理论力学4—摩擦1
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理论力学第四章摩擦问题
x F2max N1
F2max f N2
Pmax
sin cos
f cos f sin
Q
3、综上得出:要维持物体平衡时,力P的值应满足的条件是
:
sin f cos Q P sin f cos Q
cos f sin
cos f sin
例4-3 杆AB的A端置于光滑水平面上，AB与水平面夹角 为20°，杆重为P=50 KN。B处有摩擦。当杆在此处临界平衡时 ，试求B处摩擦角。
m f 从何而来？分析滚动摩擦，必须考 虑变形的影响。物体接触面上受力情况较复杂。
将这些力系向A点简化，得到一个主矢 FR 和一个主矩 m f ，主矢 FR 分解成支反力N和滑动摩擦力Ff （此处Ff
＜ F max ). 主矩 m f 称为滚动摩擦力偶矩， 简称为滚阻力偶。
N
G
F
O
AB
R
GG
F
OO
AB Ff Ff
解： 以AB为研究对象，画受 力图，N为B处的正压力。
Fx 0
N tgΦm. cosθ=N sinθ
tgΦm = tgθ
∴ Φm =θ=20°
x y
NA
FSmax m N
例4-4 * 已知： b , d , fs ,
不计凸轮与挺杆处摩擦，不计挺杆质量；
求：挺杆不被卡住之a 值。
解：取挺杆为研究对象，设挺杆处于卡住临界 状态。
F 0 X
FAx FBx 0
注意BC杆是二 力杆。
（休止角）沙堆滑塌、山体滑坡现象。
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程可用，求解步骤与前面基本相同。 几个新特点 1 、画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 、严格区分物体处于临界、非临界状态；
理论力学教程(第四章)
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角
理论力学第四章
同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
理论力学
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3
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§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力 即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏 角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大 值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
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FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
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17
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求 多大时，梯子能处于平衡？
理论力学第4章 摩擦
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
4
3、 特征： 大小：0 F Fmax （平衡范围）满足 X 0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反
定律：Fmax f N （ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力：（与静滑动摩擦力不同的是产生了滑动）
所以物体运动：此时
F '动 N f '100.11N
（物体已运动）
25
[练习2] 已知A块重500N，轮B重1000N，D轮无摩擦，E 点的摩擦系数fE=0.2，A点的摩擦系数fA=0.5。
求：使物体平衡时块C的重量Q=？ 解：① A不动（即i点不产
生 平移）求Q 由于
T 'F1 f AN1 0.5500250N
14
此力系向 A点简化
d'
滚阻力偶与主动力偶（Q,F）相平衡
①滚阻力偶M随主动力偶（Q , F）的增大而增大;
② 0 M Mmax
有个平衡范围;
滚动 摩擦 ③ M max 与滚子半径无关;
④滚动摩擦定律： M max d N，d 为滚动摩擦系数。
15
滚动摩擦系数 d 的说明：
①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关。
19
四、例题 [例1] 作出下列各物体
的受力图
20
[例2] 作出下列各物体的受力图
① P 最小维持平衡 ② P 最大维持平衡
状态受力图；
状态受力图
21
[例3] 构件1及2用楔块3联结，已知楔块与构件间的摩擦系数f=0.1,
求能自锁的倾斜角 。
解：研究楔块，受力如图
第五章 工程力学摩擦li
F1max
sin f s cos P cos f s sin
PAG 15
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§4-3
考虑摩擦时物体的平衡问题
y
（二）下滑 (1)取物体为研究对象
(2) 受力分析
(3) 建坐标系，列平衡方程
' 0 Fx 0, F1 cos P sin Fmax
PAG 21
③ M max与滚子半径无关;
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§4-4
滚动摩阻的概念
4.滚动摩擦系数 的说明 ①有长度量纲，单位一般用mm,cm； ②与滚子和支承面的材料的硬度和温度有关; ③ 的物理意义见图示。
根据力线平移定理
R
' N
P F
A
R
Fs A
§4-1 2、状态
P
Fs
FN
滑动 摩擦实验
滑动摩擦 ①静止： （静摩擦力）
FT
Fs FT (FT Fs 不固定值)
②临界：（将滑未滑）（最大静摩擦力）
力 静摩擦因数
Fx 0, FT FS 0 FS FT
法线间夹角的最大值
tan f Fmax f s FN fs FN FN
Fmax Fs
摩擦角的正切=静摩擦系数
PAG 9
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§4-2
摩擦角和自锁现象
二、自锁现象
①如果作用于物体的主动力合力的作用线在摩擦 锥内，则不论这个力多大，物体总能平衡。
PAG 17
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理论力学习题答案
第一章静力学公理和物体的受力分析一、是非判断题1.1.1 在任何情况下，体内任意两点距离保持不变的物体称为刚体。
( ∨ ) 1.1.2 物体在两个力作用下平衡的必要与充分条件是这两个力大小相等、方向相反，沿同一直线。
( × )1.1.3 加减平衡力系公理不但适用于刚体，而且也适用于变形体。
( × ) 1.1.4 力的可传性只适用于刚体，不适用于变形体。
( ∨ ) 1.1.5 两点受力的构件都是二力杆。
( × ) 1.1.6只要作用于刚体上的三个力汇交于一点，该刚体一定平衡。
( × ) 1.1.7力的平行四边形法则只适用于刚体。
( × ) 1.1.8 凡矢量都可以应用平行四边形法则合成。
( ∨ ) 1.1.9 只要物体平衡，都能应用加减平衡力系公理。
( × ) 1.1.10 凡是平衡力系，它的作用效果都等于零。
( × ) 1.1.11 合力总是比分力大。
( × ) 1.1.12只要两个力大小相等，方向相同，则它们对物体的作用效果相同。
( × ) 1.1.13若物体相对于地面保持静止或匀速直线运动状态，则物体处于平衡。
( ∨ ) 1.1.14当软绳受两个等值反向的压力时，可以平衡。
( × ) 1.1.15静力学公理中，二力平衡公理和加减平衡力系公理适用于刚体。
( ∨ ) 1.1.16静力学公理中，作用力与反作用力公理和力的平行四边形公理适用于任何物体。
( ∨ ) 1.1.17 凡是两端用铰链连接的直杆都是二力杆。
( × ) 1.1.18 如图所示三铰拱，受力F ，F1作用，其中F作用于铰C的销子上，则AC、BC构件都不是二力构件。
( × )二、填空题1.2.1 力对物体的作用效应一般分为 外 效应和 内 效应。
1.2.2 对非自由体的运动所预加的限制条件称为 约束 ；约束力的方向总是与约束所能阻止的物体的运动趋势的方向 相反 ；约束力由 主动 力引起，且随 主动 力的改变而改变。
理论力学---第四章 摩擦
Fx 0 FNA FNC 0
Fy 0 FsA FsC F 0
M A 0
FsC
b
FNC
a
F(b 2
e)
0
FsA fs FNA FsC fs FNC
e a 2 fs
抽屉不被卡住， e a .
2 fs
39
第三十九页，共69页。
已知：M A 40 N m , fs 0.3 , 各构件自重不计，尺寸如图；
F 403.6N (向上) s
FN 1499 N
而
F max
fF sN
299.8N
物块处于非静止状态．
F fFN 269 .8 向上．
19
第十九页，共69页。
已知： P ,q , fs .
求： 使物块静止，
水平推力
F的大小．
20
第二十页，共69页。
解： 使物块有上滑趋势时，推力为 F1
F2 FNA tan(q ) P tan(q )
P tan(q ) F P tan(q )
46
第四十六页，共69页。
已知：均质轮重 P 100N , 杆无重，r ,l , q 60o 时，
AC CB l ; 2
FB 50 N ,
fC 0.4 （杆，轮间）
求 若要维持系统平衡
F2 cosq P sinq Fs2 0
F2 sinq P cosq FN 2 0
Fs2 fsFN 2
F2
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F2
sin q cosq
fs cosq fs sinq
P
F
sin q cosq
fs cosq fs sinq
理论力学教学PPT摩擦教学课件PPT
4
（2）临界平衡状态：
FS
Fmax
Fmax ：最大静摩擦力
静摩 擦力有一个范围：0 Fs Fmax
Fmax
有限约束力
实验表明：Fm
的大小与接触面上法向反力
ax
FN
的大小成正比，方向与物体相对滑动趋势的方向相反.
P
Fmax
A
FN
Fmax = fs FN f s ----- 静摩擦系数
静滑动摩擦定律 T
49.61N m MC 70.39 N m
40
例5-14 已知： 力 P 角 ，不计自重的 A , B 块间的
静摩擦系数为 f s ，其它接触处光滑；
求：使系统保持平衡的力 F的值.
41
解： 取整体 Fy 0 FNA P 0 FNA P
设力 F小于 F1时，楔块 A 向右运动， 取楔块 A ，F1 FNA tan( ) P tan( )
解得 Fs 866 N FN 4500 N d 0.171m
而 Fmax fs FN 1800 N
因 Fs Fmax , 木箱不会滑动；
又 d 0 , 木箱无翻倒趋势.
木箱平衡
（2）设木箱将要滑动时拉力为 F1 Fx 0 Fs F1 cos 0 Fy 0 FN P F1 sin 0
画两杆受力图.
(a)
(b)
38
对图 (a) ， M A 0 FN1 AB M A 0
对图 (b) ， M C 0 M C1 FN1 l sin 60o Fs1 l cos 60o 0 又 Fs1 Fs1 fs FN1 fs FN1
解得 MC1 70.39N m
设 M C M C2 时，系统有顺时针方向转动趋势，
理论力学-摩擦
F
Fs
物块仍保持平衡，因为有
一个接触面障碍物块向右水平
P
ห้องสมุดไป่ตู้
运动的切向力——静摩擦力。
Fs = F
静摩擦力Fs的大小随着主动力F的增大而增大。
最大静滑动摩擦力
当 F 的大小达到某一数值时，物块处于平衡的
临界状态，这时的Fs 达到最大值—最大静摩擦力， 以 Fmax 表示。
0 ≤ Fs ≤ Fmax 由库仑定理
摩擦力的三要素：
1、作用于两物体的相互接触处 2、方向与相对滑动的趋势或相对滑动的
方向相反 3、大小由主动力决定（摩擦力为被动力）
滑动摩擦
根据研究物体的相对滑动趋势、平衡的临界状态和 滑动这三种情况，摩擦力可分为静滑动摩擦力、最 大静滑动摩擦力和动滑动摩擦力。
静滑动摩擦力
N
在物块上作用一个
大小可变的水平拉力F
N
F max = f s N
F
f s —— 静摩擦系数
Fs
f s需通过实验测定，影响其
P
的因素很复杂。
常用摩擦系数表
动滑动摩擦力
N
F Fs
P
当滑动摩擦力已经达到最大值，若再增大主动
力F，接触面之间将出现相对滑动。
动摩擦力
Fd = f N 一般情况下，
f 为动摩擦系数 f < fs
Thank you
第四章 摩擦
4-1 滑动摩擦 4-2 摩擦角和自锁现象 4-3 考虑摩擦时物体的平衡问题 4-4 滚动摩阻的概念
本章将讨论与研究物体的接触面不是光滑 的情况
按接触物间的相对运动情况：
滑动摩擦
按接触物间是否有润滑剂
干摩擦 湿摩擦
滚动摩擦
(完整word版)理论力学思考题答案
理论力学思考题答案1- 1 （1）若F1=F2表示力，贝「般只说明两个力大小相等，方向相同（2）若F1=F2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判定（3）说明两个力大小、方向、作用效果均相同。
1- 2前者为两个矢量相加，后者为两个代数量相加。
1- 3 （1）B处应为拉力，A处力的方向不对。
（2）C、B处力方向不对，A处力的指向反了。
（3）A处力的方向不对，本题不属于三力汇交问题。
（4）A、B处力的方向不对。
1- 4不能。
因为在B点加和力F等值反向的力会形成力偶。
1-5不能平衡。
沿着AB的方向。
1-6 略。
1- 7提示：单独画销钉受力图，力F作用在销钉上；若销钉属于AC，则力F作用在AC上。
受力图略。
2- 1根据电线所受力的三角形可得结论。
2- 2不同。
2- 3（a）图和（b）图中B处约束力相同，其余不同。
2- 4（a）力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与F N平衡。
（b）重力P与0处的约束力构成力偶与M平衡。
2-5可能是一个力和平衡。
2-6可能是一个力；不可能是一个力偶；可能是一个力和一个力偶。
2-7 一个力偶或平衡。
2-8（1）不可能；（2）可能；（3）可能；（4）可能；（5）不可能；（6）不可能。
2M C aF 'RA2-9主矢：F RC F RA，平行于B0；主矩： 2 ，顺时针。
2-10正确：B;不正确：A，C, D。
2-11提示：左段OA部分相当一个二力构件，A处约束力应沿OA，从右段可以判别B处约束力应平行于DE3- 1T见（玛2亍昭 ％必）=0 ■主矢：码=（峙氏+少） 主矩:亦嗚R+咅脑T-丰（1）能；（2）不能；（3）不能；（4）不能；（5）不能；（6）能。
空间任意力系简化的最终结果为合力、合力偶、力螺旋、平衡四种情况，分 别考虑两个力能否与一个力、一个力偶、力螺旋（力螺旋可以看成空间不确定的 两个力）、平衡四种情况平衡。
哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题(第4~7章)【圣才出品】
答：物块不动，主动力的合力与铅垂线间的夹角 a＝12.5o，在摩擦角之内，故物体产生 自锁现象。
4-6 如图 4-5 所示，用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为φf。劈入后欲使楔不滑出，问 钢楔两个平面间的夹角θ应该多大？楔重不计。
图 4-5 答：处于临界状态时，受力分析如图所示，由几何关系 可知，欲使楔形不滑出，须满足
动物体时，若 A、B 两处均未达临界状况，此时不能使用静摩擦定律
则
不能分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。若 A 处已达临界状态，且力 F 为已知，则可以
分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。
4-8 汽车匀速水平行驶时，地面对车轮有滑动摩擦也有滚动摩阻，而车轮只滚不滑。 汽车前轮受车身施加的一个向前推力 F（图 4-7a），而后轮受一驱动力偶 M，并受车身向后 的反力 F’（图 4-7b）。试画全前、后轮的受力图。在同样摩擦情况下，试画出自行车前、 后轮的受力图。又如何求其滑动摩擦力？是否等于其动滑动摩擦力 FN？是否等于其最大静 摩擦力？
答：前轮摩擦力
图 4-7
后轮摩擦力
均不等于滑动摩擦力或最大静摩擦力。
4-9 重为 P，半径为 R 的球放在水平面上，球对平面的滑动摩擦因数是 fs，而滚阻系 数为δ，问：在什么情况下，作用于球心的水平力 F 能使球匀速转动？
答：使球匀速转动的条件是：当
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图 4-1
图 4-2
答：如图所示，由
，可得摩擦力 Fs＝100N。因为此时为静摩擦，故不可以用
公式
4-2 如图 4-2 所示，试比较用同样材料、在相同的光洁度和相同的胶带压力 F 作用下， 乎胶带与三角胶带所能传递的最大拉力。
4-6 如图 4-5 所示，用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为φf。劈入后欲使楔不滑出，问 钢楔两个平面间的夹角θ应该多大？楔重不计。
图 4-5 答：处于临界状态时，受力分析如图所示，由几何关系 可知，欲使楔形不滑出，须满足
动物体时，若 A、B 两处均未达临界状况，此时不能使用静摩擦定律
则
不能分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。若 A 处已达临界状态，且力 F 为已知，则可以
分别求出 A、B 两处的静滑动摩擦力。
4-8 汽车匀速水平行驶时，地面对车轮有滑动摩擦也有滚动摩阻，而车轮只滚不滑。 汽车前轮受车身施加的一个向前推力 F（图 4-7a），而后轮受一驱动力偶 M，并受车身向后 的反力 F’（图 4-7b）。试画全前、后轮的受力图。在同样摩擦情况下，试画出自行车前、 后轮的受力图。又如何求其滑动摩擦力？是否等于其动滑动摩擦力 FN？是否等于其最大静 摩擦力？
答：前轮摩擦力
图 4-7
后轮摩擦力
均不等于滑动摩擦力或最大静摩擦力。
4-9 重为 P，半径为 R 的球放在水平面上，球对平面的滑动摩擦因数是 fs，而滚阻系 数为δ，问：在什么情况下，作用于球心的水平力 F 能使球匀速转动？
答：使球匀速转动的条件是：当
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图 4-1
图 4-2
答：如图所示，由
，可得摩擦力 Fs＝100N。因为此时为静摩擦，故不可以用
公式
4-2 如图 4-2 所示，试比较用同样材料、在相同的光洁度和相同的胶带压力 F 作用下， 乎胶带与三角胶带所能传递的最大拉力。
理论力学第七版第四章摩擦资料
F
施以水平阻力时，可能出现两种情况：
30
• 阻力较小，摩擦力阻止其向下运动 • 阻力较大，摩擦力阻止其向上运动
第一种情况
合力作用线
G
如右图，建立参考基，利用 静力平衡关系
y
Fm i n
Fm
x FN
n
Fix 0
i1
Fmin cos Fm Fg sin 0
m
(a)
n
Fiy 0
i1
第一类 问 题
F F max，,物体处于静止 状态，已知主动力求约束力， 与一般平衡问题无异。
第二类 问 题
平衡问题—临界运动趋势 不平衡问题—滑动或翻倒
F ＝ F max
[ 确定平衡位置； 确定各主动力之间的关系。
考虑摩擦时 的平衡问题
例 题1
已知：三角块和矩 形块的质量分别为20 kg和10kg；各部分之 间的摩擦因数均为f s = 0.4 。
§5-3摩擦平衡问题
一、两种运动趋势与临界运动状态
1、滑动（slip)
WW W WW
FPFPFPFPFP
FmFamxFaxmFaxmFamx ax
FNFNFNFNFFNRFRFRFRFR
2、翻 倒（tip over)
FFFPPPFFP P
WWWWW
FFFFssss
FFFFFNNNNN
二、两类摩擦平衡问题
静止状态
运动状态
45° O
FP
F Fmax Fd
临界状态
静止状态
运动状态
O
FP
静止状态 — F＝FP＜F max
运动状 临态界状态
— F＝Fd — F＝F max = fs FN
一般静摩擦力的值： 0 ≤ F≤Fmax
理论力学@05四摩擦
第四章 摩擦
实验表明
Fmax fs FN
上式称为库仑摩擦定律，是计算最大静摩擦力的近似公式。 式中 fs 称为静摩擦因数，它是一个无量纲的量。一般由实验 来确定。
2. 动滑动摩擦力 当接触处出现相对滑动时，接触物体之间仍有阻碍相对
滑动的阻力，这种阻力称为动滑动摩擦力，简称动摩擦力， 以Fd 表示，大小可用下式计算。
15
静力学
例题4-4
a
F C
h
P
第四章 摩擦
宽a，高b的矩形柜放
置在水平面上，柜重P，重
心C 在其几何中心，柜与
地面间的静摩擦因数是 fs，
b
在柜的侧面施加水平向右
的力F，求柜发生运动时
所需推力F 的最小值。
16
静力学
第四章 摩擦
例题4-4
y
解: 取矩形柜为研究对象,受力分析如图。
1 .假设不翻倒但即将滑动，考虑临界平衡。 列平衡方程
q 2jf 11.42
以上是考虑临界状态所得结果，稍作分析即可得
当 0 q 2jf 11.42 时能自锁
13
静力学
第四章 摩擦
例题4-3
x
F
A
h
B
d y
FA
x
FNA A
h
FB FB
O
B FNB
一活动支架套在固定圆柱的外表面，且h = 20 cm。假设支架和圆柱之间的静摩擦因 数 fs = 0.25。问作用于支架的主动力F 的 作用线距圆柱中心线至少多远才能使支架
2.假设矩形柜不滑动但将绕 B 翻倒。
F
C
P
A
FA
FB
B
FNA
理论力学第四章
7
斜面自锁条件 f
螺纹自锁条件
8
自锁的应用
W
FR
9
§5-3 考虑摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本相同．
几个新特点
1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 Fs Fmax，问题的解有时在一个范围内．
10
FA f s FNA FB f s FNB
(d) (e)
解方程可得
FNA FNB FN FA FB Fmax f s FN F 2 Fmax
代入式 (c) 解得
alim
b 2 fs
21
例题
摩 擦
解： 图解法
例 题 4-4
取推杆为研究对象，这时应将A，B处的摩
5
利用摩擦角测定摩擦因数
利用摩擦角的概念， 可用简单的实验方法，测 定静摩擦因数。把要测定 的两种材料分别做成斜面 和物块，把物块放在斜面 上，并逐渐从零起增大斜 面的倾角，直到物块刚开 始下滑为止。这时的角就 是要测定的摩擦角。 临界状态： f
f s tan f tan
6
2 自锁现象
0 F sin30 P cos30 FN 0
Fs 403.6 N (向上)， FN 1499N
而： Fmax f s FN 299 .8N 物块处于非静止状态．
Fd f d FN 269.8N , 向上．
12
例题
摩 擦
例 题 4-2
在倾角 α 大于摩擦角 f 的固定斜面上放有重 P 的 物块，为了维持这物块在斜面上静止不动，在物块上 作用了水平力F。试求这力容许值的范围。
理论力学-第四章 摩擦
设力 F 大于 F2 时， 楔块 A 向左运动 取楔块 A 分析，画受力图 分析，
F2 = FNA tan(θ + ϕ) = P tan(θ + ϕ)
P tan(θ − ϕ ) ≤ F ≤ P tan(θ + ϕ )
FR 2
ϕ
θ +ϕ
FNA
FR 2
FNA
斜面自锁条件
θ ≤ ϕf
§4-3 考虑滑动摩擦时物体的平衡问题
仍为平衡问题，平衡方程照用， 仍为平衡问题，平衡方程照用，求解步骤与前面基本 相同． 相同． 几个新特点 画受力图时，必须考虑摩擦力； 1 画受力图时，必须考虑摩擦力； 严格区分物体处于临界、非临界状态； 2 严格区分物体处于临界、非临界状态； 3 因 0 ≤ Fs ≤ Fmax ，问题的解有时在一个范围内． 问题的解有时在一个范围内．
动滑动摩擦力的特点 沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 方向：沿接触处的公切线，与相对滑动趋势反向； 大小： 大小：
Fd = f d FN
f d < f s （对多数材料，通常情况下） 对多数材料，通常情况下）
§4 - 2
摩擦角和自锁现象
一.摩擦角
r FR A ---全约束力
物体处于临界平衡状态时， 物体处于临界平衡状态时，全约束 力和法线间的夹角-----摩擦角 力和法线间的夹角---摩擦角
取整体分析， 解： 取整体分析，画受力图
P
FNB
F
ΣFy = 0 FNA − P = 0
FNA = P
设力 F 小于F1 时， 楔块 A 向右运动 取楔块 A 分析 ，画受力图
θ −ϕ
FNA
ϕ
FR1 F1
F1 = FNA tan(θ − ϕ ) = P tan
理论力学网上作业题答案
理论力学网上作业题第一章静力学的受力分析名词解释1.力: 力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生变化，或者使物体发生变形。
2. 刚体：在任何情况下都不发生变形的物体。
3.平衡：物体相对地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
4.内效应：使物体的发生变形的效应。
5.外效应：使物体的运动状态发生变化的效应。
6.力系：作用在物体上的一群力。
7.等效力系：一个力系和另一个力系分别单独作用时，使物体产生的作用效果相同，则称这两个力系互为等效。
8.合力：如果一个力和一个力系对物体作用效果相同，则称这个力为这个力系的合力9.二力杆件：只在两个力作用下处于平衡的构件，称为二力构件。
10.平衡力系：作用在物体上的一群力，使物体保持静止或匀速直线运动，这群力称为平衡力系。
单项选择题1.A2.D3.D4.D5.B6.C7.A8.D9.B 10.D 11.B简答题1．力的三要素是什么？答：力的大小、方向、作用线。
2．什么是受力图？答：将所研究的物体，从周围物体的约束中分离出来，单独画出这个物体的轮廓图形，并将作用在它上面的主动力和约束力全部画在图形上，这样得到的图形称为受力图。
3．理论力学有哪些研究内容？答：三部分内容：静力学、运动学和动力学。
4．物体受汇交于一点的三力作用而处于平衡，三力是否共面？为什么？答：共面。
根据三力汇交原理，三力汇交一点，处于平衡，一定共面。
5．二力平衡条件与作用力和反作用力定律的区别？答：二力平衡条件是二力作用在同一个物体上，而作用力和反作用力是在两个物体上。
6．画物体受力图时，有哪些步骤？答：首先确定研究对象，然后取分离体，画主动力，最后画约束力。
7．理论力学的研究对象是什么？答：研究物体机械运动一般规律的学科。
8．什么是矢量？答：具有大小、方向、多用点的量。
9．什么是代数量？矢量和代数量有什么区别？答：具有大小、方向的量称为代数量。
区别是矢量运算应用矢量法则，代数量运算应用代数相加减。
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4.3 滚动摩阻
实际接触面并不是刚体，它们在力的作用下都 会产生一些变形，如图。
Mf 称为滚动摩阻力偶。
4.3 滚动摩阻 与静滑动摩擦力相似, 滚动摩阻力偶矩Mf 随着主动力的增加而增大, 当力F增加到某 个值时, 滚子处于将滚未滚的临界平衡状 态; 这时, 滚动摩阻力偶矩达到最大值, 称 为最大滚动摩阻力偶矩, 用Mmax表示。若 力F再增大一点, 轮子就会滚动。在滚动过 程中, 滚动摩阻力偶矩近似等于Mmax 。
4.1.2 动滑动摩擦定律 动摩擦力与静摩擦力不同, 没有变化范围。一般 情况下, 动摩擦因数小于静摩擦因数, 即 f < fs。 实际上动摩擦因数还与接触物体间相对滑动的 速度大小有关。 对于不同材料的物体, 动摩擦因数随相对滑动 的速度变化规律也不同。 多数情况下, 动摩擦因数随相对滑动速度的增 大而稍减小, 但当相对滑动速度不大时, 动摩擦 因数可近似地认为是个常数。
jf q jf
FQ
A
j
FRA
jf
4.1.4 自锁现象
(2) 如果全部主动力的合力FQ 的作用线在摩擦角 jf 之外， 则无论这个力怎样小，物块 一定会滑动。因为在这种情 况下，q > j f，而j ≤j f ，支 承面的全约束力FRA和主动力 的合力FQ 不能满足二力平衡 条件。应用这个道理，可以 设法避免发生自锁现象。
FR
j
FN
FR
j
FN
Fs
Fmax
角 jf 与静滑动摩擦因数 fs 的关系为：
jf
Fmax fs FN tan jf fs FN FN
FR
FN
Fmax
即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。摩擦角与 摩擦因数一样, 都是表示材料的表面性 全约束力作用线 的方位也随之改变。
M A 0
b FN (a ) FB d FBN b 0 2
FA f s FAN
FB f s FBN
b 解得： a 2 fs
b 则挺杆不被卡住时，a 2 f s
例3 重W 的物块放在水平面上, 并有一水平力 F作用。设物块底面的长度为b, F与底面的距 离为a, 接触面间的摩擦因数为fs , 问当F逐渐增 大时, 物块先行滑动还是先行翻倒？ F 解: 1.假定物块处于滑动临 a 界平衡状态
4
4.1.3 摩擦角
当有摩擦时, 支承面对平衡物体的反力包含法向 反力 FN 和切向摩擦力Fs ,这两个力的合力称为支 承面的全约束力 FR , 它与支承面法线方向的夹角 j 将随主动力的变化而变化。 当物体处于临界平衡状态时,角j 达到一最大值 jf。全约束力与法线间的夹角的最大值jf 称为摩 擦角。 jf
将上式展开亦可得同上结果。
j f
Fmax
R2
例2 凸轮挺杆机构,不计凸轮与挺杆处摩 擦，不计挺杆质量,已知：b , d , f s , 求挺杆 不被卡住之a 值。
解：取挺杆为研究对象，设挺杆处于刚好卡住 位置。
Fx 0
Fy 0
FAN FBN 0
FA FB FN 0
4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力
FN
Fs
F P
Fx 0 : Fs F 0 Fs F
静摩擦力的大小随水平力F的增大而增大, 这是 静摩擦力和一般约束力共同的性质。 静摩擦力又与一般约束力不同, 它并不随力F 的增大而无限度地增大。
当力F的大小达到一定数值时, 物块处于将要滑 动、但尚未开始滑动的临界状态。这时, 只要 力F再增大一点, 物块即开始滑动。
N1
F1max
x
Fy 0 : Fmin sin N1 P cos 0
F1max fs N1
联立求解得： Fmin
sin fs cos P cos fs sin
y
当物块处于向上滑动的临 界平衡状态时，受力如图， 建立如图坐标。
Fmax
1
Fmin P tan( jf )
jf P R1
Fmin
当物体处于向上滑动的临界平衡状态时，受力 如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：
Fmax P tan( jf )
故力 F 应满足的条件为：
Fmax
P
P
jf
R2
P tan( jf ) F P tan( jf )
d (mm)
0. 5
材料名称 软钢与软钢
d (mm)
0. 5
木与钢
木与木
0.3～0.4
0.5～0.8
轮胎与路面
淬火钢与淬 火钢
2～10
0.01
4.3 滚动摩阻
滚动摩阻系数的物理意义
δ
例: 半径为R的滑轮B上作用有力偶, 轮上绕 有细绳拉住半径为R、重量为P的圆柱。斜 面倾角为q, 圆柱与斜面间的滚动摩阻系数 为 d，静摩擦因数为fs 。求系统平衡时的力 偶矩MB。
讨论:
分析后轮驱动的汽车前、后轮静滑动摩擦 力的方向。
前轮
G1
A N1
后轮 G2
推力 F1 A N2 F2
4.2 考虑摩擦时物体的平衡问题 考虑摩擦时, 求解物体平衡问题的步骤与前几章 所述大致相同, 但有如下的几个特点： (1)分析物体受力时, 必须考虑接触面间切向的摩 擦力Fs, 通常增加了未知量的数目; (2)为确定这些新增加的未知量, 还需列出补充方 程, 即Fs ≤ fsFN, 补充方程的数目与摩擦力的数目 相同; (3) 由 于 物 体 平 衡 时 摩 擦 力 有 一 定 的 范 围 ( 即 0≤Fs≤fsFN), 所以有摩擦时平衡问题的解有时候 有一定的范围, 而不是一个确定的值。
千斤顶的设计 由前面可知，斜面的自锁条件是斜面的倾角 小于或等于摩擦角。
jf q
q jf
q
FRA A P
斜面的自锁条件就是螺纹的自锁条件。
千斤顶的设计
螺旋千斤顶的螺杆与螺母之 间的静摩擦因数为fs＝0.1
tan jf fs 0.1
jf 5 43
为保证螺旋千斤顶自 锁, 一般取螺纹升角 q ＝4º 30' ～4º
0 ≤ Mf ≤ Mmax
4.3 滚动摩阻
0 ≤ Mf ≤ Mmax
最大滚动摩阻力偶矩Mmax 与滚子半径无 关, 而与支承面的正压力(法向反力) FN成 正比。
Mmax=d FN
这就是滚动摩阻定律, d 称为滚动摩阻系 数。具有长度的量纲, 单位一般用mm。
表4-2 滚动摩阻系数δ 材料名称 铸铁与铸 铁
Fmax fs FN
这就是静滑动摩擦定律。式中fs称为静滑动摩擦因数。
因此，静滑动摩擦力的大小随主动力的情况而 改变, 但介于零与最大值之间:
0 Fs Fmax
静摩擦因数的大小需由实验测定。它与接触物 体的材料和表面情况(如粗糙度、温度和湿度等) 有关, 而与接触面积的大小无关。
4.1.2
第 四 章 摩 擦
工程中的摩擦问题
工程中的摩擦问题
摩擦产生的原因
通常认为是接触表面凹凸不平产生摩 擦。 为了减少摩擦，总是使接触面尽量光 滑些。但是，当物体表面研磨得相当平整 的时候，滑动摩擦反而增大很多，两个接 触面像用胶水粘着似的更难滑动了。 这是因为滑动摩擦产生的原因除表面 粗糙外，还有物体表面层分子间引力的作 用。
动滑动摩擦定律
当静滑动摩擦力已达到最大值时, 若主动力 F 再继续加大, 接触面之间将出现相对滑动。 此时, 接触物体之间仍作用有阻碍相对滑动的阻 力, 这种阻力称为动滑动摩擦力, 简称动摩擦力, 以Fd表示。 实验表明: 动摩擦力的大小与接触体间的正压力 成正比
Fd f FN
式中f是动摩擦因数, 同样与接触物体的材料和 表面情况有关。
在临界状态下, FR 的作 用线将画出一个以接触 点A为顶点的锥面, 称为 摩擦锥。 设物块与支承面间沿任 何方向的摩擦因数都相 同, 即摩擦角都相等, 则 摩擦锥将是一个顶角为 2jf的圆锥。
摩擦锥
4.1.4 自锁现象 (1)如果作用于物块的全部 主动力的合力FQ的作用线在 摩擦角（锥） jf 之内，则无 论这个力怎样大，物块必保 持静止。这种现象称为自锁 现象。因为在这种情况下， 主动力的合力FQ与法线间的 夹角q < jf，因此，FQ和全 约束力FRA 必能满足二力平 衡原理。
4.1.1 静滑动摩擦力及最大静滑动摩擦力 在粗糙的水平面上放置一重为P的物体, 该物体在 重力P和法向力FN的作用下处于静止状态。
FN Fs
P P FN F
今在该物体上作用一变化的水平拉力F, 当拉力F 由零值逐渐增加但不很大时, 物体仍保持静止。 支承面对物体除法向约束力FN外, 还有一个阻碍 物体沿水平面向右滑动的切向力, 此力即静滑动 摩擦力, 简称静摩擦力, 以Fs表示, 方向向左。
jf
jf
q
A FQ
FRA j
jf
静摩擦因数的测定 利用摩擦角的概念可简单地测定静摩擦因数。 把要测定的两种材 料分别做成斜面和 物块, 把物块放在 斜面上, 并逐渐从 零起增大斜面的倾 角q, 直到物块刚开 始下滑时为止。
记下斜面倾角q, 这时的q角就是要测定的摩擦角 jf , 其正切就是要测定的摩擦因数fs。
b
F2
3. 讨论: 比较 b/2a 与f s可知 (1)如果 (2)如果
b fs 2a b fs 2a b fs 2a
则物块先翻倒。 则物块先滑动。
W A Fs
a
FN
(3)如果
则滑动与翻倒同时发生。
F1 = Fmax= fsFN = fsW
4.3 滚动摩阻
P
F
O
FN
Fs A