实变函数与泛函分析概述
实变函数与泛函分析课程教学大纲
《实变函数与泛函分析》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：110047课程名称：实变函数与泛函分析英文名称：Real variable analysis And Functional analysis课程类别：专业基础课学时：50学分：3适用对象：信息与计算科学专业本科考核方式：考试，平时成绩30％，期末成绩70％先修课程：数学分析和高等代数二、课程简介中文简介：实变函数起源于对连续而不可微函数以及Riemann可积函数等的透彻研究，在点集论的基础上讨论分析数学中一些最基本的概念和性质，其主要内容是引入Lebesgue积分并克服了Riemann积分的不足。
它是数学分析的继续、深化和推广，是一门培养学生数学素质的重要课程，也是现代数学的基础。
泛函分析起源于经典的数学物理边值问题和变分问题，同时概括了经典分析的许多重要概念，是现代数学中一个重要的分支，它综合运用了分析、代数与几何的观点和方法研究、分析数学和工程问题，其理论与方法具有高度概括性和广泛应用性的特点。
英文简介：Real variable analysis And Functional analysis is a theoretical course of mathematics which can be used in variable fields such as engineering and technology, physics, chemical, biology, economic and other fields. The educational aim in this course is to develop the abilities of students in analyzing and solving practical problem by the special ways of Real variable analysis And Functional analysis’ thinking and reasoning.三、课程性质与教学目的本课程是在实变函数与泛函分析基本理论的基础上，着重泛函分析的应用，教学的目的是丰富学生的知识和培养学生解决实际问题的能力。
深圳大学 实变函数与泛函分析教学大纲
（一）课程性质
1．课程类别：综合选修课 2．适应专业：数学与应用数学专业（数学教育方向） 3．开设学期：第七学期 4．学时安排：周学时 6，总学时 72 5．学分分配：4 学分
（二）开设目的
《实变函数与泛函分析》是数学分析课程的深化和发展。从内容上看，它将微积分中 区域的面积推广到一般集合的测度，将区域上的黎曼积分推广到可测函数的勒贝格积分； 从研究方法上看，它运用点集分析方法揭露函数的许多深刻性质。通过对实变函数与泛函 分析的学习，培养学生综合运用分析数学的几何观点和方法，理解和研究分析数学中的许 多问题，为进一步学习现代数学理论和理解现代科学技术提供必要的基础。
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
深圳大学数学与计算科学学院
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号
课程名称 实变函数与泛函分析
课程类别
综合选修
教材名称 实变函数与泛函分析基础
制订人
张文俊
审核人
胡鹏彦
2005 年 4 月修订
- 214 -
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
第五章 积分论
教学目的
通过本章的系统学习，使学生理解 Lebesgue 积分的定义，掌握 Lebesgue 积分的基本 性质，Lebesgue 积分的定理（包括这些定理的条件结论），弄懂其证明思路。
主要内容
1. Lebesgue 积分的若干等价定义 2. Lebesgue 积分的初等性质和极限定理(Levi 单调收敛定理，Fatou 引理，
- 218 -
张文俊：《实变函数与泛函分析》课程教学大纲
空间 C、连续函数空间 C[a,b]等都是完备度量空间）；知道完备度量空间的压缩 映射原理；知道一个空间是否完备与它被赋予的度量是密切相关的：C[a,b]在 Lp 范数下是不完备的； 3. 掌握可分空间的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、连续函数空间 C[a,b]都是可分空 间）；熟悉可分空间中任意一点都可以通过它的一个确定的可数稠密子集来逼近 的特点；知道不可分空间是存在的：有界数列空间 l∞是不可分空间；知道一个空 间是否可分与它被赋予的度量是密切相关的； 4. 掌握线性空间、线性空间的维数的定义与基本例子（欧氏空间 Rn、可测函数空间
《实变函数与泛函分析基础》目录简介
《实变函数与泛函分析基础》目录简介内容简介本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展，做了部分但是重要的修改。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容。
这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演的论述方式，着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时，补充了一些现代化的内容，如“分形”的介绍。
《实变函数与泛函分析基础(第3版)》可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书。
目录第一篇实变函数第一章集合1 集合的表示2 集合的运算3 对等与基数4 可数集合5 不可数集合第一章习题第二章点集1 度量空间，n维欧氏空间2 聚点，内点，界点3 开集，闭集，完备集4 直线上的开集、闭集及完备集的构造5 康托尔三分集第二章习题第三章测度论1 外测度2 可测集3 可测集类4 不可测集第三章习题第四章可测函数1 可测函数及其性质2 叶果洛夫定理3 可测函数的构造4 依测度收敛第四章习题第五章积分论1 黎曼积分的局限性，勒贝格积分简介2 非负简单函数的勒贝格积分3 非负可测函数的勒贝格积分4 一般可测函数的勒贝格积分5 黎曼积分和勒贝格积分6 勒贝格积分的几何意义·富比尼定理第五章习题第六章微分与不定积分1 维它利定理2 单调函数的可微性3 有界变差函数4 不定积分5 勒贝格积分的分部积分和变量替换6 斯蒂尔切斯积分7 L-S测度与积分第六章习题第二篇泛函分析第七章度量空间和赋范线性空间1 度量空间的进一步例子2 度量空间中的极限，稠密集，可分空间3 连续映射4 柯西点列和完备度量空间5 度量空间的完备化6 压缩映射原理及其应用7 线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间第七章习题第八章有界线性算子和连续线性泛函1 有界线性算子和连续线性泛函2 有界线性算子空间和共轭空间3 广义函数第八章习题第九章内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间1 内积空间的基本概念2 投影定理3 希尔伯特空间中的规范正交系4 希尔伯特空间上的连续线性泛函5 自伴算子、酉算子和正常算子第九章习题第十章巴拿赫空间中的基本定理1 泛函延拓定理2 C[a，b]的共轭空间3 共轭算子4 纲定理和一致有界性定理5 强收敛、弱收敛和一致收敛6 逆算子定理7 闭图像定理第十章习题第十一章线性算子的谱1 谱的概念2 有界线性算子谱的基本性质3 紧集和全连续算子4 自伴全连续算子的谱论5 具对称核的积分方程第十一章习题附录一内测度，L测度的另一定义附录二半序集和佐恩引理附录三实变函数增补例题参考书目。
高等数学中的实变函数与泛函分析教学实践
高等数学中的实变函数与泛函分析教学实践在高等数学的学习中，实变函数和泛函分析是两个重要的概念。
实变函数是指函数的自变量和因变量都是实数的函数，而泛函分析则是研究函数空间中的函数和算子的分析学科。
实变函数和泛函分析的教学实践对于学生的数学思维培养和数学能力的提升具有重要的意义。
本文将探讨在高等数学教学中，如何有效地教授实变函数和泛函分析这两个知识点。
一、实变函数的教学实践实变函数作为高等数学中的一个重要内容，其教学应该注重三个方面的内容，即基本定义和性质的讲解、典型例题的分析和解答以及相关应用的探索。
首先，对于实变函数的基本定义和性质，教师需要通过直观的图形和具体的例子来引导学生理解。
例如，可以通过绘制函数图像和对函数的变化进行描述，让学生对实变函数的概念形成直观的认知。
同时，还要对实变函数的定义、定义域、值域等基本概念进行详细解释，确保学生对实变函数的概念有清晰的认识。
其次，教师应该通过典型例题的分析和解答，引导学生掌握实变函数的求导、极值、拐点等基本概念和方法。
在解题过程中，可以结合具体的实际问题，让学生感受实变函数在实际应用中的作用。
例如，通过解决最优化问题、微分方程建模等实例，让学生理解实变函数在物理、经济等实际领域中的应用。
最后，教师还应该鼓励学生主动探索实变函数的相关应用。
例如，可以组织学生进行小组研究，选择一个实际问题，并运用实变函数的知识进行建模和求解。
这样不仅能够培养学生的创新能力和实际问题解决能力，还能够加深学生对实变函数概念和方法的理解和记忆。
二、泛函分析的教学实践泛函分析是高等数学中的一门较为抽象的学科，其教学应该注重基本概念的讲解、典型定理的引入和证明、以及实际问题的应用。
首先，在教学中应该重点讲解泛函分析的基本概念，如线性空间、内积空间、范数和完备性等。
通过具体的例子来说明这些概念的意义和基本性质，帮助学生理解泛函分析的基本框架。
其次，教师应该引入一些典型的定理和证明，帮助学生建立起泛函分析的理论体系。
实变函数论泛函分析课件
02 实变函数的定义与性质
实变函数的定义
01
02
03
定义域
实变函数的定义域是实数 集的一个子集，可以是有 限或无限的。
值域
实变函数的值域是实数集 的一个子集，可以是有限 或无限的。
函数表达式
实变函数可以表示为从定 义域到值域的映射关系， 通常用符号 f(x) 表示。
实变函数的性质
单调性
如果对于任意 x1<x2，都有 f(x1)≤f(x2)，则称 f(x) 在其定义
微积分的应用
介绍微积分在各个领域的应用，如物理学、工程学、经济学等。
微积分的进一步发展
介绍微积分的进一步发展，如变分法、最优控制等。
04 泛函分析的基本概念
泛函的定义与性质
定义
泛函是将函数空间的每一个元素作为自变量，其值是实数或 复数的函数。
性质
泛函是定义在函数空间上的，它具有连续性、可加性、线性 等性质。
么该空间是自完备的。
共鸣定理
在赋范线性空间中，如果存在 一个与所有单位球相交的集合，
那么该空间是自完备的。
开映射定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的开映射，那么T是满
射。
闭图像定理
如果X和Y是赋范线性空间，T 是X到Y的连续线性映射，那
么T的像集是闭的。
05 泛函分析的应用领域
微分方程的求解
分析中的某些问题。
应用领域
实变函数论和泛函分析 在许多应用领域都有交 叉，如 质
线性性质
对于任意实数k和函数f,g，有 $k(f+g)=(kf)+(kg)$， $(kf)+(kg)=(k+k)(f)$。
连续性质
如果f_n(x)是函数空间中的收敛序列， 那么$f_n(x)$的极限函数也是连续的。
教学大纲_实变函数与泛函分析
教学大纲_实变函数与泛函分析实变函数与泛函分析是高级数学中的一门重要课程，主要涉及实变函数的性质及其应用，以及泛函分析中的函数空间与算子的概念和性质。
本教学大纲旨在培养学生对实变函数与泛函分析的基本理论和方法的理解与应用能力。
一、课程目标通过本课程的学习，学生应该能够：1.了解实变函数的定义、性质和基本的分析方法；2.掌握实数的完备性和实变函数的连续性、可微性等基本概念与定理；3.熟悉重要的实变函数序列收敛的理论和方法；4.理解一元多项式空间及其上的内积、范数等概念；5.了解泛函分析的基本概念，如线性算子、单射、满射、闭算子等；6.掌握泛函分析中重要的泛函空间和赋范向量空间的性质与应用。
二、教学内容1.实变函数的性质与基本分析方法（12学时）1.1实数的完备性与实变函数的极限概念1.2实变函数的连续与可导性质1.3实变函数的积分与微分概念与定理2.实变函数的序列收敛理论与方法（16学时）2.1一致收敛性与收敛级数理论2.2函数项级数的收敛理论与方法2.3 Weierstrass逼近定理的证明与应用2.4傅里叶级数的概念、性质及展开方法3.一元多项式空间与泛函分析基础（14学时）3.1一元多项式空间及其上的内积与范数3.2一元多项式空间中的正交多项式与勒让德多项式3.3泛函分析的基本概念与定理4.泛函空间与线性算子（18学时）4.1泛函空间的定义与性质4.2无穷维度空间的收敛性与紧性4.3线性算子的基本性质与分类4.4线性算子的连续性与有界性5.算子的谱理论与泛函方程（20学时）5.1线性算子的谱理论与应用5.2巴拿赫空间的定义与性质5.3泛函方程的基本理论与应用5.4泛函方程的解的存在唯一性定理三、教学方法1.理论教学：通过讲述与讲解基本概念与定理，引导学生掌握基本原理和方法。
2.解题指导：通过典型例题和习题，引导学生独立思考问题，掌握解题方法和技巧。
3.讨论与交流：鼓励学生参与讨论，提问和回答问题，促进学生之间的交流与合作。
实变函数论与泛函分析第四版
实变函数论与泛函分析第四版
《实变函数论与泛函分析第四版》是一本深受读者青睐的重要数学著作，由美国知名数学家肖恩米尔顿编写，于2004年出版。
本书内容全面，讲述了实变函数论的各种概念、理论与实例。
书中讨论了函数的可微性，以及它们的微分与积分，也讲述了拉格朗日泛函分析的核心概念。
书中首先介绍了实变函数论的基本概念，如函数、可微函数、复数和庞加莱空间。
接着，作者详细讲述了实变函数的微分，例如反对称性、链式法则、李雅普诺夫定理，以及微积分的概念，例如微分不等式、变分法和李雅普诺夫定理。
此外，本书还涉及泛函分析的概念，例如函数的L-形和H-形性质、函数的极值、凸性和凹性。
此外，书中还介绍了几何分析的重要概念，例如参数方程、分岔点和坐标系统。
最后，作者还讨论了一些数学家特有的技术，如分析技术、半空间和特征值分析等。
总之，《实变函数论与泛函分析第四版》是一本比较全面的数学读物，内容深入浅出，既适合有数学背景的学生，也适合普通读者，可以作为教材或参考书。
此外，本书还帮助读者更好地理解数学的原理和方法，提高其运用数学的能力。
- 1 -。
实变函数与泛函分析课件
巴拿赫空间的性质
巴拿赫空间与连续线性映射
连续线性映射
连续线性映射的定义
连续线性映射的性质
线性算子的谱理论
03 空间上的算子与变换
有界线性算子
有界线性算子的定义：在某空 间上有界且线性
重要性质：有界线性算子可以 扩展为全空间上的有界线性算
子
谱定理：有界线性算子的谱分 解定理
空间上的算子与变换部分的习题与解答
01
02
总结词：空间上的算子 与变换部分主要涉及线 性算子、有界算子、 紧 算子等不同类型的算子 的定义、性质和计算方 法，以及空间上的变换 和约化定理的应用。
详细描述
03
04
05
1. 线性算子的定义和性 2. 有界算子和紧算子的 质，包括线性算子的有 定义和性质，以及在各 界性、紧性、谱性质等， 种空间中的存在性和构 以及在各种空间（例如， 造方法。 Hilbert空间、Banach 空间等）中的应用。
映射与变换
序关系
介绍映射的概念及基本性质，如一一映射、 满射、单射等。
讨论集合中的序关系，如偏序、全序、反 对称序等，以及相关的概念如最大元、最 小元、上界、下界等。
实数函数
01
函数的定义
介绍函数的概念及基本性质，如定 义域、值域、单调性等。
函数的极限
介绍函数极限的定义、性质及其计 算方法。
03
02
03
线性空间
01
数乘性质
02
中间元素性质
03
正交性
内积空间与Hilbert空间
内积空间的定义
1
内积空间的定义
2
正交性
3
内积空间与Hilbert空间
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间： 2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
《实变函数与泛函分析》教学大纲-数学专业
实变函数与泛函分析教学大纲应用数学与信息计算等专业使用修订单位：山东财政学院统计与数理学院修订时间：2009年8月修订课程中文名称：实变函数与泛函分析课程英文名称：Real Analysis and functional Analysis 课程号：30001001学时数：68学分数：4先修课程：数学分析、线性代数适用专业：应用数学与信息计算等专业。
一、课程的性质和任务1. 课程性质《实变函数与泛函分析》是数学专业的一门专业基础课程。
《实变函数》课程结合抽象测度与积分理论, 介绍Lebesgue测度与Lebesgue积分的理论。
通过本课程的学习, 应使学生掌握测度论和实变函数论的基本理论和方法, 并且应用所学知识, 解决一些相关的理论和应用问题, 解决一些具有一定难度的习题。
同时, 通过本课程的学习, 要加深学生对数学分析课程中知识的理解, 培养学生严密的逻辑思维能力。
《泛函分析》课程是现代教学中的一门较新的数学分支，它综合地运用分析的，代数和几何的观点，方法研究分析数学中的许多问题，由它把具体的分析问题，由于它把具体的分析问题抽象到一种更加纯粹的代数拓扑结构的形式中进行研究，因此逐步形成了综合运用代数，几何平段处理问题的新方法，正因为这种纯粹形式的代数，拓扑结构是跟植于肥沃的经典分析和数学物理土壤之中的，所以由此发展起来的基本概念，定理和方法也就显的更为广泛，更为深刻，现在泛函分析已成为一门内容丰富，方法系统，体系完备，应用广泛的独立分支，通过该课程的学习，学生不仅能学到泛函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，统计物理，工程技术等领域有很大帮助。
学生通过学习本课程，既能从较高的观点总结一、二年级学过的分析、代数中的有关概念、理论和方法，又能获得抽象思维和逻辑论证的进一步训练，为今后深入学习拓扑、微分方程、随机过程、最优化等现代数学各个学科提供基础。
实变函数和泛函分析 序言
n
并作和 Sf(i)xi，
i1
记 m 1 i n {x 1 ,a x 2 , x ,x n } ,如果不论对 [a,b]
怎样的分法， 也不论在小区间 [xi1,xi]上
点 i 怎样的取法, 只 要 当 0 时 ， 和S总 趋 于
确定的极限 I，
n
即Ilim 0i1
f(i)xi
我们称这个极限 I 为函数 f(x)在区间 [a,b] 上
课程教学总体安排：
第一章集与点集（１6 学时） 第二章勒贝格测度（１８学时）
期中考试（2学时） 第三章可测函数（１６学时） 第四章勒贝格积分（１８学时）
复习与考试（４学时）
主要教学参考资料:
[1]．《实变函数与泛函分析基础》（第二 版），程其襄、张奠宙编，高等教育出版社， 2003 年。 [2].《实变函数论》，周民强编著，北京大 学出版社，2003 年。 [3]. 《实变函数与泛函分析》，郭大钧、 黄春朝、梁方豪编，山东大学出版社，2005 年。
[a,b]
0 i1
imiE
(R) a
f(x)d x|T l||i | m 0i1f(i)xi
Lebesgue 正是基于这个思路创立了 Lebesgue 积分理论,建立了一种新 的积分理论.
新的积分理论消除了上述缺陷, 并且包 含了原有的Riemann 积分理论.
思路非常简单，但实现起来并非易事。
顾名思义，实变函数论即讨论以 实数为变量的函数，这样的内容早在 中学及大学的数学分析，常微分方程 都是研究的以实数为变量的函数，那 么实函还有哪些可学呢？
简单地说：实函主要做一件事， 那就是恰当的改造《数学分析》中 Riemann 积分的定义使得更多的函数 可积。
实变函数与泛函分析
实变函数的定义
实变函数是定义在实 数集上的函数，其值
域也是实数集。
实变函数具有连续性、 可微性、可积性等性
质。
实变函数的定义域可 以是有限区间、无限 区间或者整个实数轴。
实变函数的值域可以 是有限区间、无限区 间或者整个实数轴。
实变函数的性质
实变函数是一类特殊的数学函数，具 有连续性、可微性和可积性等性质。
实变函数的连续性
实变函数的连续性与极限存 在性有关
实变函数在定义域内是连续 的
实变函数的连续性是函数的 一种基本性质
实变函数的连续性与可微性 密切相关
03 实变函数的应用
实变函数在数学物理方程中的应用
实变函数在求解偏微分方程中的应用 在解决波动方程、热传导方程等数学物理方程中的作用 实变函数在数值分析中的重要地位 实变函数在解决物理问题中的应用实例
求解中。
添加标题
05 泛函分析的应用
泛函分析在微分方程中的应用
微分方程的求解：通过泛函分析中的变分法，求解微分方程的近似解。 稳定性分析：利用泛函分析中的算子谱理论，研究微分方程解的稳定性。 近似方法：利用泛函分析中的逼近理论，构造微分方程的近似解。 数值计算：通过泛函分析中的数值分析方法，对微分方程进行数值模拟和计算。
添加标题
随机积分与微分 方程：在概率论 中，随机积分与 微分方程是非常 重要的研究方向， 而泛函分析中的 积分和微分理论 为此提供了重要
的数学基础。
添加标题
泛函分析在量子力学中的应用
描述了量子力学中的波函数和 概率幅
提供了量子力学中算子的表示 和分类方法
揭示了量子力学中的一些重要 定理和原理，如不确定性原理 和量子纠缠
研究对象：实变函数研究的是具体的、有限的、离散的数学对象，而泛函分析则研究 的是抽象的、无限的、连续的数学对象。
实变函数与泛函分析第1讲
三、集合与元素的关系
如果 是集合 的元素，则说 属于 ，记作 ,或说A含有a．
如果 不是集 的元素，则说 不属于 ，记作 ，或说A不含有a．
四、集合与集合的关系
1．包含：
是 的子集
若 且 ，就称A是 的真子集，规定空集是任何集的子集．
2．相等
材的第一章．不过，对于实变函数论来说，集论知识．
一、集合的概念及其表示
集合也称作集,是数学中所谓原始概念之一，即不能用别的概念加以定义，它像几
何学中的“点”、“直线"那样,只能用一组公理去刻画．就目前来说，我们只要求掌握以下朴素的说法：
“在一定范围内的个体事物的全体，当将它们看作一个整体时，我们把这个整体称
由 个元素 所组成的集合，可表示为
由全体自然数所组成的集合称为自然数集，可表示为 ．
不含任何元素的集合称为空集，记作 ．
2．描述法
当集 是具有某性质 的元素之全体时，我们用下面的形式表示 ：
方程 的解x的全体组成的数集是
注：有时我们也把集 具有性质 改写成 具有性质 ．例如，设
是定义在集合 上的一实函数， 是一个实数，我们把集 写成
第一章 集合§1集合的表示
由德国数学家Cantor所创立的集合论，是现代数学中一个独立的分支，按其本性
而言，集合论是整个现代数学的逻辑基础；而就其发展历史而言，则与近代分析（包括
实变函数论)的发展密切相关，实变函数通常是第一门大量运用集合论知识的大学数学
课程．因此,在现代数学教育中,对集合论知识的较系统的介绍，通常构成实变函数教
为一个集合,其中每个个体事物叫做该集合的元素．”
一个集合的元素必须彼此互异，而且哪些事物是给定集合的元素必须明确．以集合
实变函数与泛函分析基础
第一章是关于集合及其操作的概念。
所谓“集合”（或“集合”）是指可以在一定范围内彼此区分的事物的集合。
构成集合的每个事物都称为集合的元素或点。
如果x是组成集合的事物之一，则说a包含x，或者X属于a。
相反，如果x不是组成集合a的事物，则a不包含x，或者X不属于a，表示为X闻到A。
对于物质X和集合a，“x∈a”和“x 臭味a”之间只有一个关系。
为方便起见，我们引入了不包含任何元素的所谓集合，称为空集合，并表示为碬注意，集合中的每个元素必须彼此不同。
同一元素在集合的表示中仅出现一次。
1. 1. 1. 2.集合A的相等性和包含性。
如果集合a的所有元素都是集合B 的元素，即X∈A和X∈B，则a称为B的子集，而a为表示包含B，或B包含a，记录为油炸B或B汽车a如果油炸B和≠B，则a称为B的适当子集。
指定空集为B的子集任何一组。
关系“油炸”满足：（I）油炸的；（II）如果将B炸成B而将B炸成a，则a = B; （III）如果将B炸成B，则将C炸成C，那么将由集合B中的所有元素和集合B中的所有元素组成的集合称为a和B的并集，称为∪B，即，则设置为B {xxa或x B}。
由a 和B的所有公共元素组成的集合称为a和B的交集，称为a∩B，即a∩B∩x∈a和X∈B}。
特别地，如果a = B，即a和B没有共同的元素，则a和B被说成是不相交的。
由属于a 但不属于B的所有元素组成的集合称为a和B的差集，这称为＼B {x x A和x B}。
∈如果炒x，则x ＼A称为与x的a的互补集（或补码），表示为ca关于“联合”，“交集”和“余数”的以下操作属性如下：（I）交换律a B = B a，a B B = B B B = B B = B B B B = B B B = B B B B B B B B B B B ∪B∪C∩B∩B“和“余数”具有以下操作特性：（I）交换律a∪B∪B = B∪a，a，a，B∪b）∩C =（a∩C）（B∩C），（a∩C），（a）b）∪（aB∩C∩ccccc（IV）对偶定律（De Morgan公式）（a∪b）（a∪b））=a∩B，（a）b）= CC cca∪B.1 Chang 1光滑4个集合族如果集合a的元素是集合X的子集，则将a称为集合x上的集合x的集合族。
0871实变函数与泛函分析初步
高纲1360江苏省高等教育自学考试大纲02012 实变与泛函分析初步江苏教育学院编江苏省高等教育自学考试委员会办公室一课程性质及其设置目的与要求（一）课程性质与特点实变函数论是19世纪末20世纪初形成的一个数学分支，它的基本内容已成为分析数学各个分支的普遍基础.实变函数主要指自变量取实数值的函数，而实变函数论就是研究一般实变函数的理论，如果说微积分所讨论的函数都是性质“良好”的函数，那么实变函数就是讨论一般的函数，包括从微积分学来看性质“不好”的函数，实变函数论是微积分深入与发展，函数的可积性是实变函数论中的主要内容. 总之，实变函数论和古典数学分析不同，它是一种比较高深精细的理论，是数学的一个重要分支，它的应用广泛，它在数学各个分支的应用是现代数学的特征.（二）教学目的与要求课程内容包括：本课程内容包括集合及其运算，对等与基数，可数集合，不可数集合；度量空间、n维欧氏空间，聚点、内点、界点，开集、闭集、完备集，直线上开集、闭集和完备集的构造；外测度，可测集及其性质；可测函数的定义及其性质，叶果洛夫定理，可测函数构造，依测度收敛；勒贝格积分（L积分）的定义及性质，一般可积函数，积分的极限定理。
教学目的和要求：使学生掌握勒贝格测度与勒贝格积分的基础理论，了解一般度量空间上的测度理论，培养学生的分析学知识，加深学生对微积分和函数的认识。
二课程内容与考核目标第一章集合（一）课程内容集合的概念及运算，对等与基数，可数集与不可数集。
（二）学习与考核要求1、掌握集合概念，掌握集合的交、并、余等运算的定义和性质（包括无穷多个集的运算）.2、掌握集列的上极限与下极限集的概念及它们用集列的交和并所表示的式子，能够正确写出具体集列的上、下极限集或极限.3、理解一一映照的概念，能够正确写出两个集之间的一一映照.4、掌握对等和基数的定义及性质，掌握基数大小的定义.掌握证明集合对等的两个定理（两个不交集列对等定理和伯恩斯坦定理），能够应用它们来证明集合对等.5、掌握可数集的概念及可数基数a概念.掌握可数基数a 的最小性，掌握可数集运算后的基数定理及各种可数集的实例.6、掌握实数集的不可数性及连续基数c，掌握各种具有连续基数的集.了解没有最大基数的定理并能够正确地证明之.第二章 点集（一）课程内容度量空间与n 维欧氏空间，外点、界点、聚点，开集、闭集、完备集，直 上开集、闭集、完备集的构造, 康托尔三分集.（二）学习与考核要求1、 理解n 维欧氏空间的概念，掌握邻域概念及邻域的性质.掌握点列收敛的描述（用距离d 及用邻域u 来描述），掌握两集之距离等概念.2、 掌握内点、外点、界点、聚点、孤立点等概念（包括等价命题）.掌握开核、边界、导集、闭包等概念，能够正确写出具体点集的开核、边界、导集及闭包.3、 掌握开集、闭集、自密集、完备集等概念（包括等价命题和关系式）并能够对具体集合进行判别.4、 掌握开闭集的对偶性定理及保持开闭性的交并运算定理.能够应用于判别具体实例.5、 掌握直线上开集、闭集、完备集的构造.6、 掌握康托点集的构造及性质（包括非空性、完备性、无处稠密性、无内点、基数为c 、测度为零等）.第三章 测度论（一）课程内容外测度，可测集，可测集类。
实变函数和泛函分析还是很重要的
实变函数和泛函分析还是很重要的实变函数和泛函分析在经济学中的用处非常大。
首先，实变函数是研究L 积分理论的，这种L积分使积分理论得以应用的函数范围大大推广了，实际上除了数学家刻意构造出来的奇异函数，一般的函数，特别是我们在分析实际问题时遇到的函数，都是L可积的。
因此L积分的理论可以用于我们分析实际问题时遇到的所有函数。
L积分的理论中哪些内容是极其重要的呢？从应用的角度来讲，最有价值的就是测度理论和积分的三个相互等价控制收敛定理。
测度论使的概率论变得更加威力强大，可以解决很多以前被认为是古怪的无法分析的问题。
也使很多概率理论变得更加严格。
比如无限可分事件的概率以及用西格玛域来阐述的条件概率等等。
没有测度论就无法分析连续鞅等等。
另外，积分收敛定理解决了积分运算与极限运算互换的问题，使得很多极限问题变得可以计算。
所以支持大样本统计理论的概率极限理论就建立起来了。
如果搞懂了实变函数，你对统计，计量，金融工程等问题的研究就可以一枪刺到底，从基本概念的学习开始可以一路畅通的达到对前沿理论的深刻理解。
没有实变函数的基础，学计量，统计和金融工程就是隔靴挠痒。
再看泛函分析，泛函分析是建立在实变函数的基础上的。
为什么这么说呢？其实就分析的问题的思路来讲，泛函和实变还是有很大差别的，但是泛函研究的是函数空间，研究函数空间中的收敛和连续等拓扑概念必须依赖范数的定义，而函数空间的范数的定义依赖于积分理论，所以实变函数就成了泛函的基础。
所以一般都是先学实变，再学泛函。
当然，也有先学直接学泛函的，这时就只能直接的接受积分定义的范数概念，或者干脆只从抽象范数的角度来研究，不去管范数的具体形式。
从理解泛函本身的理论来讲并没有什么不妥，只是在用泛函解决实际问题时就有麻烦，因为研究实际问题就要给出具体的范数定义，没有实变函数的积分理论就不行了。
所以，纯粹学习泛函，而不讲究实用，可以直接学泛函，大不了在学习时补充一点范数的具体形式就可以了。
实变函数论与泛函分析第二版
实变函数论与泛函分析第二版
《实变函数论与泛函分析(上,下)》第二版是由姜启源著作的教材，
主要介绍了实变函数论和泛函分析的基本理论和应用。
全书分为上、下两卷，总共包含了1200页以上的内容。
上卷主要介绍了实变函数论的基础知识和基本理论。
首先介绍了实数
系和数列的基本概念，然后讨论了实函数的连续性、可测性、可积性等性质。
接着介绍了数值序列与函数列的收敛性，包括点态收敛和一致收敛的
概念，并探讨了这些性质的一些重要性质和应用。
此外，还介绍了一些特
殊函数，如幂函数、指数函数、对数函数等，并讨论了它们的性质和应用。
下卷主要介绍了泛函分析的基本理论和应用。
首先介绍了线性空间和
范数空间的概念，然后讨论了向量空间的线性映射和线性算子的性质。
接
着介绍了拓扑空间和度量空间的概念，并探讨了拓扑和度量的性质及其应用。
此外，还介绍了连续线性算子的性质和紧算子的性质，并讨论了它们
的应用。
全书的特点是理论深入、严密，但又通俗易懂，适合作为高等数学专
业本科生和研究生的教材或参考书使用。
此外，全书还提供了大量的习题
和例题，以及详细的解答和参考答案，方便读者巩固所学知识和拓宽应用
能力。
总之，《实变函数论与泛函分析(上,下)》第二版是一本综合性较强
的教材，涵盖了实变函数论和泛函分析的基本理论和应用，并且具有严谨
性和通俗易懂性的特点。
无论是学习实变函数论和泛函分析的基础知识，
还是拓宽应用能力都具有较高的参考价值。
实变函数与泛函分析概要
实变函数与泛函分析概要第一章 集合 基本要求：1、 理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、 掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、 会求已知集合的并、交、差、余集。
4、 了解对等的概念及性质。
5、 掌握可数集合的概念和性质。
6、 会判断己知集合是否是可数集。
7、 理解基数、不可数集合不可数集合不可数集合、、连续基数连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn 引理。
第二章 点集 基本要求基本要求：1、 理解n 维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、 掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、 掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、 会求己知集合的开集和导集。
5、 掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、 会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、 了解Peano 曲线概念。
主要知识点主要知识点：：一、基本结论：1、 聚点性质§2 中T 1聚点原则：P 0是E 的聚点⇔ P 0的任一邻域内，至少含有一个属于E 而异于P 0的点⇔存在E 中互异的点列{P n }，使P n →P 0 （n →∞） 2、 开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A ⊂B ，则Aɓ⊂Bɓ， Ａ⊂ Ｂ，－Ａ⊂－Ｂ。
T3：（A ∪B ）′=A ′∪ B ′.3、 开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E ⊂R ⁿ，ö是开集，E ´和―Ｅ都是闭集。
（ö称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E 是开集，则CE 是闭集；设E 是闭集，则CE 是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel 有限覆盖定理）设F 是一个有界闭集，ℳ是一开集族{U i }i єI 它覆盖了F （即F с ∪ｉєＩU i ），则ℳ中一定存在有限多个开集U 1，U 2…U m ，它们同样覆盖了F （即F ⊂ｍ∪ U i ）（i єI ）4、 开（闭）集类、完备集类。
实变函数与泛函分析
实变函数与泛函分析
实变函数是指在数学中，变量和函数值都是实数的函数。
泛函分析是一门数学分支，主要研究实变函数的性质和分析。
泛函分析的基本概念包括：
1.函数的连续性：指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量值，函数值之差都可以被任意给定的常数δ所代替，即函数在该区间内是连续的。
2.函数的可导性：指函数在某个区间内，对于任意一个自变量值，都存在一个导数，即函数在该区间内是可导的。
3.函数的可积性：指函数在某个区间内，对于任意两个自变量值，都存在一个积分，即函数在该区间内是可积的。
泛函分析还研究了一些其他概念，如复合函数、反函数、单调函数、奇偶性函数、周期函数、级数等。
泛函分析的研究方法包括函数的几何表示、函数的微积分学表示、函数的数学分析表示等。
泛函分析是一门广泛应用的数学分支，在工程、物理、化学、经济学等领域都有广泛的应用。
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实变函数与泛函分析概述
实变函数是数学中一类重要的函数，与泛函分析有紧密的联系。
本
文将对实变函数与泛函分析进行概述，并介绍它们的基本概念和主要
应用。
一、实变函数概述
实变函数是定义在实数集上的函数。
它们通常涉及到实数域上的极限、连续性、可导性等性质。
实变函数的研究对于数学和物理学等领
域都具有重要的意义。
1.1 实变函数的定义
实变函数可以根据其定义域和值域的不同进行分类。
常见的实变函
数包括数列极限、函数极限、连续函数、可导函数等。
1.2 实变函数的性质
实变函数具有一系列重要的性质，如界、连续性、可导性、积分等。
这些性质可以帮助我们了解函数的行为和性质，从而更好地进行函数
的研究和应用。
1.3 实变函数的应用
实变函数在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，在微积分中，实
变函数被用来解决曲线的弧长、曲率、最值等问题。
在物理学中，实
变函数被用来描述物体的运动、变化等现象。
二、泛函分析概述
泛函分析是研究无穷维空间中函数的一种数学分析方法。
它广泛应
用于函数空间、傅里叶分析、偏微分方程等领域。
2.1 泛函分析的基本概念
泛函分析的基本概念包括向量空间、范数、内积等。
与有限维空间
相比，无穷维空间的泛函分析更加复杂，因为它需要处理无穷序列和
无穷级数等概念。
2.2 泛函分析的重要结果
泛函分析的重要结果包括泛函的极值、开映射定理、闭图像定理等。
这些结果为泛函分析提供了坚实的理论基础，也为实际问题的求解提
供了有效的方法。
2.3 泛函分析的应用
泛函分析在许多领域有广泛的应用。
例如，在傅里叶分析中，泛函
分析被用来描述信号的频谱分布；在偏微分方程中，泛函分析被用来
研究方程的解的存在性和稳定性。
三、实变函数与泛函分析的关系
实变函数与泛函分析有紧密的联系。
实变函数可以看作是泛函分析
在实数域上的特例。
通过引入泛函分析的方法和技巧，我们可以更好
地理解和研究实变函数的性质与应用。
3.1 实变函数的泛函分析观点
从泛函分析的角度来看，实变函数可以看作是存在于某个函数空间中的一个特殊函数。
泛函分析的工具和方法可以帮助我们更深入地了解实变函数的性质。
3.2 泛函分析在实变函数中的应用
泛函分析在实变函数中有广泛的应用。
例如，通过引入函数空间的概念，我们可以研究实变函数的收敛性、连续性等性质；通过引入泛函的概念，我们可以定义实变函数的泛函导数、泛函积分等。
结论
实变函数与泛函分析是数学中重要的研究领域，它们在函数的性质和应用方面都有着重要的意义。
通过对实变函数和泛函分析的概述，我们可以更好地理解它们的基本概念、性质和应用，从而为进一步的研究和应用奠定坚实的基础。