2012年中考数学复习考点跟踪训练41 开放型问题
2012年中考数学复习考点跟踪训练08 列方程(组)解应用题
考点跟踪训练8 列方程(组)解应用题一、选择题1．(2010·曲靖)练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元．如果设水性笔的单价为x 元，那么下面所列方程正确的是( )A ．5(x －2)＋3x ＝14B ．5(x ＋2)＋3x ＝14C ．5x ＋3(x ＋2)＝14D ．5x ＋3(x －2)＝14答案 A解析 水性笔的单价为x 元，则练习本的单价为(x －2)元，5本练习本和3支水性笔的总价为5(x －2)＋3x 元，故选A.2．(2010·恩施)某品牌商品，按标价九折出售，仍可获得20%的利润．若该商品标价为28元，则商品的进价为( )A. 21元B. 19.8元 C ．22.4元 D ．25.2元答案 A解析 设该商品的进价为x 元，28×0.9－x ＝20%x,1.2x ＝28×0.9，x ＝21.3．(2011·泰安)某班为奖励在校运会上取得较好成绩的运动员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，求甲、乙两种各买了多少件？该问题中，若设购买甲种奖品x 件，乙种奖品y 件，则列方程正确的是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，12x ＋16y ＝400B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝30，16x ＋12y ＝400 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 16x ＋12y ＝30，x ＋y ＝400 D.⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋16y ＝30，x ＋y ＝400 答案 B解析 甲种奖品每件16元、x 件需16x 元，乙种奖品每件12元、y 件需12y 元，合计16x ＋12y ＝400，故选B.4．(2010·绵阳)有大小两种船，1艘大船与4艘小船一次可以载乘客46名，2艘大船与3艘小船一次可以载乘客57人．绵阳市仙海湖某船家有3艘大船与6艘小船，一次可以载游客的人数为( )A ．129B ．120C ．108D ．96答案 D解析 设1艘大船一次载客x 人，1艘小船一次载客y 人，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ＝46，2x ＋3y ＝57，解之，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝18，y ＝7，∴3x ＋6y ＝3×18＋6×7＝54＋42＝96. 5．(2011·凉山)某品牌服装原价173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173()1＋x %2＝127B ．173()1－2x %＝127C ．173()1－x %2＝127D ．127()1＋x %2＝173答案 C解析 该品牌服装降价一次后为173－173×x %＝173(1－x %)元，降价两次后为173(1－x %)－173(1－x )×x %＝173(1－x %)2元，故选C.二、填空题6．(2011·湘潭)湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为________．答案 50－8x ＝38解析 每个莲蓬的单价为x 元，8个莲蓬合计8x 元，找回(50－8x )元，所以50－8x ＝38.7．(2011·浙江)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，则买5束鲜花和5个礼盒的总价为 ________元．答案 440 解析 设一束鲜花的价格为x 元，一个礼盒的价格为y 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝143，①2x ＋y ＝121，②由①＋②得3x ＋3y ＝264.∴x ＋y ＝88.∴5x ＋5y ＝88×5＝440.8．(2011·潼南)某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a 度，超过部分电量的每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费．某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a ＝________度．答案 40解析 0.50×100<56，可知该用户超量用电.0.50a ＋0.50(1＋20%)(100－a )＝56,0.5a ＋60－0.6a ＝56，－0.1a ＝－4，a ＝40.9．(2011·上海)某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是________．答案 20%解析 设每年屋顶绿化面积的增长率为x .2000(1＋x )2＝2880.(1＋x )2＝1.44.1＋x ＝±1.2.所以x 1＝0.2，x 2＝－2.2(舍去)．故x ＝0.2＝20%.10．(2011·宿迁)如图，邻边不等．．的矩形花圃ABCD ，它的一边AD 利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m.若矩形的面积为4m 2，则AB 的长度是______m(可利用的围墙长度超过6m)．答案 1解析 设AB 长为x m ，则BC ＝(6－2x )m.∴x (6－2x )＝4，x 2－3x ＋2＝0.x 1＝2，x 2＝1.当x ＝2时，AB ＝2，BC ＝2，不合题意，舍去，所以x ＝1.三、解答题11．(2011·安徽)江南生态食品加工厂收购了一批质量为10000千克的某种山货，根据市场需求对其进行粗加工和精加工处理，已知精加工的该种山货质量比粗加工的质量3倍还多2000千克．求粗加工的该种山货质量．解 设粗加工的该种山货质量为x 千克，根据题意，得x ＋(3x ＋2000)＝10000.解得 x ＝2000.答：粗加工的该种山货质量为2000千克．12．(2011·扬州)古运河是扬州的母亲河，为打造古运河风光带，现有一段长为180米的河道整治任务由A 、B 两个工程队先后接力完成．A 工程队每天整治12米，B 工程队每天整治8米，共用时20天．(1)根据题意，甲、乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12x ＋8y ＝ 乙：⎩⎨⎧ x ＋y ＝ x 12＋y 8＝根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数x ，y 表示的意义，然后在方框中补全甲、乙两名同学所列的方程组：甲：x 表示____________________，y 表示 __________________；乙：x 表示 ____________________，y 表示 __________________；(2)求A 、B 两工程队分别整治河道多少米？(写出完整的解答过程)解 (1) 甲：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20，12x ＋8y ＝180； 乙：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180，x 12＋y 8＝20. 甲：x 表示A 工程队工作的天数，y 表示B 工程队工作的天数；乙：x 表示A 工程队整治的河道长度，y 表示B 工程队整治的河道长度；(2)若解甲的方程组 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝20， ①12x ＋8y ＝180， ② ①×8，得：8x ＋8y ＝160， ③③－②，得：4x ＝20，∴x ＝5.把x ＝5代入①得：y ＝15，∴ 12x ＝60,8y ＝120.若解乙的方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝180， ①x 12＋y 8＝20， ② ②×12，得：x ＋1.5y ＝240， ③③－①，得：0.5y ＝60.∴y ＝120.把y ＝120代入①，得，x ＝60.答：A 、B 两工程队分别整治河道60米和120米．13．(2011·益阳)某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨(含14吨)时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元．(1)求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？(2)设每月用水量为x 吨，应交水费为y 元，写出y 与x 之间的函数关系式；(3)小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？解 设每吨水的政府补贴优惠价为x 元，市场调节价为y 元．⎩⎨⎧ 14x ＋()20－14y ＝29，14x ＋()18－14y ＝24，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.5. 答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元．(2)当0≤x ≤14时，y ＝x ；当x >14时，y ＝14×1＋()x －14×2.5＝2.5x －21，所求函数关系式为：y ＝⎩⎨⎧x ()0≤x ≤14，2.5x －21()x >14. (3)∵x ＝24>14，∴把x ＝24代入y ＝2.5x －21，得：y ＝2.5×24－21＝39.答：小英家3月份应交水费39元．14．(2011·烟台)去冬今春，我国西南地区遭遇历史上罕见的旱灾，解放军某部接到了限期打30口水井的作业任务．部队官兵到达灾区后，目睹灾情心急如焚，他们增派机械车辆，争分夺秒，每天比原计划多打3口井，结果提前5天完成任务，求原计划每天打多少口井？解 设原计划每天打x 口井，由题意可列方程30x －30x ＋3＝5， 去分母得，30(x ＋3)－30x ＝5x (x ＋3)，整理得，x 2＋3x －18＝0，解得x 1＝3，x 2＝－6(不合题意，舍去)．经检验，x 2＝3是方程的根，∴x ＝3.答：原计划每天打3口井．15．(2011·衢州)某花圃用花盆培育某种花苗，经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系．每盆植入3株时，平均单株盈利3元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元．要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植多少株？小明的解法如下：解 设每盆花苗增加x 株，则每盆花苗有()x ＋3株，平均单株盈利为()3－0.5x 元，由题意，得()x ＋3()3－0.5x ＝10.化简，整理得x 2－3x ＋2＝0.解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2，∴x ＋3＝4或5.答：要使得每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．本题涉及的主要数量有每盆花苗株数，平均单株盈利，每盆花苗的盈利等，请写出两个不同的等量关系：________________________________________________.请用一种与小明不相同的方法求解上述问题．解 (1)平均单株盈利×株数＝每盆盈利；平均单株盈利＝3－0.5×每盆增加的株数；每盆的株数＝3＋每盆增加的株数．(2)解法解法2(图象法)：如图，纵轴表示平均单株盈利，横坐标表示株数，则相应长方形面积表示每一盆盈利.从图象可知，每盆植入4株或5株时，相应长方形面积都是10.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．解法3(列分式方程)：设每盆花苗增加x 株时，每盆盈利10元，根据题意，得10x ＋3＝3－0.5x . 解这个方程，得x 1＝1，x 2＝2.经验证，x1＝1，x2＝2是所列方程的解．∴x＋3＝4或5.答：要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植入4株或5株．四、选做题16．(2011·义乌)商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加______件，每件商品盈利______元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？解(1)2x,50－x.(2)由题意得：(50－x)(30＋2x)＝2100，化简得：x2－35x＋300＝0，解得：x1＝15, x2＝20，∵该商场为了尽快减少库存，则x＝15不合题意，舍去. ∴x＝20.答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．。
2012年中考数学冲刺卷及解析(50个考点)试题试卷_14
考点跟踪训练22 特殊三角形一、选择题1．(2011·贵阳)如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能．．．是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7答案 D 解析 在Rt △ABC 中，AC ＝3，∠B ＝30°，得AB ＝2AC ＝6，而AC ≤AP ≤AB ，即3≤AP ≤6，不可能是7.2．(2011·枣庄)如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能．．．是( )A ．(2,0)B ．(4,0)C ．(－2 2，0)D ．(3,0)答案 D解析 当点P 的坐标为(3,0)时，OP ＝3，而AO ＝2 2，AP ＝5，△APO 不是等腰三角形．3．(2011·烟台)如图，等腰△ ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°.线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于( )A ．80°B ．70°C ．60°D ．50° 答案 C解析 在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝20°，所以∠ABC ＝12×(180°－20°)＝80°.DE 垂直平分AB ，有EA ＝EB ，∠EBA ＝∠A ＝20°，所以∠CBE ＝∠ABC －∠EBA ＝80°－20°＝60°.4．(2011·金华)如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A ．600 mB ．500 mC ．400 mD ．300 m 答案 B解析 如图，易证△ABC ≌△DEA ，BC ＝AE ＝300，而AC ＝500，所以CE ＝200，最近路程BC ＋CE ＝300＋200＝500.5．如图，△ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B 、C 、D 在一条直线上，点M 是AE 的中点，下列结论：①tan ∠AEC ＝BCCD；②S △ABC ＋S △CDE ≥S △ACE ；③BM ⊥DM ；④BM ＝DM .正确结论的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案 D解析 ∵△ABC 和△CDE 都是等腰直角三角形，∴△ABC ∽△EDC ，AC CE ＝BC CD .∴∠ACE ＝180°－45°－45°＝90°，∴在Rt △ACE 中，tan ∠AEC ＝AC CE ＝BC CD；设△ABC 、△CDE 的直角边分别是a 、b ，则AC ＝2a ，EC ＝2b ，S △ABC ＝12a 2，S △CDE ＝12b 2，S △ACE ＝12(2a )(2b )＝ab ，而(a －b )2≥0，a 2＋b 2≥2ab ，12a 2＋12b 2≥ab ，即S △ABC ＋S △CDE ≥S △ACE ；过M 画MN ⊥BD 于N ，有AB ∥MN ∥ED ，点M 是AE 的中点，则点N 是BD 的中点，MN 垂直平分BD ，BM ＝DM ；MN 是梯形ABDE 的中位线，MN ＝12(a ＋b )＝BN ＝DN ，∵△BMN 与△DMN 都是等腰直角三角形，∴∠BMN ＝∠DMN ＝45°，∠BMD ＝90°，BM ⊥DM .故结论①、②、③、④都正确．二、填空题6．(2011·衡阳)如图所示，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3，AC ＝5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为________．答案 7解析 在Rt △ABC 中，AB ＝3，AC ＝5，则BC ＝52－32＝4，又AE ＝EC ，所以△ABE的周长AB ＋BE ＋AE ＝AB ＋BE ＋EC ＝AB ＋BC ＝7.7．(2011·凉山)把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2＝c 2”的逆命题改写成“如果……，那么……”的形式：_____________________ 答案 如果三角形三边长a 、b 、c 满足a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形．8．(2011·无锡)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝_________cm.答案 5解析 ∵点D 是AB 中点，∴CD 是Rt △ABC 斜边AB 的中线，CD ＝12AB ，AB ＝2CD .∵点E 、F 是BC 、CA 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，EF ＝12AB ，AB ＝2EF .∴EF ＝CD ＝5 cm.9．(2011·温州)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”(如图①)．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3，若S 1＋S 2＋S 3＝10，则S 2的值是______________．答案103解析 设直角三角形AEH 的面积为S ，则S 1＝8S ＋S 3，S 2＝4S ＋S 3.∵S 1＋S 2＋S 3＝10，∴(8S ＋S 3)＋(4S ＋S 3)＋S 3＝10,12S ＋3S 3＝10,4S ＋S 3＝103，即S 2＝103.10．(2011·乐山)如图，已知∠AOB ＝α，在射线OA 、OB 上分别取点OA 1＝OB 1，连接A 1B 1，在B 1A 1、B 1B 上分别取点A 2、B 2，使B 1B 2＝B 1A 2，连接A 2B 2…按此规律下去，记∠A 2B 1B 2＝θ1，∠A 3B 2B 3＝θ2，…，∠A n ＋1B n B n ＋1＝θn 则(1)θ1＝_____________；(2)θn ＝________________.答案 (1)180°＋α2；(2)()2n－1·180°＋α2n解析 ∵∠AOB ＝α，OA 1＝OB 1， ∴∠OB 1A 1＝∠OA 1B 1＝180°－α2，∴θ1＝180°－180°－α2＝180°＋α2；类似地，θ2＝3×180°＋α4，θ3＝7×180°＋α8，……，∴θn ＝(2n －1)·180°＋α2n.三、解答题11．(2011·广安)某园艺公司对一块直角三角形的花圃进行改造．测得两直角边长分别为6m 、8m.现要将其扩建成等腰三角形，且扩充部分是以8m 为直角边的直角三角形．．．．．．．．．．．．求扩建后的等腰三角形花圃的周长．解 由题意可得，扩建后的花圃是等腰直角三角形，花圃的周长＝8＋8＋8 2＝16＋8 2.12．(2011·乐山)如图，在直角△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．解 ∵AD 平分∠CAB ， ∴∠CAD ＝∠BAD . ∵DE 垂直平分AB ， ∴AD ＝BD ，∠B ＝∠BAD ， ∴∠CAD ＝∠BAD ＝∠B . ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°， ∴∠CAD ＋∠DAE ＋∠B ＝90°， ∴∠B ＝30°.13．(2011·德州)如图，AB ＝AC ，CD ⊥AB 于D ，BE ⊥AC 于E ，BE 与CD 相交于点O . (1)求证AD ＝AE ；(2) 连接OA 、BC ，试判断直线OA 、BC 的关系并说明理由．解 (1)证明：在△ACD 与△ABE 中， ∵∠A ＝∠A ，∠ADC ＝∠AEB ＝90°，AC ＝AB ， ∴ △ACD ≌△ABE . ∴ AD ＝AE .(2) 互相垂直，理由如下：在Rt△ADO与Rt△AEO中，∵OA＝OA，AD＝AE，∴△ADO≌△AEO.∴∠DAO＝∠EAO.即OA是∠BAC的平分线．又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.14．(2011·日照)如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E 为AD延长线上的一点，且CE＝CA.(1)求证：DE平分∠BDC；(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD.解(1)在等腰直角△ABC中，∵∠CAD＝∠CBD＝15°，∴∠BAD＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD＝AD.∵AC＝BC，CD＝CD，∴△BDC≌△ADC,∴∠DCA＝∠DCB＝45°.由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30°＋30°＝60°，∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°，∴∠BDM＝∠EDC，∴DE平分∠BDC.(2)如图，连接MC，∵DC＝DM，且∠MDC＝60°，∴△MDC是等边三角形，∴CM＝CD.又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°，∴∠EMC＝∠ADC.又∵CE＝CA，∴∠DAC＝∠CEM，∴△ADC≌△EMC，∴ME＝AD＝DB.15．(2011·达州)如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC ＝BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF ＝EF .(1)在图1中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；(不要求证明)(2)将△DEF 沿直线m 向左平移到图2的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE 、BG .猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解 (1)AB ＝AE ，AB ⊥AE . (2) 将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合)，理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线， ∴∠ACB ＝∠ACE ＝∠DFE ＝90°.又∵AC ＝BC ，DF ＝EF ，∴∠DEF ＝∠D ＝45°. 在△CEG 中，∵∠ACE ＝90°，∴∠CGE ＋∠DEF ＝90°， ∴CG ＝CE .在△BCG 和△ACE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝AC ，∠ACB ＝∠ACE ，CG ＝CE ，∴△BCG ≌△ACE (SAS )．∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合(或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合)．。
全国各地2012年中考数学试题解析40;159套63专题41;专题59_新定义和跨学科问题
2012年全国中考数学试卷分类解读汇编(159套63专题）专题59：新定义和跨学科问题一、选择题1. （2012浙江丽水、金华3分）如图是一台球桌面示意图，图中小正方形地边长均相等，黑球放在如图所示地位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞地序号是【】A．①B．②C．⑤D．⑥【答案】 A.【考点】生活中地轴对称现象.【分析】如图，根据入射线与水平线地夹角等于反射线与水平线地夹角，可求最后落入①球洞.故A.2. （2012福建漳州4分）在公式I=UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间地函数关系可用图象大致表示为【】A． B．C．D．【答案】D.【考点】跨学科问题，反比例函数地图象.【分析】∵在公式I=UR中，当电压U一定时，电流I与电阻R之间地函数关系不反比例函数关系，且R为正数，∴选项D正确.故选D.3. （2012湖北随州4分）定义：平面内地直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1、l2地距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M地“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为（2，3）地点地个数是【】A.2B.1C. 4D.3【答案】C.【考点】新定义，点地坐标，点到直线地距离.【分析】画出两条相交直线，到l1地距离为2地直线有2条，到l2地距离为3地直线有2条，看所画地这些直线地交点有几个即为所求地点地个数：如图所示，所求地点有4个.故选C.4. （2012湖南长沙3分）某闭合电路中，电源地电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．图表示地是该电路中电流I与电阻R之间函数关系地图象，则用电阻R表示电流I地函数解读式为【】A．2I=RB．3I=RC．6I=RD．6I=R【答案】C.【考点】跨学科问题，待定系数法，曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】设kI=R，那么点（3，2）满足这个函数解读式，∴k=3×2=6.∴6I=R.故选C.5. （2012湖南益阳4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水地温度（T）随加热时间（t）变化地函数图象大致是【】A．B．C．D．【答案】B.【考点】跨学科问题，函数地图象.【分析】根据在一个标准大气压下水加热到100℃后水温不会继续增加，而是保持100℃不变，据此可以得到函数地图象.故选B.6. （2012贵州六盘水3分）定义：f （a ，b ）=（b ，a ），g （m ，n ）=（﹣m ，﹣n ）．例如f （2，3）=（3，2），g （﹣1，﹣4）=（1，4）．则g 等于【 】 A ． （﹣6，5） B ． （﹣5，﹣6）C ． （6，﹣5）D ． （﹣5，6）【答案】A. 【考点】新定义.【分析】根据新定义先求出f （﹣5，6），然后根据g 地定义解答即可：∵根据定义，f （﹣5，6）=（6，﹣5）， ∴g=g （6，﹣5）=（﹣6，5）.故选A.7. （2012山东东营3分）根据下图所示程序计算函数值，若输入地x 地值为52，则输出地函数值为【 】A ．32 B ．25 C ．425 D ．254【答案】B.【考点】新定义，求函数值.【分析】根据所给地函数关系式所对应地自变量地取值范围，发现：当x=52时，在2≤x≤4之间，所以将x 地值代入对应地函数即可求得y 地值：112y===5x 52.故选B.8. （2012山东莱芜3分）对于非零地实数a 、b ，规定a ⊕b ＝ 1 b － 1a ．若2⊕(2x －1)＝1，则x ＝【 】A ． 5 6 B ． 5 4 C ． 3 2 D ．－ 16【答案】A.【考点】新定义，解分式方程.【分析】∵a ⊕b ＝ 1 b － 1 a ，2⊕(2x －1)＝1，∴2⊕(2x －1)＝11=12x 12--. ∴()135=32x 1=26x 3=26x=5x=2x 126⇒-⇒-⇒⇒-. 检验，合适.故选A.9. （2012广西钦州3分）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（﹣x，﹣y），如g（2，3）=（﹣2，﹣3）．按照以上变换有：f（g（2，3））=f（﹣2，﹣3）=（﹣3，﹣2），那么g（f（﹣6，7））等于【】A．（7，6） B．（7，﹣6） C．（﹣7，6） D．（﹣7，﹣6）【答案】C.【考点】新定义，点地坐标.【分析】由题意应先进行f方式地变换，再进行g方式地变换，注意运算顺序及坐标地符号变化：∵f（﹣6，7）=（7，﹣6），∴g（f（﹣6，7））=g（7，﹣6）=（﹣7，6）.故选C.10. （2012甘肃兰州4分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水地水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称地读数y(单位N)与铁块被提起地高度x(单位cm)之间地函数关系地大致图象是【】A． B． C． D．【答案】C.【考点】跨学科问题，函数地图象.【分析】根据浮力地知识，铁块露出水面前读数y不变，出水面后y逐渐增大，离开水面后y不变.因为小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水地水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度.故选C.二、填空题1. （2012陕西省3分）如图，从点A（0，2）发出地一束光，经x轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过路径地长为▲ ．2. （2012福建南平3分）设为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）地“关联数”．若“关联数”地一次函数是正比例函数，则关于x地方程11+=1x1m-地解为▲．【答案】x=3.【考点】新定义，一次函数和正比例函数地定义，解分式方程.【分析】根据新定义得：y=x＋m－2，∵“关联数”地一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2.则关于x地方程11+=1x1m-即为11+=1x12-，解得：x=3.检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程地解.5. （2012湖北荆州3分）新定义：为一次函数y=ax+b（a≠0，a，b为实数）地“关联数”．若“关联数”地一次函数是正比例函数，则关于x地方程11+=1x1m-地解为▲．【答案】x=3.【考点】新定义，一次函数和正比例函数地定义，解分式方程.【分析】根据新定义得：y=x＋m－2，∵“关联数”地一次函数是正比例函数，∴m﹣2=0，解得：m=2.则关于x地方程11+=1x1m-即为11+=1x12-，解得：x=3.检验：把x=3代入最简公分母2（x﹣1）=4≠0，故x=3是原分式方程地解.6. （2012湖南常德3分）规定用符号表示一个实数m地整数部分，例如：=0，=3.按此规定地值为▲ .【答案】4.【考点】新定义，估计无理数地大小.【分析】∵9＜10＜16，∴3445< ，.∴=4⎤⎦.7. （2012湖南株洲3分）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）= ▲ ．【答案】64.【考点】新定义，代数式求值.【分析】将（4，5）•（6，8）中地数字分别替换（x1，y1）•（x2，y2）即可解答：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64.8. （2012四川自贡4分）如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形地渐开线，其中弧CD ．弧DE 、弧EF 地圆心依次是A ．B ．C ，如果AB=1，那么曲线CDEF 地长是 ▲ ．【答案】4π.【考点】新定义，等边三角形地性质，三角形外角定理，弧长地计算.【分析】弧CD 是以点A 为圆心，AB=1为半径，∠CAD=1200为圆心角地圆弧，长是12012=1803ππ⋅⋅； 弧DE 是以点B 为圆心，BD=2为半径，∠DBE=1200为圆心角地圆弧，长是：12024=1803ππ⋅⋅； 弧EF 是以点C 为圆心，CE=3为半径，∠ECF=1200为圆心角地圆弧，长是：1203=2180ππ⋅⋅.则曲线CDEF 地长是：24++2433ππππ=.9. （2012山东菏泽4分）将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b cd，定义a bcdad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若+11=81+1x xx x -- ，则x = ▲ ．【答案】2.【考点】新定义，整式地混合运算，解一元一次方程. 【分析】根据定义化简+11=81+1x x x x -- ，得：()()22+11=8x x --，整理得：()()22+2+112+=8x x x x --，即4=8x ，解得：=2x .三、解答题1. （2012北京市8分）在平面直角坐标系xoy 中，对于任意两点P1（x1,y1）与P2（x2,y2）地“非常距离”，给出如下定义：若∣x1－x2∣≥∣y1－y2∣，则点P1与点P2地“非常距离”为∣x1－x2∣； 若∣x1－x2∣＜∣y1－y2∣，则点P1与点P2地“非常距离”为∣y1－y2∣.例如：点P1（1,2），点P2（3,5），因为∣1－3∣＜∣2－5∣，所以点P1与点P2地“非常距离”为∣2－5∣=3，也就是图1中线段P1Q 与线段P2Q 长度地较大值（点Q 为垂直于y 轴地直线P1Q 与垂直于x 轴地直线P2Q 地交点）.（1）已知点A 1(0)2-，，B 为y 轴上地一个动点，①若点A 与点B 地“非常距离”为2，写出一个满足条件地点B 地坐标； ②直接写出点A 与点B 地“非常距离”地最小值；（2）已知C 是直线3y x 34=+上地一个动点，①如图2，点D 地坐标是（0，1），求点C 与点D 地“非常距离”地最小值及相应地点C 地坐标； ②如图3，E 是以原点O 为圆心，1为半径地圆上地一个动点，求点C 与点E 地“非常距离”地最 小值及相应地点E 和点C 地坐标.【答案】解：（1）①（0，－2）或（0，2）.②21.（2）①设C 坐标为003x x 34⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，如图，过点C 作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q.由“非常距离”地定义知，当OP=DQ 时，点C 与点D 地“非常距离”最小，∴003x 0x 314-=+-. 两边平方并整理，得2007x 48x 64=0--，解得，08x 7=-或0x 8=（大于87，舍去）.∴点C 与点D 地“非常距离”地最小值距离为87，此时815C 77⎛⎫- ⎪⎝⎭，. ②设直线3y x 34=+与x 轴和y 轴交于点A ，B ，过点O 作直线3y x 34=+地垂线交直线3y x 34=+于点C ，交圆于点E ，过点C 作CP ⊥x 轴于点P ，作CQ ⊥y 轴于点Q ，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，作EN ⊥y 轴于点N.易得，OA=4，OB=3，AB=5.由△OAB ∽△MEM ，OE=1，得OM=35，ON=45.∴34E 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，.设C 坐标为003x x 34⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由“非常距离”地定义知，当MP=NQ 时，点C 与点E 地“非常距离”最小， ∴00334x +x 3545=+-. 两边平方并整理，得200175x 840x 1792=0--，解得，08x 5=-或0224x 35=（大于85，舍去）.∴点C 与点E 地“非常距离”地最小值距离为1，此时89C 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，，34E 55⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【考点】新定义，直线上点地坐标与方程地关系，直线和圆地性质，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形地和性质.【分析】（1）根据“非常距离”地定义可直接求出.（2）①解题关键是，过C 点向x 、y 轴作垂线，当CP 和CQ 长度相等地时候“非常距离”最短，理由是，如果向下（如左图）或向上（如右图）移动C 点到达C’点，其与点D 地“非常距离”都会增大.故而C 、D 为正方形相对地两个顶点时有最小地非常距离.②同①，同时理解当OC 垂直于直线3y x 34=+时，点C 与点E 地“非常距离”最小.2. （2012陕西省10分）如果一条抛物线()2y=ax +bx+c a 0≠与x 轴有两个交点，那么以该抛物线地顶点和这两个交点为顶点地三角形称为这条抛物线地“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是 三角形；（2）若抛物线2y=x +bx(b>0)-地“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 地值；（3）如图，△OAB 是抛物线2y=x +b'x(b'>0)-地“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心地矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点地抛物线地表达式；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）等腰.（2）∵抛物线2y=x +bx(b>0)-地“抛物线三角形”是等腰直角三角形，∴该抛物线地顶点2b b 24⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足2b b =24（b ＞0）.∴b=2. （3）存在.如图，作△OCD 与△OAB 关于原点O 中心对称， 则四边形ABCD 为平行四边形.当OA=OB 时，平行四边形ABCD 为矩形. 又∵AO=AB ， ∴△OAB 为等边三角形. 作AE ⊥OB ，垂足为E ，∴AE =，即()2b'b'b'>042，∴∴)()()()A3B 0C 3D 0-，，，.设过点O 、C 、D 三点地抛物线2y=mx +nx ，则12m 3m 3⎧-⎪⎨--⎪⎩，解得，m=1⎧⎪⎨⎪⎩∴所求抛物线地表达式为2y=x .【考点】二次函数综合题，新定义，待定系数法，曲线上点地坐标与方程地关系，中心对称地性质，矩形地判定和性质，等边三角形地判定和性质.【分析】（1）抛物线地顶点必在抛物线与x 轴两交点连线地垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形.（2）观察抛物线地解读式，它地开口向下且经过原点，由于b ＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标地横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b 地值.（3）由于矩形地对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O 为对称中心地矩形ABCD ，那么必须满足OA=OB ，结合（1）地结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE 、OE 地长，通过△OAB 这个等边三角形来列等量关系求出b′地值，进而确定A 、B 地坐标，即可确定C 、D 地坐标，利用待定系数即可求出过O 、C 、D 地抛物线地解读式.3. （2012浙江嘉兴、舟山12分）将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来地n 倍，得△AB ′C ′，即如图①，我们将这种变换记为．（1）如图①，对△ABC 作变换得△AB ′C ′，则S △AB ′C ′：S △ABC= ；直线BC 与直线B ′C ′所夹地锐角为 度；（2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换得△AB'C'，使点B 、C 、C ′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n 地值；（4）如图③，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=l ，对△ABC 作变换得△AB ′C ′，使点B 、C 、B ′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n 地值．【答案】解：（1） 3；60.（2）∵四边形 ABB ′C ′是矩形，∴∠BAC ′=90°.∴θ=∠CAC ′=∠BAC ′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．在 Rt △AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB ′=60°，∴∠AB ′B=30°.∴AB ′=2 AB ，即AB n==2AB'. （3）∵四边形ABB ′C ′是平行四边形，∴AC ′∥BB ′.又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC ′=∠ACB=72°.∴∠C ′AB ′=∠BAC=36°.而∠B=∠B ，∴△ABC ∽△B ′BA.∴AB ：BB ′=CB ：AB.∴AB2=CB •BB ′=CB （BC+CB ′）.而 CB ′=AC=AB=B ′C ′，BC=1，∴AB2=1（1+AB ），解得，AB =.∵AB ＞0，∴B C n=BC ''. 【考点】新定义，旋转地性质，矩形地性质，含300角直角三角形地性质，平行四边形地性质，相似三角形地判定和性质，公式法解一元二次方，.【分析】（1）根据题意得：△ABC ∽△AB ′C ′，∴S △AB ′C ′：S △ABC=22AB =3AB '⎛⎫= ⎪⎝⎭，∠B=∠B ′.∵∠ANB=∠B ′NM ，∴∠BMB ′=∠BAB ′=60°.（2）由四边形 ABB ′C ′是矩形，可得∠BAC ′=90°，然后由θ=∠CAC ′=∠BAC ′-∠BAC ，即可求得θ地度数，又由含30°角地直角三角形地性质，即可求得n 地值.（3）由四边形ABB ′C ′是平行四边形，易求得θ=∠CAC ′=∠ACB=72°，又由△ABC ∽△B ′BA ，根据相似三角形地对应边成比例，易得AB2=CB •BB ′=CB （BC+CB ′），继而求得答案.4. （2012浙江台州14分）定义：P 、Q 分别是两条线段a 和b 上任意一点，线段PQ 长度地最小值叫做线段与线段地距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m ，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC 与线段OA 地距离是_____,当m=5，n=2时，如图2，线段BC 与线段OA 地距离(即线段AB 地长)为______（2）如图3，若点B 落在圆心为A ，半径为2地圆上，线段BC 与线段OA 地距离记为d ，求d 关于m 地函数解读式.（3）当m 地值变化时，动线段BC 与线段OA 地距离始终为2，线段BC 地中点为M.①求出点M 随线段BC 运动所围成地封闭图形地周长。
2012年中考数学复习考点跟踪训练40 探索型问题
考点跟踪训练40 探索型问题一、选择题1．(2010·株洲)如图所示的正方形网络中，网格线的交点称为格点，已知A 、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )A．6 B．7 C．8 D．9答案 C解析如图，可知符合题意的点C有8个．2．(2010·重庆)有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，……，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是( )A．图①B．图②C．图③D．图④答案 B解析本题考查分析想象能力．由题意可知，45°×8＝360°，当转动的矩形绕中心旋转8次后回到原位置，据此可得第10次旋转后的图形与图②相同．3.若正比例函数的图象经过点(－1,2)，则这个图象必经过点()A．(1,2) B．(－1，－2)C．(2，－1) D．(1，－2)答案 D解析设y＝kx的图象过点(－1,2)，则2＝－k，k＝－2，y ＝－2x，又当x＝1时，y＝－2×1＝－2，选D.4．如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色L形由3个正方形组成，第2个黑色L 形由7个正方形组成，…，那么第6个黑色L形的正方形个数是( )A．22 B．23 C．24 D．25答案 B解析黑色.1234……n371115……4n－1当n＝65．(2011·潜江)如图，已知直线l：y＝3 3x，过点A(0,1)作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则点A4的坐标为( )A．(0,64) B．(0,128) C．(0,256) D．(0,512)答案 C解析易求A(0,1)，A1(0,4)，A2(0,16)……，而21＝1,22＝4,24＝16……，所以28＝256，点A4的坐标为(0,256)．二、填空题6．(2010·鄂尔多斯)如图，用小棒摆出下面的图形，图形(1)需要3根小棒，图形( 2)需要7根小棒，……，照这样的规律继续摆下去，第n个图形需要__________根小棒(用含n的代数式表示)．答案4n－1解析图形(1)有小棒3＝4×1－1；图形(2)有小棒7＝4×2－1；图形(3)有小棒11＝4×3－1；……；图形(n)有小棒4×n－1，即4n－1.7．(2011·肇庆)如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n(n是大于0的整数)个图形需要黑色棋子的个数是 __________.答案n(n＋2)解析第1个图形需黑色棋子2×3－3个，第2个图形需黑色棋子3×4－4个，……，则第n个图形需黑色棋子个数是(n＋1)(n＋2)－(n＋2)＝n2＋2n＝n(n＋2)．8．(2010·宿迁)如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为________．答案32解析如图，设C′B′与AB交点为G′，与AD交点为H′，FC′与AD交点为W′，则这三个点关于折痕EF对称的点分别为G、H、W，由翻折的性质“对应边相等”，得BE＝EB′，BG＝B′G′，GH＝G′H′，HC＝H′C′，CW＝C′W′，FW ＝FW ′.∴①、②、③、④四个三角形的周长之和等于正方形的周长＝4×8＝32.9．(2011·菏泽)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是______．答案 158解析 根据左上角0、2、4、6、8、10可知最后一个正方形是第6个正方形，阴影部分应该是12、14，所以m ＝12×14－10＝158.10．(2011·东莞)如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形A FBDCE ，它的面积为1，取△ABC 和△DEF 各边中点，连接成正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1，如图(2)中阴影部分；取△A 1B 1C 1和△D 1E 1F 1各边中点，连接成正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去，则正六角星形A n F n B n D n C n E n 的面积为_______．答案 14n解析 正六角星形AFBDCE 与正六角形A 1F 1B 1D 1C 1E 1相似，且相似比为2，所以正六角星形A 1F 1B 1D 1C 1E 1的面积是1×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，依此类推，正六角星形A 2F 2B 2D 2C 2E 2的面积是14×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝142，……，所以正六角星形A n F n B n D n E n 的面积是14n .三、解答题11．(2011·成都)设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…， S n ＝1＋1n2＋错误!.设S ＝错误!＋S2＋…＋Sn ，求S 的值 (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．解 S n ＝1＋1n2＋错误!＝1＋错误!2＋2×错误!＝1＋错误!2＋2×错误!＝错误!2.∴S ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋11×2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12×3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×4＋…＋错误!＝n ×1＋⎣⎢⎡11×2＋12×3＋13×4＋… 错误!＝n ＋错误!＝n ＋错误!＝错误!＝错误!.12．(2011·鸡西)在正方形ABCD 的边AB 上任取一点E ，作EF ⊥AB 交BD 于点F ，取FD 的中点G ，连接EG 、CG ，如图1，易证EG ＝CG 且EG ⊥CG .(1)将△BEF 绕点B 逆时针旋转90°，如图2，则线段EG 和CG 有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；(2)将△BEF 绕点B 逆时针旋转180°，如图3，则线段EG 和C G 又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．解 (1)EG ＝CG ，EG ⊥CG .(2)EG ＝CG ，EG ⊥CG .证明：如图，延长FE 交DC 延长线于M ，连接MG . ∵∠AEM ＝90°，∠EBC ＝90°，∠BCM ＝90°，∴四边形BEMC 是矩形．∴BE ＝CM ，∠EMC ＝90°.又∵BE＝EF，∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD.又∵EF＝CM，∴FM＝DM.∴∠F＝45°.又∵FG＝DG，∴∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F＝∠GMC.∴△GFE≌△GMC.∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.∵∠FMC＝90°，MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD，∴∠FGE＋∠EGM＝90°，∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.13．(2011·苏州)已知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a>0)的图象与x轴分别交于点A 、B，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点．(1)如图①，连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；(2)如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4,4)、(4,3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段P A、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；(3)如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．解(1)令y＝0，由a(x2－6x＋8)＝0解得x1＝2，x2＝4；令x＝0，解得y＝8a.∴点A、B、C的坐标分别是(2,0)、(4,0)、(0,8a)，∴OA＝2，该抛物线对称轴为直线x＝3.如图③，设抛物线对称轴与x轴的交点为M，则AM＝1.由题意得O′A＝OA＝2，∴O′A＝2AM，∴∠O′AM＝60°.∴∠OAC＝∠O′AC＝60°.∴OC＝3·AO＝2 3，即8a＝2 3，∴a＝3 4.(2)若点P是边EF或边FG上的任意一点，结果同样成立．(i)如图④，设P是边EF上的任意一点(不与点E重合)，连接PM.∵点E(4,4)、F(4,3)与点B(4,0)在一直线上，点C在y轴上，∴PB＜4，PC≥4，∴PC＞PB.又∵PD＞PM＞PB，P A＞PM＞PB，∴PB≠P A，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形．(ii)设P是边FG上的任意一点(不与点G重合)，∵点F的坐标是(4,3)，∴点G的坐标是(5,3)．∴FB＝3，GB＝10，∴3≤PB＜10.∵PC≥4，∴PC＞PB.又∵PD＞PM＞PB，P A＞PM＞PB，∴PB≠P A，PB≠PC，PB≠PD，∴此时线段P A、PB、PC、PD不可能构成平行四边形．(3)存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能够成平行四边形)．如图⑤，∵点A、B是抛物线与x轴的交点，点P在抛物线对称轴上，∴P A＝PB.∴当PC＝PD时，线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形．∵点C的坐标是(0,8a)，点D的坐标是(3，－a)，点P的坐标是(3，t)，∴PC2＝32＋(t－8a)2，PD2＝(t＋a)2，由PC＝PD得PC2＝PD2，∴32＋(t－8a)2＝(t＋a)2，整理得7a2－2ta＋1＝0，∴△＝4t2－28.∵t是大于3的常数，∴△＝4t2－28＞0，∴方程7a2－2ta＋1＝0有两个不相等的实数根a＝2t±4t2－2814＝t±t2－77，显然，a＝t＋t2－77＞0，满足题意．∴当t是一个大于3的常数时，存在一个正数a＝t＋t2－77，使得线段P A、PB、PC、PD能构成平行四边形．。
2012届中考数学往年考点分类解析汇编
2012届中考数学往年考点分类解析汇编广东2011年中考数学试题分类解析汇编专题12押轴题解答题1.（广东省9分）如图，抛物线与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥轴，垂足为点C(3，0).（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N.设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由.【答案】解：（1）∵A、B在抛物线上，∴当，当。
即A、B两点坐标分别为（0，1），（3，）。
设直线AB的函数关系式为，∴得方程组：，解得。
∴直线AB的解析式为。
（2）依题意有P、M、N的坐标分别为P（t，0），M（t，），N（t，）（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有，解得，t1=1，t2=2。
所以当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形。
当t=1时，，故。
又在Rt△MPC中，，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形。
当t=2时，，故。
又在Rt△MPC中，，故MN≠MC。
此时四边形BCMN不是菱形。
【考点】点的坐标与方程的关系，待定系数法，列二次函数关系式，平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理。
【分析】（1）由A、B在抛物线上，可求出A、B点的坐标，从而用待定系数法求出直线AB的函数关系式。
（2）用t表示P、M、N的坐标，由等式得到函数关系式。
（3）由平行四边形对边相等的性质得到等式，求出t。
再讨论邻边是否相等。
2.（佛山11分）阅读材料：我们经常通过熟悉一个事物的局部或其特殊类型，来逐步熟悉这个事物；比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步熟悉四边形；我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决简单的题目巩固所学知识；请解决以下题目：如图，我们把满足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”；①写出筝形的两个性质（定义除外）；②写出筝形的两个判定方法（定义除外），并选出一个进行证实；【答案】解：（1）性质1：一组对角相等，另一组对角不等。
2012年中考复习考点跟踪训练《阅读理解问题》
2012年中考复习考点跟踪训练（四十三）《阅读理解问题》一、选择题1．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a ＋b ＋c 就是完全对称式．下列三个代数式：①(a －b )2；②ab ＋bc ＋ca ；③a 2b ＋b 2c ＋c 2a .其中是完全对称式的是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 答案 A解析 若把a 2b ＋b 2c ＋c 2a 中的a ，b 两个字母交换，得b 2a ＋a 2c ＋c 2b ，代数式发生变化，不是完全对称式；而(a －b )2＝(a －a )2，ab ＋bc ＋ca ＝ba ＋ac ＋cb ，是完全对称式．2．(2010·嘉兴)若自然数n 使得三个数的加法运算“n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)”产生进位现象，则称n 为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2＋3＋4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4＋5＋6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51＋52＋53＝156产生进位现象．如果从0,1,2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是( )A ．0.88B ．0.89C ．0.90D ．0.91 答案 A解析 先利用分类讨论，得到一位数中“连加进位数”有7个，分别为(3,4,5,6,7,8,9)，再考虑到两位数中“连加进位数”有67个分别为(33,34,35，…，99)，再考虑到两位数中(13，…，19)与(23，…，29)中个位数中产生了进位，合计7＋67＋7＋7＝88个．故取到“连加进位数”的概率P ＝88100＝0.88.3．(2010·日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．15B ．25C ．55D ．1225 答案 D解析 第n 个三角数是n (n ＋1)2，正方形数是n 2，当对于1225，有n (n ＋1)2＝1225，n ＝49或－51；n 2＝1225，n ＝±35.所以1225即是三角形数又是正方形数．4．(2008·湖北)因为sin 30°＝12，sin 210°＝－12，所以sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°；因为sin 45°＝22，sin 225°＝－22，所以sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°；由此猜想，推理知：一般地当α为锐角时有sin(180°＋α)＝－sin α，由此可知：sin 240°＝( )A ．－12B ．－22C ．－32 D ．－ 3答案 C解析 由sin(180°＋α)＝－sin α，得sin240°＝sin(180°＋60)＝－sin60°＝－32. 5．(2010·广州)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知有一种密码，将英文26个小写字母a ，b ，c ，…，z 依次对应0,1,2，…，25这26个自然数(见表格)，当明文中的字母对应的序号为β时，将β＋10除以按上述规定，将明文“maths ”译成密文后是( ) A ．w kdrc B ．w khtc C ．eqdjc D ．eqhjc 答案 A解析 m 对应的数字是12,12＋10＝22，除以26的余数仍然是22，因此对应的字母是w ；a 对应的数字是0,0＋10＝10，除以26的余数仍然是10，因此对应的字母是k ；t 对应的数字是19,19＋10＝29，除以26的余数仍然是3，因此对应的字母是d ；…，所以本题译成密文后是w kdrc .二、填空题 6．(2010·黄石)若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“可连数”，例如32是“可连数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“可连数”，因为23＋24＋25生产了进位现象，那么小于200的“可连数”的个数为________．答案 24解析 利用分类讨论，一位数中“可连数”有3个，分别为(0,1,2)；再考虑两位数中“可连数”有(10,11,12)，(20,21,22)，(30,31,32)；三位数中“可连数”有(100,101,102)，(110,111,112)，(120,121,122)，(130,131,132)．故合计3×8＝24个．7．(2011·怀化)定义新运算：对任意实数a 、b ，都有a *b ＝a 2－b ，例如，3] . 答案 3解析 据题意，有2] 8．(2010·曲靖)把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间一个小三角形，对剩下的三个小正三角形再重复以上做法……，一直到第n 次挖去后剩下的三角形有________个．答案 3n解析 第一次操作之后有3个小正三角形，第二次操作之后有9个小正三角形，第三次操工作之后有27个小正三角形，……，则第n 次操作之后有3n 个小正三角形．9．数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是15∶12∶10，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do 、mi 、so .研究15、12、10这三个数的倒数发现：112－115＝110－112.我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x 、5、3(x >5)，则x 的值是__________．答案 15解析 依据调和数的意义，有15－1x ＝13－15，解得x ＝15.10．(2011·北京)在下表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j (其中i ，j 都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i ≥j 时，a i ，j ＝1；当i <j 时，a i ，j ＝0.例如：当i ＝2，j ＝1时，a i ，j ＝a 2,1＝1.按此规定，a 1,3＝________；表中的25个数中，共有________个1；计算a 1,1·a i,1＋a 1,2＋a ＋a ＋a 的值为________.答案 0；15；1解析 由题意，i 与j 之间大小分析：当i <j 时，a i ，j ＝0；当i ≥j 时，a i ，j ＝1.由图表可知有15个1，故填0；15；1.三、解答题 11．(2010·凉山)先阅读下列材料，然后解答问题：材料1：从3张不同的卡片中选取2张排成一列，有6种不同的排法，抽象成数学问题就是从3个不同元素中选取2个元素的排列，排列数记为A 32＝3×2＝6.一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的排列数记作A n m ，A n m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ≤n )．例：从5个不同元素中选3个元素排成一列的排列数为：A 53＝5×4×3＝60.材料2：从3张不同的卡片中选取2张，有3种不同的选法，抽象成数学问题就是从3个元素中选取2个元素的组合，组合数记为C 32＝3×22×1＝3.一般地，从n 个不同元素中选取m 个元素的组合数记作C n m ，C n m ＝n (n －1)…(n －m ＋1)m (m －1)…2×1(m ≤n )．例：从6个不同元素中选3个元素的组合数为：C 63＝6×5×43×2×1＝20.问：(1)从7个人中选取4人排成一排，有多少种不同的排法？(2)从某个学习小组8人中选取3人参加活动，有多少种不同的选法？ 解 (1)A 74＝7×6×5×4＝840(种)． (2)C 83＝8×7×63×2×1＝56(种).12．(2010·益阳)我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等．．．．．． 一条直线l 与方形环的边线有四个交点M 、M ′、N ′、N .小明在探究线段MM ′与N ′N 的数量关系时，从点M ′、N ′向对边作垂线段M ′E 、N ′F ，利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题．请你参考小明的思路解答下列问题：(1)当直线l 与方形环的对边相交时，如图1，直线l 分别交AD 、A ′D ′、B ′C ′、BC 于M 、M ′、N ′、N ，小明发现MM ′与N ′N 相等，请你帮他说明理由；(2)当直线l 与方形环的邻边相交时，如图2，l 分别交AD 、A ′D ′、D ′C ′、DC 于M 、M ′、N ′、N ，l 与DC 的夹角为α，你认为MM ′与N ′N 还相等吗？若相等，说明理由；若不相等，求出MM ′N ′N的值(用含α的三角函数表示)．解 (1)解：在方形环中，∵M ′E ⊥AD ，N ′F ⊥BC ，AD ∥BC ，∴M ′E ＝N ′F ，∠M ′EM ＝∠N ′FN ＝90°， ∠EMM ′＝∠FNN ′， ∴△MM ′E ≌△NN ′F . ∴MM ′＝N ′N .(2)解法一：∵∠NFN ′＝∠MEM ′＝90°， ∠FNN ′＝∠EM ′M ＝α， ∴△NFN ′∽△M ′EM ， ∴MM ′N ′N＝M ′ENF .∵M ′E ＝N ′F ， ∴MM ′N ′N＝N ′F NF ＝tan α(或sin αcos α)． ①当α＝45°时，tan α＝1，则MM ′＝NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′， 则MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．解法二：在方形环中，∠D ＝90°.又∵M ′E ⊥AD ，N ′F ⊥CD ， ∴M ′E ∥DC ，N ′F ＝M ′E . ∴∠MM ′E ＝∠N ′NF ＝α.在Rt △NN ′F 与Rt △MM ′E 中， sin α＝N ′F NN ′，cos α＝M ′E MM ′，即MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．①当α＝45°时，MM ′＝NN ′；②当α≠45°时，MM ′≠NN ′， 则MM ′NN ′＝tan α(或sin αcos α)．13．(2011·苏州)如图①，小慧同学把一个正三角形纸片(即△OAB )放在直线l 1上，OA 边与直线l 1重合，然后将三角形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转120°，此时点O 运动到了点O 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将三角形纸片AO 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转120°，此时点A 运动到了点A 1处，点O 1运动到了点O 2处(即顶点O 经过上述两次旋转到达O 2处)．小慧还发现：三角形纸片在上述两次旋转过程中，顶点O 运动所形成的图形是两段圆弧，即弧OO 1和弧O 1O 2，顶点O 所经过的路程是这两段圆弧的长度之和，并且这两端圆弧与直线l 1围成的图形面积等于扇形AOO 1的面积、△AO 1B 1的面积和扇形B 1O 1O 2的面积之和．小慧进行类比研究：如图②，她把边长为1的正方形纸片OABC 放在直线l 2上，OA 边与直线l 2重合，然后将正方形纸片绕着顶点A 按顺时针方向旋转90°，此时点O 运动到了点O 1处(即点B 处)，点C 运动到了点C 1处，点B 运动到了点B 1处；小慧又将正方形纸片AO 1C 1B 1绕B 1点按顺时针方向旋转90°，……，按上述方法经过若干次旋转后，她提出了如下问题：问题①：若正方形纸片OABC 按上述方法经过3次旋转，求顶点O 经过的路程，并求顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积；若正方形OABC 按上述方法经过5次旋转，求顶点O 经过的路程；问题②：正方形纸片OABC 按上述方法经过多少次旋转，顶点O 经过的路程是41＋20 22π？ 请你解答上述两个问题．解 问题①：如图，正方形纸片OABC 经过3次旋转，顶点O 运动所形成的图形是三段弧，即弧OO 1、弧O 1O 2以及弧O 2O 3，∴顶点O 运动过程中经过的路程为90·π·1180×2＋90·π·2180＝(1＋22)π.顶点O 在此运动过程中所形成的图形与直线l 2围成图形的面积为 90·π·12360×2＋90·π·(2)2360＋2×12×1×1＝1＋π. 正方形OABC 经过5次旋转，顶点O 经过的路程为 90·π·1180×3＋90·π·2180＝(32＋22)π. 问题②：∵正方形OABC 经过4次旋转，顶点O 经过的路程为90·π·1180×2＋90·π·2180＝(1＋22)π.∵41＋20 22π＝20×(1＋22)π＋12π.∴正方形纸片OABC经过了81次旋转．。
中考数学复习第二讲《开放探究型问题》经典题型含答案
中考数学复习专题第二讲开放探究型问题【要点梳理】开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．【学法指导】三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．【考点解析】条件开放型问题（2017贵州安顺）如图，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给△ABC添加什么条件，为什么？【考点】LC：矩形的判定；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形．通过给出的已知条件便可．（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决．【解答】（1）证明：∵E是AC中点，∴EC=AC．∵DB=AC，∴DB∥EC．又∵DB∥EC，∴四边形DBCE是平行四边形．∴BC=DE．（2）添加AB=BC．（ 5分）理由：∵DB AE，∴四边形DBEA是平行四边形．∵BC=DE，AB=BC，∴AB=DE．∴▭ADBE是矩形．结论开放型问题（2017广西河池）（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD 上，AE⊥BF于点M，求证：AE=BF；（2）如图2，将（1）中的正方形ABCD改为矩形ABCD，AB=2，BC=3，AE ⊥BF于点M，探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KD：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AMB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得∠ABM与∠BAM的关系，根据同角的余角相等，可得∠BAM与∠CBF的关系，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，根据全等三角形的性质，可得答案；（2）根据矩形的性质得到∠ABC=∠C，由余角的性质得到∠BAM=∠CBF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠C，AB=BC．∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF．在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：AB=BC，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AMB=∠BAM+∠ABM=90°，∵∠ABM+∠CBF=90°，∴∠BAM=∠CBF，∴△ABE∽△BCF，∴=，∴AB=BC．存在开放型问题（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．综合开放型问题（2017山东泰安）如图，四边形ABCD是平行四边形，AD=AC，AD⊥AC，E 是AB的中点，F是AC延长线上一点．（1）若ED⊥EF，求证：ED=EF；（2）在（1）的条件下，若DC的延长线与FB交于点P，试判定四边形ACPE 是否为平行四边形？并证明你的结论（请先补全图形，再解答）；（3）若ED=EF，ED与EF垂直吗？若垂直给出证明．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）根据平行四边形的想知道的AD=AC，AD⊥AC，连接CE，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质得到CF=AD，等量代换得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根据平行四边形的判定定理即可得到四边形ACPE为平行四边形；（3）过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，证得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）证明：在▱ABCD中，∵AD=AC，AD⊥AC，∴AC=BC，AC⊥BC，连接CE，∵E是AB的中点，∴AE=EC，CE⊥AB，∴∠ACE=∠BCE=45°，∴∠ECF=∠EAD=135°，∵ED⊥EF，∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，在△CEF和△AED中，，∴△CEF≌△AED，∴ED=EF；（2）解：由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，∵AD=AC，∴AC=CF，∵DP∥AB，∴FP=PB，∴CP=AB=AE，∴四边形ACPE为平行四边形；（3）解：垂直，理由：过E作EM⊥DA交DA的延长线于M，过E作EN⊥FC交FC的延长线于N，在△AME与△CNE中，，∴△AME≌△CNE，∴∠ADE=∠CFE，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE，∴∠DEA=∠FEC，∵∠DEA+∠DEC=90°，∴∠CEF+∠DEC=90°，∴∠DEF=90°，∴ED⊥EF．【真题训练】训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．参考答案：训练一：（2017日照）如图，已知BA=AE=DC，AD=EC，CE⊥AE，垂足为E．（1）求证：△DCA≌△EAC；（2）只需添加一个条件，即AD=BC（答案不唯一），可使四边形ABCD 为矩形．请加以证明．【考点】LC：矩形的判定；KD：全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由SSS证明△DCA≌△EAC即可；（2）先证明四边形ABCD是平行四边形，再由全等三角形的性质得出∠D=90°，即可得出结论．【解答】（1）证明：在△DCA和△EAC中，，∴△DCA≌△EAC（SSS）；（2）解：添加AD=BC，可使四边形ABCD为矩形；理由如下：∵AB=DC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵CE⊥AE，∴∠E=90°，由（1）得：△DCA≌△EAC，∴∠D=∠E=90°，∴四边形ABCD为矩形；故答案为：AD=BC（答案不唯一）．训练二：（2017湖北荆州）如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．（1）求证：△ACD≌△EDC；（2）请探究△BDE的形状，并说明理由．【考点】LB：矩形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；Q2：平移的性质．【分析】（1）由矩形的性质得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出结论；（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性质得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，∴AD=EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；（2）解：△BDE是等腰三角形；理由如下：∵AC=BD，DE=AC，∴BD=DE，∴△BDE是等腰三角形．训练三：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边BC，AB上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=2DF，连接CE、AF．（1）证明：AF=CE；（2）当∠B=30°时，试判断四边形ACEF的形状并说明理由．【考点】L9：菱形的判定；KX：三角形中位线定理；L7：平行四边形的判定与性质．【分析】（1）由三角形中位线定理得出DE∥AC，AC=2DE，求出EF∥AC，EF=AC，得出四边形ACEF是平行四边形，即可得出AF=CE；（2）由直角三角形的性质得出∠BAC=60°，AC=AB=AE，证出△AEC是等边三角形，得出AC=CE，即可得出结论．【解答】（1）证明：∵点D，E分别是边BC，AB上的中点，∴DE∥AC，AC=2DE，∵EF=2DE，∴EF∥AC，EF=AC，∴四边形ACEF是平行四边形，∴AF=CE；（2）解：当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形；理由如下：∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴∠BAC=60°，AC=AB=AE，∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE，又∵四边形ACEF是平行四边形，∴四边形ACEF是菱形．训练四：（2017广东）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，四边形ABCO 是矩形，点A，C的坐标分别是A（0，2）和C（2，0），点D是对角线AC上一动点（不与A，C重合），连结BD，作DE⊥DB，交x轴于点E，以线段DE，DB 为邻边作矩形BDEF．（1）填空：点B的坐标为（2，2）；（2）是否存在这样的点D，使得△DEC是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证： =；②设AD=x，矩形BDEF的面积为y，求y关于x的函数关系式（可利用①的结论），并求出y的最小值．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）求出AB、BC的长即可解决问题；（2）存在．连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．首先证明B、D、E、C 四点共圆，可得∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，由tan∠ACO==，推出∠ACO=30°，∠ACD=60°由△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，推出∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，推出∠DBC=∠BCD=60°，可得△DBC是等边三角形，推出DC=BC=2，由此即可解决问题；（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，推出∠DBC=∠DCE=30°，由此即可解决问题；②作DH⊥AB于H．想办法用x表示BD、DE的长，构建二次函数即可解决问题；【解答】解：（1）∵四边形AOCB是矩形，∴BC=OA=2，OC=AB=2，∠BCO=∠BAO=90°，∴B（2，2）．故答案为（2，2）．（2）存在．理由如下：连接BE，取BE的中点K，连接DK、KC．∵∠BDE=∠BCE=90°，∴KD=KB=KE=KC，∴B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE，∠EDC=∠EBC，∵tan∠ACO==，∴∠ACO=30°，∠ACB=60°①如图1中，△DEC是等腰三角形，观察图象可知，只有ED=EC，∴∠DBC=∠DCE=∠EDC=∠EBC=30°，∴∠DBC=∠BCD=60°，∴△DBC是等边三角形，∴DC=BC=2，在Rt△AOC中，∵∠ACO=30°，OA=2，∴AC=2AO=4，∴AD=AC﹣CD=4﹣2=2．∴当AD=2时，△DEC是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE是等腰三角形，易知CD=CE，∠DBC=∠DEC=∠CDE=15°，∴∠ABD=∠ADB=75°，∴AB=AD=2，综上所述，满足条件的AD的值为2或2．（3）①由（2）可知，B、D、E、C四点共圆，∴∠DBC=∠DCE=30°，∴tan∠DBE=，∴=．②如图2中，作DH⊥AB于H．在Rt△ADH中，∵AD=x，∠DAH=∠ACO=30°，∴DH=AD=x，AH==x，∴BH=2﹣x，在Rt△BDH中，BD==，∴DE=BD=•，∴矩形BDEF的面积为y= []2=（x2﹣6x+12），即y=x2﹣2x+4，∴y=（x﹣3）2+，∵＞0，∴x=3时，y有最小值．训练五：（2017•黑龙江）在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若四边形ABCD是正方形如图1：则有AC=BD，AC⊥BD．旋转图1中的Rt△COD到图2所示的位置，AC′与BD′有什么关系？（直接写出）若四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，旋转Rt△COD至图3所示的位置，AC′与BD′又有什么关系？写出结论并证明．【考点】LE：正方形的性质；KD：全等三角形的判定与性质；L8：菱形的性质；R2：旋转的性质．【分析】图2：根据四边形ABCD是正方形，得到AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，等量代换得到AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，根据全等三角形的性质得到AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，于是得到结论；图3：根据四边形ABCD是菱形，得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，求得OB=√3OA，OD=√3OC，根据旋转的性质得到OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，求得OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，根据相似三角形的性质得到BD′=√3AC′，于是得到结论．【解答】解：图2结论：AC′=BD′，AC′⊥BD′，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AO=OC，BO=OD，AC⊥BD，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴AO=BO，OC′=OD′，∠AOC′=∠BOD′，在△AOC′与△BOD′中，{AO=BO∠AOC′=∠BOD′OC′=OD′，∴△AOC′≌△BOD′，∴AC′=BD′，∠OAC′=∠OBD′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′；图3结论：BD′=√3AC′，AC′⊥BD’理由：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，∵∠ABC=60°，∴∠ABO=30°，∴OB=√3OA，OD=√3OC，∵将Rt△COD旋转得到Rt△C′OD′，∴OD′=OD，OC′=OC，∠D′OD=∠C′OC，∴OD′=√3OC′，∠AOC′=∠BOD′，∴OBOA =OD′OC′=√3，∴△AOC′∽△BOD′，∴BD′AC′=OBOA=√3，∠OAC′=∠OBD′，∴BD′=√3AC′，∵∠AO′D′=∠BO′O，∠O′BO+∠BO′O=90°，∴∠O′AC′+∠AO′D′=90°，∴AC′⊥BD′．【点评】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键．。
2012年中考复习考点跟踪训练7 一元二次方程(含答案)
考点跟踪训练7 一元二次方程一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1 2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝93．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．25．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．x2－y2－4＋(3 5x－5y－10)2＝0的解是__________________．9．(2011·黄石)解方程：||10．(2011·兰州)关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1(a，m，b均为常数，a≠0)，则方程a(x＋m＋2)2＋b＝0的解是__________．三、解答题11．(2011·南京)解方程：x2－4x＋1＝0.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4.14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解．15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．参考答案一、选择题1．(2011·嘉兴)一元二次方程x(x－1)＝0的解是()A. x＝0B. x＝1C. x＝0或x＝1D. x＝0或x＝－1答案 C解析x(x－1)＝0，x＝0或x－1＝0，∴x1＝0，x2＝1.2．(2011·兰州)用配方法解方程x2－2x－5＝0时，原方程应变形为()A．(x＋1)2＝6 B．(x＋2)2＝9 C．(x－1)2＝6 D．(x－2)2＝9答案 C解析x2－2x－5＝0，x2－2x＝5，x2－2x＋1＝5＋1，(x－1)2＝6.3．(2011·福州)一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根答案 A解析x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2，方程有两个不相等的实数根．4．(2011·济宁)已知关于x的方程x2＋bx＋a＝0的一个根是－a(a≠0)，则a－b值为A() A．－1 B．0 C．1 D．2答案 A解析当x＝－a时，得a2－ab＋a＝0，a(a－b＋1)＝0，又a≠0.所以a－b＋1＝0，a－b＝－1.5．(2011·威海)关于x的一元二次方程x2＋(m－2)x＋m＋1＝0有两个相等的实数根，则m的值是()A．0 B．8 C．4±2 2 D．0或8答案 D解析由题意，得b2－4ac＝0，(m－2)2－4(m＋1)＝0，m2－8m＝0，m＝0或m＝8. 二、填空题6．(2011·衢州)方程x2－2x＝0的解为________________．答案x1＝0，x2＝2解析x2－2x＝0，x(x－2)＝0，x＝0或x－2＝0，x1＝0，x2＝2.7．(2011·鸡西)一元二次方程a2－4a－7＝0的解为____________.答案a1＝2＋11，a2＝2－11解析a2－4a－7＝0，a2－4a＝7.a2－4a＋4＝11，(a－2)2＝11，a－2＝±11，∴a＝2±11. 8．(2011·镇江)已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根为2，则m＝______，另一根是______．答案 1，－3解析 当x ＝2时，4＋2m －6＝0,2m ＝2，m ＝1，∴x 2＋x －6＝0.(x －2)(x ＋3)＝0，x 1＝2，x 2＝－3，另一根是－3.9．(2011·黄石)解方程：||x 2－y 2－4＋(3 5x －5y －10)2＝0的解是__________________．答案 ⎩⎨⎧ x ＝5，y ＝1或⎩⎨⎧ x ＝2 5，y ＝4解析 ⎩⎨⎧ x 2－y 2－4＝0，3 5x －5y －10＝0，代入消去x ，得y 2－5y ＋4＝0，y 1＝1，y 2＝4， 相应地x 1＝5，x 2＝2 5.10．(2011·兰州)关于x 的方程a (x ＋m )2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a (x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是__________．答案 x 1＝－4，x 2＝－1解析 依题意，有x ＋2＝－2或x ＋2＝1，∴x ＝－4或x ＝－1.三、解答题11．(2011·南京)解方程：x 2－4x ＋1＝0.解 解法一：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得x 2－4x ＋4＝－1＋4，(x －2)2＝3，由此可得x －2＝±3，∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.解法二：a ＝1，b ＝－4，c ＝1.b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×1＝12>0，x ＝4±122＝2±3. ∴x 1＝2＋3，x 2＝2－ 3.12．(2011·聊城)解方程：x ()x －2＋x －2＝0.解 (x －2)(x ＋1)＝0，解得x －2＝0或x ＋1＝0，x 1＝2，x 2＝－1.13．(2011·广东) 解方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝0，x 2＋3y －3y 2＝4. 解 ⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，①x 2＋3y －3y 2＝4，② 由①得： x ＝2y .③将③代入②，化简整理，得：y 2＋3y －4＝0.解得：y ＝1或y ＝－3.将y ＝1或y ＝－3代入①，得：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－6，y ＝－3. ∴原方程的解有两个，⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－6，y 2＝－3. 14．(2011·苏州)已知|a －1|＋b ＋2＝0，求方程a x＋bx ＝1的解． 解 由|a －1|＋b ＋2＝0，得a ＝1，b ＝－2.由方程1x－2x ＝1得2x 2＋x －1＝0. 解之，得x 1＝－1，x 2＝12. 经检验，x 1＝－1，x 2＝12是原方程的解． ∴原方程的根为x 1＝－1，x 2＝12. 15．(2011·芜湖)如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x 2＋17) cm ，正六边形的边长为(x 2＋2x ) cm(其中x >0)．求这两段铁丝的总长．解 由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等，所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121，解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm.答：这两段铁丝的总长为420 cm.四、选做题16．(2010·孝感)已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1、x 2.(1)求k 的取值范围；(2)若||x 1＋x 2＝x 1x 2－1，求k 的值．解 (1)依题意，b 2－4ac ≥0，即[－2(k －1)]2－4k 2≥0，－8k ＋4≥0，解得k ≤12. (2)解法一：依题意，得x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.以下分两种情况讨论：①当x 1＋x 2≥0时，则有x 1＋x 2＝x 1x 2－1，即2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝k 2＝1.∵k ≤12， ∴k 1＝k 2＝1不合题意，舍去．②x 1＋x 2<0时，则有x 1＋x 2＝－()x 1x 2－1，即2(k －1)＝－()k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3. 综合①、②可知k ＝－3.解法二：依题意可知x 1＋x 2＝2(k －1)，x 1x 2＝k 2.由(1)可知k ≤12. ∴2(k －1)<0，即x 1＋x 2<0，∴－2(k －1)＝k 2－1，解得k 1＝1，k 2＝－3.∵k ≤12，∴k ＝－3.。
(备战中考)2012年中考数学新题分类汇编(中考真题+模拟新题) 开放型问题
开放型问题1. （2011某某某某,22,7分）如图，飞机沿水平方向（A ，B 两点所在直线）飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN ．飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离（因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离），请设计一个求距离MN 的方案，要求：（1）指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）； （2）用测出的数据写出求距离MN 的步骤．【答案】解：此题为开放题，答案不惟一，只要方案设计合理，可参照给分⑴如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM ．⑵第一步，在AMN Rt ∆中，AN MN =αtan ∴αtan MNAN = 第二步，在BMN Rt ∆中，BNMN=βtan ∴βtan MN BN =其中BN d AN +=，解得αββαtan tan tan tan -⋅⋅=d MN ．2. （2011某某某某，22，8分）数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图1，正方形ABCD 的边长为12，P 为边BC 延长线上的一点，E 为DP 的中点，DP 的垂直平分线交边DC 于M ，交边AB 的延长线于N .当6CP =时，EM 与EN 的比值是多少？（22题图）（第25题解答图）经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于F ，G ，如图2，则可得：DF DEFC EP=，因为DE EP =，所以DF FC =.可求出EF 和EG 的值，进而可求得EM 与EN 的比值. (1) 请按照小明的思路写出求解过程.(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了DP MN =的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.（1）解：过E 作直线平行于BC 交DC ，AB 分别于点F ，G ，则DF DE FC EP =，EM EFEN EG=，12GF BC ==. ∵DE EP =，∴DF FC =. ··················· 2分∴116322EF CP ==⨯=，12315EG GF EF =+=+=. ∴31155EM EF EN EG ===. ····················· 4分 （2）证明：作MH ∥BC 交AB 于点H ， ················· 5分则MH CB CD ==，90MHN ∠=︒. ∵1809090DCP ∠=︒-︒=︒， ∴DCP MHN ∠=∠.∵90MNH CMN DME CDP ∠=∠=∠=︒-∠，90DPC CDP ∠=︒-∠， ∴DPC MNH ∠=∠.∴DPC MNH ∆≅∆. ············ 7分(第22题)∴DP MN . ························ 8分3. （2011某某威海，24，11分）如图，ABCD 是一X 矩形纸片，AD =BC =1,AB =CD =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与D N 交于点K ，得到△MNK ．（1）若∠1=70°，求∠MNK 的度数． （2）△MNK 的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由． （3）如何折叠能够使△MNK 的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，求出最大值．（备用图）【答案】 解：∵ABCD 是矩形， ∴AM ∥DN ， ∴∠KNM =∠1． ∵∠KMN =∠1， ∴∠KNM =∠KMN ． ∵∠1=70°，(第22题)H BCDEMNA P∴∠KNM =∠KMN =70°． ∴∠MNK =40°． （2）不能．过M 点作ME ⊥DN ，垂足为点E ，则ME =AD =1, 由（1）知∠KNM =∠KMN ． ∴MK =NK ． 又MK ≥ME , ∴NK ≥1．∴1122MNK S NK ME ∆=⋅≥． ∴△MNK 的面积最小值为12，不可能小于12．（3）分两种情况：情况一：将矩形纸片对折，使点B 与点D 重合，此时点K 也与点D 重合． 设MK =MD =x ，则AM =5-x ，由勾股定理，得2221(5)x x +-=,解得， 2.6x =． 即 2.6MD ND ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． （情况一） 情况二：将矩形纸片沿对角线AC 对折，此时折痕为AC ． 设MK =AK =CK =x ，则DK =5-x ，同理可得 即 2.6MK NK ==． ∴11 2.6 1.32MNK ACK S S ∆∆==⨯⨯=． ∴△MNK 的面积最大值为1.3． （情况二）4. （2011某某某某，24,10分）已知：如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，CD ⊥AD ，AD 2＋CD 2＝2AB 2．（1）求证：AB ＝BC ；（2）当BE ⊥AD 于E 时，试证明：BE ＝AE ＋CD ．【答案】（1）证明：连接AC ， ∵∠ABC ＝90°， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∵CD ⊥AD ，∴AD 2＋CD 2＝AC 2.∵AD 2＋CD 2＝2AB 2，∴AB 2＋BC 2＝2AB 2， ∴AB ＝BC .（2）证明：过C 作CF ⊥BE 于F . ∵BE ⊥AD ，∴四边形CDEF 是矩形. ∴CD ＝EF .∵∠ABE ＋∠BAE ＝90°，∠ABE ＋∠CBF ＝90°， ∴∠BAE ＝∠CBF ，∴△BAE ≌△CBF . ∴AE ＝BF .∴BE ＝BF ＋EF ＝AE ＋CD . 4. （2011某某襄阳，21，6分）如图6，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，连接AD ，AE . ①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE .以此三个等式中的两个作为命题的题设，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.（1）以上三个命题是真命题的为（直接作答）；（2）请选择一个真命题进行证明（先写出所选命题，然后证明）.【答案】（1）①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①. ········· 3分 （2）（略） 6分E DCB A图6开放探究型问题一、填空题1、（2011年四中模拟28）两个不相等．．．．．的无理数，它们的乘积为有理数，这两个数可以是． 答案：略二、解答题1．在等边ABC ∆的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC. 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系及AMN ∆的周长Q 与等边ABC ∆的周长L 的关系．图1 图2 图3（I ）如图1，当点M 、N 边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是； 此时=LQ； （II ）如图2，点M 、N 边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想（I ）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III ） 如图3，当M 、N 分别在边AB 、CA 的延长线上时， 若AN=x ，则Q=（用x 、L 表示）．PT 与MN 交于点3Q ，3Q 点的坐标是（a ，3122+a ）． 解：（I ）如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ．此时32=L Q ． （II ）猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．CD BD =,且 120=∠BDC ．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又ABC ∆是等边三角形，∴90MBD NCD ∠=∠=．在MBD ∆与ECD ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DC BD ECD MBD CE BM ∴≅∆MBD ECD ∆(SAS) ．∴DM=DE, CDE BDM ∠=∠ ∴ 60=∠-∠=∠MDN BDC EDN在MDN ∆与EDN ∆中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ∴≅∆MDN EDN ∆(SAS) ∴MN=NE=NC+BMAMN ∆的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NC+BM)=(AM+BM)+(AN+NC) =AB+AC =2AB而等边ABC ∆的周长L=3AB∴3232==AB AB L Q . （III ）如图3，当M 、N 分别在AB 、CA 的延长线上时，若AN=x ，则Q=2x +L 32（用x 、L 表示）．Ｂ组解答题1．（2011 天一实验学校 二模）已知：如图，直线l ：13y x b =+，经过点M(0,41)，一组抛物线的顶点112233(1)(2)(3)()n n B y B y B y B n y ，，，，，，，，（n 为正整数）依次是直线l 上的点，这组抛物线与x 轴正半轴的交点依次是：A 1（x 1,0）, A 2（x 2,0）, A 3（x 3,0）,……A n+1（x n+1,0）（n 为正整数），设101x d d =<<（）．（1）求b 的值；（2）求经过点112A B A 、、的抛物线的解析式（用含d 的代数式表示）（3）定义：若抛物线的顶点与x 轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．探究：当01d d <<（）的大小变化时，这组抛物线中是否存在美丽抛物线？若存在，请你求出相应的d 的值．答案：⑴∵M(0,)41在直线y=31x+b 上， ∴b=41 ⑵由⑴得y=31x+41,∵B 1(1,y 1)在直线l 上，∴当x=1时，y 1=31×1+41=127∴B 1(1,127) 又∵A 1(d,0) A 2(2-d,0) 设y=a(x-d)(x-2+d),把B 1(1,127)代入得：a=-2)1(127-d∴过A 1、B 1、A 2三点的抛物线解析式为y=-2)1(127-d (x-d)(x-2+d) (或写出顶点式为y=-2)1(127-d (x-1)2+127)⑶存在美丽抛物线。
2012年中考复习考点跟踪训练《分类讨论问题》
2012年中考复习考点跟踪训练（四十四）《分类讨论问题》一、选择题1．如图，点A 的坐标是(2,2)，若点P 在x 轴上，且△APO 是等腰三角形，则点P 的坐标不可能是( )A ．(4,0)B ．(1,0)C ．(－2 2，0)D ．(2,0) 答案 B解析 当P 点坐标为(4,0)时，点A 在OP 的中垂线上，OA ＝P A ；当P 点坐标为(－2 2，0)时，OP ＝OA ＝2 2；当P 点坐标为(2,0)时，OP ＝AP ＝2，所以P 点坐标不可能为(1,0)．2．若函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2(x ≤2)，2x (x ＞2)，则当函数值y ＝8时，自变量x 的值是( )A ．±6B ．4C ．±6或4D ．4或－ 6 答案 D解析 当x ≤2时，x 2＋2＝8，x ＝±6(舍去6)；当x >2时，2x ＝8，x ＝4.综上，x ＝－6或x ＝4.3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，分别平行x 、y 轴的两直线a 、b 相交于点A (3,4)，连接OA ，若在直线a 上存在点P ，使△AOP 是等腰三角形，那么所有满足条件的点P 的坐标是( )A ．(8,4)B ．(8,4)或(－3,4)C ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)D ．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或⎝⎛⎭⎫－76，4 答案 D解析 ∵点A 的坐标为(3,4)，∴OA ＝32＋42＝5. 当AP ＝AO 时，可知P 1(－2,4)，P 2(8,4)，当OP ＝OA 时，可知P 3(－3,4)， 当PO ＝P A 时，设PO ＝P A ＝m .有(m －3)2＋42＝m 2，m ＝256，∴m －3＝76，P 4⎝⎛⎭⎫－76，4，故选D. 4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm 和3 cm 两部分，则这个矩形的面积为多少cm 2？( )A ．4B ．12C ．4或12D ．6或8 答案 C解析 如图①，S 矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，S 矩形＝3×(3＋1)＝12，故选C.5．若正比例函数y ＝2kx 与反比例函数y ＝kx(k ≠0)的图象交于点A (m,1)，则k 的值是( )A ．－2或 2B ．－22或22C.22D. 2 答案 B解析 A (m,1)代入y ＝k x 中，得m ＝k ，代入y ＝2kx 中，得2k 2＝1，k 2＝12，所以k ＝±22.二、填空题6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为______________．答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°解析 当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为180°－70°2＝55°.7．如图所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，AD ＝AB ＝6，BC ＝14，点M 是线段BC 上一定点，且MC ＝8.动点P 从C 点出发沿C →D →A →B 的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使△PMC 为等腰三角形的点P 有________个．答案 4解析 当MC 为底边时，MC 的中垂线交CD 于一点P ，该点能满足PM ＝PC ；当MC 为腰时，分别以C 、M 为圆心，MC 长为半径画圆，⊙C 与CD 交于一点P ，⊙M 与AB 、AD 各有一个交点，因此，满足条件的点P 有4个．8．在△ABC 中 ，AB ＝AC ＝12 cm ，BC ＝6 cm ，D 为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1 cm 的速度沿B →A →C 的方向运动，设运动的时间为t 秒，过D 、P 两点的直线将△ABC 的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t 的值为________．答案 11或13解析 当0<t ≤12时，点P 在AB 上，2(t ＋3)＝12＋3＋(12－t )，t ＝11；当12<t <24时，点P 在AC 上，2[3＋(24－t )]＝3＋12＋t ，解得t ＝13.9．(2010·上海)已知正方形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ＝2，EC ＝1，如图所示．把线段AE 绕点A 旋转，使点E 落在直线BC 上的点F 处，则F 、C 两点的距离为_______．答案 1或5解析 题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线BC 上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到F 1点，则F 1C ＝1；旋转得到F 2点，则F 2B ＝DE ＝2，F 2C ＝F 2B ＋BC ＝5.10．如图，点A 、B 在直线MN 上， AB ＝11 cm ，⊙A 、⊙B 的半径均为1 cm ，⊙A 以每秒2 cm 的速度自左向右运动，与此同时，⊙B 的半径也不断增大，其半径r (cm)与时间t (秒)之间的关系式为r ＝1＋t (t ≥0)，当点A 出发后________秒两圆相切．答案 3或113或11或13解析 两圆相切可分为如下四种情况： ①当两圆第一次外切，由题意， 可得11－2t ＝1＋1＋t ，t ＝3； ②当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t ＝1＋t －1，t ＝113；③当两圆第二次内切，由题意， 可得2t －11＝1＋t －1，t ＝11； ④当两圆第二次外切，由题意， 可得2t －11＝1＋t ＋1，t ＝13.所以，点A 出发后3秒或113秒或11秒或13秒两圆相切．三、解答题 11．(2010·柳州)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC ＝2 cm ，F 是弦BC 的中点，∠ABC ＝60°.若动点E 以2 cm/s 的速度从A 点出发沿着A →B →A 方向运动，设运动时间为t (s)(0≤t <3)，连接EF ，当t 值为多少时，△BEF 是直角三角形．解 ∵AB 是⊙O 的直径， ∠ABC ＝60°， ∴∠C ＝90°，AB ＝2BC ＝4. 当∠BFE ＝90°时， ∵F 是BC 中点，∴BF ＝12×2＝1.在Rt △BEF 中，∠B ＝60°，∴BE ＝2BF ＝2×1＝2，AE ＝4－2＝2. 又∵AE ＝2t ，∴2t ＝2，t ＝1. 当∠BEF ＝90°时，在Rt △BEF 时，BE ＝12BF ＝12，∴AE ＝4－12＝312，∴2t ＝312，t ＝1.75.同样，当t ＝1.75＋12＝2.25时，∠BEF ＝90°.综上，t ＝1或1.75或2.25. 12．(2011·南通)已知A (1,0)，B (0，－1)，C (－1,2)，D (2，－1)，E (4,2)五个点，抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，经过其中三个点．(1)求证：C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上； (2)点A 在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上吗？为什么？ (3)求a 和k 的值．解 (1)证明：将C ，E 两点的坐标代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋k ＝2，9a ＋k ＝2，解得a＝0，∴与条件a ＞0不符，∴C 、E 两点不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． (2)解法一：∵A 、C 、D 三点共线(如下图)，∴A 、C 、D 三点也不可能同时在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上． ∴同时在抛物线上的三点有如下六种可能： ①A 、B 、C ； ②A 、B 、E ； ③A 、B 、D ； ④A 、D 、E ； ⑤B 、C 、D ； ⑥B 、D 、E .将①、②、③、④四种情况(都含A 点)的三点坐标分别代入y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)，解得：①无解；②无解；③a ＝－1，与条件不符，舍去；④无解．所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．解法二：抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点为(1，k )，假设抛物线过A (1,0)，则点A 必为抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点A 、B 、C 、D 、E 中的三点，所以必过x 轴上方的另外两点C 、E ，这与(1)矛盾，所以A 点不可能在抛物线y ＝a (x －1)2＋k (a ＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤B 、C 、D 三点时，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋k ＝－1，4a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2. ②当抛物线经过(2)中⑥B 、D 、E 三点时，同法可求：⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.综上，a 和k 的值为⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，k ＝－2或⎩⎨⎧a ＝38，k ＝－118.13．(2011·贵阳)【阅读】在平面直角坐标系中，以任意两点P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)为端点的线段中点坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)． 【运用】(1)如图，矩形ONEF 的对角线交于点M ，ON 、OF 分别在x 轴和y 轴上，O 为坐标原点，点E 的坐标为(4,3)，则点M 的坐标为__________；(2)在直角坐标系中，有A (－1,2)，B (3,1)，C (1,4)三点，另有一点D 与点A 、B 、C 构成平行四边形的顶点，求点D 的坐标．解 (1)∵四边形ONEF 是矩形， ∴点M 是OE 的中点． ∵O (0,0)，E (4,3)，∴点M 的坐标为(2，32)．(2)设点D 的坐标为(x ，y )．若以AB 为对角线，AC 、BC 为邻边构成平行四边形，则AB 、CD 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x 2＝－1＋32，4＋y 2＝2＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1.若以BC 为对角线，AB 、AC 为邻边构成平行四边形，则AD 、BC 的中点重合， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋x 2＝1＋32，2＋y 2＝4＋12，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.若以AC 为对角线，AB 、BC 为邻边构成平行四边形，则BD 、AC 的中点重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋x 2＝－1＋12，1＋y 2＝2＋42，解得，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝5.综上可知，点D 的坐标为(1，－1)或(5,3)或(－3,5)．。
(最新最全)2012年全国各地中考数学解析汇编(按章节考点整理)分3个考点精选48题)
（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第十一章 因式分解(分3个考点精选48题）11.1 提公因式法（2012北京，9，4）分解因式：269mn mn m ++= ．【解析】原式=m (n 2+6n +9)=m (n +3)2【答案】m (n +3)2【点评】本题考查了提公因式及完全平方的知识点。
（2012广州市，13， 3分）分解因式a 2－8a 。
【解析】提取公因式即可分解因式。
【答案】:a(a －8).【点评】本题考查了因式分解的方法。
比较简单。
（2012浙江省温州市，5，4分）把24a a -多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4a a -B. (2)(2)a a +-C. (2)(2)a a a +-D. 2(2)4a --【解析】分解因式按“一提二套”原则:有公因式的先提取公因式,再套用平方差公式或完全平方公式，本题可直接提公因式．【答案】A【点评】有公因式的要先提取公因式，然后再考虑运用平方差公式或完全平方公式进行分解.因式分解要分解到每个多项式因式都不能再分解为止，此题较基础．（湖南株洲市3,9）因式分解：22a a -= .【解析】22(2)a a a a -=-【答案】(2)a a -【点评】本题主要考查因式分解的常用方法及步骤：先提取公因式，再运用公式法进行分解． （2012四川成都，1l ，4分）分解因式：25x x -=________．解析：因式分解的基本方法是提取公因式法、公式法、分组分解法。
本题只有两项，所以，只能用提取公因式法和平方差公式法。
观察可知有公因式x ，提取公因式法分解为x(x-5)。
答案：x(x-5)。
点评：公因式的确定方法是：系数是各项系数的最大公约数，字母是各项都有的字母，指数取最小。
（2012湖北随州，11,4分）分解因式：249x -=______________________。
解析：22249(2)3(23)(23)x x x x -=-=+-。
2012年全国中考数学试题分类解析汇编开放探究型问题讲解
2012年全国中考数学试题分类解析汇编专题58：开放探究型问题一、选择题二、填空题1. （2012陕西省3分）在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y=2x+6-的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是▲ （只写出符合条件的一个即可）．【答案】5yx=（答案不唯一）。
【考点】开放型问题，反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系。
【分析】设反比例函数的解析式为：kyx=，联立y=2x+6-和kyx=，得k2x+6x-=，即22x6x+k0-=∵一次函数y=2x+6-与反比例函数kyx=图象无公共点，∴△＜0，即268k0< --（），解得k＞9 2。
∴只要选择一个大于92的k值即可。
如k=5，这个反比例函数的表达式是5yx=（答案不唯一）。
2. （2012广东湛江4分）请写出一个二元一次方程组▲ ，使它的解是x=2y=1⎧⎨-⎩．【答案】x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
【考点】二元一次方程的解。
【分析】根据二元一次方程解的定义，围绕x=2y=1⎧⎨-⎩列一组等式，例如：由x＋y=2＋（－1）=1得方程x＋y=1；由x－y=2－（－1）=3得方程x－y=3；由x＋2y=2＋2（－1）=0得方程x＋2y=0；由2x＋y=4＋（－1）=3得方程2x＋y=3；等等，任取两个组成方程组即可，如x+y=1x+2y=0⎧⎨⎩（答案不唯一）。
3. （2012广东梅州3分）春蕾数学兴趣小组用一块正方形木板在阳光做投影实验，这块正方形木板在地面上形成的投影是可能是▲ （写出符合题意的两个图形即可）【答案】正方形、菱形（答案不唯一）。
【考点】平行投影。
【分析】根据平行投影的特点：在同一时刻，平行物体的投影仍旧平行。
所以，在同一时刻，这块正方形木板在地面上形成的投影是平行四边形或特殊的平行四边形，例如，正方形、菱形（答案不唯一）。
4. （2012浙江衢州4分）试写出图象位于第二、四象限的一个反比例函数的解析式▲ ．【答案】1y=x-（答案不唯一）。
2012年中考数学二轮复习考点解密 开放探索性问题(含解析)
2012年中考数学二轮复习考点解密开放探索性问题第一部分讲解部分一、专题诠释开放探究型问题，可分为开放型问题和探究型问题两类．开放型问题是相对于有明确条件和明确结论的封闭型问题而言的，它是条件或结论给定不完全、答案不唯一的一类问题．这类试题已成为近年中考的热点，重在考查同学们分析、探索能力以及思维的发散性，但难度适中．根据其特征大致可分为：条件开放型、结论开放型、方法开放型和编制开放型等四类．探究型问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的一类问题．根据其特征大致可分为：条件探究型、结论探究型、规律探究型和存在性探究型等四类．二、解题策略与解法精讲由于开放探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．三、考点精讲（一）开放型问题考点一：条件开放型：条件开放题是指结论给定，条件未知或不全，需探求与结论相对应的条件．解这种开放问题的一般思路是：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，逆向追索，逐步探求．例1：（2011江苏淮安）在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.你添加的条件是.(写出一种即可)分析：已知两组对边相等，如果其对角线相等可得到△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，进而得到，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，使四边形ABCD是矩形．解：若四边形ABCD的对角线相等，则由AB=DC，AD=BC可得．△ABD≌△ABC≌ADC≌△BCD，所以四边形ABCD的四个内角相等分别等于90°即直角，所以四边形ABCD是矩形，故答案为：对角线相等．评注：此题属开放型题，考查的是矩形的判定，根据矩形的判定，关键是是要得到四个内角相等即直角．考点二：结论开放型：给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论并且符合条件的结论往往呈现多样性，这些问题都是结论开放问题．这类问题的解题思路是：充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、类比、联想、归纳，透彻分析出给定条件下可能存在的结论，然后经过论证作出取舍．例2：（2011天津）已知一次函数的图象经过点（0，1），且满足y随x的增大而增大，则该一次函数的解析式可以为．分析：先设出一次函数的解析式，再根据一次函数的图象经过点（0，1）可确定出b的值，再根据y随x的增大而增大确定出k的符号即可．解：设一次函数的解析式为：y=kx+b（k≠0），∵一次函数的图象经过点（0，1），∴b=1，∵y随x的增大而增大，∴k＞0，故答案为y=x+1（答案不唯一，可以是形如y=kx+1，k＞0的一次函数）．评注：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，k＞0，y随x的增大而增大，与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上．考点三：条件和结论都开放的问题：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，因此必须认真观察与思考，将已知的信息集中分析，挖掘问题成立的条件或特定条件下的结论，多方面、多角度、多层次探索条件和结论，并进行证明或判断．例3：（2010•玉溪）如图，在平行四边形ABCD中，E是AD的中点，请添加适当条件后，构造出一对全等的三角形，并说明理由．分析：先连接BE，再过D作DF∥BE交BC于F，可构造全等三角形△ABE和△CDF．利用ABCD是平行四边形，可得出两个条件，再结合DE∥BF，BE∥DF，又可得一个平行四边形，那么利用其性质，可得DE=BF，结合AD=BC，等量减等量差相等，可证AE=CF，利用SAS可证三角形全等．解：添加的条件是连接BE，过D作DF∥BE交BC于点F，构造的全等三角形是△ABE与△CDF ．理由：∵平行四边形ABCD ，AE=ED ，∴在△ABE 与△CDF 中，AB=CD ，∠EAB=∠FCD ，又∵DE ∥BF ，DF ∥BE ，∴四边形BFDE 是平行四边形，∴DE=BF ，又AD=BC ，∴AD ﹣DE=BC ﹣BF ，即AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF ．（答案不唯一，也可增加其它条件）评注：本题利用了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定、以及等量减等量差相等等知识．考点四：编制开放型：此类问题是指条件、结论、解题方法都不全或未知，而仅提供一种问题情境，需要我们补充条件，设计结论，寻求解法的一类题，它更具有开放性．例4：（2010年江苏盐城中考题）某校九年级两个班各为玉树地震灾区捐款1800元．已知2班比1班人均捐款多4元，2班的人数比1班的人数少10%．请你根据上述信息，就这两个班级的“人数”或“人均捐款”提出一个用分式方程．．．．解决的问题，并写出解题过程． 分析：本题的等量关系是：两班捐款数之和为1800元；2班捐款数-1班捐款数=4元；1班人数=2班人数×90%，从而提问解答即可．解：解法一：求两个班人均捐款各多少元？设1班人均捐款x 元，则2班人均捐款（x +4）元，根据题意得1800x ·90%=1800x +4解得x=36 经检验x=36是原方程的根∴x+4=40答：1班人均捐36元，2班人均捐40元解法二：求两个班人数各多少人？设1班有x人，则根据题意得1800x+4=180090x%解得x=50 ，经检验x=50是原方程的根∴90x % =45答：1班有50人，2班有45人．评注：对于此类编制开放型问题，是一类新型的开放型问题，它要求学生的思维较发散，写出符合题意的正确答案即可，难度要求不大，但学生容易犯想当然的错误，叙述不够准确，如单位的问题、符合实际等要求，在解题中应该注意防范．（二）探究型问题考点五：动态探索型：此类问题结论明确，而需探究发现使结论成立的条件的题目．例5：（2011•临沂）如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角扳的一边交CD于点F．另一边交CB的延长线于点G．（1）求证：EF=EG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由：（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若AB=a、BC=b，求EFEG的值．分析：（1）由∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，可得∠DEF=∠GEB，又由正方形的性质，可利用SAS证得Rt△FED≌Rt△GEB，则问题得证；（2）首先点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，然后利用SAS证得Rt△FEI ≌Rt△GEH，则问题得证；（3）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．解：（1）证明：∵∠GEB+∠BEF=90°，∠DEF+∠BEF=90°，∴∠DEF=∠GEB，又∵ED=BE，∴Rt△FED≌Rt△GEB，∴EF=EG；（2）成立．证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I，则EH=EI，∠HEI=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠IEF+∠HEF=90°，∴∠IEF=∠GEH，∴Rt△FEI≌Rt△GEH，∴EF=EG；（3）解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴,NE CE EM CE AD CA AB CA ==， ∴NE EM AD AB =，即NE AD b EM AB a ==， ∵∠IEF+∠FEM=∠GEM+∠FEM=90°，∴∠GEM=∠FEN ，∵∠GME=∠FNE=90°，∴△GME ∽△FNE ，∴EF EN EG EM=， ∴EF b EG a =． 评注：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．考点六：结论探究型：此类问题给定条件但无明确结论或结论不惟一，而需探索发现与之相应的结论的题目． 例6：（2011福建省三明市）在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1．将直角尺的顶点放在P 处，直角尺的两边分别交AB ，BC 于点E ，F ，连接EF （如图①）．（1）当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合（如图②），求PC 的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 和点A 重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan ∠PEF 的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF 的中点经过的路线长．分析：（1）由勾股定理求PB ，利用互余关系证明△APB ∽△DCP ，利用相似比求PC ；（2）tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APB∽△DCP，得相似比PF GFPE AP==21=2，再利用锐角三角函数的定义求值；（3）如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线．解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，则PB=5，∴∠ABP+∠APB=90°，又∵∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∴∠ABP=∠DPC，∴△APB∽△DCP，∴AP PBCD PC=即152PC=，∴PC=25；（2）tan∠PEF的值不变．理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，∴∠A=∠PFG=90°，GF=AB=2，∴∠AEP+∠APE=90°，又∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠GPF=90°，∴∠AEP=∠GPF，∴△APE∽△GPF，∴PF GFPE AP==21=2，∴Rt △EPF 中，tan ∠PEF =PF PE=2， ∴tan ∠PEF 的值不变； （3）线段EF 的中点经过的路线长为5．评注：本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形．考点七：规律探究型：规律探索问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题，解决这类问题的一般思路是通过对所给的具体的结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现其变化的规律，并猜想出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以运用. 例7：（2011四川成都）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解：∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ， ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n 故答案为： 122++n n n 评注：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．考点八：存在探索型：此类问题在一定的条件下，需探究发现某种数学关系是否存在的题目．例8：（2011辽宁大连）如图15，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （－1，0）、B （3，0）、C （0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P 、与直线BC 相交于点M ，连接PB ．（1）求该抛物线的解析式；（2）抛物线上是否存在一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等，若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由；（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RPM 与△RMB 的面积相等，若存在，直接写出点R 的坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）利用待定系数法求解；（2）若想求Q 点坐标，Q 到MB 的距离应该等于P 到MB 的距离，所以Q 点应该在经过P 点且平行于BM 的直线上，或者在这条直线关于BM 对称的直线上，因此，求出这两条直线的解析式，其与抛物线的交点即为所求Q 点；（3）设出R 点坐标，分别用其横坐标表示出△RPM 与△RMB 的面积，利用相等列出方程即可求出R 点坐标．解：（1）322++-=x x y（2）∵4)1(2+--=x y ∴P （1，4）BC ：3+-=x y ，M （1，2）P （1，4）；PB ：62+-=x y ，当PQ ∥BC 时：设PQ 1：b x y +-=∵P （1，4）在直线PQ 上b +-=14；5=b∴PQ 1：5+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3252x x y x y 解得⎩⎨⎧==4111y x ，⎩⎨⎧==3222y x ∴1Q ：（2，3）；将PQ 向下平移4个单位得到1+-=x y⎩⎨⎧++-=+-=3212x x y x y解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=2171217311y x ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=+=2171217311y x ∴2Q ：（2173-，2171+-）；3Q ：（2173+，2171--）xx ，322++-x x ）∵P （1，4），M （1，2）∴ 224=-=PM()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR x x x x x RN 3)3()32(22+-=+--++-=()11221-=-⨯⨯=∆x x S PQR ∵x x x 312+-=- 解得121+=x ，122+-=x （舍） ∴当12+=x 时，24)121(2=+-+-=y∴R （12+，2）x评注：求面积相等问题通常是利用过顶点的平行线完成；在表示面积问题时，对于边不在特殊线上的通常要分割．四、真题演练1．（2011山东潍坊）一个y 关于x 的函数同时满足两个条件：①图象过(2，1)点；②当0x 时．y 随x 的增大而减小，这个函数解析式为_______________ (写出一个即可)2．（2011山西）如图，四边形ABCD 是平行四边形，添加一．个．条件：___________ _______________________，可使它成为矩形．3．（2011•泰州）“一根弹簧原长10cm ，在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比，，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x （kg ）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）．”王刚同学在阅读上面材料时发现部分内容被墨迹污染，被污染的部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出1个）．3．（4．（2011广西百色）已知矩形ABCD 的对角线相交于点O ，M 、N 分别是OD 、OC 上异于O 、C 、D 的点．（1）请你在下列条件①DM =CN ，②OM =ON ，③MN 是△OCD 的中位线，④MN ∥AB 中任选一个添加条件（或添加一个你认为更满意的其他条件），使四边形ABNM 为等腰梯形，你添加的条件是 ．（2）添加条件后，请证明四边形ABNM 是等腰梯形．（第14题） ACDo第二部分练习部分1．（2011•贺州）写出一个正比例函数，使其图象经过第二、四象限：y=﹣x（答案不唯一）．分析：先设出此正比例函数的解析式，再根据正比例函数的图象经过二、四象限确定出k的符号，再写出符合条件的正比例函数即可．解答：解：2．（2011•湖南张家界）在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC 与△DEF相似，则需添加的一个条件是（写出一种情况即可）．分析：解答：解：则需添加的一个条件是：BC：EF=2：1．∵在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，∴AB：DE=2：1，AC：DF=2：1，∵BC：EF=2：1．∴△ABC∽△DEF．故答案为：．3．（2010江苏连云港中考题）若关于x的方程x2－mx＋3＝0有实数根，则m的值可以为___________．(任意给出一个符合条件的值即可)4．（2011广东湛江）如图，点B，C，F，E在同直线上，∠1=∠2，BC=EF，∠1 _______（填“是”或“不是”）∠2的对顶角，要使△ABC ≌△DEF ，还需添加一个条件，可以是 _______（只需写出一个）5．（2011福建省漳州市，19,8分）如图，∠B =∠D ，请在不增加辅助线的情况下，添加一个适当的条件，使△ABC ≌△ADE ，并证明．（1）添加的条件是 ；（2）证明：6．（2010浙江杭州中考题）给出下列命题：命题1． 点(1,1)是直线y ＝ x 与双曲线y ＝x 1的一个交点; 命题2． 点(2,4)是直线y ＝ 2x 与双曲线y ＝x 8的一个交点; 命题3． 点(3,9)是直线y ＝ 3x 与双曲线y ＝x27的一个交点; … … ．（1）请观察上面命题，猜想出命题n (n 是正整数);（2）证明你猜想的命题n 是正确的．7．（2011•德州）●观察计算当a=5，b=3时，2a b +与ab 的大小关系是2a b +＞ab ． 当a=4，b=4时，2a b +与ab 的大小关系是2a b +=ab ．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD=a ，BD=b ．（1）分别用a ，b 表示线段OC ，CD ；（2）探求OC 与CD 表达式之间存在的关系（用含a ，b 的式子表示）．●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出2a b +与ab 的大小关系是：2a b +≥ab ． ●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．8．（2011浙江绍兴）数学课上，李老师出示了如下框中的题目．在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，点D在CB 的延长线上，且ED=EC ，如图．试确定线段AE 与DB 的大小关系，并说明理由．小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：（1）特殊情况•探索结论当点E 为AB 的中点时，如图1，确定线段AE 与的DB 大小关系．请你直接写出结论：AE = DB （填“＞”，“＜”或“=”）．（2）特例启发，解答題目解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE=DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你完成以下解答过程）（3）拓展结论，设计新题在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．★“真题演练”参考答案★1．【分析】本题的函数没有指定是什么具体的函数，可以从一次函数，反比例函数，二次函数三方面考虑，只要符合条件①②即可．【答案】符合题意的函数解析式可以是y= 2x，y=-x+3，y=-x2+5等，（本题答案不唯一）故答案为：y=2x，y=-x+3，y=-x2+5等．2．【分析】：由有一个角是直角的平行四边形是矩形．想到添加∠ABC＝90°；由对角线相等的平行四边形是矩形．想到添加AC＝BD．【答案】∠ABC＝90°（或AC＝BD等）3．解：根据弹簧的总长度y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式为y=10+0.5x （0≤x≤5）可以得到：当x=1时，弹簧总长为10.5cm，当x=2时，弹簧总长为11cm，…∴每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ，故答案为：每增加1千克重物弹簧伸长0.5cm ．4．解：（1）选择①DM =CN ；（2）证明：∵AD =BC ，∠ADM =∠BCN ，DM =CN∴△AND ≌△BCN ，∴AM =BN ，由OD =OC 知OM =ON ， ∴OCON OD OM = ∴MN ∥CD ∥AB ，且MN ≠AB∴四边形ABNM 是等腰梯形．★“练习部分”参考答案★1．【分析】设此正比例函数的解析式为y=kx （k≠0），∵此正比例函数的图象经过二、四象限，∴k ＜0，∴符合条件的正比例函数解析式可以为：y=﹣x （答案不唯一）．【答案】故答案为：y=﹣x （答案不唯一）．2．【分析】因为两三角形三边对应成比例，那么这两个三角形就相似，从题目知道有两组个对应边的比为2：1，所以第三组也满足这个比例即可．【答案】BC ：EF=2：13．【分析】由于这个方程有实数根，因此⊿＝()22241212b a m m -=--=-≥0，即m 2≥12．【答案】答案不唯一，所填写的数值只要满足m 2≥12即可，如4等4．【分析】根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角．要使△ABC ≌△DEF ，已知∠1=∠2，BC=EF ，则只需补充AC=FD 或∠BAC=∠FED 都可，答案不唯一．【答案】解：根据对顶角的意义可判断∠1不是∠2的对顶角故填：不是．添加AC=FD 或∠BAC=∠FED 后可分别根据SAS 、AAS 判定△ABC ≌△DEF ，故答案为：AC=FD ，答案不唯一．5．解：（1）添加的条件是：AB =AD ，答案不唯一；（2）证明：在△ABC 和△ADE 中，∠B =∠D ，AB =AD ，∠A =∠A ，∴△ABC ≌△ADE ．6．(1)命题n ；点(n , n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点(n 是正整数)． (2)把 ⎩⎨⎧==2n y nx 代入y = nx ，左边= n 2，右边= n ·n = n 2，∵左边=右边，∴点(n ，n 2)在直线上．同理可证：点(n ，n 2)在双曲线上，∴点(n ，n 2)是直线y = nx 与双曲线y =x n 3的一个交点，命题正确．7．解：●观察计算：2a b +2a b + ●探究证明：（1）∵AB=AD+BD=2OC ，∴OC=2a b +. ∵AB 为⊙O 直径，∴∠ACB=90°．∵∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD ．∴△ACD ∽△CBD ．（4分） ∴AD CD CD BD=． 即CD 2=AD•BD=ab ，∴CD=ab ．（5分） （2）当a=b 时，OC=CD ，2a b +=ab ； a≠b 时，OC ＞CD ，2a b +＞ab ． ●结论归纳：2a b +≥ab ． ●实践应用设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x米，设镜框周长为l 米，则112()4l x x x x=+≥⋅=4. 当x=1x，即x=1（米）时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4米．8．解：（1）故答案为：=．（2）故答案为：=．证明：在等边△ABC 中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC ，∵EF ∥BC ，∴∠AEF=∠AFE=60°=∠BAC ，∴AE=AF=EF ，∴AB ﹣AE=AC ﹣AF ，即BE=CF ，∵∠ABC=∠EDB+∠BED=60°，∠ACB=∠ECB+∠FCE=60°，∵ED=EC ，∴∠EDB=∠ECB，∴∠BED=∠FCE，∴△DBE≌△EFC，∴DB=EF，∴AE=BD．（3）答：CD的长是1或3．。
2012年各地中考数学 压轴题精选41~50(解析版)
2012年各地中考数学压轴题精选41~50_解析版【41.2012某某】26．如图半径分别为m，n（0＜m＜n）的两圆⊙O1和⊙O2相交于P，Q两点，且点P（4，1），两圆同时与两坐标轴相切，⊙O1与x轴，y轴分别切于点M，点N，⊙O2与x轴，y轴分别切于点R，点H．（1）求两圆的圆心O1，O2所在直线的解析式；（2）求两圆的圆心O1，O2之间的距离d；（3）令四边形PO1QO2的面积为S1，四边形RMO1O2的面积为S2．试探究：是否存在一条经过P，Q两点、开口向下，且在x轴上截得的线段长为的抛物线？若存在，请求出此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）由题意可知O1（m，m），O2（n，n），设过点O1，O2的直线解析式为y=kx+b，则有：（0＜m＜n），解得，∴所求直线的解析式为：y=x．（2）由相交两圆的性质，可知P、Q点关于O1O2对称．∵P（4，1），直线O1O2解析式为y=x，∴Q（1，4）．如解答图1，连接O1Q．∵Q（1，4），O1（m，m），根据两点间距离公式得到：O1Q==又O1Q为小圆半径，即QO1=m，∴=m，化简得：m2﹣10m+17=0 ①如解答图1，连接O2Q，同理可得：n2﹣10n+17=0 ②由①，②式可知，m、n是一元二次方程x2﹣10x+17=0 ③的两个根，解③得：x=5±，∵0＜m＜n，∴m=5﹣，n=5+．∵O1（m，m），O2（n，n），∴d=O1O2==8．（3）假设存在这样的抛物线，其解析式为y=ax2+bx+c，因为开口向下，所以a＜0．如解答图2，连接PQ．由相交两圆性质可知，PQ⊥O1O2．∵P（4，1），Q（1，4），∴PQ==，又O1O2=8，∴S1=PQ•O1O2=××8=；又S2=（O2R+O1M）•MR=（n+m）（n﹣m）=；∴==1，即抛物线在x轴上截得的线段长为1．∵抛物线过点P（4，1），Q（1，4），∴，解得，∴抛物线解析式为：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，令y=0，则有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0，设两根为x1，x2，则有：x1+x2=，x1x2=，∵在x轴上截得的线段长为1，即|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，即（）2﹣4（）=1，化简得：8a2﹣10a+1=0，解得a=，可见a的两个根均大于0，这与抛物线开口向下（即a＜0）矛盾，∴不存在这样的抛物线．【42. 2012六盘水】25．如图1，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A 匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．解答下列问题：（1）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．考点：相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用；二次函数的最值；勾股定理；勾股定理的逆定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）。
全国各地2012年中考数学分类解析40;159套63专题41;_专题18_反比例函数的图像和性质
2012年全国中考数学试卷分类解读汇编(159套63专题）专题18：反比例函数地图像和性质一、选择题1. （2012广东湛江4分）已知长方形地面积为20cm2，设该长方形一边长为ycm ，另一边地长为xcm ，则y 与x 之间地函数图象大致是【 】A ． B ． C ． D ．【答案】B.【考点】反比例函数地性质和图象. 【分析】∵根据题意，得xy=20，∴()20y=x>0,y>0x.故选B. 2. （2012浙江台州4分）点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6y=x地图象上，则y1，y2，y3地大小关系是【 】A ．y3＜y2＜y1B ．y2＜y3＜y1C ．y1＜y2＜y3D ．y1＜y3＜y2【答案】D.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系，有理数地大小比较. 【分析】由点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）均在函数6y=x地图象上，得y1=－6，y2=3，y3=2.根据有理数地大小关系，－6＜2＜3，从而y1＜y3＜y2.故选D.3. （2012江苏淮安3分）已知反比例函数m 1y x-=地图象如图所示，则实数m 地取值范围是【 】A 、m>1B 、m>0C 、m<1D 、m<0 【答案】A.【考点】反比例函数地性质. 【分析】根据反比例函数()ky=k 0x≠地性质：当图象分别位于第一、三象限时，0k ＞；当图象分别位于第二、四象限时，0k ＜：∵图象两个分支分别位于第一、三象限，∴反比例函数m 1y x-=地系数m 10>-，即m>1.故选A.4. （2012江苏南通3分）已知点A(－1，y1)、B(2，y2)都在双曲线y ＝ 3＋2mx 上，且y1＞y2，则m 地取值范围是【 】A ．m ＜0 B ．m ＞0 C ．m ＞－ 3 2 D ．m ＜－ 32【答案】D.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系，解一元一次不等式.【分析】将A （－1，y1），B （2，y2）两点分别代入双曲线y= 3＋2mx ，求出 y1与y2地表达式：1232my 2m 3 y 2+=--=， . 由y1＞y2得，2m2m 323>+--，解得m ＜－ 3 2.故选D. 5. （2012福建南平4分）已知反比例函数1y x =地图象上有两点A （1，m ）、B （2，n ）．则m 与n 地大小关系为【 】A ．m ＞n B ．m ＜n C ．m=n D ．不能确定 【答案】A.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征 【分析】∵反比例函数1y x=中k=1＞0，∴此函数地图象在一、三象限. ∵0＜1＜2，∴A 、B 两点均在第一象限.∵在第一象限内y 随x 地增大而减小，∴m ＞n.故选A.6. （2012湖北荆门3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数k 1y=x-地解读式为【 】A ．1y=x B ． 3y=x - C ． 1y=x 或3y=x - D ．2y=x或2y=x -【答案】C.【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解读式. 【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴k=±2.把k=±2分别代入反比例函数k 1y=x -地解读式得：1y=x或3y=x -.故选C. 7. （2012湖北荆州3分）如图，点A 是反比例函数2y=x（x ＞0）地图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数3y=x-地图象于点B ，以AB 为边作▱ABCD ，其中C 、D 在x 轴上，则S □ABCD 为【 】A ． 2B ． 3C ． 4D ． 5 【答案】D.【考点】反比例函数综合题，曲线上点地坐标与方程地关系，平行四边形地性质. 【分析】设A 地纵坐标是a ，则B 地纵坐标也是a ．把y=a 代入2y=x得，2a=x ，则2x=a ，，即A 地横坐标是2a ；同理可得：B 地横坐标是：3a -.∴AB=235=a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴S □ABCD=5a×a=5.故选D. 8. （2012湖北孝感3分）若正比例函数y ＝－2x 与反比例函数ky=x地图象地一个交点坐标为(－1，2)， 则另一个交点地坐标为【 】A ．(2，－1)B ．(1，－2)C ．(－2，－1)D ． (－2，1)【答案】B.【考点】反比例函数图象地对称性.【分析】根据正比例函数与反比例函数地交点关于原点对称进行解答即可：∵正比例函数与反比例函数地图象均关于原点对称，∴两函数地交点关于原点对称. ∵一个交点地坐标是（－1，2），∴另一个交点地坐标是（1，－2）.故选B.9. （2012湖南常德3分）对于函数6y x=，下列说法错误地是【 】 A. 它地图像分布在一、三象限 B. 它地图像既是轴对称图形又是中心对称图形 C. 当x>0时，y 地值随x 地增大而增大 D. 当x<0时，y 地值随x 地增大而减小 【答案】C.【考点】反比例函数地性质，轴对称图形，中心对称图形.【分析】根据反比例函数地性质对四个选项进行逐一分析即可：A 、∵函数6y x =中k=6＞0，∴此函数图象地两个分支分别在一、三象限，故本选项正确； B 、∵函数6y x=是反比例函数，∴它地图象既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；C 、∵当x ＞0时，函数地图象在第一象限，∴y 地值随x 地增大而减小，故本选项错误；D 、∵当x ＜0时，函数地图象在第三象限，∴y 地值随x 地增大而增大，故本选项正确.故选C.10. （2012湖南娄底3分）已知反比例函数地图象经过点（﹣1，2），则它地解读式是【 】 A ．1y 2x =- B ．2y x =- C ． 2y x = D ． 1y x= 【答案】B.【考点】待定系数法求反比例函数解读式，曲线上点地坐标与方程地关系. 【分析】设反比例函数图象设解读式为ky x=， 将点（﹣1，2）代入k y x =得，k=﹣1×2=﹣2.则函数解读式为2y x=-.故选B. 11. （2012四川内江3分）已知反比例函数xky=地图像经过点（1，－2），则k 地值为【 】 A.2 B.21- C.1 D.－2 【答案】D.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】根据点在曲线上，点地坐标满足方程地关系，得221kk -=⇒=-，故选D. 12. （2012四川自贡3分）若反比例函数1y x=地图像上有两点11(1,y )P 和22(2,y )P ，那么【 】 A ．21y y 0<< B ．12y y 0<<C ．21y y 0>>D ．12y y 0>>【答案】D.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系. 【分析】把点P1（1，y1）代入反比例函数1y x =得，y1=1；把点P2（2，y2）代入反比例函数1y x=得，y2=12.∵1＞12＞0，∴y1＞y2＞0.故选D. 13. （2012辽宁鞍山3分）如图，点A 在反比例函数()3y=x 0x>地图象上，点B 在反比例函数()ky=x 0x>地图象上，AB ⊥x 轴于点M ，且AM ：MB=1：2，则k 地值为【 】A ． 3B ．－6C ．2D ．6 【答案】B.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征. 【分析】如图，连接OA 、OB ．∵点A 在反比例函数()3y=x 0x>地图象上，点B 在反比例函数()ky=x 0x>地图象上，AB ⊥x 轴于点M ， ∴S △AOM=32，S △BOM=k 2.∴S △AOM ：S △BOM=32：k 2=3：|k|.∵S △AOM ：S △BOM=AM ：MB=1：2，∴3：|k|=1：2.∴|k|=6.∵反比例函数()ky=x 0x>地图象在第四象限，∴k ＜0.∴k=－6.故选B. 14. （2012辽宁本溪3分）如图，已知点A 在反比例函数4y=x 图象上，点B 在反比例函数ky=x(k≠0)地图象上，AB ∥x 轴，分别过点A 、B 向x 轴作垂线，垂足分别为C 、D ，若OC=13OD ，则k 地值为【 】A 、10B 、12C 、14D 、16 【答案】B.【考点】反比例函数地图象和性质. 【分析】由已知，设点A （x ，4x ），∵OC=13OD ，∴B （3x ，k 3x）. ∴4k=x 3x，解得k=12.故选B. 15. （2012山东菏泽3分）反比例函数2=y x地两个点为11(,)x y 、22(,)x y ，且12x x >，则下式关系成立地是【 】A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．不能确定 【答案】D.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征. 【分析】∵反比例函数2=y x中，k =2＞0，∴函数地图象在一、三象限，在每个象限内，函数值随自变量地增加而减小.∴当12x >x 时，①若两点在同一象限内，则21y >y ；②若两点不在同一象限内，21y <y . 故选D.16. （2012山东青岛3分）点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)都在反比例函数3y=x-地图象上，且x1＜x2＜0＜x3，则y1、y2、y3地大小关系是【 】A ．y3＜y1＜y2B ．y1＜y2＜y3C ．y3＜y2＜y1D ．y2＜y1＜y3【答案】A.【考点】反比例函数地图象和性质. 【分析】作出反比例函数3y=x-地图象（如图），即可作出判断：∵－3＜0， ∴反比例函数3y=x-地图象在二、四象限，y 随x 地增大而增大，且当x ＜0时，y ＞0；当x ＞0时，y ＜0. ∴当x1＜x2＜0＜x3时，y3＜y1＜y2.故选A.17. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜地度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片地焦距为0.25m ，则y 与x 地函数关系式为【 】A ．400y=xB ．1y=4xC ．100y=xD ．1y=400x【答案】C.【考点】根据实际问题列反比例函数关系式，曲线上点地坐标与方程地关系. 【分析】设出反比例函数解读式，把(0.25，400)代入即可求解：设ky=x ，∵400度近视眼镜镜片地焦距为0.25m ，∴k ＝0.25×400＝100. ∴100y=x.故选C.18. （2012甘肃兰州4分）在反比例函数()k y=k 0x <地图象上有两点(－1，y1)，21y 4⎛⎫- ⎪⎝⎭，，则y1－y2地值是【 】A ．负数 B ．非正数 C ．正数 D ．不能确定 【答案】A.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征. 【分析】∵反比例函数ky=x中地k ＜0， ∴函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y 随x 地增大而增大.又∵点(－1，y1)和21y 4⎛⎫- ⎪⎝⎭，均位于第二象限，且－1＜14-，∴y1＜y2.∴y1－y2＜0，即y1－y2地值是负数.故选A.19. （2012吉林省2分）如图，菱形OABC 地顶点B 在y 轴上，顶点C 地坐标为（－3，2），若反比例函数ky x=（x ＞0）地图象经过点A ，则k 地值为【 】A ．－6B ．－3C ．3°D ．6 【答案】D.【考点】菱形地性质，曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】如图，因为菱形OABC 地两条对角线互相垂直平分，又OB 在y 轴上，所以顶点C 、A 关于y 轴对称，已知C 地坐标为（-3，2），所以A 地坐标为（3，2）.反比例函数ky x=（x ＞0）地图像经过点A ，则k 326=⨯=.故选D. 20. （2012黑龙江绥化3分）如图，A ，B 是函数2y x=地图象上关于原点对称地任意两点，BC ∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 地面积记为S ，则【 】A ．S=2B ．S=4C ．2＜S ＜4D ．S ＞4 【答案】B.【考点】反比例函数系数k 地几何意义.【分析】设点A 地坐标为（x ，y ），则B （－x ，－y ），xy=2.∴AC=2y ，BC=2x.∴△ABC 地面积=2x×2y÷2=2xy=2×2=4.故选B.21. （2012黑龙江哈尔滨3分）如果反比例函数y=k 1x-地图象经过点(－1，－2)，则k 地值是【 】． (A)2 (B)－2 (C)－3 (D)3 【答案】D.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】根据点在曲线上，点地坐标满足方程地关系，将(－1，－2)代入y=k 1x-即可求得k 地值： k 1=21---，解得k=3.故选D. 22. （2012黑龙江龙东地区3分）在平面直角坐标系中，反比例函数2a a 2y= x-+图象地两个分支分别在【 】A. 第一、三象限B.第二、四象限C.第一、二象限D.第三、四象限【答案】A.【考点】反比例函数地性质，配方法地应用，非负数地性质.【分析】把2a a 2-+配方变形，根据非负数地性质判断出是恒大于0地代数式，再根据反比例函数地性质解答：∵2221117a a 2=a a 2=a 04424>⎛⎫-+-+-+-+ ⎪⎝⎭.∴根据反比例函数()ky=k 0x≠地性质：当k 0＞时，图象分别位于第一、三象限；当k 0＜时，图象分别位于第二、四象限，得反比例函数2a a 2y= x-+图象地两个分支分别在第一、三象限.故选A.二、填空题1. （2012广东佛山3分）若A （x1，y1）和B （x2，y2）在反比例函数2y x=地图象上，且0＜x1＜x2，则y1与y2地大小关系是y1 ▲ y2；【答案】＞.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征. 【分析】∵反比例函数2y x=中，k=2＞0，∴此函数图象地两个分支在一、三象限. ∵0＜x1＜x2，∴A 、B 两点在第一象限.∵在第一象限内y 地值随x 地增大而减小，∴y1＞y2.2. （2012江苏连云港3分）已知反比例函数y ＝2x地图象经过点A(m ，1)，则m 地值为 ▲ ． 【答案】2.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征，曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】∵反比例函数y ＝2x 地图象经过点A(m ，1)，∴2＝m1，即m ＝2. 3. （2012江苏盐城3分）若反比例函数地图象经过点(1,4)P -,则它地函数关系式是 ▲ .【答案】4y x=-. 【考点】待定系数法，反比例函数地性质，曲线上点地坐标与方程地关系. 【分析】设函数解读式为k y x =，将(1,4)P -代入解读式得4k =-.故函数解读式为4y x=-. 4. （2012江苏镇江2分）写出一个你喜欢地实数k 地值 ▲ ，使得反比例函数k 2y=x-地图象在第一象限内，y 随x 地增大而增大.【答案】1（答案不唯一）. 【考点】反比例函数地性质. 【分析】根据反比例函数()my=m 0x≠地性质：当m 0＞时函数图象地每一支上，y 随x 地增大而减小；当m 0＜时，函数图象地每一支上，y 随x 地增大而增大.因此，若反比例函数k2y=x-地图象在第一象限内，y随x地增大而增大，则k20-＜，即k2＜.∴只要取k2＜地任一实数即可，如k=1（答案不唯一）.5. （2012湖北荆州3分）已知：多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，则反比例函数k1y=x-地解读式为▲【答案】1y=x或3y=x-.【考点】完全平方式，待定系数法求反比例函数解读式.【分析】∵多项式x2﹣kx+1是一个完全平方式，∴k=±2.把k=±2分别代入反比例函数k1y=x-地解读式得：1y=x或3y=x-.6. （2012湖南衡阳3分）如图，反比例函数ky=x地图象经过点P，则k= ▲．【答案】﹣6.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】根据图象写出P点坐标，根据点在曲线上，点地坐标满足方程地关系，把P点坐标代入反比例函数解读式中即可得到k地值：根据图象可得P（3，﹣2），把P（3，﹣2）代入反比例函数ky=x中得：k=xy=﹣6.7. （2012四川凉山4分）如图，已知点A在反比例函数图象上，AM⊥x轴于点M，且△AOM地面积为1，则反比例函数地解读式为▲ .【答案】2 yx =-.【考点】反比例函数系数k 地几何意义.【分析】过双曲线上任意一点与原点所连地线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成地直角三角形面积S 是个定值，即S=12|k|，又反比例函数地图象在二、四象限，∴k ＜0.则由1=12|k|得k=－2.所以这个反比例函数地解读式是2y x=-.8. （2012辽宁沈阳4分）已知点A 为双曲线y=k x图象上地点，点O 为坐标原点过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连接OA.若△AOB 地面积为5，则k 地值为 ▲ .【答案】10或－10.【考点】反比例函数系数k 地几何意义，曲线上点地坐标与方程地关系. 【分析】∵点A 为双曲线y= k x 图象上地点，∴设点A 地坐标为（x ， k x）.又∵△AOB 地面积为5，∴AOB 1kS x =52x∆=⋅⋅，即|k|=10，解得，k=10或k=－10. 9. （2012贵州黔西南3分）已知反比例函数地图象经过点（m ，2）和（－2，3），则m 地值为 ▲ . 【答案】－3.【考点】反比例函数图象上点地坐标特征.【分析】根据反比例函数图象上点地横、纵坐标地积是一个定值即可求：∵反比例函数地图象经过点（m ，2）和（－2，3）， ∴－2×3=2m ，解得m=－3.10. （2012贵州铜仁4分）当x ▲ 【答案】x ＞0.【考点】二次根式和分式有意义地条件.【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0必须1x＞0，即x ＞0.11. （2012山东滨州4分）下列函数：①y=2x ﹣1；②5y=x -；③y=x2+8x ﹣2；④22y=x；⑤1y=2x ；⑥ay=x中，y 是x 地反比例函数地有 ▲ （填序号）【答案】②⑤.【考点】反比例函数地定义.【分析】根据反比例函数地定义逐一作出判断：①y=2x ﹣1是一次函数，不是反比例函数；②5y=x -是反比例函数； ③y=x2+8x ﹣2是二次函数，不是反比例函数；④22y=x不是反比例函数；⑤1y=2x 是反比例函数；⑥a y=x中，a ≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数.故答案为：②⑤.12. （2012山东济宁3分）如图，是反比例函数k 2y=x-地图象地一个分支，对于给出地下列说法： ①常数k 地取值范围是k ＞2； ②另一个分支在第三象限；③在函数图象上取点A （a1，b1）和点B （a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2；④在函数图象地某一个分支上取点A （a1，b1）和点B （a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2； 其中正确地是 ▲ （在横线上填出正确地序号）【答案】①②④.【考点】反比例函数地图象，反比例函数地性质，反比例函数图象上点地坐标特征. 【分析】①根据函数图象在第一象限可得k ﹣2＞0，故k ＞2，故①正确；②根据反比例函数地性质可得，另一个分支在第三象限，故②正确；③根据反比例函数地性质，图象在第一、三象限时，在图象地每一支上y 随x 地增大而减小，A 、B 不一定在图象地同一支上，故③错误；④根据反比例函数地性质，图象在第一、三象限时，在图象地每一支上y 随x 地增大而减小，故在函数图象地某一个分支上取点A （a1，b1）和点B （a2，b2），当a1＞a2时，则b1＜b2正确.故正确地说法为：①②④.13. （2012山东潍坊3分）点P 在反比例函数ky=x(k≠0)地图象上，点Q(2，4)与点P 关于y 轴对称，则反比例函数地解读式为 ▲ .【答案】8 y=x-.【考点】关于y轴对称地点地坐标特征，曲线上点地坐标与方程地关系.【分析】根据轴对称地定义，利用点Q（2，4），求出P点坐标，将P点坐标代入解读式，即可求出反比例函数解读式：∵点Q（2，4）和点P关于y轴对称，关于y轴对称地点地坐标特征是纵坐标不变，横坐标互为相反数∴P点坐标为（－2，4）.将（－2，4）解读式ky=x得，k=xy=－2×4=－8.∴函数解读式为8 y=x-.14. （2012青海西宁2分）如图，反比例函数y＝ kx 地图象与经过原点地直线交于点A、B，已知点A地坐标为(－2，1)，则点B地坐标是▲ ．【答案】(2，－1).【考点】反比例函数图象地对称性，关于原点对称地点地坐标特征.【分析】因为反比例函数地图象是中心对称图形，则与经过原点地直线地两个交点一定关于原点对称.因此，根据关于原点对称地点地坐标横、纵坐标都互为相反数地性质，得点A(－2，1)关于原点对称地点B 地坐标是(2，－1).15. （2012黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西3分）如图，点A在双曲线y=1x上，点B在双曲线y=3x上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABDC为矩形，则它地面积为▲【答案】2.【考点】反比例函数系数k地几何意义.【分析】过A点作AE⊥y轴，垂足为E，∵点A在双曲线y=1x上，∴四边形AEOD地面积为1.∵点B在双曲线y=3x上，且AB∥x轴，∴四边形BEOC地面积为3.∴四边形ABCD为矩形，则它地面积为3－1=2.三、解答题1. （2012浙江湖州6分）如图，已知反比例函数kyx=（k≠0）地图象经过点（－2，8）．（1）求这个反比例函数地解读式；（2）若（2，y1），（4，y2）是这个反比例函数图象上地两个点，请比较y1、y2地大小，并说明理由．【答案】解：（1）把（－2，8）代入kyx=，得k82=-，解得：k=－16.∴这个反比例函数地解读式为16 yx =-.（2）y1＜y2.理由如下：∵k=－16＜0，∴在每一个象限内，函数值y随x地增大而增大.∵点（2，y1），（4，y2）都在第四象限，且2＜4，∴y1＜y2.【考点】曲线上点地坐标与方程地关系，反比例函数图象上点地坐标特征.【分析】（1）把经过地点地坐标代入解读式进行计算即可得解.（2）根据反比例函数图象地性质，在每一个象限内，函数值y随x地增大而增大解答.2. （2012山东烟台8分）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点地纵坐标分别为7和1，直线AB与y 轴所夹锐角为60°．（1）求线段AB地长；（2）求经过A ，B 两点地反比例函数地解读式．【答案】解：（1）分别过点A ，B 作AC ⊥x 轴，BD ⊥AC ，垂足分别为点C ，D ，由题意，知∠BAC=60°，AD=7﹣1=6， ∴0AD 6AB 121cos602===.。
2012年中考复习考点跟踪训练《代数应用性问题(3)》
2012年中考复习考点跟踪训练（三十九）《代数应用性问题（3）》一、选择题1．如图，在平地上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4 m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4 m ，那么相邻两树间的坡面距离为( )A ．5 mB ．6 mC ．7 mD ．8 m 答案 A解析 如图，在Rt △ABC 中，ACBC＝0.75，BC ＝4，则AC ＝3，AB ＝5.2．如图，小红同学要用纸板制作一个高4 cm ，底面周长是6π cm 的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．18π cm 2D ．24π cm 2答案 B解析 因为底面周长为6π，设底面半径为r ，所以2πr ＝6π，r ＝3，又h ＝4，所以l ＝5，S 圆锥侧＝πrl ＝15π，应选B.3．某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝30 cm ，AB ＝50 cm ，依次裁下宽为1 cm 的矩形纸条a 1、a 2、a 3……，若使裁得矩形纸条的长都不小于5 cm ，则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条的总数是( )A ．24B ．25C ．26D ．27 答案 C解析 如图，在△ABC 中，可求得BC ＝40，设B 1C 1∥BC ，得B 1C 1＝5，由△AB 1C 1∽△ABC ，得B 1C 1BC ＝AC 1AC ，于是540＝AC130，∴AC 1＝3.75，∴CC 1＝26.25≈26.4．如图，在正方形铁皮上(图①)剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成(图②)所示的一个圆锥模型，该圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为( )A ．R ＝2rB ．R ＝94r C ．R ＝3r D ．R ＝4r答案 D解析 由图①，可知圆锥侧面展开图圆心角为90°，则rR×360＝90，R ＝4r .5．(2010·达州)如图，在一块形状为直角梯形的草坪中，修建了一条由A →M →N →C 的小路(M 、N 分别是AB 、CD 中点)．极少数同学为了走“捷径”，沿线段AC 行走，破坏了草坪，实际上他们仅少走了( )A ．7 mB ．6 mC ．5 mD ．4 m 答案 B解析 在Rt △ABC 中，AC ＝122＋162＝20；过D 画DE ⊥BC 于E ，在Rt △CDE 中，CD ＝122＋52＝13，所以NC ＝6.5，又MN ＝12×(11＋16)＝13.5，所以AM ＋MN ＋NC ＝6＋6.5＋13.5＝26，与AC 相差6米． 二、填空题6．如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点O (A 与O 点重合)．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A ′重合，则点A ′对应的实数是________．答案 π解析 由题意，可知线段AA ′长等于圆的周长π×1＝π.7．(2010·江西)一大门的栏杆如图所示，BA 垂直于地面AE 于A ，CD 平行于地面AE ，则∠ABC＋∠BCD＝________度．答案270解析过B画BG∥CD，则∠BCD＋∠CBG＝180°，又CD∥AE，所以BG∥AE. ∠ABF ＋∠BAE＝180°，可知∠BAE＝90°，所以∠ABF＝90°，∠ABC＋∠BCD＝180°＋90°＝270°.8．(2010·宁波)如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC＝15°，则引桥的水平距离BC的长是________米(精确到0.1米)．答案11.2解析过A作∠BAD＝∠B＝15°，交BC于D，则BD＝AD，∠ADC＝30°.在Rt△ADC 中，由∠ADC＝30°，得AD＝2AC＝2×3＝6，所以DC＝3AC＝3 3，故BC＝BD＋DC＝6＋3 3≈11.2.9．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC ＝OD)量零件的内孔直径A B.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝________mm.答案 2.5解析由题意，易知△OAB∽△OCD，OC∶OA＝CD∶AB.∵OC∶OA＝1∶2，∴CD∶AB＝1∶2，AB＝2CD＝20，∴x＝(25－20)÷2＝2.5.10．(2010·江西)如图，一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子，当木杆绕点A按逆时针方向旋转直至到达地面时，影子的长度发生变化．设AB垂直于地面时的影长为AC(假设AC>AB)，影长的最大值为m，最小值为n，那么下列结论：①m>AC；②m＝AC；③n＝AB；④影子的长度先增大后减小．其中，正确的结论的序号是__________．答案①③④解析如图所示，当木杆绕点A按逆时针方向旋转时，有m>AC，①成立，则②不成立；当旋转到达地面时，为最短影子，n＝AB，③成立；由此可知，影子的长度先增大，后减小，④成立．三、解答题11．如图，路灯(P 点)距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部(O 点)20米的A 点，沿OA 所在的直线行走14米到B 点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解 由题意可知：△POM ∽△EAM ，△PON ∽△FBN ， 又∵OA ＝20，AB ＝14，∴OB ＝6， ∴AM OM ＝AEPO，∴AM AM ＋20＝1.68，解得AM ＝5(米)．又BN ON ＝FB PO， ∴BN BN ＋6＝1.68，解得BN ＝1.5(米)，AM >BN ， ∴身影变短了3.5米． 12．(2011·成都)某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃，苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限)，另三边用木栏围成，建成的苗圃为如图所示的长方形ABC D.已知木栏总长为120m ，设AB 边的长为x m ，长方形ABCD 的面积为S (m 2)．(1)求S 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)．当x 为何值时，S 取得最值(请指出是最大值还是最小值)？并求出这个最值；(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆，其圆心分别为O 1和O 2，且O 1到AB 、BC 、AD 的距离与O 2到CD 、BC 、AD 的距离都相等，并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5m 宽的平直路面，以方便同学们参观学习．当(1)中S 取得最大值时，请问这个设计是否可行？若可行，求出圆的半径；若不可行，请说明理由．解 (1)S ＝x (120－2x )＝－2(x －30)2＋1800，当x ＝30时，S 取最大值为1800.(2)如图所示，过O 1、O 2分别作到AB 、BC 、AD 和CD 、BC 、AD 的垂线，垂足如图，根据题意可知，O 1E ＝O 1F ＝O 1J ＝O 2G ＝O 2H ＝O 2I ；当S 取最大值时，AB ＝CD ＝30，BC ＝60，∴O 1F ＝O 1J ＝O 2G ＝O 2I ＝12AB ＝15，∴O 1E ＝O 2H ＝15，∴O 1O 2＝EH －O 1E －O 2H ＝60－15－15＝30， ∴两个等圆的半径为15，由于圆O 1、圆O 2相切，所以左右不能够留0.5米的平直路面． ∴设计不可行． 13．(2011·江西)图甲是一个水桶模型示意图，水桶提手结构的平面图是轴对称图形，当点O 到BC (或DE )的距离大于或等于⊙O 的半径时(⊙O 是桶口所在圆，半径为OA )，提手才能从图甲的位置转到图乙的位置，这样的提手才合格．现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A －B －C －D －E －F ，C －D 是圆弧，其余是线段)，O 是AF 的中点，桶口直径AF ＝34 cm ，AB ＝FE ＝5 cm ，∠ABC ＝∠FED ＝149°.请通过计算判断这个水桶提手是否合格．(参考数据：314≈17.72，tan 73.6°≈3.40，sin 75.4°≈0.97.)解 解法一：如图，连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . 在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝AF2＝17，∴ tan ∠ABO ＝AO AB ＝175＝3.4，∴∠ABO ＝73.6°，∴∠GBO ＝∠ABC －∠ABO ＝149°－73.6°＝75.4°. 又 ∵OB ＝52＋172＝314≈17.72， ∴在Rt △OBG 中， .OG ＝OB ·sin ∠OBG ＝17.72×0.97≈17.19>17. ∴水桶提手合格．解法二：如图，连接OB ，过点O 作OG ⊥BC 于点G . 在Rt △ABO 中，AB ＝5，AO ＝17， ∴ tan ∠ABO ＝AO AB ＝175＝3.4，∴∠ABO ＝73.6°.要使OG ≥OA ，只需∠OBC ≥∠ABO ，∵∠OBC ＝∠ABC －∠ABO ＝149°－73.6°＝75.4°＞73.6°， ∴水桶提手合格．。
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考点跟踪训练41 开放型问题一、选择题 1．(2011·兰州)如图所示的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：(1)b 2－4ac >0；(2)c >1；(3)2a －b <0；(4)a ＋b ＋c <0.你认为其中错误．．的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．1个答案 D解析 (1)由图象知，该函数图象与x 轴有两个交点， ∴△＝b 2－4ac ＞0，故本选项正确；(2)由图象知，该函数图象与y 轴的交点在(0,1)，∴c ＜1，故本选项错误；(3)由图象知，对称轴x ＝－b2a＞－1，又函数图象的开口方向向下，∴a ＜0，∴－b ＜－2a ，即2a －b ＜0，故本选项正确；(4)由图象知，当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0，∴a ＋b ＋c ＜0，故本选项正确； 综上所述，其中错误的是(2)，故选D. 2．(2010·南通)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (2,2)，点Q 在y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点Q 共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个 答案 B解析 本题只给出了P (2,2)，O (0,0)两个点的坐标，另外一个点的位置未知，可通过简单的画图，确定点Q 在y 轴上的位置．注意到线段PO 可以为腰，也可以为底，当线段PO 为腰时，分别以O 、P 为圆心，PO 为半径作圆与y 轴的交点位置即为Q 的位置，可以在数轴上找出三个点，当以PO 为底时，作PO 的垂直平分线与y 轴的交点也是Q 点的位置，可找出一个，故点Q 有4个．3．(2009·沈阳)如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，E 是边BC 延长线上一点，AE 与CD 交于点F ，则图中相似三角形共有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对 答案 C解析 △ADF ∽△ECF ∽△EBA ，△ABC ∽△CDA ，共4对．4．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，CD ⊥AB ，DE ∥BC ，则图中与△ABC 相似的三角形的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 答案 A解析 分别是△ADE 、△CDE 、△BCD 、△ACD .5．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边是( )A ．7B ．11C ．7或11D ．7或10 答案 C解析 设AD ＝CD ＝x ，BC ＝y 则AB ＝2x ，分类讨论：①⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＝15，x ＋y ＝12，②⎩⎪⎨⎪⎧3x ＝12，x ＋y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝7，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝11.故底边是7或11.二、填空题6．(2011·邵阳)请写出一个解为x ＝2的一元一次方程：__________________. 答案 答案不唯一，如x －2＝0,2x ＝4等． 7．(2010·毕节)请写出含有字母x 、y 的五次单项式____________(只要求写一个)． 答案 答案不唯一，例如x 2y 3，x 3y 2等．8．如图所示，E 、F 是矩形ABCD 对角线AC 上的两点，试添加一个条件：______________，使得△ADF ≌△CBE .答案 不唯一，如：AF ＝CE ，AE ＝CF ，∠ADF ＝∠CBE 等．9．(2009·白银)如图，四边形ABCD 是平行四边形，使它为矩形的条件可以是______________．答案 答案不唯一，如AC ＝BD ，∠ADC ＝90°等．10．(2010·益阳)如图，反比例函数y ＝kx的图象位于第一、三象限，其中第一象限内的图象经过点A (1,2)，请在第三象限内的图象上找一个你喜欢的点P ，你选择的P 点坐标为________________．答案 答案不唯一，x 、y 满足xy ＝2且x <0，y <0均可．三、解答题11．如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数y ＝kx(k >0，x <0)的图象上，若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M 、N .从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m (m 为常数，且0<m <4)时，求点R 的坐标．(用含m 的代数式表示)解 (1)如图，若R 在点B 的左边，设R (x 0，y 0)，由题意，得k ＝4.故x 0y 0＝4，由反比例函数的几何意义可得，四边形RMAD 的面积为S (S ＝m )，即AM ·MR ＝m ，AM ＝－2－x 0，MR＝－y 0，故(2＋x 0)·y 0＝m,2y 0＋x 0y 0＝m,2y 0＋4＝m ，y 0＝m －42，故x 0＝8m －4，故此时R ⎝ ⎛⎭⎪⎫8m －4，m －42).(2)若R 在点B 的右边，同理R ⎝⎛⎭⎪⎫m －42，8m －4).综上，可得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫8m －4，m －42)或⎝ ⎛⎭⎪⎫m －42，8m －4).12．(2011·綦江)在如图的直角坐标系中，已知点A (1,0)、B (0，－2)，将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC .(1)求点C 的坐标；(2)若抛物线y ＝－12x 2＋ax ＋2经过点C .①求抛物线的解析式；②在抛物线上是否存在点P (点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，在△ACD 和△BAO 中，有∠CAD ＋∠BAO ＝90°，∠ABO ＋∠BAO ＝90°，∴∠CAD ＝∠ABO .又∵∠ADC ＝∠AOB ＝90°，CA ＝AB ，∴△ACD ≌△BAO ，∴CD ＝OA ＝1，AD ＝BO ＝2，∴点C 的坐标为(3，－1)．(2)①∵抛物线y ＝－12x 2＋ax ＋2经过点C (3，－1)，∴－1＝－12×32＋3a ＋2，解得a ＝12.∴抛物线的解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋2.②解法一：i ) 当A 为直角顶点时 ，延长CA 至点P 1，使AP 1＝AC ＝AB ，则△ABP 1是以AB 为直角边的等腰直角三角形．过点P 1作P 1E ⊥x 轴， ∵AP 1＝AC ，∠EAP 1＝∠DAC ，∠P 1EA ＝∠CDA ＝90°，∴△EP 1A ≌△DCA ，∴AE ＝AD ＝2, EP 1＝CD ＝1，∴可求得P 1的坐标为(－1,1)．经检验点P 1在抛物线上，因此存在点P 1满足条件；ii ) 当B 为直角顶点时，过点B 作直线l ⊥BA ，在直线l 上分别取BP 2＝BP 3＝AB ，得到以AB 为直角边的等腰Rt △ABP 2和等腰Rt △ABP 3.作P 2F ⊥y 轴，同理可证△BP 2F ≌△ABO ，∴P 2F ＝BO ＝2, BF ＝OA ＝1，可得点P 2的坐标为(－2，－1)，经检验P 2在抛物线上，因此存在点P 2满足条件．同理可得点P 3的坐标为(2，－3)，经检验P 3不在抛物线上，故不存在满足条件的点P 3. 综上，抛物线上存在点P 1(－1,1)，P 2(－2，－1)两点，使得△ABP 1和△ABP 2是以AB 为直角边的等腰直角三角形．解法二：i ) 当点A 为直角顶点时，易求出直线AC 的解析式为y ＝－12x ＋12，由⎩⎨⎧y ＝－12x ＋12，y ＝－12x 2＋12x ＋2，)解之可得P 1(－1,1)(已知点C 除外)． 作P 1E ⊥x 轴于E ，则AE ＝2, P 1E ＝1, 由勾股定理有AP 1＝AE 2＋P 1E 2＝ 5.又∵AB ＝5，∴AP 1＝AB ，∴△P 1AB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形；ii )当B 点为直角顶点时，过B 作直线l ∥AC 交抛物线于点P 2和点P 3，易求出直线l 的解析式为：y ＝－12x －2，由⎩⎨⎧y ＝－12x －2，y ＝－12x 2＋12x ＋2，)解得x 1＝－2或x 2＝4.∴P 2(－2，－1)，P 3(4，－4)．作P 2F ⊥y 轴于F ，同理可求得BP 2＝5＝AB ，∴△P 2AB 是以AB 为直角边的等腰直角三角形．作P 3H ⊥y 轴于H ，可求得BP 3＝22＋42＝2 5≠AB ，∴△ABP 3不是等腰直角三角形，∴点P 3不满足条件．综上，抛物线上存在点P 1(－1,1)，P 2(－2，－1)两点，使得△ABP 1和△ABP 2 是以AB 为直角边的等腰直角三角形．13．(2011·荆州)如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC 与CDEF 的边OC 、OA 所在直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系(O 、C 、F 三点在x 轴正半轴上)．若⊙P 过A 、B 、E三点(圆心在x 轴上)，抛物线y ＝14x 2＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为G ，M 是FG 的中点，正方形CDEF 的面积为1.(1)求B 点的坐标；(2)求证：ME 是⊙P 的切线；(3)设直线AC 与抛物线对称轴交于N ，Q 点是此对称轴上不与N 点重合的一动点，①求△ACQ 周长的最小值；②若FQ ＝t ，S ΔACQ ＝S ，直接写出S 与t 之间的函数关系式．解 (1)如图甲，连接PE 、PB ，设PC ＝n . ∵正方形CDEF 面积为1，∴CD ＝CF ＝1. 根据圆和正方形的对称性知OP ＝PC ＝n ， ∴BC ＝2PC ＝2n .而PB ＝PE ，PB 2＝BC 2＋PC 2＝4n 2＋n 2＝5n 2. 又PE 2＝PF 2＋EF 2＝(n ＋1)2＋1， ∴5n 2＝(n ＋1)2＋1.解得n 1＝1，n 2＝－12(舍去)．∴BC ＝OC ＝2.∴B 点坐标为(2,2)．(2)如图甲，由(1)知A (0,2)，C (2,0)． ∵A 、C 在抛物线上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2＝c ，0＝14×22＋2b ＋c ，解之，得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32，c ＝2.∴抛物线的解析式为y ＝14x 2－32x ＋2.∴抛物线的对称轴为x ＝3，即EF 所在直线． ∵C 与G 关于直线x ＝3对称，∴CF ＝FG ＝1.∴MF ＝12FG ＝12.在Rt △PEF 与Rt △EMF 中， PF EF ＝21，EF FM ＝112＝21， ∴PF EF ＝EF FM. ∵∠PFE ＝∠EFM ＝90°，∴△PEF∽△EMF.∴∠EPF＝∠FEM.∴∠PEM＝∠PEF＋∠FEM＝∠PEF＋∠EPF＝90°.∴ME与⊙P相切．(3)①如图丙，延长AB交抛物线于A′，连CA′交对称轴x＝3于Q，连接AQ，则有AQ＝A′Q，△ACQ周长的最小值为(AC＋A′C)的长．∵A与A′关于直线x＝3对称，A(0,2)，∴A′(6,2)．又∵C(2,0)，∴A′C＝(6－2)2＋22＝2 5，而AC＝22＋22＝2 2.∴△ACQ周长的最小值为2 5＋2 2；②当Q点在F点上方时，S＝t＋1；当Q点在线段FN上时，S＝1－t；当Q点在N点下方时，S＝t－1.。