吉林省长春市2013年高中毕业班第一次调研测试数学(理)试题

2013年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学试题卷(理科) 考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡. 第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题纸上）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|ln(1||)}B x y x ==-，则()A B =R ðA. (1,2)B. [1,2)C.(1,1)-D.(1,2]已知复数1z ai =+()a ∈R （i 是虚数单位），3455z iz =-+，则a =A. 2B. 2-C. 2±D.12-如图的程序框图，如果输入三个实数a ，b ，c ，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的 A. c x >?B. x c > ?C. c b > ?D. b c >?一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A.(86π+B.(826π+C.(66π+D.(926π+设113a xd x-=⎰，11201b x d x=-⎰，13c xd x=⎰，则a 、b 、c的大小关系为A. a b c >>B. b a c >>C. a c b >>D. b c a >> 在正项等比数列{}n a 中，已知1234a a a =，45612a a a =，11324n n n a a a -+=，则n =俯视图A. 11B. 12C. 14D. 16直线1l 与2l 相交于点A ，动点B 、C 分别在直线1l 与2l 上且异于点A ，若A B 与A C 的夹角为60，B C =A B C ∆的外接圆的面积为A. 2πB. 4πC. 8πD. 12π给定命题p：函数s i n (2)4y x π=+和函数3c o s (2)4y x π=-的图像关于原点对称；命题q ：当2x k ππ=+()k ∈Z时，函数2co s 2)y x x =+取得极小值. 下列说法正确的是A. p q ∨是假命题B. p q ⌝∧是假命题C. p q ∧是真命题D. p q ⌝∨是真命题若两个正实数,x y满足211xy+=，并且222x y m m+>+恒成立，则实数m 的取值范围是A. (,2][4,)-∞-+∞B. (,4][2,)-∞-+∞C. (2,4)-D. (4,2)-已知直线0x y k +-=(0)k >与圆224x y +=交于不同的两点A 、B ，O 是坐标原点，且有||||3O A O B A B +≥，那么k 的取值范围是A. )+∞B. )+∞C.D.如图，等腰梯形A B C D 中，//A B C D 且2A B A D =，设D A B θ∠=，(0,)2πθ∈，以A 、B 为焦点，且过点D 的双曲线的离心率为1e ；以C 、D 为焦点，且过点A 的椭圆的离心率为2e ，则A. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅为定值B. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅为定值C. 当θ增大时，1e 增大，12e e ⋅增大D. 当θ增大时，1e 减小，12e e ⋅减小A BD C对于非空实数集A ，记*{|,}A y x A y x =∀∈≥. 设非空实数集合M 、P 满足：M P ⊆，且若1x >，则x P ∉. 现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有**P M ⊆； ②对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*MP ≠∅ ；③对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必有*M P =∅ ；④对于任意给定符合题设条件的集合M 、P ，必存在常数a ，使得对任意的*b M ∈，恒有*a b P +∈，其中正确的命题是 A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题纸中的横线上).若实数,x y 满足11211x y x y x ⎧⎪⎪-+⎨⎪+⎪⎩≤≤≥≤，则1y x+的取值范围是____________.A B C ∆中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若222a c b -=，且sin 6cos sin B A C =⋅，则b 的值为____________.若一个正四面体的表面积为1S ，其内切球的表面积为2S ，则12S S =____________.定义在R 上的函数()f x 满足()(5)16f x f x ++=，当(1,4]x ∈-时，2()2xf x x =-，则函数()f x 在[0,2013]上的零点个数是____________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. （本小题满分12分）函数()s i n ()(0,0,)()22f x A x A x ππωϕωϕ=+>>-<<∈R 的部分图像如图所示.⑴ 求函数()yf x =的解析式；⑵ 当[,]6x ππ∈--时，求()f x 的取值范围.（本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和是nS ，且112n n S a +=.⑴ 求数列{}n a 的通项公式；⑵ 记23lo g 4nn a b =，数列21{}n n b b +⋅的前n 项和为n T ，证明：316n T <.（本小题满分12分） 如图，在三棱柱111A B C A B C -中，侧面11A A C C ⊥底面A B C ，112A A A C A C ===， AB BC =，A B B C ⊥，O 为A C 中点．⑴ 证明：1A O ⊥平面A B C ；O CBAC 1B 1A 1⑵ 求直线1A C与平面1A A B所成角的正弦值；⑶ 在1B C 上是否存在一点E ，使得//O E 平面1A A B?若存在，确定点E 的位置；若不存在，说明理由.（本小题满分12分）已知椭圆C:22221(0)xy a b ab+=>>的离心率为2，其左、右焦点分别为1F 、2F ，点P是坐标平面内一点，且||2O P =，1234P F P F ⋅= ，其中O 为坐标原点. ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 如图，过点1(0,)3S -，且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A 、B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以A B 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．（本小题满分12分） 已知函数2()(22)xf x e ax x =--，a ∈R 且0a ≠.⑴ 若曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； ⑵ 当0a >时，求函数(|sin |)f x 的最小值；⑶ 在⑴的条件下，若y kx =与()y f x =的图像存在三个交点，求k 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图，已知⊙O 和⊙M 相交于A 、B 两点，AD 为⊙M 的直径，直线BD交⊙O 于点C ，点G 为B D 中点，连结AG 分别交⊙O 、BD 于点E 、F ，连结CE ．⑴ 求证：GD CE EF AG ⋅=⋅；⑵ 求证：.22CEEF AGGF=（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为5212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.⑴ 求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；⑵ 设曲线C 与直线l 相交于P 、Q 两点，以P Q 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积. （本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()f x =⑴ 当5=a 时，求函数)(x f 的定义域；⑵ 若函数)(x f 的定义域为R ，试求a 的取值范围.2013年长春市高中毕业班第一次调研测试 数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. B 2. B 3. A 4. A 5. A 6. C 7. B 8. B 9. D 10. C 11. B 12. C简答与提示：B 由220x x --<可得12x -<<，又l n (1||)y x =-中1||0x ->，则1||x >即11x -<<，则{|11}B x x x =或R ð≤-≥，因此()[1,2)A B = R ð，故选B.B 由题意可知：2222221(1)1212341(1)(1)11155a ia i a i a a a i ia ia i a i aa a-----===-=-+++-+++，因此221315aa-=-+，化简得225533a a -=+，24a =则2a =±，由22415aa-=+可知0a <，仅有2a =-满足，故选B.A 由于要取a ，b ，c 中最大项，输出的x 应当是a ，b ，c 中的最大者，所以应填比较x 与c 大小的语句c x >，故选A.A 该几何体由底半径为1的半圆锥与底面为边长等于2正方形的四棱锥组成，因此该几何体体积为()()28111122323636V ππ+⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⨯⨯=+=⎪⎝⎭，故选A.A 由题意可计算得11111231333312213x a x d x x -+-====-+⎰；1312122111103332x b x d x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪=-=-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎰；1413144xc xd x ===⎰，综上a b c >>，故选A.C 由3312314a a a a q==与312456112a a a a q==可得93q =，333111324n n n n a a a a q--+⋅⋅=⋅=，因此36436813n qq-===，所以14n =，故选C.B 由题意A BC ∆中60B A C ∠=︒，B C =，由正弦定理可知2s in 2B C RA==，由此2R =，24S R ππ==，故选B.Bp命题中3c o s (2)c o s (2)c o s [(2)]44224y x x x πππππ=-=--=-- sin (2)4x π=-与sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭关于原点对称，故p 为真命题；q命题中)sin 2co s 22sin 24y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭取极小值时，2242x k πππ+=-，则38x k ππ=-()k ∈Z ，故q 为假命题，则p q ⌝∧为假命题，故选B.D 2142(2)228y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=+++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y =，即224y x =时等号成立. 由222x y m m+>+恒成立，则228m m +<，2280m m +-<，解得42m -<<，故选D.C当||||3O A O B A B +=时，O ，A ，B 三点为等腰三角形的三个顶点，其中O A O B =，120A O B ∠=，从而圆心O 到直线0x y k +-=(0)k >的距离为1，此时k =；当k >时||||3O A O B A B +>，又直线与圆224x y +=存在两交点，故k <k的取值范围为，故选C.B 由题可知：双曲线离心率1||||||A B e D B D A =-与椭圆离心率2||||||C D e B D B C =+设||||A D B C t ==则||2A B t =，||22cos C D t t θ=-，||B D =12e =222co s e θ-=0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，当θ增大，co s θ减小，导致1e 减小.121e e ⋅==. 故选B.C 对于②，假设1{|0}2M P x x ==<<，则*1{|}2Mx x =≥，则*MP =∅ ，因此②错误；对于③，假设1{|0}2M P x x ==<≤，则12M∈，又*12P∈，则*M P ≠∅ ，因此③也错误，而①和④都是正确的，故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. [1,5] 14. 315.π16. 604简答与提示：由题可知1(1)0y y xx +--=-，即为求区域内的点与(0,1)-点连线斜率k的取值范围，由图可知[]1,5k ∈.由正弦定理与余弦定理可知，s i n 6c o s s i n B A C =⋅可化为22262b c ab cb c+-=⋅⋅，化简可得22223()b bc a =+-，又222a c b -=且0b ≠，可计算得3b =.设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为22144S a ==，其内切球半径为正四面体高的14，即14312r ==，因此内切球表面积为22246a S rππ==，则21226S S aππ==.由()(5)16f x f x ++=，可知(5)()16f x f x -+=，则(5)(5)0f x f x +--=，所以()f x 是以10为周期的周期函数. 在一个周期(1,9]-上，函数2()2xf x x =-在(1,4]x ∈-区间内有3个零点，在(4,9]x ∈区间内无零点，故()f x 在一个周期上仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，又[0,3]x ∈时也存在一个零点2x =，故()f x 在[0,2013]上的零点个数为32011604⨯+=.三、解答题（本大题必做题5小题，三选一中任选1小题，共70分）(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查三角函数解析式的求法与三角函数图像与性质的运用，以及三角函数的值域的有关知识.【试题解析】解：(1)由图像得1A =，24362T πππ=-=，所以2T π=，则1ω=；将(,1)6π代入得1sin ()6πϕ=+，而22ππϕ-<<，所以3πϕ=，因此函数()sin ()3f x x π=+；(6分)(2) 由于[,]6x ππ∈--，2336x πππ-+≤≤，所以11sin ()32x π-+≤≤，所以()f x 的取值范围是1[1,]2-.( 12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查运用数列基础知识求解数列的通项公式，其中还包括对数的运算与裂项求和的应用技巧.【试题解析】解：(1)由题11112n n S a +++= ①112n n S a +=②①-②可得1111022n n n a a a +++-=，则113n na a +=.(3分)当1n =时11112S a +=，则123a =，则{}n a 是以23为首项，13为公比的等比数列，因此111212()333n n n n a a q--=⋅=⋅=.(6分)(2)2233lo g lo g 324nn n a b n-===-，(8分)所以21111111()22(2)4(2)82n n b b n n n n n n +==⋅=-⋅⋅+++， (10分)11111111111113()(1)81324112821216n T n n n n n n =-+-++-+-=+--<-++++(12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题以斜三棱柱为考查载体，考查平面几何的基础知识.同时题目指出侧面的一条高与底面垂直，搭建了空间直角坐标系的基本架构.本题通过分层设计，考查了空间直线垂直，以及线面成角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1)112A A A C A C ===，且O 为A C 中点，1A O A C∴⊥，又 侧面11A A C C ⊥底面A B C ，交线为A C ，11A O A A C⊂面，∴1A O ⊥平面A B C .(4分)(2) 如图，以O 为原点，分别以OB 、OC 、1O A 所在直线为x 、y 、z(1,0,0)B ，轴，建立空间直角坐标系，则由题可知1(0,1,0)C，1(0,A ，(0,1,0)A -.1(0,1,A C ∴=，令平面1A A B的法向量为(,,)n x y z =，则10n AA n AB ⋅=⋅=，而1(0,1,A A =，(1,1,0)A B =，可求得一个法向量(3,3,n =-，所以111|||co s ,|7||||n A C A C n n A C ⋅<>===⋅，故直线1A C与平面1A A B所成角的正弦值为7. (8分)(3) 存在点E 为线段1B C 的中点.证明：连结1B C交1B C 于点M ，连结1A B 、O M ，则M 为1B C 的中点，从而O M 是1C A B ∆的一条中位线，1//O M A B ，而1A B ⊂平面1A A B，O M ⊄平面1A A B ，所以//O M 平面1A A B ，故1B C 的中点M即为所求的E 点. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的标准方程，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.【试题解析】解：(1)设00(,)P x y，由||2O P =可知220074x y +=①(1分)又1234P F P F ⋅= ，00003(,)(,)4c x y c x y ---⋅--=， 即2220034x c y -+=②(2分)①代入②得：1c =.又2e =，可得1a b ==，故所求椭圆方程为2212xy +=(4分)(2)设直线1:3l y kx =-，代入2212xy +=，有22416(21)039k x kx +--=.设1122(,)(,)A x yB x y 、，则121222416,3(21)9(21)k x x x x k k -+==++. (6分)若y 轴上存在定点(0,)M m 满足题设，则11(,)M A x y m =-uuu r，22(,)M B x y m =-uuu r，21212121212()()()M A M B x x y m y m x x y y m y y m =+--=+-++uuu r uuu rg21212121111()()()3333x x k x k x m k x k x m =+----+-+221212121(1)()()339m k x x k m x x m =+-+++++222218(1)(9615)9(21)m k m m k -++-=+ (9分)由题意知，对任意实数k 都有0M A M B =uuu r uuu rg 恒成立，即22218(1)(9615)0m k m m -++-=对k R ∈成立.2210,96150,m m m ⎧-=⎪∴⎨+-=⎪⎩解得1m =， (11分)∴在y 轴上存在定点(0,1)M ，使以A B 为直径的圆恒过这个定点. (12分)(本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力. 【试题解析】解：由题意得：22()()(22)(22)x x f x e ax x e ax x '''=⋅--+⋅--22(22)(22)()(2)x x xe a x x e a x a e x x a=--+-=-+； (2分)(1) 由曲线()y f x =在点(2,(2))P f 处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得(2)0f '=，即22(2)(22)a e a⋅⋅-+=22240a a e a-⋅=，解得1a =；(4分)(2) 设|sin |(01)x t t =≤≤，则只需求当0a >时，函数()(01)y f t t =≤≤的最小值.令()0f x '=，解得2x a =或2x =-，而0a >，即22a>-.从而函数()f x 在(,2)-∞-和2(,)a+∞上单调递增，在2(2,)a -上单调递减.当21a≥时，即02a <≤时，函数()f x 在[0,1]上为减函数，m in (1)(4)y f a e==-；当201a<<，即 2a >时，函数()f x 的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值， 2m in 2()2ay f e a ==-.综上可知，当02a <≤时，函数(|sin |)f x 的最小值为(4)a e -；当2a >时，函数(|sin |)f x 的最小值为22ae -.(8分)(3) 令2(22)xe x x kx--=，显然0x ≠，则2(22)xe x x k x--=.构造函数2(22)()xe x x g x x--=，2()(1)(x e g x x x x x'=--+.令()0g x '=得1x =21x =，3x =，可知：()g x在(,-∞上单调递减，且()0g x <，当x无限减小时，()g x 保持恒负并无限接近于0，其图像在下方无限靠近x 轴负半轴；()g x在(0)上单调递增，当x 无限接近于0时，()g x 无限增大，其图像在左侧向上无限接近y轴正半轴，由于极小值(20g e=-<，所以()g x在(0)内存在一个零点；()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,上单调递减，在)+∞上单调递增，因此()g x 在1x =处取得极大值(1)3g e =-，在x =值2g =-当0x >并无限靠近0时，()g x 无限减小，其图像无限靠近y 轴负半轴，当x 无限增大时，()g x 也由负值变为正值无限增大，()g x在区间)+∞内也存在一个零点. 函数()g x 的大致图像如图所示： 根据条件y kx=与()y f x =的图像存在三个交点，即方程2(22)x e x x kx--=有三个解，直线y k =与函数2(22)()xe x x g x x--=的图像有三个公共点. 因此()0g k <<或(1)g k g <<，即20ek -<<或23k e -<<-，从而k的取值范围是(23)(20)e e --- . (12分)(本小题满分10分) 选修4-1：几何证明选讲【命题意图】本小题主要考查平面几何中三角形相似的判定与性质，以及圆中角的性质等知识.【试题解析】证明(1)：已知AD 为⊙M 的直径，连接A B ，则BAE BCE ∠=∠，90=∠=∠ABC CEF ，由点G 为弧BD 的中点可知FCE BAE GAD ∠=∠=∠，故CEF ∆∽AGD ∆，所以有GD EF AGCE=，即GD CE EF AG ⋅=⋅. (5分)(2)由(1)知ADG CFE DFG ∠=∠=∠，故A G D ∆∽DGF ∆，所以CE EF AGDG DGGF==，即.22CEEF AGGF=(10分)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程选讲 【命题意图】本小题主要考查坐标系与参数方程的相关知识，具体涉及到极坐标方程向直角坐标方程转化，参数方程向普通方程转化，以及圆内几何图形的性质等. 【试题解析】解：(1)对于C ：由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，进而224x y x+=；对于l：由5212x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），得5)y x =-，即50x --=.(5分)(2)由(1)可知C 为圆，且圆心为(2,0)，半径为2，则弦心距32d ==，弦长||P Q ==P Q 为边的圆C的内接矩形面积2||S d P Q =⋅=.(10分)(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲【命题意图】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式的解法及性质等内容.【试题解析】解：(1) 当5=a时，()f x =由|1||2|50x x +++-≥得1220x x -⎧⎨-⎩≥≥或2120x -<-⎧⎨-⎩≤≥或2820x x <-⎧⎨--⎩≥，解得1x ≥或4x -≤．即函数)(x f 的定义域为{x|1x ≥或4x -≤}.(5分)(2) 由题可知|1||2|0x x a +++-≥恒成立，即|1||a x x +++≤恒成立，而|1||2||(1)(2)|1x x x x ++++-+=≥，所以1a ≤，即a的取值范围为(,1]-∞.(10分)。