3.3.2+简单的线性规划问题+
332简单线性规划问题
审题视角
规范解答
温馨提醒
解 由约束条件x3－ x＋4y5＋y－3≤25≤0 0 ，作出(x，y)的可行域如图所示． x≥1
由x3＝x＋15y－25＝0 ，解得 A1，252.
由xx＝－14y＋3＝0 ，解得 C(1,1)．
2024/10/13
27
题型分类·深度剖析
思想与方法 13.利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最小值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
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(2)z＝x2＋y2 的几何意义是可行域上的点到原点 O 的距离的平方．结合图形
可知，可行域上的点到原点的距离中，dmin＝|OC|＝ 2，dmax＝|OB|＝
x 4 y 3 3x 5y 25 求z的x最大1 值和最小值.
【解析】ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
由z 2x y y 2x z
A(5,2) C(1, 22)
5
zmin
21
22 5
12 5
z 2 5 2 12 max 2024/10/13
截距为-z的直线
y x 1 C
•B
O
x 4y 3 0
•A
3x 5y 25 0
x－4y＋3≤0 典例：(12 分)变量 x、y 满足3x＋5y－25≤0 ，
x≥1
(1)设 z＝xy，求 z 的最值；(2)设 z＝x2＋y2，求 z 的取值范围；
(3)设 z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求 z 的取值范围．
审题视角
规范解答
温馨提醒
由x3－ x＋4y5＋y－3＝25＝0 0 ，解得 B(5,2)．
3.3.2-简单的线性规划问题-课件2(人教A版必修5)
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
说明：求线性目标函数在约束条件下的最值问 题的求解步骤是：
①作图——画出约束条件(不等式组)所确定的 平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意 一条直线l.
②平移——将直线l平行移动，以确定最优解所 对应的点的位置．
③求值——解有关的方程组求出最优解的坐 标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．
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解：设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、 乙两个项目，
x＋y≤10， 由题意知0x.≥3x0＋，0.1y≤1.8，
y≥0.
目标函数 z＝x＋0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影 部分(含边界)即可行域．
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解方程组x7＋ x＋2y1＝0y＝3，17， 得 M(1,1)．
故当 x＝1，y＝1 时，zmin＝8.
课前自主学习 课堂讲练互动 课后智能提升
方法点评：在确定 z 的最小值时，要抓住 z 的几 何意义，即 y＝－35x＋5z.
图解法是解决线性规划问题的有效方法．其关键 在于平移直线ax＋by＝0时，看它经过哪个点(或哪些 点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点 即为最优解，再注意到它的几何意义，从而确定是取 得最大值还是最小值．
答案：0
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4.在如图所示的区域内， z＝－x＋y的最大值为 ________．
解析：因为z为直线z＝－x＋y的纵截距，所以要 使z最大，只要纵截距最大就可以，当直线过(0,2)点 时，直线的纵截距最大，最大值为2.
答案：2
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3.3.2简单的线性规划问题
变式：求利润z=x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
4 N（2，3） 3
0
4
8x
y 1 x4
2
y1x z
33
zmax 2 3 3 11
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 线性目标函数
（3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学 模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 ．
学习重点：线性规划的图解法
学习难点：寻求线性规划问题的最优解
一、导学提示，自主学习
2.本节主要题型 题型一 求线性目标函数的最值 题型二 线性规划的实际应用 3.自主学习教材P87-P91 3. 3.2简单的线性规划问题
经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张
数最少。
分 析
解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，
2x+y≥15,
钢板总张数为Z则,
问
x+2y≥18,
题
x+3y≥27, x≥0
:
y≥0
标目函数: z=x+y (x,y N)
约束条件:
{ 2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0,
33
3
在y轴上的截距为 z 的直线, 3
当点P在可允许的取值范围变化时,
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值. y
x2y 8
44
x y
16 12
《3.3.2简单的线性规划问题》教案
简单的线性规划学习内容总析线性规划位于不等式和直线方程的结合点上，是培养学生转化能力和熟练运用数形结合能力的重要内容。
这一节的知识内容形成了一条结构紧密的知识链条：以二元一次不等式（组）表示的平面区域为基础，根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法解决简单的线性规划问题。
学情总析本节内容是在学习了直线方程、二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，强调应用转化思想和数形结合思想来解决线性规划问题。
三维教学目标知识与技能：①了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念；②在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；③掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤。
过程与方法：①培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；②强化数形结合的数学思想方法；③提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力。
情感、态度与价值观：①在感受现实生产、生活中的各种优化、决策问题中体验应用数学的快乐；②在运用求解线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；③在探究性练习中，感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。
教学重点及应对策略1、教学重点：根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解；2、应对策略：将求目标函数最值问题转化为经过可行域的直线在y轴上的截距的最值问题，然后借助直线方程的知识进行解决。
教学难点及应对策略1、教学难点：①借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；②用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。
2、应对策略：在理论解释的同时，可用动画进行演示辅助理解。
教学过程设计。
3.3.2简单的线性规划1
今需要A、 、 三种规格的成品分别为 三种规格的成品分别为15、 、 今需要 、B、C三种规格的成品分别为 、18、27 块，用数学关系式和图形表示上述要求，如何使所 用数学关系式和图形表示上述要求， 用钢板张数最少？ 用钢板张数最少？
例6：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产 车皮甲种 ：一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种 肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥 肥料的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 ；生产 车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。 料需要的主要原料是磷酸盐 、硝酸盐 。现库存磷酸盐 10t、硝酸盐 ，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满 、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。 足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。若生产 一车皮甲种肥料，产生的利润为10000元；生产一车皮乙肥 一车皮甲种肥料，产生的利润为 元 产生的利润为5000元，那么非别生产甲乙肥料各多好车 料，产生的利润为 元 能够产生最大利润？ 皮，能够产生最大利润？
分析： 分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
三种规格， 例5： 要将两种大小不同的钢板截成 、B、C三种规格， ： 要将两种大小不同的钢板截成A、 、 三种规格 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表示： 规格 钢型 第一种钢板 第二种钢板 A规格 规格 2 1 B规格 规格 1 2 C规格 规格 1 3
• 通过不等式（组）的平面区域，我们可以 知道不等式的可能取值范围。那么在不等 式平面区域中，那个值是最有意义的取值 呢，比如对于资源的利用，人力调配，生 产安排等等，都需要我们有一个最优的处 理办法
人教版高中数学必修5第三章不等式《3.3.2 简单的线性规划问题》教学PPT
思考5：作可行域，使目标函数取最小
值的最优解是什么？目标函数的最小值
为多少？ 28x＋21y=0
7x＋14y＝6
y
A最最优小解值1(671.,
4 7
)，
7x 7 x
7y 5 14 y 6
14x 7 y 6
x 0, y 0
x＝4
思考3：图中阴影区域内任意一点的坐
标都代表一种生产安排吗？
y
x 2y 8
0 x 4 0 y 3 x N , y N O
y＝3 x
x＋2y＝8 x＝4
阴影区域内的整点（坐标为整数的点） 代表所有可能的日生产安排.
思考4：若生产一件甲产品获利2万元， 生产一件乙产品获利3万元，设生产甲、 乙两种产品的总利润为z元，那么z与x、 y的关系是什么？
3.3.2 简单的线性规划问题
第一课时
问题提出
1.“直线定界，特殊点定域”是画二元 一次不等式表示的平面区域的操作要点， 怎样画二元一次不等式组表示的平面区 域？
2.在现实生产、生活中，经常会遇到资 源利用、人力调配、生产安排等问题， 如何利用数学知识、方法解决这些问题， 是我们需要研究的课题.
探究（一）：线性规划的实例分析 t
5730
【背景材料】某工厂用A、B两种配件 生产甲、乙两种产品，每生产一件甲 产品使用4个A配件耗时1h；每生产一 件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每 天最多可从配件厂获得16个A配件和12 个B配件，每天工作时间按8h计算.
思考1：设每天分别生产甲、乙两种产 品x、y件，则该厂所有可能的日生产 安排应满足的基本条件是什么？
2x y 15
高中数学五第三章3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)【教案】
3。
3。
2简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。
2．能力目标: 1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。
3．情感目标: 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识,激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。
二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。
难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解.三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法,通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。
使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即（一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计:引导学生通过主动参与、合作探讨学习知.来源:学四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。
因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节:1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法;4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结;6、布置作业,巩固提高._五、教学过程设计①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化。
3.3.2简单线性规划(1_2)--上课用
y-x=0
5
4、 根据0=2x+y平移到 区域的最后一个点时有 最大（小）值
3、根据b的正负值判断向上向下 平移时Z的增减性， 1 O
1 A(2,-1)
5
x
y+1=0
B(-1,-1)
-1
x+y-1=0
x - y 0 1 、 画出x y - 1 0区域 y y 1 0
使 式中，的x、y满足约束条件：
3 z z y x , 为直线3x 5 y z 0 5 5 5 的纵截距
5 x 3 y 15 y x 1 x 5 y 3
5x+3y=15 y y=x+1
5
B(3/2,5/2)
1
X-5y=3 x
O
-1
1
5
A(-2,-1)
B.z=5x+3y D.z=3x+5y
答案:A
第31页
高考题练习：
x y≥2, 1.(2009 浙江)若实数x, y满足不等式组 2 x y≤4, x y≥0, 则2x 3y的最小值是 ________ .
答案:4
第32页
解析:作出可行域如下图. 作直线l:2x+3y=0,平移l,当l过点A(2,0)时,2x+3y有最小值4.
D.5
z=5×1+0=5.
答案:D
第34页
则z x 2y的最大值为
A.4 答案:B B.3 C.2
y≤1, 3.(2010 全国Ⅰ若变量 ) x、y满足约束条件 x y≥0, x y 2≤0,
高中数学 同步教学 简单的线性规划问题
x (1)
2
率的 2 倍,
因为 kQA= 7 ,kQB= 3 ,所以 z 的取值范围是[ 3 , 7 ].
48
42
方法技巧 与二元一次不等式(组)表示的平面区域有关的非线性目标函数 的最值问题的求解,一般要结合给定代数式的几何意义来完成.
常 见 代 数 式 的 几 何 意 义 :(1) x2 y2 表 示 点 (x,y) 与 原 点 (0,0) 的 距
4.给定下列命题:在线性规划中,
①最优解指的是使目标函数取得最大值的变量x或y的值;
②最优解指的是目标函数的最大值或最小值;
③最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行域;
④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解.
其中正确命题的序号是
.
解析:因为最优解是使目标函数取得最大值或最小值的可行解,即满足 线性约束条件的解(x,y),它是一个有序实数对,所以①②③均错,④正确. 故填④. 答案:④
变式探究:在本例的约束条件下,求z=x2+y2+2x的最大值与最小值.
解:z=x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1 表示可行域内任意一点(x,y)与点 D(-1,0)距离的平方减去 1,
如图所示,过 D 作 AB 的垂线 DP,垂足为 P,所以|DP|= | 1 0 4 | = 5 = 5 2 ,
(2)简单线性规划问题的解法 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下,用图解法求最优解的步骤 可概括为“画、移、求、答”,即: ① 画 : 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 , 画 出 可 行 域 和 直 线 ax+by=0( 目 标 函 数 为 z=ax+by); ②移:平行移动直线ax+by=0,确定使z=ax+by取得最大值或最小值的点; ③求:求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或 最小值; ④答:给出正确答案.
3.3.2简单的线性规划问题(1).ppt1
y
o
x
1.课题导入
在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、 生产安排等问题。 1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：
某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每 生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙 产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该 厂所有可能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由 已知条件可得二元一次不等式组
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
1.解：作出平面区域
y
A
o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的 图像，可知z要求最大值， 即直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
把z＝2x＋3y变形为
由上图可以看出，当实现直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M z 14 （4，2）时，截距的值最大 ，最大值为 ， 3 3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2 件时， 工厂可获得最大利润14万元。
二、基本概念
Hale Waihona Puke 一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束 条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因 为它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 y 问题，统称为线性规划问题。 4 可行域 最优解 满足线性约束的解
3
（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成 可行解 的集合叫做可行域。
第一部分 第三章 3.3 3.3.2 简单的线性规划问题
返回
x－y－2＝0， 解方程组 x＋2y－5＝0，
x＝3， 得最优解 y＝1.
∴z最大＝2×3＋3×1＋1＝10. 答案：(1)C (2)B
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[一点通]
解决线性规划问题的方法是图解法，即借
助直线(把线性目标函数看作斜率确定的一族平行线)与平 面区域(可行域)有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或 最小值求解．其基本思路是 (1)根据线性约束条件，在直角坐标系中，把可行域表 示的平面图形准确地画出来；
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线性规划的有关概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 变量x，y满足的一组条件
由x，y的 二元一次不等式(或方程) 组成
的不等式组 欲求 最大值 或 最小值 所涉及的变量x，
目标函数
y的解析式 线性目标函数 目标函数是关于x，y的二元一次解析式
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名称 可行解
意义 满足 线性约束条件 的解(x，y) 所有 可行解 组成的集合 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的 可行解 在线性约束条件下，求线性目标函数 的最大值或最小值问题
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量 不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________
(百万元)．
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解析：可设需购买 A 矿石 x 万吨，B 矿石 y 万吨， x≥0， y≥0， 则根据题意得到约束条件为： 0.5x＋0.7y≥1.9， x＋0.5y≤2，
则目标函数 z＝2x＋3y＋1 的最大值为(
)
B．10 D．8.5
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[思路点拨]
先作出可行域的直线2x＋3y＝0，然
后平移直线2x＋3y＝0，根据直线的截距的几何意义确
高中数学 第三章 不等式 3.3.2 简单的线性规划问题(第
3.3.2《简单的线性规划问题》（第1课时）一、选择题：1．目标函数z ＝4x ＋y ，将其看成直线方程时，z 的几何意义是( )A ．该直线的截距B ．该直线的纵截距C ．该直线的横截距D ．该直线的纵截距的相反数 【答案】B【解析】把z ＝4x ＋y 变形为y ＝－4x ＋z ，则此方程为直线方程的斜截式，所以z 为该直线的纵截距． 2．在如下图所示的可行域内(阴影部分且包括边界)，目标函数z ＝x －y ，则使z 取得最小值的点的坐标为( )A ．(1,1)B ．(3,2)C ．(5,2)D ．(4,1) 【答案】A【解析】对直线y ＝x ＋b 进行平移，注意b 越大，z 越小．3．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C.[]－1，6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32【答案】A【解析】利用线性规划的知识求解．作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x －y ＝0，并向上、下平移，又直线y ＝3x －z 的斜率为3. 由图象知当直线y ＝3x －z 经过点A (2,0)时z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过点B (12，3)时，z 取最小值－32. ∴z ＝3x －y 的取值范围为[－32，6]．故选A.4．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( )A ．20B ．35C ．45D ．55 【答案】D【解析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，然后求值．不等式组表示的区域如图所示，所以过点A (5,15)时2x ＋3y 的值最大，此时2x ＋3y ＝55.5．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，则yx的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞) 【答案】C【解析】⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0所表示的可行域如下图．而y x表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，过点O 与直线AB 平行的直线l 的斜率为1，l 绕点O 逆时针转动必与AB 相交，直线OB 的倾斜角为90°，因此y x的范围为(1，＋∞)．6.已知以x ，y 为自变量的目标函数ω＝kx ＋y (k >0)的可行域如下图阴影部分(含边界)，若使ω取最大值时的最优解有无穷多个，则k 的值为( )A ．1 B.32 C ．2 D ．4【答案】A【解析】目标函数可变形为y ＝－kx ＋ω，又∵k >0，结合图象可知，当ω最大时，－k ＝k DC ＝4－22－4＝－1.即k ＝1.二、填空题：7．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，x ＋y ≤6，则目标函数z ＝x ＋3y 的取值范围是________．【答案】[8,14]【解析】画出可行域，如图所示．作直线x ＋3y ＝0，并平移，由图象可知当直线经过A (2,2)时，z 取最小值，则z min ＝2＋3×2＝8.当直线经过C (2,4)时，z 取最大值z max ＝2＋3×4＝14. 所以z ＝x ＋3y 的取值范围是[8,14]．8．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则z ＝2x ＋y 取最大值时点的坐标为________．【答案】(2，－1)【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1所表示的可行域如图所示．当平行直线系z ＝2x ＋y 经过点A (2，－1)时，目标函数z ＝2x ＋y 取得最大值．9．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0，且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝________.【答案】0【解析】由条件作出可行域如下图．根据图象知，目标函数过x ＋y ＋k ＝0与x ＝3的交点(3，－3－k )时取最小值，代入目标函数得－6＝2×3＋4×(－3－k )，∴k ＝0. 三、解答题10．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表示的平面区域为D ，若指数函数y ＝a x的图象上存在区域D 上的点，试求a 的取值范围． 【答案】见解析【解析】 区域D 如下图所示，其中A (2,9)．当y ＝a x恰过点A 时，a ＝3.因此当1<a ≤3时，y ＝a x的图象上存在区域D 上的点．故a 的取值范围为(1,3]． 11．设z ＝2x ＋y ，式中变量x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y≤－3，3x ＋5y≤25，x≥1，求z 的最大值和最小值．【答案】见解析【解析】 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，随z 变化的一族平行直线． 由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0得B 点坐标为(1,1)，所以z max ＝2×5＋2＝12，z min ＝2×1＋1＝3.12．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，求目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围．【答案】见解析【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4，如图得交点为A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)，令z ＝0，得l 0：3x ＋2y ＝0，当l 0向上平移时z 值逐渐增大．(1)当3≤s <4时可行域为四边形OABC ，此时l 0平移到B 点时z 取最大值，z max ＝3×(4－s )＋2(2s －4)＝s ＋4. ∵3≤s <4，∴7≤z max <8.(2)当4≤s <5时，可行域是△OAC ′，此时l 0过C ′点时z 取最大值，z max ＝3×0＋2×4＝8.综上所述，z max ∈[7,8]．。
【优化方案】2012高中数学 第3章3.3.2简单的线性规划问题课件 新人教A版必修5
学习目标 1.了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义． 了解线性规划的意义 2．准确利用线性规划知识求解目标函数的最 ． 值． 3．掌握线性规划在解决实际问题中的两种类 ． 型．
3. 3.2 简 单 的 线 性 规 划 问 题
课前自主学案
课堂互动讲练
知能优化训练
例3
【 思 路 点 拨 设未知数， 设未知数，确定线性约束条件和目标函数 → 画出可行域和目标函数对应的初始直线 → 平移直线确定最优解 → 求目标函数的最大值
【解】 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分
】
别为x个单位和 个单位 所花的费用为z元 别为 个单位和y个单位，所花的费用为 元， 个单位和 个单位， 则依题意， ＝ 则依题意，得z＝2.5x＋4y，且x，y满足 ＋ ， ， 满足
变式训练2 变式训练
某公司计划2010年在甲、乙两个电 年在甲、 某公司计划 年在甲
视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费 分钟的广告， 视台做总时间不超过 分钟的广告 用不超过9万元， 用不超过 万元，甲、乙电视台的广告收费标准 万元 分别为500元/分钟和 分钟和200元/分钟 假定甲、 分钟． 分别为500元/分钟和200元/分钟．假定甲、乙两 个电视台为该公司所做的每分钟广告， 个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司 带来的收益分别为0.3万元和 万元 带来的收益分别为 万元和0.2万元．问该公司 万元和 万元． 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间， 如何分配甲、乙两个电视台的广告时间，才能使 公司的收益最大．最大收益是多少万元？ 公司的收益最大．最大收益是多少万元？
例1
(2010 年高考山东卷 设变量 x、y 满足约 年高考山东卷)设变量 、 则目标函数 z＝3x－4y ＝ － ) B．－ ，－ ．－3，－ ．－ ，－11 D．11,3 ．
3.3.2简单的线性规划问题(整数最优解)
1.应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件， 确定线性目标函数。 2.用图解法求得数学模型的解，即画出可行域， 在可行域内求得使目标函数取得最值的解.(一般最优解 在直线或直线的交点上，要注意斜率的比较。） 3.要根据实际意义将数学模型的解转化为实际 问题的解，即结合实际情况求得最优解。
二、练习（教材P91 T1、2）
12
例题6 某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成 A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所
规格类型 钢板类型
A规格
2 1
B规格
1 2
C规格
1 3
第一种钢板
第二种钢板
某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是 经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张 数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张， 分 钢板总张数为Z则, 2x+y≥15, 析 x+2y≥18, 问 x+3y≥27, 目 标 函 数 : 题 x≥0 z = x + y : y≥0
平移L找交点及交点坐标
x 27
x+3y=27
2x+y=15
x+2y=18
当直线L经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解. 解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
作直线x+y=12
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N* y≥0 y∈N*
y
15 9
B(3,9)
人教A版高中数学必修五课件3.3.2简单的线性规划问题2.pptx
5．已知线性目标函数 z＝3x＋2y，在线性约束条件
x＋y－3≥0 2x－y≤0 y≤a
下取得最大值时的最优解只有一个，则实数 a
的取值范围是________．
x＋y－3≥0
解析： 作出线性约束条件2x－y≤0
y≤a
表示的平面
区域，
如图中阴影部分所示．
• 因为取得最大值时的最优解只有一个，所以目 标函数对应的直线与平面区域的边界线不平行， 根据图形及直线的斜率，可得实数a的取值范 围是[2，＋∞)．
元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过 13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最 大利润是( )
• A．12万元
B．20万元
• C．25万元D．27万元
解析： 设该企业在一个生产周期内各生产甲、乙产品
x、y 吨，获得利润 z 万元，根据题意，得
3x＋y≤13
2x＋3y≤18 x≥0
• (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的 最大值和最小值．
• [注意] 画可行域时，要特别注意可行域各边 的斜率与目标函数直线的斜率的大小关系，以 便准确判断最优解．
• 2．最优解的确定
• 最优解的确定可有两种方法：
• (1)将目标函数的直线平行移动，最先通过或 最后通过的顶点便是最优解．
交点 A(4,5)时，目标函数 z＝200x＋300y 取到最小值为 2 300
元，故所需租赁费最少为 2 300 元．
• 答案： 2300
• 2．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨 甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产
品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可 获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万
规格类型 钢板类型
3.3.2-简单的线性规划问题-课件
[例4] 某人有楼房一幢，室内面积共180 m2，拟分隔成两类 房间作为旅游客房．大房间每间面积为18 m2，可住游客5名，每 名游客每天住宿费为40元；小房间每间15 m2，可住游客3名，每 名游客每天住宿费为50元；装修大房间每间需1000元，装修小房 间每间需600元．如果他只能筹款8000元用于装修，且游客能住满 客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，才能获得最大收益？
x≥0
迁移变式 3 已知点 P(x，y)满足条件y≤x
(k
2x＋y＋k≤0
为常数)，若 x＋3y 的最大值为 8，则 k＝________.
解：作出可行域如图 7 所示， 作直线 l0：x＋3y＝0， 平移 l0 知当 l0 过点 A 时，x＋3y 最大， 由于 A 点坐标为(－3k，－3k)． ∴－3k－k＝8，从而 k＝－6.
[例3] 已知变量x，y满足约束条件1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若 目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,1)处取得最大值，则a的取值 范围为________．
[分析] 由题目可获取以下主要信息： ①可行域已知； ②目标函数在(3,1)处取得最大值． 解答本题可利用逆向思维，数形结合求解．
解方程组－4x＋4x＋3y＝3y＝361. 2， 得 D 点坐标为(3,8) ∴zmax＝2x＋3y＝30 当直线经过可行域上的点 B 时，截距3z最小，即 z 最 小．由已知得 B(－3，－4) ∴zmin＝2x＋3y＝2×(－3)＋3×(－4)＝－18. (2)同理可求 zmax＝40，zmin＝－9.
3.3.2 简单的线性规划问题
线性规划问题的有关概念：
1．线性约束条件：不等式组是一组对变量x、y的约束条件， 这组约束条件都是关于x、y的 一次不等式 ．
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)
联立2x+y=1与x=1解 得（1，-1）代入 1 y=a(x-3).解得a= 2
Z=2x+y
变式训练2
Hale Waihona Puke 考向二含参变量的简单线性规划问题
x-y+5≥0
若二元一次不等式组 y≥a
0≤x≤2
y
7 5D
x-y+5=0
C
所表示的平面区域是一个三角形， 求a的取值范围
y= a y= 7
y=5 a
答案:5≤a<7
则x 2 y的最大值是 （ C ）
5 A． 2 -
B． 0
5 C． 3
5 D． 2
yx x y 4 2.（2014 年湖南 14）若变量 x , y 满足约束条件 y k ，
且z
2 x y 的最小值为－6，则 k
-2
.
1 ． [2014· 广东卷] 若变量 x，y 满足约束条件 y≤x， x＋y≤1，且 z＝2x＋y 的最大值和最小值分别为 m 和 n， y≥－1， B 则 m－n＝( ) A．5 B．6 C．7 D．8
2．两个注意 (1)注意边界的虚实 (2)求二元一次函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，先令目标 函数 Z=0，即：ax＋by=0,再用特殊点法判断两侧的符号正负 来判断在哪侧取最大值，哪侧 z 最小。
3．线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是： (1)在平面直角坐标系内作出可行域； (2)令目标函数 z=0 作出图像，判断最值方向； (3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后 的直线，从而确定最优解； (4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或 最小值．
简 单 的 线 性 规 划 问 题
闫屯中学高三理科数学备课组 毛海志
【考纲要求】
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表 示二元一次不等式组． 2．会利用数形结合的思想解决不含参变量的简单线性 规划问题． 3．会利用数形结合的思想解决含参变量的简单线性规 划问题．
【知识要点】 一．二元一次不等式表示的平面区域 (1)二元一次不等式 Ax＋By＋C>0 在平面直角坐标系中 表示直线 Ax＋ By＋C＝ 0 某一侧的所有点组成的平面区域 (半平面)，__________ 不包括 边界直线． 不等式 Ax ＋ By ＋ C≥0 所表示的平面区域 ( 半平面 ) 包括 边界直线． _____ (2) 由于对直线 Ax＋By＋C＝0 同一侧的所有点(x，y)， 把 它的坐 标 (x ， y) 代入 Ax ＋ By ＋ C 所得到 实数的 符号 都相同 ，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)， 由 Ax0＋By0＋C 的 符号 即可判断 Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax ＋By＋C＝0 哪一侧的平面区域．
-5
o
2 x=2
x
y=a
【聚焦考向】 考向三
简单线性规划中的解析思想
x 2y 7 0 例3.已知x,y满足： 4 x 3 y 12 0 x 2y 3 0
求:（1） u 4 x 3 y 的最大值和最小值。 （2） （3）
z ( x 3) ( y 1)
2
的最大值和最小值。 2
的最大值和最小值。
y 1 t x3
考向三
简单线性规划中的解析思想
4x-3y-12=0
X-2y+7=0
x+2y-3=0
P(-3,-1)
考向三
简单线性规划中的解析思想
X-2y+7=0
4x-3y-12=0
P(-3,-1)
x+2y-3=0
考向三
简单线性规划中的解析思想
X-2y+7=0
举一反三
解析：画出可行域如图， 显然区域内点 A 到点 D(－1,1)距离最大， |－1－1| 点 D 到直线 BC 距离最小 r＝ 2 2 ＝ 2. 1 ＋1
说明：此类问题是转化为两点之间的距离来求解
2015全国课标1
x 1 0 y x y 0 (15)若 x，y 满足约束条件 ，则 的最大值为 x x y 4 0 2014全国课标1
A．2 B．－2 1 C. 2 1 D．－ 2
y-x=-4
y-x=0
Kx-y+2=0恒过定点 （0,2）与点（4,0）
1 联立k= 2
Kx-y+2=0
变式训练1 考向二
含参变量的简单线性规划问题
2．(2013·高考全国新课标)已知 a＞0，x，y 满足约束条 x≥ 1， 件x＋y≤3， ， 若 z＝2x＋y 的最小值为 1， 则 a＝( B y≥a（x－3）. 1 A. 4 1 B. 2 C ．1 D．2
【聚焦考向】 考向一 不含参变量的简单线性规划问题
例1
x-y≥0 设x,y满足约束条件： x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。 Zmax=2×2+1=5 Zmin=2×（-1）-（-1）=-1。
y x+y=1
y=2x x-y=0
1
0 y=-1
B(-1,-1)
C
x
1
（2，-1） A
【聚焦考向】
考向一
不含参变量的简单线性规划问题
举一反三
(1)．[2014·福建卷] 若变量 x，y 满足约束
x－y＋1≤0， 条 件 x＋2y－8≤0， 则 z ＝ 3x ＋ y 的 最 小 值 为 x≥0，
1 ________ ．
【聚焦考向】
考向一 不含参变量的简单线性规划问题
(2) ．[2014· 天津 卷 ] 设变量 x ， y 满足 约束 条件
【指点迷津】
1．一种方法 确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直 线定界，特殊点定域”的方法． (1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成 虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线． (2)特殊点定域， 由于对在直线 Ax＋By＋C＝0 同侧的点， 实数 Ax＋By＋C 的值的符号都相同，故为确定 Ax＋By＋C 的 值的符号，可采用特殊点法，如取原点或(0，1)、(1，0)等 点．
y 2x x y 1 1.（2013 年湖南 4）若变量 x, y 满足约束条件 y 1 ，
则x 2 y的最大值是 （
）
5 A． 2 -
B． 0
5 C． 3
5 D． 2
yx x y 4 2.（2014 年湖南 14）若变量 x , y 满足约束条件 y k ，
二．线性规划相关概念 名称 意义 约束条 目标函数中的变量所要满足的不 件 等式组 线性约 由 x， y 的一次不等式(或方程)组成 束 的不等式组 条件 目标函 解析式 关于 x， y 的函数_______________ 数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 所有可行解组成的集合 线性目 目标函数是关于变量的一次函数 标函数 使目标函数取得______________ 最大值或最小值 最优解 的可行解 线性规 在线性约束条件下， 求线性目标函 最大值 或___________ 划问题 数的__________ 最小值
x＋y－2≥0， x－y－2≤0，则目标函数 z＝x＋2y 的最小值为( B ) y≥1，
A．2 B．3 C ．4 D．5
【聚焦考向】 考向二 含参变量的简单线性规划问题
例2
x＋y－2≥0， [2014·北京卷] 若 x，y 满足kx－y＋2≥0， y≥0， 且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为( D )
x y 1 9.不等式组 的解集记为 D .有下面四个命题： x 2 y 4
3
.
p1 ： ( x, y) D, x 2 y 2 ， p2 ： ( x, y) D, x 2 y 2 , P3 ： ( x, y) D, x 2 y 3 ， p4 ： ( x, y) D, x 2 y 1 .
t y 1 x3
4x-3y-12=0
tmin kPB
Q(x,y)
tmax kPA
P(-3,-1)
x+2y-3=0
考向三
简单线性规划中的解析思想
举一反三
1、试确定m的范围，使点（1，2）和 （1，1）在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧，m的范围又是什么呢？
解析： 由于在异侧，则（ 解析 ： 由于在同侧，则（1 1， ，2 2）和（ ）和（1 1， ，1 1） ）
其中真命题是 C
A . p2 ， P3 B . p1 ， p4
C . p1 ， p2
D . p1 ， P3
二元一次不等式 表示平面区域
直线定界， 特殊点定域 约束条件 目标函数 可行解 可行域
应 用
简单的线性规划
求解方法：画、移、 求、答
最优解
线性规划并不难， 平面区域加平移， 代点计算得最值，
且
z 2 x y 的最小值为－6，则 k
.
2.（2014 年湖南 14） [解析] 画出可行域， 如图中阴影部分所示， 不 难得出 z＝2x＋y 在点 A(k，k)处取最小值，即 3k ＝－6，解得 k＝－2.
【高考动向】
y 2x x y 1 1.（2013 年湖南 4）若变量 x, y 满足约束条件 y 1 ，
高考五分我必得。
【课后作业】
导学案的巩固练习
思考题
[2014· 浙 江 卷 ] 当 实 数 x ， y 满 足 x＋2y－4≤0， x－y－1≤0， 时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 x≥1 a 的取值范围是________．
3 1， 2