对“课标课程背景下高中数学学习典型困惑纪要”的尝试性的解答

方法 ？
解答 学生 的分析 是 正确 的 ， 但 概 率应 为 １ 一 （ １ ２ ×
１ １ × １ ０ × ９ ） ／ （ １ ２ × １ ２ × １ ２ × １ ２ ） ＝４ １ ／ ９ ６．
解 由分步计数原理的共有 ２ × ３ ＝ ６ 种不同方法 ； 也可 将 从 甲地 到 丙地 的方法分 为 ２类 ，第 一类 ：从 甲到乙走道路 ｌ ，第二类 ： 从 甲到乙走道路 ２ ．由于 乙地 到 丙地 有 ３条 道路 ，故 每一 类都 有 ３种方 法 ， 所 以共 有 ３ ＋ ３ ＝６ 种 不 同方法 ．可 以看 出分 步计 数其 实 是分 类 计 数 的简 化 ．问题 （ １ ） （ ２ ） 中学 生 是可 以理解 的 ． 原 问题 （ ５ ） 针对“ 公式 ｃ ， ＝ ｃ ： ＋ ｃ 的证 明
一
“
。
很 多 组 合 恒 等 式 的 证 明 都 是 既 可 以 用 组 合 方
法 ，又 可 以用 纯计 算 推 理 的方 法 ，特 别 是 数 学 归纳
法．
件 事 有几 类 不 同 方案 ，分步 乘 法 计数 原 理 是 指完
成一件事有几个不同步骤” ，有学生提出，在做具体 的题 目时如 何 区分 它 们 ？ 是否 存 在 一 些情 况 ，分步 与 分类 代表 同一 种 方法 呢？
２ ０ １ ５ 年第 ９ 期
福建中学数学
１ ５
对 “ 课标课程背景 下高 中数学学 习典型 困惑纪要 ＂的尝试性 的解 答
王 凯 西安 交通 大学 苏州 附属 中学 （ ２ １ ５ ０ ０ ６ ）
贵 刊２ ０ １ ３ 年第 ７ ， ８ 期 刊登 的文 ［ １ ］ 针 对人教 Ａ版高 中数 学 选修 ２ —３ 提 出 了教 学实 践 中学 生 的２ ７ 个 典 型 困惑 ．本文 选 择 其 中一 些 笔者 认 为 有 意义 的 问题作 尝 试 性 的解 答 ．所 用 知识 限于 中等 数 学 ．囿于 个 人 局 限 ，不 当之 处 万望大 家指 正 ．
可 用分 类加 法计 数原 理” ，有学 生提 出 ，能 不能 只用
组合 数 的公 式加 以严格证 明呢？
笔者认为此题学生的典型错误不会出现在反面 考 虑 的情形 ，更 多 的会 出现在 正面 分析 的时候 ： 错误 １至少 有２ 人 在 同一 个月 ，即恰 有２ 人 （ Ｃ ・
解答 在 组 合数 学 中 ，加法 计 数原理 一 般被认 为 是 久经 实践 公 理 ，而 乘 法 计数 原 理 可 以用 加 法原 理 证 明 ． 比如 ：完成一 件 事需 分 ２个步 骤 ，做 第 １步 有 ｍ种 不 同的方法 ， 做 第 ２步有 Ｆ ／ 种不 同的方法 ． 假
原 问题 （ ７ ） 针 对“ 日常 生活 中汽 车 牌照 的前 两 位 是英 文 字 母 ，后 四位 是数 字 ，那 么总 共 的 牌照 数
ｃ ： Ａ ２ １ ）， 有３ 人 （ ｃ ３ 乙 １ × １ １ ） 和４ 人都在同一个月生 日（ ｃ ： 。 ） ； 所以概率为（ ｃ ２ 乙 １ 。 ： Ａ 。 ＋ ｃ ３ 乙 １ 。 ： ｘ １ ｌ ＋ ｃ ） ／ １ ２ ；
１ ０ × ９ ） 为什 么是错 的 呢？
分步计数原理确实是分类计数原理的运算简化 ，所 有分 步 计数 问题 都可 以归结 为分类 计 数 问题 ．比如 ： 例 １ 从 甲地到 乙地 有 ２条 道路 ，从 乙地到 丙地 有 ３条 道路 ，那 么从 甲地 到 丙地 共有 多少 种不 同的
一
设完成第一步的ｍ种方法为 ，
，…，
，则将
完 成 此 事 分 类 方 式 ：第 一 类 是 步骤 １采 用方 法
， … ，
第 ｍ类是步骤 １ 采用方法 ａ ，并且每一类
方 式都 有 种 不 同的 方法 ，即第 ２步 的 种 方法 ．故 那 么完 成这件 事 共有 ＋， ｚ ＋…＋ ， ｚ ＝ｍ ｒ ／ 种 方法 ． 所以，
ｆ — ｍ＋１ ） ｎ ！
ｍ・ ｎ ！ —
ｍ！ （ 一 ， ） ！ （ ， ｚ —ｍ＋ １ ） ｍ・ （ ， ＂ 一 １ ） ！ （ —ｍ＋ １ ） ！ （ ， ｚ ＋１ ） ！
一 一
原 问题 （ １ ） 针对“ 乘法运算是特定条件下加法 运 算 的简化 ” ，有 学 生提 出 ，分 类 加法计 数原 理 与分 步乘 法 计数 原理 是否 也有 这种 类 似 的关系 呢？ 原 问题 （ ２ ） 针对“ 分 类加 法计 数原 理 是指 完成
ｍ个
原 问题 （ ８ ） 针对 “ 习题 ：４ 个人 中至 少 有２ 个 人 的生 日在 同一个 月 的概 率 ” ，有 学 生提 出 ，从 反面 考 虑 ：第 １ 个人 从 ｌ ２ 个月 中挑 １ 个 月 ，第２ 个 人从 剩下 的 １ １ 个月 中挑 １ 个月 ……这样 得 到 的答案 １ — １ ／ （ １ ２ × １ １ ×
量为 Ａ × １ ０ ＝６ ． ５ × １ ０ 种” ，有 学 生提 出 ，我 国人 口
众 多 ，如果 人 人都 有 车 了 ，这 么 多 牌照 岂不 是一 个
省 就不 够 用了 吗？
解答 我 国的民用汽车 牌照车 牌是按地 区分类 的的，第一位汉字是省或直辖市的简称 ，第二位英 文字母是不 同地级市 的代表 ．后面五位 目前一般不 超 过 两个 英 文字 母 ．这样 算 下 来 人 口数 要 远远 少 于 牌 照数 了 ．所 以在 教 材 的编 写 过程 中也 应 该注 意 到 些实 际情 况 ．
解答 这 个 公 式被 称 为 Ｐ ａ ｓ ｃ ａ ｌ 公式 ，它的证 明
很 简单 ： ｃ ？ ＋ ｃ
＝
＋ ， ！ ｌ — ｌ ！ Ｉ —ｌ ｌ ｆ ｌ ／ ， ／ 一 ｍ ＋ｌ ｝ ！ ｍ＝
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— － － － — － － ・ － － － ・ ： － － － － － － － ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － － 一