18.1勾股定理的应用

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沪科版数学八年级下册 18

能是 ( D )
A. 9 cm B. 12 cm C. 15 cm
D. 18 cm
3. 已知点 (2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为_1_0__.
4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
B
y
解：如图，过点 A 作 x 轴的垂线，
过点 B 作 x，y 轴的垂线，相交于A
5 4
点 C，连接 AB.
3
则 AC = 5 - 2 = 3，BC = 3 + 1 = 4. C
2B
在 Rt△ABC 中，由勾股定理得
1
AB AC2 BC2 5.
-3 -2 -1-1 O 1 2 3 x
∴ A，B 两点间的距离为 5.
例3 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处. 你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图. 在 Rt△ABC 中， AC = 6 米，BC = 8 米，由勾股定理得
AB AC 2 BC 2 62 82
12
侧面展开图 12
A解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股A 定理得
AB AA′2 BA′2 122 3 32 15(cm).
归纳立体图形中求表面上两点间的最短距离，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短” 确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
例5 有一个圆柱形油罐，要以 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米 (已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)?

18.1 勾股定理(一)

bb E B 一、课时学习目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

二、课前预习导学引导学生阅读P64 定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。

活动1、每位同学准备四个全等的直角三角形。

2、自主阅读课本本节内容。

画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长。

你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2对于任意的直角三角形也有这个性质吗？活动一：各小组成员选择自己最喜欢的拼图方法，验证勾股定理，活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点。

（学生可能拼出如下图形）活动三、从你所拼的图形的面积构造等式验证勾股定理看是否能得出：c 2=a 2+b 2每一小组选一种图形写出验证的过程，小组间进行交流。

例1（补充）已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：⑴让学生准备拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=___________________ 右边S=____________________左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2化简可证。

18.1 第1课时勾股定理(沪科版八年级数学下册教案)

第1课时　勾股定理1．经历探索勾股定理及验证勾股定理的过程，体会数形结合的思想；(重点)2．掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．(重点)一、情境导入如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它由若干个图形组成，而每个图形的基本元素是三个正方形和一个直角三角形．各组图形大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说说其中的奥秘吗？二、合作探究探究点一：勾股定理的证明作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．求证：a 2＋b 2＝c 2.解析：从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．证明：由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4.∵a 2＋b 2＋12ab ×4＝c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.方法总结：根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．探究点二：勾股定理【类型一】直接利用勾股定理求长度如图，已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，CD ⊥AB 交AB于点D ，求CD 的长．解析：先运用勾股定理求出AC 的长，再根据S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，求出CD 的长．解：∵在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝5cm ，BC ＝3cm ，∴由勾股定理得AC 2＝AB 2－BC 2＝52－32＝42，∴AC ＝4cm.又∵S △ABC ＝12AB ·CD ＝12AC ·BC ，∴CD ＝A C ·B C A B ＝4×35＝125(cm)，故CD 的长是125cm.方法总结：由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用．【类型二】利用勾股定理求面积如图，以Rt △ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3，则图中△ABE 的面积为________，阴影部分的面积为________．解析：因为AE ＝BE ，∠E ＝90°，所以S △ABE ＝12AE ·BE ＝12AE 2.又因为AE 2＋BE 2＝AB 2，所以2AE 2＝AB 2，所以S △ABE ＝14AB 2＝14×32＝94；同理可得S △AHC ＋S △BCF ＝14AC 2＋14BC 2.又因为AC 2＋BC 2＝AB 2，所以阴影部分的面积为14AB 2＋14AB 2＝12AB 2＝12×32＝92.故分别填94，92.方法总结：求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．【类型三】勾股定理与数轴如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A.5＋1　B ．－5＋1　C.5－1 D.5解析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A 点的坐标．图中的直角三角形的两直角边为1和2，∴斜边长为12＋22＝5，∴－1到A 的距离是5.那么点A 所表示的数为5－1.故选C.方法总结：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A 的符号后，点A 所表示的数是距离原点的距离．【类型四】利用勾股定理证明等式如图，已知AD 是△ABC 的中线．求证：AB 2＋AC 2＝2(AD 2＋CD 2)．解析：结论中涉及线段的平方，因此可以考虑作AE⊥BC交BC于点E.在△ABC中构造直角三角形，利用勾股定理进行证明．证明：如图，过点A作AE⊥BC交BC于点E.在Rt△ABE、Rt△ACE和Rt△ADE中，AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，∴AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)＝2(AD2－ED2)＋(DB－DE)2＋(DC＋DE)2＝2AD2－2ED2＋DB2－2DB·DE＋DE2＋DC2＋2DC·DE＋DE2＝2AD2＋DB2＋DC2＋2DE(DC－DB)．又∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∴AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．方法总结：构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题．【类型五】运用勾股定理解决折叠中的有关计算如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A对应点为A′，且B′C＝3，则AM的长是( )A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5解析：连接BM，MB′.设AM＝x，在Rt△ABM中，AB2＋AM2＝BM2.在Rt△MDB′中，B′M2＝MD2＋DB′2.∵MB＝MB′，∴AB2＋AM2＝BM2＝B′M2＝MD2＋DB′2，即92＋x2＝(9－x)2＋(9－3)2，解得x＝2，即AM＝2.故选B.方法总结：解题的关键是设出适当的线段的长度为x，然后用含有x的式子表示其他线段，然后在直角三角形中利用勾股定理列方程解答．【类型六】分类讨论思想在勾股定理中的应用在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC的周长．解析：应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．解：当高AD在△ABC内部时，如图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60；当高AD在△ABC外部时，如图②.同理可得BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.综上所述，△ABC的周长为42或60.方法总结：题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉原三角形为钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD在△ABC内的情形，忽视高AD在△ABC外的情形．三、板书设计让学生体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，进一步提升学生的说理和简单推理的能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激励学生发奋学习.。

新人教版第18章勾股定理修订版

18.1-1勾股定理导学案【学习目标】1.理解勾股定理的概念并会证明；2.对勾股定理会一些简单的应用.【自学】（15分钟）1.观察图1回答下列问题：左上图中，正方形A的面积是个单位面积。

正方形B的面积是个单位面积。

正方形C的面积是个单位面积。

右下图中，正方形A 的面积是个单位面积。

正方形B的面积是个单位面积。

正方形C的面积是个单位面积。

2.你能发现上图中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？SA +SBSC3.观察图2，你能发现图中三个正方形A，B，C的面积之间的关系吗？即SA +SB_____SC4.图1图2中C的面积你是用什么方法得到的？与同桌交流一下。

5.观察下图，你能用直角三角形的直角边a、b与斜边c表示正方形的面积吗？_____________________________6.由以上结论你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？_______________________________________ 7.我国古代就把直角三角形中的两直角边叫做“勾”“股”，把斜边叫做“弦”,所以就有勾2+股2_____弦2。

中国人就把这个结论叫做勾股定理。

请同学们总结勾股定理的内容。

勾股定理:____ ____ _ _______________ ______________________________________ 即：_______________________________提示：（1）勾股定理应用的前提是_____________ （2）在式子222cba=+中，a、b、c分别代表:__________________________________图1图212第3题S 1 S 2S 3ACBD【导学】（25分钟）证明勾股定理方法一：方法二：方法三：【测学】：（15分钟）1.已知直角三角形的两直角边长分别是6、8,斜边的长为_________。

2.在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）如果a=7，c=25，则b= 。

18.1勾股定理【3】-定理应用

2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子斜靠在一竖直的墙：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙这时AC的距离为的距离为2.4m．(2)梯子顶端沿墙下梯子顶端A沿墙下上，这时的距离为．(2)梯子顶端滑多少米梯子底端B也外移相同距离？也外移相同距离滑多少米梯子底端也外移相同距离？
2 2
B
2
a
2
c
b A
a = c −b
C
b = c −a
2
2
练习1．如图，受台风“麦莎”影响，练习．如图，受台风“麦莎”影响，一棵树在离地面 4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部米处，这棵树米处断裂，米处，米处断裂树的顶部落在离树跟底部3米处折断前有多高？折断前有多高？
A
4米米
C
2 2
1.7米梯子底端米梯子底端B 米梯子底端 2 外移距离和下滑距离相等。离相等。
2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙AC 例3：一个2.5 长的梯子斜靠在一竖直的墙：一个2.5 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙这时AC的距离为的距离为2.4m (3)梯子顶端沿墙下滑梯子顶端A沿墙下滑上，这时的距离为梯子顶端多少米梯子底端B外移距离是下滑距离的外移距离是下滑距离的3倍多少米梯子底端外移距离是下滑距离的倍？ ° A 解：在Rt∆ABC中， ∠ACB = 90 Q
xm
5m
C 1mB
B′
练习3．在一棵树的米高处有两只猴子米高处有两只猴子，练习．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的米处的池塘的A处子爬下树走到离树米处的池塘的处。另一只爬到树顶D后直接跃到后直接跃到A处距离以直线计算，到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少多少米两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？

初中数学教学设计.18.1.勾股定理

18.1 勾股定理一、教学目标知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程；运用勾股定理进行简单的计算；运用勾股定理解释生活中的实际问题．数学思考：1．在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．2．通过从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法．问题解决：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果．3．能运用勾股定理解决直角三角形相关的问题．情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．3.通过研究一系列富有探究性的问题，培养学生与他人交流、合作的意识和品质．二、重难点分析教学重点：探索和证明勾股定理；勾股定理的应用．根据教材的特点，本节课从知识与方法、能力与素质的层面确定了相应的教学目标．把学生的探索和验证活动放在首位，一方面要求学生在老师的引导下自主探索，合作交流，另一方面要求学生对探究过程中用到的数学思想方法有一定的领悟和认识，达到培养能力的目的．本节课运用的教学方法是“启发探索”式，采用教师引导启发、学生独立思考、自主探究、师生讨论交流相结合的方式，为学生提供观察、思考、探索、发现的时间和空间．使学生以一个创造者或发明者的身份去探究知识，从而形成自觉实践的氛围，达到收获的目的．教学难点：用拼图的方法证明勾股定理；勾股定理在实际生活中的应用．本节课采用探究发现式教学，由浅入深，由特殊到一般地提出问题，鼓励学生采用观察分析、自主探索、合作交流的学习方法，让学生经历数学知识的形成与应用过程.三、学习者学习特征分析学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。

部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路.现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望.学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．四、教学过程（一）创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）（多媒体素材图片6）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.（二）合作交流，探索新知1．探究活动一：内容：（1）投影显示如下地板砖示意图，让学生初步观察：（2）引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望.2．探究活动二：内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？（1）观察下面两幅图：（多媒体素材图片1）（2）填表：（多媒体素材动画推导勾股定理）（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）学生的方法可能有：方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ．方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ．（4）分析填表的数据，你发现了什么？学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2. 3．议一议：内容：（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理（gou-gu theorem ）：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+ ．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）弦股勾意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力.（三）应用新知，体验成功内容：例1如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m处折断倒下，树顶落在离树根24m处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程）例2在△ABC中，∠C=90°(1)若a=8，b=6，则c=_________；(2)若c=20，b=12，则a=_________；(3)若a∶b=3∶4，c=10，则a=_________，b=_________.［师生共析］分析：在△ABC中，∠C=90°，所以有关系：a2+b2=c2.在此关系式中，涉及到三个量，利用方程的思想，可“知二求一”.解：根据题意可得a2+b2=c2 .(1)若a=8，b=6，所以82+62=c2.即c2=100，c＞0，所以c=10；(2)若c=20，b=12，所以a2+122=202，即a2=202－122=(20+12)(20－12)=32×8=162，a＞0，所以a=16；(3)若a∶b=3∶4，可设a=3x，b=4x，所以(3x)2+(4x)2=102.化简，得9x2+16x2=100，25x2=100，x2=4，x=2(x＞0)，所以a=3x=6；b=4x=8.评注：综合上述解法可以发现，形(即△ABC为直角三角形)与数(a2+b2=c2)的统一，所以我们说勾股定理是形与数的结合.例3有一根70 cm的木棒，要放在长、宽、高分别是50 cm、40 cm、30 cm的木箱中，能放进去吗？过程：在实际生活中，往往工程设计方案比较多，应用所学的知识进行计算方可解决，而此题正是需要我们大胆实践和创新，用我们学过的勾股定理和丰富的空间想像力来解决.我们可注意到木棒虽比木箱的各边都长，按各边的大小放不进去，但木箱是立体图形，可以利用空间的最长长度.如AC ′.结果：由下图可得，AA ′=30 cm ，A ′B ′=50 cm ，B ′C ′=40 cm.△A ′B ′C ′， △AA ′C ′都为直角三角形.由勾股定理，得A ′C ′2=A ′B ′2+B ′C ′2. 在Rt △AA ′C ′中 .AC ′最长，则 AC ′2=AA ′2+A ′B ′2+B ′C ′2=302+402+502=5000＞702.故70 cm 的棒能放入长、宽、高分别为50 cm ，40 cm ，30 cm 的大箱中.练习：1、基础巩固练习：（口答）求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度：2、生活中的应用：小明妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（多媒体素材图片3）意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.?225100x1517（四）课堂小结，体验收获内容：教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？请与你的同伴交流．在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+. 2．方法：① 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； ② 面积法；③ “割、补、拼、接”法.3．思想：① 特殊—一般—特殊； ② 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.（五）拓展延伸，布置作业一、必做题: 1．填空题⑴在Rt △ABC ，∠C=90°，a=8，b=15，则c= . ⑵在Rt △ABC ，∠B=90°，a=3，b=4，则c= .⑶在Rt △ABC ，∠C=90°，c=10，a ：b=3：4，则a= ，b= . ⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为 . ⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm 和5cm ，，则第三边长为 . ⑹已知等边三角形的边长为2cm ，则它的高为，面积为 .2．已知：如图，在△ABC 中，∠C=60°，AB= 34 ，AC=4，AD 是BC 边上的高，求BC 的长.3．已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积.参考答案1．（1）17；（2）7 ；（3） 6，8；（4）6，8，10；（5） 4或 34 ；（6） 3 ，3；2．8； 3．48。

18.1勾股定理(3)

D
C
2m
A
B
1m 针对性练习： 1、有一个边长为 50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
2、一圆柱形饭盒，底面半径为 8 cm，高为 12 cm，若往里面放双筷子（粗细不计），那么筷子最长不超过多少，可正好盖上盒盖？
A
B
D
C
如图，例 2 如图，一个 3m 长的梯子 AB，斜靠在一竖直的墙面 AO 上，这时 AO 的距离为， 2.5m ，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 0.5 m ，那么梯子底端 B 也外移 0.5 m 吗？分析：BD 与哪几条已知线段有关系呢？BD=___________ A 求出这些已知线段，问题就解决了 C 解：
D B A Cຫໍສະໝຸດ 四、课堂梳理小结作业说明
小结具体内容详细分层作业布置要求说明从实际问题中抽象出直角三角形问题，用勾股定理解题必做：书 P70 5、P71 9、10 导航：基础练习选做：P71 11、12 导航习题选做
初二学案记录初二学案记录学科
课题 18.1 勾股定理（3）
八下数学
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课时
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1
一、课堂导入知识点衔接
复习内容重点具体衔接点 1、勾股定理内容 2、利用勾股定理的简单计算 1、数学与实际问题的联系
2、数形结合的思想方法
二、本课知识点强调说
本课重点难点 1、勾股定理的应用 2、实际问题向数学问题的转化。
O
B
D
针对性练习：如图，梯子 AB 靠在墙上，梯子的底端 A 到墙根 O 的距离为 2，米，梯子的顶端 B 到地面的距离为 7 米，现将梯子的底端 A 向外移到 A′ ，使梯子的底端 A′ 到墙根 O 的距离为 3 米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ′ ，那么 BB ′ 长是多少？

18[1].1勾股定理的应用(习题课)——10年3月18日

A D B C
B
D A
C
例7（2）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合， A 求CD的长. 方程思想：直角三角形中，已知一直 6 角边，以及另一直角边和斜边的等量关系，可建立方程 C x 求解. 6
C
A
B
D

变式2、在等腰△ABC中，AB＝AC＝13cm ， BC=10cm,求△ABC的面积和AC边上的高.
A
A
A
两个直角三角形中，如果有一条公共边，可利用勾股定理建立方程求解 . B C B C B D
E
变式3、已知：如图，△ABC中，AB=26， BC=25，AC=17，求△ABC的面积.
B
E
A
例5（1）已知直角三角形的两边长分别是3和 4, 则第三边长为 5 或 7 . （2）三角形ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高线 AD=8,求BC 21 或9
A
8 6 15
8 6
D
17
10 B C
15
练习5（1）已知直角三角形两边的长分别是3cm和6cm，则第三边的长是 . （2）△ABC中，AB=AC=2，BD是AC边上的高，且BD与AB的夹角为300，求CD 的长.
1
教材改编题
教材67页探究2：如图,一架长为10m的梯子AB斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8m. 问题：如果梯子的顶端下滑1m,那么它的底端是否也滑动1 m?
变式一：当梯子的顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC 会等于梯子底端下滑的距离BD? 变式二：如果设梯子的长度为c米，AO=b米，BO=a米，请用含a、b的式子表示当梯子顶端下滑多少米时，梯子顶端下滑的距离AC会等于梯子底端下滑的距离BD?

18.1勾股定理【4】-定理应用

1.在∆ABC中，AB = AC = 5，BC=8，求S∆ABC . 2.在∆ABC中，AB = 25，BC=39，AC=40，求S∆ABC .
x
B
= 42.25 = 6.5
如图，两点相距25km，C，D为两庄，为两庄，例4：如图，铁路上，B两点相距如图铁路上A，两点相距，，为两庄 DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知 ⊥ 于， ⊥ 于，已知DA=15km,CB=10km，，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站上建一个土特产品收购站E，使得C，现在要在铁路上建一个土特产品收购站，使得，D 两村到E站的距离相等站的距离相等，站应建在离A站多少两村到站的距离相等，则E站应建在离站多少处？站应建在离站多少km处
2 2
B
2
a
2
c
b A
a = c −b
C
b = c −a
2
2
练习1、在长方形练习、在长方形ABCD中，宽AB为1m，长中为， BC为2m ，求AC长精确到为长．（精确到0.001））
A 1m B 2m C D
解:在Rt△ ABC中，在 △ 中 ∵∠B=90
∴ AC =
2 2
AB + BC
的正方形洞口，例2：有一个边长为：有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去盖住这个洞口，用一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）？（结果保留整数多长？（结果保留整数）
D C
解：∵在Rt△ ABC中， △ 中 ∠B=90°,AC=BC=50, ° 2 2 AC = AB + BC
18.1 勾股定理【四】勾股定理【

沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》教学设计

沪科版数学八年级下册18.1《勾股定理》教学设计一. 教材分析《勾股定理》是沪科版数学八年级下册第18章第1节的内容。

本节主要介绍勾股定理的证明和应用。

学生通过学习本节内容，能够理解和掌握勾股定理，并能够运用勾股定理解决一些实际问题。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于证明勾股定理的理解可能会存在一定的困难，因此需要教师在教学过程中进行引导和解释。

三. 教学目标1.理解勾股定理的内容和证明方法。

2.能够运用勾股定理解决一些实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.勾股定理的证明方法的理解和应用。

2.解决实际问题时，如何运用勾股定理。

五. 教学方法1.讲授法：教师讲解勾股定理的证明方法和应用。

2.案例分析法：通过具体案例，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

3.讨论法：学生分组讨论，分享各自的解题方法和思路。

六. 教学准备1.PPT课件：包括勾股定理的证明过程和应用案例。

2.练习题：包括不同难度的练习题，用于巩固所学知识。

3.板书：勾股定理的公式和关键点。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过PPT展示勾股定理的历史背景和古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师讲解勾股定理的证明方法，包括几何画图法和代数法。

同时，通过PPT展示勾股定理的证明过程，让学生理解和掌握证明方法。

3.操练（10分钟）学生根据PPT上的练习题，独立完成勾股定理的证明和应用。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享各自的解题方法和思路。

教师选取一些学生的解题过程，进行讲解和分析，巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）教师通过PPT展示一些勾股定理的实际应用案例，让学生学会如何运用勾股定理解决实际问题。

同时，教师提出一些拓展问题，引导学生思考。

6.小结（5分钟）教师对本节课的主要内容进行总结，强调勾股定理的证明方法和应用。

初中数学《勾股定理-3》教学设计

“三部五环”教学模式设计《18.1.4勾股定理（4）》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第18章第一节勾股定理第4课时。

2.设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。

以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索神奇的“勾股数”、“勾股树”、“数轴上的无理点”等问题的全过程，激发学生的学习热情，更好地理解勾股定理应用价值，逐步树立科学探索精神。

体现“人人学有价值数学、不同的人在数学中得到不同发展”的新课程理念。

整个数学设计流程突出以学定教，体现“设计问题化，过程活动化，活动练习化，练习要点化，要点目标化，目标课标化”的要求，充分利用现代信息技术的直观、动态功能，丰富教学可视性材料，增大课堂容量，优化教学结构，实现课堂教学效果最优化。

3.知识背景分析本章所研究的是勾股定理，勾股定理是数学中几个最重要的定理之一，它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，他可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，它不仅在教学中，而且在其他自然科学中也被广泛的应用。

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理。

由于勾股定理反映的是一个直角三角形三边之间的关系，它也是直角三角形的一条重要性质。

同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征（三角形中有一个角是直角）转化成数量关系（三边之间满足a2 +b2=c2），它把形与数密切的联系起来，因此，它在理论上也有重要地位。

本节课是勾股定理的第4课时，要求学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

能运用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点，进一步的领会数形结合的思想。

4.学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经初步掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能熟练地掌握勾股定理，并能灵活的运用勾股定理解决现实世界的实际问题。

沪科版八年级数学下册_18.1 勾股定理

感悟新知
知3－练
解题秘方：紧扣“同一三角形的面积的两种表示法”求解 .
感悟新知
解法提醒
知3－练
等面积法：
用不同的方法表示同一个图形的面积.此题是典型的应
用等面积法求直角三角形斜边上高的问题.即△ ABC 的面
积既可以表示为AC2·BC ，又可以表示为AB2·CD ，再利用同一图形的面积相等解答 .
感悟新知
解：∵∠ ACB=90°， AC=3， BC=4， ∴ AB= AC2+BC2= 32+42 =5.
知3－练
∵
CD
⊥
AB，∴
S△
ABC=
1 2
AB·CD=
1 2
AC·BC，
∴ AB·CD=AC·BC，
∴
CD=
AC· BC AB
=
3×4 5
=
12 5
.
感悟新知
知3－练
例5 如图 18.1 － 4所示，∠ C=90°， AM=CM， MP ⊥ AB于点 P.
设大正方形的面积为 S，则 S=c2. 根据“ 出入相补，以盈补虚” 的原理，有
S=a2+b2，所以 a2+b2=c2
感悟新知
方法
加菲尔德总统拼图
毕达哥拉斯拼图
图形
证明
知2－讲
设梯形的面积为
S，则
S=
1 2
(a+b)
(a+b)=
1 2
a2+
1 2
b2+ab.
又
S=
1 2
ab+
1 2
ab+
所以∠ CAC′ = ∠ CAB′ + ∠ B′ AC′

2020-2021学年沪科版数学八年级下册同步课时训练：18.1 第2课时勾股定理的应用

第2课时勾股定理的应用1.《九章算术》中记载:今有户不知高、广,竿不知长、短.横之不出四尺,从之不出二尺,斜之适出.问户高、广、斜各几何.译文是:今有门,不知其高、宽,有竿,不知其长、短.横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少.若设门对角线长为x尺,则可列方程为()A.x2=(x-4)2+(x-2)2B.2x2=(x-4)2+(x-2)2C.x2=42+(x-2)2D.x2=(x-4)2+222.[2019·合肥包河区期中] 如果梯子底端离建筑物3米,那么5米长的梯子可以达到该建筑物的高度是( )A.2米B.3米C.4米D.5米3.[2019·定远月考] 如5,甲、乙两艘军舰同时从A港口出发,甲军舰以40海里/时的速度沿北偏东40°的方向航行,乙军舰以50海里/时的速度沿南偏东50°的方向航行,2小时时两军舰之间的距离是( )A.10√41海里B.20√41海里C.60海里D.90海里4.如6,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙脚的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为( )A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米5.如7,王大伯家屋后有一块长12 m,宽8 m的长方形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用( )A.9 mB.7 mC.5 mD.3 m6.如0,笔直的公路上A,B两点相距25 km,C,D为两村庄,DA⊥AB于点A,CB⊥AB于点B,已知DA=15 km,CB=10 km,现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E,使得C,D两村到收购站E的距离相等,则收购站E离点A的距离为( )A.5 kmB.10 kmC.12.5 kmD.15 km7.如2,游泳员小明横渡一条河,由于水流的影响,实际上岸地点C偏离欲达到点B60米,结果他在水中实际游了100米,则这条河的宽度为米.8.[教材练习第2题变式] 某楼梯的侧面如3所示,其中AB=4米,∠BAC=30°,∠C=90°,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度为米.9.今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺.引葭赴岸,适与岸齐.问水深、葭长各几何. 翻译成数学问题是:如4,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度与这根芦苇的长度分别是多少?10.[2019·淮南西部期中] 如8,长为24 cm的弹性皮筋绷直放置在直线l上,固定两端A和B,然后把中点C向上拉升5 cm到点D,则弹性皮筋被拉长了cm.11.[教材例1变式] 如9所示,一架长为2.5 m的梯子斜靠在竖直的墙上,这时梯子的底端距离墙底0.7 m,求梯子顶端离地多少米.如果梯子顶端沿墙下滑0.4 m,那么梯子底端将向左滑动多少米?12.如1,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短路程是.13.[2019·河北] 勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系,并标示了A,B,C三地的坐标,数据如2(单位: km)所示.笔直铁路经过A,B两地.(1)A,B间的距离为km;(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l,并在l上建一个维修站D,使D到A,C 的距离相等,则C,D间的距离为km.14.[2019·合肥蜀山区一模] 如3,A,B,D三地在同一直线上,C在A的北偏东45°方向,在B的北偏西30°方向,A在B的北偏西75°方向,且DA=DC=100 km,求B 与C之间的距离.15.如4,A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处,以每小时40 km的速度沿北偏东60°的BF方向移动,距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响?为什么?(2)若A城受到这次台风的影响,则A城遭受这次台风影响的时间有多长?教师详解详析第2课时勾股定理的应用1.A2.C [解析] 由勾股定理,可知梯子可以达到的高度为√52-32=4(米).故选C.3.80 [解析] 由勾股定理,得AB=√AC2-BC2=√1002-602=80.4.(2√3+2) [解析] ∵∠BAC=30°,∠C=90°,AB=2米,∴BC=12∴AC=√42-22=2√3(米),则地毯的长度=AC+BC=(2√3+2)米.5.解:设水的深度为x尺.根据勾股定理,得x2+102=(x+1)2,解得x=12.212+1=13(尺).答:水的深度为12尺,这根芦苇的长度为13尺.6.B [解析] 由题意,知∠BAC=90°,AB=2×40=80(海里),AC=2×50=100(海里), 则BC=√802+1002=20√41(海里).故选B.7.C [解析] 如图,在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,BC=0.7米,AC=2.4米,∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中,∵∠A'DB=90°,A'D=2米,BD2+A'D2=A'B2,∴BD2+22=6.25,∴BD2=2.25.∵BD>0,∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).故选C.8.D [解析] 连接OA,交半圆O于点E.在Rt△OAB中,OB=6,AB=8,所以OA=√OB2+AB2=10.又因为OE=OB=6,所以AE=OA-OE=4.因此选用的绳长应该不大于4 m.故选D.9.2 [解析] ∵C是AB的中点,∴AC=BC=1AB=12 cm.∵DC⊥AB,2∴AD=√AC2+CD2=√122+52=13(cm),BD=√BC2+CD2=√122+52=13(cm),∴AD+BD=26 cm,∴弹性皮筋被拉长了26-24=2(cm).10.解:由题意可得AB=2.5 m,AO=0.7 m,∴BO=√2.52-0.72=2.4(m),∴梯子顶端离地2.4 m.∵梯子顶端沿墙下滑0.4 m,∴DO=2 m.∵CD=2.5 m,∴CO=√2.52-22=1.5(m),∴AC=CO-AO=1.5-0.7=0.8(m),∴梯子底端将向左滑动0.8 m.11.B [解析] 由题意知DE=CE.∵DA⊥AB,CB⊥AB,∴∠A=∠B=90°,∴AE2+AD2=DE2,BE2+BC2=CE2,∴AE2+AD2=BE2+BC2.设AE=x,则BE=AB-AE=25-x,∴x2+152=(25-x)2+102,解得x=10,∴AE=10 km,即收购站E应建在离点A10 km处.故选B.12.25 [解析] 把长方体的右侧表面剪开与前面这个面形成一个长方形,如图①.由题意,得长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则BD=CD+BC=10+5=15,AD=20.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AB=√BD2+AD2=√152+202=25.把长方体的右侧表面剪开与上面这个面形成一个长方形,如图②.由题意,知长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则BD=CD+BC=20+5=25,AD=10.在Rt△ABD中,根据勾股定理,得AB=√BD2+AD2=√252+102=5√29.把长方体的上底面剪开与后面这个面形成一个长方形,如图③.由题意,得长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,则AC=CD+AD=10+20=30.在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37.因为25<5√29<5√37.所以蚂蚁爬行的最短路程是25.13.(1)20 (2)13[解析] (1)由A,B两点的纵坐标相等,可知AB∥x轴,∴AB=12-(-8)=20.(2)过点C 作l⊥AB于点E,连接AC,作AC的垂直平分线交直线l于点D,由(1)可知CE=1-(-17)=18,AE=12,设CD=x,则AD=CD=x,由勾股定理可知:x2=(18-x)2+122,解得x=13,即CD=13.14.解:如图,过点C作CE⊥AB于点E.由题意,知∠ABC=75°-30°=45°,∠BAC=180°-45°-75°=60°.AD=50 km,AC= 100 km, 又∵DA=DC=100 km,∴△ACD是等边三角形,∴AE=12∴CE=√AC2-AE2=√1002-502=50√3(km),∴BE=50√3km,∴BC=√CE2+BE2=√(50√3)2+(50√3)2=50√6(km),即B与C之间的距离为50√6km.15.解:(1)A城受到这次台风的影响.理由:如图,过点A向BF作垂线,垂足为C.因为在Rt△ABC中,∠ABC=30°,AB=320 km,所以AC=160 km.因为160<200,所以A城受到这次台风的影响.(2)以点A为圆心,200 km长为半径作弧,交BF于点D,G,则AD=AG,所以△ADG 是等腰三角形.因为AC⊥BF,所以AC是DG的垂直平分线,CD=GC.在Rt△ADC中,AD=200 km,AC=160 km,由勾股定理,得CD=√AD2-AC2=√2002-1602=120(km), 则DG=2CD=240 km,所以A城遭受这次台风影响的时间是240÷40=6(时).。

(完整word版)第十八章勾股定理教材分析

第十八章勾股定理18．1 勾股定理（一）一、教学目标1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

二、重点、难点1．重点：勾股定理的内容及证明。

2．难点：勾股定理的证明。

三、课堂引入让学生画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，用刻度尺量出AB 的长。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量AB 的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42=52，52+122=132，那么就有勾2+股2=弦2. 对于任意的直角三角形也有这个性质吗？四、例习题分析例1(补充）已知：在△ABC 中,∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证：a 2＋b 2=c 2. 分析：⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如图所示，其等量关系为：4S △+S 小正=S 大正 4×21ab ＋（b －a ）2=c 2，化简可证。

⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证明.⑷ 勾股定理的证明方法，达300余种。

这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。

激发学生的民族自豪感,和爱国情怀。

例2已知：在△ABC 中，∠C=90°,∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。

求证:a 2＋b 2=c 2。

分析：左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。

左边S=4×21ab ＋c 2右边S=（a+b)2左边和右边面积相等，即4×21ab ＋c 2=（a+b ）2化简可证。

六、课堂练习1．勾股定理的具体内容是：。

2．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°,（用几何语言表示）A Bbb b b aa⑴两锐角之间的关系: ; ⑵若D 为斜边中点,则斜边中线；⑶若∠B=30°,则∠B 的对边和斜边: ； ⑷三边之间的关系: 。

八年级数学数学《勾股定理-第二课时》教学设计

“三部五环”教学模式设计《18.1.2勾股定理》教学设计1、教材内容义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级下册第18章第一节勾股定理第2课时。

2、设计理念本设计以“活动----参与”教学法为主，辅之小组合作、交流讨论。

以问题为主线，练习为核心，活动为载体，从学生已有的生活经验和认知基础出发，引导其经历探索运用勾股定理解决实际问题的全过程。

从而让学生感受数学源于生活，又服务生活，更好地理解勾股定理应用价值，强化“用数学”的意识。

体现“人人学有价值数学”的新课程理念。

3、知识背景分析本节课在学习勾股定理后，要求学生能运用勾股定理进行简单计算以及运用能够够多了解决生活中的实际问题，从而进一步理解和掌握勾股定理。

通过对问题的探究，从中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想。

4、学情背景分析教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了勾股定理的知识，通过本节的学习使学生能运用勾股定理进行简单计算以及运用能够够多了解决生活中的实际问题。

在解决问题时，进一步体会数形结合的思想。

鉴于学生的知识基础和学习方法的积累本节课以学生练习与合作探究为主，教师根据反馈信息进行指导、点评。

5、学习目标5.1知识与技能目标1．熟练的叙述勾股定理的文化的内容，能运用勾股定理进行简单计算。

2．了解利用拼图验证勾股定理的方法．3．运用勾股定理解决生活中问题。

5.2过程与方法目标1．通过对问题的探究，从中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想。

2．经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法。

5.3情感态度与价值观目标在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习惯；体会勾股定理的应用价值，通过本节课的学习，让学生体会到数学来源于生活，有应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受。

《18.1-勾股定理》教学设计

《18．1勾股定理》课标要求《课标》对18.1勾股定理一节的相关内容提出的教学要求是：探索勾股定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题．《18．1 勾股定理》教学设计（第1课时）一.教学目标：知识与技能：探索直角三角形三边关系，了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

过程与方法：（1）、经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。

（2）、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。

情感态度与价值观：（1）、介绍我国古代勾股定理研究方面所取得的成就，感受数学文化，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

（2）、在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。

二.学情分析八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。

他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。

但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。

二.教材分析内容勾股定理的探究、证明及简单应用．内容解析勾股定理的内容是：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系．在直角三角形中，已知任意两边长，就可以求出第三边长．勾股定理常用来求解线段长度或距离问题．勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形出发，到网格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探探索、发现和证明的过程．证明勾股定理的关键是利用割补法求以斜边为边长的正方形的面积，教学中要注意引导学生通过探索去发现图形的性质，提出一般的猜想，并获得定理的证明．我国古代在数学方面又许多杰出的研究成果，对于勾股定理的研究就是一个突出的例子．教学中可以介绍我国古代在勾股定理的证明和应用方面取得的成就和作出的贡献，以培养学生的民族自豪感；围绕证明勾股定理的过程，培养学生学习数学的热情和信心．三.教学重难点教学重点：了解勾股定理的演绎过程，掌握勾股定理及其应用。

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分析: DB＝OD－OB 求BD,可以先求OB、OD.
O
B
D
阿满想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开 5米后，发现下端刚好接触地面，你能帮他算出来旗杆的高度吗？解：设旗杆高AC=x米，则绳子长AB=(x+1) 米，在Rt ABC中，由勾股定理得：
A
(x+1)米
D
一个3m长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AO上,这时AO的距离 A 为2.5m,如果梯子的顶 C 端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移 0.5m吗? NhomakorabeaO
B
D
一个3m长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AO上,这时AO的距离 A 为2.5m,如果梯子的顶 C 端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移 0.5m吗?
这个图案公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时就已经给出，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形（黄色）．
赵爽弦图
有趣的总统证法: 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话
a b c c b 2 a

a
+
2 b
=
2 c
公式变形
A
勾股定理给出了直角三角形三边之间的关系，即两直角边的平方和等于斜边的平方
c2=a2 + b2

b
c
a2=c2－b2
b2 =c2-a2
2 2
a c b
2
C
b= c2-a2
2
a
B
c a b
练一练
1.一个直角三角形的两边长分别为3和4,则第 5或 7 三边长为＿＿＿＿＿＿＿． 2．直角三角形一直角边长为6cm，斜边长为 2 24cm 10cm，则这个直角三角形的面积为＿＿＿＿， 4.8cm 斜边上的高为＿＿＿＿＿＿＿．
18.1 勾股定理
B C

A
C
a
(1)
b
(2)
利用准备好的四个全等的直角三角形，a、b表示两条直角边， c表示斜边。
动手实践：这四个全等的直角三角形可以拼成一个正方形吗？有些什么不同的方法？思考：拼出的正方形面积用含a、b、c的式子可以怎么表示？能得到我们要证明的结论吗？
∴EC=10－6.8=3.2cm
感悟与收获
应用勾股定理解决实际问题的一般思路： 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
(3)
(4)
2 a a
C
(1)
+
2 b
=
2 c
a 方法一
b c
c a a b
b
(2)
b a
c
c
b
(3)
(4)
大正方形的面积可以如何表示？
a
c
(1)
2 a
+
2 b
=
2 c
b
(2)
方法二
c
a
c
b
b－ a

(3)
c
c
(4)
大正方形的面积可以如何表示？
朱实 c 中黄实 b a ( b- a) 2
如图，在△ABC中，AB=15， BC=14，AC=13.求S△ABC
A A
说明：在直角三角形中，利用勾股定理计算
线段的长，是勾股定理的一个重要的应用．在有直角三角形时，可直接应用；在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造重要条件．
B
D
C
:
如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知 AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？解：连结BE ∵ DE 是 AB 的中垂线 B D ∴ AE=BE 设AE = x，则EC=(10－x) 在Rt△ABC 中根据勾股定理： 2=BC2+EC2 BE C A 2=62＋ (10－x)2 x E 解得 x = 6.8
D C
B
A
解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD =AB =（x+1）尺，在直角三角形ABC中，BC=5尺由勾股定理得：BC2+AC2=AB2
即 52 + x2 = (x+1)2
D C
B
25 + x2 = x2 +2x + 1 A 2x = 24 ∴ x =12， x+1=13 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺。
３．等腰△ABC的腰长为10cm，底边长为 6cm 16cm，则底边上的高为＿＿＿＿，面积为 2 48cm ____________ ．
一个3m长的梯子 AB,斜靠在一竖直的墙 AO上,这时AO的距离 A 为2.5m,如果梯子的顶 C 端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移 0.5m吗?
O
B
x米
C
5米
B
试一试：
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
方程思想是解决数学问题常用的重要思想