高中数学人教A版必修第二册课时作业6.4.3 第1课时 余弦定理
6.4.3.1余弦定理-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
四、余弦定理及其推论的应用
例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
，求B
（精确到1°）．
解：因为 sin C
33 14
，且C为锐角。
所以 cosC 1 sin2 C 1 (3 3 )2 13 .
14 14
由余弦定理，得 c2 a2 b2 2abcosC 49 64 2 7 8 13 9
（角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 解：根据余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA=60²+34²-2×60×34×cos41° ≈1 676.78，
∴a≈41(cm)．
四、余弦定理及其推论的应用
例5：在△ABC中，已知b= 60 cm，c= 34 cm，A=41°，解三角形 （角度精确到1°，边长精确到1 cm）． 由余弦定理的推论，得
利用计算器，可得C≈106°． 所以B=180°-(A+C)≈180°-(41°+106°)=33°．
四、余弦定理及其推论的应用
问题7：你能解决教科书中的例5和例6吗？ 例6：在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足
（精确到1°）．
，求B
分析：由条件先求出cos C，再利用余弦定理及其推论可求出 B的值．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
请同学们联系已经学过的知识，进行分组合作探究，寻求解 决方法．
一、余弦定理的探究
在△ABC中，已知CB=a，CA=b，CB与CA的夹角为∠C， 求边c．
用向量方法探索余弦定理可按如下步骤进行：
①把几何元素用向量表示：
设CB a CA b AB c ，那么 c a b
2022-2023学年人教A版必修第二册 6-4-3-1 余弦定理、正弦定理 课件(47张)
[重点理解] 1．余弦定理与勾股定理的关系 余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例． 2．余弦定理的特点 (1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它 含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量． 3．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题 (1)已知两边和夹角或已知三边能直接利用余弦定理解三角形． (2)若已知两边和一边的对角，可以用余弦定理解三角形．
际问题.
作图分析的习惯.
第一课时 余弦定理
课前篇·自主梳理巩固基础
[笔记教材] 知识点 余弦定理 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积 的两倍．即 a2＝b2＋c2－2bccos A， b2＝c2＋a2－2cacos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C．
4．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝3，b＝5，c＝7，则角 C 2π ＝____3____.
解析：根据余弦定理的推论，得
cos C＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×532×－572＝－12.
又因为 C∈(0，π)，所以 C＝23π.
课堂篇·重点难点研习突破
研习 1 已知三角形的三边解三角形 [典例 1] 已知△ ABC 中，a∶b∶c＝2∶ 6∶( 3＋1)，求△ ABC 的各角的大小． [名师引导] 已知三角形三边的比，可设出三边的长，从而将问题转化为已知三边求 三角，可利用余弦定理求解．
新教材人教版高中数学必修第二册 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
6．4.3 余弦定理、正弦定理第1课时 余弦定理考点 学习目标核心素养 余弦定理 了解余弦定理的推导过程 逻辑推理 余弦定理的推论掌握余弦定理的几种变形公式及应用数学运算三角形的元素及解三角形 能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题数学运算问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理 文字语言三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍符号语言a 2＝b 2＋c 2－2bc cos__Ab 2＝a 2＋c 2－2ac cos__B c 2＝a 2＋b 2－2ab cos__C余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( )(5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6. 已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3. 答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A. (2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32，即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， 所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值． 解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ， 显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k 2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得 b 2＋c 2－b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a 2＝a 2.所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1.又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大，所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5.12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( )A ．(8，10)B ．(22，10)C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac . (1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac . 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58. (2)因为b ＝13，cos B ＝58， 由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ， 又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12. [C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3. (2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12， 有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.② 又0<a <1，于是有14≤b 2<1， 即有12≤b <1.。
余弦定理、正弦定理(第1课时)余弦定理 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
即( − ) = 0，∴ = .
又 + = 120°，∴ = = = 60°.
故∆为等边三角形.
练习
变3.在∆中，若 2 2 + 2 2 = 2 �� ，试判断∆的形
确到1°，边长精确到1 ).
解：由余弦定理，得：
2 = 2 + 2 − 2|||| = 602 + 342 − 2 × 60 × 34 × 41° ≈ 1676.78，
所以 ≈ 41().
由余弦定理的推论，得： =
2 + 2 −2
2
=
412 +342 −602
6.4.3 余弦定理、正弦定理
第1课时 余弦定理
新知探索
一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、
面积等，它们之间存在着确定的关系.例如，在初中，我们得到过勾股定理、
锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们
已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了，，，等判定
2 = 2 + 2 − 2|||| .
推论
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 + 2 −2
，
2
=
2 +2 − 2
.
2
2.解三角形的定义
一般地，三角形的三个角，，和它们的对边，，叫做三角形的元素.
已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？
思考1：在∆中，三个角，，所对的边分别是，，，怎样用，和表示
？
因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数
高中数学人教A版必修(第二册)(余弦定理)
高 中数学 人教A版 （2019 ）必修 （第二 册）6. 4.3 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版（2019）必修（第二册）6.4.3 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
余弦定理： 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. 即
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
二、余弦定理 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指 出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量 之间的关系吗？
高 中数学 人教A版 必（修20（19 第）二必册修 ）（第二( 册余）弦6定. 4理.3) 第1课时 (余弦 定理)（ 共10张 PPT）
四、典型例题 高中数学人教A版必（修20（19第）二必册修）（第二(册余）弦6定.4理.3) 第1课时(余弦定理)（共10张PPT）
1.余弦定理及其推论
余 a2=b2+c2-2bccosA
C
aB
所以
A
2
B(C
BC
A)2
C2BC2A2CBC
A
C2BC2A2|C| BC || Ac o s C
即c2=a2+b2-2abcosC
同理可得a2=b2+c2-2bccosA b2=c2+a2-2cacosB
于是，我们就得到了三角形 边角关系的一个重要定理：
从这里的推导过 程，你感受到向量运 算的力量了吗？
6.4.3 第一课时 余弦定理2019(秋)数学 必修 第二册 人教A版(新教材)改题型
核心素养
@《创新设计》
2.在△ABC中，a＝1，b＝1，C＝120°，则c＝________. 解析 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋12－2×1×1×－12＝3，∴c＝ 3. 答案 3
8
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
3.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a＝1，b＝ 7，c＝ 3，则 B ＝________.
3.利用余弦定理可以解两类有关三角形的问题 (1)已知两边及其夹角，解三角形； (2)已知三边，解三角形.
5
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
教材拓展补遗 [微判断] 1.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适用于任何三角形.( √ ) 2.在△ABC中，若a2>b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形.( √ ) 3.在△ABC中，已知两边及其夹角时，△ABC不唯一.( × )
答案 D
@《创新设计》
22
课前预习
课堂互动
核心素养
@《创新设计》
2.一个三角形的两边长分别为 5 和 3，它们夹角的余弦值是－35，则三角形的另一边长是 ________. 解析 设另一边长为 x，则 x2＝52＋32－2×5×3×－35＝52，∴x＝2 13. 答案 2 13
23
课前预习
课堂互动
如图，某隧道施工队为了开凿一条山地隧道，需要测算隧道的长 度.工程技术人员先在地面上选一适当的位置 A，量出 A 到山脚 B， C 的距离，其中 AB＝ 3 km，AC＝1 km，再利用经纬仪测出 A 对山脚 BC(即线段 BC)的张角∠BAC＝150°.
@《创新设计》
人教A版(2019)必修第二册 第六章 6.4.3 第1课时 余弦定理(教学课件)
反思 感悟
(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统 一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线 ①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量 关系. ②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量 关系.
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论 ①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2. ②△ABC 为 锐 角 三 角 形 ⇔ a2 ＋ b2>c2 ， 且 b2 ＋ c2>a2 ， 且 c2 ＋ a2>b2. ③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2<c2或b2＋c2<a2或c2＋a2<b2. ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝π .
解析 由余弦定理，得5＝22＋b2－2×2bcos A， 因为 cos A＝23，所以 3b2－8b－3＝0， 解得 b＝3b＝－31舍去.
二、已知三边解三角形
例 2 在△ABC 中，已知 a＝2 6，b＝6＋2 3，c＝4 3，求 A，B，C 的大小.
解 根据余弦定理，得 cos A＝b2＋2cb2c－a2
语言 三角形中任何一边的平方，等于_其__他__两__边__平__方__的__和__减__去_
余弦 定理
叙述
公式 表达
_这__两__边__与__它__们__夹__角__的__余__弦__的__积__的__两__倍__
a2＝ b2＋c2－2bccos A ， b2＝ a2＋c2－2accos B ， c2＝_a_2_＋__b_2－__2_a_b_c_o_s__C_
＝4，且C＝60°，则ab的值为
4
√A.3
B.8－4 3
C.1
2 D.3
6.4.3.1余弦定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
课中探究
探究点三 利用余弦定理判断三角形的形状
例3（1） 在△ ABC中，c2 = bccos A + accos B + abcos C，则此三
角形必是(
)
√ A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
[解析] 由c2 = bccos A + accos B + abcos C，
课中探究
［素养小结］ 已知三角形的两边和一个角解三角形的方法 （1）先利用余弦定理求出第三边，其余的角利用余弦定理的推论求出． （2）用余弦定理的推论求角时，首先求出的是这个角的余弦值，然后 根据余弦函数在(0, π)上单调递减，可得余弦值对应的角是唯一的．
课中探究
探究点二 已知三边解三角形
例2（1） 在△ ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
（1）利用余弦定理,可解决已知三角形三边求角的问题.( √ )
[解析] 结合余弦定理及三角函数知识可知正确.
（2）在△ ABC中,已知a = 2,b = 3,c = 5,则sin A = 35.( × )
[解析]
cos A = b2+c2−a2 = 9+5−4 =
2bc
2×3× 5
35，∵ 0∘ < A < 180∘
a2 = b2 + c2 − 2bccos A， b2 =__c2__+__a_2_−__2_c_a_c_o_s_B__， c2 =_a_2__+__b_2_−__2_a_b_c_o_s__C_
课前预习
余弦 定理
推论
常见 变形
cos A = b2+c2−a2，
2bc
cos B = c2+a2−b2，
人教A版高中数学必修第二册第6章 余弦定理
余弦定 理
推论
cos A＝b2＋2cb2c－a2， cos B＝a2＋2ca2c－b2， cos C＝a2＋2ba2b－c2
[微训练] 1．在△ABC 中，下列等式符合余弦定理的是( ) A．c2＝a2＋b2－2abcos C B．c2＝a2－b2－2bccos A C．b2＝a2－c2－2bccos A D．cos C＝a2＋2ba2b＋c2 A 解析：由余弦定理及其推论知只有 A 正确．故选 A．
谢谢观看 THANK YOU!
【类题通法】 判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦 定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边 的具体关系，从而判断三角形的形状．
1．在△ABC 中，sin2A2＝c－2cb，则△ABC 的形状为(
)
A．正三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形
代入已知条件得 a·b2＋2cb2c－a2＋b·c2＋2ac2a－b2＋c·c2－2aa2b－b2＝0， 通分得 a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理 得(a2－b2)2＝c4．∴a2－b2＝±c2，
即 a2＝b2＋c2 或 b2＝a2＋c2． 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．
A．
2 4
B．－
2 4
C．34
D．－34
B 解析：由题意得，b2＝ac＝2a2，即 b＝ 2a， ∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋2a2×a2－2a4a2＝－ 42．
【例 2】在△ABC 中，a＝7，b＝4 3，c＝ 13，则△ABC 的最
小角为( )
A．π3
B．π6
C．π4
6.4.3.1余弦定理+课件-2023-2024学年高一下学期数学人教A版+(2019)必修第二册
在△ABC中，已知 b＝ 5 ，c＝ 15 ，B＝30°，求 a 的值. 5 or 2 5
3
C D
D
1 2
a 3 , A 30 , C 120 or a 6 , A 90 边分别为a，b，c，已知a＝ 19 ，b＝2，
c2 a2 b2
余弦定理是勾股定理的推广 勾股定理是余弦定理的特例
解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C 和它们的对边a，b，c 叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
一、已知两边及一角解三角形
在△ABC中，已知b＝3，c＝ 2 3 ，A＝30°，求 a 的值 3
ABC
三角形中 的元素
表示 关系
边的关系 角的关系 边角关系
不等关系 勾股定理
两边之和大于第三边 两边之差小于第三边
内角和
对应关系 锐角三角
函数
大边对大角 大角对大边
问题 在△ABC中，三个角A，B，C 所对的边分别是a，b，c， 怎样用a，b和C表示c?
c ab
2
c
(a b)2
2
2
a 2a b b
人教2019A版必修 第二册
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理
三角形性质 ABC A B C
(1) 正弦 sin sin(B C) sin A sin(A C) sin B sin(A B) sin C
sin( B C ) cos A
a2 b2 c2 2bc cos A
b2 c2 a2 cos A
2bc
b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cosC
(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册：6.4.3 第1课时 余弦定理 学案
余弦定理问题导学预习教材P42－P44的内容，思考以下问题： 1．余弦定理的内容是什么？ 2．余弦定理有哪些推论？1．余弦定理余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立. (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．2．余弦定理的推论 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab．■名师点拨余弦定理的推论是余弦定理的第二种形式，适用于已知三角形三边来确定三角形的角的问题．用余弦定理的推论还可以根据角的余弦值的符号来判断三角形中的角是锐角还是钝角．3．三角形的元素与解三角形 (1)三角形的元素三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素． (2)解三角形已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在三角形中，勾股定理是余弦定理针对直角三角形的一个特例．( ) (2)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及夹角的情况．( ) (3)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．( ) (4)在△ABC 中，若b 2＋c 2＞a 2，则∠A 为锐角．( )(5)在△ABC 中，若b 2＋c 2＜a 2，则△ABC 为钝角三角形．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)√在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝4，b ＝5，c ＝61，则角C 等于( )A ．120°B ．90°C ．60°D ．45°解析：选A.由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝42＋52－（61）22×4×5＝－12，所以C ＝120°，故选A.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＋c 2－b 2＝3ac ，则角B 等于( )A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选A.由余弦定理知a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，因为a 2＋c 2－b 2＝3ac ，所以cos B ＝32，故B ＝π6.已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由余弦定理，得c 2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c ＝ 3.答案： 3已知两边及一角解三角形(1)(2018·高考全国卷Ⅱ)在△ABC 中，cos C 2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝( )A ．42 B.30 C.29D ．2 5(2)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝5，c ＝2，cos A ＝23，则b ＝( )A.2B. 3 C ．2D ．3【解析】 (1)因为cos C ＝2cos 2 C 2－1＝2×15－1＝－35，所以由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝25＋1－2×5×1×⎝⎛⎭⎫－35＝32，所以AB ＝42，故选A. (2)由余弦定理得5＝22＋b 2－2×2b cos A ， 因为cos A ＝23，所以3b 2－8b －3＝0，所以b ＝3⎝⎛⎭⎫b ＝－13舍去.故选D. 【答案】 (1)A (2)D[变条件]将本例(2)中的条件“a ＝5，c ＝2，cos A ＝23”改为“a ＝2，c ＝23，cos A ＝32”，求b 为何值？解：由余弦定理得： a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以22＝b 2＋(23)2－2×b ×23×32， 即b 2－6b ＋8＝0，解得b ＝2或b ＝4.解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤(1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8， 所以b ＝2 2.又因为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋（6＋2）2－（23）22×22×（6＋2）＝12，所以A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°.已知三边(三边关系)解三角形(1)在△ABC 中，已知a ＝3，b ＝5，c ＝19，则最大角与最小角的和为( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°(2)在△ABC 中，若(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，则A 等于( ) A ．90° B ．60° C ．120°D ．150°【解析】 (1)在△ABC 中，因为a ＝3，b ＝5，c ＝19， 所以最大角为B ，最小角为A ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9＋25－192×3×5＝12，所以C ＝60°，所以A ＋B ＝120°，所以△ABC中的最大角与最小角的和为120°.故选B.(2)因为(a ＋c )(a －c )＝b (b －c )，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0°，180°)，所以A ＝60°.【答案】 (1)B (2)B已知三角形的三边解三角形的方法先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的推论求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角．[注意] 若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．1．(2019·福建师大附中期末考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2－c 2＋2ac ，则角B 的大小是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．135°解析：选A.由已知得a 2＋c 2－b 2＝2ac ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2ac 2ac ＝22.又0°＜B＜180°，所以B ＝45°.2．在△ABC 中，若a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 的最大内角的余弦值． 解：因为a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)， 不妨设a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k ， 显然a ＜b ＜c .所以△ABC 的最大内角为C ，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4k 2＋6k 2－（3＋1）2k 246k 2＝4＋6－（3＋1）246＝6－2346＝6－24.判断三角形的形状在△ABC 中，若b 2sin 2C ＋c 2sin 2B ＝2bc cos B cos C ，试判断△ABC 的形状． 【解】 将已知等式变形为b 2(1－cos 2C )＋c 2(1－cos 2B )＝2bc cos B cos C . 由余弦定理并整理，得b 2＋c 2－b 2⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2－c 2⎝⎛⎭⎫a 2＋c 2－b 22ac 2＝2bc ×a 2＋c 2－b 22ac ×a 2＋b 2－c 22ab，所以b 2＋c 2＝[（a 2＋b 2－c 2）＋（a 2＋c 2－b 2）]24a 2＝4a 44a2＝a 2.所以A ＝90°.所以△ABC 是直角三角形．(1)利用余弦定理判断三角形形状的两种途径①化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件判断． ②化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换得出关系进行判断． (2)判断三角形时经常用到以下结论①△ABC 为直角三角形⇔a 2＝b 2＋c 2或c 2＝a 2＋b 2或b 2＝a 2＋c 2. ②△ABC 为锐角三角形⇔a 2＋b 2＞c 2，且b 2＋c 2＞a 2，且c 2＋a 2＞b 2. ③△ABC 为钝角三角形⇔a 2＋b 2＜c 2或b 2＋c 2＜a 2或c 2＋a 2＜b 2. ④若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B 或A ＋B ＝π2.1．在△ABC 中，A ＝60°，a 2＝bc ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形解析：选D.在△ABC 中，因为A ＝60°，a 2＝bc ， 所以由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ， 所以bc ＝b 2＋c 2－bc ，即(b －c )2＝0，所以b ＝c ，结合A ＝60°可得△ABC 一定是等边三角形．故选D.2．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B.因为b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，所以由余弦定理得b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝a sin A ，整理，得a ＝a sin A ，所以sin A ＝1. 又A ∈(0，π)，所以A ＝π2.故△ABC 为直角三角形．1．在△ABC 中，已知a ＝5，b ＝7，c ＝8，则A ＋C ＝( ) A ．90° B ．120° C ．135°D ．150°解析：选B.cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝25＋64－492×5×8＝12.所以B ＝60°，所以A ＋C ＝120°.2．在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ，则角A 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选B.因为(b ＋c )2－a 2＝b 2＋c 2＋2bc －a 2＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，所以A ＝60°.3．若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab ＝________．解析：因为C ＝60°，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°， 即c 2＝a 2＋b 2－ab .① 又因为(a ＋b )2－c 2＝4， 所以c 2＝a 2＋b 2＋2ab －4.②由①②知－ab ＝2ab －4，所以ab ＝43.答案：434．在△ABC 中，a cos A ＋b cos B ＝c cos C ，试判断△ABC 的形状．解：由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0， 展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4.所以a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2. 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．[A 基础达标]1．(2019·合肥调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( )A ．1B ．2C ．3D.13解析：选A.由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b ＝1，故选A.2．已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( )A ．10B ．9C ．8D ．5解析：选D.由23cos 2A ＋cos 2A ＝0得23cos 2A ＋2cos 2A －1＝0，解得cos A ＝±15.因为A 是锐角，所以cos A ＝15.又因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，所以49＝b 2＋36－2×b ×6×15.解得b ＝5或b ＝－135.又因为b ＞0，所以b ＝5.3．在△ABC 中，若a ＝8，b ＝7，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：选C.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝82＋72－2×8×7×1314＝9，所以c ＝3，故a 最大， 所以最大角的余弦值为cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝72＋32－822×7×3＝－17.4．(2019·江苏苏州部分重点中学高三(上)期中考试)在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( )A.322B.332C.32D ．3 3 解析：选B.由BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，可得13＝9＋16－2×3×4×cos A ，得cos A ＝12.因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3，所以AC 边上的高为AB ·sin A ＝3×32＝332. 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选A.在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc ＝b c ，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形．6．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________．解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a＝34.答案：347．在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.答案：198．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.答案：6129．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°. 由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.10．在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长． 解：由余弦定理的推论得：cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22·AB ·AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设所求的中线长为x ，由余弦定理知：x 2＝⎝⎛⎭⎫AC 22＋AB 2－2·AC 2·AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49， 则x ＝7.所以所求中线长为7.[B 能力提升]11．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－5解析：选D.由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 12．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的取值范围是( ) A ．(8，10) B ．(22，10) C ．(22，10)D ．(10，8)解析：选B.只需让边长为3和a 的边所对的角均为锐角即可．故⎩⎪⎨⎪⎧12＋32－a 22×1×3＞0，a 2＋12－322×a ×1＞0，1＋3＞a ，1＋a ＞3，解得22＜a ＜10.13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若C ＝120°，c ＝2a ，则a ，b 的大小关系为( )A ．a >bB ．a <bC ．a ＝bD ．不能确定解析：选A.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos 120°＝a 2＋b 2＋ab .因为c ＝2a ，所以2a 2＝a 2＋b 2＋ab ，所以a 2－b 2＝ab >0，所以a 2>b 2，所以a >b .14．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值． 解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12.[C 拓展探究]15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.- 11 - (1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A ·cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0.①因为sin A ≠0，所以sin B － 3 cos B ＝0.又cos B ≠0，所以tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.②又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.。
6.4.3 第1课时 余弦定理(分层练习)高一数学新教材(人教A版2019必修第二册)
6.4.3 第1课时 余弦定理基 础 练巩固新知 夯实基础1.在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝9，C ＝150°，则c ＝( ) A ．73 B ．8 3 C.39D ．1022.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，C ＝60°，a ＝4b ，c ＝13，则b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D.133.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c 2－a 2－b 22ab >0，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．是锐角或直角三角形4.在△ABC 中，已知a ＝2，则b cos C ＋c cos B 等于( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．45.在△ABC 中，cos B ＝ac (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. (多选题)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32，则b ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．227.在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．8.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且c ＝2a ，则cos B ＝________． 9.已知a ，b ，c 为△ABC 的三边，B ＝120°，则a 2＋c 2＋ac －b 2＝________.10.在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos (A ＋B )＝1. (1)角C 的度数为________； (2)AB 的长为________．11.在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b .能 力 练综合应用 核心素养12.若△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边a ，b ，c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( ) A ．43 B ．8－4 3 C ．1 D ．2313.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则AB →·BC →的值为( ) A ．79 B ．69 C ．5D ．－514.在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010 C ．－1010D ．－3101015.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的大小为( ) A.π6 B.π3 C.π6或5π6D.π3或2π316.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos 2A 2＝b ＋c2c ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形17.在△ABC 中，边a ，b 的长是方程x 2－5x ＋2＝0的两个根，C ＝60°，则c ＝________． 18.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝________.19.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C 的值是________．20.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若cos A ＝12，b ＋c ＝2a ，则△ABC 的形状为________．21.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )2＝b 2－34ac .(1)求cos B 的值；(2)若b ＝13，且a ＋c ＝2b ，求ac 的值．【参考答案】1.A 解析：由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝12＋81－2×23×9×(－32)＝147.∴c ＝147＝7 3. 2.A 解析：由余弦定理知(13)2＝a 2＋b 2－2ab cos 60°，因为a ＝4b ，所以13＝16b 2＋b 2－2×4b ×b ×12，解得b＝1，故选A.3.C 解析：由c 2－a 2－b 22ab >0得－cos C >0，所以cos C <0，从而C 为钝角，因此△ABC 一定是钝角三角形．4.C 解析：b cos C ＋c cos B ＝b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝2a 22a＝a ＝2.5.A 解析：因为cos B ＝ac ，由余弦定理得a 2＋c 2－b 22ac ＝a c ，整理得b 2＋a 2＝c 2，即C 为直角，则△ABC 为直角三角形．6.AC 解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴4＝b 2＋12－6b ，即b 2－6b ＋8＝0，∴b ＝2或b ＝4.7. 1 解析：在△ABC 中，∵A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，设AB ＝x ，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ，化简得x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1，即AB ＝1.8. 34 解析：因为b 2＝ac ，且c ＝2a ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 22a ·2a ＝34. 9. 0 解析：∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－2ac cos 120°＝a 2＋c 2＋ac ，∴a 2＋c 2＋ac －b 2＝0.10.(1)23π (2)10 解析：(1)∵cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos (A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎨⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 2π3＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.11.解：在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b ＝19.12.A 解析：由 (a ＋b )2－c 2＝4，得a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝4，由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝2ab cos 60°＝ab ，则ab ＋2ab ＝4，∴ab ＝43.13. D 解析：由余弦定理得：cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝52＋72－822×5×7＝17.因为向量AB →与BC →的夹角为180°－∠ABC ，所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC )＝5×7×⎝⎛⎭⎫－17＝－5. 14.C 解析：过A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，由题意得BD ＝AD ＝13BC ，∴CD ＝23BC ，AB ＝23BC ，AC ＝53BC ，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝－1010.15.D 解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32，sin B ＝32，B ＝π3或B＝2π3. 16.A 解析：在△ABC 中，因为cos 2A 2＝b ＋c 2c ，所以1＋cos A 2＝b 2c ＋12，所以cos A ＝bc .由余弦定理，知b 2＋c 2－a 22bc＝bc，所以b 2＋c 2－a 2＝2b 2，即a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 是直角三角形． 17. 19 解析：由题意，得a ＋b ＝5，ab ＝2.所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ＝52－3×2＝19，所以c ＝19.18.4解析：因为b ＋c ＝7，所以c ＝7－b .由余弦定理得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝⎛⎭⎫－14，解得b ＝4. 19. 612 解析：bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝b 2＋c 2－a 22＋a 2＋c 2－b 22＋a 2＋b 2－c 22＝a 2＋b 2＋c 22.因为a ＝3，b ＝4，c ＝6，所以bc cos A ＋ac cos B ＋ab cos C ＝12×(32＋42＋62)＝612.20. 等边三角形 解析：由余弦定理及cos A ＝12得b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴b 2＋c 2－a 2＝bc .∵b ＋c ＝2a ，∴a ＝b ＋c 2，∴b 2＋c 2－(b ＋c 2)2＝bc ，即(b －c )2＝0，∴b ＝c ，于是a ＝b ＝c .∴△ABC 为等边三角形． 21.解：(1)由(a －c )2＝b 2－34ac ，可得a 2＋c 2－b 2＝54ac .所以a 2＋c 2－b 22ac ＝58，即cos B ＝58.(2)因为b ＝13，cos B ＝58，由余弦定理，得b 2＝13＝a 2＋c 2－54ac ＝(a ＋c )2－134ac ，又a ＋c ＝2b ＝213，所以13＝52－134ac ，解得ac ＝12.。
新人教版高中数学必修2课件：6.4.3 第1课时 余弦定理
图④
当堂检测
1.△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a= 3+1,
b= 3-1,C=120°,则 c=(
A. 10
B. 6
)
C.3
D.2 3
答案 A
解析 由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=( 3+1)2+( 3-1)2-2×( 3+1)×
( 3-1)cos 120°=10,解得 c= 10.故选 A.
2
2
22 +( 3+1) -( 6)
1
6的边所对的角为 θ,由余弦定理的推论,得 cos θ=
= 2,所
2×2×( 3+1)
以 θ=60°,故最大角与最小角之和为 180°-60°=120°.
探究三
利用余弦定理判断三角形形状
例3(1)在△ABC中,(a+b+c)(a+b-c)=3ab且2cos Asin B=sin C,试判断三角形
以 a= 3.
(2)由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B,得 32=a2+(3 3)2-2a×3 3×cos 30°,即
a2-9a+18=0,解得 a=3 或 a=6.当 a=3 时,A=30°,C=120°;当 a=6 时,由余弦
定理的推论,得 cos A=
∴A=90°,∴C=60°.
B.a=4,b=5,c=6
C.a=4,b=6,c=7
D.a=3,b=3,c=5
答案 D
解析 对于D,由余弦定理的推论,得cos C=
2 + 2 -2 32 + 32 -52
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课时作业12 余弦定理时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝13，b ＝3，A ＝60°，则c ＝( C )A ．1B ．2C ．4D ．6解析：由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即13＝9＋c 2－3c ，即c 2－3c －4＝0，解得c ＝4(负值舍去)．2．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( C )A ．－15B ．－16C ．－17D ．－18解析：由余弦定理知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9， 所以c ＝3.根据三边的长度知角B 为最大角， 故cos B ＝49＋9－642×7×3＝－17.所以cos B ＝－17.3．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 是( D ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形解析：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即ac ＝a 2＋c 2－ac ，所以(a －c )2＝0，即a ＝c .又因为B ＝60°，所以△ABC 为等边三角形．4．(多选)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011，则下列结论正确的是( ACD )A ．abc ＝456B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则tan B ＝579解析：因为(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011.所以可设：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝9x a ＋c ＝10xb ＋c ＝11x(其中x >0)，解得：a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x . 所以abc ＝456，所以A 正确．由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大， 又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x ＝18>0，所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小， 又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x ＝34，所以cos2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos2A ＝cos C ，由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：2A ∈(0，π)，C ∈(0，π2)， 所以2A ＝C ，所以C 正确；若c ＝6，则a ＝4，b ＝5，cos B ＝42＋62－522×4×6＝916，sin B ＝1－cos 2B＝5716，tan B ＝sin B cos B ＝579，所以D 正确．故选ACD.5．已知锐角三角形边长分别为2,3，x ，则x 的取值范围是( C ) A ．(5，5) B ．(1，5) C ．(5，13)D ．(13，5)解析：三边需构成三角形，且保证3与x 所对的角都为锐角，由余弦定理得⎩⎪⎨⎪⎧22＋32－x 2>0，22＋x 2－32>0，解得5<x <13.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为( B )A.322B.332C.32 D ．3 3解析：在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝32＋42－132×3×4＝12，∴A ＝60°.∴边AC 上的高h ＝AB ·sin A ＝3sin60°＝332.故选B.二、填空题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C,2b ＝3a ，则cos A ＝13.解析：由B ＝C ，得b ＝c ＝32a .由余弦定理，得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32a 2－a 22·32a ·32a＝13.8．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，则b ＝4. 解析：∵a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－14，∴b 2＝22＋(7－b )2－2×2×(7－b )×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴b ＝4.9．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，则△ABC 的形状是正三角形．解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为B ＝60°，2b ＝a ＋c ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos60°. 整理上式可得(a －c )2＝0，所以a ＝c . 又2b ＝a ＋c ，所以b ＝a ＝c . 因此，△ABC 为正三角形． 三、解答题10．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数； (2)求AB 的长．解：(1)∵cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12，且C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝23，ab ＝2，∴AB 2＝b 2＋a 2－2ab cos 2π3＝(a ＋b )2－ab ＝10，∴AB ＝10.11．在△ABC 中，a ＝3，b －c ＝2，cos B ＝－12. (1)求b ，c 的值． (2)求sin(B ＋C )的值． 解：(1)由已知及余弦定理， cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ＝9＋(c ＋b )(c －b )6c＝9－2(c ＋b )6c ＝－12， 即9－2b ＋c ＝0， 又b －c ＝2， 所以b ＝7，c ＝5. (2)由(1)及余弦定理，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin 2C ＋cos 2C ＝1,0<C <π， 所以sin C ＝5314，同理sin B ＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×(－12)＝3314.——能力提升类——12．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 为( D )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ， ∴a 2＋c 2－b 22ac tan B ＝32，即cos B tan B ＝32， ∴sin B ＝32，B ＝π3或2π3.13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是( A )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形解析：由2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab 得，a 2＋b 2－c 2＝－12ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12ab2ab ＝－14<0， 所以90°<C <180°，即三角形为钝角三角形，故选A.14．△ABC 的三内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则C 的大小为π3.解析：∵p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，p ∥q ， ∴(a ＋c )(c －a )－b (b －a )＝0， 即a 2＋b 2－c 2＝ab .由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12， ∵0<C <π，∴C ＝π3.15．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0， 即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0， 又cos B ≠0，所以tan B ＝3， 又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫a －122＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.由Ruize 收集整理。
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