数学应用能力。
3. 培养学生对数学的兴趣和良好的学习习惯。
教学内容：
1. 二次函数最值的概念。
2. 求解二次函数最值的方法。
3. 应用实例。
教学重点：
1. 掌握二次函数最值的概念和求解方法。
2. 运用二次函数解决实际问题。
教学难点：
1. 分析实际问题中的数学模型。
2. 灵活运用二次函数解决实际问题。
教学方法：
1. 讲解法：通过讲解二次函数的最值概念和求解方法，帮助学生理解掌握。
2. 练习法：通过练习，让学生熟练掌握求解二次函数最值的方法。
3. 案例分析法：通过案例分析，培养学生分析和解决实际问题的能力。
教具准备：
1. 黑板和粉笔。
2. 多媒体课件：用于展示二次函数的图像和求解过程。
3. 教学范例：用于学生分析和解决问题。
教学过程：
1. 导入新课：通过复习已学知识，引出二次函数的最值概念。
2. 新课学习：讲解二次函数最值的概念和求解方法，结合实例进行讲解。
3. 练习巩固：让学生练习求解二次函数最值的题目，检验学生的掌握情况。
4. 案例分析：通过分析实际问题的数学模型，让学生了解如何运用二次函数解决实际问题。
5. 小结作业：总结本节课所学内容，布置作业。
二次函数的最值与零点问题
二次函数的最值与零点问题在数学中，二次函数是一种形式为y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
二次函数的图像通常是一条抛物线，它的顶点就是函数的最值点，也就是最大值或最小值的取点。
另外，二次函数的零点是使得函数取值为0的x轴上的点。
本文将重点讨论二次函数的最值与零点问题。
一、二次函数的最值问题当二次函数的系数a为正数时，图像呈现开口向上的抛物线形状，此时函数有最小值。
反之，当a为负数时，图像呈现开口向下的抛物线形状，此时函数有最大值。
我们可以通过求解二次函数的顶点坐标来确定函数的最值点。
二次函数的顶点坐标可以通过以下公式计算：顶点的横坐标x = -b / (2a)顶点的纵坐标y = f(x) = a(x)^2 + bx + c (将顶点的横坐标代入函数得到顶点的纵坐标)举例来说，设有二次函数y = 2x^2 - 4x + 3，我们可以先计算出顶点的横坐标：x = -(-4) / (2 * 2) = 1然后将横坐标带入函数，计算出顶点的纵坐标：y = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1所以，该二次函数的顶点坐标为(1, 1)，即最小值点为(1, 1)。
如果我们有一个二次函数的图像，也可以根据图像来确定函数的最值点。
开口向上的二次函数，最小值点就是抛物线的最低点；开口向下的二次函数，最大值点就是抛物线的最高点。
二、二次函数的零点问题二次函数的零点是使得函数取值为0的x轴上的点。
我们可以通过求解二次函数的零点来确定函数的根。
根据二次函数的定义，当y = ax^2 + bx + c等于0时，即可求解出x 的值。
对于一般的二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式（也称作二次方程的解根公式）来解得。
假设一般的二次方程的解根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)根据这个公式，我们可以得到二次函数的实根（即存在实数解的情况）或者复根（即存在复数解的情况）。
二次函数的最值点与顶点问题
二次函数的最值点与顶点问题二次函数是高中数学中重要的概念之一，研究二次函数的最值点与顶点问题有助于我们理解函数的性质和优化问题的解决。
本文将介绍二次函数的最值点和顶点，并通过例题讲解相关概念和求解方法。
一、二次函数与最值点二次函数是指具有以下形式的函数：$y=ax^2+bx+c$，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a\neq0$。
二次函数的图像一般为抛物线，而其中的最值点则是抛物线上的最高点或最低点。
通过求导数，我们可以确定二次函数的最值点的横坐标。
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其导数为$y'=2ax+b$。
令导数为零，则有$2ax+b=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。
所以，最值点的横坐标为$-\frac{b}{2a}$。
根据最值点的横坐标，我们可以计算出相应的纵坐标。
将横坐标代入二次函数的表达式中，即可求得最值点的纵坐标。
最终，我们得到了二次函数的最值点的坐标。
二、二次函数与顶点在二次函数中，最值点可以称作顶点。
当二次函数的系数$a$大于0时，抛物线开口向上，顶点为最低点；当$a$小于0时，抛物线开口向下，顶点为最高点。
以最低点为例，当$a>0$时，顶点的纵坐标为二次函数的最小值。
通过将顶点的横坐标代入二次函数的表达式，即可求得最小值。
同样地，当$a<0$时，顶点的纵坐标为二次函数的最大值。
通过求出顶点的坐标，我们可以得到二次函数的最值，这一点在求解优化问题中非常有用。
三、例题解析为了更好地理解二次函数的最值点与顶点问题，我们通过例题进行解析。
例题1：求函数$y=2x^2-4x+3$的最值点和顶点。
解：首先求得最值点的横坐标。
根据前面的知识，$-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\times2}=1$，所以最值点的横坐标为1。
然后求得最值点的纵坐标。
将横坐标代入函数表达式$y=2x^2-4x+3$中，得到$y=2\times1^2-4\times1+3=1$，所以最值点的纵坐标为1。
二次函数的极值问题
2.某公司试本单价,又不高于
800元/件,经市场调查,发现销售量y(件)与销售单价
x(元/件)可以近似看作一次函数的关系(如图).
(1)根据图象,求y与x的函数关系式;
(2)设公司获得的毛利润为s元,试求s与x的函数
关系式;
(3)试问:销售单价定为多少时,该公司可获得最大
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时,面积 不小于88平方米.
如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱 笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少 (3)若墙的最大可用长度为8米,则求围成花圃的最大面积.
y\元
6250 6000
05
可以看出，这个函数的
图像是一条抛物线的一
部分，这条抛物线的顶
点是函数图像的最高点，
也就是说当x取顶点坐
标的横坐标时，这个函
数有最大值。由公式可
30
x \ 元 以求出顶点的横坐标.
解:设每件降价x元时的总利润为y元.
y=(60-40-x)(300+20x) =(20-x)(300+20x)
少 设该种粮大户的今年总收益为y元.
y=440×360+(440-2x)●x
=-2x2+440x+158400 ……
=-2(x-110)2+182600
所以,当x=110时,y有最大值182600 ……
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高 比装修前的日租金的总收入增加多少元
二次函数最值问题及解题技巧(个人整理)
一、二次函数线段最值问题【1】1、平行于x轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用右侧端点的横坐标减去左侧端点的横坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、平行于y轴的线段最值问题1）首先表示出线段两个端点的坐标2）用上面端点的纵坐标减去下面端点的纵坐标3）得到一个线段长关于自变量的二次函数解析式4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值3、既不平行于x轴，又不平行于y轴的线段最值问题1）以此线段为斜边构造一个直角三角形，并使此直角三角形的两条直角边分别平行于x轴、y轴2）根据线段两个端点的坐标表示出直角顶点坐标3）根据“上减下，右减左”分别表示出两直角边长4）根据勾股定理表示出斜边的平方（即两直角边的平方和）5）得到一个斜边的平方关于自变量的二次函数6）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值7）根据所求得的斜边平方的最值求出斜边的最值即可二、二次函数周长最值问题1、矩形周长最值问题1）一般会给出一点落在抛物线上，从这点向两坐标轴引垂线构成一个矩形，求其周长最值2）可先设此点坐标，点p到x轴、y轴的距离和再乘以2，即为周长3）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、利用两点之间线段最短求三角形周长最值1）首先判断图形中那些边是定值，哪些边是变量2）利用二次函数轴对称性及两点之间线段最短找到两条变化的边，并求其和的最小值3）周长最小值即为两条变化的边的和最小值加上不变的边长三、二次函数面积最值问题1、规则图形面积最值问题（这里规则图形指三角形必有一边平行于坐标轴，四边形必有一组对边平行于坐标轴）1）首先表示出所需的边长及高2）利用求面积公式表示出面积3）得到一个面积关于自变量的二次函数4）将其化为顶点式，并根据a的正负及自变量的取值范围判断最值2、不规则图形面积最值问题1）分割。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
作业：
.已知函数 f(x)＝x2－2x＋2，求 x∈[t，t＋1]时，f(x)的 最大值 g(t)．
f ( x) x 2 2 x 2 ( x 1)2 1 对称轴为x 1 t t 1 1 1.当 1,即t 时， 2 2 g (t ) f (t ) t 2 2t 2 2.当 t t 1 1,即t 1 时 2 2 g (t ) f (t 1) t 2 1 2 1 t t 2t 2 2 g (t ) 1 t 2 1 t 2
t +2 3 4
x
y
t t +2 –1 0 1 2
3 4
x
评注：例1属于“轴 定区间变”的问题， 看作动区间沿x轴移 动的过程中，函数最 值的变化，即动区间 在定轴的左、右两侧 及包含定轴的变化， 要注意开口方向及端 点情况。
例2、求函数f(x)=x2–2ax-1在区间 [–1，2]上的最小值.
y
–1 0 1
2
x
小结：
1.二次函数在闭区间上的最值的求法: 四看(开口方向、轴和区间的位置、单 调性、最值点)加一看（看图像）. 2.二次函数在闭区间上的最值的规律: 两大类（对称轴在闭区间内、外） 四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、 内部靠近左端点、内部靠近右端点）. 3. 本节课用到的数学思想:数形结合思 想与分类讨论思想.
x
综上：
f ( x) min 2a 2 1 a 3 4a
a 1 1 a 2 a2
评注：例2属于“轴变区间定”的问题，看作 对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 区间上变化情况,要注意开口方向及端点情况。
y
–1 0 1
2
3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x –3.
（4）若 x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最小值. f ( x) x2 2 x 3 ( x 1)2 4 对称轴为x 1 1.当t 2 1,即t 1时， f ( x)在[t, t 2]为减函数 f ( x)min f (t 2) t 2 2t 3
3.当t 1时， f ( x)在[t , t 2]为增函数 f ( x)min f (t ) t 2 2t 3
综上：
f ( x) min t 2 +2t 3 t 1 1 t 1 4 2 t 2t 3 t 1
y
t
–1 0 1 2
复习：
求下列函数的对称轴，顶点坐标， 单调区间以及最值
。
(1) y=x2+2x+3 (2) y= -2x2+8x
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值； （2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 0，2 ], 求函数f(x)的最值； （4）若 x∈[t，t+2]时，求函数f(x)的最小值.
y
t t +2 –1 0 1 2
3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（4）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最小值.
y
2.当t 1 t 2时，即-1 t 1时 f ( x)min f (1) 4
t –1 0 1 t +2 x
2
3 4
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （4）若x∈[t，t+2]时， 求函数f(x)的最小值.
例1、已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
y
–2
0 1
3
Байду номын сангаас
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
y
–1 0 1
2
3 4
x
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （3）若x∈[ 0，2 ], 求函数f(x)的最值；
y
–1 0 1
2
x
f ( x) x2 2ax 1 ( x a ) 2 1 a 2 对称轴为x 1 1.当a 1时， f ( x)在[1,2]为增函数 f ( x)min f (1) 2a
例2、求函数f(x)=x2–2ax-1在区间 [–1，2]上的最小值.
y
2.当-1 a 2时 f ( x)min f (a) a 2 1
–1 0 1
2
x
例2、求函数f(x)=x2–2ax-1在区间 [–1，2]上的最小值.
y
3.当a 1时， f ( x)在[1,2]为减函数 f ( x)min f (2) 3 4a
2
–1 0 1
随堂练习
1.函数f ( x) x2 2 x 3在区间[0, m]上的最小值为2， 求m的范围。
2.函数f ( x) x2 2ax 1 a在区间[0,1]上有 最大值2，求实数a的值
1.m 1
2. 1或2
f ( x) ( x a)2 a 2 a 1 对称轴为x a 1.当a 0时， f ( x)max f (0) 1 a 2,a 1 2.当0 a 1 时， f ( x)max f (a) a2 a 1 2 a 1 5 [0,1]舍去 2 3.当a 1 时， f ( x)max f (1) a 2a 2 综上，a 1或a 2