高中物理专题讲解——在动力学中临界极值问题的处理

在动力学中临界极值问题的处理

物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

一．解决动力学中临界极值问题的基本思路

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、

牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○

2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○

3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审

题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发

现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状

态。○

5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○

6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。

二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读

在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。

【例1】速度大小是5m/s 的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s 的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问：

（1） 当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2） 相遇前这鸟飞行了多少路程？

【灵犀一点】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。

【解析】飞鸟飞行的时间即为两车相遇前运动的时间，由于飞鸟在飞行过程中速率没有变化，可用s=vt 求路程。 （1）设甲、乙相遇时间为t ，则飞鸟的飞行时间也为t ，甲、乙速度大小相等v 甲= v 乙=5m/s ，同相遇的临界条件可得：s = (v 甲+v 乙)t

则：2000

=20010

s t

s s v v =

=+乙甲

（3） 这段时间，鸟飞行的路程为：10200s vt m '==⨯

【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。

【例2】在平直公路上一汽车的速度为15m/s ，从某时刻汽车开始刹车，在阻力作用下，汽车以2m/s 2

的加速度做匀减速运动，则刹车后第10s 末车离刹车点的距离是 m.

【灵犀一点】在汽车刹车问题中，汽车速度为0后将停止运动，不会反向运动。在分析此类问题时，应先确定刹车停下来这个临界状态所用的时间，然后在分析求解。 【解析】 设汽车从刹车到停下来所用时间为t 0，

由运动学规律得：0000150

,7.52

t t v v v v at t s s a --=-=

== 由于t 0<10s ，所以在计算时应将t=7.5s 代入公式求解。 则有：22011

(157.527.5)56.2522

s

v t at m m =-=⨯-⨯⨯=

【思维总结】本题经常犯的错误是不考虑汽车刹车后速度为零所需时间这一临界状态，直接把题目中所给的时间代入公式。汽车刹车后不可能再倒行，此类问题应注意验证结果的合理性，若给定的时间内汽车仍未停下，则可直接套用运动学公式；若给定时间汽车早以停下，就应先计算刹车时间，然后再把这一时间代入位移公式求解。

【例3】A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2

的加速度匀加速开出，2s 后B 车同向以3m/s 2

的加速度开出。问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？ 【灵犀一点】速度相等是解决追及和相遇问题的临界点。

【解析】〖解法1〗由于当A 车的加速度度小于B 车的加速度，B 车后启动，则B 车一定能追上A 车，在追上前当两车的速度相等时，两车相距最远。设当A 车运动t 时间时，两车速度相等，则有,(3)A

B A B v v a t a t ==-

解得：39B

A B

a t s a a =

=-

把t 代入两车之间距离差公式得：2211

(3)2722

A B A B s

s s a t a t m ∆=-=

--= 〖解法2〗设A 启动ts 两车相距最远，A 车的位移：212A s at =，B 车的位移：2

1(3)2

B s a t =-

两车间距离为222

11(3)0.5913.522

A B A B s s s a t a t t t ∆=-=--=-+-

由数学知识可知，当9

92(0.5)

t

s s =-

=⨯-时，

两车间有最大距离：2211

(3)2722

A B A B s

s s a t a t m ∆=-=

--= 【思维总结】在追及问题中，常常要求最远距离或最小距离，常用的方式有物理方法和数学方法，应用物理方法时，应分析物体的具体运动情况，两物体运动速度相等时，两物体间有相对距离的极大值和极小值。应用数学的方法时，应先列出函数表达式，再求表达式的极大值或极小值。

三．在共点力动态平衡中与临界极值相关问题的解读

物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最小”，那个绳先断等问题。

【例4】如图1所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动与不动的临界状态。此时是θ最大。

【解析】依题意可知，当 mgsin θ=μmgcos θ 物体处于临界状态，即 tan θ=μ

则 θ≤arc ot μ

讨论：tan θ=μ是一重要临界条件。其意义是：tan θ<μ时，重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tan θ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。

图1