2014静电场中的导体2(静电感应)
(整理)静电场中的导体和电介质
第八章 静电场中的导体和电介质§8-1 静电场中的导体一、静电感应 导体的静电平衡条件 1、静电感应2、导体静电平衡条件（1）导体的静电平衡：当导体上没有电荷作定向运动时称这种状态为导体的静电平衡。
（2）静电平衡条件 从场强角度看：①导体内任一点，场强0=E；②导体表面上任一点E与表面垂直。
从电势角度也可以把上述结论说成：①⇒导体内各点电势相等；②⇒导体表面为等势面。
用一句话说：静电平衡时导体为等势体。
二、静电平衡时导体上的电荷分布 1、导体内无空腔时电荷分布如图所示，导体电荷为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε导体静电平衡时其内0=E，∴ 0=∙⎰s d E S， 即0=∑内S q 。
S 面是任意的，∴导体内无净电荷存在。
结论：静电平衡时，净电荷都分布在导体外表面上。
2、导体内有空腔时电荷分布 （1）腔内无其它电荷情况如图所示，导体电量为Q ，在其内作一高斯面S ，高斯定理为：∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时，导体内0=E∴ 0=∑内S q ，即S 内净电荷为0，空腔内无其它电荷，静电平衡时，导体内又无净电荷∴空腔内表面上的净电荷为0。
但是，在空腔内表面上能否出现符号相反的电荷，等量的正负电荷？我们设想，假如有在这种可能，如图所示，在A 点附近出现+q ，B 点附近出现-q ，这样在腔内就分布始于正电荷上终于负电荷的电力线，由此可知，B A U U >,但静电平衡时，导体为等势体，即B A U U =，因此，假设不成立。
结论：静电平衡时，腔内表面无净电荷分布，净电荷都分布在外表面上，（腔内电势与导体电势相同）。
（2）空腔内有点电荷情况如图所示，导体电量为Q ，其内腔中有点 电荷+q ，在导体内作一高斯面S ，高斯定理为∑⎰=∙内S Sq s d E 01ε 静电平衡时0=E， ∴ 0=∑内S q 。
又因为此时导体内部无净电荷，而腔内有电荷+q ， ∴ 腔内表面必有感应电荷-q 。
2、静电场中的导体和电介质
思考题
1. 导体静电平衡时，有什么特点？ 2. 现有甲、乙二人，站在与地绝缘的泡沫板上， 甲带有正电荷，乙不带电。你只有一根导线。 （1）如何让乙也带上正电荷？ （2）如何让乙带上负电荷？ 3. 电极化强度矢量满足何种边界条件？
学习动物精神
11、机智应变的猴子：工作的流程有时往往是一成不变的， 新人的优势在于不了解既有的做法，而能创造出新的创意 与点子。一味 地接受工作的交付， 只能学到工作方法 的皮毛，能思考应 变的人，才会学到 方法的精髓。
垂直的端面上出现极化电荷。
对于非均匀电介质，除在电介质表面上出现极化
电荷外，在电介质内部也将产生体极化电荷。
2.5.2
电极化强度
当电介质处于极化状态时，在电介质内部任一宏观小 体积元V内分子的电矩矢量和不等于零，即Σp≠0（其中p 为分子电矩）。 为了定量地描述电介质的极化程度，引入电极化强度 矢量P，它等于介质单位体积内分子电矩的矢量和。
导体静电平衡的特点
（1）导体内部任意一点的电场强度等于零。
（2）导体表面上任一点的场强必定垂直于导体表面。
（3）导体为等势体，导体表面是等势面。 （4）电荷都分布在导体的表面上，导体内部任一小体积 元内的净电荷等于零。 （5）导体在电场中达到静电平衡时，其表面上电荷的分
布不一定是均匀的，一般地讲，表面曲率大的地方，电荷
力线只能终止（或起始）于导体表面，并与导体表面垂直，
不能穿过导体进入内部。也就是说，空腔导体内部的物体不 会受到外部电场的影响。 空腔导体使其内部不受外电场影响的性质叫静电屏蔽。 在静电防护领域，为了使对静电敏感的器件不受外界静
电场的影响，通常将敏感器件装在屏蔽袋中。
静电场中的导体
R1
22
Vo
E dl
0 R3
0 R1
R2
E1 E3
dl
dl
R2
R3
E2
dl
R1 E4 dl
q (1 1 2)
4 π ε0 R3 R2 R1
2.31103 V
R1=10 cm，R2=7 cm R3=5 cm，q=10-8 C
2q
q
q
R3
R2 R1
23
S4
E4
dS
2q ε0
2q E4 4 π ε0r 2 (r R1)
S4
R1
2q
S3
q
R33
rr
R2
R1111
R1
21
E1 0
(r R3 )
E2
4
q π ε0r 2
(R3 r R2 )
E3 0
(R1 r R2 )
E4
2q 4 π ε0r 2
(r R1)
2q
q
q
R3
电势也会受到影响 25
二 电介质的极化
电介质 无极分子：（氢、甲烷、石蜡等） 有极分子：（水、有机玻璃等）
26
电介质分子可分为有极和无极两类:
（1）分子中的正电荷等效中心 与负电荷等效
中心重合的称为无极分子（如H2、 CH4、CO2）
无极分子在电场中, 无极分子
E
正负电荷中心会被 拉开一段距离,产生 感应电偶极矩，这 称为位移极化。
1 CU 2 2
+++++++++
---------
+ dq
静电场中的导体
电风实验
++ ++
+ +
+ +
32
小结： 静电平衡导体的电荷分布 1、实心导体内部无电荷。
Q 1 4 2S Q 2 3 2S
场强分布：
A 板左侧
A
B
1 Q E 0 2 0 S
2 3 Q E 0 0 2 0 S
1 2 3 4 E E E
两板之间
B 板右侧
4 Q E 0 2 0 S
应用：精密测量上的仪器屏蔽罩、屏蔽室、高压 带电作业人员的屏蔽服（均压服）等。
正误题：
1、导体放入电场中，自由电荷要重新分布。两端感应 出的正负电荷一定相等。此时，导体两端的电势相等， 但符号相反。 E 2、带电导体表面附近的电场强度 方向总是与表面 0 垂直，与外部是否存在其它带电体无关； 3、将带+Q的导体A移近不带电的孤立导体B时，B的电势将 升高；如果B是接地的，则B的电势就保持不变，且UB=0 4、导体静电平衡时，内部场强必为零。
静电场中的导体和电介质
主要内容： 导体静电平衡条件和性质
▲
电场中导体和电介质的电学性质 有电介质时的高斯定理 电容器的性质和计算 静电场的能量
▲ ▲
▲
静电场中的导体
Effects of Conductor in Electrostatic Field
一、静电感应
第十章 静电场中的导体及电介质PPT课件
+
+
+
+
+
E 感
E +
+
外
+
+
+
E内 =
E 外
+
E 感
=
0
静电平衡——导体中电荷的宏观定向运动 终止，电荷分布不随时间改变。
静电平衡结果：
用场强来描写： 1. 导体内部场强处处为零； 2. 表面场强垂直于导体表面。
用电势来描写： 1. 导体为一等势体； 2. 导体表面是一个等势面。
金属球放入前电场为一均匀场
三、导体的表面场强
s E .dS = 内E .dS +表 E .dS +侧 E .dS
=0
= σεS0
E表
=
σ
ε0
σ
ε E表 = o
+ E表S +
⊥表面 σ
0 E
S
四、静电屏蔽 不接地的导体腔
接地的导体腔
金属罩
仪器
带电体
++++
+ +
静电屏蔽：一个接地的空腔导体可以隔 离内外电场的影响。
[例1]已知两金属板带电分别为 q1 , q2
E 3 E2 E4
E1 E 4 E 1 E 2 E3
ε ε ε ε b点：
σ
2
1+
o
σ
2
2
o
σ
+2
3
o
σ
2
4
o
=0
ε ε ε ε σ σ σ σ a点：
2
1
o
2
2o
静电场中的导体
导体上的电荷分布
V 1 Q 1 q
4 0 R 4 0 r
Q R
q
r
可见大球所带电量Q比小球所带电量q多。
两球的电荷密度分别为
R
Q
4R2
,
r
q
4r 2
可见电荷面密度和半径成反比，即曲率半径 愈小（或曲率愈大），电荷面密度愈大。
导体上的电荷分布
例1. 证明两无限大平行金属板达到静电平衡时，其相对 两面带等量异号电荷，相背两面带等量同号电荷。
§9-1 静电场中的导体
1.导体的静电平衡
静电感应： 在静电场力作用下，导体中自由电子在电场力的作 用下作宏观定向运动，使电荷产生重新分布的现象。
导体的静电平衡
导体的静电感应过程
导体的静电平衡
导体达到静电平衡
E 感
E外 E感 0
+
+
+ E外
+ +
导体的静电平衡
静电平衡： 导体中电荷的宏观定向运动终止，电 荷分布不随时间改变。
证明：从左至右一共有四个带电平
面，设其所带电荷的面密度依次 为1、2、3、4。
以向右作为电场正向。
1 2
左边导体中任意一点的场强：
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
3 4
导体上的电荷分布
在右边导体中任取一点，则该点
E 1 2 3 4 0 20 20 20 20
2 3
2.2 空腔导体
（1）腔内无带电体： 电荷分布在导体表面，导体
内部及腔体的内表面处处无净电 荷。
+ + + ++ + +
+ +
静电场中的导体
R1 r R2
E3
1
4
0
Q q/ r2
U
R1
E.dr
R2 R1
E2.dr
R2 E3.dr 0
r R2
q/
4 0
1 R1
1 R2
1
4 0
Q q/ R2
0,
解得
q
R 1
Q
R
2
故外球壳外表面荷电 Q q/ Q R1 Q
R2
17
10
例8－１4 如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为R的金属球壳 外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。
q/
R
r
E0 0 E/ d
Q
解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则
点电荷在球心处的场强
Q
E0 4 0 (R d )2 r0
又
E E/ E 0
内
0
q
总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使 得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽。
12
２、尖端放电
在带电尖端附近，电离的分子与周围分子碰撞，使周围的 分子处于激发态发光而产生电晕现象。
+ +
++ +++
+ +
+++
+
尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕， 故此，高压设备中的金属柄都做成光滑的球形。
△s面上σ均匀， E1=常矢 ，且垂直于导体表面，又E内＝０
e
E表
E s1 1
0
ds
s
静电场中导体
q
S内
i
0
由于高斯面 S 可取得任意小，所以导 体内无净电荷分布。
2. 静电平衡导体， 其表面附近场强的大 ---- - - E S P 小与该处表面的电荷 面密度成正比。 + +S ' + +
+ + ++ + + ++ + +
S '
dS E dS E dS E dS E S S ' 侧面
1. 孤立带电导体接地时，为什么所有 电荷会流向地球？
2. 地球的电势为何视为零？
Q R q r
1 Q VR 40 R
尖端放电现象：
+ + + + +
避害：避雷针的使用等。
趋利：电焊，静电喷漆， 电子点火等。
§13-4 空腔导体内外的静电场 静电屏蔽
一、空腔导体内外的静电场 1. 空腔内没有电荷 空腔内没有电荷时，电荷只能分布 在导体外表面。空腔内没有电场分布。
P
σ
3. 孤立导体静电平衡时,表面曲率越 大的地方,电荷面密度越大。
+ + + + + + + + + + + +
以下例定性说明。
例: 设有两个相距很远的带电导体球， 半径分别为 R 和 r (R >r)，用一导线将两 球相连, 哪个球带电量大？哪个球的面电 荷密度大？
R
Q
r q
R 解：设系统达到静电平衡时，两球的 带电量分别为Q 和 q , 两球的电势
静电场中的导体总结
q 2
方向朝左
2 0 s q EC 2 0 s
EB
q
方向朝右
X
方向朝右
16
2、右板接地
4 0
高斯定理:
q 1 2 s 2 3 0
1 2
0
A
3
q
B p
4
0
C
q
P点的合场强为零:
1 2 3 0
1 0
EA 0
q 2 s q 3 4 0 s q EB EC 0 0s
根据高斯定理有：
E ds
3
p
4
E1 E2 E3
q
i
i
2 3 0
0
( 2 3 )s
E4
0
0
X
E p E1 E2 E3 E4 0 P点的场强是四个带电面产生 1 2 3 4 0 E p E1 E2 E3 E4 0, E p
q p
V p Vq
Ei dl 0
p
导体静电平衡条件：
Ei 0
q
V p Vq
导体表面：场强方向处处垂直于表面 表面即为一等势面
4
导体的静电平衡
静电平衡条件：
场强
导体内部场强处处为零
表面场强垂直于导体表面
' E内 E 0 E 0 ' E表面 E0 E 表面
E1 0 E3 0 E2 4 0 r22 q1
q1 q1
A
B
q1 q2 E4 4 0 r42
q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V1 ( ) ; V3 4 0 R1 R2 R3 4 0 R3 1 q1 q1 q1 q2 1 q1 q2 V2 ( ) ; V4 4 0 r2 R2 R3 4 0 r4 1
静电场中的导体
静电：静电是一种处于静止状态的电荷。
在干燥和多风的秋天，在日常生活中，人们常常会碰到这种现象：晚上脱衣服睡觉时，黑暗中常听到噼啪的声响，而且伴有蓝光；见面握手时，手指刚一接触到对方，会突然感到指尖针刺般刺痛，令人大惊失色；早上起来梳头时，头发会经常“飘”起来，越理越乱；拉门把手、开水龙头时都会“触电”，时常发出“啪”的声响，这就是发生在人体的静电。
静电场：静电场，指的是观察者与电荷量不随时间发生变化的电荷相对静止时所观察到的电场。
它是电荷周围空间存在的一种特殊形态的物质，其基本特征是对置于其中的静止电荷有力的作用。
库仑定律描述了这个力。
定义：由静止电荷(相对于观察者静止的电荷)激发的电场。
性质：根据静电场的高斯定理：静电场的电场线起于正电荷或无穷远,终止于负电荷或无穷远，故静电场是有源场．从安培环路定理来说它是一个无旋场．根据环量定理，静电场中环量恒等于零,表明静电场中沿任意闭合路径移动电荷，电场力所做的功都为零，因此静电场是保守场．根据库仑定律，两个点电荷之间的作用力跟它们的电荷量的乘积成正比，和它们距离的平方成反比，作用力的方向在它们的连线上，即F=（k·q1q2）/r2;,其中q1、q2为两电荷的电荷量（不计正负性）、k为静电力常量，约为9.0e+09（牛顿·米2）/（库伦2;），r为两电荷中心点连线的距离。
注意，点电荷是不考虑其尺寸、形状和电荷分布情况的带电体。
是实际带电体的理想化模型。
当带电体的距离比它们的大小大得多时，带电体的形状和大小可以忽略不计的点电荷。
静电感应：一个带电的物体靠近另一个导体时，两个导体的电荷分布发生明显的变化，物理学中把这种现象叫做静电感应。
如果电场中存在导体，在电场力的作用下出现静电感应现象,使原来中和的正、负电荷分离,出现在导体表面上。
这些电荷称为感应电荷。
总的电场是感应电荷与自由电荷共同作用结果。
达到平衡时，导体内部的场强处处为零,导体是一个等势体，导体表面是等势面，感应电荷都分布在导体外表面，导体表面的电场方向处处与导体表面垂直。
静电场中的导体
物理学
势面。
1.2 静电平衡导体上的电荷分布
（1）导体内部各处的净电荷为零， 电荷只分布在导体的表面
如下图所示，由于导体内的电场强度E处处为零，所以通 过导体内任意高斯面的电通量为零，即
S E dS 0
根据高斯定理可知，此时高斯面 所包围的电荷量的代数和必然为零。 因为此高斯面是任意的，因此可得上 述表述是正确的。
若把金属导体放在外电场中，导体内部的自由电子在电 场力的作用下作宏观定向运动，从而使导体内正负电荷重新 分布。这种在外电场作用下，引起导体中电荷重新分布而呈 现出的带电现象，称为静电感应现象。
2．静电平衡条件
如下图所示，在电场强度为E0的匀强电场中放入一块金 属板。在电场力的驱动下，金属内部的电子逆着外电场的方
E dS E dS+ E dS+ E dS
S
上底
ห้องสมุดไป่ตู้
下底
侧面
E S +0 S +E S cos E S 2
此高斯面包围的净电荷为σΔS，根据高斯定理有
所以
ES S 0
E0
由上式可知，在静电平衡时，导体表面上各处的面电荷密 度与该表面外附近处的场强的大小成正比。
（3）孤立的导体处于静电平衡时，它的表面 各处的电荷面密度与各处表面的曲率有关，曲 率越大的地方，电荷面密度越大
对于腔内有带电体的空腔导体，如右图所示，空腔内表面 必定带有与腔内带电体等量异号的电荷，外表面带有与腔内带 电体等量同号的电荷。若导体接地，则空腔内带电体的电荷变 化将不再影响导体外的电场。
如下图所示，对于在腔内带电体的空腔导体外还有一带 电体B，由于静电感应，空腔导体外表面上的电荷及其带电 体B上的电荷将重新分布。静电平衡时，空腔导体有如下特 点：
静电场中的导体
在导体内包围空腔作 高斯面S。则：
E • dS
S
1
0
qi
S内
=0
内表面无电荷
或 内表面带等量的异种电荷（与“导
体是等势体”矛盾）
18
3、空心导体, 腔内有导体
腔体内表面所带的电量和腔内带电体所带的电量等 量异号，腔体外表面所带的电量由电荷守恒定律决定。
未引入q1时
q2
放入q1后
q1 q2 q1 + q1
C q uA uB
38
1.平行板电容器
已知：S、d、0 设A、B分别带电+q、-q
A、B间场强分布 E 0
电势差
B
qd
uA
uB
E • dl
A
Ed
0S
由定义
C q 0S
uA uB d
q q
E
AdB
讨论
C 与 d S 0有关
S C ；d C
39
2.圆柱形电容器
AB
已知： RA RB L
时
刻
外力做功
dA
dWe
udq
q C
dq
uA Q
uB Q
Q q
Q2
A 0 C dq 2C 电容器的电能
终 了
时
W
Q2 2C
1 2
QU
AB
1 2
CU
2 AB
刻 UA
UB
48
O R3
r R3 E 0
R3
uo
Edr Edr
0
R3
4 0 R3
r R3
E
4 0r 2
u
导体的静电感应讲解PPT课件
第22页/共48页
(1)空腔原不带电，腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
-
q
-
-
q
q
q内 q q外 q
(2)空腔原带电Q, 腔内电荷q ，腔内、外表面电量？
q内 q q外 Q q
-
q
-
-
- q
总的结论：
静电平衡状态下，导体的净电荷只能出现在导
qn Cn
C q1 q2 qn
C1 C2 Cn
C C1 C2 Cn
效果：总电容增大，但耐压值减小
第45页/共48页
四.电容器的击穿
电容器的两极间的电压超高,则电介质会因为不
能承受强电场而被击穿导电,电容器就不再成为电
容器.
Qa
Qb
1 2 3 4
第46页/共48页
作业
P94 9-3，9-10
SP E S' S E0
E dS E dS
E dS
E dS
ES
1
S
s
S
S'
S侧
0
E内 0 cos 0
E
0
E n
0
第25页/共48页
3.面电荷密度与导体表面曲率的关系 +
导体表面的的电荷面密度 与导体表面的曲率半径有关：
+ +++
曲率半径越大处电荷密度越低；
++
+ +
+ +
++ + +
+
即：表面上越平坦处电荷密度越小，
第二章 静电场中的导体与电介质
第二章 静电场中的导体与电介质2.1 导体与电介质的区别：（1）宏观上，它们的电导率数量级相差很大（相差10多个数量级，而不同导体间电导率数量级最多就相差几个数量级）。
（2）微观上导体内部存在大量的自由电子，在外电场下会发生定向移动，产生宏观上的电流而电介质内部的电子处于束缚状态，在外场下不会发生定向移动（电介质被击穿除外）。
2.2静电场中的导体1. 导体对电场的响应：静电场中的导体，其内部的自由电子会发生定向漂移，电荷分布会发生变化，这是导体对电场的响应方式称为静电感应，导体表面会产生感应电荷，感应电荷激发的附加场会在导体内部削弱外电场直至导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，这时导体处于静电平衡状态。
2. 导体处于静电平衡状态的必要条件:0i E =（当导体处于静电平衡状态时，导体内部不再有自由电子定向移动，导体内电荷宏观分布不再随时间变化，自然其内部电场（指外场与感应电荷产生的电场相叠加的总电场）必为0。
3. 静电平衡下导体的电学性质：（1）导体内部没有净电荷，电荷（包括感应电荷和导体本身带的电荷）只分布在导体表面。
这个可以由高斯定理推得：ii sq E ds ε⋅=⎰⎰，S 是导体内“紧贴”表面的高斯面，所以0i q =。
（2）导体是等势体，导体表面是等势面。
显然()()0b a b i a V V E dl -=⋅=⎰，a,b 为导体内或导体表面的任意两点，只需将积分路径取在导体内部即可。
（3）导体表面以处附近空间的场强为：0ˆEn δε=，δ为邻近场点的导体表面面元处的电荷密度，ˆn为该面元的处法向。
简单的证明下：以导体表面面元为中截面作一穿过导体的高斯柱面，柱面的处底面过场点，下底面处于导体内部。
由高斯定理可得：12i s s dsE ds E ds δε⋅+⋅=⎰⎰⎰⎰，1s ,2s 分别为高斯柱面的上、下底面。
因为导体表面为等势面所以ˆE En=，所以1s E ds Eds ⋅=⎰⎰而i E =0所以0ds Eds δε=，即0ˆE n δε=（0δ>E 沿导体表面面元处法线方向，0δ<E 沿导体表面面元处法线指向导体内部）。
静电场中的导体 (2)
2 3 1 4 0
(1) (3) (4)
28
静电平衡条件
（1）导体内部任何一点的场强等于 0 。
（2）导体表面任何一点的场强都垂直表面 。
导体上电荷分布
1. 导体内无净电荷，
电荷体密度
电荷只能分布在表面上。
0
2. 带电导体表面附近任一点的场强大小与该点 附近导体表面的电荷面密度成正比,即：
（2）如果球体和球壳 均为导体，再求电场
q3
q2
R1
q1
R2
分布和电势分布
A
R3
14
B
解:
（1）当球体和球壳为一般带电体时（自己完成）
用高斯定理可求得场强分布为
E1
q1
4 0 R13
r
(r R1 )
E2
q1
4 0r 2
(R1 r R2 )
E3
1
4 0r 2
(q1
r 3 R23 R33 R23
+q
屏蔽内场 在外电场中， 导体壳内和腔内无电场， 腔内物体不会受外界影响
EE==00
屏蔽外场
Q +q
13
五、有导体存在时静电场的分析与计算
例1 一半径为 R1的带电球体A，总电量 ，在它外q面1 有一个同心
的带电球壳B，其内外半径分别为R1 和R2 ，总电量Q。 试求:
（1）此系统的电场 分布及电势分布。
空心导体如果腔内没有净电荷，在静电平衡时，电荷都分 布在外表面，内部无电场，所以，如果把任一物体放入空 心导体的空腔内，该物体就不会受任何电场的干扰，这就 是静电屏蔽的原理。
以静电平衡为前提
11
A22_静电场中的导体和电介质答辩
§2 电容器的电容
一、孤立导体的电容
1、引入
•孤立导体是指其它导体或带电体都离它足够远，以 至于其它导体或带电体对它的影响可以忽略不计。
•真空中一个半径为R、带电量为Q 的孤立球形导体
的电势为
V Q
4 0 R
•电量与电势的比值是一个常量，只与导体的形状有关
Q V
4 0 R
由此可以引入电容的概念。
无论腔内有无电荷，空腔导体可保护腔内空间不受腔外带电体影响
※用唯一性定理解释
欲求一区域内某点p的电场，有两种已知条件： (1)已知全空间(域内、域外)的电荷分布；
域内 ·q1
·p
·q3
(2)已知域内电荷分布及一定的边界条件(域外电
域外
荷分布可以不知)——区域求解问题
q2·
※唯一性定理(Uniqueness theorem)
E dS 0
S
S内无净电荷，宏观上S可以任意小， 因此导体内部处处都没有净电荷存在
结论：
在静电平衡时，导体所带的电荷只 能分布在导体的表面上，导体内部 没有净电荷。
E=0
内=0
VS
2、空腔导体 Case 1、空腔内无电荷
外 内= 0
静电平衡→导体内部场强处处为零， 高斯定理→导体内表面电荷的代数和为零。
壳B有两个表面
电量可能分布在内、外两个表面
壳B上电量的分布：
B
在B内紧贴内表面作高斯面S
面S的电通量
E ds 0
S
Aq
S
o -q
高斯定理 qi 0
QB内 -q
电荷守 i
恒定律 QB外 Q q
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小球的电势
R1
r
r
R1
R2
qQ dr dr 2 2 r 4 0 r R2 4 0 r q
Qq q
R2 R1
qQ 4 0 r 4 0 R1 4 0 R2 q q
例4 接地导体球附近有一 点电荷q,如图所示。 求:导体上感应电荷的电量 解: 接地 即
R
o
l
q
V 0
设:感应电量为Q，由导体是个等势体 知O点的电势为0，由电势叠加原理：
Q 4 0 R
q 4 0l
0
R Q q l
7
物理学
第五版
14-1 静电场中的导体
Q
例5 如图为一半径为r的导体 小球，放在内外半径分别为 R1与R2的导体球壳内．球壳 与小球同心，设小球与球壳 分别带有电荷q与Q。试求：
r
12
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14-1 静电场中的导体
球壳外表面上不带电，两球的电势分别为
R1 Vr ' E dl E dl
r r
1 1 ( ) 40 r R1
q
V 'R1 V 'R2 0
两球体的电势差为
1 1 V 'r V 'R1 ( ) 40 r R1
A B C D
I
+ +
对2板内部
A B C 0 2 0 2 0 2 0
II
-
III
Q Q 解得 A பைடு நூலகம் 0 ， B S ， C S
1
+
2 3
4
x
由此可得，此时仅在两金属板间存在场强 而两金属板外侧均无电场。
6
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14-1 静电场中的导体
R2
q
R1
r
1）小球的电势 Vr，球壳内外表面的电势 V R1 与 V R2 ； 2）小球与球壳的电势差； 3）若 球壳接地，再求电势差。 4) 将球壳的地线拆 掉后，再将小球接地，此时各表面电荷分布
8
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14-1 静电场中的导体
解 1）电荷分布：小球表面电荷q均匀分布， 球壳内表面感应出-q ，在外表面感应出+q ， 电荷Q只能分布在球壳的外表面上，外表 面的总电量为q+Q
3
内表面无电荷
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3
腔内有电荷空腔导体
在导体内包围空腔作高斯面S
qin E dS 0 S ε0
E0
-q
+q
S
q in 0
因本系统的导体中电 荷守恒导体外表面分 布的电量为Q+q
空腔内电荷电量q 加导体内表面分 布的电量-q
由于对称性，三 个球面上的电量 都是均匀分布的
Q q
-q
r
R2 R1
q
9
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q
R2 R1
由高斯定理，空间的电场：
空腔与小球之间 空腔金属内 空腔外部
E1 q 4 0 r 2
q
r
E2 0
qQ E3 4 0 r 2
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4
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1
+ + + + + + + + + + + + + + + -
例3 在上题中，若将其中一 块金属板2接地，求两金属 板表面上的电荷面密度。
2
+ + + + + + + + +
A B C D
I
+ +
解： 2金属板接地后电势 为零，与大地等电势，这 意味着板右侧外不存在电 场，表面D不再带电 D 0
E0
q in 0
S可以趋于宏观无限小 导体内部处处无净电荷，净电荷只分布在导 体表面.
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2 腔内无电荷空腔导体
在导体内包围空腔作高斯面S
S
qin E dS 0 S ε0 q in 0
E0
内表面有等量异号电荷？ 与静电平 腔内无电荷空腔导 衡时导体 体，电荷之内分布 为等势体 在外表面 相矛盾？
15
A q -q -q+q
可得 q ( q)
(略)
14
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注意：导体接地仅仅意味着电势为零，而 不一定是导体上的电荷为零，例如，本题 若内球接地，如外壳带电，则内球表面是 带电的。 求解有导体时静电场遵循两条基本原则： 1）无论电荷如何重新分布，体系的电荷必 须满足电荷守恒定律。 2）金属在达到静电平衡时，金属内部的场 强必定为零。
q
r
球壳内外表面的电势 V R1与 V R2
qQ 4 0 R2
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2）两球体的电势差为
U
R1
r
R1 E1 dr
r
q 4 0 r
2
dr
1 1 ( ) 4 0 r R1
q
q
R2 R1
q
3）若外球接地，即其 电势为零，与无限远处 等电势，这意味着球壳 外无电场。
对1板，由电荷守恒定律
II
-
III
1
+
2 3
4
x
A B S Q
5
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+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
由静电平衡条件，对1板内部
A B C 0 2 0 2 0 2 0
q
由结果可以看出，不论外球壳接地与否， 两球体的电势差保持不变。
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小球接地后，电荷不再为q，设为q (待求) 则球壳内表面为- q ，外表面为 -q +q 由电势叠加有 B
q' q' q q' VA 0 40 R1 40 R2 40 R3
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静电平衡条件
静电平衡时电场分布 静电平衡时电势分布
导体内部 E内= 0
0
导体为等势体 导体表面为等势面
导体表面 E e n
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实心导体
静电平衡时电荷分布
1. 实心导体
在导体内任意区域作高斯面S
qin E dS 0 S ε0