年高考第一轮复习数学二次函数
(完整版)高考数学第一轮复习幂函数与二次函数
∴2m=0,∴m=0.
则f(x)=-x2+3在(-5,-3)上是增函数.
3.图中C1,C2,C3为三个幂函数y=xk在第一象限内的图象，则解
析式中指数k的值依次可以是( )
(A) 1, 1 ,3
2
(C) 1 , 1,3
2
(B) 1,3, 1
2
(D) 1 ,3, 1
2
【解析】选A.设C1,C2,C3对应的k值分别为k1,k2,k3，则
k1<0,0<k2<1,k3>1,故选A.
4.函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数，则实数 a的取值范围是______. 【解析】二次函数f(x)的对称轴是x=1-a, 由题意知1-a≥3,∴a≤-2. 答案：(-∞,-2]
5.设函数f(x)=mx2-mx-1，若f(x)<0的解集为R，则实数m的取
(A)a>0,4a+b=0
(B)a<0,4a+b=0
(C)a>0,2a+b=0
(D)a<0,2a+b=0
(2)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. ①当a=-2时,求f(x)的最值； ②求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数； ③当a=-1时,求f(|x|)的单调区间.
【解析】设f(x)=xn,则 3 ( 3 )n ,
3
即
3
1n
32
,
1
n
1, n
2,f
x
x 2 .
2
2.函数f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间(-5,-3)
2024年高考数学第一轮复习知识点总结
2024年高考数学第一轮复习知识点总结一、函数与方程（约占25%）1. 函数的概念与性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等。
2. 一次函数与二次函数：斜率、截距、图像特征、解析式、三要素表示法。
3. 指数函数与对数函数：性质、特征、解析式。
4. 三角函数：正弦函数、余弦函数、正切函数的性质、图像、周期与频率等。
5. 幂函数与反比例函数：性质、图像、变化规律。
6. 组合与复合函数：定义、性质、计算方法。
7. 方程与不等式：一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程的解法、根的判别、关系式、二次函数与方程。
二、空间与向量（约占15%）1. 点、直线与平面：空间几何图形的基本概念、关系与性质。
2. 空间向量：向量的表示、运算、模与单位向量、数量积与向量积的意义与计算。
3. 空间直线与平面的方程：点线面关系、夹角与距离、平面投影问题。
4. 空间几何证明：基本证明方法与技巧。
三、导数与微分（约占15%）1. 函数的导数：导数的定义与性质、基本导数公式、导数的几何意义、高阶导数。
2. 导数的计算：四则运算法则、链式法则、乘法法则、常见函数的导数。
3. 函数的微分：微分的定义与计算、微分与导数的关系、微分中值定理。
4. 导数应用：切线、法线、函数的极值与最值、函数的单调性、函数的凹凸性与拐点、不定积分、定积分等。
四、概率与统计（约占15%）1. 随机事件与概率：事件的概念、样本空间、事件的运算、概率的定义与性质、基本事件、条件概率与乘法定理。
2. 随机变量：离散型与连续型随机变量、分布函数、概率分布列、概率密度函数、期望与方差。
3. 概率分布：离散型随机变量的分布、二项分布、泊松分布、连续型随机变量的分布、均匀分布、正态分布。
4. 统计与抽样：参数与统计量、抽样方法与数据处理、样本均值与总体均值的关系、抽样分布与中心极限定理。
五、数列与数列极限（约占13%）1. 数列与数列极限：数列的概念与性质、数列极限的定义与性质、等差数列、等比数列、收敛性判定、数列极限的性质。
高考数学一轮复习教学案二次函数与幂函数(含解析)
第六节二次函数与幂函数[知识能否忆起]一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1图象定义域R R R{x|x≥0}{x|x≠0} 值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(－∞，0]减(0，＋∞)增增增(－∞，0)和(0，＋∞)减公共点(1,1)二、二次函数1．二次函数的定义形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数．2．二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)；(3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．3．二次函数的图象和性质a>0a<0 图象图象特点①对称轴：x＝－b2a；②顶点：⎝⎛⎭⎫－b2a，4ac－b24a性质定义域 x ∈R值域y ∈⎣⎡4ac －b 24a ，＋∞y ∈⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a 奇偶性b ＝0时为偶函数，b ≠0时既非奇函数也非偶函数单调性x ∈－∞，⎦⎤－b 2a 时递减，x ∈－b2a，＋∞时递增x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 时递增，x ∈⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞时递减[小题能否全取]1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2D ．f (x )＝x 2解析：选D 形如f (x )＝x α的函数是幂函数，其中α是常数．2．(教材习题改编)设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3解析：选A 在函数y ＝x －1，y ＝x ，y ＝x 12，y ＝x 3中，只有函数y ＝x 和y ＝x 3的定义域是R ，且是奇函数，故α＝1,3.3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，120B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－120，0 解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0得a >120.4．(教材习题改编)已知点M ⎝⎛⎭⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________．解析：设幂函数的解析式为y ＝x α，则3＝⎝⎛⎭⎫33α，得α＝－2.故y ＝x －2. 答案：y ＝x －25．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的最小值为________．解析：由题意知⎩⎨⎧－a ＋22＝1，a ＋b ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝6.则f (x )＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5≥5. 答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 2．与二次函数有关的不等式恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.[注意] 当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．幂函数的图象与性质典题导入[例1] 已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3在(0，＋∞)上是增函数，则m ＝________.[自主解答] ∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3是幂函数， ∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x －13在(0，＋∞)上是减函数； 当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1. [答案] －1由题悟法1．幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查： (1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．以题试法1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1解析：选B 由图①知，该图象对应的函数为奇函数且定义域为R ，当x >0时，图象是向下凸的，结合选项知选B.(2)(·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)aB ．(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2aC.⎝⎛⎭⎫12a>(0.2)a>2aD ．2a >(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a解析：选B 若a <0，则幂函数y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝⎛⎭⎫12a>2a .求二次函数的解析式典题导入[例2] 已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1. (1)求f (x )解析式；(2)若g (x )与f (x )图象关于原点对称，求g (x )解析式． [自主解答] (1)由于f (x )有两个零点0和－2， 所以可设f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)， 这时f (x )＝ax (x ＋2)＝a (x ＋1)2－a ， 由于f (x )有最小值－1，所以必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a ＝－1，解得a ＝1.因此f (x )的解析式是f (x )＝x (x ＋2)＝x 2＋2x .(2)设点P (x ，y )是函数g (x )图象上任一点，它关于原点对称的点P ′(－x ，－y )必在f (x )图象上，所以－y ＝(－x )2＋2(－x )， 即－y ＝x 2－2x ， y ＝－x 2＋2x ， 故g (x )＝－x 2＋2x .由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法．合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法．以题试法2．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图； (3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，则y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.当x<－2时，即－x>2.又f(x)为偶函数，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.所以函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．二次函数的图象与性质典题导入[例3]已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数．[自主解答](1)当a＝－2时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，由于x∈[－4,6]．所以f(x)在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)＝－1，又f(－4)＝35，f(6)＝15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.故a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．本例条件不变，求当a ＝1时，f (|x |)的单调区间． 解：当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，则f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈(0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，故f (|x |)的单调递增区间是(0,6]， 单调递减区间是[－6,0]．由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论．(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法．以题试法3．(·泰安调研)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时有最大值2，则a 的值为________．解析：f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1， 当a >1时，y max ＝a ；当0≤a ≤1时，y max ＝a 2－a ＋1； 当a ＜0时，y max ＝1－a .根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞1，a ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤a ≤1，a 2－a ＋1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1－a ＝2，解得a ＝2或a ＝－1. 答案：2或－1二次函数的综合问题[例4] (·衡水月考)已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围．[自主解答] (1)∃x ∈R ，f (x )<bg (x )⇒∃x ∈R ， x 2－bx ＋b <0⇒(－b )2－4b >0⇒b <0或b >4. 故b 的取值范围为(－∞，0)∪(4，＋∞)． (2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2， Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4. ①当Δ≤0，即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0，－255≤m ≤255⇒－255≤m ≤0.②当Δ>0，即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)．若m2≥1，则x 1≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1，F (0)＝1－m 2≤0⇒m ≥2； 若m2≤0，则x 2≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0，F (0)＝1－m 2≥0⇒－1≤m ≤－255.综上所述，m 的取值范围为[－1,0]∪[2，＋∞)．由题悟法二次函数与二次方程、二次不等式统称“三个二次”，它们之间有着密切的联系，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关“三个二次”的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上，不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)由f (0)＝1，得c ＝1.即f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，则a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.因此，f (x )＝x 2－x ＋1.(2)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0，要使此不等式在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上的最小值大于0即可．∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1>0得，m <－1.因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．1．已知幂函数f (x )＝x α的部分对应值如下表：x 1 12 f (x )122则不等式f (|x |)≤2的解集是(A ．{x |0<x ≤2} B ．{x |0≤x ≤4} C ．{x |－2≤x ≤2}D ．{x |－4≤x ≤4}解析：选D 由f ⎝⎛⎭⎫12＝22⇒α＝12，即f (x )＝x 12，故f (|x |)≤2⇒|x |12≤2⇒|x |≤4，故其解集为{x |－4≤x ≤4}．2．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D ∵a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a >0，c <0.∴图象开口向上与y 轴交于负半轴．3．已知f (x )＝x 12，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是( )A ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b B ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b )<f (a ) C ．f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a D ．f ⎝⎛⎭⎫1a <f (a )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f (b ) 解析：选C 因为函数f (x )＝x 12在(0，＋∞)上是增函数，又0<a <b <1b <1a ，故f (a )<f (b )<f ⎝⎛⎭⎫1b <f ⎝⎛⎭⎫1a .4．已知f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f (－3)<c <f ⎝⎛⎭⎫52 B ．f ⎝⎛⎭⎫52<c <f (－3) C ．f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)<cD ．c <f ⎝⎛⎭⎫52<f (－3)解析：选D 由已知可得二次函数图象关于直线x ＝1对称，则f (－3)＝f (5)，c ＝f (0)＝f (2)，二次函数在区间(1，＋∞)上单调递增，故有f (－3)＝f (5)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (2)＝f (0)＝c .5．设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．[2，＋∞)C ．(－∞，0]∪[2，＋∞)D ．[0,2]解析：选D 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)≤0，x ∈[0,1]，所以a >0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝1. 所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2.6．若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，－52B.⎝⎛⎭⎫52，＋∞ C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫－52，＋∞ 解析：选B 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0，解得m >52. 7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增； ③它们的图象关于直线y ＝x 对称； ④两个函数都是偶函数； ⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)； ⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________．解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较． 答案：①②⑤⑥8．(·北京西城二模)已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，则实数b ＝________，不等式f (x －1)<x 的解集为________．解析：因为f (x )＝x 2＋bx ＋1是R 上的偶函数，所以b ＝0，则f (x )＝x 2＋1，解不等式(x －1)2＋1<x ，即x 2－3x ＋2<0得1<x <2.答案：0 {x |1<x <2}9．若x ≥0，y ≥0，且x ＋2y ＝1，那么2x ＋3y 2的最小值为________． 解析：由x ≥0，y ≥0，x ＝1－2y ≥0知0≤y ≤12，令t ＝2x ＋3y 2＝3y 2－4y ＋2， 则t ＝3⎝⎛⎭⎫y －232＋23. 在⎣⎡⎦⎤0，12上递减，当y ＝12时，t 取到最小值，t min ＝34.答案：3410．如果幂函数f (x )＝x －12p 2＋p ＋32(p ∈Z)是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．求p的值，并写出相应的函数f (x )的解析式．解：∵f (x )在(0，＋∞)上是增函数， ∴－12p 2＋p ＋32>0，即p 2－2p －3<0.∴－1<p <3.又∵f (x )是偶函数且p ∈Z ， ∴p ＝1，故f (x )＝x 2.11．已知二次函数f (x )的图象过点A (－1,0)、B (3,0)、C (1，－8)． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在x ∈[0,3]上的最值； (3)求不等式f (x )≥0的解集．解：(1)由题意可设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)， 将C (1，－8)代入得－8＝a (1＋1)(1－3)，得a ＝2. 即f (x )＝2(x ＋1)(x －3)＝2x 2－4x －6. (2)f (x )＝2(x －1)2－8，当x ∈[0,3]时，由二次函数图象知， f (x )min ＝f (1)＝－8，f (x )max ＝f (3)＝0. (3)f (x )≥0的解集为{x |x ≤－1，或x ≥3}．12．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2. (1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围． 解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝5，f (2)＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. 当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f (3)＝2，f (2)＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2. g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2， ∵g (x )在[2,4]上单调，∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.1．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13 B.12 C.34D ．1解析：选D 当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.2．(·青岛质检)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 3．(·滨州模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R)．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知得c ＝1，a －b ＋c ＝0，－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.则f (x )＝(x ＋1)2.则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0.故F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意得f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又当x ∈(0,1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2，故－2≤b ≤0.1．比较下列各组中数值的大小． (1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.125，3.8－25，(－1.4)35；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y ＝3x 是增函数，故30.8>30.7. (2)y ＝x 3是增函数，故0.213<0.233.(3)4.125>1,0<3.8－25<1，而(－1.4)35<0，故4.125>3.8－25>(－1.4)35.(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y ＝0.2x 是减函数，故0.20.5<0.20.3；y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数，故0.20.3<0.40.3.则0.20.5<0.40.3.2．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：选D 当－b2a <0时，ab >0，从而c >0，可排除A ，C ；当－b2a >0时，ab <0，从而c <0，可排除B ，选D.3．已知函数f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)试讨论函数f (x )的单调性；(2)若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )＝M (a )－N (a )，求g (a )的表达式；(3)在(2)的条件下，求证：g (a )≥12.解：(1)当a ＝0时，函数f (x )＝－2x ＋1在(－∞，＋∞)上为减函数； 当a >0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向上，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为减函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为增函数； 当a <0时，抛物线f (x )＝ax 2－2x ＋1开口向下，对称轴为x ＝1a ，故函数f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，1a 上为增函数，在⎣⎡⎭⎫1a ，＋∞上为减函数． (2)∵f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －1a 2＋1－1a， 由13≤a ≤1得1≤1a ≤3，∴N (a )＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1－1a . 当1≤1a <2，即12<a ≤1时，M (a )＝f (3)＝9a －5，故g (a )＝9a ＋1a－6；当2≤1a ≤3，即13≤a ≤12时，M (a )＝f (1)＝a －1，故g (a )＝a ＋1a－2.∴g (a )＝⎩⎨⎧a ＋1a－2，a ∈⎣⎡⎦⎤13，12，9a ＋1a －6，a ∈⎝⎛⎦⎤12，1.(3)证明：当a ∈⎣⎡⎦⎤13，12时，g ′(a )＝1－1a 2<0， ∴函数g (a )在⎣⎡⎦⎤13，12上为减函数； 当a ∈⎝⎛⎦⎤12，1时，g ′(a )＝9－1a 2>0， ∴函数g (a )在⎝⎛⎦⎤12，1上为增函数，∴当a ＝12时，g (a )取最小值，g (a )min ＝g ⎝⎛⎭⎫12＝12. 故g (a )≥12.。
2024届新高考一轮复习北师大版 第1章 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 课件(56张)
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
__{_x_|_x_<_x_1 _或__x_>_x_2_}__
xx≠－2ba
R
ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
____{x_|_x_1<_x_<_x_2_}_____
返回导航
5.分式不等式与整式不等式
f（x） (1)g（x）
>0(<0)⇔______f(_x_)_g_(x_)_>_0_(_<_0_)___________；
返回导航
3．一元二次不等式的概念 一般地，形如 ax2＋bx＋c＞0 或 ax2＋bx＋c<0 或 ax2＋bx＋c≥0 或 ax2 ＋bx＋c≤0(其中，x 为未知数，a，b，c 均为常数，且 a≠0)的不等式叫作 一元二次不等式，使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫 作这个一元二次不等式的解集．
返回导航
(3)若二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象开口向下，则不等式 ax2＋bx＋c<0
的解集一定不是空集．( )
x－a (4)x－b
≥0 等价于(x－a)(x－b)≥0.(
)
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
返回导航
[对点查验]
1．不等式 x2＋2x－3>0 的解集为( )
A．x|－3<x<1
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象
法求解
返回导航
[常用结论]
1．不等式 ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决
定．
高考数学一轮复习二次函数与一元二次方程、不等式
则 a＝－12，b＝－2.所以 a＋b＝－14.
答案：－14
4．(人教A版必修①P58·T6改编)若关于x的不等式x2－2ax＋18>0恒成立， 则实数a的取值范围为________． 解析：由题意有 4a2－4×18< 0，可得－3 2< a< 3 2.
答案：(－3 2，3 2)
二、易错易混小题的矫正纠偏
(2) 转 化 为 函 数 值 域 问 题 ， 即 ： 已 知 函 数 f(x) 的 值 域 为 [m ， n] ， 则 f(x)≥a 恒 成 立 ⇒ f(x)min≥a ， 即 m≥a ； f(x)≤a 恒 成 立 ⇒ f(x)max≤a ， 即 n≤a.
角度3 给定参数范围的恒成立问题
[例3] (2023·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3在0≤p≤4时恒
意x都成立，则实数m的取值范围是
()
A．(－2,2) B．(2，＋∞) C．(－2,2] D．[－2,2] 解析：原不等式可整理为(2－m)x2＋(4－2m)x＋4＞0.当 m＝2 时，不
等 式 为 4 ＞ 0 ， 该 不 等 式 恒 成 立 ； 当 m≠2 时 ， 必 须 满 足
2－m＞0， 4－2m2－4×42－m＜0，
[答案] (1)B (2)(－2,3]
[方法技巧] 解一元二次不等式的4个步骤
角度2 解含参一元二次不等式 [例2] 解关于x的不等式x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0. [解] ∵x2－(3a＋1)x＋2a(a＋1)>0，∴(x－2a)[x－(a＋1)]>0， 令f(x)＝(x－2a)[x－(a＋1)]， 则f(x)的图象开口向上，且与x轴交点横坐标分别为2a，a＋1. ①当2a＝a＋1，即a＝1时，解得x≠2； ②当2a>a＋1，即a>1时，解得x<a＋1或x>2a； ③当2a<a＋1，即a<1时，解得x<2a或x>a＋1. 综上，当a<1时，不等式的解集为{x|x<2a或x>a＋1}； 当a＝1时，不等式的解集为{x|x<2或x>2}； 当a>1时，不等式的解集为{x|x<a＋1或x>2a}．
高考数学一轮复习全套课时作业2-4二次函数
2.4二次函数一、单项选择题1．若函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，则这区间可以是( )A ．[－4，0]B ．(－∞，0]C ．(－∞，－5]D ．(－∞，4]2．若二次函数f(x)满足f(x ＋1)－f(x)＝2x ，且f(0)＝1，则f(x)的表达式为( )A ．f(x)＝－x 2－x －1B ．f(x)＝－x 2＋x －1C ．f(x)＝x 2－x －1D ．f(x)＝x 2－x ＋13．已知m>2，点(m －1，y 1)，(m ，y 2)，(m ＋1，y 3)都在二次函数y ＝x 2－2x 的图象上，则( )A ．y 1<y 2<y 3B ．y 3<y 2<y 1C ．y 1<y 3<y 2D ．y 2<y 1<y 34．(2020·杭州学军中学月考)已知函数f(x)＝x 2－2x ＋m ，若f(x 1)＝f(x 2)(x 1≠x 2)，则f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的值为( ) A ．1B ．2C ．m －1D ．m5．已知函数f(x)＝－x 2＋4x ，x ∈[m ，5]的值域是[－5，4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，2]C ．[－1，2]D ．[2，5)6．设abc ＞0，则二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )7．(2021·郑州质检)若二次函数y ＝x 2＋ax ＋1对于一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒有y ≥0成立，则a 的最小值是( ) A ．0B ．2C ．－52D ．－3二、填空题与解答题8．若二次函数y ＝8x 2－(m －1)x ＋m －7的值域为[0，＋∞)，则m ＝________．9．(1)已知函数f(x)＝4x 2＋kx －8在[－1，2]上具有单调性，则实数k 的取值范围是________．10．已知y ＝(cosx －a)2－1，当cosx ＝－1时，y 取最大值，当cosx ＝a 时，y 取最小值，则a 的取值范围是________．11．函数f(x)＝x 2＋2x ，若f(x)>a 在区间[1，3]上满足：①恒有解，则a 的取值范围为________； ②恒成立，则a 的取值范围为________．12．如果函数f(x)＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，那么实数a ＝________．13．(2020·邯郸一中月考)已知函数f(x)＝x 2－6x ＋5，x ∈[1，a]，并且函数f(x)的最大值为f(a)，则实数a 的取值范围是________．14．已知函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，则实数m 的取值范围是________．15．已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R )，x ∈R .(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求实数k 的取值范围．16．(2021·山东济宁模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c （x ≤0），2（x>0），若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x 的方程f(x)＝x 的解的个数为( )A ．4B ．2C ．1D ．317．二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋1(a>0)，设f(x)＝x 的两个实根为x 1，x 2.(1)如果b ＝2且|x 2－x 1|＝2，求a 的值；(2)如果x 1<2<x 2<4，设函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，求证：x 0>－1.2.4二次函数 参考答案1．答案 C2．答案 D解析 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a （x ＋1）2＋b （x ＋1）＋c －（ax 2＋bx ＋c ）＝2x. 故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝0，c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝1，则f(x)＝x 2－x ＋1.故选D.3．答案 A解析 ∵m ＞2，∴m －1＞1.∴三点均在对称轴的右边．∵函数在[1，＋∞)上是增函数，∴y 1＜y 2＜y 3.4．答案 C解析 由题意知，函数图象的对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝f(1)＝m －1.故选C.5．答案 C解析 二次函数f(x)＝－x 2＋4x 的图象是开口向下的抛物线，最大值为4，且在x ＝2时取得，而当x ＝5或－1时，f(x)＝－5，结合图象可知m 的取值范围是[－1，2]．6．答案 D解析 若a ＞0，b ＜0，c ＜0，则对称轴x ＝－b 2a＞0，函数f(x)的图象与y 轴的交点(0，c)在x 轴下方．故选D.7．答案 C解析 设g(x)＝ax ＋x 2＋1，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，则g(x)≥0在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立，即a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上恒成立．又h(x)＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 在x ∈⎝⎛⎦⎤0，12上为单调递增函数，故h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12，所以a ≥－⎝⎛⎭⎫12＋2即a ≥－52. 8．答案 9或25解析 y ＝8⎝⎛⎭⎫x －m －1162＋m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162，∵值域为[0，＋∞)，∴m －7－8·⎝⎛⎭⎫m －1162＝0， ∴m ＝9或25.9．(1)答案 (－∞，－16]∪[8，＋∞)解析 函数f(x)＝4x 2＋kx －8的对称轴为x ＝－k 8，则－k 8≤－1或－k 8≥2，解得k ≥8或k ≤－16. (2)答案 (－4，＋∞)解析 函数y ＝x 2＋bx ＋2b －5的图象是开口向上，以x ＝－b 2为对称轴的抛物线，所以此函数在⎝⎛⎭⎫－∞，－b 2上单调递减．若此函数在(－∞，2)上不是单调函数，只需－b 2<2，解得b>－4.所以实数b 的取值范围为(－4，＋∞)．10．答案 [0，1]解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤0，－1≤a ≤1，∴0≤a ≤1. 11．答案 ①(－∞，15) ②(－∞，3)解析 ①f(x)>a 在区间[1，3]上恒有解，等价于a<f(x)max ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝3时，f(x)max ＝15，故a 的取值范围为a<15.②f(x)>a 在区间[1，3]上恒成立，等价于a<f(x)min ，又f(x)＝x 2＋2x 且x ∈[1，3]，故当x ＝1时，f(x)min ＝3，故a 的取值范围为a<3.12．答案 1解析 因为函数f(x)＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线，所以函数的最大值在区间的端点取得．因为f(0)＝－a ，f(2)＝4－3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 13．答案 [5，＋∞)解析 ∵f(x)的对称轴为x ＝3，要使f(x)在[1，a]上的最大值为f(a)，由图象对称性知a ≥5.14．答案 [0，4]解析 因为函数f(x)＝mx 2＋mx ＋1的定义域是实数集R ，所以m ≥0，当m ＝0时，函数f(x)＝1，其定义域是实数集R ；当m>0时，则Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4.综上所述，实数m 的取值范围是[0，4]．15．答案 (1)f(x)＝x 2＋2x ＋1，单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1](2)(－∞，1)解析 (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a ＝－1，f （－1）＝a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.所以f(x)＝x 2＋2x ＋1. 由f(x)＝(x ＋1)2知，函数f(x)的单调递增区间为[－1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，－1]．(2)由题意知，x 2＋2x ＋1>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，即k<x 2＋x ＋1在区间[－3，－1]上恒成立．令g(x)＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，由g(x)＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34，知g(x)在区间[－3，－1]上是减函数． 则g(x)min ＝g(－1)＝1.所以k<1.即k 的取值范围是(－∞，1)．16．答案 D解析 由解析式可得f(－4)＝16－4b ＋c ＝f(0)＝c ，解得b ＝4.由f(－2)＝4－8＋c ＝－2，可求得c ＝2.∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2（x ≤0），2（x>0）.又f(x)＝x ， 则当x ≤0时，x 2＋4x ＋2＝x ，解得x 1＝－1，x 2＝－2.当x>0时，x ＝2，综上可知有三解．17．答案 (1)a ＝－1＋22(2)证明见解析 解析 (1)当b ＝2时，f(x)＝ax 2＋2x ＋1(a>0)．方程f(x)＝x 为ax 2＋x ＋1＝0，则Δ＝1－4a>0，则0<a<14.由韦达定理，可知x 1＋x 2＝－1a ，x 1x 2＝1a. |x 2－x 1|＝2⇒(x 2－x 1)2＝4⇒(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝4.则⎝⎛⎭⎫－1a 2－4a＝4，即4a 2＋4a －1＝0. 解得a ＝－1＋22或a ＝－1－22(舍去)． (2)证明：∵ax 2＋(b －1)x ＋1＝0(a>0)的两根满足x 1<2<x 2<4，∴Δ＝(b －1)2－4a>0.设g(x)＝ax 2＋(b －1)x ＋1(a>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g （2）<0，g （4）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2（b －1）＋1<0，16a ＋4（b －1）＋1>0⇒⎩⎨⎧2a>14，b<14. ∴2a －b>0.此时，Δ＝(b －1)2－4a.又∵函数f(x)的对称轴为x ＝x 0，∴x 0＝－b 2a>－1.。
新课标2023版高考数学一轮总复习第2章函数第4节二次函数与幂函数教师用书
第四节 二次函数与幂函数考试要求：1．通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝x －1，y ＝x 2，y ＝x 12，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数．2．理解简单二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．一、教材概念·结论·性质重现 1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α称为幂函数，其中α为常数．幂函数的特征(1)自变量x 处在幂底数的位置，幂指数α为常数． (2)x α的系数为1． (3)解析式只有一项． 2．常见的五种幂函数的图象3．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图象，并且图象都通过点(1,1)．(2)如果α>0，则幂函数的图象通过原点，并且在(0，＋∞)上是增函数．(3)如果α<0，则幂函数在(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方且无限逼近y 轴；当x 无限增大时，图象在x 轴上方且无限逼近x 轴．4．二次函数的图象与性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a单调性在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增； 在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减奇偶性 当b ＝0时为偶函数，当b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ⎝⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b2a成轴对称图形二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关． (1)“ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＞0且Δ＜0”． (2)“ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立”的充要条件是“a ＜0且Δ＜0”． 二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( × )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n是定义域上的减函数． ( × ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R 不可能是偶函数．( × )2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，则f (2)＝( ) A ．14 B ．4 C ．22D ． 2C 解析：设f (x )＝x α，因为图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12，所以f (4)＝4α＝12，解得α＝－12，所以f (2)＝2－12＝22．3．二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，且f (x )的最大值是5，则该函数的解析式是( )A ．f (x )＝2x 2－8x ＋11 B ．f (x )＝－2x 2＋8x －1 C ．f (x )＝2x 2－4x ＋3D ．f (x )＝－2x 2＋4x ＋3D 解析：二次函数f (x )的图象经过(0,3)，(2,3)两点，则图象的对称轴为x ＝1．又由函数的最大值是5，可设f (x )＝a (x －1)2＋5(a ≠0)．于是3＝a ＋5，解得a ＝－2．故f (x )＝－2(x －1)2＋5＝－2x 2＋4x ＋3．故选D ．4．(多选题)(2022·海南中学月考)若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3,27)，则幂函数f (x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数AC 解析：设幂函数为f (x )＝x α(α为常数)，因为其图象经过点(3,27)，所以27＝3α，解得α＝3，所以幂函数f (x )＝x 3．因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，又α＝3＞0，所以f (x )在R 上是增函数．5．已知函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是__________．－1 解析：因为函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝32>1，所以函数y ＝2x 2－6x＋3在[－1,1]上单调递减．当x ＝1时，y 取得最小值，所以y min ＝2－6＋3＝－1．考点1 幂函数的图象和性质——基础性1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数D 解析：设幂函数f (x )＝x a ，则f (3)＝3a＝3，解得a ＝12，所以f (x )＝x 12＝x ，是非奇非偶函数，且在区间(0，＋∞)上是增函数．2．(2021·南昌月考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·x m 2－m －2的图象不过原点，则( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1B 解析：因为幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不过原点，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2≤0，m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或2，符合题意．故选B ．3．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )B 解析：y ＝x 12的图象位于第一象限且函数图象是上升的，函数y ＝x 12－1的图象可看作由y ＝x 12的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A 中的图象所示)．将y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称后即为选项B ．4．若(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，则a 的取值范围是___________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，23∪(4，＋∞) 解析：因为(a ＋1)－2＞(3－2a )－2，又f (x )＝x －2为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧|a ＋1|＜|3－2a |，a ＋1≠0，3－2a ≠0，解得a ＜23且a ≠－1或a ＞4．1．解决这类问题要优先考虑幂函数的定义以及解析式，然后结合幂函数的图象与性质来求解．2．有些题目，如第4题利用幂函数的推广性质以及函数有关性质共同得出结论．考点2 二次函数的解析式——综合性已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，求二次函数f (x )的解析式．解：(方法一：利用二次函数的一般式)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．(方法二：利用二次函数的顶点式)设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12．所以m ＝12．又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以y ＝f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8．因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， 所以f (x )＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7．(方法三：利用二次函数的零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)，a ≠0， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1． 又函数有最大值y max ＝8，即4a－2a －1－a24a＝8，解得a ＝－4．故f (x )＝－4x 2＋4x ＋7．求二次函数解析式的策略1．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( ) A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B 解析：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点， 则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b ．所以M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然与a 有关，与b 无关．2．(2022·青岛模拟)设a ，b 为不相等的实数，若二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 满足f (a )＝f (b )，则f (2)＝( )A ．7B ．5C ．4D ．2C 解析：由f (x )＝x 2＋ax ＋b 可得函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝－a2．又由a ≠b ，f (a )＝f (b )得f (x )图象的对称轴为直线x ＝a ＋b 2，所以－a 2＝a ＋b2，得2a ＋b ＝0，所以f (2)＝4＋2a ＋b ＝4．故选C ．考点3 二次函数的图象和性质——应用性考向1 二次函数的图象应用(1)已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )D 解析：因为函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，所以－2,1是方程ax2－x －c ＝0的两根．把x ＝－2,1分别代入方程得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2－c ＝0，a －1－c ＝0，联立解得a ＝－1，c＝－2．所以f (x )＝－x 2－x ＋2．所以函数y ＝f (－x )＝－x 2＋x ＋2，可知其图象开口向下，与x 轴的交点坐标分别为(－1,0)和(2,0)．故选D ．(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )A 解析：若0<a <1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减；y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向下，对称轴在y 轴左侧，排除C ，D ．若a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝(a －1)x 2－x 的图象开口向上，且对称轴在y 轴右侧，因此B 不正确，只有A 满足．1．解决二次函数图象问题的基本方法 (1)排除法．抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系． 2．分析二次函数图象问题的要点一是看二次项系数的符号；二是看对称轴和顶点；三是看函数图象上的一些特殊点．从这三方面入手，能准确地判断出二次函数的图象．反之，也能从图象中得到如上信息．考向2 二次函数的单调性若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－3]C ．[－2,0]D ．[－3,0]D 解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的图象对称轴为x ＝3－a2a ．由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a ＜0．综上，a 的取值范围为[－3,0]．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a ＝________． －3 解析：由题意知f (x )必为二次函数且a <0． 又3－a2a＝－1，所以a ＝－3．利用二次函数的单调性解题时的注意点(1)对于二次函数的单调性，关键是看图象的开口方向与对称轴的位置．若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数(或式)通过二次函数的图象的对称性转化到同一单调区间上比较．考向3 二次函数的最值已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a ．①当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去． ②当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38．③当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1,2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3．综上可知，a 的值为38或－3．将本例改为：求函数f (x )＝x 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上的最大值． 解：f (x )＝(x ＋a )2＋1－a 2，f (x )的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x ＝－a ．①当－a ＜12，即a ＞－12时，f (x )max ＝f (2)＝4a ＋5．②当－a ≥12，即a ≤－12时，f (x )max ＝f (－1)＝2－2a ．综上，f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋5，a ＞－12，2－2a ，a ≤－12.二次函数的最值问题的类型二次函数的最值问题主要有以下几类：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．考向4 二次函数中的恒成立问题已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1,1]上不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由题意可知，f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＞0在[－1,1]上恒成立，只需使函数g (x )在[－1,1]上的最小值大于0即可．因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1,1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1＞0得m ＜－1．因此，满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)．由不等式恒成立求参数的取值范围将问题归结为求函数的最值，依据是a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min ．1．(2021·洛阳一中检测)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则f (x )的图象可能是( )D 解析：由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c ＜0，所以函数图象开口向上，排除选项A ，C ．又f (0)＝c ＜0，排除选项B ．故选D ．2．(多选题)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，则f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的可能是( )A ．f (－1)B ．f (1)C ．f (2)D ．f (5)ACD 解析：因为对任意实数t 都有f (4＋t )＝f (－t )成立，所以函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的对称轴是x ＝2．当a ＞0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (2)；当a ＜0时，函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的是f (－1)和f (5)．3．函数f (x )＝ax 2－(a －1)x －3在区间[－1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13 B ．(－∞，0)C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，13 D 解析：若a ＝0，则f (x )＝x －3，f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，符合题意．若a ≠0，因为f (x )在区间[－1，＋∞)上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －12a≤－1，解得0<a ≤13．综上，0≤a ≤13．故选D ．4．已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为___________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12 解析：2ax 2＋2x －3＜0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，－3＜0，成立； 当x ≠0时，a ＜32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －132－16，易知1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值12，所以a ＜12．综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12．。
2023年高考数学一轮复习单元检测二函数含解析文
单元检测(二) 函数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的定义域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 2．下列四个函数：①y ＝3－x ；②y ＝2x －1(x >0)；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）.其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋5的图象过点P (－1，11)，且其对称轴是直线x ＝1，则a ＋b 的值是( )A ．－2B ．0C ．1D ．24．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．25．[2022·湖北武汉武昌调研]函数f (x )＝x 2e x|x |的图象大致为( )6．已知函数y ＝f (x ＋1)是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[1，＋∞)上单调递减，则不等式f (2x －1)>f (x ＋2)的解集为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1B ．[1，3)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，3D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3 7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，c ＝log 278，定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f (a )，f (b )，f (c )的大小顺序为( )A ．f (b )>f (a )>f (c )B ．f (c )>f (b )>f (a )C ．f (c )>f (a )>f (b )D ．f (b )>f (c )>f (a )8．某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数x (正常情况下0≤x ≤100，且教职工平均月评价分数在50分左右，若有突出贡献可以高于100分)计算当月绩效工资y (元)，要求绩效工资不低于500元，不设上限，且让大部分教职工的绩效工资在600元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝(x －50)2＋500B ．y ＝10x25＋500 C ．y ＝11000(x －50)3＋625 D ．y ＝50[10＋lg (2x ＋1)]9．在实数的原有运算法则(“·”“－”仍为通常的乘法和减法)中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则当x ∈[－2，2]时，函数f (x )＝(1⊕x )·x －(2⊕x )的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．1210．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，g (x )为定义在R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝x 2－2x －5.若f [g (a )]≤2，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[0，22－1]B ．[－1，22－1]C ．(－∞，－1]∪(0，3]D ．[－1，3]11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋11＋2x－13，则函数y ＝[f (x )]的值域是( ) A ．{0，1}B ．{－1，1} C ．{－1，0}D ．{－1，0，1}12．已知函数f (x )是R 上的偶函数，对于x ∈R 都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)成立，且f (3)＝－1，当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0.则给出下列命题：①f (2017)＝－1；②函数y ＝f (x )图象的一条对称轴方程为x ＝－4；③函数y ＝f (x )在[－6，－4]上为减函数；④方程f (x )＝0在[－6，6]上有4个根．其中正确的命题个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数y ＝log a (x －1)＋4的图象恒过点P ，点P 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，则f (－2)＋f (log 23)的值是________．15．已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm＝________.16．若直角坐标平面内不同两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数y ＝f (x )的图象上，②P ，Q 关于原点对称，则称(P ，Q )是函数y ＝f (x )的一个“伙伴点组”(点组(P ，Q )与(Q ，P )可看成同一个“伙伴点组”).已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k （x ＋1），x <0，x 2＋1，x ≥0有两个“伙伴点组”，则实数k 的取值范围是________________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝log 3(ax 2－x ＋3)，a ∈R . (1)若函数f (x )的定义域为R ，求a 的取值范围；(2)已知集合M ＝[1，3]，方程f (x )＝2的解集为N ，若M ∩N ≠∅，求a 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x . (1)求函数f (x )在R 上的解析式；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．19．(本小题满分12分)已知定义域为R 的函数f (x )＝b －2x2x ＋a是奇函数，其中a ，b 为实数．(1)求实数a ，b 的值；(2)用定义证明f (x )在R 上是减函数；(3)若对于任意的t ∈[－2，2]，不等式f (t 2－2t )＋f (－2t 2＋k )<0恒成立，求实数k 的取值范围．20．(本小题满分12分)中国“一带一路”战略构思提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备．生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产x 台，需另投入成本c (x )(万元)，当年产量不足80台时，c (x )＝12x 2＋40x (万元)；当年产量不小于80台时，c (x )＝101x ＋8100x－2180(万元).若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．(1)求年利润y (万元)关于年产量x (台)的函数关系式；(2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？21．(本小题满分12分)已知关于x 的函数f (x )＝2x＋(a －a 2)·4x，其中a ∈R . (1)当a ＝2时，求满足f (x )≥0的实数x 的取值范围；(2)若当x ∈(－∞，1]时，函数f (x )的图象总在直线y ＝－1的上方，求a 的整数值．22．(本小题满分12分)函数f (x )＝2x －a x(a ∈R )的定义域为(0，1]. (1)当a ＝－1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围；(3)求函数y ＝f (x )在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取得最值时x 的值．单元检测（二） 函数1．答案：C解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12∈[0，2]，x －12∈[0，2]，即⎩⎪⎨⎪⎧x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，52，所以x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32. 2．答案：B解析：①y ＝3－x 的定义域和值域均为R ，②y ＝2x －1（x >0）的定义域为（0，＋∞），值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，③y ＝x 2＋2x －10的定义域为R ，值域为[－11，＋∞），④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x ≤0），1x（x >0）的定义域和值域均为R .所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个．3．答案：A解析：因为二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋5的图象的对称轴是直线x ＝1，所以－b2a＝1 ①.又f （－1）＝a －b ＋5＝11，所以a －b ＝6 ②.联立①②，解得a ＝2，b ＝－4，所以a ＋b ＝－2.4．答案：A解析：因为函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ）.因为f （8）＝log 3（8＋1）＝2，所以f （－8）＝－2，所以g （f （－8））＝g （－2）＝f （－2）＝－f （2）＝－log 3（2＋1）＝－1.5．答案：A解析：因为x <0时，f （x ）＝x 2e x －x ＝－x e x>0，所以排除选项C 、D.因为x >0时，f （x ）＝x 2e x x＝x e x ，所以f ′（x ）＝e x ＋x e x ＝e x （x ＋1）>0，所以f （x ）在（0，＋∞）上单调递增，排除选项B.6．答案：D解析：因为函数y ＝f （x ＋1）是定义域为R 的偶函数，所以函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称．又因为f （x ）在[1，＋∞）上单调递减，所以不等式f （2x －1）>f （x ＋2）等价于|2x －1－1|<|x ＋2－1|，两边平方整理得3x 2－10x ＋3<0，解得13<x <3.7．答案：B解析：根据题意，函数f （x ）满足：对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞）且x 1≠x 2，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2<0，则f （x ）在[0，＋∞）上为减函数，又f （x ）为定义域R 上的奇函数，所以函数f （x ）在（－∞，0）上为减函数，所以函数f （x ）在R 上为减函数．因为c ＝log 278<0，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫67－14＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7614，而b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7615，所以a >b >0，所以f （c ）>f （b ）>f （a ）.8．答案：C解析：由题意知，拟定函数应满足：①是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；②在x ＝50左右增长速度较慢，最小值为500.A 中，函数y ＝（x －50）2＋500先减后增，不符合要求；B 中，函数y ＝10x25＋500是指数型函数，增长速度越来越快，不符合要求；D 中，函数y ＝50[10＋lg （2x ＋1）]是对数型函数，增长速度越来越慢，不符合要求；而C 中，函数y ＝11000（x －50）3＋625是由函数y ＝x 3经过平移和伸缩变换得到的，符合要求．9．答案：C解析：由已知得1⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≤1，x 2，x >1，2⊕x ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x ≤2，x 2，x >2，所以f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1，x 3－2，1<x ≤2，x 3－x 2，x >2.当x ≤1时，函数的最大值是f （1）＝－1；当1<x ≤2时，函数的最大值是f （2）＝6.所以当x ∈[－2，2]时，函数f （x ）＝（1⊕x ）·x －（2⊕x ）的最大值等于6.10．答案：A解析：由题意可知g （0）＝0，设x >0，则－x <0，g （x ）＝－g （－x ）＝－x 2－2x ＋5.∵f [g （a ）]≤2，f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0，∴g （a ）≥－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a 2－2a －5≥－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，－a 2－2a ＋5≥－2或a ＝0， 解得a ≤－1或0≤a ≤22－1. 11．答案：D解析：函数f （x ）＝2x ＋11＋2x －13＝53－21＋2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，53，当－13<f （x ）<0时，y ＝[f （x ）]＝－1；当0≤f （x ）<1时，y ＝[f （x ）]＝0；当1≤f （x ）<53时，y ＝[f （x ）]＝1，所以函数y ＝[f （x ）]的值域是{－1，0，1}．12．答案：D解析：令x ＝－2，由f （x ＋4）＝f （x ）＋f （2），得f （－2）＝0，因为函数y ＝f （x ）是R 上的偶函数，所以f （2）＝f （－2）＝0，所以f （x ＋4）＝f （x ），即函数y ＝f （x ）是以4为周期的周期函数．所以f （2017）＝f （504×4＋1）＝f （1）.因为f （3）＝－1，所以f （－3）＝－1，所以f （1）＝f （－3）＝－1，从而f （2017）＝－1；因为函数y ＝f （x ）的图象关于y 轴对称，周期为4，所以函数y ＝f （x ）图象的一条对称轴方程为x ＝－4；当x 1，x 2∈[0，2]，且x 1≠x 2时，都有f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2>0，设x 1<x 2，则f （x 1）<f （x 2），故函数y ＝f （x ）在[0，2]上是增函数．根据对称性，易知函数y ＝f （x ）在[－2，0]上是减函数，再根据周期性，可知函数y ＝f （x ）在[－6，－4]上为减函数；f （2）＝f （－2）＝0，结合单调性及周期性，可知在[－6，6]上有且仅有f （2）＝f （－2）＝f （6）＝f （－6）＝0，即方程f （x ）＝0在[－6，6]上有4个根．综上所述，4个命题都正确．13．答案：9解析：函数y ＝log a （x －1）＋4的图象恒过点P ，则P （2，4），设幂函数f （x ）＝x α，则2α＝4，解得α＝2，所以f （x ）＝x 2，所以f （3）＝32＝9.14．答案：5解析：∵函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（2－x ），x <1，2x ，x ≥1，∴f （－2）＝log 24＝2，f （log 23）＝2log 23＝3，∴f （－2）＋f （log 23）＝2＋3＝5.15．答案：9解析：∵f （x ）＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f （m ）＝f （n ），∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f （x ）在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f （x ）在[m 2，1）上是减函数，在（1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2，则m ＝13，n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意；同理，若log 3n ＝2，则n ＝9，m ＝19，此时－log 3m 2＝4>2，不满足题意．综上可知，m ＝13，n ＝3，此时nm＝9.16．答案：（2＋22，＋∞）解析：设点（m ，n ）（m >0）是函数y ＝f （x ）的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点（－m ，－n ）必在该函数图象上，故⎩⎪⎨⎪⎧n ＝m 2＋1，－n ＝k （－m ＋1），消去n ，整理得m 2－km ＋k ＋1＝0.若函数f （x ）有两个“伙伴点组”，则该方程有两个不相等的正实数根，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝k 2－4（k ＋1）>0，k >0，k ＋1>0，解得k >2＋2 2.故实数k 的取值范围是（2＋22，＋∞）. 17．解析：（1）因为函数的定义域为R ，所以ax 2－x ＋3>0恒成立， 当a ＝0时，－x ＋3>0不恒成立，不符合题意； 当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－12a <0，解得a >112.综上所述，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫112，＋∞.（2）由题意可知，ax 2－x ＋3＝9在[1，3]上有解， 即a ＝6x 2＋1x在[1，3]上有解．设t ＝1x ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＝6t 2＋t .因为y ＝6t 2＋t 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1上单调递增，所以y ∈[1，7].所以a ∈[1，7].18．解析：（1）x <0时，－x >0，f （－x ）＝－（－x ）2－2x ＝－x 2－2x 又f （x ）为R 上的奇函数，∴f （x ）＝－f （－x ）＝x 2＋2x 又∵当x ＝0时，f （0）＝0∴f （x ）的解析式为f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2＋2x ，x <0.（2）由（1）知：f （x ）＝－x 2＋2x （x ≥0）在[0，1]上单调递增．f （x ）＝x 2＋2x （x <0）在[－1，0）上单调递增，∴f （x ）在[－1，1]上单调递增，又f （x ）在[－1，a －2]上单调递增，∴[－1，a －2]⊆[－1，1]，∴－1<a －2≤1，1<a ≤3. 即a 的取值范围是（1，3].19．解析：（1）∵f （x ）是R 上的奇函数，∴f （0）＝0，可得b ＝1. 又f （－1）＝－f （1），∴1－2－12－1＋a ＝－1－22＋a，解得a ＝1.经检验，当a ＝1且b ＝1时，f （x ）＝1－2x2x ＋1，满足f （x ）是R 上的奇函数．（2）由（1）得f （x ）＝1－2x2x ＋1＝－1＋22x ＋1.任取实数x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f （x 1）－f （x 2）＝22x 1＋1－22x 2＋1＝2（2x 2－2x 1）（2x 1＋1）（2x 2＋1）.∵x 1<x 2，∴2x 1<2x 2，且（2x 1＋1）（2x 2＋1）>0， ∴f （x 1）－f （x 2）>0，即f （x 1）>f （x 2）， ∴函数f （x ）在R 上为减函数．（3）由（1）和（2）知，函数f （x ）是奇函数且在R 上为减函数， ∴不等式f （t 2－2t ）＋f （－2t 2＋k ）<0恒成立， 即f （t 2－2t ）<－f （－2t 2＋k ）＝f （2t 2－k ）恒成立， 故t 2－2t >2t 2－k 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 即k ＞t 2＋2t 对任意的t ∈[－2，2]恒成立， 令h （t ）＝t 2＋2t ＝（t ＋1）2－1，t ∈[－2，2]， 易知当t ＝2时，h （t ）取得最大值8，∴k >8. 故实数k 的取值范围是（8，＋∞）.20．解析：（1）当0<x <80时，y ＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋40x －500＝－12x 2＋60x －500；当x ≥80时，y ＝100x －⎝⎛⎭⎪⎫101x ＋8100x－2180－500＝1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x . ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋60x －500，0<x <80，x ∈N *，1680－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ，x ≥80，x ∈N *.（2）当0<x <80时，y ＝－12（x －60）2＋1300，∴当x ＝60时，y 取得最大值，最大值为1300万元；当x ≥80时，y ＝1680－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋8100x ≤1680－2x ·8100x ＝1500，当且仅当x ＝8100x，即x ＝90时，y 取得最大值，最大值为1500万元．11 综上，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备生产中所获利润最大，最大利润为1500万元．21．解析：（1）当a ＝2时，f （x ）＝2x －2·4x ≥0，即2x ≥22x ＋1，所以x ≥2x ＋1，解得x ≤－1.故实数x 的取值范围是（－∞，－1].（2）由题意知f （x ）>－1在x ∈（－∞，1]上恒成立， 即a －a 2>－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈（－∞，1]上恒成立． 因为函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈（－∞，1]上均单调递减， 所以y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在（－∞，1]上单调递增， 最大值为－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝－34. 因此a －a 2>－34，解得－12<a <32.故实数a 的整数值是0，1. 22．解析：（1）由题意知，f （x ）＝2x ＋1x ≥22，当且仅当2x ＝1x ，即x ＝22时等号成立，所以函数y ＝f （x ）的值域为[22，＋∞）.（2）若函数y ＝f （x ）在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈（0，1]，且x 1<x 2，都有f （x 1）>f （x 2）成立，即f （x 1）－f （x 2）＝（x 1－x 2）⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＝（x 1－x 2）·a ＋2x 1x 2x 1x 2>0成立，只要a ＋2x 1x 2<0，即a <－2x 1x 2成立．由x 1，x 2∈（0，1]，得－2x 1x 2∈（－2，0），所以a ≤－2，故a 的取值范围是（－∞，－2].（3）当a ≥0时，函数y ＝f （x ）在（0，1]上单调递增，无最小值，当x ＝1时取得最大值2－a ；由（2）知，当a ≤－2时，y ＝f （x ）在（0，1]上单调递减，无最大值，当x ＝1时取得最小值2－a ；当－2<a <0时，函数y ＝f （x ）在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－2a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤－2a 2，1上单调递增，无最大值，当x ＝－2a 2时，取得最小值2－2a .。
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义 第二章 §2.6 二次函数与幂函数
2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第二章§2.6 二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数.(2)常见的五种幂函数的图象y ＝x α(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为 ；当α为偶数时，y ＝x α为 .(1,1)(0,0)(1,1)奇函数偶函数2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ .顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为 .零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的 .ax 2＋bx ＋c (a ≠0)(m ，n )零点(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)R定义域___值域______________________________对称轴x＝______顶点坐标_______________函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)奇偶性当b ＝0时是 函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性偶减增增减1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝ 是幂函数.( )(2)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( )(3)二次函数y ＝a (x －1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).( )(4)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数.( )××√×1212x√1x23.(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.[1,2)√C.[2,10]D.[1,10)当x∈(－2,2)时，－3<x－1<1，则f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1∈[1,10).4.已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数(－∞，4]a的取值范围是___________.由函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，即a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].返回第二部分探究核心题型题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相对应曲线C1，C2，C3，C4的n 依次为√根据幂函数y＝x n的性质，在第一象限内的图象：(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件√C.充要条件D.既不充分也不必要条件因为f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3是幂函数，所以n2－3n＋3＝1，即n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2，所以“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的充要条件.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1 (1)幂函数y ＝ (0≤m ≤3，m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上单调递增，则m 的值为A.0 B.2 C.3 D.2或3√22m m x+-当m＝0时，y＝x－2，由幂函数性质得，y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减；当m＝1时，y＝x0，由幂函数性质得，y＝x0在(0，＋∞)上是常函数；当m＝2时，y＝x4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，y＝x4在(0，＋∞)上单调递增；当m＝3时，y＝x10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0，＋∞)上单调递增.(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y ＝ (m ，n 均为正整数且m ，n 互质)的图象，则√mn x由幂函数性质可知，y ＝与y ＝x 的图象恒过定点(1,1)，即在第一象限内的交点坐标为(1,1)，m n x mn x又y ＝ 的图象关于y 轴对称，mnx ∴y ＝ 为偶函数，mn x ()mn x mnx 又m ，n 互质，∴m 为偶数，n 为奇数.题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.方法一 (利用“一般式”解题)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.方法二 (利用“顶点式”解题)设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).因为f(2)＝f(－1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，解得a＝－4，方法三 (利用“零点式”解题)由已知得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.解得a＝－4.故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且f(x)＝x2－4x＋3方程f(x)＝0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为________________.依题意，设函数f(x)＝a(x－2)2＋h(a≠0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)＝3，所以4a＋h＝3，即h＝3－4a，所以f(x)＝a(x－2)2＋3－4a，令f(x)＝0，即a(x－2)2＋3－4a＝0，所以ax2－4ax＋3＝0，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)＝x2－4x＋3.题型三 二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的图象例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是A.2a ＋b ＝0 B.4a ＋2b ＋c <0C.9a ＋3b ＋c <0D.abc <0√√√又因为f (0)＝c >0，所以abc <0.f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0.命题点2 二次函数的单调性与最值例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；由题意知a≠0.所以f(x)在区间[1,2]上单调递减恒成立.(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式.f(x)在区间[1,2]上单调递增，此时g(a)＝f(1)＝3a－2.f(x)在区间[1,2]上单调递减，此时g(a)＝f(2)＝6a－3.微拓展二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.√所以f(x)在区间[a，b]上单调递增，(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值√A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)＝x2－2bx＋3a的图象开口向上，且对称轴为直线x＝b，①当b>1时，f(x)在[0,1]上单调递减，则M＝f(0)＝3a，m＝f(1)＝1－2b＋3a，此时M－m＝2b－1，故M－m的值与a无关，与b有关；②当b<0时，f(x)在[0,1]上单调递增，则M＝f(1)＝1－2b＋3a，m＝f(0)＝3a，此时M－m＝1－2b，故M－m的值与a无关，与b有关；③当0≤b≤1时，m＝f(b)＝3a－b2，∴M－m＝b2－2b＋1，故M－m的值与a无关，与b有关，∴M－m＝b2，故M－m的值与a无关，与b有关，综上，M－m的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m<n)，且α，β(α<β)是方程y＝0的两根，则α，β，m，n的大小关系是A.α<m<n<βB.m<α<n<β√C.m<α<β<nD.α<m<β<n。
高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型
高考数学一轮复习---二次函数知识点与题型一、基础知识1．二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)；两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．二次函数的图象与性质二次函数系数的特征：(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，系数a的正负决定图象的开口方向及开口大小；(2)－b2a的值决定图象对称轴的位置；(3)c的取值决定图象与y轴的交点；(4)b2－4ac的正负决定图象与x轴的交点个数．(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)二、常用结论1．一元二次不等式恒成立的条件(1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0，且Δ<0”．(2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0，且Δ<0”．2．二次函数在闭区间上的最值设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，闭区间为[m，n]．(1)当－b2a≤m时，最小值为f(m)，最大值为f(n)；(2)当m <－b 2a ≤m ＋n2时，最小值为)2(ab f -，最大值为f (n )； (3)当m ＋n 2<－b2a ≤n 时，最小值为)2(a b f -，最大值为f (m )； (4)当－b2a >n 时，最小值为f (n )，最大值为f (m )．三、考点解析考点一 求二次函数的解析式求二次函数的解析式常利用待定系数法，但由于条件不同，则所选用的解析式不同，其方法也不同. 例、已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 跟踪训练1．已知二次函数f (x )的图象的顶点坐标是(－2，－1)，且图象经过点(1,0)，则函数的解析式为f (x )＝________. 考点二 二次函数的图象与性质 考法(一) 二次函数图象的识别例、若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )考法(二) 二次函数的单调性与最值问题例、(1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]时，有最大值2，则a 的值为________．(2)设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________． [解题技法]1．二次函数最值问题的类型及解题思路 (1)类型：①对称轴、区间都是给定的； ②对称轴动、区间固定； ③对称轴定、区间变动．(2)解决这类问题的思路：抓住“三点一轴”数形结合，“三点”是指区间两个端点和中点，“一轴”指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想解决问题． 2．二次函数单调性问题的求解策略(1)对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解．(2)利用二次函数的单调性比较大小，一定要将待比较的两数通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较．考法(三) 与二次函数有关的恒成立问题例、(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________；(2)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋1，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，则k 的取值范围为________．[解题技法]由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键：(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .跟踪训练1．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在[0,1]内的最大值为－5，则a 的值为( ) A.54 B ．1或54 C ．－1或54 D ．－5或54课后作业1．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的图象的对称轴方程是x ＝1，并且过点P (－1,7)，则a ，b 的值分别是( ) A ．2,4 B ．－2,4 C ．2，－4 D ．－2，－4 2．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )有最小值－2，则a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－2 3．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图象大致是( )4．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若f (0)＝f (4)>f (1)，则( )A ．a >0,4a ＋b ＝0B ．a <0,4a ＋b ＝0C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0 5．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞) D ．(－∞，－6)6．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，若y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a 的取值范围为________． 7．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-49,23，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．8．y ＝2ax 2＋4x ＋a －1的值域为[0，＋∞)，则a 的取值范围是________． 9．求函数f (x )＝－x (x －a )在x ∈[－1,1]上的最大值．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．提高训练1.如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为x ＝－1.给出下面四个结论：①b 2>4ac ；②2a －b ＝1；③a －b ＋c ＝0；④5a <b .其中正确的是( )A ．②④B ．①④C ．②③D ．①③2．已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎡⎦⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.13B.12C.34 D ．1 3．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．4．求函数y ＝x 2－2x －1在区间[t ，t ＋1](t ∈R)上的最大值．。
第02讲 幂函数与二次函数(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)
第02讲 幂函数与二次函数（6类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本性质，难度中等偏下【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握x x y xx y xy x y x y =======-21132,1,,,的图象和性质2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)3.理解并掌握幂函数()0≠==αααpqx y ，的单调性和奇偶性4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考1.幂函数（1）幂函数的定义及一般形式形如)(R x y ∈=αα的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数（2）幂函数的图象和性质①幂函数的单调性()()()⎩⎨⎧=在第一象限单调递减时，＜在第一象限单调递增时，＞x f x f x x f 00ααα②幂函数的奇偶性()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧=⎩⎨⎧=为偶函数为偶数，为奇函数为奇数，为奇数时为非奇非偶函数为偶数时，为分数，设为奇函数为奇数，为偶函数为偶数，为整数x f q x f q p x f p p q x f x f x x f αααααα2.一元二次方程：20(0)ax bx c a ++=≠①方程有两个实数根Û240b ac D =-³②方程有同号两根Û1200cx x a D >⎧⎪⎨=>⎪⎩ ③方程有异号两根Û 1200cx x a D >⎧⎪⎨=<⎪⎩④韦达定理及应用：1212,b c x x x x a a+=-=222121212()2x x x x x x +=+-, 1x -3322212121122121212()()()()3x x x x x x x x x x x x x x éù+=+-+=++-ëû3.二次函数①一般式：2224(24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0a ≠)，对称轴是,2b x a=-顶点是24,24b ac b a a-（－；②顶点式：2()y a x m k =++(0a ≠)，对称轴是,x m =-顶点是(),m k -；③交点式：12()()y a x x x x =--(0a ≠)，其中（1,0x ），（2,0x ）是抛物线与x 轴的交点4.二次函数的性质①函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象关于直线2bx a=-对称。
2023年新高考数学一轮复习2-3 二次函数与一元二次方程、不等式(真题测试)解析版
专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（真题测试）一、单选题1．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）函数()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩的值域为（ ）A ．(],4∞-B ．(],2-∞C ．[)1,+∞D ．(),4-∞【答案】A 【解析】 【分析】利用分段函数的性质求解. 【详解】解：()()()[]224,,21,2,2,1x x x f x x x ∞∞⎧--+∈--⋃+⎪=⎨-+∈-⎪⎩, 当[]2,1x ∈-，()[]21,4f x x =-+∈，当()()1,,2x ∈+∞⋃-∞-，()()2154f x x =-++<，所以()(,4]∈-∞f x ， 故选：A2．（2008·江西·高考真题（文））已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是 A ．[4,4]- B ．(4,4)-C ．(,4)-∞D ．(,4)-∞-【答案】C 【解析】 【详解】当2160m ∆=-<时，显然成立当4,(0)(0)0m f g ===时，显然不成立； 当24,()2(2),()4m f x x g x x =-=+=-显然成立；当4m <-时12120,0x x x x +，则()0f x =两根为负，结论成立故4m <,故选C.3．（2014·北京·高考真题（文））加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p 与加工时间t （单位：分钟）满足函数关系p=at 2+bt+c （a ，b ，c 是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟【答案】B 【解析】 【详解】由图形可知，三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数2p at bt c =++的图象上，所以930.7{1640.82550.5a b c a b c a b c ++=++=++=，解得0.2, 1.5,2a b c =-==-，所以20.2 1.52p t t =-+-=215130.2()416t --+，因为0t >，所以当153.754t ==时，p 取最大值， 故此时的t=3.75分钟为最佳加工时间，故选B.4．（2022·河南·焦作市第一中学高二期中（文））设p ：二次函数()()210f x ax ax a =++≠的图象恒在x 轴的上方，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于－1，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】 由p 可得20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，由q 可得1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，进而判断两集合关系，即可得到答案. 【详解】由p ，则2Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<；由q ，方程22210x ax a -+-=的两根为11x a =-，21x a =+，则1111a a ->-⎧⎨+>-⎩，解得0a >，因为{}04a a << {}0a a > ，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A5．（2022·陕西·长安一中高一期中）设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-．若函数()221f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，则当[1,1]a ∈-时，t 的取值范围是（ ） A ．22t -≤≤B ．1122t -≤≤C ．2t ≤-，或0=t ，或2t ≥D ．12t ≤-，或0=t ，或12t ≥【答案】C 【解析】 【分析】求出函数()f x 在[1,1]-上的最大值，再根据给定条件建立不等关系，借助一次型函数求解作答. 【详解】因奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，(1)1f -=-，则max ()(1)(1)1f x f f ==--=， 依题意，[1,1]a ∈-，22211()20t at g a ta t -+≥⇔=-+≥恒成立，则有22(1)20(1)20g t t g t t ⎧-=+≥⎨=-≥⎩，解得2t ≤-或0=t 或2t ≥， 所以t 的取值范围是2t ≤-或0=t 或2t ≥. 故选：C6．（2016·浙江·高考真题（文））已知函数f(x)=x 2+bx ，则“b ＜0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知222()()24b b f x x bx x =+=+-，最小值为24b -．令2=+t x bx ，则2222(())()(),244b b b f f x f t t bt t t ==+=+-≥-，当0b <时，(())f f x 的最小值为24b-，所以“0b <”能推出“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”；当0b =时，4(())=f f x x 的最小值为0，()f x 的最小值也为0，所以“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”不能推出“0b <”．故选A ．7．（2022·广东佛山·二模）设,,R a b c ∈且0a ≠，函数2(),()(2)()g x ax bx c f x x g x =++=+，若()()0f x f x +-=，则下列判断正确的是（ ） A ．()g x 的最大值为-a B ．()g x 的最小值为-a C ．()()22g x g x +=- D ．()()2g x g x +=-【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，用a 表示b ，c ，再结合二次函数的性质求解作答. 【详解】依题意，232()(2)()(2)(2)2f x x ax bx c ax a b x b c x c =+++=+++++，因()()0f x f x +-=，则()f x 是奇函数，于是得2020a b c +=⎧⎨=⎩，即2,0b a c =-=， 因此，22()2(1)g x ax ax a x a =--=-，而0a ≠，当0a >时，()g x 的最小值为-a ，当0a <时，()g x 的最大值为-a ，A ，B 都不正确；2(2)(1)g x a x a +=+-，2(2)(1)g x a x a -=-+-，22()(1)(1)g x a x a a x a -=---=+-，即()()22g x g x +≠-，()()2g x g x +=-，因此，C 不正确，D 正确. 故选：D8．（2022·浙江金华第一中学高一阶段练习）当11x -时，21ax bx c ++恒成立，则（ ）A ．当2a =时，||||1b c +=B ．当2a =时，||||2b c +=C ．当1b =时，||0a c +=D ．当1b =时，||||0a c +=【答案】AC 【解析】 【分析】先举出反例，排除BD 选项，对于A 选项，根据绝对值三角不等式，得到11b -≤≤，31c -≤≤-，再根据14b f ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭得到288c b ≥-，综合得到88c =-，288b -=-，求出1c =-，0b =，从而判断出A 正确；D 选项，利用类似方法得到0a c +=，验证后得到结论. 【详解】当2a =时，221x bx c ++在11x -上恒成立，可取0,1b c ==-，验证可知符合题意，此时2b c +≠，B 错误；当1b =时，21ax x c ++在11x -上恒成立，可取11,44a c ==-，验证可知符合题意，故D 错误；对于A 选项，令()22f x x bx c =++，必有()()11,11f f ≤-≤，即21,21b c b c ++≤-+≤，则222222b c b c b c b c b ≥+++-+≥++-+-=， 解得：11b -≤≤，则()f x 的对称轴1,144b x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，同理：2222222b c b c b c b c c ≥+++-+≥+++-+=+， 所以21c +≤，解得：31c -≤≤-，于是()1f x ≤要满足()()28114811212111b c b f f b c b c f ⎧⎧⎛⎫--≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎪⎪-≤⇒-+≤⎨⎨⎪⎪++≤≤⎪⎪⎪⎪⎩⎩①②③，由①知：288c b ≥-，因为11b -≤≤，故2888c b ≥-≥-④， 因为31c -≤≤-所以88c ≤-⑤，综合④⑤，可知：88c =-， 解得：1c =-，此时288b -=-，解得：0b =，所以()221f x x =-，经验证满足题意，且||||1b c +=，A 正确；对于C 选项，令()2g x ax x c =++，由()111g a c =++≤，()111g a c -=-+≤可得：2002a c a c -≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，故0a c +=， 则()2g x ax x a =+-，所以211ax x a -≤+-≤恒成立，即211x ax a x --≤-≤-，易知：1122a -≤≤即可，故C 正确 故选：AC 【点睛】对于含有绝对值不等式的二次不等式问题，要充分考虑函数图象，以及对称轴和端点值的取值范围，结合绝对值三角不等式进行求解. 二、多选题9．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于C 点，且对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，则下面结论中正确的是（ ） A ．20a b += B ．420a b c -+＜C ．240b ac -＞D ．当0y ＜时，1x -＜或4x ＞【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题的结论是否成立，即可求出答案.【详解】因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，所以12bx a=-=得20a b +=，故A 正确； 当2x =-时，420y a b c =-+＜，故B 正确；该函数图象与x 轴有两个交点，则240b ac -＞，故C 正确；因为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象的对称轴为1x =，点B 坐标为()10-，，所以点A 的坐标为()3,0，所以当0y ＜时，1x -＜或x 3＞，故D 错误. 故选：ABC.10．（2022·全国·模拟预测）已知二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<，若对任意12x x ≠，则（ ）A ．当124x x +=时，()()12f x f x =恒成立B ．当124x x +>时，()()12f x f x <恒成立C ．0x ∃使得()00f x ≥成立D ．对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立 【答案】AD 【解析】 【分析】二次函数开口向下，对称轴为2x =，结合二次函数的性质对选项逐一判断即可. 【详解】依题意，二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的对称轴为422-=-=mx m. 因为0m <，所以其函数图象为开口向下的抛物线，对于A 选项，当124x x +=时，1x ，2x 关于直线2x =对称， 所以()()12f x f x =恒成立，所以A 选项正确；对于B 选项，当124x x +>，若12x x >，则不等式可化为1222x x ->-， 所以()()12f x f x <；若12x x <，则不等式可化为2122x x ->-，所以()()21f x f x <，所以B 选项错误； 对于C 选项，因为0m <，所以()()224412332120m m m m m ∆=---=-+<，所以二次函数()()241230f x mx mx m m =-+-<的图象开口向下，且二次函数与x 轴无交点，所以不存在0x 使得()00f x ≥成立，所以C 选项错误；对于D 选项，()()max 24812383f x f m m m m ==-+-=-，所以对任意1x ，2x ，均有()()831,2i f x m i ≤-=恒成立，所以D 选项正确， 故选：AD.11．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）A ．()30-，B ．(]30-，C ．()31--，D ．()3∞-+，【答案】AC 【解析】 【分析】先求命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题的等价条件，再结合充分不必要的定义逐项判断即可.【详解】因为23,208x R kx kx ∀∈+-<为真命题，所以0k =或230k k k <⎧⎨+<⎩30k ⇔-<≤， 所以()30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，A 对， 所以(]30-，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充要条件，B 错， 所以()31--，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题充分不必要条件，C 对， 所以()3∞-+，是命题“23,208x R kx kx ∀∈+-<”为真命题必要不充分条件，D 错， 故选：AC12．（2021·江苏·高一单元测试）已知函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，且对于()()y f x x R =∈，当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的范围可以是下面选项中的（ ）A ．()B ．(),1-∞C ．(0D ．)+∞【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意求得函数()f x 为偶函数，且在()0-∞，上为减函数，在()0+∞，上为增函数，把不等式转化为2221ax x <+，得到不等式4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于1x =对称， 可得函数()f x 关于y 轴对称，即()f x 为偶函数，又当12,(,0)x x ∞∈-时，()()12210f x f x x x -<-恒成立，所以()f x 在()0-∞，上为减函数，则()f x 在()0+∞，上为增函数， 又因为()()2221f ax f x <+，所以2221ax x <+，即22424441a x x x <++恒成立，即4224(44)10x a x +-+>恒成立，设20t x =≥，令()224(44)1g t t a t =+-+，即()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，当2102a t -=≤时，即11a -≤≤时，()g t 在[0,)+∞为单调递增函数，则满足()min (0)10g t g ==>，符合题意；当当2102a t -=>时，即1a <-或1a >时，要使得()0g t >在区间[0,)+∞上恒成立，则满足22(44)160a ∆=--<，解得a <0a ≠，即1a <<-或1a <<综上可得，实数a 的取值范围是(， 结合选项，选项A 、C 符合题意. 故选：AC.三、填空题13．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为__________． 【答案】9． 【解析】 【详解】∵f(x)＝x 2＋ax ＋b 的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0，∴b －24a ＝0，∴f(x)＝x 2＋ax ＋14a 2＝12x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2.又∵f(x)＜c 的解集为(m ，m ＋6)，∴m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋24a－c ＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得()226{64m a a m m c +=-+=-解得c ＝9.14．（2022·天津·耀华中学二模）已知不等式28(8)0x x a a -+-<的解集中恰有五个整数，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】[)(]1,26,7⋃ 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法，结合已知分类讨论进行求解即可. 【详解】28(8)0()[(8)]0x x a a x a x a -+-<⇒---<，当4a =时，原不等式化为2(4)0x -<，显然x ∈∅，不符合题意； 当4a >时，不等式的解集为8a x a -<<，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得18045a a -≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，08156a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是2,3,4,5,6时，18267a a ≤-<⎧⎨<≤⎩67a ⇒<≤，若五个整数是3,4,5,6,7时，28378a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集；当4a <时，不等式的解集为8a x a <<-，其中解集中必有元素4，若五个整数是0,1,2,3,4时，可得10485a a -≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集，若五个整数是1,2,3,4,5时，01586a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 若五个整数是2,3,4,5,6时，1212687a a a ≤<⎧⇒≤<⎨<-≤⎩， 若五个整数是3,4,5,6,7时，23788a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，此时解集为空集， 五个整数是4,5,6,7,8时，38489a a ≤-<⎧⎨<≤⎩，此时解集为空集， 故答案为：[1,2)(6,7].15．（2015·湖北·高考真题（文））a 为实数，函数2()||f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值记为()h a . 当=a _________时，()h a 的值最小.【答案】2．【解析】【详解】因为函数2()||f x x ax =-，所以分以下几种情况对其进行讨论：①当0a ≤时，函数22()f x x ax x ax =-=-在区间[0,1]上单调递增，所以max ()()1f x g a a ==-；②当02a <<时，此时22()()2224a a a a f a =-⨯=，(1)1f a =-，而22(2)(1)2044a a a +--=-<，所以max ()()1f x g a a ==-； ③当22a ≤<时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间(0,)2a 上递增，在(,1)2a 上递减．当2a x =时，()f x 取得最大值2()24a a f =； ④当2a ≥时，22()f x x ax x ax =-=-+在区间[0,1]上递增，当1x =时，()f x 取得最大值(1)1f a =-，则()21,2{,2241,2a a a h a a a a -<=≤<-≥在(,2)-∞上递减，2,)+∞上递增，即当2a =时，()g a 的值最小．故答案为：2．16．（2022·全国·高三专题练习（文））已知()283f x ax x =++，对于给定的负数a ，有一个最大的正数()M a ，使得()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦时，都有()5f x ≤，则()M a 的最大值为___________.【解析】【分析】二次函数配方得到()f x 的含有参数的最大值，研究二次函数最值与5的大小关系，分类讨论，求出()M a 的最大值.【详解】()22416833f x ax x a x a a ⎛⎫=++=++- ⎪⎝⎭，当1635a ->，即80a -<<时，要使()5f x ≤在()0,x M a ∈⎡⎤⎣⎦上恒成立，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=的较小的根，即()M a =当1635a-≤，即8a ≤-时，要使()M a 取得最大值，则()M a 只能是2835ax x ++=-的较大的根，即()M a =当80a -<<时，()12M a ==<，当8a ≤-时，()M a =()M a .四、解答题17．（2022·山西运城·高二阶段练习）已知函数2()2(0)f x ax ax b a =-+>的定义域为R ，且在区间[0,3]上有最大值5，最小值1．(1)求实数a ，b 的值；(2)若函数()()22g x f x mx m =-+-，求()0>g x 的解集．【答案】(1)1,2a b ==(2)答案见解析【解析】【分析】（1）由二次函数的性质可知函数在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，则()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩从而可求出a ，b 的值，（2）由（1）得2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，然后分2m =，2m >和2m <三种情况解不等式(1)∵22()2(1)(0)f x ax ax b a x b a a =-+=-+->，在[0,1]上单调递减，在[1,3]上单调递增，∴()()11,35,f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩即21,965,a a b a a b -+=⎧⎨-+=⎩解得1,2.a b =⎧⎨=⎩ (2)由（1）知2()(2)2(2)()g x x m x m x x m =-++=--，①2m =时，()0>g x 的解集为{}2x x ≠；②2m >时，()0>g x ，则x m >或2m <，故2m >时，()0>g x 的解集为{x x m >或2}x <；③2m <时，()0>g x ，则2x >或x m <，故2m <时，()0>g x 的解集为{2x x >或}x m <．综上，当2m =时，解集为{}2x x ≠；当2m >时，解集为{x x m >或2}x <；当2m <时，解集为{2x x >或}x m <． 18．（2015·浙江·高考真题（理））已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是()f x 在区间[1,1]-上的最大值.（1）证明：当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求a b +的最大值.【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】【详解】（1）分析题意可知()f x 在[1,1]-上单调，从而可知{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，分类讨论a 的取值范围即可求解.；（2）分析题意可知,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，再由(,)2M a b ≤可得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，即可得证.试题解析：（1）由22()()24a a f x xb =++-，得对称轴为直线2a x =-，由2a ≥，得 12a -≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴{}(,)max (1),(1)M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得{}max (1),(1)2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由(1)(1)24f f a --=-≥，得{}max (1),(1)2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得1(1)2a b f ++=≤，1(1)2a b f -+=-≤，故3a b +≤，3a b -≤，由,0{,0a b ab a b a b ab +≥+=-<，得3a b +≤，当2a =，1b =-时，3a b +=，且221x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴a b +的最大值为3.19．（2014·辽宁·高考真题（文））设函数()211f x x x =-+-，2()1681g x x x =-+，记()1f x ≤的解集为M ，()4g x ≤的解集为N.（1）求M ；（2）当x M N ∈⋂时，证明：221()[()]4x f x x f x +≤. 【答案】（1）4|03M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】【详解】试题分析：（1）由所给的不等式可得当1x ≥时，由()331f x x =-≤，或 当1x <时，由()11f x x =-≤，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由4g x ≤（） ，求得N ，可得3{|0}4M N x x ⋂=≤≤．当x ∈M∩N 时，f （x ）=1-x ，不等式的左边化为211()42x --，显然它小于或等于14，要证的不等式得证． （1）33,[1,)(){1,(,1)x x f x x x -∈+∞=-∈-∞ 当1x ≥时，由()331f x x =-≤得43x ≤，故413x ≤≤； 当1x <时，由()11f x x =-≤得0x ≥，故01x ≤<；所以()1f x ≤的解集为4{|0}3M x x =≤≤.（2）由2()16814g x x x =-+≤得2116()4,4x -≤解得1344x -≤≤，因此13{|}44N x x =-≤≤，故3{|0}4M N x x ⋂=≤≤. 当x M N ∈⋂时，()1f x x =-，于是22()[()]()[()]x f x x f x xf x x f x +=+2111()(1)()424xf x x x x ==-=--≤. 20．（2021·河北·沧县中学高一阶段练习）已知二次函数()()223R f x x kx k =-+∈．(1)若()f x 在区间[)1,+∞上单调递增，求实数k 的取值范围；(2)若()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】(1)1k ≤(2)1k ≤【解析】【分析】（1）利用二次函数的单调性求解；（2）将()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，转化为12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立求解． (1)解：因为()f x 在()1,x ∈+∞单调递增，所以()212k --≤， 解得1k ≤；(2)因为()2f x ≥在()0,x ∈+∞上恒成立，所以2210x kx -+≥在()0,x ∈+∞恒成立， 即12k x x≤+在()0,x ∈+∞恒成立．令()1g x x x =+，则()12g x x x =+≥=， 当且仅当1x =时等号成立．所以1k ≤．21．（2021·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第n 年(*)n ∈N 花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元.(1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）(2)若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)3年(2)方案①较为合算【解析】【分析】（1）由22549(5)0n n n --+≥，能求出该车运输3年开始盈利.（2）方案①中，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤.从而求出方案①最后的利润为59（万)；方案②中，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n =时，利润最大，从而求出方案②的利润为59（万)，比较时间长短，进而得到方案①较为合算.(1)由题意可得22549(5)0n n n --+≥，即220490n n -+≤，解得1010n ≤≤3n ∴≥，∴该车运输3年开始盈利.；(2)该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n--+=-+≤， 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25749(4935)1759⨯--++=（万)；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出，2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短， ∴方案①较为合算.22．（2009·江苏·高考真题）设a 为实数，函数2()2()f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.【答案】（1） （2）22min 2,0(){2,03a a f x a a -≥=<(3) 当26(,)22a ∈时，解集为(,)a +∞;当62(,)22a ∈--时，解集为223232(,][,)33a a a a a --+-⋃+∞; 当[a ∈时，解集为)+∞. 【解析】【详解】(3)。
2025届高考数学一轮复习教案：一元二次函数、方程、不等式-二次函数与一元二次方程、不等式
第三节二次函数与一元二次方程、不等式课程标准1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象,会判断一元二次方程的根的个数,以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法.考情分析考点考法:本节是高考的必考内容之一,常与函数、导数、解析几何等内容相结合命题,重点考查不等式的求解等问题.核心素养:数学运算、逻辑推理、直观想象【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c <0(a ,b ,c 均为常数,a ≠0).2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y =ax 2+bx +c ,我们把使ax 2+bx +c =0的实数x叫做二次函数的零点.【微点拨】二次函数的零点为对应方程的根,是一个实数,不是点的坐标.3.三个二次的对应关系(其中a >0)判别式Δ=b 2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0二次函数y =ax 2+bx +c 的图象方程ax 2+bx +c =0的根有两个不相等的实数根x 1,x 2(x 1<x 2)有两个相等的实数根x 1=x 2=-b2a没有实数根ax 2+bx +c >0的解集{x |x <x 1,或x >x 2}|2⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭b x x a __R __ax 2+bx +c <0的解集{x |x 1<x <x 2}⌀⌀【微点拨】1.解一元二次不等式一定要结合二次函数开口方向和不等号的方向下结论.2.若关于x 的一元二次不等式ax 2+bx +c <0(a >0)的解集为(m ,n ),则x =m 与x =n 为一元二次方程ax 2+bx +c =0(a >0)的两个根.4.简单的绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(-∞,-a )∪(a ,+∞),|x |<a (a >0)的解集为(-a ,a ).【基础小题·自测】类型辨析改编易错题号12,341.(多维辨析)(多选题)下列结论正确的是()A .若不等式ax 2+bx +c >0的解集是(-∞,x 1)∪(x 2,+∞),则方程ax 2+bx +c =0的两个根是x 1和x 2B .若不等式ax 2+bx +c <0的解集为(x 1,x 2),则必有a >0C .不等式x 2≤a 的解集为[-,]D .若方程ax 2+bx +c =0(a <0)没有实数根,则不等式ax 2+bx +c >0(a <0)的解集为R 【解析】选AB .C .对于不等式x 2≤a ,当a >0时,其解集为[-,];当a =0时,其解集为{0},当a <0时,其解集为∅.D.若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为∅.2.(必修第一册P52例3变条件)不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3或x≤2}D.{x|x≥1或x≤-6}【解析】选A.不等式-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,所以不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.3.(必修第一册P55习题2.3T3变条件)已知集合A=U2−2−3≤0,B== 2−4,则A∩B=()A.2,3B.2,3C.2,3D.2,3【解析】选C.因为x2-2x-3≤0,所以+1−3≤0,即-1≤x≤3,所以A=U−1≤≤3,B=U≥2,所以A∩B=2,3.4.(忽略a=0的情形致误)不等式ax2-ax+a+1>0对∀x∈R恒成立,则实数a的取值范围为()A.0,+∞B.0,+∞C.−∞,−0,+∞D.−∞,−+∞)【解析】选B.①当a=0时,1>0成立,②当a≠0时,只需>0=2−4+1<0,解得a>0,综上可得a≥0,即实数a的取值范围为0,+∞.【巧记结论·速算】1.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足>0<0;2.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为⌀,则一定满足<0≤0;3.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R,则一定满足<0<0;4.已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为⌀,则一定满足>0≤0.【即时练】1.“-3<m<1”是“不等式−1x2+−1x-1<0对任意的x∈R恒成立”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.当m=1时,−1x2+−1x-1<0对任意的x∈R恒成立,当m≠1时,则<1<0,解得-3<m<1,故m的取值范围为{m|-3<m≤1}.故“-3<m<1”是“-3<m≤1”的充分不必要条件.2.若关于x的不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,则m的取值范围是()A.[-4,0]B.(-4,0]C.[0,4)D.(-4,0)【解析】选B.当m=0时,mx2-mx-1≥0即-1≥0,解集是⌀,当m≠0时,不等式mx2-mx-1≥0的解集是⌀,需满足<0=−2+4<0,解得-4<m<0,所以m的取值范围是(-4,0].【核心考点·分类突破】考点一一元二次不等式的解法【考情提示】一元二次不等式是高考的热点问题,它常与集合的交集、并集、补集相结合出现在选择题中.含参数的一元二次不等式常与导数、圆锥曲线相交汇出现在解答题中,重点考查分类讨论思想和推理论证能力.角度1不含参数的一元二次不等式[例1]解下列不等式:(1)2x2+5x-3<0;(2)-3x2+6x≤2;(3)9x2-6x+1>0;(4)x2<6x-10.【解析】(1)因为Δ=49>0,所以方程2x2+5x-3=0有两个不相等的实数根,解得x1=-3,x2=12,画出函数y=2x2+5x-3的图象,如图①所示.由图可得原不等式的解集为{x−3< <12}.(2)原不等式等价于3x2-6x+2≥0.因为Δ=12>0,所以方程3x2-6x+2=0有两个不相等的实数根,解得x1=3−33,x2=3+33,画出函数y=3x2-6x+2的图象,如图②所示,由图可得原不等式的解集为{x≤3−33或≥3+33}.(3)因为Δ=0,所以方程9x2-6x+1=0有两个相等的实数根,解得x1=x2=13.画出函数y=9x2-6x+1的图象如图③所示.由图可得原不等式的解集为{x≠13}.(4)原不等式可化为x2-6x+10<0,因为Δ=-4<0,所以方程x2-6x+10=0无实数根,画出函数y=x2-6x+10的图象如图④所示,由图象可得原不等式的解集为∅.【解题技法】解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判:计算对应方程的判别式,根据判别式判断方程有没有实根(无实根时,不等式的解集为R或∅).(3)求:求出对应的一元二次方程的根.(4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.角度2含参数的一元二次不等式[例2]解关于x的不等式.(1)x2+ax+1<0(a∈R);(2)ax2-(a+1)x+1<0.【解析】(1)Δ=a2-4.①当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时,原不等式无解.②当Δ=a2-4>0,即a>2或a<-2时,方程x2+ax+1=0的两根分别为x1x2则原不等式的解集为<<综上所述,当-2≤a≤2时,原不等式无解;当a>2或a<-2时,原不等式的解集为<<(2)若a=0,原不等式等价于-x+1<0,解得x>1.若a<0,原不等式等价于−x-1)>0,解得x<1或x>1.若a>0,原不等式等价于−x-1)<0.①当a=1时,1=1,−x-1)<0无解;②当a>1时,1<1,解−x-1)<0,得1<x<1;③当0<a<1时,1>1,解−x-1)<0,得1<x<1.综上所述,当a<0时,解集为{x|x<1或x>1};当a=0时,解集为{x|x>1};当0<a<1时,解集为{x|1<x<1};当a=1时,解集为⌀;当a>1时,解集为{x|1<x<1}.【解题技法】解含参数的一元二次不等式时分类讨论的方法(1)当二次项系数中含有参数时,应讨论二次项系数是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个不相等的实根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.【对点训练】1.(2024·莆田模拟)不等式1−−3<0的解集是()A.−1,3B.−3,1C.{x<1或x>3}D.{x<-3或x>1}【解析】选C.由1−−3<0,可得(x-1)(x-3)>0,所以x<1或x>3,所以不等式的解集为{x<1或x>3}.2.不等式−2r5K2>0的解集为________.【解析】不等式−2r5K2>0等价于−2+5−2>0,即2−5−2<0,解得2<x<52,所以不等式−2r5K2>0的解集为2<<答案:2<<3.(2024·玉林模拟)已知关于x的不等式ax2-b≥2x-ax s∈R.(1)若不等式的解集为−2≤≤−1,求a,b的值;(2)若a<0,b=2,解不等式.【解析】(1)原不等式可化为ax2+−2x-b≥0,由题知,-2,-1是方程ax 2+−2x -b =0的两根,由根与系数的关系得<0−K2=−3−=2,解得=−1=2.(2)当a <0时,原不等式化为−+1≤0,当2>-1,即a <-2时,解原不等式可得-1≤x ≤2;当2=-1,即a =-2时,原不等式即为+12≤0,解得x =-1;当2<-1,即-2<a <0时,解得2≤x ≤-1,综上所述,当-2<a <0时,不等式的解集为≤≤−1;当a =-2时,不等式的解集为−1;当a <-2时,不等式的解集为−1≤≤考点二三个二次的关系[例3](1)(2024·通辽模拟)已知不等式ax 2+bx -1>0的解集为−12<<−则不等式x 2-bx -a ≥0的解集为()A .{x |x ≤-3或x ≥-2}B .{x |-3≤x ≤-2}C .{x |2≤x ≤3}D .{x |x ≤2或x ≥3}【解析】选A .因为不等式ax 2+bx -1>0的解集为−12<<−所以ax 2+bx -1=0的两根分别为-12,-13,即−12+−=−−12×−=−1,解得a =-6,b =-5.所以不等式x 2-bx -a ≥0可化为x 2+5x +6≥0,其解集为{x |x ≤-3或x ≥-2}.(2)(多选题)(2024·安庆模拟)已知不等式ax 2+bx +c >0的解集为−12<<2,则下列结论正确的是()A.b>0B.c>0C.a+b+c>0D.a-b+c>0【解析】选ABC.由题意可知,方程ax2+bx+c=0的解为x1=-12,x2=2,且a<0,则-=x1+x2=32,=x1x2=-1,解得b=-32a,c=-a,令f=ax2+bx+c=ax2-32ax-a<0,对于A,b=-32a>0,故A正确;对于B,c=-a>0,故B正确;对于C,a+b+c=f1=a-32a-a=-32a>0,故C正确;对于D,a-b+c=f−1=a+32a-a=32a<0,故D错误.【解题技法】一元二次不等式与方程的关系的解题策略1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点,也是相应一元二次不等式解集的端点值.2.给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数图象的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或利用根与系数的关系求解.【对点训练】(多选题)已知不等式ax2+bx+c>0的解集为<<,其中n>m>0,则以下结论正确的有()A.a<0B.b>0C.cx2+bx+a>0的解集为<<D.cx2+bx+a>0的解集为<1或>【解析】选ABC.因为不等式ax2+bx+c>0的解集为<<,所以a<0,故A 正确;因为n>m>0,令f=ax2+bx+c,所以-2>0,即b>0,故B正确;由上所述,易知f0<0,c<0,由题意可得m,n为一元二次方程ax2+bx+c=0的两根,则m+n=-,mn=,则1·1=,1+1=r B=-,即1,1为方程cx2+bx+a=0的解,则不等式cx2+bx+a>0的解集为<<故C正确,D错误.考点三一元二次不等式恒(能)成立问题角度1在R上的恒成立问题[例4](2024·重庆模拟)当a∈(t1,t2)时,不等式2−B−21−r2<3对任意实数x恒成立,则t1+t2的值为()A.-7B.6C.7D.8【解析】选B.由于1-x+x2=(−12)2+34>0,则不等式2−B−21−r2<3等价于4x2+(a-3)x+1>0,依题意,不等式4x2+(a-3)x+1>0对任意实数x恒成立,则Δ=(a-3)2-16<0,解得-1<a<7,于是t1=-1,t2=7,所以t1+t2=6.【解题技法】ax2+bx+c>0(<0)在R上恒成立的条件1.ax2+bx+c>0的解集为R,则一定满足(1)a =b =0,c >0或(2)>0<0;2.ax 2+bx +c <0的解集为R ,则一定满足(1)a =b =0,c <0或(2)<0<0.角度2在给定区间上的恒成立问题[例5]金榜原创·易错对对碰(1)(一题多法)若对于x ∈[1,3],mx 2-mx +m -6<0(m ≠0)恒成立,则m 的取值范围是________.【解析】由已知得,m (x -12)2+34m -6<0(m ≠0)在x ∈[1,3]上恒成立.方法一:令g (x )=m (x -12)2+34m -6(m ≠0),x ∈[1,3].当m >0时,g (x )在[1,3]上单调递增,所以g (x )max =g (3)=7m -6<0,所以m <67,则0<m <67.当m <0时,g (x )在[1,3]上单调递减,所以g (x )max =g (1)=m -6<0,所以m <6,所以m <0.综上所述,m 的取值范围是{m 0<<67或<0}.方法二:因为x 2-x +1=(x -12)2+34>0,又因为m (x 2-x +1)-6<0,所以m <62−r1.因为函数y =62−r1=6(K 12)2+34在[1,3]上的最小值为67,所以只需m <67即可.因为m ≠0,所以m 的取值范围是{m 0<<67或<0}.答案:{m 0<<67或<0}(2)若mx 2-mx -1<0对于m ∈[1,2]恒成立,则实数x 的取值范围为________.【解析】设g (m )=mx 2-mx -1=(x 2-x )m -1,其图象是直线,当m ∈[1,2]时,图象为一条线段,则o1)<0,o2)<0,即2−−1<0,22−2−1<0,解得1−32<x <1+32,故实数x 的取值范围为(1−32,1+32).答案:(1−32,1+32)【解题技法】在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f(x)>0在集合A中恒成立,即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围).(2)转化为函数值域问题,即已知函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a,即m≥a;f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a.(3)对于以下两种题型,可以利用二次函数在端点m,n处的取值特点确定不等式求范围.①ax2+bx+c<0(a>0)对x∈[m,n]恒成立;②ax2+bx+c>0(a<0)对x∈[m,n]恒成立.提醒:一般地,知道谁的范围,就选谁当主元;求谁的范围,谁就是参数.如本例(1)中建立关于x的函数,m为参数,本例(2)中建立关于m的函数,x为参数.角度3不等式能成立或有解问题[例6](一题多法)若关于x的不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,则a的取值范围是()A.−∞,8B.−∞,8C.−∞,27D.【解析】选A.方法一:(分离参数法)不等式x2-ax+7>0在2,7上有实数解,等价于不等式a<x+7在2,7上有实数解,因为函数f(x)=x+7在(2,7)上单调递减,在(7,7)上单调递增,又由f(2)=2+72=112,f7=7+77=8,所以f max<f7=8,所以a<8,即实数a的取值范围是−∞,8.方法二:(最值转化法)原不等式在(2,7)上有解,它的否定是不等式x2-ax+7>0在(2,7)上无解,则4−2+7≤049−7+7≤0,解得a≥8,因此不等式x2-ax+7>0在(2,7)上有解时a<8.【解题技法】一元二次不等式在给定区间上的有解问题解题策略(1)分离参数法:把不等式化为a>f(x)或a<f(x)的形式,只需a>f(x)min或a<f(x)max.(2)最值转化法;若f(x)>0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最大值大于0;若f(x)<0在集合A中有解,则函数y=f(x)在集合A中的最小值小于0.(3)数形结合法:根据图象列出约束条件求解.(4)最后一定要注意检验区间的开闭.【对点训练】1.(2024·大同模拟)已知命题p:∃x∈R,使得ax2+2x+1<0成立为真命题,则实数a的取值范围是()A.−∞,0B.−∞,1C.0,1D.0,1【解析】选B.命题p为真命题等价于不等式ax2+2x+1<0有解.当a=0时,不等式变形为2x+1<0,则x<-12,符合题意;当a>0时,Δ=4-4a>0,解得0<a<1;当a<0时,总存在x∈R,使得ax2+2x+1<0;综上可得实数a的取值范围为−∞,1.2.若不等式x2+a(x-1)+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则a的最小值为()A.0B.-22C.-22-2D.-5【解析】选D.记f(x)=x2+a(x-1)+1=x2+ax+1-a,要使不等式x2+a−1+1≥0对一切x∈(1,2]都成立,则−2≤1o1)=2≥0或1<−2<2o−2)=−24−+1≥0或−2≥2o2)=+5≥0,解得a≥-2或-4<a<-2或-5≤a≤-4,综上,a≥-5.3.已知对任意m∈1,3,mx2-mx-1<-m+5恒成立,则实数x的取值范围是()B.,+∞C.【解析】选D.对任意m∈1,3,不等式mx2-mx-1<-m+5恒成立,即对任意m∈1,3,m2−+1<6恒成立,所以对任意m∈1,3,x2-x+1<6恒成立,所以对任意m∈1,3,x2-x6=2恒成立,所以x2-x+1<2,解得1−52<x<1+5,故实数x【加练备选】已知f=x2+2−x+3a+b,若存在常数a,使f(x)≥0恒成立,则b的取值范围是________.【解析】使f(x)≥0恒成立,则Δ=(2-a)2-4×1×(3a+b)≤0,化简整理得4b≥a2-16a+4=(a-8)2-60,由于存在常数a,使f(x)≥0恒成立,可知4b≥(2−16+4)min,因此4b≥-60,解得b≥-15.答案:[-15,+∞)。
2024届新高考一轮复习北师大版 第2章 第4节 幂函数与二次函数 课件(54张)
返回导航
2．一元二次不等式恒成立的条件
若 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当aΔ><00， 时恒有 f(x)>0，当aΔ<<00， 时，
恒有 f(x)<0.
返回导航
[思考辨析] 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) ， x ∈ [m ， n] 的 最 值 一 定 是 4ac－b2 4a .( ) (2)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角 坐标系中的开口大小．( )
B．(－∞，－210 )
C．(210 ，＋∞)
D．(－210 ，0)
C 由题意知aΔ><00 即a1>－020a<0 ，解得 a>210 .故选 C.
返回导航
3．幂函数 f(x)＝xa2－10a＋23(a∈Z)为偶函数，且 f(x)在区间(0，＋∞)
上是减函数，则 a 等于( )
A．3
B．4
C．5
返回导航
(3)函数
是幂函数．( )
(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( ) (5)当 n<0 时，幂函数 y＝xn 是定义域上的减函数．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)×
返回导航
[对点查验]
1．若幂函数的图象经过点2，14 ，则它的单调递增区间是(
)
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞)
D．(－∞，0)
D 设 f(x)＝xα，则 2α＝14 ，α＝－2，即 f(x)＝x－2，它是偶函数，单
调递增区间是(－∞，0).故选 D.
高考数学一轮复习二次函数的图像与性质
4ac－b2 D. 4a
[答案] D
[解析]
2 x1＋x2 4 ac － b b －2a＝ f . 2 ＝f 4 a
4． (2012· 新乡模拟)已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b 是偶函 数，且其定义域为[a－1,2a]，则( 1 A．a＝3，b＝0 C．a＝1，b＝0 )
3 x2 有 x3 1＋x2＝17，求出系数 a.
[解析]
依条件，f(x)＝a(x－1)2＋15，
即 f(x)＝ax2－2ax＋a＋15， 由 f(x)＝0 得 ax2－2ax＋a＋15＝0， 15 ∴x1＋x2＝2，x1x2＝1＋ ， a
3 3 而 x1 ＋x3 2＝(x1＋x2) －3x1x2(x1＋x2)
(文)已知函数 f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]． (1)当 a＝－1 时，求函数 f(x)的最大值和最小值； (2)求实数 a 的取值范围， 使 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函 数．
[解析] ∈[－5,5]，
(1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x
＝2
3
15 90 1＋ ＝2－ ， －3· 2· a a
90 ∴2－ a ＝17，则 a＝－6. ∴f(x)＝－6x2＋12x＋9.
[点评]
在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数
解析式的表达形式： (1)已知三个点的坐标，应选择一般形式； (2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式； (3)已知函数图像与 x 轴的交点坐标，应选择两根式． 提醒：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引 入的系数过多，会加大运算量，易出错．
(2012· 沈阳模拟 ) 已知二次函数 f(x) 的图像过 A( － 1,0) ， B(3,0)，C(1，－8)． (1)求 f(x)的解析式； (2)求 f(x)在 x∈[0,3]上的最值； (3)求不等式 f(x)≥0 的解集．
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.6 二次函数●知识梳理二次函数的基本性质（1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n .（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=21（p +q ）. 若－ab2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b2）=m ，f （q ）=M ；若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b2）=m ；若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .●点击双基1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （221x x +）等于A.－ab2 B.－a b C.cD.ab ac 442-解析：f （221x x +）=f （－ab2）=a b ac 442-.答案：D2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8m，+∞）上递增，由题设只需8m≤－2⇒m ≤－16， ∴f （1）=9－m ≥25. 答案：A4.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.解析：f （x ）=2（x －23）2－27.当x =1时，f （x ）min =－3；当x =－1时，f （x ）max =9. 答案：－3 95.（2003年春季上海）若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =__________.解法一：二次函数y =x 2+（a +2）x +3的图象关于直线x =1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－22+a =1.∴a =－4.而f （x ）是定义在［a ，b ］上的，即a 、b 关于x =1也是对称的，∴2b a +=1.∴b =6.解法二：∵二次函数y =x 2+（a +2）x +3的对称轴为x =1，∴f （x ）可表示为f （x ）=（x －1）2+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a +2=－2.∴a =－4，b 的计算同解法一.解法三：∵二次函数的对称轴为x =1，∴有f （x ）=f （2－x ），比较对应项系数，∴a =－4，b 的计算同解法一.答案：6 ●典例剖析【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是A.－1241B.18C.8D.43剖析：由Δ=（－2a ）2－4（a +6）≥0，得a ≤－2或a ≥3.于是有（x －1）2+（y －1）2=x 2+y 2－2（x +y ）+2=（x +y ）2－2xy －2（x +y ）+2=（2a ）2－2（a +6）－4a +2=4a 2－6a －10=4（a －43）2－449.由此可知，当a =3时，（x －1）2+（y －1）2取得最小值8. 答案：C 深化拓展Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y =ax 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax +bx +c ＞0的解集是______________. 解析：由表知y =a （x +2）（x －3），又x =0，y =－6，代入知a =1.∴y =（x +2）（x －3）. 答案：{x |x ＞3或x ＜－2} 【例3】 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c＞0的解是－21＜x ＜31，求a 、b 、c 的取值范围. 解：依题意ax 2+bx +c －25=0有解，故Δ=b 2－4a （c －25）≥0.又不等式ax 2+bx +c ＞0的解是－21＜x ＜31，∴a ＜0且有－a b =－61，a c =－61.∴b =61a ，c =－61a .∴b =－c ，代入Δ≥0得c 2+24c （c －25）≥0.∴c ≥24.故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.评述：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.●闯关训练 夯实基础1.下图所示为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象，则｜OA ｜·｜OB ｜等于A.ac B.－ac C.±ac D.无法确定解析：|OA |·|OB |=|OA ·OB |=|x 1x 2|=|a c |=－ac（∵a ＜0，c ＞0）. 答案：B2.已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________.解析：通过画二次函数图象知m ∈［1，2］. 答案：［1，2］3.已知函数y =（e x －a ）2+（e －x －a ）2（a ∈R ，且a ≠0），求y 的最小值.解：y ＝（e x ＋e －x ）2－2a （e x ＋e －x ）＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －x ，则f （t ）＝t 2－2at ＋2a 2－2.∵t ＝e x ＋e －x ≥2，∴f （t ）＝（t －a ）2＋a 2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t ＝a ，∴当a ≥2时，y min ＝f （a ）＝a 2－2；当a ＜2且a ≠0时，y min ＝f （2）＝2（a －1）2. 4.要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为___________________.解析：要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则y =x 2+4x 在［a ，+∞）上是单调函数.∴a ≥－2.答案：－25.已知函数f （x ）=mx 2+（m －3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.解：若m =0，则f （x ）=－3x +1，显然满足要求. 若m ≠0，有两种情况：①原点的两侧各有一个，则⇒⎪⎩⎪⎨⎧<=>--=0104)3(212m x x m m Δm ＜0； ②都在原点右侧，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥--=,01,023,04)3(21212m x x m m x x m m Δ 解得0＜m ≤1.综上可得m ∈（－∞，1］. 培养能力6.设f （x ）=x 2－2ax +2.当x ∈［－1，+∞）时，f （x ）≥a 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：（1）当a ≤－1时，f （x ）min =f （－1）=3+2a ，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立⇔f （x ）min ≥a ，即3+2a ≥a ⇔a ≥－3.故此时－3≤a ≤－1.（2）当a ＞－1时，f （x ）min =f （a ）=a 2－2a 2+2=2－a 2，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立⇔f （x ）min ≥a ，即2－a 2≥a ⇔a 2+a －2≤0⇔－2≤a ≤1.故此时－1＜a ≤1.由（1）（2）知，当－3≤a ≤1时，x ∈［－1，+∞），f （x ）≥a 恒成立. 7.对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0成立，则称x 0为f （x ）的不动点.已知函数f （x ）=ax 2+（b +1）x +b －1（a ≠0）.（1）当a =1，b =－2时，求f （x ）的不动点；（2）若对于任意实数b ，函数f （x ）恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围. 解：（1）当a =1，b =－2时，f （x ）=x 2－x －3=x ⇔x 2－2x －3=0⇔（x －3）（x +1）=0⇔x =3或x =－1，∴f （x ）的不动点为x =3或x =－1.（2）对任意实数b ，f （x ）恒有两个相异不动点⇔对任意实数b ，ax 2+（b +1）x +b －1=x 恒有两个不等实根⇔对任意实数b ，Δ=（b +1）2－4a （b －1）＞0恒成立⇔对任意实数b ，b 2+2（1－4a ）b +1+4a ＞0恒成立⇔Δ′=4（1－4a ）2－4（1+4a ）＜0⇔（1－4a ）2－（1+4a ）＜0⇔4a 2－3a ＜0⇔a （4a －3）＜0⇔0＜a ＜43. 8.（2003年全国，文）设函数f （x ）=x 2+|x －2|－1，x ∈R . （1）判断函数f （x ）的奇偶性； （2）求函数f （x ）的最小值.解：（1）f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-+.2,1,2,322x x x x x x∵f （0）=1≠0，∴f （x ）不是R 上的奇函数.∵f （1）=1，f （－1）=3，f （1）≠f （－1）， ∴f （x ）不是偶函数.故f （x ）是非奇非偶的函数.（2）当x ≥2时，f （x ）=x 2+x －3，此时f （x ）min =f （2）=3.当x ＜2时，f （x ）=x 2－x +1，此时f （x ）min =f （21）=43. 总之，f （x ）min =43.探究创新9.二次函数f （x ）=px 2+qx +r 中实数p 、q 、r 满足2+m p +1+m q +mr=0，其中m ＞0， 求证：（1）pf （1+m m）＜0； （2）方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解.证明：（1）pf （1+m m ）=p ［p （1+m m ）2+q （1+m m）+r ］=pm ［2)1(+m pm +1+m q +m r ］=pm ［2)1(+m pm －2+m p］ =p 2m ［)2()1()1()2(22+++-+m m m m m ］ =p 2m ［－)2()1(12++m m ］.由于f （x ）是二次函数，故p ≠0.又m ＞0，所以pf （1+m m）＜0. （2）由题意，得f （0）=r ，f （1）=p +q +r .①当p ＞0时，由（1）知f （1+m m）＜0.若r ＞0，则f （0）＞0，又f （1+m m）＜0，∴f （x ）=0在（0，1+m m）内有解；若r ≤0，则f （1）=p +q +r =p +（m +1）（－2+m p －m r ）+r =2+m p －mr＞0，又f （1+m m）＜0，所以f （x ）=0在（1+m m，1）内有解.因此方程f （x ）=0在（0，1）内恒有解. ②当p ＜0时，同样可以证得结论. 评述：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数p ≠0，若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改.（2）对字母p 、r 分类时先对哪个分类是有一定讲究的.本题的证明中，先对p 分类，然后对r 分类显然是比较好的.●思悟小结1.二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象形状、对称轴、顶点坐标、开口方向等是处理二次函数问题的重要依据.2.二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们相互之间的关系，能用函数思想来研究方程和不等式，便是抓住了关键.●教师下载中心 教学点睛1.二次函数是最重要的初等函数之一，因为很多问题可化归为二次函数来处理，所以必须熟练掌握二次函数的性质，并能灵活运用这些性质去解决问题.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0）中a 、b 、c 的值.二次函数也可以表示为y =a （x －x 0）2+h 或y =a （x －x 1）（x －x 2）（b 2－4ac ≥0）等形式，应提醒学生根据题设条件选用适当的表示形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.结合图象可以得到一系列与二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的分布有关的结论，教学时可引导学生总结：（1）方程f （x ）=0的两根中一根比r 大，另一根比r 小⇔a ·f （r ）＜0.（2）二次方程f （x ）=0的两根都大于r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⋅>->-=⇔.0)(,2,042r f a r a bac b Δ （3）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内有两根⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>⋅>⋅<-<>-=⇔.0)(,0)(,2,042p f a q f a q ab p ac b Δ （4）二次方程f （x ）=0在区间（p ，q ）内只有一根⇔f （p ）·f （q ）＜0，或f （p ）=0，另一根在（p ，q ）内或f （q ）=0，另一根在（p ，q ）内.（5）方程f （x ）=0的两根中一根大于p ，另一根小于q （p ＜q ）⎩⎨⎧>⋅<⋅⇔.0)(,0)(q f a p f a 4.二次函数与二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可方便直观地解决与不等式有关的问题.例如：（1）二次不等式f （x ）=ax 2+bx +c ≤0的解集是（－∞，α］∪［β，+∞）⇔a ＜0且f （α）=f （β）=0.（2）当a ＞0时，f （α）＜f （β）⇔|α+a b 2|＜|β+a b 2|； 当a ＜0时，f （α）＜f （β）⇔|α+a b 2|＞|β+ab2|.（3）当a ＞0时，二次不等式f （x ）＞0在［p ，q ］上恒成立⇔⎪⎩⎪⎨⎧><-0)(,2p f p a b或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<-≤0)2(,2a b f q ab p 或⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-.0)(,2q f q a b（4）f （x ）＞0恒成立⇔⎩⎨⎧<>0,0Δa 或⎩⎨⎧>==;0,0c b af （x ）＜0恒成立⇔⎩⎨⎧<<0,0Δa 或⎩⎨⎧<==.0,0c b a拓展题例【例1】 已知当m ∈R 时，函数f （x ）＝m （x 2－1）＋x －a 的图象和x 轴恒有公共点，求实数a 的取值范围.解：（1）m =0时，f （x ）=x －a 是一次函数，它的图象恒与x 轴相交，此时a ∈R .（2）m ≠0时，由题意知，方程mx 2＋x －（m ＋a ）＝0恒有实数解，其充要条件是Δ＝1＋4m （m ＋a ）＝4m 2＋4am ＋1≥0.又只需Δ′＝（4a ）2－16≤0，解得－1≤a ≤1，即a ∈［－1，1］.∴m ＝0时，a ∈R ；m ≠0时，a ∈［－1，1］.评述：g （a ）是a 的函数，可作出g （a ）的草图来求最大值. 【例2】 已知f （x ）＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点（－1，0），是否存在常数a 、b 、c ，使不等式x ≤f （x ）≤212+x 对一切实数x 都成立？解：∵f （x ）的图象过点（－1，0）， ∴a －b +c =0①∵x ≤f （x ）≤212+x 对一切x ∈R 均成立，∴当x =1时也成立，即1≤a +b +c ≤1. 故有a ＋b ＋c ＝1.②由①②得b =21，c =21－a . ∴f （x ）＝ax 2＋21x ＋21－a .故x ≤ax 2＋21x ＋21－a ≤212+x 对一切x ∈R 成立，也即⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥-+-02)21(,0212122a x x a a x ax 恒成立⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->≤--≤--⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->≤≤⇔.021,0,0)21(81,0)21(44102100021a a a a a a a a ΔΔ 解得a =41.∴c =21－a =41. ∴存在一组常数a =41，b =21，c =41，使不等式x ≤f （x ）≤212+x 对一切实数x 均成立.评述：赋值法（特殊值法）可以使“探索性”问题变得比较明朗，它是解决这类问题比较常用的方法.。