函数的表示法(第一课时)教案24

1.2.2 函数的表示法
一、教学目标
1、知识与技能
(1)掌握函数的三种表示方法：列表法，解析法，图象法；
(2)了解函数三种表示方法的优点；
(3)了解简单的分段函数，并能简单应用。

2、过程与方法
通过实例，学会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。

3、情感、态度与价值观
通过本节课的学习，体会数学的建模思想。

二、教学重难点
重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念。

难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象。

三、教学方法
讲授法，自主探究法
教学用具
黑板，粉笔
四、教学过程
1、函数的三种表示方法：
函数有哪些表示方法？初中时接触过函数的三种表示方法：解析法、图象法和列表法。

【例1】某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)
x x ∈个笔记本需要y 元，试
用三种表示法表示函数()y f x =．
【例2】下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析。

【例3】画出函数||y x =的图象
【例4】画出函数3
y x =的图象。

函数的图象
1、函数的图象可以是连续的曲线，也可以是直线、折线或者离散的点；
2、判断一个图象是不是函数的图象，只需要过定义域的任意一点作垂直于x 轴
的垂线，若该直线与图象有唯一的交点，则为函数的图象，否则，不是函数的图象。

3、作函数图象的方法：
① 描点作图法：列表，描点，连线； ② 图象变换法：通过对基本初等函数的图象进行平移、对称变换作出图象。

1）平移变换
①形如
()
y f x a =+，把函数()y f x =的图象沿着x 轴向左()0a >或向右
()0a >平移a 个单位，就得到()y f x a =+的图象。

②形如
()y f x a
=+，把()y f x =函数的图象沿着y 轴向上()0a >或向下
()0a >平移a 个单位，就得到()y f x a =+的图象。

2）对称翻折变换 ①形如
()
y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于y 轴对称。

②形如()y f x =-，其函数图象与函数()y f x =的图象关于x 轴对称。

③形如()y f x =--，其函数图象与函数()y f x =的图象关于原点对称。

④形如
()
y f x =，其函数图象关于y 轴对称的，在Y 轴右侧，它的函数图象
与函数()y f x =位于y 轴右侧的图象重合。

将Y 轴右侧的图象沿Y 轴翻折到左侧，就得到()
y f x =的图象。

⑤形如
()
y f x =，将()y f x =x 轴下方的图象沿x 轴翻折到上方，x 轴上方
的部分不变，就得到
()
y f x =的图象。

【例5】画出下列函数的图象。

223
y x x =--
2、分段函数
引例：某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；
（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

（分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站
才能停车，所以行车里程只能取整数值。

） （1）分段函数含义及解析式
有些函数在其定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，对应关系不同，我们就称这样的函数为分段函数。

分段函数每一段都有一个解析式，这些解析式组成的整体就是分段函数的解析式。

如分段函数
2
2
,0(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩的解析式就是由两段解析式组成。

（2）分段函数的图象
在同一坐标系内，将各段解析式的图象依次画出，便得到了分段函数的图象。

要特别注意每段图象的端点值应该是实心点还是空心圈。

各段交界的地方不一定能接上。

需要注意的是：
1）分段函数是一个函数，分段函数的定义域为各段定义域的并集，值域为各段值域的并集；
2）分段函数中的{ 和方程（不等式）组中的{ 含义是不同的。

分段函数中的{ 是 “分类”的意思，而方程（不等式）组中的{ 则表示“并且”。

3）常见的分段函数有： ①取整函数：
[]
()f x x =，
[]x 表示不大于x 的最大整数；
②符号函数：
()1,()11,x
x f x x ⎧=-=⎨
-⎩为偶数为奇数； ③含有绝对值符号的函数：
1,()11,1x x f x x x x -≥⎧=-=⎨
-<⎩1。

【例5】已知21,2
()2,22
21,2x x f x x x x x x +≤-⎧⎪
=+-<<⎨⎪-≥⎩。

(1)求(5)f -
，(f ，
5
(()
2f f -的值； (2)若(x)3f =，求实数a 的值。

【例6】下列给出的函数是分段函数的是（①④）
①
22,1
(x)1,15x x f x x <⎧=⎨+≤≤⎩②2
1,(x),5x x R f x x +∈⎧=⎨≥⎩
③
2
22,1
(x)
,15
x x
f
x x
+≤
⎧
=⎨
≤≤
⎩④2
1,0
(x)
3,5
x x
f
x x
-<
⎧
=⎨
+≥
⎩
【例7】已知
()2x,1x1, f x
1,x1x1,
⎧-≤≤
=⎨
-
⎩＞或＜
(1)画出f(x)的图象.(2)若f(x)≥1
,
4求x的取值范围.
(3)求f(x)的值域.
解：(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示。

.
(2)由于
11
f(),
24
±=
结合此函数图象可知，使f(x)≥
1
4的x的取值范围是(-∞，
1
2
-
］
∪［1
,
2+∞).
(3)由图象知，当-1≤x≤1时，f(x)=x2的值域为［0，1］，当x＞1或x＜-1时，f(x)=1.所以f(x)的值域为［0，1］.
3、映射
现实世界中，两个集合之间具有对应关系，如教室里的每一个学生都有唯一一个座位。

也就是说，全班学生所组成的集合与教室内的座位组成的集合具有对应关系。

集合间的对应关系也可以反映到数学上来，我们曾在初中学过许多例子，如：①实数与数轴上的点对应；②坐标平面内的点与有序数对对应；③任意三角形有唯一的面积与之对应。

可见，对应是把两个集合的元素按照某种规律联系起来——对应法则。

1>对映射概念的理解
(1)非空集合：集合A，B可以是数集、点集或其他集合，但一定是非空的.
(2)顺序性：集合A，B有先后顺序，从A到B的映射和从B到A的映射是不同的.
(3)唯一性：A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应，即要求对应是“一对一”或“多对一”。

2>思考：映射与函数有什么区别与联系?
区别：映射中集合A，B可以是数集，也可以是其他集合，函数中集合A，B必须是数集.联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广。

3>怎样判断一个对应是映射？
1.映射中要求元素对应是“一对一”或“多对一”，即A中的元素在集合B中有唯一的元素与之对应.
2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合A中元素是不是在集合B中都有唯一的元素与之对应.
【例8】《导学案》P48 展题1；P49 T1，T4，T6.。