20192015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章2.7
步步高大一轮复习讲义
§2.9 函数的应用2014高考会这样考 1.综合考查函数的性质；2.考查一次函数、二次函数、分段函数及基本初等函数的建模问题；3.考查函数的最值．复习备考要这样做 1.讨论函数的性质一定要先考虑定义域；2.充分搜集、应用题目信息，正确建立函数模型；3.注重函数与不等式、数列、导数等知识的综合．1． 几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型函数模型 函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a 、b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型f (x )＝kx＋b (k ，b 为常数且k ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数，a ≠0)指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1)幂函数模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同值的比较存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n<a x(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得出数学结论；(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．以上过程用框图表示如下：[难点正本疑点清源]1．要注意实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．2．解决函数应用问题重点解决以下问题(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图像的作用；(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，结果明确表述出来．1．某物体一天中的温度T(单位：℃)是时间t(单位：h)的函数：T(t)＝t3－3t＋60，t＝0表示中午12∶00，其后t取正值，则下午3时的温度为________．答案78℃解析T(3)＝33－3×3＋60＝78(℃)．2．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．答案 2 500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000＝－120Q2＋30Q－2 000＝－120(Q－300)2＋2 500当Q＝300时，L(Q)的最大值为2 500万元．3． (2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－t30，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率．．．是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)等于( ) A．5太贝克B．75ln 2太贝克C．150ln 2太贝克D．150太贝克答案D解析∵M′(t)＝－130M02－t30·ln 2，∴M′(30)＝－130×12M0ln 2＝－10ln 2，∴M0＝600.∴M(t)＝600×2－t30，∴M(60)＝600×2－2＝150(太贝克)．4．某企业第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( ) A．x>22%B．x<22%C．x＝22%D．x的大小由第一年的产量确定答案B解析设第一年的产量为a，则a(1＋x)2＝a(1＋44%)，∴x＝20%.5．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1，y2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A．5千米处B．4千米处C．3千米处D．2千米处答案 A解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A.题型一 二次函数模型例1 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？思维启迪：(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)求函数最值． 解 (1)每吨平均成本为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低，最低为32万元． (2)设可获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680 (0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．探究提高二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以求出函数的值域或最值．解决实际中的优化问题时，一定要分析自变量的取值范围．利用配方法求最值时，一定要注意对称轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240，x ∈N *)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 设利润为f (x )万元，则f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000 (0<x <240，x ∈N *)． 令f (x )≥0，得x ≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N *)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)思维启迪：从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型． 解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)·6.24%＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1(x ∈N *)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．探究提高 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x(其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n(其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度．(2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.题型三 分段函数模型例3 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？思维启迪：题目中月处理成本与月处理量的关系为分段函数关系，项目获利和月处理量的关系也是分段函数关系．解(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该单位不会获利． 当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损． (2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144.12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500].①当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240， 所以当x ＝120时，y x取得最小值240. ②当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x－200＝200， 当且仅当12x ＝80 000x ，即x ＝400时，yx取得最小值200.因为200<240，所以当每月的处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低． 探究提高 本题的难点是函数模型是一个分段函数，由于月处理量在不同范围内，处理的成本对应的函数解析式也不同，故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值，然后将这些区间内的最值进行比较确定最值．(2011·北京)根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧c x ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案D解析由函数解析式可以看出，组装第A件产品所需时间为cA＝15，故组装第4件产品所需时间为c4＝30，解得c＝60，将c＝60代入cA＝15，得A＝16.函数建模问题典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？审题视角 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法． 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，① 由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 14≤P ≤20，－32P ＋40 20<P ≤26，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50P －14×100－5 600 14≤P ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－32P ＋40P －14×100－5 600 20<P ≤26，[4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分] (2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0，解得n ≥20. 即最早可望在20年后脱贫．[12分]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．温馨提醒(1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q与P的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误.方法与技巧1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．失误与防范1．函数模型应用不当是常见的解题错误．所以，正确理解题意，选择适当的函数模型是正确解决这类问题的前提和基础．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1. 有一批材料可以围成200 m长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为 ( )A ．1 000 m 2B ．2 000 m 2C ．2 500 m 2D ．3 000 m 2答案 C解析 设围成的场地宽为x m ，面积为y m 2， 则y ＝3x (200－4x )×13＝－4x 2＋200x (0<x <50)． 当x ＝25时，y max ＝25×100＝2 500. ∴围成的矩形场地的最大面积为2 500 m 2.2． (2011·湖北改编)里氏震级M 的计算公式：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．( )A ．6 1 000B ．4 1 000C ．6 10 000D ．4 10 000答案 C解析 由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6，∴此次地震的震级为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝(lg A 1－lg A 0)－(lg A 2－lg A 0)＝9－5＝4.∴A 1A 2＝104＝10 000，∴9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．3． 将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15答案 B解析 由已知条件可得a e 5n＝a 2，e 5n ＝12.由a e nt ＝a 8，得e nt＝18，所以t ＝15，m ＝15－5＝10.4. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)为二次函数关系(如右图所示)，则每辆客车营运多少年时，其营运的平均利润最大( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6答案 C解析 由题图可得营运总利润y ＝－(x －6)2＋11，则营运的年平均利润y x＝－x －25x＋12，∵x ∈N *，∴y x≤－2x ·25x＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时取“＝”．∴x ＝5时营运的平均利润最大． 二、填空题(每小题5分，共15分)5． 某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y ＝e kt(其中k 为常数，t表示时间，单位：小时，y 表示病毒个数)，则k ＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个． 答案 2ln 2 1 024解析 当t ＝0.5时，y ＝2，∴2＝e 12k ，∴k ＝2ln 2，∴y ＝e2t ln 2，当t ＝5时，∴y ＝e10ln 2＝210＝1 024.6． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元， 则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤38＋2.15x －3＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85x －8＋1，x >8由y ＝22.6，解得x ＝9.7． 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1) 答案 2037解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x －2 008>20，x － 2 008>lg107lg 8180＝1－lg 74lg 3－3lg 2－1＝28.7，则x >2 036.7，即x ＝2 037. 三、解答题(共22分)8． (10分)某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：p ＝2(1－kt )(x －b )2，其中k ，b 均为常数．当关税税率t ＝75%时，若市场价格为5千元，则市场供应量为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件． (1)试确定k ，b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：q ＝2－x，当p ＝q 时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值．解 (1)由已知⎩⎪⎨⎪⎧1＝21－0.75k 5－b 22＝21－0.75k7－b 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧1－0.75k 5－b 2＝01－0.75k7－b2＝1.解得b ＝5，k ＝1.(2)当p ＝q 时，2(1－t )(x －5)2＝2－x， ∴(1－t )(x －5)2＝－x ⇒t ＝1＋x x －52＝1＋1x ＋25x－10而f (x )＝x ＋25x在(0,4]上单调递减，∴当x ＝4时，f (x )有最小值414，故当x ＝4时，关税税率的最大值为500%.9．(12分)如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a >b )．在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出这个最大面积． 解 设四边形EFGH 的面积为S ， 由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DHG ＝12(a －x )·(b －x )．由此得S ＝ab －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋12a －xb －x＝－2x 2＋(a ＋b )x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b28.函数的定义域为{x |0<x ≤b }， 因为a >b >0，所以0<b <a ＋b2.若a ＋b4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b4时面积S 取得最大值a ＋b28；若a ＋b4>b ，即a >3b 时，函数S ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b 28在(0，b ]上是增函数，因此，当x ＝b 时，面积S 取得最大值ab －b 2. 综上可知，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b4时，四边形EFGH 的面积取得最大值a ＋b28；若a >3b ，当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． 某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x 2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元答案 B解析 依题意可设甲销售x 辆，则乙销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30 (x ≥0)．∴当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．2. 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为( ) A ．x ＝15，y ＝12 B ．x ＝12，y ＝15 C ．x ＝14，y ＝10 D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15.3． 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图像上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．二、填空题(每小题5分，共15分)4. 如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为____________． 答案 30 cm 、20 cm解析 设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600， 则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2) ＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486， 当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486.5． 某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为______________． 答案 y ＝a4x (x ∈N *)解析 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝ 54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N *)． 6． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个．答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求，则⎩⎪⎨⎪⎧ N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧ K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4.故至少同时开放4个窗口才能满足要求．三、解答题7． (13分)(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0≤x ≤20，13200－x ， 20<x ≤200. (2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x 200－x ， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x ) ≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋200－x 22＝10 0003， 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003. 综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章22
结论
M 为最大值
M 为最小值
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) √ (3) × (4) × (5) × (6) √ C
C 43，1 (1，＋∞)
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
函数单调性的判断
(1)证明 设 x1，x2 是任意两个正数，且 0<x1<x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋xa1－x2＋xa2＝x1x－1x2x2(x1x2－a)． 当 0<x1<x2≤ a时，0<x1x2<a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)>0，即 f(x1)>f(x2)， 所以函数 f(x)在(0， a]上是减函数； 当 a≤x1<x2 时，x1x2>a，又 x1－x2<0， 所以 f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)，
＝ax1x22－x21－ax11－xa22x－2x121＋ ax2
＝axx221－－x11xx122x－2＋11.
∵－1<x1<x2<1， ∴x2－x1>0，x1x2＋1>0，
(x21－1)(x22－1)>0.
又∵a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴函数 f(x)在(－1,1)上为减函数．
－3 在区间(－∞，4)上是单调递增
的，则实数 a 的取值范围是( )
A．a>－14 C．－14≤a<0
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.3
当 x<0 时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；
当 x＝0 时，f(0)＝0，也满足 f(－x)＝－f(x)．
故该函数为奇函数．
题型二 函数周期性的应用
例 2 (1)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1 时，f(x)＝－(x＋2)2；
1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数 f(x)＝0，x∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．
(2)若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称．
(3)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
x (4)若函数 f(x)＝x－2x＋a为奇函数，则 a＝2.
D．2
( × )
( √ )
( √ )
( √ )
( √ )
答案 A
解析 f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.
3． 已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是
1 A．－3
答案 B
B.3
解析 依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，
1
∴a＝3，则 a＋b＝3.
(－1,0)∪Βιβλιοθήκη 1，＋∞)．题型一 判断函数的奇偶性 例 1 判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 9－x2＋ x2－9； 1－x
(2)f(x)＝(x＋1) 1＋x； 4－x2
(3)f(x)＝|x＋3|－3. 思维启迪 确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，系电，力根通保据过护生管高产线中工敷资艺设料高技试中术卷资0配不料置仅试技可卷术以要是解求指决，机吊对组顶电在层气进配设行置备继不进电规行保范空护高载高中与中资带资料负料试荷试卷下卷问高总题中体2资2配，料置而试时且卷，可调需保控要障试在各验最类；大管对限路设度习备内题进来到行确位调保。整机在使组管其高路在中敷正资设常料过工试程况卷中下安，与全要过，加度并强工且看作尽护下可关都能于可地管以缩路正小高常故中工障资作高料；中试对资卷于料连继试接电卷管保破口护坏处进范理行围高整，中核或资对者料定对试值某卷，些弯审异扁核常度与高固校中定对资盒图料位纸试置，卷.编保工写护况复层进杂防行设腐自备跨动与接处装地理置线，高弯尤中曲其资半要料径避试标免卷高错调等误试，高方要中案求资，技料编术试写5交、卷重底电保要。气护设管设装备线备置4高敷、调动中设电试作资技气高，料术课中并3试中、件资且卷包管中料拒试含路调试绝验线敷试卷动方槽设技作案、技术，以管术来及架避系等免统多不启项必动方要方式高案，中；为资对解料整决试套高卷启中突动语然过文停程电机中气。高课因中件此资中，料管电试壁力卷薄高电、中气接资设口料备不试进严卷行等保调问护试题装工，置作合调并理试且利技进用术行管，过线要关敷求运设电行技力高术保中。护资线装料缆置试敷做卷设到技原准术则确指：灵导在活。分。对线对于盒于调处差试，动过当保程不护中同装高电置中压高资回中料路资试交料卷叉试技时卷术，调问应试题采技，用术作金是为属指调隔发试板电人进机员行一，隔变需开压要处器在理组事；在前同发掌一生握线内图槽部纸内故资，障料强时、电，设回需备路要制须进造同行厂时外家切部出断电具习源高题高中电中资源资料，料试线试卷缆卷试敷切验设除报完从告毕而与，采相要用关进高技行中术检资资查料料和试，检卷并测主且处要了理保解。护现装场置设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
2021届步步高数学大一轮复习讲义(文科)第二章 2.5指数与指数函数
§2.5指数与指数函数1．分数指数幂(1)mna＝n a m(a>0，m，n∈N*，且n>1)；mna ＝1mna(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质：a r a s＝a r＋s，(a r)s＝a rs，(ab)r＝a r b r，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 2．指数函数的图象与性质概念方法微思考1.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系为．提示c>d>1>a>b>02．结合指数函数y＝a x(a>0，a≠1)的图象和性质说明a x>1(a>0，a≠1)的解集是否与a的取值有关．提示当a>1时，a x>1的解集为{x|x>0}；当0<a<1时，a x>1的解集为{x|x<0}．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)n a n ＝(na )n ＝a (n ∈N *)．( × )(2)分数指数幂mna 可以理解为mn 个a 相乘．( × )(3)函数y ＝3·2x 与y ＝2x＋1都不是指数函数．( √ )(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .( × )题组二 教材改编2．化简416x 8y 4(x <0，y <0)＝ . 答案 －2x 2y3．若函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)的图象经过点P ⎝⎛⎭⎫2，12，则f (－1)＝ . 答案2解析 由题意知12＝a 2，所以a ＝22，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫22x ，所以f (－1)＝⎝⎛⎭⎫22－1＝ 2. 4．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1435-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是 ．答案 c <b <a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数，∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3432-⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1，∴c <b <a .题组三 易错自纠5．计算：3(1＋2)3＋4(1－2)4＝ . 答案 2 26．已知函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案 12或32解析 当0<a <1时，a －a 2＝a2，∴a ＝12或a ＝0(舍去)．当a >1时，a 2－a ＝a2，∴a ＝32或a ＝0(舍去)．综上所述，a ＝12或32.指数幂的运算1．(2019·四川绵阳诊断)计算23×31.5×612＝ . 答案 6解析 原式＝136121312322⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1113621133223323-⨯⨯⨯⨯⨯＝ 1112361133226.3-+++⨯⨯=＝2.113322(0.1)(1)4a b ---⎛⎫⎪⋅⎭⋅⎝(a >0，b >0)＝ . 答案 85解析 原式＝33322233222485.10a b a b--⋅=3．已知x ＋y ＝12，xy ＝9，且x <y ，则11221122x y x y-+ ＝ .答案 －33解析 ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，∴211112222111122222()122961.1832()1229x y x y xyx y x y xy⎛⎫-+--⨯⎪==== ⎪⎪++++⨯⎝⎭由题意知0<x<y，∴112211220,0,xy yx<+> -∴112211223 x yx y-=-+思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．指数函数的图象及应用例1(1)函数y＝x|x|ax(0<a<1)的图象的大致形状是()答案 D解析 因为y ＝xa x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >0，－a x，x <0，且0<a <1，所以根据指数函数的图象和性质，当x ∈(0，＋∞)时函数是减函数；当x ∈(－∞，0)时函数是增函数，所以函数在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增，故选D.(2)若曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则实数b 的取值范围为________． 答案 (0,1)解析 曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，则b 的取值范围是(0,1)．思维升华(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练1(1)函数y＝a|x|(a>1)的图象是()答案 B解析函数y＝a|x|(a>1)是偶函数，当x≥0时，y＝a x，又已知a>1，故选B.(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．答案 1解析方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数的图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．指数函数的性质及应用命题点1 比较指数式的大小例2 (1)已知a ＝2312⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝432-，c ＝1312⎛⎫⎪⎝⎭，则下列关系中正确的是( ) A ．c <a <b B ．b <a <c C ．a <c <b D ．a <b <c答案 B解析 因为b ＝4312⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上为减函数，43>23>13，所以4312⎛⎫ ⎪⎝⎭<2312⎛⎫ ⎪⎝⎭<1312⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即b <a <c .(2)设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <c D ．b <c <a答案 C解析 ∵函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5， ∴1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.∵函数y ＝1.5x 在(0，＋∞)上是增函数，0.6>0， ∴1.50.6>1.50＝1，即c >1.综上，b <a <c . 命题点2 解简单的指数方程或不等式例3 (1)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为 ．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)答案 C解析 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a－7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1，即0≤a <1. 故a 的取值范围是(－3,1)，故选C. 命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)函数f (x )＝22112x x ⎛⎫⎪⎝⎭－＋＋的单调减区间为 ．答案 (－∞，1]解析 设u ＝－x 2＋2x ＋1， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫12u在R 上为减函数， ∴函数f (x )＝22112x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭－＋＋的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]， ∴f (x )的减区间为(－∞，1]． (2)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是 ． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y＝2t在R上单调递增，所以要使函数f (x)＝2|2x－m|在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m≤4，所以m的取值范围是(－∞，4]．函数f (x)＝4x－2x＋1的值域是．答案[－1，＋∞)解析设t＝2x(t>0)，则y＝t2－2t＝(t－1)2－1(t>0)．当t＝1时，y min＝－1，无最大值．∴函数f (x)＝4x－2x＋1的值域为[－1，＋∞)．若函数f (x)＝24313ax x⎛⎫⎪⎝⎭－＋有最大值3，则a＝.答案 1解析 令h (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )， 由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎨⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.思维升华 (1)利用指数函数的函数性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(2020·贵阳市、安顺市联考)已知1113522,3,5,a b c ===则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．b <c <a答案 C解析 ∵1113522,3,5,a b c === 很明显，a ，b ，c 都是正实数， ∵b 6－a 6＝9－8＝1>0，∴b 6>a 6，∴b >a . ∵a 10－c 10＝32－25>0，∴a 10>c 10，∴a >c . 综上可得，b >a >c .(2)若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞ )D ．(－∞ ，－2]答案 B解析 由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，＋∞)上单调递减，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．故选B.(3)若不等式1＋2x ＋4x ·a ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是____________． 答案 ⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 解析 从已知不等式中分离出实数a ，得a ≥－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x . ∵函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x在R 上是减函数，∴当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34. 故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－34，＋∞.1．若实数a >0，则下列等式成立的是( ) A ．(－2)－2＝4B ．2a －3＝12a 3C ．(－2)0＝－1D ．414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a答案 D解析 对于A ，(－2)－2＝14，故A 错误；对于B,2a －3＝2a3，故B 错误；对于C ，(－2)0＝1，故C 错误；对于D ，414a -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1a，故D 正确．2．下列函数中值域为正实数集的是( ) A ．y ＝－5x B ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－xC ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1D ．y ＝3|x |答案 B3．已知a ＝0.860.75，b ＝0.860.85，c ＝1.30.86，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >b >a D ．c >a >b 答案 D解析 ∵函数y ＝0.86x 在R 上是减函数， ∴0<0.860.85<0.860.75<1， 又1.30.86>1，∴c >a >b .4．已知a ，b ∈(0,1)∪(1，＋∞)，当x >0时，1<b x <a x ，则( ) A ．0<b <a <1 B ．0<a <b <1 C ．1<b <a D ．1<a <b答案 C解析 ∵当x >0时，1<b x ，∴b >1. ∵当x >0时，b x <a x ，∴当x >0时，⎝⎛⎭⎫a b x>1. ∴ab>1，∴a >b ，∴1<b <a ，故选C. 5．函数f (x )＝a x －1a(a >0，a ≠1)的图象可能是( )答案 D解析 方法一 当a >1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，A ，B 都不符合；当0<a <1时，将y ＝a x 的图象向下平移1a 个单位长度得f (x )＝a x －1a 的图象，而1a 大于1，故选D.方法二 函数f (x )的图象恒过点(－1,0)，只有选项D 中的图象符合．6．(2020·四川南充一中模拟)若函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点(3,2)，则m ＋n ＝ . 答案 7解析 ∵函数y ＝a x －m ＋n －3(a >0且a ≠1)的图象恒过定点， 令x －m ＝0，可得x ＝m ，y ＝n －2，可得函数的图象经过定点(m ，n －2)．∴m ＝3，n －2＝2，解得m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是 ．答案 ⎝⎛⎦⎤23，34解析 若函数 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x，x >1，(2－3a )x ＋1，x ≤1是R上的减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2－3a <0，a ≤2－3a ＋1，解得a ∈⎝⎛⎦⎤23，34.8．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是 ． 答案 ⎝⎛⎭⎫0，12 解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根⇔函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0<a <1时，如图①， 所以0<2a <1，即0<a <12.②当a >1时，如图②， 而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12.9．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ . 答案 －32解析 ①当0<a <1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递减，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝0，f (0)＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，此时a ＋b ＝－32. ②当a >1时，函数 f (x )在[－1,0]上单调递增，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝－1，f (0)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，显然无解． 所以a ＋b ＝－32.10．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是 ． 答案 (－1,2)解析 原不等式变形为m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x ， 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，－1]上是减函数， 所以⎝⎛⎭⎫12x ≥⎝⎛⎭⎫12－1＝2，当x ∈(－∞，－1]时，m 2－m <⎝⎛⎭⎫12x恒成立等价于m 2－m <2，解得－1<m <2. 11．求函数f (x )＝－4x －2x ＋1＋3的定义域、值域． 解 ∵－4x －2x ＋1＋3≥0， 即(2x )2＋2·2x －3≤0.令t ＝2x >0，∴t 2＋2t －3≤0， ∴(t －1)(t ＋3)≤0，∴0<t ≤1.∴2x ≤1.∴x ≤0.∴函数f (x )的定义域为(－∞，0]． 令y ＝－t 2－2t ＋3＝－(t ＋1)2＋4(0<t ≤1)．对称轴t ＝－1.∴函数y 在(0,1]上单调递减． ∴0≤y <3.∴函数f (x )的值域为[0，3)．12．已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式⎝⎛⎭⎫1a x ＋⎝⎛⎭⎫1b x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． 解 (1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24.所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，b ＝3.所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x －m ≥0恒成立，即m ≤⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x与y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上均为减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 在(－∞，1]上也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫13x 有最小值56，所以m ≤56，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，56.13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝⎛⎭⎫12x ，a ≤x <0，－x 2＋2x ，0≤x ≤4的值域是[－8,1]，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．[－3,0) C ．[－3，－1]D ．{－3}答案 B解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]，当a ≤x <0时，f (x )∈⎣⎡⎭⎫－12a ，－1，所以⎣⎡⎭⎫－12a ，－1[－8,1]，即－8≤－12a <－1，即－3≤a <0.所以实数a 的取值范围是[－3，0)． 14．函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是 ．答案 ⎣⎡⎦⎤34，57解析 令t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，则y ＝t 2－t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t －122＋34， ∵x ∈[－3,2]，∴t ∈⎣⎡⎦⎤14，8，∴当t ＝12时，y min ＝34， 当t ＝8时，y max ＝57.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤34，57.15．设f (x )＝|2x －1－1|，a <c 且f (a )>f (c )，则2a ＋2c ______4.(选填“>”“<”“＝”) 答案 <解析 f (x )在(－∞，1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数，故结合条件知必有a <1. 若c ≤1，则2a <2,2c ≤2，故2a ＋2c <4；若c >1，则由f (a )>f (c )，得1－2a －1>2c －1－1，即2c －1＋2a －1<2，即2a ＋2c <4.综上，总有2a ＋2c <4.16．已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋4(－1≤x ≤2)． (1)若λ＝32，求函数f (x )的值域； (2)若方程f (x )＝0有解，求实数λ的取值范围．解 (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋4 ＝⎝⎛⎭⎫122x －2λ·⎝⎛⎭⎫12x ＋4(－1≤x ≤2)． 设t ＝⎝⎛⎭⎫12x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋4⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋4 ＝⎝⎛⎭⎫t －322＋74⎝⎛⎭⎫14≤t ≤2. 所以g (t )max ＝g ⎝⎛⎭⎫14＝5316，g (t )min ＝g ⎝⎛⎭⎫32＝74. 所以f (x )max ＝5316，f (x )min ＝74， 故函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤74，5316.(2)方程f (x )＝0有解可转化为λ＝2·2x ＋12·12x (－1≤x ≤2)． 设φ(x )＝2·2x ＋12·2x ⎝⎛⎭⎫12≤2x ≤4， 当2x ＝12，即x ＝－1时，φ(x )min ＝2； 当2x ＝4，即x ＝2时，φ(x )max ＝658. 所以函数φ(x )的值域为⎣⎡⎦⎤2，658. 故实数λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤2，658.。
2015步步高一轮文科第二篇2.9
解析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
二次函数模型
【例 1】 某跳水运动员在一次跳水训练时 的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段， 已知跳水板 AB 长为 2 m，跳水板距水面 CD 的高 BC 为 3 m，CE＝5 m，CF＝6 m， 为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线 应在离起跳点 h m(h≥1)时达到距水面最大高度 4 m，规定：以 CD 为横轴，CB 为纵轴建立直角坐标系. (1)当 h＝1 时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2)若跳水运动员在区域 EF 内入水时才能达到压水花的训练要 求，求达到压水花的训练要求时 h 的取值范围.
项目能否获利？如果获利，求 题目中月处理成本与月处理量
出最大利润；如果不获利，则
的关系为分段函数关系，项目
国家每月至少需要补贴多少元
才能使该项目不亏损？
获利和月处理量的关系也是分
(2)该项目每月处理量为多少吨 段函数关系.
时，才能使每吨的平均处理成
本最低？
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
分段函数模型
(1)当 x∈[200,300]时，判断该 项目能否获利？如果获利，求 出最大利润；如果不获利，则
思维启迪 解析 思维升华
①当 x∈[120,144)时，xy＝13x2－80x ＋5 040＝13(x－120)2＋240，
国家每月至少需要补贴多少元 才能使该项目不亏损？ (2)该项目每月处理量为多少吨 时，才能使每吨的平均处理成 本最低？
基础知识
【VIP专享】2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.1
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅 六蛔寄.内列察读 、虫生出蚯材 让标容生3根常蚓料 学本教活.了 据见身： 生，师的2、解 问的体巩鸟 总看活形作 用蛔 题线的固类 结雌动态业 手虫 自形练与 本雄学、三： 摸对 学动状习人 节蛔生结4、、收 一人 后物和同类 课虫活构请一蚯集 摸体 回并颜步关 重的动、学、蚓鸟 蚯的 答归色学系 点形教生生让在类 蚓危 问纳。习从 并状学理列学平的害 题线蚯四线人 归、意特出四生面体以形蚓、形类 纳大图点常、五观玻存 表及动的鸟请动文 本小引以见引、察璃现 ，预物身类 3学物明 节有言及的、导巩蚯上状 是防的体之生和历 课什根蚯环怎学固蚓和， 干感主是所列环史 学么据蚓节二样生练引牛鸟 燥染要否以举节揭 到不上适动、区回习导皮类 还的特分分蚯动晓 的同节于物让分答。学纸减 是方征节布蚓物起 一，课穴并学蚯课生上少 湿法。?广的教， 些体所居归在生蚓前回运的 润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原 的4蛔，处目类 习和活环.近在成前题蚯的因 ？了虫以。标就 生体的节身其实端并蚓快及 触解寄上知同 物表内特动体结验和总利的慢我 摸蚯生适识人 学有容点物前构并后结用生一国 蚯蚓在于与类 的什，的端中思端线问活样的 蚓人飞技有 基么引进主的的考?形题环吗十 体生行能着 本特出要几变以动，境？大 节活的1密 方征本“特节化下物.让并为珍 近习会形理切 法。课生征有以问的小学引什稀 腹性态解的 。2课物。什游题主.结生出么鸟 面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类 处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等 ，于些特适。蛔章形殊形征板，这资 是穴疾点于可虫我态结式。书生种料 光居病是寄的们结构，五小物典， 滑生？重生鸟内学构，学、结的型以 还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱 是如原活生结了功颜消固类构线鸟 粗形何因的存构腔能色化练适特形护 糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟 ？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。
2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章-2.5
对数的底数)的最大值是 m，且 f(x)
是偶函数，则 m＋μ＝________.
思维启迪 解析 答案 思维升华
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
指数函数的图像、性质
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图像如
思维启迪 解析 答案 思维升华
图所示，其中 a，b 为常数，则下列
数学 北（文）
§2.5 指数与指数函数
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．分数指数幂
mn (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a n ＝
am
(a>0，m，
1
n∈N＋，且
n>1)；正数的负分数指数幂的意义是
m
an
n ＝
am(a>0，m，n NhomakorabeaN＋，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0 ；0 的负 分数指数幂 没有意义 ．
2
a
3
10a 2
2b
3
b2
2
＝85.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型二
指数函数的图像、性质
【例 2】 (1)函数 f(x)＝ax－b 的图像如
图所示，其中 a，b 为常数，则下列
结论正确的是
()
A．a>1，b<0
B．a>1，b>0
C．0<a<1，b>0
D．0<a<1，b<0
(2)若函数 f (x) e-(x)2 (e 是自然
【步步高】高三数学大一轮复习讲义 第2章 函数的图象学案 苏教版
学案10 函数的图象导学目标： 1.掌握作函数图象的两种基本方法：描点法，图象变换法.2.掌握图象变换的规律，能利用图象研究函数的性质．自主梳理1．应掌握的基本函数的图象有：一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数等．2．利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④画出函数的图象．3．利用基本函数图象的变换作图： (1)平移变换：函数y ＝f (x ＋a )的图象可由y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到；函数y ＝f (x )＋a 的图象可由函数y ＝f (x )的图象向____(a >0)或向____(a <0)平移____个单位得到．(2)伸缩变换：函数y ＝f (ax ) (a >0)的图象可由y ＝f (x )的图象沿x 轴伸长(0<a <1)或缩短(____)到原来的1a倍得到；函数y ＝af (x ) (a >0)的图象可由函数y ＝f (x )的图象沿y 轴伸长(____)或缩短(______)为原来的____倍得到．(可以结合三角函数中的图象变换加以理解)(3)对称变换：①奇函数的图象关于______对称；偶函数的图象关于____轴对称； ②f (x )与f (－x )的图象关于____轴对称； ③f (x )与－f (x )的图象关于____轴对称； ④f (x )与－f (－x )的图象关于______对称；⑤f (x )与f (2a －x )的图象关于直线______对称；⑥曲线f (x ，y )＝0与曲线f (2a －x,2b －y )＝0关于点______对称；⑦|f (x )|的图象先保留f (x )原来在x 轴______的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；⑧f (|x |)的图象先保留f (x )在y 轴______的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到．自我检测1．(·北京改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向(填“左”或“右”)________平移________个单位长度，再向(填“上”或“下”)________平移________个单位长度．2．(·烟台一模)已知图1是函数y ＝f (x )的图象，则图2中的图象对应的函数可能是________(填序号)．①y ＝f (|x |)；②y ＝|f (x )|；③y ＝f (－|x |)；④y ＝－f (－|x |)．3．函数f (x )＝1x－x 的图象关于________对称．4．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．5．(·淮安模拟)已知f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)，若f (4)·g (－4)<0，则y ＝f (x )，y ＝g (x )在同一坐标系内的大致图象是________(填序号)．探究点一 作图例1 (1)作函数y ＝|x －x 2|的图象；(2)作函数y ＝x 2－|x |的图象；(3)作函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 作函数y ＝1|x |－1的图象．探究点二 识图 例2 (1)函数2log 2xy =|的图象大致是________(填入正确的序号)．(2)函数f (x )的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式是下列四者之一，正确的序号为________．①f (x )＝x ＋sin x ；②f (x )＝cos xx；③f (x )＝x cos x ；④f (x )＝x ·(x －π2)·(x －3π2)．变式迁移2 已知y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (1－x )的图象为________(填序号)．探究点三 图象的应用例3 若关于x 的方程|x 2－4x ＋3|－a ＝x 至少有三个不相等的实数根，试求实数a 的取值范围．变式迁移3 (·全国Ⅰ)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围为________．数形结合思想例 (5分)(·北京东城区一模)定义在R 上的函数y ＝f (x )是减函数，且函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，若s ，t 满足不等式f (s 2－2s )≤－f (2t －t 2)．则当1≤s ≤4时，ts的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 解析 因函数y ＝f (x －1)的图象关于(1,0)成中心对称，所以该函数的图象向左平移一个单位后的解析式为y ＝f (x )，即y ＝f (x )的图象关于(0,0)对称，所以y ＝f (x )是奇函数．又y ＝f (x )是R 上的减函数，所以s 2－2s ≥t 2－2t ，令y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，图象的对称轴为x ＝1，当1≤s ≤4时，要使s 2－2s ≥t 2－2t ，即s －1≥|t －1|，当t ≥1时，有s ≥t ≥1，所以14≤ts≤1；当t <1时，即s －1≥1－t ，即s ＋t ≥2，问题转化成了线性规划问题，画出由1≤s ≤4，t <1，s ＋t ≥2组成的不等式组的可行域.t s为可行域内的点到原点连线的斜率，易知－12≤ts<1.【突破思维障碍】当s ，t 位于对称轴x ＝1的两边时，如何由s 2－2s ≥t 2－2t 判断s ，t 之间的关系式，这时s ，t 与对称轴x ＝1的距离的远近决定着不等式s 2－2s ≥t 2－2t 成立与否，通过数形结合判断出关系式s －1≥1－t ，从而得出s ＋t ≥2，此时有一个隐含条件为t <1，再结合1≤s ≤4及要求的式子的取值范围就能联想起线性规划，从而突破了难点．要画出s ，t 所在区域时，要结合t s的几何意义为点(s ，t )和原点连线的斜率，确定s 为横轴，t 为纵轴．【易错点剖析】当得到不等式s 2－2s ≥t 2－2t 后，如果没有函数的思想将无法继续求解，得到二次函数后也容易只考虑s ，t 都在二次函数y ＝x 2－2x 的增区间[1，＋∞)内，忽略考虑s ，t 在二次函数对称轴两边的情况，考虑了s ，t 在对称轴的两边，也容易漏掉隐含条件t <1及联想不起来线性规划．1．掌握作函数图象的两种基本方法(描点法，图象变换法)，在画函数图象时，要特别注意到用函数的性质(如单调性、奇偶性等)解决问题．2．合理处理识图题与用图题(1)识图．对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性．(2)用图．函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合解题的思想方法，常用函数图象研究含参数的方程或不等式解集的情况．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(·重庆改编)函数f (x )＝4x＋12x 的图象关于______对称．2．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围为__________________．3．(·北京海淀区一模)在同一坐标系中画出函数y ＝log a x ，y ＝a x，y ＝x ＋a 的图象，可能正确的是________(填序号)．4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x， x ≤0x 2－2x ＋1， x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有四个不同的实数解，则实数a 的取值范围为________．5．设b >0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图象为下列之一，则a 的值为________．6．为了得到函数y ＝3×(13)x 的图象，可以把函数y ＝(13)x的图象向________平移________个单位长度．7．(·连云港模拟)若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a >0且a ≠1)的图象有2个公共点，则a 的取值范围为________．8．如图所示，向高为H 的水瓶A 、B 、C 、D 同时以等速注水，注满为止．(1)若水量V 与水深h 函数图象是下图的(a)，则水瓶的形状是________；(2)若水深h 与注水时间t 的函数图象是下图的(b)，则水瓶的形状是________． (3)若注水时间t 与水深h 的函数图象是下图的(c)，则水瓶的形状是________； (4)若水深h 与注水时间t 的函数的图象是图中的(d)，则水瓶的形状是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(·无锡模拟)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0. (1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间； (4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集； (5)求当x ∈[1,5)时函数的值域．10．(14分)当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围．11．(14分)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x >0)．(1)若g (x )＝m 有根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．答案 自主梳理3．(1)左 右 |a | 上 下 |a | (2)a >1 a >1 0<a <1 a (3)①原点 y ②y ③x ④原点 ⑤x ＝a ⑥(a ，b ) ⑦上方 ⑧右方 自我检测1．左 3 下 1 2．③3．坐标原点解析 ∵f (－x )＝－1x ＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，即f (x )的图象关于原点对称．4．(－1,0)解析 作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象知满足条件的x ∈(－1,0)．5．②解析 由f (4)·g (－4)<0得a 2·log a 4<0， ∴0<a <1. 课堂活动区例1 解 (1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x 2， 0≤x ≤1，－(x －x 2)，x >1或x <0， 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，0≤x ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14， x >1或x <0，其图象如图所示．(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，x <0，其图象如图所示．(3)作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 图象中x ≥0的部分，加上y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象中x >0的部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．变式迁移1 解 定义域是{x |x ∈R 且x ≠±1}，且函数是偶函数．又当x ≥0且x ≠1时，y ＝1x －1.先作函数y ＝1x 的图象，并将图象向右平移1个单位，得到函数y ＝1x －1(x ≥0且x ≠1)的图象(如图(a)所示)．又函数是偶函数，作关于y 轴对称图象，得y ＝1|x |－1的图象(如图(b)所示)．例2 解题导引 对于给定的函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化 趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．答案 (1)③ (2)③解析 (1)y ＝2|log 2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x(0<x <1)x (x >1)，所以图象画法正确的应为③.(2)由图象知f (x )为奇函数，排除④；又0，±π2，±32π为方程f (x )＝0的根，故应为③.变式迁移2 ①解析 因为f (1－x )＝f (－(x －1))，故y ＝f (1－x )的图象可以由y ＝f (x )的图象按照如下变换得到：先将y ＝f (x )的图象关于y 轴翻折，得y ＝f (－x )的图象，然后将y ＝f (－x )的图象向右平移一个单位，即得y ＝f (－x ＋1)的图象．故应为①.例3 解题导引 原方程重新整理为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，将两边分别设成一个函数并作出它们的图象，即求两图象至少有三个交点时a 的取值范围．方程的根的个数问题转化为函数图象交点个数问题，体现了《考纲》中函数与方程的重要思想方法．解 原方程变形为|x 2－4x ＋3|＝x ＋a ，于是，设y ＝|x 2－4x ＋3|，y ＝x ＋a ，在同一坐标系下分别作出它们的图象．如图．则当直线y ＝x ＋a 过点(1,0)时a ＝－1；当直线y ＝x ＋a 与抛物线y ＝－x 2＋4x －3相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋a y ＝－x 2＋4x －3，得，x 2－3x ＋a ＋3＝0， 由Δ＝9－4(a ＋3)＝0，得a ＝－34.由图象知当a ∈[－1，－34]时方程至少有三个根．变式迁移3 (1，54)解析 y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －12)2＋a －14， x ≥0，(x ＋12)2＋a －14， x <0.当其图象如图所示时满足题意．由图知⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a －14<1，解得1<a <54.课后练习区 1．y 轴解析 f (x )＝2x ＋2－x，因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数．所以f (x )图象关于y 轴对称． 2．(－1,0)∪(1，＋∞)解析 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，可以画出函数f (x )在(0，＋∞)上的图象．又f (x )为R 上的奇函数，其图象关于原点对称，根据对称性，画出函数在(－∞，0)上的图象．如图．由图象可知，f (x )>0的解集为(－1,0)∪(1，＋∞)． 3．④解析 ①、②、③中直线方程中的a 的范围与对数函数中的a 的范围矛盾． 4．0<a <1解析 由f 2(x )－af (x )＝0可得f (x )＝0或f (x )＝a ，画出函数y ＝f (x )的图象如图所示，显然当f (x )＝0时，只有一个实数解，所以f (x )＝a 时应有三个实数解． 结合图象不难得到0<a <1. 5．－1解析 ∵b >0，∴前两个图象不是给出的二次函数图象，又后两个图象的对称轴都在y 轴右边，∴－b2a>0，∴a <0，又∵图象过原点，∴a 2－1＝0，∴a ＝－1. 6．右 1解析 ∵y ＝3×(13)x ＝(13)x －1，∴y ＝(13)x 向右平移1个单位便得到y ＝(13)x －1.7．(0，12)解析 规范作图如下：由图知0<2a <1，所以a ∈(0，12)．8．(1)A (2)D (3)B (4)C9．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.…………………………………………(3分) (2)f (x )＝x |x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －4)＝(x －2)2－4， x ≥4，－x (x －4)＝－(x －2)2＋4， x <4.………………………………………………(7分) f (x )的图象如图所示．(3)由图可知，f (x )的减区间是[2,4]．……………………………………………………(9分) (4)由图象可知f (x )>0的解集为{x |0<x <4或x >4}．………………………………………………………………………(12分) (5)∵f (5)＝5>4，由图象知，函数在[1,5)上的值域为[0,5)．……………………………………………(14分)10．解 设f 1(x )＝(x －1)2，f 2(x )＝log a x ，要使当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，只需f 1(x )＝(x －1)2在(1,2)上的图象在f 2(x )＝log a x 的下方即可．当0<a <1时，由图象知显然不成立．……………………………………………………(5分)当a >1时，如图，要使在(1,2)上，f 1(x )＝(x －1)2的图象在f 2(x )＝log a x 的下方， 只需f 1(2)≤f 2(2)，即(2－1)2≤log a 2，log 2a ≥1.………………………………………………………………(12分) ∴1<a ≤2.………………………………………………………………………………(14分)11．解 (1)方法一 ∵x >0，∴g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e.故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，……………………………………………………………(4分) 因而只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有根．…………………………………………………(6分)方法二 作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：……………………………………………………………………………………………(4分) 可知若使g (x )＝m 有根，则只需m ≥2e.………………………………………………(6分)方法三 解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0Δ＝m 2－4e 2≥0…………………………………………(4分)等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0m ≥2e 或m ≤－2e ，故m ≥2e.…………………………………………………(6分)(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2.其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2.……………………………………………………………………(10分)故当m －1＋e 2>2e ，即m >－e 2＋2e ＋1时， g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．………………………………………………(14分)。
2015步步高一轮文科第二篇2.5
【例
1】化简：(1) a
a3b23 ab2
11
b4 2
4
a
1 3
b
1 3
思维启迪
(a>0，b>0)；
(2)(
－287)
2 3
＋
(0.002)
1 2
－
10(
5
－2)－1＋( 2－ 3)0.
解析
思维升华
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型一
指数幂的运算
思维启迪 解析 思维升华
【例
1】化简：(1) a
两解？
(2)已知定义在 R 上的函数 f(x) ＝2x－21|x|. ①若 f(x)＝32，求 x 的值；
② 若 2tf(2t) ＋ mf(t)≥0 对 于
t∈[1,2]恒成立，求实数 m 的取
值范围.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
指数函数的应用
【例 3】 (1)k 为何值时，方程
解析 (1)函数 y1＝(12)x与 y2＝(13)x的图象如 图，由(12)a＝(13)b 得 a<b<0 或 0<b<a 或 a＝ b＝0.
故①②⑤可能成立，③④不可能成立.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知实数 a，b 满足等式(12)a＝(13)b，下列五个关系式：
③0<a<1，b>0；④0<a<1，b<0.
(2)若函数
f(x)＝e
(
xu
步步高文科高考数学一轮复习1
§1.1 集合旳概念及其基本运算
基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素 （1）集合元素旳三个特征：__拟__定__性___、_互__异__性___、
__无__序__性___. （2）元素与集合旳关系是__属__于__或_不__属__于___关系，
用符号____或_____表达.
2 .
2
a
2.
综上知，当A B 时，a<-8或a≥2.
6分
（2）当a=0时，显然B A；
当a<0时，若B A，如图,
4 则 a
1 a
1 2, 2
a a
8 1.
2
1 2
a
0;
当a>0时，若B A，如图,
则4 a
1 a
2
1 2 ,
a a
2 . 2
0
a
2.
综上知，当B A时， 1 a 2
4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算旳常用措施,其中利用数轴图示法要尤其注意端点 是实心还是空心.
5.要注意A B、A∩B=A、A∪B=B、 这五个关系式旳等价性.
返回
B.{1，4，5}
（B ）
C.{4，5}
D.{1，5}
解析 ∵A={1，2，3}，B={2，3，4}，
∴A∩B={2，3}.
又U={1，2，3，4，5}，
∴ U(A∩B)={1，4，5}.
2.已知三个集合U,A，B及元素间旳关系如图所示，
则( UA)∩B等于
（A ）
A.{5，6}
B.{3，5，6}
思想措施 感悟提升
措施与技巧
1.集合中旳元素旳三个性质，尤其是无序性和互异性 在解题时经常用到.解题后要进行检验，要注重符号 语言与文字语言之间旳相互转化.
2019年文科数学步步高一轮复习word版2.7
§2.7 函数的图象1.描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线,画出函数的图象. 2.图象变换 (1)平移变换(2)对称变换①y ＝f (x )――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )； ②y ＝f (x )――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )； ③y ＝f (x )―――――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)―――――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1). (3)伸缩变换①y ＝f (x ) ―――――――――――――――――――――――→a ＞1横坐标缩短为原来的a倍，纵坐标不变0＜a ＜1横坐标伸长为原来的1y ＝f (ax ). ②y ＝f (x )――――――――――――――――――――――――→a ＞1纵坐标伸长为原来的横坐标不变＜a ＜1纵坐标缩短为原来的a 倍y ＝af (x ).(4)翻折变换①y ＝f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|. ②y ＝f (x )――――――――――――――→保留y 轴右边图象并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |). 知识拓展1.关于对称的三个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ,b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )的定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x ),则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.2.函数图象平移变换八字方针(1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当x ∈(0,＋∞)时,函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同.( × ) (2)函数y ＝af (x )与y ＝f (ax )(a ＞0且a ≠1)的图象相同.( × ) (3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称.( × )(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x ),则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称.( √ ) 题组二 教材改编2.[P35例5(3)]函数f (x )＝x ＋1x 的图象关于( )A.y 轴对称B.x 轴对称C.原点对称D.直线y ＝x 对称答案 C解析 函数f (x )的定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞)且f (－x )＝－f (x ),即函数f (x )为奇函数,故选C.3.[P23T2]小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是( )答案 C解析 小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.故选C. 4.[P75A 组T10]如图,函数f (x )的图象为折线ACB ,则不等式f (x )≥log 2(x ＋1)的解集是__________.答案 (－1,1]解析 在同一坐标系内作出y ＝f (x )和y ＝log 2(x ＋1)的图象(如图).由图象知不等式的解集是(－1,1].题组三 易错自纠5.下列图象是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0，x －1，x ≥0的图象的是( )答案 C6.将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位长度得到函数__________的图象.答案 f (－x ＋1)解析 图象向右平移1个单位长度,是将f (－x )中的x 变成x －1.7.设f (x )＝|lg(x －1)|,若0＜a ＜b 且f (a )＝f (b ),则ab 的取值范围是________. 答案 (4,＋∞)解析 画出函数f (x )＝|lg(x －1)|的图象如图所示.由f (a )＝f (b )可得－lg(a －1)＝lg(b －1),解得ab ＝a ＋b ＞2ab (由于a ＜b ,故取不到等号),所以ab ＞4.题型一 作函数的图象作出下列函数的图象： (1)y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |； (2)y ＝|log 2(x ＋1)|； (3)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象,保留y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ≥0的部分,再作出y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象中x ＞0部分关于y 轴的对称部分,即得y ＝⎝⎛⎭⎫12|x |的图象,如图①实线部分.(2)将函数y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位,再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去,即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象,如图②实线部分.(3)∵y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1，x ≥0，x 2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数,先用描点法作出[0,＋∞)上的图象,再根据对称性作出(－∞,0)上的图象,如图③实线部分.思维升华 图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象,如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋1x的函数.(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序. 题型二 函数图象的辨识典例 (1)(2018届东莞外国语学校月考)已知函数f (x )对任意的x ∈R 有f (x )＋f (－x )＝0,且当x ＞0时,f (x )＝ln(x ＋1),则函数f (x )的大致图象为( )答案 A解析 f (x )为奇函数,图象关于原点对称,将y ＝ln x (x ＞1)的图象向左平移1个单位得到y ＝ln(x ＋1)(x ＞0)的图象.(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示,则y ＝－f (2－x )的图象为( )答案 B解析 方法一 由y ＝f (x )的图象知,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0≤x ≤1，1，1<x ≤2.当x ∈[0,2]时,2－x ∈[0,2],所以f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x <1，2－x ，1≤x ≤2，故y ＝－f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x <1，x －2，1≤x ≤2.图象应为B.方法二 当x ＝0时,－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时,－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项,可知应选B.思维升华 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置；从函数的值域,判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性； (4)从函数的周期性,判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.跟踪训练 (1)(2018届全国名校联考)函数y ＝|x |a xx(a ＞1)的图象的大致形状是( )答案 C解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ，x >0，－a x ，x <0(a ＞1),对照图象选C.(2)(2017·安徽“江南十校”联考)函数y ＝log 2(|x |＋1)的图象大致是( )答案 B解析 y ＝log 2(|x |＋1)是偶函数,当x ≥0时,y ＝log 2(x ＋1)是增函数,其图象是由y ＝log 2x 的图象向左平移1个单位得到,且过点(0,0),(1,1),只有选项B 满足.题型三 函数图象的应用命题点1 研究函数的性质典例 (1)设函数y ＝2x －1x －2,关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点,这两点的连线平行于x 轴； ②任意两点的连线都不平行于y 轴； ③关于直线y ＝x 对称； ④关于原点中心对称. 其中正确的是________. 答案 ②③解析 y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2,图象如图所示,可知②③正确.(2)(2017·沈阳一模)已知函数f (x )＝|log 3x |,实数m ,n 满足0＜m ＜n ,且f (m )＝f (n ),若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,则nm ＝________.答案 9解析 作出函数f (x )＝|log 3x |的图象,观察可知0＜m ＜1＜n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2,n ]上的最大值为2,从图象分析应有f (m 2)＝2,∴log 3m 2＝－2,∴m 2＝19.从而m ＝13,n ＝3,故nm ＝9.命题点2 解不等式典例 函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图象如图所示,那么不等式f (x )cos x ＜0的解集为________________.答案 ⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2 解析 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时,y ＝cos x ＞0. 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时,y ＝cos x ＜0. 结合y ＝f (x ),x ∈[0,4]上的图象知,当1＜x ＜π2时,f (x )cos x ＜0.又函数y ＝f (x )cos x 为偶函数,所以在[－4,0]上,f (x )cos x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1, 所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－π2，－1∪⎝⎛⎭⎫1，π2. 命题点3 求参数的取值范围典例 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12log x ，x >0，2x ，x ≤0，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不等的实数根,则实数k 的取值范围是________.答案 (0,1]解析 作出函数y ＝f (x )与y ＝k 的图象,如图所示,由图可知k ∈(0,1].(2)设函数f (x )＝|x ＋a |,g (x )＝x －1,对于任意的x ∈R ,不等式f (x )≥g (x )恒成立,则实数a 的取值范围是__________. 答案 [－1,＋∞)解析 如图作出函数f (x )＝|x ＋a |与g (x )＝x －1的图象,观察图象可知,当且仅当－a ≤1,即a ≥－1时,不等式f (x )≥g (x )恒成立,因此a 的取值范围是[－1,＋∞).思维升华 (1)注意函数图象特征与性质的对应关系.(2)方程、不等式的求解可转化为函数图象的交点和上下关系问题.跟踪训练 (1)已知函数f (x )＝|x －2|＋1,g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫12，1解析 先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象,如图所示,当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1,当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12,故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时,k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，1.(2)已知函数y ＝f (x )的图象是圆x 2＋y 2＝2上的两段弧,如图所示,则不等式f (x )＞f (－x )－2x 的解集是__________.答案 (－1,0)∪(1,2]解析 由图象可知,函数f (x )为奇函数,故原不等式可等价转化为f (x )＞－x .在同一直角坐标系中分别画出y ＝f (x )与y ＝－x 的图象,由图象可知不等式的解集为 (－1,0)∪(1,2].高考中的函数图象及应用问题考点分析 高考中考查函数图象问题主要有函数图象的识别,函数图象的变换及函数图象的应用等,多以小题形式考查,难度不大,常利用特殊点法、排除法、数形结合法等解决.熟练掌握高中涉及的几种基本初等函数是解决前提. 一、函数的图象和解析式问题典例1 (1)(2017·太原二模)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的图象大致为( )(2)已知函数f (x )的图象如图所示,则f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝ln|x |xB.f (x )＝e xxC.f (x )＝1x 2－1D.f (x )＝x －1x解析 (1)函数f (x )＝ln|x －1||1－x |的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞),且图象关于x ＝1对称,排除B,C.取特殊值,当x ＝12时,f (x )＝2ln 12＜0,故选D.(2)由函数图象可知,函数f (x )为奇函数,应排除B,C.若函数为f (x )＝x －1x ,则x →＋∞时,f (x )→＋∞,排除D,故选A. 答案 (1)D (2)A 二、函数图象的变换问题典例2 若函数y ＝f (x )的图象如图所示,则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为( )解析 由y ＝f (x )的图象得到y ＝－f (x ＋1)的图象,需要先将y ＝f (x )的图象关于x 轴对称得到y ＝－f (x )的图象,然后再向左平移一个单位得到y ＝－f (x ＋1)的图象,根据上述步骤可知C 正确. 答案 C三、函数图象的应用典例3 (1)若函数f (x )＝(2－m )xx 2＋m的图象如图所示,则m 的取值范围为( )A.(－∞,－1)B.(－1,2)C.(0,2)D.(1,2)解析 根据图象可知,函数图象过原点, 即f (0)＝0,∴m ≠0.当x ＞0时,f (x )＞0,∴2－m ＞0,即m ＜2, 函数f (x )在[－1,1]上是单调递增的, ∴f ′(x )＞0在[－1,1]上恒成立, f ′(x )＝(2－m )(x 2＋m )－2x (2－m )x(x 2＋m )2＝(m －2)(x 2－m )(x 2＋m )2＞0,∵m －2＜0,∴只需要x 2－m ＜0在[－1,1]上恒成立, ∴(x 2－m )max ＜0,∴m ＞1, 综上所述,1＜m ＜2,故选D. 答案 D(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 018x ，x >1，若a ,b ,c 互不相等,且f (a )＝f (b )＝f (c ),则a ＋b ＋c 的取值范围是( ) A.(1,2 018) B.[1,2 018] C.(2,2 019)D.[2,2 019]解析 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，0≤x ≤1，log 2 018x ，x >1的图象如图所示,不妨令a ＜b ＜c ,由正弦曲线的对称性可知a ＋b ＝1,而1＜c ＜2 018, 所以2＜a ＋b ＋c ＜2 019,故选C. 答案 C1.(2018届珠海二中月考)函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 易知x →＋∞时,y →＋∞,排除C ；x →－∞时,y →－∞,排除D ；又当x ＝2和x ＝4时,y ＝0,故选A.2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，13log x ，x >1，则y ＝f (1－x )的图象是( )答案 C解析 方法一 画出y ＝f (x )的图象,再作其关于y 轴对称的图象,得到y ＝f (－x )的图象,再将所得图象向右平移1个单位,得到y ＝f (－(x －1))＝f (－x ＋1)的图象.方法二 ∵y ＝f (1－x )过点(0,3),可排除A ；过点(1,1),可排除B ；又x ＝－12时,f (1－x )＝f ⎝⎛⎭⎫32＜0,可排除D.故选C.3.(2018届全国名校联考)函数f (x )＝e 2x ＋1e x (e 是自然对数的底数)的图象( )A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线y ＝x 对称答案 B解析 ∵f (x )＝e x ＋e －x ,∴f (x )为偶函数,图象关于y 轴对称.4.已知函数f (x )＝2ln x ,g (x )＝x 2－4x ＋5,则方程f (x )＝g (x )的根的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 C解析 在平面直角坐标系内作出f (x ),g (x )的图象如图所示,由已知g (x )＝(x －2)2＋1,得其顶点为(2,1),又f (2)＝2ln 2∈(1,2),可知点(2,1)位于函数f (x )＝2ln x 图象的下方,故函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象有2个交点.5.函数f(x)的图象向右平移1个单位,所得图象与曲线y＝e x关于y轴对称,则f(x)的解析式为()A.f(x)＝e x＋1B.f(x)＝e x－1C.f(x)＝e－x＋1D.f(x)＝e－x－1答案 D解析与y＝e x的图象关于y轴对称的函数为y＝e－x.依题意,f(x)的图象向右平移一个单位,得y ＝e－x的图象.∴f(x)的图象由y＝e－x的图象向左平移一个单位得到.∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.6.对于函数f(x)＝lg(|x－2|＋1),给出如下三个命题：①f(x＋2)是偶函数；②f(x)在区间(－∞,2)上是减函数,在区间(2,＋∞)上是增函数；③f(x)没有最小值.其中正确的个数为()A.1B.2C.3D.0答案 B解析作出f(x)的图象,可知f(x)在(－∞,2)上是减函数,在(2,＋∞)上是增函数；由图象可知函数存在最小值0.所以①②正确.7.函数f(x)＝|x|－cos x在(－∞,＋∞)内有______个零点.答案 2解析在同一坐标系内画出两个函数y1＝|x|和y2＝cos x的图象如图所示.这两个函数的图象有且只有2个交点,即函数f(x)有2个零点.8.设函数y＝f(x＋1)是定义在(－∞,0)∪(0,＋∞)上的偶函数,在区间(－∞,0)上是减函数,且图象过点(1,0),则不等式(x－1)f(x)≤0的解集为______________.答案{x|x≤0或1＜x≤2}解析画出f(x)的大致图象如图所示.不等式(x －1)f (x )≤0可化为⎩⎪⎨⎪⎧ x >1，f (x )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x <1，f (x )≥0.由图可知符合条件的解集为{x |x ≤0或1＜x ≤2}.9.(2017·银川调研)给定min{a ,b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，b <a ，已知函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4,若动直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点,则实数m 的取值范围为__________. 答案 (4,5)解析 作出函数f (x )的图象,函数f (x )＝min{x ,x 2－4x ＋4}＋4的图象如图所示,由于直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有3个交点,数形结合可得m 的取值范围为(4,5).10.已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg|x |，x ≠0，1，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1,x 2,x 3,则x 1＋x 2＋x 3＝________. 答案 0解析 方程f (x )＝c 有三个不同的实数根等价于y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点,画出函数f (x )的图象(图略),易知c ＝1,且方程f (x )＝c 的一根为0,令lg|x |＝1,解得x ＝－10或10,故方程f (x )＝c 的另两根为－10和10,所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11.函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和为________. 答案 6解析 作出函数y ＝ln|x －1|的图象,又y ＝－2cos πx 的最小正周期为T ＝2,如图所示,两图象都关于直线x ＝1对称,且共有6个交点,由中点坐标公式可得所有交点的横坐标之和为6.12.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|. (1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间,并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}. 解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时,x ≤1或x ≥3,∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3，∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞,1],(2,3),(1,2],[3,＋∞),其中(－∞,1],(2,3)是单调减区间；(1,2],[3,＋∞)是单调增区间.(3)由f (x )的图象知,当0＜m ＜1时,f (x )＝m 有四个不相等的实根,所以M ＝{m |0＜m ＜1}.13.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1,x 2∈R ,若0＜|x 1|＜|x 2|,下列不等式成立的是( )A.f (x 1)＋f (x 2)＜0B.f (x 1)＋f (x 2)＞0C.f (x 1)－f (x 2)＞0D.f (x 1)－f (x 2)＜0答案 D解析 函数f (x )的图象如图实线部分所示,且f (－x )＝f (x ),从而函数f (x )是偶函数且在[0,＋∞)上是增函数, 又0＜|x 1|＜|x 2|,∴f (x 2)＞f (x 1),即f (x 1)－f (x 2)＜0.14.已知f (x )是以2为周期的偶函数,当x ∈[0,1]时,f (x )＝x ,且在[－1,3]内,关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ,k ≠－1)有四个根,则k 的取值范围是__________.答案 ⎝⎛⎭⎫－13，0 解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图所示,记y ＝k (x ＋1)＋1,∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1). 记B (2,0),由图象知,方程有四个根,即函数f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点, 故k AB ＜k ＜0,k AB ＝0－12－(－1)＝－13,∴－13＜k ＜0.15.(2017·黄山二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ln x ，x >0，－－x ，x ≤0与g (x )＝|x ＋a |＋1的图象上存在关于y 轴对称的点,则实数a 的取值范围是( ) A.R B.(－∞,－e] C.[e,＋∞) D.∅答案 C解析 设函数h (x )与函数f (x )的图象关于y 轴对称,则h (x )＝f (－x )＝⎩⎨⎧ln (－x )，x <0，－x ，x ≥0，作出h (x )与g (x )的函数图象如图所示.∵f (x )与g (x )的图象上存在关于y 轴对称的点, ∴函数h (x )与函数g (x )的图象有交点, ∴－a ≤－e,即a ≥e.故选C.16.已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称.(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋ax,且g (x )在区间(0,2]上为减函数,求实数a 的取值范围.解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ,y ),则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在函数h (x )的图象上,即2－y ＝－x －1x ＋2,∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0).(2)g (x )＝f (x )＋ax ＝x ＋a ＋1x ,g ′(x )＝1－a ＋1x 2.∵g (x )在(0,2]上为减函数,∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立,即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立,∴a ＋1≥4,即a ≥3,故实数a 的取值范围是[3,＋∞).。
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题型分类·深度剖析
题型一 作函数的图像
思维启迪 解析 思维升华
【例 1】
分别画出下列函数
的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1; x＋ 2 (4)y＝ . x－ 1
2 x －2x－1 (3)y＝ 2 x ＋2x－1
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题型二 识图与辨图
思维启迪 解析 答案 思维升华
x3 【例 2】 (1)(2013· 四川)函数 y＝ x 3 －1 的图像大致是 ( )
(1)根据函数的定义域， 特殊点 和函数值的符号判断；
－2x，－1≤x≤0 (2)已知 f(x)＝ x，0<x≤1
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【例 1】
分别画出下列函数
的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2
x ＋2 2
根据一些常见函数的图像， 通
；
过平移、 对称等变换可以作出 函数图像．
(3)y＝x －2|x|－1; x＋ 2 (4)y＝ . x－ 1
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题型一 作函数的图像
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跟踪训练 1 作出下列函数的图像． x＋2 (1)y＝sin |x|；(2)y＝ . x＋3
解
(1)当 x≥0 时，y＝sin |x|与 y＝sin x 的图像完全相同，
又 y＝sin |x|为偶函数，其图像关于 y 轴对称，其图像如图．
x＋2 1 (2)y＝ ＝1－ ，该函数图像可由 x＋3 x＋3 1 函数 y＝－ 向左平移 3 个单位再向上平 x 移 1 个单位得到，如图所示．
(2)正确把握图像变换的特征，
， 结合 f(x)的图像辨识． )
则下列函数的图像错误的是 (
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题型二 识图与辨图
x3 思维启迪 解析 答案 思维升华 【例 2】 (1)(2013· 四川)函数 y＝ x 3 －1 (1)由 3x－1≠0 得 x≠0， ∴函数 y 的图像大致是 ( ) x3 ＝ x 的定义域为 {x|x≠0} ，可 3 －1
x≥0 . 图像 x<0
如图③.
3 3 (4)因 y＝1＋ ，先作出 y＝x的 x－1 图像，将其图像向右平移 1 个单 位，再向上平移 1 个单位，即得 y x＋2 ＝ 的图像，如图④. x－1
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题型一 作函数的图像
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排除选项 A； －13 3 当 x＝－1 时，y＝ ＝ >0， 1 2 3－1
－2x，－1≤x≤0 (2)已知 f(x)＝ x，0<x≤1
则下列函数的图像错误的是 (
， 可排除选项 B； 当 x＝2 时，y＝1，当 x＝4 时，y ) 64 ＝80，但从选项 D 的函数图像可 以看出函数在(0，＋∞)上是单调 递增函数，两者矛盾，可排除选 项 D.故选 C.
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【例 1】
分别画出下列函数
的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1; x＋ 2 (4)y＝ . x－ 1
解
lg x (1)y＝ －lg
x≥1， 图 x 0<x<1
像如图①.
(2)将 y＝2x 的图像向左平移 2 个 单位．图像如图②.
【例 1】
分别画出下列函数
的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1; x＋ 2 (4)y＝ . x－ 1
(1)常见的几种函数图像如二次函 数、反比例函数、指数函数、对 m 数函数、幂函数、形如 y＝x＋ x (m>0)的函数是图像变换的基础；
(2)掌握平移变换、伸缩变换、对 称变换等常用方法技巧， 可以帮助 我们简化作图过程．
f(x)+k
知识回顾 理清教材
f(x)+h
f(x)-h
f(x)-k
基础知识 题型分类 思想方法 练出高分
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
(2)对称变换 关于x轴对称 ①y＝f(x)—————→ y＝ －f(x) ； 关于y轴对称 ②y＝f(x)—————→y＝ f(－x) ； 关于原点对称 ③y＝f(x) —————→ y＝ －f(－x) ； 关于y＝x对称 ④y＝ax (a>0 且 a≠1) —————→ y＝ logax(a>0 且 a≠1) ． 保留x轴上方图像 ⑤y＝f(x)———————————→y＝ |f(x)| . 将x轴下方图像翻折上去 保留y轴右边图像，并作其 ⑥y＝f(x) ———————————→ y＝ f(|x|) ． 关于y轴对称的图像
思想方法
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题型一 作函数的图像
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【例 1】
分别画出下列函数
的图像： (1)y＝|lg x|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1; x＋ 2 (4)y＝ . x－ 1
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题型一 作函数的图像
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知识回顾 理清教材
f(ax)
af(x)
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
题号
1 2 3 4 5
答案
(1)× (2) × (3) × (4) √ (5) × (6) ×
解析
D D C B
基础知识
题型分类
数学
北（文）
§2.7 函数的图像
第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
基础知识·自主学习
要点梳理
1．描点法作图 方法步骤： (1) 确定函数的定义域； (2) 化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变 化趋势 )； (4)描点连线，画出函数的图像． 2．图像变换 (分
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题型二 识图与辨图
思维启迪 解析 答案 思维升华
x3 【例 2】 (1)(2013· 四川)函数 y＝ x 3 －1 的图像大致是 ( )
－2x，－1≤x≤0 (2)已知 f(x)＝ x，0<x≤1
， )
则下列函数的图像错误的是 (