回溯算法详解

合集下载

回溯法科普

回溯法科普
回溯法是一种在问题的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根节点出发，通过递归调用不断探索解空间的过程。

它是一种试探性的解决问题方法，当探索到某一分支路径无法产生可行解时，就“回溯”返回上一步，尝试其他可能的分支。

具体步骤如下：
1. 选择一个初始解或状态作为当前解。

2. 如果当前解满足目标条件（即是一个可行解），则输出该解，并结束算法；否则，转至下一步。

3. 扩展当前解：生成当前解的一个新的后代解，并使其成为新的当前解。

4. 重复步骤2和3，直至找到可行解或者所有可能的后代解都被探索完毕（即解空间树被完全遍历）且没有找到可行解为止。

回溯法通常用于解决约束满足问题，例如八皇后问题、数独问题、旅行商问题等组合优化问题。

它的核心思想是在寻找问题答案的过程中，通过剪枝操作避免无效搜索，以提高求解效率。

回溯算法

回溯算法回溯算法是程序设计中最重要的基础算法之一，也是搜索算法中的一种控制策略，回溯算法的基本思想是：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，选择另外一条路再走。

它是从初始状态出发，运用题目给出的条件、规则，按照深度优先搜索的顺序扩展所有可能情况，从中找出满足题意要求的解答。

回溯法是求解特殊型计数题或较复杂的枚举题中使用频率最高的一种算法。

一、回溯算法说明1.算法定义回溯算法是搜索算法中的一种控制策略。

它在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否肯定不包含问题的解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的系统搜索，逐层向其祖先结点回溯。

否则进入该子树，继续按深度优先的策略进行搜索。

回溯算法在用来求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有子树都已被搜索遍才结束。

回溯算法在用来求问题的任一解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

这种以深度优先的方式系统地搜索问题的解的算法称为回溯算法。

2.算法描述回溯算法描述如下：procedure run（当前状态）；vari：integer；beginif当前状态为边界then beginif 当前状态为最佳目标状态then记下最优结果；exit；{回溯}end；{then}for i←算符最小值to 算符最大值dobegin算符i作用于当前状态，扩展出一个子状态；if (子状态满足约束条件) and (子状态满足最优性要求)then run(子状态)；end；{for}end；{run}二、经典例题分析[问题描述]八皇后问题是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。

该问题由19世纪著名的数学家高斯于1850年提出：在8×8格的国际象棋上摆放8个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。

高斯认为有76种方案。

回溯法详解

回溯法详解回溯法（Backtracking）是一种解决问题的算法，也称为试探法。

它是一种基于深度优先策略的搜索方法，用于在一个大型的搜索空间中找到所有可能的解。

回溯法常用于解决组合问题、优化问题、排列问题、路径问题等等。

回溯法的实现方法是：从一个初始状态开始，不断地向前搜索，直到找到一个合法的解或者所有的搜索空间都被遍历结束。

在搜索的过程中，如果发现当前的搜索路径不可能得到合法的解，就会回溯到上一个状态，继续向其他方向搜索。

回溯法仍然是一种穷举算法，但它通过剪枝操作排除大部分不必要的搜索路径，从而减少了搜索的时间和空间复杂度。

回溯法的实现过程中，我们需要完成以下三个步骤：1. 选择基于当前的状态，选择一个可能的方向，继续向前搜索。

这意味着我们需要对问题进行建模，找到一些限制条件或者选择条件，来指导我们如何选择下一个状态。

2. 约束在选择方向之后，我们需要考虑当前方向是否可行。

这称为约束条件。

如果当前的方向违反了某些约束条件，那么我们需要回溯到上一个状态，重新选择一个合法的方向。

3. 回溯如果当前方向无法得到一个合法解，我们就需要回溯到上一个状态，并尝试其他的方向。

回溯操作的核心是恢复状态，也就是将当前状态的改变撤回。

这意味着我们需要记录每一个状态的改变，从而能够正确地回溯。

回溯法的优点在于它的适用范围比较广泛，在解决复杂问题时能够得到很好的效果。

但同时回溯法也存在一些缺点，例如在搜索效率方面并不是最优的，在搜索空间比较大的情况下，时间和空间复杂度也会非常高。

因此，在实践中，我们需要结合具体问题来选择合适的算法。

回溯算法原理和几个常用的算法实例

回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种基于深度优先的算法，用于解决在一组可能的解中找到满足特定条件的解的问题。

其核心思想是按照特定的顺序逐步构造解空间，并通过剪枝策略来避免不必要的。

回溯算法的实现通常通过递归函数来进行，每次递归都尝试一种可能的选择，并在达到目标条件或无法继续时进行回溯。

下面介绍几个常用的回溯算法实例：1.八皇后问题：八皇后问题是一个经典的回溯问题，要求在一个8×8的棋盘上放置8个皇后，使得每个皇后都不能相互攻击。

即每行、每列和对角线上都不能有两个皇后。

通过在每一列中逐行选择合适的位置，并进行剪枝，可以找到所有满足条件的解。

2.0-1背包问题：0-1背包问题是一个经典的组合优化问题，要求在一组物品中选择一些物品放入背包，使得其总重量不超过背包容量，同时价值最大化。

该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择放入或不放入当前物品，并根据剩余物品和背包容量进行递归。

3.数独问题：数独问题是一个经典的逻辑推理问题，要求在一个9×9的网格中填入数字1-9，使得每行、每列和每个3×3的子网格中都没有重复数字。

该问题可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个空格，并依次尝试1-9的数字，然后递归地进行。

4.字符串的全排列：给定一个字符串，要求输出其所有可能的排列。

例如，对于字符串"abc"，其所有可能的排列为"abc"、"acb"、"bac"、"bca"、"cab"和"cba"。

可以通过回溯算法进行求解，每次选择一个字符，并递归地求解剩余字符的全排列。

回溯算法的时间复杂度通常比较高，因为其需要遍历所有可能的解空间。

但是通过合理的剪枝策略，可以减少的次数，提高算法效率。

在实际应用中，可以根据具体问题的特点来设计合适的剪枝策略，从而降低算法的时间复杂度。

回溯法

回溯法回溯法也称为试探法，该方法首先暂时放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的候选解按某种顺序逐一枚举和检验。

当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解；倘若当前候选解除了还不满足问题规模要求外，满足所有其他要求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。

如果当前候选解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一个解。

在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回溯。

扩大当前候选解的规模，以继续试探的过程称为向前试探。

1、回溯法的一般描述可用回溯法求解的问题P，通常要能表达为：对于已知的由n元组（x1，x2，…，xn）组成的一个状态空间E={（x1，x2，…，xn）∣xi∈Si ，i=1，2，…，n}，给定关于n元组中的一个分量的一个约束集D，要求E中满足D的全部约束条件的所有n元组。

其中Si是分量xi的定义域，且|Si| 有限，i=1，2，…，n。

我们称E中满足D的全部约束条件的任一n元组为问题P的一个解。

解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D 的全部约束，若满足，则为问题P的一个解。

但显然，其计算量是相当大的。

我们发现，对于许多问题，所给定的约束集D具有完备性，即i元组（x1，x2， (xi)满足D中仅涉及到x1，x2，...，xi的所有约束意味着j（jj。

因此，对于约束集D具有完备性的问题P，一旦检测断定某个j元组（x1，x2，...，xj）违反D中仅涉及x1，x2， (x)的一个约束，就可以肯定，以（x1，x2，…，xj）为前缀的任何n元组（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P的解，因而就不必去搜索它们、检测它们。

回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算法。

回溯法首先将问题P的n元组的状态空间E表示成一棵高为n的带权有序树T，把在E 中求问题P的所有解转化为在T中搜索问题P的所有解。

基本算法-回溯法（迷宫问题）

一、回溯法简介回溯法（Backtracking）是枚举法的一种，可以找出所有或者一部分的一般性算法，且有效避免枚举不对的解。

当发现某个解的方向不准确时，就不再继续往下进行，而是回溯到上一层，减少算法运行时间，俗称“走不通就回头换路走”。

特点是在搜索过程中寻找问题的解，一旦发现不满足条件便回溯，继续搜索其他路径，提高效率。

二、算法应用（迷宫问题）1.问题描述迷宫问题是回溯法的一种应用。

迷宫问题的描述为：假设主体（人、动物或者飞行器）放在一个迷宫地图入口处，迷宫中有许多墙，使得大多数的路径都被挡住而无法行进。

主体可以通过遍历所有可能到出口的路径来到达出口。

当主体走错路时需要将走错的路径记录下来，避免下次走重复的路径，直到找到出口。

主体需遵从如下三个原则：1.一次步进只能走一格；2.遇到路径堵塞后，退后直到找到另一条路径可行；3.走过的路径记录下来，不会再走第二次。

2.解题思路首先创建一个迷宫图，比如用二维数组人为定义MAZE[row][col]，MAZE[i][j]=1时表示有墙无法通过，MAZE[i][j]=0时表示可行，假设MAZE[1][1]为入口，MAZE[8][10]为出口，创建如下初始迷宫图：图1 初始迷宫图当主体在迷宫中前行时，有东南西北（即右下左上）四个方向可以选择，如下图所示：图2 方向示意图视情况而定，并不是所有位置都可以上下左右前进，只能走MAZE[i][j]=0的地方。

通过链表来记录走过的位置，并将其标记为2，把这个位置的信息放入堆栈，再进行下个方向的选择。

若走到死胡同且未到达终点，则退回到上一个岔路口选择另一个方向继续走。

五大常用算法回溯算法

五大常用算法回溯算法一、回溯算法的概述回溯算法是一种常用的解决问题的算法，通常用于解决组合优化问题，如排列、组合、子集等问题。

回溯算法通过不断地尝试可能的解，直到找到问题的解或者确定不存在解为止。

它的核心思想是通过递归实现穷举，然后进行剪枝，以提高效率。

回溯算法主要包含以下五个步骤：1.选择：在每一步中，可以根据条件选择一个或多个可能的路径。

2.约束：根据问题的约束条件，限制可选择的路径。

3.：以递归的方式进行，尝试所有可能的解。

4.判断：在的过程中，判断当前路径是否符合问题的要求，如果符合则接受，否则进行回溯。

5.取消选择：在判断出当前路径不符合要求时，撤销当前选择，回到上一步继续尝试其他可能的选择。

回溯算法的优缺点：优点：1.简单直观：回溯算法的思路清晰，易于理解和实现。

2.灵活性高：回溯算法适用于各种问题，没有固定的限制条件，可以根据具体问题进行调整。

3.扩展性好：回溯算法可以通过剪枝策略提高效率，并且可以和其他算法结合使用。

缺点：1.效率低：回溯算法通常需要穷举所有的可能解，因此在处理大规模问题时效率较低。

2.可能的重复计算：由于回溯算法会尝试所有可能的解，所以有可能会产生重复计算的问题。

二、回溯算法的应用回溯算法在许多实际问题中都有应用，包括但不限于以下几个领域：1.组合求解：回溯算法可以用来求解排列、组合、子集等问题。

例如，在给定一组数字的情况下，找到所有可能的组合，使其和等于给定的目标值。

2.图的：回溯算法可以用来解决图的遍历问题，如深度优先、广度优先等。

例如，在给定一张无向图的情况下，找到从起点到终点的路径。

3.数独游戏：回溯算法可以用来解决数独游戏。

数独是一种逻辑类的游戏，在一个9×9的网格中填入1-9的数字，要求每行、每列、每个3×3的子网格都包含1-9的数字，且不能重复。

4.八皇后问题：回溯算法可以用来解决八皇后问题。

八皇后问题是在一个8×8的棋盘上放置八个皇后，要求每行、每列、每个对角线上都不能有两个皇后。

简单易懂回溯算法

简单易懂回溯算法⼀、什么是回溯算法回溯算法实际上⼀个类似枚举的搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就“回溯”返回，尝试别的路径。

许多复杂的，规模较⼤的问题都可以使⽤回溯法，有“通⽤解题⽅法”的美称。

回溯算法实际上⼀个类似枚举的深度优先搜索尝试过程，主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满⾜求解条件时，就“回溯”返回（也就是递归返回），尝试别的路径。

⼆、回溯算法思想回溯法⼀般都⽤在要给出多个可以实现最终条件的解的最终形式。

回溯法要求对解要添加⼀些约束条件。

总的来说，如果要解决⼀个回溯法的问题，通常要确定三个元素：1、选择。

对于每个特定的解，肯定是由⼀步步构建⽽来的，⽽每⼀步怎么构建，肯定都是有限个选择，要怎么选择，这个要知道；同时，在编程时候要定下，优先或合法的每⼀步选择的顺序，⼀般是通过多个if或者for循环来排列。

2、条件。

对于每个特定的解的某⼀步，他必然要符合某个解要求符合的条件，如果不符合条件，就要回溯，其实回溯也就是递归调⽤的返回。

3、结束。

当到达⼀个特定结束条件时候，就认为这个⼀步步构建的解是符合要求的解了。

把解存下来或者打印出来。

对于这⼀步来说，有时候也可以另外写⼀个issolution函数来进⾏判断。

注意，当到达第三步后，有时候还需要构建⼀个数据结构，把符合要求的解存起来，便于当得到所有解后，把解空间输出来。

这个数据结构必须是全局的，作为参数之⼀传递给递归函数。

三、递归函数的参数的选择，要遵循四个原则1、必须要有⼀个临时变量(可以就直接传递⼀个字⾯量或者常量进去)传递不完整的解，因为每⼀步选择后，暂时还没构成完整的解，这个时候这个选择的不完整解，也要想办法传递给递归函数。

也就是，把每次递归的不同情况传递给递归调⽤的函数。

2、可以有⼀个全局变量，⽤来存储完整的每个解，⼀般是个集合容器（也不⼀定要有这样⼀个变量，因为每次符合结束条件，不完整解就是完整解了，直接打印即可）。

求解组合问题回溯法

回溯法是一种用于求解组合问题的算法。

在组合问题中，我们需要从给定的元素集合中选择若干个元素，以构成满足特定条件的目标组合。

回溯法通过深度优先搜索解空间树，逐一尝试各种可能的组合，以找到满足条件的目标组合。

回溯法的核心思想是逐层搜索解空间树，并在搜索过程中进行剪枝操作。

具体步骤如下：
1、定义问题的约束条件和目标函数。

约束条件用于限制组合中元素的取值范围，目标函数用于评估组合的优劣。

2、构建解空间树。

解空间树是所有可能组合的集合，树的节点表示一个组合，树的边表示两个组合之间的差异。

3、从根节点开始深度优先搜索解空间树。

在搜索过程中，先判断当前节点是否满足约束条件和目标函数，如果满足则进入该子树继续搜索，否则进行剪枝操作。

4、在搜索过程中，记录已经访问过的节点，避免重复搜索。

同时，对于每个节点，尝试所有可能的子节点，以扩大搜索范围。

5、当搜索到某个叶子节点时，检查该叶子节点是否满足目标函数的条件。

如果满足，则找到一个可行的目标组合，结束搜索过程。

需要注意的是，回溯法的时间复杂度较高，因为需要遍历大量的解空间树节点。

为了提高效率，可以采取一些优化措施，如剪枝操作、记忆化搜索等。

同时，对于一些具有特
定结构的问题，还可以采用其他算法进行求解。

回溯算法详解

回溯算法详解
回溯算法是一种常用的解决问题的方法，它的目的是在一个大的问题空间中寻找到一个解决方案。

回溯算法的基本思想是穷举所有可能的解决方案，直到找到符合条件的解决方案为止。

回溯算法的实现通常包括两个部分：状态表示和状态转移。

状态表示是指将问题的解答空间表示为一个状态树，每个节点表示一个状态，状态转移是指从一个节点转移到另一个节点的过程。

回溯算法的实现过程通常包括三个步骤：选择、回溯和剪枝。

选择是指从当前状态节点选择一个扩展节点作为下一步的状态，回溯是指从一个状态节点返回到它的父节点，剪枝是指在搜索过程中对一些不可能达到目标的状态进行剪枝。

回溯算法常常用于求解组合、排列、子集、划分等问题。

由于回溯算法的时间复杂度很高，因此在实际应用中往往需要结合其他优化算法来提高效率。

总的来说，回溯算法是一种通用的算法，它可以解决许多不同类型的问题。

只要能够将问题的解答空间表示为一个状态树，并且能够找到一种回溯的方法来搜索这个状态树，就可以使用回溯算法来求解问题。

- 1 -。

学习电脑信息五大常用算法之四：回溯法

五大常用算法之四：回溯法五大常用算法之四：回溯法1、概念回溯算法实际上一个类似枚举的搜索尝试过程,主要是在搜索尝试过程中寻找问题的解，当发现已不满足求解条件时，就“回溯”返回,尝试别的路径。

回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。

但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或达不到目标，就退回一步重新选择,这种走不通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条件的某个状态的点称为“回溯点"。

许多复杂的，规模较大的问题都可以使用回溯法，有“通用解题方法"的美称。

2、基本思想在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解空间树。

当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解,如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯.（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束.而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

3、用回溯法解题的一般步骤：（1）针对所给问题,确定问题的解空间:首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个(最优)解。

（2）确定结点的扩展搜索规则（3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

4、算法框架(1）问题框架设问题的解是一个n维向量(a1，a2,………，an),约束条件是ai(i=1,2，3，…。

,n)之间满足某种条件,记为f（ai)。

（2）非递归回溯框架1：int a[n］,i；2：初始化数组a［］；3: i = 1；4: while (i〉0(有路可走）and （未达到目标）) // 还未回溯到头5：{6：if（i > n）// 搜索到叶结点7：｛8: 搜索到一个解，输出；9: ｝10：else// 处理第i个元素11: ｛12：a［i]第一个可能的值；13: while(a［i］在不满足约束条件且在搜索空间内) 14：｛15：a［i］下一个可能的值；16：｝17: if（a[i]在搜索空间内）18: {19：标识占用的资源;20: i = i+1; // 扩展下一个结点21: }22: else23: {24：清理所占的状态空间；// 回溯25：i = i –1;26: ｝27: ｝（3）递归的算法框架回溯法是对解空间的深度优先搜索，在一般情况下使用递归函数来实现回溯法比较简单，其中i为搜索的深度,框架如下：1: int a［n］；2：try（int i）3：{4：if（i>n）5: 输出结果；6：else7：｛8: for(j = 下界; j 〈= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径9：{10: if（fun(j）) // 满足限界函数和约束条件11: ｛12: a[i］= j；13：。

回溯算法原理和几个常用的算法实例

回溯算法原理和几个常用的算法实例回溯算法是一种通过不断尝试和回退的方式来进行问题求解的算法。

它的基本思想是在过程中，当发现当前的选择并不符合要求时，就进行回退，尝试其他的选择，直到找到符合要求的解或者遍历完所有可能的选择。

回溯算法通常用于问题求解中的和排列组合问题，比如求解八皇后问题、0-1背包问题、数独等。

下面将介绍几个常用的回溯算法实例。

1.八皇后问题：八皇后问题是指在一个8×8的国际象棋棋盘上，放置八个皇后，使得任意两个皇后都不在同一行、同一列或同一斜线上。

可以通过递归的方式依次尝试每一行的位置，并判断当前位置是否满足条件。

如果满足条件，则进入下一行尝试；否则回溯到上一行，并尝试其他的位置，直到找到解或遍历完所有的可能。

2.0-1背包问题：0-1背包问题是指在给定一组物品和一个容量为C的背包，每个物品都有自己的重量和价值，求解在不超过背包容量时，如何选择物品使得背包中物品的总价值最大。

可以通过递归的方式依次考察每个物品，并判断是否选择当前物品放入背包。

如果放入当前物品，则背包容量减小，继续递归考察下一个物品；如果不放入当前物品，则直接递归考察下一个物品。

直到遍历完所有物品或背包容量为0时，返回当前总价值。

3.数独问题：数独是一种通过填充数字的方式使得每一行、每一列和每一个九宫格内的数字都满足一定条件的谜题。

可以通过递归的方式依次尝试填充每一个空格，并判断当前填充是否符合条件。

如果符合条件，则继续递归填充下一个空格；如果不符合条件，则回溯到上一个空格，并尝试其他的数字，直到找到解或遍历完所有的可能。

回溯算法的时间复杂度一般较高，通常为指数级别。

因此，在实际应用中，可以结合剪枝等优化策略来提高算法的效率。

此外，回溯算法也可以通过非递归的方式进行实现，使用栈来存储当前的状态，从而避免递归带来的额外开销。

总之，回溯算法是一种非常有效的问题求解方法，通过不断尝试和回退，可以在复杂的空间中找到符合要求的解。

计算机算法回溯算法

计算机算法回溯算法计算机算法：回溯算法在计算机科学领域中，算法是解决问题的方法和步骤集合，这些方法和步骤可以利用计算机进行实现。

其中，回溯算法是一种常见的算法，它通过枚举所有可能的解决方案，来找到最优的解决方案。

本文将详细介绍回溯算法的定义、原理及其几种常见的应用。

一、回溯算法的定义回溯算法是一种基于深度优先搜索的算法。

它用于在搜索解空间中寻找问题的所有解或其中的最优解。

其基本思路是：在当前状态下，先从某一步开始搜索，如果搜索失败，则回到前一步重新搜索，直到找到问题的解或其它条件满足。

二、回溯算法的原理回溯算法的实现需要考虑到两点：1、搜索的方向；2、搜索的终止条件。

回溯算法的搜索方向是从根节点开始，深度优先遍历整颗搜索树。

当搜索到某个节点时，如果发现这个节点不是一个可行解，那么回溯到它的父节点，然后尝试它的下一个候选解。

如果所有的候选解都失败了，那么回溯到它的父节点，继续尝试它的下一个候选解，直到找到可行解或搜索结束。

回溯算法的终止条件是找到了目标解，或是确定了目标解不存在。

三、回溯算法的应用1、全排列问题全排列指的是从一个有限元素集合中取出元素，按照一定的顺序排列，使得每一个元素都只出现一次，并且不重复。

例如，给定一个包含3个元素的集合{1,2,3}，则它的全排列集为{123,132,213,231,312,321}。

回溯算法可以用于求解全排列问题。

2、数独问题数独是一种填数游戏，它的目标是将数字1-9填入一个9×9的网格中，使得每行、每列以及每个3×3的小九宫格都包含了1-9的所有数字。

回溯算法可以用于数独问题：从左上角开始，依次对每一个格子进行填数，在填数的过程中，需要考虑到当前行、当前列和当前小九宫格的限制条件，如果填数失败则要回溯到上一个格子。

如果最终的结果满足数独的规则，则问题的解就找到了。

3、迷宫问题迷宫问题是一个经典的搜索问题，在直线走迷宫中，我们需要尽可能短的距离找出迷宫的出口，而且不能长时间的在迷宫中徘徊。

算法回溯法

算法回溯法回溯法是一种常用的算法思想，用于解决许多复杂的问题。

在本文中，我们将详细介绍回溯法的概念、原理、应用以及实现方法。

一、回溯法的概念和原理回溯法是一种基于深度优先搜索的算法，它通过一种试错的方式来寻找问题的解。

其基本思想是：从问题的起始状态开始，不断地尝试各种可能的解，直到找到一个满足条件的解或者所有的可能性都已经尝试过。

如果没有找到解，那么就回溯到上一个状态，换一个方向继续尝试。

回溯法的实现方法通常使用递归函数来完成。

在递归函数中，我们先进行一些判断，确定当前的状态是否合法，如果不合法就直接返回；如果合法，我们就尝试往下走一步，然后再递归下去，直到找到解或者所有的可能性都尝试完毕。

二、回溯法的应用回溯法可以用于解决很多复杂的问题，例如八皇后问题、数独游戏、迷宫问题等等。

在这些问题中，我们需要找到一种符合某些条件的解，而这个解的集合通常非常大，难以通过穷举法来寻找。

回溯法的优势在于，它可以在尝试中动态地剪枝，避免不必要的搜索，从而提高搜索效率。

三、回溯法的实现方法在递归函数中，我们需要定义一些参数和变量来记录当前的状态和搜索进程。

通常情况下，我们需要定义以下几个参数和变量：1.解集：用来存储符合条件的解。

2.路径：用来记录当前已经尝试过的路径。

3.选择列表：表示当前节点可以做出的选择。

4.结束条件：表示已经找到符合条件的解，或者已经搜索完所有可能的解。

在递归函数中，我们需要进行一些判断，来确定当前的状态是否合法。

如果不合法就直接返回，否则就继续往下搜索。

在搜索过程中，我们需要不断地更新路径和选择列表，以反映当前的状态。

如果找到符合条件的解，就将其加入解集中，并回溯到上一个状态继续搜索，直到结束条件满足为止。

四、回溯法的优化技巧回溯法的效率通常比较低，因为它需要尝试所有的可能性，其中大部分都是无效的。

为了提高效率，我们可以采用以下一些优化技巧：1.剪枝：在递归过程中，我们可以通过一些判断来避免不必要的搜索，从而提高搜索效率。

算法——回溯法

算法——回溯法回溯法回溯法有“通⽤的解题法”之称。

⽤它可以系统地搜索⼀个问题的所有解或任⼀解。

回溯法是⼀种即带有系统性⼜带有跳跃性的搜索算法。

它在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根节点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任⼀结点时，先判断该节点是否包含问题的解。

如果不包含，则跳过对以该节点为根的⼦树的搜索，逐层向其它祖先节点回溯。

否则，进⼊该⼦树，继续按照深度优先策略搜索。

回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根节点的所有⼦树都已被搜索遍才结束。

回溯法求问题的⼀个解时，只要搜索到问题的⼀个解就可结束。

这种以深度优先⽅式系统搜索问题的算法称为回溯法，它是⽤于解组合数⼤的问题。

问题的解空间⽤回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。

问题的解空间⾄少包含问题的⼀个（最优）解。

例如对于有n种可选择物品的0-1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成。

该解空间包含对变量的所有可能的0-1赋值。

例如n=3时，其解空间是{(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)}定义了问题的解空间后，还应该将解空间很好地组织起来，使得能⽤回溯法⽅便地搜索整个解空间。

通常将解空间组织成树或者图的形式。

例如，对于n=3时的0-1背包问题，可⽤⼀颗完全的⼆叉树表⽰其解空间，如下图。

解空间树的第i层到第i+1层边上的标号给出了变量的值。

从树根到叶⼦的任⼀路径表⽰解空间中的⼀个元素。

例如，从根节点到节点H的路径相当与解空间中的元素(1,1,1)。

回溯法的基本思想确定了解空间的组织结构后，回溯法从根节点出发，以深度优先搜索⽅式搜索整个解空间。

回溯法以这种⼯作⽅式递归地在解空间中搜索，直到找到所要求的解或解空间所有解都被遍历过为⽌。

回溯法搜索解空间树时，通常采⽤两种策略避免⽆效搜索，提⾼回溯法的搜索效率。

其⼀是⽤约束函数在当前节点（扩展节点）处剪去不满⾜约束的⼦树；其⼆是⽤限界函数剪去得不到最优解的⼦树。

回溯法——精选推荐

回溯法一、算法介绍：回溯是一种模拟人类思维过程的算法思想。

它的基本方法是：按照深度优先的顺序向下一层扩展结点；扩展到某一层时，若已无法继续扩展且仍未找到解，则退回到父结点，从父结点的下一个分支开始，按同样的策略继续扩展……，直到找到问题的解或证明无解。

代码框架：procedure try(i:integer);varbeginif i>nthen 输出结果else for j:=下界to 上界dobeginx[i]:=h[j];if 可行{满足限界函数和约束条件} thenbegin置值；try(i+1);{尝试下一个位置}对此位置还原；end;end;end;二、典型例题：1、n皇后：在一个n×n国际象棋盘上，有n个皇后，每个皇后占一格；要求皇后间不会出现相互“攻击”的现象，即不能有两个皇后处在同一行、同一列或同一对角线上。

问共有多少种不同的方法。

【思路】逐一对每行的n个位置进行尝试（横坐标记为i，纵坐标记为j）。

若此位置安全则占用，并表明此位置所在的两对角线、列不安全（由于是对每行进行尝试，故不需标注该行是否安全）。

若此位置不安全则尝试下一个位置。

找到本行的安全位置后，如果已经尝试n行则输出结果，否则对下一行进行同样的尝试。

无论是继续尝试还是输出结果，在进行操作后都要对所占位置进行释放（即返回，进行本行下一位置的尝试）。

【注】棋盘中，从左至右的对角线横纵坐标之和一定（如图），从右至左的对角线横纵坐标之差一定。

varn,i:longint;no:longint;{记录方案个数}ans:array[1..1000]of longint;｛储存答案｝ lr,rl,l:array[-1000..1000] of boolean; {储存左右对角线、右左对角线、列是否安全}procedure print; {输出答案}vari:longint;beginno:=no+1;write('NO.',no,':');for i:=1 to n do write(ans[i],' '); writeln;end;procedure try(j:longint);vari:longint;beginfor i:=1 to n doif l[i] and rl[i+j] and lr[j-i]thenbeginl[i]:=false;rl[i+j]:=false;lr[j-i]:=false;ans[j]:=i;if j<n then try(j+1)else print;l[i]:=true;{释放该位置}rl[i+j]:=true;lr[j-i]:=true;end;end;beginwriteln('How many queens?');read(n);no:=0;for i:=1 to n do l[i]:=true;for i:=2 to 2*n do rl[i]:=true;for i:=1-n to n-1 do lr[i]:=true;try(1);if no=0 then write('No way!');end.2、跳马：在5*5格的棋盘上，从（1,1）点出发，按日字跳马，要求不重复地跳经所有方格。

回溯算法讲解

回溯算法回溯算法与递归算法实现方法完全相同，所用的自定义过程或函数几乎完全相同，只是在我们对它的理解以及这些函数/过程运行时有所不同。

它的基本思想是：在搜索过程中，当探索到某一步时，发现原先的选择达不到目标，就退回到上一步重新选择。

它主要用来解决一些要经过许多步骤才能完成的，而每个步骤都有若干种可能的分支，为了完成这一过程，需要遵守某些规则，但这些规则又无法用数学公式来描述的一类问题。

回溯的实现有递归和非递归两种方法。

例1、八皇后问题，要在国际象棋棋盘中放八个皇后，使任意两个皇后都不能互相吃，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，共有多少种放法，全部打印出来。

分析：皇后能吃同一行、同一列、同一对角线的任意棋子。

所以，我们可以这样考虑：在每一行中放一个皇后，从第一行开始，在往每新的一行加皇后时，我们必须确保这个皇后必须不能与已经取得的所有皇后都不在同一列或同一条对角线。

我们定义一个数组来存放八个皇后的在1到8行中的列位置，所以形式参数就可以只要一个——行号，当行号达到9时，我们就找到了一个答案。

这样，我们就能把uses crt;vara:array[1..8] of byte;{a数组用来存放8个皇后在棋盘中的列位置(为什么不用二维数组？)}{第一个元素记录第一个皇后在第一行中的位置,第二个元素记录第2个皇后在第二行中的位置..以此类推}t:integer; {t用来存放答案数目}procedure qu(n:byte);varl,k:integer; {l表示行,k表示列}b:boolean;beginif n=9 then{如果8个皇后的位置都排好, (出口)}begint:=t+1;{统计方法数}writeln(t);for k:=1 to 8 do {输出8个皇后在棋盘中的状态}beginfor l:=1 to 8 doif (a[k]<>l) then write('.':3) else write('Q':3);writeln;end;writeln;readln;{暂停}endelsebegin {}for k:=1 to 8 do {检索当前皇后应在哪一列?逐行检索,每一个皇后在每一行中应占的列} beginb:=true;for l:=1 to n-1 do{逐行检索已确定的皇后的位置,如果当前试探列k与前面已确定的n-1个皇后冲突,作上标志b=false(则检索下一列)}if (a[l]=k) or (abs(a[l]-k)=abs(l-n)) then b:=false;{(a[l]=k) 判断是否同列.(abs(a[l]-k)=abs(l-n)判断是否在斜线上}{abs(a[l]-k)=abs(l-n),如果:列-列=行-行,则在斜线上}if b then {若b=true,则该列k,不与前面的皇后冲突}begina[n]:=k; {记录本行n,皇后应占的位置}qu(n+1);{探索下一位皇后}end;end;end;{}end;beginclrscr;{清屏}t:=0;qu(1);{ 开始找第一位皇后}writeln;writeln(' total ',T,'');{输出排列的总方式}readln;end.从上述程序中可以看出，回溯过程和递归过程的程序看起来完全是同一类型的，程序也几乎相同，都是定义了出口，然后中间就是调用过程，展开下一层节点。

回溯算法-算法介绍

回溯算法-算法介绍回溯法1、有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回答什么解是满⾜某些约束条件的最佳解时，往往要使⽤回溯法。

2、回溯法的基本做法是搜索，或是⼀种组织得井井有条的，能避免不必要搜索的穷举式搜索法。

这种⽅法适⽤于解⼀些组合数相当⼤的问题。

3、回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。

算法搜索⾄解空间树的任意⼀点时，先判断该结点是否包含问题的解。

如果肯定不包含（剪枝过程），则跳过对该结点为根的⼦树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进⼊该⼦树，继续按深度优先策略搜索。

问题的解空间问题的解向量：回溯法希望⼀个问题的解能够表⽰成⼀个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。

显约束：对分量xi的取值限定。

隐约束：为满⾜问题的解⽽对不同分量之间施加的约束。

解空间：对于问题的⼀个实例，解向量满⾜显式约束条件的所有多元组，构成了该实例的⼀个解空间。

注意：同⼀个问题可以有多种表⽰，有些表⽰⽅法更简单，所需表⽰的状态空间更⼩（存储量少，搜索⽅法简单）。

下⾯是n=3时的0-1背包问题⽤完全⼆叉树表⽰的解空间：⽣成问题状态的基本⽅法扩展结点:⼀个正在产⽣⼉⼦的结点称为扩展结点活结点:⼀个⾃⾝已⽣成但其⼉⼦还没有全部⽣成的节点称做活结点死结点:⼀个所有⼉⼦已经产⽣的结点称做死结点深度优先的问题状态⽣成法：如果对⼀个扩展结点R，⼀旦产⽣了它的⼀个⼉⼦C，就把C当做新的扩展结点。

在完成对⼦树C（以C为根的⼦树）的穷尽搜索之后，将R重新变成扩展结点，继续⽣成R的下⼀个⼉⼦（如果存在）宽度优先的问题状态⽣成法：在⼀个扩展结点变成死结点之前，它⼀直是扩展结点回溯法：为了避免⽣成那些不可能产⽣最佳解的问题状态，要不断地利⽤限界函数(bounding function)来处死(剪枝)那些实际上不可能产⽣所需解的活结点，以减少问题的计算量。

具有限界函数的深度优先⽣成法称为回溯法。

（回溯法 = 穷举 + 剪枝）回溯法的基本思想(1)针对所给问题，定义问题的解空间；(2)确定易于搜索的解空间结构；(3)以深度优先⽅式搜索解空间，并在搜索过程中⽤剪枝函数避免⽆效搜索。

回溯算法(pascal)

2.数据结构（1）解数组a。 a[i]表示第i个皇后放置的行，范围:1..8。（2）列冲突标记数组b。 b[j]=0表示第j列空闲，b[j]=1表示第j列被占领，范围： 1..8 （3）对角线冲突标记数组c,d. c[i-j]=0表示第(i-j)条对角线空闲，c[i-j]=1表示第(i-j) 条对角线被占领，范围：-7..7。 d[i+j]=0表示第（i+j）条对角线空闲，d[i+j]=1表示第(i+j)条对角线被占领，范围：2..16。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的
上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ法。
二、回溯的一般描述
procedure rbacktrack(k); begin if k > n then return else for each x(k)，如果 x(k)∈t(x(1)…x(k-1))且 b(x(1)…x(k))=true do begin if x(1)…x(k)是一个解 then write(x(1)…x(k) else rbacktrack(k+1); end; end;
K=0
过程：进入新一行，该行上按顺序逐个格子尝试，直到能放为止（不冲突、不越界）算法描述： 1. 产生一种新放法 2. 冲突，继续找，直到找到不冲突----不超范围 3. if 不冲突 then k<nk+1 k=n一组解 4. if 冲突 then 回溯
K=1
* * *
K=2
* * *** * *
二、回溯的一般描述
解此类问题的最朴素的方法就是枚举法，即
对E中的所有n元组逐一地检测其是否满足D 的全部约束，显然，其计算量是相当大的。若我们采用一种“走不通就掉头”的思想。搜索时往往有多分支，按某一分支为新的出发点，继续向下探索，当所有可能情况都探索过且都无法到达目标的时候，再回退到上一个出发点，继续探索另一个可能情况，这种不断回头寻找目标的方法称为“回溯法”。