等差等比的性质
数列的等差与等比性质知识点总结
数列的等差与等比性质知识点总结数列是由一系列数字按照一定规律排列组成的序列，而等差与等比性质是数列中常见的两种规律。
在数学中，掌握数列的等差与等比性质对于解题和推导数学公式都具有重要意义。
本文将对数列的等差与等比性质进行详细总结。
一、等差数列1. 定义：若数列中相邻两项之差保持不变，则称该数列为等差数列。
2. 通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的差等于公差，即an - an-1 = d。
b) 等差数列的前n项和为Sn = (a1 + an) * n / 2。
c) 等差数列的任意一项可以表示为前一项与公差之和，即an = an-1 + d。
d) 若等差数列的前两项之和等于第三项，即a1 + a2 = a3，则该等差数列为等差数列。
二、等比数列1. 定义：若数列中相邻两项之比保持不变，则称该数列为等比数列。
2. 通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为r，则第n项的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
3. 性质：a) 任意一项与它的前一项的比等于公比，即an / an-1 = r。
b) 等比数列的前n项和为Sn = (a1 * (1 - r^n)) / (1 - r)。
c) 等比数列的任意一项可以表示为前一项与公比之积，即an = an-1 * r。
d) 若等比数列的前两项之积等于第三项，即a1 * a2 = a3，则该等比数列为等比数列。
三、等差与等比的联系与区别1. 联系：等差与等比数列都是按照一定规律排列的数列，且都有其通项公式和前n项和的公式。
2. 区别：a) 等差数列的相邻项之差相等，等比数列的相邻项之比相等。
b) 等差数列的公差为常数d，等比数列的公比为常数r。
c) 等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，等比数列的通项公式为an = a1 * (r^(n-1))。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质一、等差数列的性质等差数列是指一个数列中，任意相邻两项之差保持不变的数列。
下面将介绍等差数列的几个重要性质。
1. 公差等差数列中任意相邻两项之差称为公差，用d表示。
对于一个等差数列an，其公差可以表示为d=an+1 - an。
2. 通项公式等差数列可以通过通项公式来表示。
对于等差数列an，通项公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，n为项数。
3. 总和公式等差数列的前n项和可以通过总和公式来计算。
对于等差数列an，前n项和可以表示为Sn = (a1 + an) * n / 2。
4. 关于中项的性质若等差数列的项数为奇数，则中项为唯一的中间项；若项数为偶数，存在两个中项，它们的平均值即为中项。
二、等比数列的性质等比数列是指一个数列中，任意相邻两项之比保持不变的数列。
下面将介绍等比数列的几个重要性质。
1. 公比等比数列中任意相邻两项之比称为公比，用q表示。
对于一个等比数列an，其公比可以表示为q = an+1 / an。
2. 通项公式等比数列可以通过通项公式来表示。
对于等比数列an，通项公式可以表示为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，n为项数。
3. 总和公式等比数列的前n项和可以通过总和公式来计算。
对于等比数列an，前n项和可以表示为Sn = (a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，其中q ≠ 1。
4. 无穷项和若等比数列的公比0 < q < 1，则其无穷项和有限；若公比q > 1或q < -1，则等比数列的无穷项和不存在。
三、等差数列与等比数列的比较1. 增长趋势等差数列的项与项之间的差值保持恒定，因此增长趋势比较线性；而等比数列的项与项之间的比例保持恒定，因此增长趋势是指数型的。
2. 值的大小等差数列的值随着项数的增加而线性增长；而等比数列的值随着项数的增加呈指数级增长或衰减。
3. 总和差异等差数列的前n项和与项数n成正比，即总和随着项数的增加而增加；等比数列的前n项和与项数n无直接关系，总和的计算需要公比q 的取值范围进行判断。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质1. 等差数列的性质等差数列是指数列中相邻元素之间的差值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
1.1 公差对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的差值称为公差，用d表示。
即d = a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = ... = an - a(n-1)。
等差数列的公差决定了其增长或减小的速度。
当公差为正数时，数列递增；当公差为负数时，数列递减。
1.2 通项公式等差数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为an，则通项公式为an = a₁ + (n - 1)d。
利用通项公式，可以快速计算等差数列中任意一项的值。
1.3 前n项和等差数列的前n项和表示为Sn，可用来求等差数列前n项的和。
求解前n项和的公式为Sn = (n/2)(a₁ + an) = (n/2)(2a₁ + (n - 1)d)。
利用前n项和公式，可以快速计算等差数列前n项的和。
1.4 等差数列的性质等差数列具有以下一些重要的性质：- 等差数列的中项为首项与末项的算术平均数。
- 等差数列的前n项和与后n项和相等。
- 若两个数列的差构成一个等差数列，那么两个数列分别也是等差数列。
2. 等比数列的性质等比数列是指数列中相邻元素之间的比值保持不变的数列。
它具有以下几个重要的性质。
2.1 公比对于等比数列a₁, a₂, a₃, ..., an，相邻两项之间的比值称为公比，用r表示。
即r = a₂/a₁ = a₃/a₂ = ... = an/a(n-1)。
等比数列的公比决定了其增长或减小的速度。
当公比大于1时，数列递增；当公比大于0且小于1时，数列递减。
2.2 通项公式等比数列的通项公式可用来表示其任意一项。
设等比数列的首项为a₁，公比为r，第n项为an，则通项公式为an = a₁ * r^(n-1)。
利用通项公式，可以计算等比数列中任意一项的值。
2.3 前n项和等比数列的前n项和表示为Sn，可用来求等比数列前n项的和。
等差数列与等比数列的性质
7．若数列{an}(n∈N*)是等差数列，则数列 ．若数列 是等差数列， ∈ 是等差数列 bn＝ (n∈N*)也为等差数列．类 ∈ 也为等差数列 也为等差数列．
比上述性质，相应地：若数列 是等比数列， 比上述性质，相应地：若数列{cn}是等比数列，且cn＞0 是等比数列 (n∈N*)，则有 n＝______ ∈ ，则有d _____(n∈N*)也是等比数列． ∈ 也是等比数列 也是等比数列．
(5)若a1 >0,q>1,则{an }为 {an }为
递增 数列；若a1<0,q>1,则 数列；
递减
数列; 数列;若a1>0,0<q<1,则{an}为递减
数列； 递增数列； 数列；若a1<0,0<q<1，则{an}为递增数列；若q<0,则
− a1 (6)当q≠１时,Sn = 1− q
摆动数列； 数列. {an}为摆动数列；若q=1,则{an}为 常 数列.
已知等比数列{ 数列{ 8. 已知等比数列 {an} 中 ， 有 a3a11=4a7 ， 数列 {bn} 是 等差数列, 等于（ 等差数列,且b7=a7,则b5+b9等于（ C ）
A.2
B.4
C.8
D.16
因 为 a3a11=a72=4a7 ， 因 为 a7≠0 ， 所 以 a7=4，所以b7=4. 因为{ 为等差数列， 因为 {bn} 为等差数列 ， 所以 b5+b9=2b7=8 ， 故选C 故选C.
(4)若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则数列Sn,S2n-Sn,S3n(4)若 是等比数列, 1,则数列
S2n,…也是 ,…也是
等比
数列. 1,且 为偶数时, 数列.当q=-1,且n为偶数时,数
等差数列与等比数列的性质与求和
等差数列与等比数列的性质与求和等差数列与等比数列是数学中常见的两种数列类型。
它们在数学和实际应用中有着广泛的应用。
本文将分别介绍等差数列与等比数列的性质以及它们求和的方法。
一、等差数列的性质与求和等差数列是指数列中每一项与其前一项之差都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差，n表示项数。
等差数列的性质如下：1. 任意项与对应项之差相等。
等差数列的每一项与其前一项之差都相等，即an - an-1 = d。
2. 等差数列的前n项和为n倍首项与公差之和的一半。
等差数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 + an) * n / 2 = (2a1 + (n-1)d) * n / 2。
二、等比数列的性质与求和等比数列是指数列中每一项与其前一项的比都相等的数列。
如果一个数列满足这个条件，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，r表示公比，n 表示项数。
等比数列的性质如下：1. 任意项与对应项之比相等。
等比数列的每一项与其前一项的比都相等，即an / an-1 = r。
2. 等比数列的前n项和为首项与公比的n次幂减一的商与公比减一的商。
等比数列的前n项和Sn可以表示为：Sn = (a1 * (r^n - 1)) / (r - 1)。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列和等比数列在数学和实际应用中都有着广泛的应用。
等差数列的应用包括：1. 数学中常见的算术运算中，如加减、乘除等。
2. 财务、经济学中的计算和推导。
3. 物理学中时间、距离等方面的推导。
等比数列的应用包括：1. 数学中常见的指数运算，如乘方、开方等。
2. 经济学、金融学中的计算和推导。
3. 生物学、物理学中比例关系的研究。
初中数学中的等差数列与等比数列
初中数学中的等差数列与等比数列在初中数学中，等差数列和等比数列是两个重要的概念。
它们在数列及其应用中具有重要的地位和作用。
本文将介绍等差数列和等比数列的定义、性质以及它们在数学问题中的应用。
一、等差数列等差数列是指数列中任意两个相邻数之差相等的数列。
数列中的这个常数差称为等差数列的公差。
1. 定义设数列 {an} 是一个等差数列，若存在常数 d，对于任意的正整数 n （n≥2），都有 an - an-1 = d 成立，则称数列 {an} 是一个等差数列，公差为 d。
2. 性质等差数列的常用性质如下：（1）通项公式：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1)d。
（2）前 n 项和公式：设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则前 n 项和的公式为 Sn = (a1 + an) * n / 2，其中 an 为第 n 项。
3. 应用等差数列在代数运算中有广泛的应用，比如计算数列的和、寻找数列的规律等。
在解决实际问题时，等差数列也常常发挥着重要的作用。
比如在等间隔的时间内，某物体的位置、速度等等问题都可以用等差数列来表示和求解。
二、等比数列等比数列是指数列中任意两个相邻数的比相等的数列。
数列中的这个常数比称为等比数列的公比。
1. 定义设数列 {an} 是一个等比数列，若存在常数 q（q ≠ 0），对于任意的正整数 n（n≥2），都有 an / an-1 = q 成立，则称数列 {an} 是一个等比数列，公比为 q。
2. 性质等比数列的常用性质如下：（1）通项公式：设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则第 n 项的通项公式为 an = a1 * q^(n - 1)。
（2）前 n 项和公式：设等比数列的首项为 a1，公比为 q，则前 n项和的公式为 Sn = a1 * (q^n - 1) / (q - 1)。
3. 应用等比数列在数学和实际问题中都有许多应用。
(完整版)等差数列及等比数列的性质总结
等差数列与等比数列总结一、等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用小写字母d 表示；等差中项，如果2ba A +=，那么A 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等差数列，那么等差中项等于另两项的算术平均数；等差数列}{a n 的通项公式：）N n （d ）1-n （a a 1n *∈+=； 等差数列}{a n 的递推公式：）2n （d a a 1n n ≥+=-；等差数列}{a n 的前n 项和公式：n S =2n）a a （n 1⨯+=d 2）1-n （n na 1⨯+= 中12na n ）2d-a （n ）2d （=⨯+⨯； 【等差数列的性质】 1、d ）1-n （a a m n +=【说明】n 11m a d ）1-n （a d ）m -n （d ）1-m （a d ）m -n （a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ，且m+n=p+q ，则有q p n m a a a a +=+【说明】q p 11n m a a ）2-q p （a 2d ）2-n m （a 2a a +=++=++=+3、md 成等差数列，公差为、a 、a 、a m 2k m k k ⋯⋯++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =⋯⋯==+++4、k ）1-n （nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ，S -S ，S ⋯⋯成等差数列，公差为d n 2【说明】d n ）a a a （-）a a a （S -）S -S （2n 21n 22n 1n n n n 2=+⋯⋯+++⋯⋯++=++，）a a a （-）a a a （）S -S （-）S -S （n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+⋯⋯+++⋯⋯++=++++⋯⋯=，d n 25、数列}{a n 成等差数列Bn An S ，a a a 2，q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=⇔+【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，n S =d 2）1-n （n na 1⨯+= n ）2d -a （n ）2d （12⨯+⨯ 6、若数列}{a n 是等差数列，则}{c n a为等比数列，c>0【说明】d a-a a ac c cc 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2nS -S 奇偶⨯=当n 为奇数时，n a S 中n ⨯=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶⨯=+⋯⋯++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+⋯⋯++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=⨯++⨯+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a 项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a += 9、1-d ，0a ），则q p （p a ，q a q p q p ==≠==+q --p a ），则q p （p S ，q S q p q p =≠==+ 0a ），则q p （S S q p q p =≠=+【说明】0q -q qd a a ，1-d q -p d ）q -p （a -a p q p q p ==+==⇒==+ 2-a a p -q 2）q -p ）（a a （）a a （S S p 1q p 1q p 1q q p =+⇒=+=+⋯⋯+=-+++q --p 2）q p ）（a a （2）q p ）（a a （S p 1q q p 1q p =++=++=+++二、等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比常用小写字母q 表示；等比中项，如果ab G 2=，那么G 叫做a 与b 的等差中项；如果三个数成等比数列，那么等差中项的平方等于另两项的积；等比数列}{a n 的通项公式：）N n （q a a 1-n 1n *∈=；等比数列}{a n 的递推公式：）2n （q a a 1n n ≥=-；等比数列}{a n 的前n 项和公式：n S =⎪⎩⎪⎨⎧≠==1q ，q -1q a -a q -1）q -1（a 1q ，na n 1n 11 【等比数列的性质】 1、m -n m n q a a ⋅=【说明】n 1-n 1m -n 1-m 1m -n m a q a q q a q a =⋅=⋅⋅=⋅ 2、若m 、n 、k 、l *∈N ，且l k n m a a a a ，l k n m ⋅=⋅⋅=⋅【说明】l k 2-l k 212-n m 21n m a a q a q a a a ⋅===⋅++ 3、m m 2k m k k q ，成等比数列，公比为、a 、a 、a ⋯⋯++ 【说明】m mk m 2k k m k q a aa a ==+++ 4、k ）1-n （nk k 23k k k 2k S -S S -S 、S -S 、S ⋯⋯成等比数列，公比为nq【说明】n n21n22n 1n n n n 2q a a a a a a S S -S =+⋯⋯+++⋯⋯++=++ 5、数列}{a n 成等比数列）1-q （A S ，q p a ，a a a nn n n 1n 1-n 2n =⋅=⋅=⇔+【说明】）1-q （1-q a q -1）q -1（a S ，q q a qa a n 1n1n n 11-n 1n ==⋅=⋅= 6、若数列}{a n 是等比数列，则0a 为等差数列，}a {log n n c > 【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n42奇偶=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+⋯⋯+++⋯⋯++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ⋅=当n 为偶数时，n中奇中偶奇2n奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =⋅⋯⋯⋅⋅⋅⋯⋯⋅⋅=； n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =⋯⋯⋅⋅=⋅⋯⋯⋅⋅=。
等比等差知识点
等比等差是数学中常见的两种数列，它们有着重要的应用和特点。
本文将介绍等比数列和等差数列的基本概念、性质以及常见的应用。
一、等差数列1.定义等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之差都相等。
这个相等的差值称为公差，通常用字母d表示。
一个等差数列可以用首项a1和公差d来表示。
2.性质等差数列有以下性质：•公差d是常数。
•第n项an可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。
•第n项an和第m项am之间的差可以通过公式am - an = (m - n)d 来计算。
•等差数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。
3.应用举例等差数列在实际生活中有着广泛的应用。
例如，考虑一个连续保存每天销售额的数据表格，如果销售额满足等差数列，那么可以使用等差数列的性质来计算某一段时间内的总销售额。
二、等比数列1.定义等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每个数与其前面的数之比都相等。
这个相等的比值称为公比，通常用字母q表示。
一个等比数列可以用首项a1和公比q来表示。
2.性质等比数列有以下性质：•公比q是常数。
•第n项an可以通过公式an = a1 * q^(n-1)来计算。
•第n项an和第m项am之间的比可以通过公式am / an = q^(m - n)来计算。
•等比数列的前n项和Sn可以通过公式Sn = a1 * (1 - q^n) / (1 - q)来计算（当q不等于1时）。
3.应用举例等比数列在实际生活中也有许多应用。
例如，考虑一个存款账户每年按照一定比例产生的利息，如果每年的利息满足等比数列，那么可以使用等比数列的性质来计算多年后账户的总金额。
三、等比数列与等差数列的关系等比数列和等差数列在某些情况下存在一定的关系，并可以相互转化。
如果一个等比数列的公比为q，则将该等比数列取对数，得到的数列就是一个等差数列，公差为ln(q)。
四、总结在数学中，等比数列和等差数列是两个重要的数列概念。
等差数列与等比数列的性质
等差数列与等比数列的性质数列在数学中起着重要的作用，它们是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
其中，等差数列和等比数列是最常见的两种数列类型，它们都有着自身特定的性质和规律。
本文将介绍等差数列和等比数列的性质以及它们在数学中的应用。
一、等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差固定的数列。
设数列的首项为a₁，公差为d，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。
1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
假设首项为a₁，公差为d，则等差数列的通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
1.2 等差数列的前n项和等差数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之和的一半再乘以项数来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = n * (a₁ + aₙ) / 2。
1.3 等差数列的性质等差数列具有以下性质：（1）相邻两项之差相等；（2）任意三项成等差数列；（3）n个连续的自然数之和为n²；（4）若等差数列的和等于某项的积，则这些项必为等差数列。
二、等比数列的性质等比数列是指数列中相邻两项之比固定的数列。
设数列的首项为a₁，公比为q，则它的一般项可表示为aₙ = a₁ * q^(n-1)，其中n为项数。
2.1 等比数列的通项公式等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
假设首项为a₁，公比为q，则等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
2.2 等比数列的前n项和等比数列的前n项和可以通过项数和首项、末项之差再除以公比再加1来表示。
设前n项和为Sₙ，则Sₙ = (a₁ * (q^n - 1)) / (q - 1)。
2.3 等比数列的性质等比数列具有以下性质：（1）相邻两项之比相等；（2）任意三项成等比数列；（3）若等比数列的前n项和存在，则当n趋向无穷时，和趋向于无穷；（4）若等比数列的各项均为正数，且和存在，则公比q必定在0到1之间。
三、等差数列与等比数列的应用等差数列与等比数列在数学中有着广泛的应用。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用数列是数学中一个重要的概念，它由一系列按特定规律排列的数所组成。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式，它们都有着独特的性质和广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质，并介绍其在数学和实际生活中的应用。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中相邻两项之差保持相等的数列。
等差数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列中相邻两项的差称为公差，常用字母d表示。
公差决定了等差数列中每一项之间的差距大小。
2. 前n项和：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n(a1+an)/2来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，an为第n项。
3. 性质应用：等差数列的性质在数学中有着广泛的应用。
例如，等差数列可以用来求解数字排列问题、时间序列问题等。
此外，在数学类题目中，等差数列也经常用于证明数学关系和推导数学公式。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中相邻两项之比保持相等的数列。
等比数列的通项公式可以用来表示第n项与首项之间的关系，其形式为an=a1*r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列中相邻两项的比称为公比，常用字母r表示。
公比决定了等比数列中每一项与前一项的比值大小。
2. 前n项和：等比数列的前n项和可以通过求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)来计算，其中Sn表示前n项的和，a1为首项，r为公比。
3. 性质应用：等比数列的性质在数学和实际生活中都有重要应用。
在数学中，等比数列可以用来模拟人口增长、金融投资、质量衰减等问题。
在实际生活中，等比数列的应用更为广泛，例如在经济领域中用于分析利润、销售额、成本等指标的变化规律。
三、等差数列与等比数列的联系与区别等差数列和等比数列都是有序排列的数列，它们之间存在联系与区别。
了解等差数列与等比数列的一般性质
了解等差数列与等比数列的一般性质数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的。
等差数列和等比数列是数学中常见的两种数列，它们具有一些特定的性质和规律。
在本文中，我们将深入探讨等差数列和等比数列的一般性质，以帮助读者更好地理解和应用这两种数列。
一、等差数列的一般性质等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。
比如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，其中公差为2。
等差数列具有以下一般性质：1. 公差的性质：等差数列的公差是指相邻两项之差，用字母d表示。
公差d决定了等差数列的增量大小和方向。
如果d>0，则数列递增；如果d<0，则数列递减；如果d=0，则数列为常数数列。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则通项公式为aₙ = a₁ + (n-1)d。
通项公式可以帮助我们快速计算等差数列中任意一项的值。
3. 数列求和：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示。
设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则求和公式为Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)。
求和公式可以帮助我们快速计算等差数列的前n项和。
4. 等差数列的性质：等差数列具有反向性、对称性和平均性。
反向性指的是等差数列的反向数列仍然是等差数列；对称性指的是等差数列关于中项对称；平均性指的是等差数列的任意三项的和等于这三项的平均数乘以3。
二、等比数列的一般性质等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。
比如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，其中公比为2。
等比数列具有以下一般性质：1. 公比的性质：等比数列的公比是指相邻两项之比，用字母q表示。
公比q决定了等比数列的增长速度和方向。
如果q>1，则数列递增；如果0<q<1，则数列递减；如果q=1，则数列为常数数列。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以用来表示数列中任意一项的值。
比较全面的等差等比数列的性质总结
比较全面的等差等比数列的性质总结
等差等比数列是一种重要的数列，它在数学、物理和经济学中都有重要的应用。
它的性质可以用以下几点来总结：
一．概念：等差等比数列是指数列中各项之差和各项之比都是相同的数列。
二．公式：设等差等比数列{an}的首项a1、公差d、公比q都为实数（q≠1）。
通常记作an=a1qn-1（n>1）。
三．通项公式：设a1和q都是实数，n是正整数，an=a1qn-1，如果p也是实数，则Sn=a1(qn-1-1)/(q-1)。
四．性质：
（1）等差等比数列{an}的各项之差都是一个相同的实数d，即有an+1 – an = d。
（2）等差等比数列{an}的各项之比都是一个相同的实数q，即有an/an-1=q。
（3）等差等比数列{an}的各项之和 (Sn) 可以由下式：Sn = a1(qn-1-1)/(q-1) 求出。
五．特殊情况：
（1）等差数列：若系数q=1，则该等差数列是以实数d为公差的等差数列，公式为：an = a1 + (n-1)d。
（2）等比数列：若系数d=0，则该等比数列是以实数q为公比的等比数列，公式为：an = a1qn-1。
以上就是等差等比数列的基本性质，它具有比较完整的总结和解法，可以为我们省去不少繁琐的推导。
使用这种方法可以大大提高我们在分析数学中等差等比数列问题时的效率。
等差等比数列的性质20条
1等差数列和等比数列的性质1、等差数列的性质：（11条）（1）首尾项性质：在有穷等差数列中，距首末两项等距离的两项之和就等于首末两项之和，即：n n n a a a a a a --+=+=+=12132特别的，若总项数为奇数，则等于中间项的两倍，即：n a a a +=12中 推广：1、若(),,,*p q r s p q r s N +=+∈，则P q r s a a a a +=+ 2、若m n p +=2，则m n p a a a +=2（2）若{}{},n n a b 均为等差数列，则{}{}(),,n n n ma ma kb m n R ±∈也为等差数列；依次将等差数列{}n a 中间隔相同的项抽取出来所得新数列仍为等差数列；依次将等差数列{}n a 中连续的间隔相同的项作和所得新数列仍为等差数列；（3）{}n a 是有限项公差为d 的等差数列，则1、若总项数为n -21，则()(),-,+-,n n n S na S n a S S n a ===121奇偶奇偶,-,n S n S S a S n ==-1奇奇偶偶（其中n a 为中间项） 2、若总项数为n 2，则(),,+,n n n n S na S na S S n a a ++===+11奇偶奇偶 ,-,n n S a S S nd S a +==1奇偶奇偶（其中n a 和n a +1为中间两项）（4）顺次n 项和性质：若{}n a 为等差数列，则其前n 项和n S 、次n 项和n nS S -2、末n项和n nS S -32仍成等差数列，即()()n n n n n S S S S S -=+-2322（5）若等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，则有,n n n n a S b T --=2121（6）若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若有()()m n m SS n ---=-2212212121，则有,m n a m a n -=-2121（7）若{}n a 为等差数列，且,p q a q a p ==，则p q a +=0（8）若{}n a 为等差数列，且,p q S q S p ==，则()p q S p q +=-+ （9）若{}n a 为等差数列，若()p q S S p q =≠，则p q S +=0 （10）若{}n a 为等差数列，则{}(),na Cc c >≠01是等比数列。
等差数列及等比数列的性质总结
【说明】）d -a （dn d ）1-n （a a 1m n +=+=，nS =d 2）1-n （n na 1´+【说明】d a -a a ac c c c 1-n n 1-n n ==7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S += 当n 为偶数时，d 2n S -S 奇偶´=当n 为奇数时，n a S中n´=，中偶奇a S -S =，1-n 1n S S 偶奇+=【说明】当n 为偶数时，d 2n ）a -a （）a -a （）a -a （S -S 123-n 2-n 1-n n 奇偶´=+¼¼++= 当n 为奇数时，中11-n n 231偶奇a d 21-n a ）a -a （）a -a （a S -S =+=+¼¼++=，，1-n 1n 21-n ）a a （2121n ）a a （21S S 1-n 2n 1偶奇+=´++´+=n a S S -S S S 中n 偶奇偶奇==+ 8、设1-2n 1-n 2n n n n n n T Sb a项和，则n 的前}{b 、}{a 分别表示等差数列T 和S = 【说明】nn 中中1-2n 1-n 2b ab ）1-n 2（a ）1-n 2（T S == 【例】等差数列1515n n n n n n b a，求1-n 31n 5T S ，若T 和S 项和分别为n 的前}{b 、}{a +=9、1-d ，0a），则q p （p a ，q a qp qp==¹==+q--p a），则q p （p S ，q S qp qp=¹==+a），则q p （S S qp qp=¹=+= n ）2d-a （n ）2d （12´+´ 6、若、若数列数列}{a n是等差数列，则}{c n a 为等比数列，c>0+ïîí，q -1q a -a q -1）q -1（a n 11【说明】m 2k m k a a a a ++【说明】n 22n 1n n n 2a a a a a a S S -S +¼¼++++++【说明】q log a a log a log -a log c 1-n nc1-n c n c == 7、偶奇n 偶奇n S S S 表示偶数项的和，则S 表示奇数项的和，S 项和，n 是前S +=；若n 为偶数时，q a a 奇偶=；当n 为奇数时，q S a -S 偶1奇=；【说明】当n 为偶数时，q a a a a a a a a 1-n 41n 42奇偶=+¼¼+++¼¼++=； 当n 为奇数时，q a a a a a a S a -S 1-n 42n 53偶1奇=+¼¼+++¼¼++=； 8、设偶奇n 偶奇n T T T 表示偶数项的积，则T 表示奇数项的积，T 项积，n 是前T ×=当n 为偶数时，n 中奇中偶奇2n 奇偶a T ，a T T 为奇数时，n ；当q T T ===；【说明】当n 为偶数时，2n 1-n 42n42奇偶q a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；当n 为奇数时，中1-n 42n421偶奇a a a a a a a a T T =×¼¼×××¼¼××=；n中1-n 2n 1n 21奇a a a a a a a a T =¼¼××=×¼¼××=。
等差等比数列知识点 归纳总结
等差等比数列知识点归纳总结数学中的数列是一系列按照一定规律排列的数的集合。
在数列中，等差数列和等比数列是两种常见的形式。
它们具有一些特定的性质和规律，对于理解数学的推理和应用领域都具有重要意义。
本文将对等差数列和等比数列的知识点进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、等差数列的概念和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之差称为等差d。
等差数列通常表示为{a，a + d，a + 2d，...}，其中a是首项，d是公差。
等差数列具有以下性质：1. 公差：等差数列的公差是相邻两项之差，常用字母d表示。
2. 通项公式：等差数列的通项公式可以通过首项和公差来表示。
通项公式为an = a + (n - 1)d，其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。
3. 首项和末项：等差数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等差数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = (n/2)(a + an)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之和：对于相等间隔的等差数列，任意两项之和都等于首项和末项的和。
二、等比数列的概念和性质等比数列是指数列中的相邻两项之商保持恒定的数列。
每一项与它的前一项之比称为公比r。
等比数列通常表示为{a，ar，ar^2，...}，其中a是首项，r是公比。
等比数列具有以下性质：1. 公比：等比数列的公比是相邻两项之比，常用字母r表示。
2. 通项公式：等比数列的通项公式可以通过首项和公比来表示。
通项公式为an = a * r^(n-1)，其中an表示第n项，a表示首项，r表示公比。
3. 首项和末项：等比数列的首项为a，末项为an。
4. 求和公式：等比数列的前n项和可以使用求和公式来表示。
求和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。
5. 通项之积：对于相等间隔的等比数列，任意两项之积都等于首项和公比的幂次方之积。
等差数列与等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列的性质与应用等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式。
它们不仅具有一些特殊的性质，而且在实际生活和其他学科中有广泛的应用。
本文将探讨等差数列和等比数列的性质及其应用，帮助读者更好地理解和运用这两种数列形式。
一、等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，则该数列为等差数列。
等差数列的性质如下：1. 公差：等差数列的公差表示了每一项与它的前一项之间的差值。
公差为正数时，数列递增；公差为负数时，数列递减。
公差值的大小决定了数列项之间的间隔。
2. 通项公式：等差数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等差数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常常见，例如计算等差数列的累计收入、人口增长等。
来表示时间的流逝、距离的增长、数学函数中的连续变化等。
通过等差数列，我们可以更好地分析和预测某些变化规律，进而指导实际问题的解决。
二、等比数列的性质与应用等比数列是指数列中的每一项与它的前一项之比都相等的数列。
具体地说，如果数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，则该数列为等比数列。
等比数列的性质如下：1. 公比：等比数列的公比表示了每一项与它的前一项之间的比值。
公比大于1时，数列递增；公比在0和1之间时，数列递减。
公比的大小决定了数列项之间的倍数关系。
2. 通项公式：等比数列的通项公式表示了数列中任意一项与首项之间的关系。
通过通项公式，我们可以轻松计算出数列中任意一项的值。
3. 前n项和公式：等比数列的前n项和公式可以计算数列中前n项的和。
这个公式在实际应用中非常重要，例如计算等比数列的总利润、物质累积等。
用来表示指数增长、利润的倍增、生物种群的繁衍等。
等差、等比数列性质及其综合BK
等差、等比数列性质及其综合一、等差数列及其性质1、等差数列的概念：1 2,n n d a a n n N d -=-≥∈（）为常数.2、等差数列通项公式及其性质：（1）通项公式：d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=，从而mn a a d mn --=. （2）等差中项：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （3）等差数列的前n 项和公式：22111()(1)1()2222n n n a a n n d S na d n a d n An Bn +-==+=+-=+ （其中A 、B 是常数，所以当0d ≠时，n S 是关于n 的二次式且常数项为0） （4）当r k q p n m ==+=+2时,则有r k q p n m a a a a a a ≠=+=+2 （5）若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}{}12n n n a b a b λλλ++，都为等差数列.（6）若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S --，…也成等差数列，公差为d n 2. （7）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，当项数为奇数12+n 时，则a n+1是项数为21n +的等差数列的中间项，即n n a n S )1+2(=.二、等比数列概念及性质 1、等比数列定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比. 2、等比数列通项公式及其性质：（1）通项公式：mn m n n q a q a a --==11，从而mnm n a a q =-. （2）等比中项：若a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等差中项，即ab G =2.（3）前n 项和：○1当1q =时， 1n S na =；○2当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--=A Aq n +—(q a A —1=1).（4）当r k q p n m ==+=+2时,则有r k q p n m a a a a a a ≠==2.（5）若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n b a 也是等比数列.（6）{}n a 为等比数列,则数列n S ，2n n S S -，32,n n S S -⋅⋅⋅，成等比数列，公比为n q . 三、数列中最大或最小项的求法1.最大项：⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a ；2.最小项：⎩⎨⎧≤≤-+11n nn n a a a a .相关习题一、等差数列及其性质1.（2011重庆文)在等差数列{}n a 中，22a =，3104,a a =则＝（ ）A ．12B ．14C ．16D ．182.（2012辽宁文）在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=（ ） A . 12 B . 16 C . 20 D . 243.（2011全国卷文)设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差2d =，242=-+k k S S ，则k =（ ）A . 8B . 7C . 6D . 54.（2013安徽文）n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，8374,2S a a ==-，则9a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．25.（2013辽宁卷文）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列； {}2:n p n a 数列是递增数列；3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列；{}4:3n p a nd +数列是递增数列； 其中的真命题为（ ） A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p6.（2102北京文）已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，若211=a ，S 2=a 3，则 a 2=______，S n =_______；7.（2013重庆文）若2、a 、b 、c 、9成等差数列，则c a -=___________.二、等比数列及其性质1.(2012安徽文)公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数， 3a 11a =16，5a =( ) A ．1B ．2C ．4D ．82.（2013课标Ⅰ文）首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-3.（2013北京卷文）若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则公比q =_____； 前n 项和n S =__ ___；4.（2013广东卷（文）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234||||a a a a +++=________；5.（2013江西文）某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每 天植树的棵树是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N*)等于_____________. 三、等差、等比数列及其综合1.(2012四川文)设函数3()(3)1f x x x =-+-，数列{}n a 是公差不为0的等差数列，127()()()14f a f a f a ++⋅⋅⋅+=，则127a a a ++⋅⋅⋅+=（ ）A .0B .7C .14D .212.（2011浙江卷文)若数列2(4)()3nn n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中的最大项是第k 项，则k =_______.3.（2013福建卷文）已知等差数列{}n a 的公差1d =，前n 项和为n S .(1)若131,,a a 成等比数列，求1a ； (2)若519S a a >，求1a 的取值范围.4.（2012重庆文）已知{}n a 为等差数列，且13248,12,a a a a +=+= （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记{}n a 的前n 项和为n S ，若12,,k k a a S +成等比数列，求正整数k 的值.5.（2011四川文）﹛n a ﹜是以a 为首项，q 为公比的等比数列，n S 为它的前n 项和. （1）当134,,S S S 成等差数列时，求q 的值；（2）当m S ，n S ，i S 成等差数列时，求证：对任意的自然数k ，k m a +、k n a +、k i a +也成等差数列.。
数列的等差与等比性质
数列的等差与等比性质在数学中，数列是由一系列按照特定规律排列的数字组成的序列。
在数列中，常常出现两种重要的性质，即等差性质和等比性质。
本文将讨论这两种性质，并且介绍它们在实际生活中的应用。
一、等差性质等差数列是指数列中每个相邻的数之间的差都相等的数列。
具体地说，如果一个数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d 为公差，n为数列中的第n项，那么它就是一个等差数列。
等差数列的性质有很多，下面介绍其中几个重要的性质：1. 公差求和公式对于等差数列的前n项和Sn，可以使用公式Sn = n(a1 + an)/2来计算。
其中，a1为首项，an为数列的第n项，n为项数。
2. 通项公式对于等差数列，可以通过第一项和公差来确定第n项的值。
通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。
3. 等差中项对于等差数列中的两个项，可以通过求平均数的方式得到它们的等差中项。
具体地说，对于第m项和第n项，m+n的平均数就是它们的中项。
等差数列的应用广泛。
例如，在日常生活中，我们常常碰到每天存入固定金额的储蓄账户。
这种储蓄方式可以看作是一个等差数列，每个月的存款金额都相差固定数值，通过等差性质可以方便地计算出未来的存款总额。
二、等比性质等比数列是指数列中每个相邻的数之间的比值都相等的数列。
具体地说，如果一个数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r 为公比，n为数列中的第n项，那么它就是一个等比数列。
等比数列也有一些重要的性质，如下所示：1. 公比求和公式对于等比数列的前n项和Sn，可以使用公式Sn = a1 * (1-r^n)/(1-r)来计算。
其中，a1为首项，r为公比，n为项数。
2. 通项公式对于等比数列，可以通过第一项和公比来确定第n项的值。
通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。
3. 等比中项对于等比数列中的两个项，可以通过求它们的平方根来得到它们的等比中项。
等差数列与等比数列的概念与性质
等差数列与等比数列的概念与性质等差数列和等比数列是数学中常见且重要的数列类型。
它们在各个领域中都有广泛的应用，从金融到物理，从自然科学到社会科学。
本文将介绍等差数列和等比数列的概念、性质和应用，以帮助读者更好地理解这两个数列的特点与应用。
一、等差数列的概念和性质1. 概念：等差数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差相等。
这个差被称为等差数列的公差，常用字母d表示。
2. 性质：- 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ + (n-1)d 。
- 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和为Sₙ，则Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2。
- 等差数列的性质：（1）若首项相同，公差不同的两个等差数列相交，其交点仍为等差数列。
（2）若两个等差数列的公差之比为整数，则其和仍为等差数列。
（3）等差数列的前n项和与项数n成正比，即Sₙ与n成一次函数关系。
二、等比数列的概念和性质1. 概念：等比数列是指一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比相等。
这个比被称为等比数列的公比，常用字母q表示。
2. 性质：- 等比数列的通项公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，则第n项aₙ可由以下公式表示：aₙ = a₁ * q^(n-1)。
- 等比数列的前n项和公式：设等比数列的首项为a₁，公比为q，前n项和为Sₙ，则Sₙ = a₁ * (1 - qⁿ)/(1 - q)。
- 等比数列的性质：（1）若首项相同，公比不同的两个等比数列相交，其交点仍为等比数列。
（2）若两个等比数列的公比之比为整数，则其和仍为等比数列。
（3）等比数列的前n项和与项数n成正比，但比值不为常数。
三、等差数列与等比数列的应用1. 等差数列的应用：（1）在金融领域中，等差数列用于计算复利的增长情况。
（2）在物理学中，等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位置和速度变化。
等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法
等差数列等比数列相关性质和公式以及数列的求和方法数列是数学中重要的概念之一，是由一系列按照特定规律排列的数所组成的序列。
其中，等差数列和等比数列是最常见且最重要的两种数列。
本文将介绍等差数列和等比数列的相关性质和公式，以及数列的求和方法。
一、等差数列等差数列是指数列中的任意两个相邻的项之差都相等的数列。
常见的等差数列通常以"a"开头，公差为"d"。
以"an"表示等差数列的第n项，其通项公式为：an = a + (n - 1)d其中，a为首项，d为公差，n为项数。
等差数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等差中项数列，中项数等于项数减一2.等差数列的前n项和公式为：Sn=(2a+(n-1)d)*n/2其中，Sn为前n项和。
二、等比数列等比数列是指数列中的任意两个相邻的项之比都相等的数列。
常见的等比数列通常以"a"开头，公比为"r"。
以"an"表示等比数列的第n项，其通项公式为：an = a * r^(n - 1)其中，a为首项，r为公比，n为项数。
等比数列的性质和公式有：1.任意连续三个项可以构成一个等比中项数列，中项数等于项数减一2.等比数列的前n项和公式为：Sn=a*(r^n-1)/(r-1)其中，Sn为前n项和。
数列的求和是指计算数列中一定项数的所有项的和。
常见的数列求和方法有以下几种：1.直接相加法：即将数列中的每一项相加得到和。
适用于项数较少、数值较小的数列。
2.通项法：利用数列的通项公式计算出每一项的值，再将这些值相加得到和。
适用于项数较多的数列。
3.分组求和法：将数列分成若干组，然后计算每组的和，最后将每组的和相加得到总和。
适用于数列中存在规律性的分组。
4.差分法：对等差数列求和，可以通过差分法简化计算。
差分法是指利用等差数列的性质，将数列的求和问题转化为差分的求和问题。
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等差数列
1. 定义：d a a n n =-+1或)2(1≥=--n d a a n n （用于证明数列是等差数列） 例：1.增减性：设等差数列{}n a 的公差为d ，若数列{}
n a a 12为递减数列，则 （ ） A.0<d B.0>d C.01<d a
D.01>d a
2.已知{}n a 和{}n b 均是等差数列，q p ,是常数，则下列数列是等差数列的序号为_________.
①{}q pa n +②{}
2
n a ③{}n n qb pa +④{}n na
3.已知数列{}n a 满足41=a ，),2(441*-∈≥-=N n n a a n n ，设2
1
-=
n n a b . （1）求证：数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.
跟踪训练：
1.已知数列{}n a 满足22
2
1=-+n n a a ，21=a ，求n a
2.已知数列{}n a 满足11=a ，3
22
1++-
=+n n n a a a . （1）求证：数列⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+11n a 是等差数列；
（2）求数列{}n a 的通项公式.
2.等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=（关于n 的一次函数） 例.已知等差数列满足m a n a n m ==,，则=+n m a _________.
与通项公式有关的性质： （1）d m n a a m n )(-+=
例1.已知{}n a 是等差数列，68=a ，则=-1193
1
a a __________.
例2.在等差数列{}n a 中，b a a a a a =+=+2019109,，则=+10099a a __________. （2）如果q p n m +=+，那么q p n m a a a a +=+
例.已知等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项和为25，后10项和为75，则项数n 为_________.
（3）如果k n m 2=+，那么k n m a a a 2=+，其中k a 是m a 和n a 的等差中项，也称
n k m a a a ,,成等差.（若数列满足112+-+=n n n a a a ，则也可证明此数列是等差数列） 例1.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________.
例2.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________． 3.等差数列的前n 项和公式：=n S 2)(1n a a n +=d n n na 2
)
1(1-+
（关于n 的二次函数且常数项为0，记作Bn An +2） 与n S 有关的性质
（4）n n n n n S S S S S 232,,--成等差 设n S 是n a 的前n 项和，若
3163=S S ，则12
6S S
=________。
（5）已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，则
1
21
2--=
n n n n T S b a 例.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45
n ＋3，则
使得a n
b n
为整数的正整数的个数是
( )．
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4.关于n S 的最值问题
1.0,01<>d a 可求n S 的最大值；0,01><d a 可求n S 的最小值
法一.求出n S 的表达式转化二次函数最值问题，需注意n 取整的条件；法二.求出变号临界项
例1.在等差数列{}n a 中，若01>a ，且13853a a =，则n S 中的最大项是（ ） A.19S
B.20S
C.21S
D.22S
例2.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15,731-=-=S a . （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求出n S 的最小值.
2.求0>n S 或0<n S 成立的n 的最值（找已知条件）
例.设{}n a 为等差数列，0,0,076761<⋅>+>a a a a a ，则使其前n 项和0>n S 成立的最大自然数n 是_________. 3.特殊求和.
例 1.在数列{}n a 中，82=a ，25=a ，且)(221*++∈=-N n a a a n n n ，则
1021a a a +⋅⋅⋅++的值是__________. 例2.S n 为等差数列
的前n 项和，且1a =1 ，7S =28 记
，其中
表
示不超过x 的最大整数，如[0.9] = 0，[lg99]=1。
（I ）求1b ，11b ，101b ； （II ）求数列
的前1 000项和.
等比数列
1.定义：
q a a n n =+1或)2(1
≥=-n q a a
n n （用于证明数列是等比数列） 例1.等比数列的增减性：
已知递增的等比数列{}n a 的公比为q .其前n 项和0<n S ，则（ ） A.10,01<<<q a B.1,01><q a C.10,01<<>q a D.1,01>>q a
例2：已知数列{}n a 满足n n n a a a a a 3
2
35,1,311221-===++.
证明：{}n n a a -+1是等比数列，并求出n a 的通项公式.
跟踪训练：已知数列{}n a 满足12,111+==+n n a a a . 求证：数列{}1+n a 是等比数列 并求出n a 的通项公式.
2.通项公式：11-⋅=n n q a a （关于n 的指数型） 若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )． A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
与通项公式有关的性质： ①m n m n q a a -⋅= 例1.
等比数列{}n a 的公比0>q ，已知12=a ，n n n a a a 612=+++，则n a 的通项公
式是__________.
例2.
数列{}n x 满足1lg lg 1+=+n n x x ，且10010021=+⋅⋅⋅++x x x ，则)l g (200102101x x x +⋅⋅⋅++等于__________.
②如果q p n m +=+，那么q p n m a a a a ⋅=⋅
③如果k n m 2=+，那么2
k n m a a a =⋅，其中k a 是m a 和n a 的等比中项，也称
n k m a a a ,,成等比.（若数列满足112
+-⋅=n n n a a a ，则也可证明此数列是等比数列） 2.前n 项和公式：)1(1)1(1≠--=q q
q a S n n
例1.已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝t ·5n －2－1
5，则实数t 的值为( )．
A ．4
B ．5
C.4
5
D.15
例2.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=+a a ，则2
5
S S =_________. 例3.已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝1
3.
(1)S n 为{a n }的前n 项和，证明：S n ＝
1－a n
2
； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．
与n S 有关的性质：
n n n n n S S S S S 232,,--成等比且公比为n q
例1.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，60,542==n n S S ，则=n S 3________. 例 2.已知各项均是正数的等比数列{}n a ，10,5987321==a a a a a a ，则
=654a a a _________.
4.等差等比的综合应用
例1.已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.
例 2.在等比数列{}n a 中，若公比1>q ，且5,66482=+=⋅a a a a ，则
=7
5
a a __________. 例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，则{}n a 的公比是__________.。