高三数学一轮复习 第3章 第4课时 三角函数的图象和性质 文 新人教版A

{注意点2} 注意弦函数的有界性和定义域 弦函数：|sin x|≤1，|cosx|≤1，(x∈R)
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考点突破 题型透析
考点一 三角函数的定义域、值域、最值
3．函数 y＝cos2x＋sinx|x|≤4π的值域为__________． 函数变为 y＝1－sin2x＋sin x.
设 t＝sin x，|x|≤4π，∴t∈－ 22， 22. 函数变为 f(t)＝－t2＋t＋1＝－t－122＋54， ∴当 t＝12，即 sin x＝12，x＝π6时，ymax＝45；
ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z) 时， yxm＝axπ＝＋1； 2kπ(k∈Z) 无最值 时，ymin＝－1
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一、三角函数的图象和性质
奇偶性
奇
偶
奇
对称 对
中心 称
(kπ，0)k∈Z
性 对称轴 x＝kπ＋2π(k∈Z)
kπ＋π2，0(k∈Z) x＝kπ(k∈Z)
k2π，0，k∈Z 无
一、三角函数的图象和性质
单 调 性
在 －π2＋2kπ， π2＋2kπ (k∈Z) 上递增； 在 π2＋2kπ， 32π＋2kπ
(k∈Z) 上递减
在[(2k－1)π，
在 －π2＋kπ，
2kπ](k∈Z)上递增； 在[2kπ，(2k＋
π2＋kπ(k∈Z)
1)π](k∈Z)上递减 上递增
x＝ π2＋2kπ(k∈Z) 时， 最 ymax＝1； 值 x＝－π2＋2kπ(k∈Z) 时，
D．最小正周期为π2的偶函数
B
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一、三角函数的图象和性质
[自测 3] y＝sinx－π4的图象的一个对称中心是(
)
A．(－π，0)
B.－34π，0
C.32π，0
D.π2，0
B
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一、三角函数的图象和性质
[自测 4] y＝cosx－π3(x∈R)取最大值时的 x 为__________． xx＝2kπ＋π3，k∈Z
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二、辅助角公式
asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)，其中 cos φ＝
b
a2＋b2 ，即 tan φ＝ba.
a
a2＋b2 ，sin φ＝
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二、辅助角公式
[自测 5] y＝ 3sin x＋cos x 的最大值为__________． 2
当 t＝－ 22，即 x＝－4π时，ymin＝1－2
2 .
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1－
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考点一 三角函数的定义域、值域、最值
{注意点1} 注意 y＝tan x 的定义域和三角函数的周期性的应用 三角函数表达式中只要有“tan x”型，首先有 x≠kπ＋π2.三角函数有周期性， 注意区间的重复性．
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考点一 三角函数的定义域、值域、最值
1．函数 y＝ tan12x－3的定义域为__________． 令 tan2x－3>0，∴tanx> 3或 tanx<－ 3， ∴kπ＋3π<x<kπ＋2π或 kπ－π2<x<kπ－π3，k∈Z kπ－π2，kπ－π3∪kπ＋π3，kπ＋π2(k∈Z)
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一、三角函数的图象和性质
1．三角函数 y＝sin x、y＝cos x、y＝tan x 的图象和性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域
x∈R
值域 [－1，1]
x∈R [－1，1]
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{x|x∈R 且 x≠π2＋ kπ，k∈Z}
R
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周期 2π
2π
π
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2.周期性 (1)一般地，对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域 内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做周期函数，非 零常数 T 叫做这个函数的周期． (2)对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，
A.－π4，π4 C.π，32π C
B.π4，34π D.32π，2π
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一、三角函数的图象和性质
[自测 2] (教材习题改编)设函数 f(x)＝sin2x－π2，x∈R，则 f(x)是(
)
A．最小正周期为 π 的奇函数
B．最小正周期为 π 的偶函数
C．最小正周期为π2的奇函数
考点一 三角函数的定义域、值域、最值
求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线 或三角函数图象来求解．在第 1 题中易错写为－∞，kπ－π3∪ kπ＋π3，＋∞或漏掉“kπ”，在第 2 题中易忽略 k＝0，k＝－1 的具体情况 漏掉周期．
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高三总复习.数学（文）
第三章 三角函数、解三角形 第4课时 三角函数的图象和性质
考
考点一 三角函数的定义域、值域、最值
点
考点二 三角函数的单调性
考点三 三角函数的奇偶性、周期性、对称性
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考纲·展示
1.探究以 y＝Asin(ωx＋φ)为模型的函数的性质：单调性，最值(值域)，周 期性，奇偶性(对称性)． 2.结合三角恒等变换，利用 y＝Asin(ωx＋φ)的性质求其中的参数． 3.结合三角函数图象求解简单的三角方程或三角不等式．
那么这个最小正数就叫做 f(x)的 最小正周期 ．
(3)函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 及函数 y＝Acos(ωx＋φ)；x∈R(其中 A、ω、 2π
φ 为常数，且 A≠0，ω＞0)的周期 T＝ ω ．
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一、三角函数的图象和性质
[自测 1] (教材改编)函数 y＝|sin x|的一个单调增区间是( )
2．函数 y＝lg(sin x－ 23)＋ 25－x2的定义域为__________．
令sin x－ 23>0，∴π3＋2kπ<x<23π＋2kπ，k∈Z， 25－x2≥0， －5≤x≤5.
k＝0 时，x∈π3，32π，k＝－1 时，x∈－5，23π－2π. π3，23π∪－5，－43π
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