基本初等函数(指、对数函数)__经典典型
高三数学(文)黄金考点总动员：考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)(含解析)
2019届高三数学33个黄金考点总动员考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质相关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质相关的问题.4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x ，1y=x的图象，了解它们的变化情况． 2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝ar ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log aMN＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝a a log Nlog b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1b log a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式能够相互转化，通常利用分数指数幂实行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，所以解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1实行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式能够互化，对数的性质和运算法则都能够通过对数式与指数式的互化实行证明．（5）解决与对数相关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围． （6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．错误！未找到引用源。
基本初等函数
基本初等函数包括以下几种：（1）常数函数y = c（c 为常数）（2）幂函数y = x^a（a 为非0 常数）（3）指数函数y = a^x（a＞0, a≠1）（4）对数函数y =log(a) x（a＞0, a≠1）（5）三角函数：主要有以下6 个：正弦函数y =sin x余弦函数y =cos x正切函数y =tan x余切函数y =cot x正割函数y =sec x余割函数y =csc x此外，还有正矢、余矢等罕用的三角函数。
（6）反三角函数：主要有以下6 个：反正弦函数y = arcsin x反余弦函数y = arccos x反正切函数y = arctan x反余切函数y = arccot x反正割函数y = arcsec x反余割函数y = arccsc x初等函数是由基本初等函数经过有限次的有理运算和复合而成的函数。
基本初等函数和初等函数在其定义区间内均为连续函数幂函数简介形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
当a取非零的有理数时是比较容易理解的，而对于a取无理数时，初学者则不大容易理解了。
因此，在初等函数里，我们不要求掌握指数为无理数的问题，只需接受它作为一个已知事实即可，因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识。
特性对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，且p/q为既约分数（即p、q互质），q和p都是整数，则x^(p/q)=q 次根号下（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0,＋∞）。
当指数a是负整数时，设a=-k，则y=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是（－∞，0)∪(0,＋∞)。
因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；排除了为0这种可能，即对于x<0或x>0的所有实数，q不能是偶数；排除了为负数这种可能，即对于x为大于或等于0的所有实数，a就不能是负数。
基本初等函数复习课知识总结[1]
![基本初等函数复习课知识总结[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/092fb10976232f60ddccda38376baf1ffc4fe3cf.png)
⑤在R上是增函数.
⑤在R上是减函数.
底数互为
倒数的两个 指数函数
y = ax, y = (1)x a
的函数图像 关于y轴对称。
2、对数函数y=logax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
a＞1
y
图
象
o
x
0＜a＜1
y
o
x
①x∈ (0,+∞) ； ② y∈ R;
③过定点(1, 0)
性 ④当x＞ 1时,y＞ 0, 质 0＜ x＜ 1时, y＜ 0
A．y3>y1>y2 B．y2>y1>y3 C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
(2)log323与 log565；
【解析】∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32， y3＝12－1.5=21.5 ,1.8>1.5>1.32.
∴根据指数函数的性质可得，y1>y3>y2.故选D.
知识结构及知识梳理
指数与指数函数
N次方根及其性质 根式及其性质 指数 分数指数幂 有理数指数幂的运算性质
定义
指数函数
图像及性质
基本初等函数
定义 对数 运算性质
对数与对数函数
换底公式
对数函数 定义 图像和性质
定义 幂函数
图像和性质
根式的性质
(1)当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次
方根是一个负数，这时，a的n次方根用符号n a 表示.
(2) 已知 log2 3 = a,log3 7 = b,试用a,b表示 log14 56.
指数函数与对数函数 1、指数函数y=ax(a＞0且a≠1)的图象和性质：
基本初等函数知识总结
基本初等函数知识总结含义:常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数1.常数函数（y=C）（1）定义域: D（f）＝（-∞，+∞）（2）值域: Z(f)=C(3) 性质: 它的图像是一条平行于x轴并通过点(0，C)在y轴上截距为C的直线(4 )图像：(5)周期性：常值函数是一个周期函数. 因对于任何x∈(-∞,+∞)和实数T，f(x+T)=f(x)=T,但并无最小正周期【注】常值函数不含自变量且不存在反函数2.幂函数(1)定义：形如y=x^a(a为常数）的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数.(2)性质：在(0，+∞)内总有意义①当α＞0时函数图像过点(0，0)和(1，1)，在(0，+∞)内单调增加且无界②当α＜0时函数图像过点(1，1)，在(0，+∞)内单调减少且无界(3)图像：3.指数函数y=a^x(a>0且a≠1)(1)定义域：x∈R(2)值域：(0，+∞)(3)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(-∞，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(-∞，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(4)图像：①由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到上相应的底数由小变大。
②由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小。
③指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低” 如图：(5)运算法则：①②③④4.对数函数y=logax（a>0 且a≠1）(1)定义：如果a^x=N（a>0，且a ≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的对数，其中a叫做对数的底数，N叫做真数一般地，函数y=logax（a>0，且a ≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数(2)定义域：(0，+∞)，即x>0(3)值域：R(4)性质：①单调性：1.当0＜a＜1时，在(0，+∞)内单调减少 2.当a ＞1时，在(0，+∞)内单调增加②奇偶性：非奇非偶函数③周期性：非周期函数④有界性：无界函数(5)图像：【注】①负数和零没有对数②1的对数是零③底数的对数等于1(6)常用法则/公式：5.三角函数⑴正弦函数y=sin x(1)定义：对边与斜边的比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ(K∈Z)时，Y 取最大值1 2.当X=2Kπ+3π/2(K∈Z时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ,0)，K ∈Z；对称轴是直线x=Kπ+π/2，K ∈Z④单调性：在[2Kπ-π/2,2Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增；在[2Kπ+π/2,2Kπ+3π/2]，K∈Z上单调递减⑤有界性：有界函数(6)图像：(2)余弦函数y=cos x(1)定义：邻边与斜边之比(2)定义域：R(3)值域：【-1，1】(4)最值：1.当X=2Kπ +π /2(K∈Z)时，Y取最大值1 2.当X=2Kπ +π (K∈Z)时，Y取最小值－1(5)性质：①周期性：最小正周期都是2πT=2π②奇偶性：偶函数③对称性：对称中心是(Kπ+π/2,0)，K∈Z；对称轴是直线x=Kπ，K∈Z④单调性：在[2Kπ,2Kπ+π]，K∈Z上单调递减；在[2Kπ+π,2Kπ+2π]，K∈Z上单调递增⑤有界性：有界函数(6)图像：(3)正切函数y=tan x(1)定义：对边与邻边之比(2)定义域：{x∣x≠Kπ+π/2,K∈Z}(3)值域：R(4)最值：无最大值和最小值(5)性质：①周期性：最小正周期都是πT=π②奇偶性：奇函数③对称性：对称中心是(Kπ/2,0)，K∈Z④单调性：在[Kπ-π/2,Kπ+π/2]，K∈Z上单调递增⑤有界性：无界函数(6)图像：(4)余切函数y=cot x(1)定义：在直角三角形中，某锐角的相邻直角边和相对直角边的比，叫做该锐角的余切。
常用函数图像
函数图形基本初等函数幂函数（1)幂函数（2)幂函数（3)指数函数（1）指数函数（2）指数函数（3）对数函数（1）对数函数（2）三角函数（1）三角函数（2）三角函数（3）三角函数（4）三角函数（5）反三角函数（1）反三角函数（2）反三角函数（3）反三角函数（4）反三角函数（5）反三角函数（6）反三角函数（7）反三角函数（8）双曲函数（1）双曲函数（2）双曲函数（3）双曲函数（4）双曲函数（5）双曲函数（6）双曲函数（7）反双曲函数（1）反双曲函数（2）反双曲函数（3）反双曲函数（4）反双曲函数（5）反双曲函数（6）y=sin(1/x) (1)y=sin(1/x) (2)y=sin(1/x) (3)y=sin(1/x) (4)y = [1/x](1)y = [1/x](2)y=21/xy=21/x (2)y=xsin(1/x)y=arctan(1/x)y=e1/xy=sinx (x->∞)绝对值函数y = |x| 符号函数y = sgnx 取整函数y= [x]极限的几何解释(1) 极限的几何解释(2)极限的几何解释(3)极限的性质(1) (局部保号性)极限的性质(2) (局部保号性) 极限的性质(3) (不等式性质) 极限的性质(4) (局部有界性) 极限的性质(5) (局部有界性)两个重要极限y=sinx/x (1)y=sinx/x (2)limsinx/x的一般形式y=(1+1/x)^x (1)y=(1+1/x)^x (2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(1)lim(1+1/x)^x 的一般形式(2)lim(1+1/x)^x 的一般形式(3)e的值(1)等价无穷小(x->0)sinx等价于xarcsinx等价于x tanx等价于x arctanx等价于x1-cosx等价于x^2/2sinx等价于x数列的极限的几何解释海涅定理渐近线水平渐近线铅直渐近线y=(x+1)/(x-1)y=sinx/x (x->∞) 夹逼定理(1)夹逼定理(2)数列的夹逼性(1) 数列的夹逼性(2) pi 是派的意思(如果你没有切换到公式版本)^是次方的意思,$是公式的标记符,切换到公式版(安装mathplayer)就看不到$了文案编辑词条B 添加义项?文案，原指放书的桌子，后来指在桌子上写字的人。
考点06 基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)-2018届高考数学(理)30个黄金考
2018届高三30个黄金考点精析精训考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数y＝x， y＝x2，y＝x3，y＝x2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现.3.课本结论总结：指数与指数函数1．分数指数幂(1)a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log ＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M na M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)2.幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较幂函数的性质比较(3)4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0＜a＜1和a＞1进行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A 版第 60页，B 组第 4 题 设31212,,x x y ay a +-==其中0, 1.a a >≠且确定x 为何值时，有：12;(1)y y =12(2).y y >【解析】（1）3x +1=-2x 时，得x(2)1a >时，xy a =单调递增，由于12y y >，得3x +1>-2x 得x , 01a <<，x y a =单调递减，由于12y y >，得3x +1<-2x 解得x <- 【经典理由】根据a 的取值进行分类讨论 (3)新课标A 版第 72 页，例8 比较下列各组数中两个数的大小： （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (0a >且1a ≠)．【解析】（1）∵ y = log 2x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；（2）∵ y = log 0 . 3x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7， ∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7；（3）解：当1a >时，∵ y = log a x 在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1<log a 5 . 9，当0＜a ＜1时，∵ y = log a x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ．【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 (4)新课标A 版第 822 页，A 组第10题性、单调性．【分析】根据幂函数的概念设()nf x x =，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．【解析】设()nf x x =,，这个函数解析式为定义域为（0，+∞），它不关于原点对称，所以，y=f（x）是非奇非偶函数．当x＞0时，f（x）是单调减函数，函数的图象如图．【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力6.考点交汇展示：(1)基本初等函数与集合交汇例1【2017山东，理1】设函数的定义域A ，函数的定义域为B ,则A B⋂=（A）（1,2）（B）（C）（-2,1）（D）[-2,1)【答案】D【解析】由得，由得，故，选D.(2)基本初等函数与基本不等式交汇例1【2017天津，理8设a∈R，若关于x的不等式R上恒成立，则a的取值范围是（A（B（C（D【答案】A222222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号），A ． 【考点分类】热点1 指数函数、对数函数1.【2017天津，理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C2. 函数的单调递增区间为( )A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)【答案】Ｄ【解析】首先由得函数的定义域为(－∞，－2) (2，＋∞)；再令，则在（０，＋∞）是减函数，又因为在(－∞，－2)上是减函数；由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间为(－∞，－2)；故选Ｄ．3.【2018届广东省佛山市三水区实验中学高三上第一次模拟】若a＝，b＝，c＝，d ＝log2 ，则a，b，c, d的大小关系是( )A. a<b<c<dB. d<c<a<bC. d<b<c<aD. d<b<a<c【答案】D【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
高一数学 基本初等函数(对、指、幂函数)高考考纲及典型例题高考真题解析
.
2
a 3 3a
【法二】 8 x 8 x 2 x
2
3 2
x 3
2 2 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x
1
2 3
3
37 48
5 9 37 100 3 100 . 3 16 48
4
（4）原式 0.4 1 1 2 2 3 0.1
5 1 1 1 143 . 1 2 16 8 10 80
4.函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,求实数 a 的值. 【解析】∵函数 f x a 2 7a 7 a x 是指数函数,
1
0 a2 a1 1 a4 a3 . 1 又由题知： 0 10 1 3 10 ,∴ A 项正确. 3
1 x
a1 a2
O
x 1 x
b 7.已知二次函数 y ax 2 bx 与指数函数 y 的图象只能是下列图形中的 a y
1 1
1 2
1 1 , y x 2 的图像,了解它们的变化情况. x
二、重点知识总结
1.指数与指数幂运算 （1）①
a
n n n
n
a. a , 当n是奇数时 . a , 当n是偶数时
② a
（2）分数指数幂 ①a ②a
m n
n a m （ a 0 , m, n N * ,且 n 1 ）
x y
2
是非负数，故④对.
7 （3） 2 9
（完整）六大基本初等函数图像及其性质
标准实用文案大全六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）≠C 0=C 平行于x 轴的直线y 轴本身定义域R 定义域R二、幂函数αx y=，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数xy =2xy =3xy =21x y =1-=xy 定义域R R R [0,+[0,+∞∞) {x|x {x|x≠≠0} 值域R [0,+[0,+∞∞) R [0,+[0,+∞∞) {y|y {y|y≠≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增[0,+[0,+∞∞) ) 增增增增(0,+(0,+∞∞) ) 减减(-(-∞∞,0] ,0] 减减(-(-∞∞,0) ,0) 减减公共点（1,11,1））xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21x y =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α，他们的图形都经过原点，并当α>1>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm 时，时，n n 为偶数时函数的定义域为（为偶数时函数的定义域为（0, +0, +0, +∞），∞），∞），n n 为奇数时函数的定义域为（为奇数时函数的定义域为（--∞,+,+∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（∞），函数的图形均经过原点和（1 ,11 ,11 ,1）；）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,m<n,图形于图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；轴对称；m m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，）当α为负有理数时，n n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第1课时)对数函数的图象和性质
当 0<a<1 时:
当 0<a<1 时:
若 x>0,则 0<y<1;
若 x=0,则 y=1;
若 x>1,则 y<0;
若 x=1,则 y=0;
若 x<0,则 y>1
若 0<x<1,则 y>0
图象 y=ax 的图象与 y=logax 的图象关于直线 y=x 对称
第十页，共二十四页。
(0,+∞)
值域
(-∞,+∞)
x
(0,+∞)
单调性 当 a>1 时为增函数,当 0<a<1 时为减函数
第九页，共二十四页。
名称 指数函数
对数函数
当 a>1 时:
若 x>0,则 y>1;
当 a>1 时:
若 x>1,则 y>0;
若 x=0,则 y=1;
若 x<0,则 0<y<1
若 x=1,则 y=0;
点(1,0),只有选项B中图象符合.
答案:(1)C
(2)B
第二十页，共二十四页。
题型一
题型二
题型三
题型四
易混易错题
易错点 忽略对数函数的定义域致错
【例4】 已知函数(hánshù)y=f(x),x,y满足关系式lg(lg y)=lg(3-x),求函数y=f(x)
的解析式及定义域、值域.
错解∵lg(lg y)=lg(3-x),∴lg y=3-x,
第三页，共二十四页。
1.对数函数的定义
一般地,我们把函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函
6类基本初等函数以及三角函数(考研数学基础)
基本初等函数及图形(1) 常值函数（也称常数函数） y =c （其中c 为常数）(2) 幂函数 μx y =，μ是常数；(3) 指数函数 xa y = (a 是常数且01a a >≠，)，),(+∞-∞∈x ；(4) 对数函数x y a log =(a是常数且01a a >≠，)，(0,)x ∈+∞；1. 当u 为正整数时，函数的定义域为区间),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u 为奇数时，图形关于原点对称；u 为偶数时图形关于Y 轴对称；2. 当u 为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数。
3. 当u 为正有理数m/n 时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞+∞）。
函数的图形均经过原点和（1 ,1）.如果m>n 图形于x 轴相切,如果m<n,图形于y 轴相切,且m 为偶数时,还跟y 轴对称;m,n 均为奇数时,跟原点对称4. 当u 为负有理数时,n 为偶数时,函数的定义域为大于零的一切实数;n 为奇数时,定义域为去除x=0以外的一切实数.1. 当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减.2. 不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方.3. 当x=0时,y=1,所以他的图形通过(0,1)点.(5) 三角函数正弦函数 x y sin =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，余弦函数 x y cos =，),(+∞-∞∈x ，]1,1[-∈y ，正切函数 x y tan =，2ππ+≠k x ，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ，余切函数 x y cot =，πk x ≠，k Z ∈，),(+∞-∞∈y ；1. 他的图形为于y 轴的右方.并通过点(1,0)2. 当a>1时在区间(0,1),y 的值为负.图形位于x 的下方,在区间(1, +∞),y 值为正,图形位于x 轴上方.在定义域是单调增函数. a<1在实用中很少用到/(6)反三角函数反正弦函数 x y arcsin =， ]1,1[-∈x ，]2,2[ππ-∈y ，反余弦函数 x y arccos =，]1,1[-∈x ，],0[π∈y ，反正切函数 x y arctan =，),(+∞-∞∈x ，)2,2(ππ-∈y ，反余切函数 x y cot arc =，),(+∞-∞∈x ，),0(π∈y ．小结：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x 为何值,y 总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a ＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(1,+∞)的值为正；在定义域内单调增. 幂函数(a 为任意实数)这里只画出部分函数图形的一部分。
基本初等函数(高考数学专题)
基本初等函数一、指数函数1、指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n次方根用符号表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n次方根用符号表示，负的n次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．②式子这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：n a =；当n为奇数时，a =；当n 为偶数时，(0)|| (0) a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：0,,,mnaa m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是：1()0,,,m m nn aa m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义．注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质(0,,)r s r s a a a a r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈2、指数函数及其性质（4）指数函数1、化简下列各式（其中各字母均为正数）:（1）;)(65312121132ba ba b a ⋅⋅⋅⋅--2、已知实数a 、b满足等式b a )31()21(=0＜b ＜a;②a ＜b＜0;③0＜a ＜b;④b ＜a ＜0;⑤a=b. （ ）A.1个B.2个C.3个D.43、求下列函数的单调递增区间：y=262--x x .二、对数函数 1、对数与对数运算 （1）对数的定义①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即l o geN （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a aMM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且2、对数函数及其性质（5）对数函数1、计算：（1）)32(log 32-+（2）21lg 4932-34lg8+lg 245.变式训练1：化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).2、比较下列各组数的大小.（1）log 332与log 556;2）log 1.10.7与log 1.20.7;（3）已知log 1b ＜log 1a ＜log 1c,比较2b ,2a ,2c 的大小关系.变式训练2：已知0＜a ＜1,b ＞1,ab ＞1，则log a bb bba1log ,log,1的大小关系是 （ ）A.log a bb bba1log log1<<B.bb b b aa1log 1log log<< C.b b b a ba1log 1log log << D.b b b a a b log 1log 1log <<三、幂函数 （1）幂函数的定义一般地，函数y x α=叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2（3）幂函数的性质①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当qpα=（其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则qp y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则qp y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q py x =是非奇非偶函数．⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α=∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上方，若1x >，其图象在直线y x =下方．1、写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：（1）3y x=（2）12y x=（3）2y x-=（4）22y x x-=+（5）1122y x x-=+（6）1124()3()f x x x=+-变式训练1：讨论下列函数的定义域、值域，奇偶性与单调性：（1）5y x=（2）43y x-=（3）54y x=（4）35y x-=（5）12y x-=2、比较大小：（1）1122 1.5,1.7（2）33 (1.2),(1.25) --（3）112 5.25,5.26,5.26---（4）30.53 0.5,3,log0.53、已知幂函数223m my x--=（m Z∈）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．变式训练2：证明幂函数12()f x x=在[0,)+∞上是增函数．分析：直接根据函数单调性的定义来证明．答案： 指数：1、解：原式=.100653121612131656131212131=⋅=⋅=⋅-+-+--b a baba ba b a2、B3、令u=x 2-x-6,则y=2u ,u=x 2-x-6的对称轴是x=21,在区间［21，+∞）上u=x 2-x-6是增函数.y=2uy=262--x x 在区间［21，+∞）上是增函数故函数y=262--x x 的单调递增区间是［21，+∞）对数： 1、（1）设)32(log 32-+=x,(2+3)x =2-3=321+=（2+3）-1,∴x=-1.（2）原式=21（lg32-lg49）-34lg821+21lg245=21 (5lg2-2lg7)-34×2lg 23+21(2lg7+lg5)=25lg2-lg7-2lg2+lg7+21lg5=21lg2+21lg5=21lg(2×5)= 21lg10=21.变式训练1： (1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.（3）原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++2、（1）∵log 332＜log 31=0,log 556＞log 51=0,∴log 332＜log 556.(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜ 1.2,0＞2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7＜log 1.20.7.方法二 作出y=log1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7＜log 1.20.7.(3)∵y=x 21log 为减函数，且c a b 212121log log log<<,∴b ＞a ＞c,而y=2x 是增函数，∴2b ＞2a ＞2c .变式训练2：C 幂函数：1、（1）此函数的定义域为R ，33()()()f x x x f x -=-=-=- ∴此函数为奇函数．（2）12y x ==[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3）221y x x-==∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 2211()()()f x f x x x-===-∴此函数为偶函数 （4）22221y x x x x-=+=+∴此函数的定义域为(,0)(0,)-∞⋃+∞ 222211()()()()f x x x f x x x -=-+=+=- ∴此函数为偶函数（5）1122y x x-=+=[0,)+∞ 此函数的定义域不关于原点对称∴此函数为非奇非偶函数（6）1124()3()f x x x =+-=0x x ≥⎧∴⎨-≥⎩ 0x ∴=∴此函数的定义域为{0} ∴此函数既是奇函数又是偶函数变式训练1、分析：要求幂函数的定义域和值域，可先将分数指数式化为根式． 解：（1）定义域R ，值域R ，奇函数，在R 上单调递增．（2）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(0,)+∞，偶函数，在(,0)-∞上单调递增， 在(0,)+∞ 上单调递减．（3）定义域[0,)+∞，值域[0,)+∞，偶函数，非奇非偶函数，在[0,)+∞上单调递增．（4）定义域(,0)(0,)-∞⋃+∞，值域(,0)(0,)-∞⋃+∞，奇函数，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递减．（5）定义域(0,)+∞，值域(0,)+∞，非奇非偶函数，在(0,)+∞上单调递减． 2、（1）∵12y x =在[0,)+∞上是增函数，1.5 1.7<，∴11221.5 1.7< （2）∵3y x =在R 上是增函数， 1.2 1.25->-，∴33( 1.2)( 1.25)->- （3）∵1y x -=在(0,)+∞上是减函数，5.25 5.26<，∴115.25 5.26-->；∵ 5.26x y =是增函数，12->-，∴125.26 5.26-->；综上，1125.25 5.26 5.26--->> （4）∵300.51<<，0.531>，3log 0.50<，∴30.53log 0.50.53<<3、分析：幂函数图象与x 轴、y 轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m Z ∈，便可逐步确定m 的值． 解：∵幂函数223m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m --≤，∴13m -≤≤；∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数，∴0m =或2m =．变式训练2：证明：设120x x ≤<则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <120x x ∴-<0>12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <∴此函数在[0,)+∞上是增函数。
6个基本初等函数总结
六个基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。
常数函数：常数函数是指函数表达式为常数的函数，例如y = 1。
幂函数：幂函数是指形如y = x^n 的函数，其中n 是实数。
例如y = x^2 表示一个二次幂函数。
指数函数：指数函数是指形如y = a^x 的函数，其中 a 是实数且a > 0，a ≠ 1。
例如y = 2^x 表示一个以2 为底的指数函数。
对数函数：对数函数是指以自然对数e 为底数的指数函数的反函数，即y = ln(x)。
三角函数：三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等，它们的表达式分别为y = sin(x)、y = cos(x) 和y = tan(x)。
反三角函数：反三角函数是三角函数的反函数，包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。
它们的表达式分别为y = arcsin(x)、y = arccos(x) 和y = arctan(x)。
这六个基本初等函数的性质和图像是学习高等数学的基础，对于理解函数的性质和变化规律非常重要。
基本初等函数(指数函数、对数函数、幂函数、二次函数)-2018届高考数学(文)30个黄金考
2018届高三30个黄金考点精析精训考点6 基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、二次函数）【考点剖析】1.最新考试说明：1.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，会解决与指数函数性质有关的问题.2.理解对数的概念及其运算性质，会用换底公式将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．3.理解对数函数的概念，能解决与对数函数性质有关的问题.4.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x ，1y=x的图象，了解它们的变化情况． 2.命题方向预测：1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 3.课本结论总结： 指数与指数函数 1．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a m n=a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；正数的负分数指数幂的意义是am n-=(a >0，m ，n ∈N *，且n >1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理指数幂的运算性质：a r a s＝a r ＋s，(a r )s ＝a rs ，(ab )r ＝a r b r，其中a >0，b >0，r ，s ∈Q .2．指数函数的图象与性质对数与对数函数 1．对数的概念如果a x＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ；②log aMN＝log a M －log a N ； ③log a M n ＝n log a M (n ∈R )；④log am M n＝nmlog a M . (2)对数的性质①a log a N ＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0且a ≠1)． (3)对数的重要公式 ①换底公式：log b N ＝a a log Nlog b(a ，b 均大于零且不等于1)； ②log a b ＝1b log a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝log a d . 3．对数函数的图象与性质二次函数与幂函数1．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质2.幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质比较4.名师二级结论：（1）根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．（2）指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．（3）换元时注意换元后“新元”的范围．（4）对数源于指数，指数式和对数式可以互化，对数的性质和运算法则都可以通过对数式与指数式的互化进行证明．（5）解决与对数有关的问题时，(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围．（6）对数值的大小比较方法化同底后利用函数的单调性、作差或作商法、利用中间量(0或1)、化同真数后利用图象比较． （7）函数y ＝f (x )对称轴的判断方法1、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 22对称．2、对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．5.课本经典习题：(1)新课标A 版第 70 页，B 组第 2 题指数函数xb y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象如图所示，求二次函数2y ax bx =+的顶点的横坐标的取值范围．【经典理由】有效把指数函数和二次函数相结合 (2)新课标A 版第 60 页，B 组第 4 题设31212,,x xy a y a +-==其中0, 1.a a >≠且确定x 为何值时，有：12;(1)y y = 12(2).y y >【解析】（1）3x +1=-2x 时，得x =-15; (2)1a >时，xy a =单调递增，由于12y y >，得3x +1>-2x 得x >-15, 01a <<，x y a =单调递减，由于12y y >，得3x +1<-2x 解得x <-15． 【经典理由】根据a 的取值进行分类讨论 (3)新课标A 版第 72 页，例8 比较下列各组数中两个数的大小： （1）log 2 3 . 4 与 log 2 8 . 5； （2）log 0 . 3 1 . 8 与 log 0 . 3 2 . 7； （3）log a 5 . 1 与 log a 5 . 9 (0a >且1a ≠)．【解析】（1）∵ y = log 2 x 在 ( 0 , + ∞) 上是增函数且 3 . 4＜8 . 5， ∴ log 2 3 . 4 ＜ log 2 8 . 5 ；（2）∵ y = log 0 . 3 x 在 ( 0 , + ∞)上是减函数且 1 . 8＜2 . 7， ∴log 0 . 3 1 . 8＞log 0 . 3 2 . 7；（3）解：当1a >时，∵ y = log a x 在( 0 , + ∞) 上是增函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1<log a 5 . 9，当0＜a ＜1时，∵ y = log a x 在 ( 0 , + ∞) 上是减函数且5 . 1＜5 . 9， ∴ log a 5 . 1＞log a 5 . 9 ．【经典理由】以对数函数为载体，考查对数运算和对数函数的图象与性质的应用 (4)新课标A 版第 822 页，A 组第10题已知幂函数()y f x =的图象过点2（，试求出此函数的解析式，并作出图像，判断奇偶性、单调性．【分析】根据幂函数的概念设()nf x x =，将点的坐标代入即可求得n 值，从而求得函数解析式．要判断函数的奇偶性我们可以根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，判断函数图象在（0，+∞）的单调性，进而画出函数的图象．【解析】设()nf x x =,因为幂函数()y f x =的图象过点2（, 122n n ∴=∴=-， 这个函数解析式为 12y x -=．定义域为（0，+∞），它不关于原点对称， 所以，y =f （x ）是非奇非偶函数．当x ＞0时，f （x ）是单调减函数，函数的图象如图．【经典理由】本题通过待定系数法求幂函数解析式、解指数方程的解法、奇（偶）函数性、幂函数图象考查学生对幂函数有关知识的掌握程度和对知识的综合应用能力 6.考点交汇展示：(1)基本初等函数与集合交汇例1【2017山东，理1】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂= （A ）（1,2） （B ）⎤⎦(1,2 （C ）（-2,1） （D ）[-2,1) 【答案】D【解析】由240x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.(2)基本初等函数与基本不等式交汇例1【2017天津，文8】已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是 （A ）47[,2]16-（B ）4739[,]1616-（C）[- （D）39[]16-【答案】A222x x +≥=（当2x =时取等号），所以2a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点分类】热点1 指数函数、对数函数1.【2017天津，文6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为 （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．2. 函数()()212log 4f x x =-的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2) 【答案】Ｄ3.【2018届广东省佛山市三水区实验中学高三上第一次模拟】若a ＝，b ＝，c ＝，d＝log 2 ，则a ，b ，c, d 的大小关系是( )A. a<b<c<dB. d<c<a<bC. d<b<c<aD. d<b<a<c 【答案】D【解析】由题意可得：，利用幂函数的单调性可得：，利用指数函数的单调性可得：，综上可得：.本题选择D 选项. 【方法规律】1.求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．2.对数式的化简与求值的常用思路(1)先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并．(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3．比较对数值大小时若底数相同，构造相应的对数函数，利用单调性求解；若底数不同，可以找中间量，也可以用换底公式化成同底的对数再比较．4．利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．【解题技巧】1.图像题要注意根据图像的单调性和特殊点判断2.指数形式的几个数字比大小要注意构造相应的指数函数和幂函数3．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．4．指数函数y＝a x (a>0，a≠1)的性质和a的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1.5．对和复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．【易错点睛】1.求解复合函数的单调性要注意“同增异减”的应用2.涉及到对数函数的运算是要首先考虑其定义域3.恒成立问题一般与函数最值有关，要与方程有解区别开来．4.复合函数的问题，一定要注意函数的定义域．5.对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0 (≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元”的范围.6.在运算性质log a Mα＝αlog a M中，要特别注意条件，在无M＞0的条件下应为log a Mα＝αlog a|M|(α∈N＋，且α为偶数)．7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值例1设a＞0且a≠1，函数f(x)＝a lg(x2－2x＋3)有最大值，则不等式log a(x2－5x＋7)>0的解集为________．【答案】{x|2＜x＜3}【易错点】指数函数和对数函数中注意讨论底数a的大小，复合函数的单调性往往也和a的取值有关热点2 幂函数、二次函数1.已知函数()()22,2,2,2,x x f x x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩ 函数()()2g x b f x =-- ，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =- 恰有4个零点，则b 的取值范围是( )（A ）7,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭ （B ）7,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ （C ）70,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）7,24⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【解析】由()()22,2,2,2,x x f x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩得222,0(2),0x x f x x x --≥⎧⎪-=⎨<⎪⎩， 所以222,0()(2)42,0222(2),2x x x y f x f x x x x x x x ⎧-+<⎪=+-=---≤≤⎨⎪--+->⎩， 即222,0()(2)2,0258,2x x x y f x f x x x x x ⎧-+<⎪=+-=≤≤⎨⎪-+>⎩()()()(2)y f x g x f x f x b =-=+--,所以()()y f x g x =-恰有4个零点等价于方程 ()(2)0f x f x b +--=有4个不同的解，即函数y b =与函数()(2)y f x f x =+-的图象的4个公共点，由图象可知72b <<. 2.【2018届广东省茂名市高三五大联盟学校9月联考】已知幂函数的图象过点，则函数在区间上的最小值是( )A. B. 0 C. D.【答案】B3. 已知函数2()1f x x mx =+-，若对于任意的[],1x m m ∈+都有()0f x <，则实数m 的取值范围为 .【答案】(【解析】据题意222()10,(1)(1)(1)10,f m m m f m m m m ⎧=+-<⎪⎨+=+++-<⎪⎩解得02m -<<． 【方法规律】1.二次函数在闭区间上的最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.二次函数、二次方程、二次不等式之间可以相互转化．一般规律(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解．3.幂函数y ＝x α的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查(1)α的正负：α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一 象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．4．二次函数、二次方程、二次不等式间相互转化的一般规律：(1)在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数的图象数形结合来解，一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．(2)在研究一元二次不等式的有关问题时，一般需借助于二次函数的图象、性质求解． 5．幂函数y ＝x α(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．【解题技巧】1.做二次函数类型题是注意数形结合的应用，画出函数的草图能帮助我们理清思路2.二次函数中如果含有参数，往往要进行分类讨论3.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．4.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【易错点睛】1.注意幂函数与指数函数的联系与区别2.幂函数的增减与α的关系3.对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况．例 如图是函数m ny x =(m 、n ∈N *，m 、n 互质)的图象，则下列判断正确的是________．①m 、n 是奇数，且m n＜1 ②m 是偶数，n 是奇数且m n ＞1 ③m 是偶数，n 是奇数且m n ＜1 ④m 是奇数，n 是偶数且m n＞1解析：将分数指数式化为根式R ，值域为[0，＋∞)知n 为奇数，m 为偶数，又由幂函数y ＝x α，当α＞1时，图象在第一象限的部分下凸，当0＜α＜1时，图象在第一象限的部分上凸，故③正确． 答案：③【易错点】幂函数的单调性和a 有关，注意a 与0和1的比较【热点预测】1下列函数中，在(0)+∞,内单调递减，并且是偶函数的是（ ） A ．2y x = B ．1y x =+ C ．lg ||y x =- D ．2xy =【答案】C【解析】2y x =在(0)+∞，内单调递增，并且是偶函数，所以不选A ． 1y x =+在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数，所以不选B ． lg ||y x =-在(0)+∞，内单调递减，并且是偶函数，所以选C ，． 2xy =在(0)+∞，内单调递增，并且既不是偶函数也不是奇函数，所以不选D ．2.【2017山东，理10】已知当[]0,1x ∈时，函数()21y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 （A ）(])0,123,⎡+∞⎣（B ）(][)0,13,+∞（C ）()23,⎡+∞⎣（D ）([)3,+∞【答案】B3.【2018届广东省汕头市金山中学高三上期中】已知当0x <≤12时，不等式log 2a x <-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.)2 B. (1,C. 12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D. 0,2⎛⎝⎭【答案】B【解析】当102x <≤时，不等式log 2a x <-恒成立,所以log 0a x <，又102x <≤，所以1a >，因此log a y x =是增函数，故2x a -<恒成立，所以212a -<，解得a <1a <<故选B.4.【2018届黑龙江省齐齐哈尔八中高三第二次月考】函数的大致图像为 ( )A. B.C. D.【答案】C 【解析】函数的定义域为，故可排除；又为上为减函数，为增函数，复合函数为上为减函数，排除，故选C.5.【2018届江西省南昌三中高三上第二次考试】()()211log 2,1,{2,1,x x x f x x -+-<=≥，()()22f f -+= ( )A. 3B. 5C. 6D. 12 【答案】B【解析】易知()221log 43f -=+=， ()21222f -==，所以()()225f f -+=，故选B.6.已知函数是定义在实数集上的以2为周期的偶函数，当时，.若直线与函数的图像在内恰有两个不同的公共点，则实数的值是( ) A ．或； B ．0；C ．0或； D ．0或.【答案】D7.设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1,log 2)-- B ．3(0,log 2) C ．3(log 2,1) D ．3(1,log 4)【答案】C【解析】∵单调函数32()log x f x a x+=-在区间（1，2）内有零点， ∴f （1）•f （2）＜0则0)2(log )1(3<-⋅-a a 解得12lo g 3<<a ，故选C ． 8.已知定义域为的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D.【答案】B9.【2018届甘肃省会宁县第一中学高三上第一次月考】设函数,,求的最大值___________.【答案】12 【解析】设，∵，∴−2⩽t ⩽2，则函数f(x)等价为g(t)=(t+2)(1+t)=+3t+2=−∴g(t)在[−2,−)单调递减,在[−,2]上单调递增， ∴当时,g(t)取得最小值,最小值为−,即=−时,即x=时,f(x)的最小值为−当t=2时,g(t)取得最大值,最大值为g(2)=12,即=2时,即x=4时,f(x)的最大值为12.10.设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______.【答案】a ≤【解析】由题意()()()202f a f a f a <⎧⎪⎨+≤⎪⎩，或()()202f a f a ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩，解得()2f a ≥-，当202a a a <⎧⎨+≥-⎩或22a a ≥⎧⎨-≥-⎩，解得a ≤ 11.已知函数()()1,0112log ≠>+--=a a x mxm x f a 是奇函数，则函数()x f y =的定义域为【答案】(1,1)-12.已知32,(),x x af x x x a ⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 . 【答案】(,0)(1,)-∞⋃+∞.【解析】分析题意可知，问题等价于方程)(3a x b x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数和为2，若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，∴23a b a <<，从而1>a ；若方程)(3a x b x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是(,0)(1,)-∞⋃+∞.13. 已知函数2()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥；（2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 【答案】（1）详见解析；（2）3.【解析】（1）由22()()24a a f x x b =++-，得对称轴为直线2ax =-，由||2a ≥，得||12a-≥，故()f x 在[1,1]-上单调，∴(,)max{|(1)|,|(1)|}M a b f f =-，当2a ≥时，由 (1)(1)24f f a --=≥，得max{(1),(1)}2f f -≥，即(,)2M a b ≥，当2a ≤-时，由 (1)(1)24f f a --=-≥，得max{(1),(1)}2f f --≥，即(,)2M a b ≥，综上，当||2a ≥时， (,)2M a b ≥；（2）由(,)2M a b ≤得|1||(1)|2a b f ++=≤，|1||(1)|2a b f -+=-≤，故||3a b +≤，||3a b -≤，由||,0||||||,0a b ab a b a b ab +≥⎧+=⎨-<⎩，得||||3a b +≤，当2a =，1b =-时，||||3a b +=，且2|21|x x +-在[1,1]-上的最大值为2，即(2,1)2M -=，∴||||a b +的最大值为3.14.【2018届宁夏银川一中高三上第二次月考】已知二次函数（a,b为常数）满足条件，且方程有两个相等的实数根.（1）求的解析式；（2）是否存在实数（m<n）,使得的定义域和值域分别为，如果存在，求出。
基本初等函数
正增负减，
0 1
指大图高；
1
0
奇偶一致，
负双正抛.
0
1
x
知识梳理
7．几类函数模型及其增长差异
几类函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型 反比例函数模型
二次函数模型
f(x)＝ax＋b (a、b 为常数，a≠0) f(x)＝k＋b (k，b 为常数且 k≠0)
x f(x)＝ax2＋bx＋c
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题型一 函数性质综合考察
例3.求下列函数的单调递增 区间
(1) y 2x2 , x2 (2)y ( 1 )x2 x2 2
( 3 ) 三个数60.7，0.76，log0.76的大小顺序是 ()
A. 0.76< log0.76 < 60.7 B. 0.76 < 60.7< log0.76
质
0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1 0<a<1时,0<x<1,y>0; x>1,y<0
(5) a>1时, 在R上是增函数； (5) a>1时,在(0,+∞)是增函数；
0<a<1时,在R上是减函数
0<a<1时,在(0,+∞)是减函数
知识梳理
5.指数函数与对数函数对比
y 0.5x
y 10x
x
1.定义域：(,)
性 2. 值域： (0,)
质 3.过点 (0,1) ,即x=0时,y=1
4.在R上是 函数 在R上是 函数
知识梳理
（4）指数函数y=ax(a>0,且a≠1)图像规律
系统思维与系统决策：系统动力学智慧树知到答案章节测试2023年中央财经大学
第一章测试1.短视思维是指那些往往只看眼前、不看长远，只关心省钱、不关心效果，安于现状、看不到危机等思维方式。
A:错B:对答案:B2.系统包括三部分：元素、连接、功能。
A:对B:错答案:A3.世界上的任何事物都是由系统决定的。
A:错B:对答案:A4.系统行为可以不受内部结构控制。
A:对B:错答案:B5.系统具有三个特性：分别为涌现性、结构决定行为、系统随时间变化。
A:错B:对答案:B第二章测试1.建立模型需要遵循相似性、明朗性、目的性三项原则。
A:对B:错答案:A2.一个受污染鱼溏里的鱼，使鱼的数量减少，鱼的腐烂进一步使鱼的数量减少，这个例子属于正反馈模型。
A:错B:对答案:B3.一个农田里有植食性害虫、吃虫的鸟。
当害虫增多，鸟也在增加，但是到了鸟吃掉了虫子后，虫子数量大减，鸟类事物不充足，导致鸟的数量也在减少，这个案例属于负反馈模型。
A:错B:对答案:B4.因果回路图的三个典型结构包括：增强回路、调节回路和时间延迟。
A:错B:对答案:B5.增增强回路的影响一定是正面的。
A:错B:对答案:A第三章测试1.系统基模的主要目的是用简单扼要的模型来描述最常见的那些行为模式，是学习如何排除细枝末节，看到个人与组织生活中结构的关键所在。
A:对B:错答案:A2.通过系统基模，系统思考可以看成“填空”的模式以及凭借简单模型来预测系统行为是可行的行为。
A:错B:对答案:A3.厚积薄发基模的基本结构是一个有明显时间延迟的增强回路。
A:对B:错答案:A4.“矫枉过正”基模的系统结构，带来典型的系统行为就是震荡。
A:错B:对答案:B5.厚积薄发模型具有时间延迟特征，矫枉过正模型不具有时间延迟特征。
A:错B:对答案:A第四章测试1.下列选项属于存量的有（）A:劳动者收入总额B:流动资金C:反应社会产品和劳务的生产D:分配情况的国内生产总值答案:B2.下列选项属于流量的是（）A:存款B:外汇储备C:流动资金增加额D:黄金储备答案:C3.根据系统动力学的定义，下列说法正确的是（）A:注水停止时，可以检测确定的变量不一定，因而无法判断。
基本初等函数
这就是我们要学习的指数函数: 这就是我们要学习的指数函数
y=ax (a>0且a≠1)
我们把这种自变量在指数位置上而底数是一 个大于 且不等于 大于0且不等于 指数函数. 大于 且不等于1的常量的函数叫做指数函数 指数函数
y = a x (a > 0且a
指数函数的定义：
当0 < a < 1时，y = a x是减函数. 当0 < a < 1时，y = log a x是减函数.
y = a x 的图象与 y = log a x 的图象关于直线 y = x 对称.
简单应用
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2011
几个基本初等函数
反函数
反函数定义：函数 = 反函数定义：函数y= f (x) ( ∈A)中，设它的 ) (x∈ ) 值域为C. 我们根据这个函数中x与 的关系 的关系, 值域为 . 我们根据这个函数中 与y的关系, 表示出来,得到x .如果对于 如果对于y在 用y把x表示出来,得到x = φ (y) .如果对于 在 中的任何一个值，通过x (y) C中的任何一个值，通过 = φ ( )，x在A中 在 都有唯一的值和它对应，那么， = ( ) 都有唯一的值和它对应，那么，x=φ(y) 就 表示y是自变量，x是自变量 的函数，这样 表示 是自变量， 是自变量y的函数， 是自变量 是自变量 的函数 的函数x= ( ) (y∈C) 叫做函数y 的函数 =φ(y) ( ∈C) 叫做函数 = f (x) ) ∈A)的反函数 (x∈A)的反函数，记作： ∈A)的反函数，记作： x = f –1 (y) )
性质
(1) 无论 a为何值,指数函数 值域为 (0,+∞ ) ,都过点(0,1).
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基本初等函数
一、函数的图象
1、函数y=a |x|(a>1)
的图象是( )
2、若函数(1)x
y a b =+-（0a >且1a ≠）的图象不经过第二象限，则有 （ ）
A 、1a >且1b <
B 、01a <<且1b ≤
C 、01a <<且0b >
D 、1a >且0b ≤
3、设a>0且a ≠1，并使得不等式a x >1的解集是{x|x<0},
则下面的图象可能成立的是( ) 二、比较大小
方法：先确定正负，然后通过图像，找参照确定大概位置，比较其值与1或-1的大小,再由函数单调性确定大小。
1、已知a=log 0.70.8,b=log 1.10.9,c=1.10.9,则a 、b 、c 的大小顺序是
2、三个数60.7，0.76，log 0.76的大小顺序是( )
A.0.76<log 0.76<60.7
B.0.76<60.7<log 0.76
C. log 0.76<60.7<0.76
D. log 0.76<0.76<60.7
3、f(x)在[0，2]是减函数，f(x-2)关于x=2对称，比较f(-1),f(log 0.51/4),f(lg0.5)的大小。
三、利用函数单调性解不等式问题
1、若log a 2/5＜1，则实数a 的取值范围是
2、已知log a (a 2+1)<log a 2a<0，则实数a 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(0,1/2)
C.(1/2,1)
D.(1,+∞)
3、 若指数函数y a x =+()1在(
)-∞+∞，上是减函数，那么（ ） A 、 01<<a B 、 -<<10a C 、 a =-1 D 、 a <-1
4．若定义在区间（－1，0）内的函数f （x ）＝a 2log （x ＋1）满足f （x ）＞0，则a 的取值范围为（ ）
A ．（0，21）
B ．（0，21）
C ．（2
1，＋∞） D ．（0，＋∞） 5.已知y ＝a log （2－ax ）在［0，1］上是x 的减函数，则a 的取值范围是
6．已知定义域为R 的偶函数f （x ）在［0，＋∞］上是增函数，且f （2
1）＝0，求不等式f （l og 4x ）>0的解集 四、求函数的单调区间
1、 函数f x x ()()=-1
21，使f x ()是增函数的x 的区间是
2、函数y=log 0.1(6+x －2x 2)的单调递增区间是
3、已知函数f(x)=log 1/a (2－x)在其定义域上单调递增，则函数g(x)=log a (1－x 2)的单调递减区间是
4、y=log a (2-ax)在[0，1]上是减函数，则a 的取值范围（ ）
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(0,2)
D.[2,+∞）
五、函数奇偶性 1设a>0, 是R 上的偶函数，则a=
2.若F(x)= f(x)，（x ≠0）是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)（ ）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 可能是奇函数也可能是偶函数
D. 不是奇函数也不是偶函数
4、已知函数f （x ）= a -
，若f （x ）为奇函数，则a = 5 已知定义域为R 的函数12()22
x x b f x +-+=+是奇函数。
（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 的单调性; （Ⅲ）若对任意的t R ∈，不等式
22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围． x x e a a e x f +=)(。