年高考第一轮复习数学二次函数

2.6 二次函数

●知识梳理

二次函数的基本性质

（1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n .

（2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0=

2

1

（p +q ）. 若－

a

b

2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b

2）=m ，f （q ）=M ；

若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b

2）=m ；

若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m .

●点击双基

1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2

2

1x x +）等于

A.－

a

b

2 B.－

a b C.c

D.a

b a

c 442-

解析：f （221x x +）=f （－a

b

2）=a b ac 442-.

答案：D

2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B

3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25

解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8

m

，+∞）上递增，由题设只

需

8

m

≤－2⇒m ≤－16， ∴f （1）=9－m ≥25. 答案：A

4.函数f （x ）=2x 2－6x +1在区间［－1，1］上的最小值是___________，最大值是___________.

解析：f （x ）=2（x －23）2－2

7

.

当x =1时，f （x ）min =－3；当x =－1时，f （x ）max =9. 答案：－3 9

5.（2003年春季上海）若函数y =x 2+（a +2）x +3，x ∈［a ，b ］的图象关于直线x =1对称，则b =__________.

解法一：二次函数y =x 2+（a +2）x +3的图象关于直线x =1对称，说明二次函数的对称轴

为1，即－2

2

+a =1.∴a =－4.而f （x ）是定义在［a ，b ］上的，即a 、b 关于x =1也是对称的，

∴2

b a +=1.∴b =6.

解法二：∵二次函数y =x 2+（a +2）x +3的对称轴为x =1，∴f （x ）可表示为f （x ）=（x －1）2+c ，与原二次函数的表达式比较对应项系数，可得a +2=－2.∴a =－4，b 的计算同解法一.

解法三：∵二次函数的对称轴为x =1，∴有f （x ）=f （2－x ），比较对应项系数，∴a =－4，b 的计算同解法一.

答案：6 ●典例剖析

【例1】 设x 、y 是关于m 的方程m 2－2am +a +6=0的两个实根，则（x －1）2+（y －1）2的最小值是

A.－1241

B.18

C.8

D.4

3

剖析：由Δ=（－2a ）2－4（a +6）≥0，得a ≤－2或a ≥3.

于是有（x －1）2+（y －1）2=x 2+y 2－2（x +y ）+2=（x +y ）2－2xy －2（x +y ）+2=（2a ）2

－2（a +6）－4a +2=4a 2－6a －10=4（a －43）2－4

49

.

由此可知，当a =3时，（x －1）2+（y －1）2取得最小值8. 答案：C 深化拓展

Δ≥0是二次方程有实根的隐含条件.

【例2】 （2004年江苏，13）二次函数y =ax 2x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y

6

－4

－6

－6

－4

6

则不等式ax +bx +c ＞0的解集是______________. 解析：由表知y =a （x +2）（x －3），又x =0，y =－6，代入知a =1.∴y =（x +2）（x －3）. 答案：{x |x ＞3或x ＜－2} 【例3】 已知二次函数f （x ）=ax 2+bx +c 的图象与直线y =25有公共点，且不等式ax 2+bx +c

＞0的解是－

21＜x ＜3

1

，求a 、b 、c 的取值范围. 解：依题意ax 2+bx +c －25=0有解，故Δ=b 2－4a （c －25）≥0.又不等式ax 2+bx +c ＞0的解是－21＜x ＜3

1

，

∴a ＜0且有－a b =－61，a c =－6

1

.

∴b =61a ，c =－6

1a .

∴b =－c ，代入Δ≥0得c 2+24c （c －25）≥0.

∴c ≥24.故得a 、b 、c 的取值范围为a ≤－144，b ≤－24，c ≥24.

评述：二次方程ax 2+bx +c =0，二次不等式ax 2+bx +c ＞0（或＜0）与二次函数y =ax 2+bx +c 的图象联系比较密切，要注意利用图象的直观性来解二次不等式和二次方程的问题.

●闯关训练 夯实基础

1.下图所示为二次函数y =ax 2＋bx ＋c 的图象，则｜OA ｜·｜OB ｜等于

A.

a

c B.－

a

c C.±

a

c D.无法确定

解析：|OA |·|OB |=|OA ·OB |=|x 1x 2|=|

a c |=－a

c

（∵a ＜0，c ＞0）. 答案：B

2.已知f （x ）=x 2－2x +3，在闭区间［0，m ］上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是___________________.

解析：通过画二次函数图象知m ∈［1，2］. 答案：［1，2］

3.已知函数y =（e x －a ）2+（e －

x －a ）2（a ∈R ，且a ≠0），求y 的最小值.

解：y ＝（e x ＋e －x ）2－2a （e x ＋e －x ）＋2a 2－2.令t ＝e x ＋e －

x ，则f （t ）＝t 2－2at ＋2a 2－2.

∵t ＝e x ＋e －

x ≥2，∴f （t ）＝（t －a ）2＋a 2－2的定义域为［2，＋∞）. ∵抛物线的对称轴方程是t ＝a ，

∴当a ≥2时，y min ＝f （a ）＝a 2－2；当a ＜2且a ≠0时，y min ＝f （2）＝2（a －1）2. 4.要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则a 的最小值为___________________.

解析：要使y =x 2+4x （x ≥a ）有反函数，则y =x 2+4x 在［a ，+∞）上是单调函数.∴a ≥－2.

答案：－2

5.已知函数f （x ）=mx 2+（m －3）x +1的图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，求实数m 的取值范围.

解：若m =0，则f （x ）=－3x +1，显然满足要求. 若m ≠0，有两种情况：