实变函数论与泛函分析曹广福到章课后答案

第一章习题参考解答

3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么

解： 若)()(C B A C B A --=⋃-,则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即,A C ⊂.

反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,

C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.

最后证,C B A C B A ⋃-⊂--)()(

事实上,)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉;若C x ∈,则C B A x ⋃-∈)(；若

C x ∉,则B x ∉,故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.

A A C

B A

C B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.

反过来,若A C ⊂,则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂,所以

)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-

另一方面,A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉,如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉,所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而

C B A C B A ⋃-⊂--)()(

于是,)()(C B A C B A --=⋃-

4．对于集合A,定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=A

x A

x x A ,0,1)(χ, 假设 n A A A ,,,21是一

集列 ,证明：

i )(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

ii )(sup lim )(sup lim x x n n

A n

n

A χχ=

证明：i )(inf lim n n

m N n n n

A A x ≥∈⋂⋃=∈∀,N ∈∃0n ,0n m ≥∀时,m A x ∈.

所以1)(=x m A χ,所以1)(inf

=≥x m

A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m

n

A n

m N b A n

χχ

N n A x n n

∈∀⇒∉∀inf lim ,有n k A x n n n

m ≥∃⇒⋂∉≥

有0)(inf

0=⇒=⇒∉≥x A x m

n

k m A n

m A k χχ,故0)(inf sup =≥∈x m

A n

m N b χ ,即)(inf lim x n

A n

χ=0 ,从

而)(inf

lim )(inf lim x x n

n

A n

n

A χχ=

5．设}{n A 为集列,11A B =,)1(1

1

>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明

i }{n B 互相正交

ii i n

i i n

i B A N n 1

1

,===∈∀

证明：i m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m,因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=1

1

,又因为

m m A B ⊂,所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂,故 ∅=m n B B ,从而 {∞=1}n n B 相互正交.

ii 因为)1(n i i ≤≤∀,有i i A B ⊂,所以i n

i i n

i A B 1

1

==⋃⊂⋃,现在来证：i n

i i n

i B A 1

1

==⋃⊂⋃

当n=1时,11B A =；

当1≥n 时,有：i n

i i n

i B A 1

1

===

则)()()()()(1

11

1

111

11

11

i n

i n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==

事实上,i n

i A x 1=⋃∈∀,则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈,令}{n

i A x i i i ≤≤∈=1|m in 0且

则 i n

i i i i i i B B A A x 1

11

000=-=⊂=-∈ ,其中,当10=i 时,∅=-=i i i A 11

0 ,从而, i n

i i n i B A 1

1===

6．设)(x f 是定义于E 上的实函数,a 为常数,证明： i })(|{a x f x E >=}1

)({1n

a x f n +≥∞

=

ii

})(|{a x f x E ≥=}1

)({1n

a x f n ->∞

=

证明：i })(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(

}1

)(|{1)(,n

a x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+

≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1

)(|{1n

a x f x E n +≥∞=

反过来,{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ,使}1

)(|{n a x f x E x +≥∈