人教版高中数学奇偶增减函数的性质习题课精品课件
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新课标人教版必修一函数的奇偶性课件(共14张PPT)
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f ( x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2 x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在 R 上的函数 f ( x), 对任意 x, y R都有
f ( x y) f ( x) f ( y) 1, 且x 0时，f ( x) 1, f (1) 2
(1)求证：f ( x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g ( x) f ( x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义：
“数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
-2 -1 0
1 2
x
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型二：利用奇偶性求解析式： 例：已知函数
f ( x) ax2 bx c(2a 3 x 1)
b _________ . 是偶函数，则 a _____,
2a 3 1 解：由题意可得：
a 1 解得：
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：已知函数 f ( x)为奇函数，且当 x
f ( x) x3 2 x 2 1,
0时，
则 f (2) _______
则 f (a) _______
在原点处有定义的 f (0) 0 奇函数：
则 f ( x) _______
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
高中数学必修一函数的奇偶性 课件 (共17张PPT)
填写表（3），你发现了什么？
y
x
-3 -2 -1
0 1 2 3
2 3
-x-2
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1
表（3）
3 f(x) 2 1
(x,f(x))
f(-1)= -1= -f(1) -f(2) f(-3)= -3 = -f(3)
…… (-x,f(-x))
-1 0 -1 -2 -3
1
2
x3
x
[-1,2] (-3,3] [-3,3] {-1,1} (-3,3) (-3,+∞)
[-2,-1]∪[1,2]
[问题4] 判断下列函数的奇偶性：
(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2
(4) f(x)=x+1
(4) f(x)=x2 ，x∈[- 1 , 3]
判断奇偶性步骤： 定义域为R (1)解: 定义域为R (2) 解 : 一看 定义域 二找 关系 f(x ∵ f(x)=( x)3+2( )= x) f(x)∵f(x)=2(x)4+3(x)2 三判断 奇或偶
问题3:
f ( x) x, x 1, 是奇函数吗？
解：
y 6 5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 1 2
f ( x) x 2 , x 1, 2 是偶函数吗？
不是。
y 3 2 1
不是。
3 x
下列定义域关于原点对称吗？
=x32x
或f(x)=f(x)
=(x3+2x) =f(x)
=2x4+3x2 =f(x) ∴f(x)为偶函数
高一数学函数的基本性质习题课PPT课件.ppt
何?并说明理由.
(3)判断函数 f(x) 2x2 6x 7,x - 4,5 的单调性,
并求出它的单调区间.
(4)画出函数 f(x) x x 3 1的图象,并写出函数的 单调区间.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10. (5)已知函数 f(x) ax2 2x 3在[1,+∞)上为减函数, 在(-∞,1]为增函数,求实数a的值.
(6)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,4]内单调递增, 试比较f(-π)与f(3.14)的大小.
(7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0] 上是增函数,若f(a)≥f(2),求实数a的取值范围. (8)已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且在定义域上 是单调递减函数,若 f(1- a) f(1- a2 ) 0 ,求实数a的 取值范围.
1
5
典例解析
(综合问题) **例题5:若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是 单调递增的,若满足 f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1). 试求出实数a的取值范围.
*说明: (1)根据题意,作出函数的大致图象解决问题;
(2)应注意本题中的自变量的特殊性.
(2a2 a 1)(,3a2 2a 1)恒大于零.
问题探究
**例题7:已知函数 f(x1) x2 2x1 的定义域为 [-2,0].试求出函数f(x)的单调区间.
*说明: (1)可以利用代换法先求得函数f(x)的解析 式及其定义域,然后作图解之. (2)在进行代换的同时应注意变量的允许范 围也应随之而同步变化.
课堂小结
**请你谈谈本节课的体会与收获**
函数的单调性.
作图演示
y
4
人教版(2019)数学必修第一册综合复习：函数的奇偶性和周期性 课件(共45张PPT)
4 ．奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数
在两个对称的区间上具有相反的单调性．
基础小测
1．下列函数中为偶函数的是(
B )
A．y＝x2sin x
B．y＝x2cos x
C．y＝|ln x|
D．y＝2－x
2．(2020届河南郑州一中高三月考)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在
[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(
方法点拨
有些分段函数可以通过给解析式
加上绝对值符号改为非分段函数，这
样再判断奇偶性更容易．
判定函数奇偶性的3种常用方法
(1)定义法
(2)图象法
(3)复合规律法
奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，
偶×奇＝奇．尤其是在选择题和填空题中，复合规律法
更常用．
考点微练
1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是(
A
)
3．(2020届四川棠湖中学高三月考)已知f(x)＝
2 −1
下列结论正确的是(
A
2
，g(x)＝ ，则
)
A．f(x)＋g(x)是偶函数
B．f(x)＋g(x)是奇函数
C．f(x)g(x)是奇函数
D．f(x)g(x)是偶函数
考点二
函数且f(x＋4)＝f(x－2)．若
(3)若f(x＋a)＝
(4)若f(x＋a)＝－
，则函数的最小正周期为2a；
，则函数的最小正周期为2a.
基础小测
1．已知f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝2x，
9
则f( )等于(
2
A．
高中数学人教版《奇偶性》ppt教学课件1
∴f(x)偶函数
∴f(x)奇函数
(3)解：定义域为{x|x≠0}，它 关于原点对称
且 f (x) x 1 (x 1) f (x)
x
x
∴f(x)奇函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
(4)解：定义域为{x|x≠0} ， 它关于原点对称
新课讲授
偶函数
图像关于y轴对称
代数特征 几何特征
首要条件：函数的定义域关于原点对称
奇函数
图像关于原点对称
代数特征 几何特征
高中数学 人教版 《奇偶 性》上 课课件1
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件 3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
f
(x)
1
x2
1 x2
f
(x)
∴f(x)偶函数
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
判断或证明函数奇偶性的基本步骤
3高.2中.2数函学数人的教奇版偶《性奇-【偶 性新教 》上材 课】课人件教A1 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x 4
(3) f ( x) x 1 x
(1)解：定义域为R，∵∀x∈R,
都有-x∈R，且f(-x)=(-x)4=f(x)
(2) f ( x) x5
《函数的基本性质习题课》示范课教学课件【高中数学人教A版】
（2）讨论函数y＝x＋ 在区间（0，＋∞）上的单调性；
（3）讨论函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．
例1（习题3.2 第8题）
新知探究
证明：∀x1，x2∈（3，＋∞），且x1＜x2，
例1（习题3.2 第8题）
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
新知探究
证明：由x1，x2∈（3，＋∞），得x1＞3，x2＞3，
所以x1x2＞9，x1x2－9＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
例1（习题3.2 第8题）
新知探究
（2）讨论函数y＝x＋ 在区间（0，＋∞）上的单调性；
解：当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x×（1＋（－x））＝－x（1－x），
且函数f（x）是奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝x（1－x）．
图象如图实线部分．
新知探究
追问3 若函数f（x）是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．
最高（低）点的纵坐标就是函数f（x）的最大（小）值．
图象关于原点（y轴）对称，则为奇（偶）函数．
符号语言
∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增（递减）．
如果存在实数M（m）满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥m）；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M（m），那么就称M（m）是函数y＝f（x）的最大（小）值．
所以f（－1）＝－f（1）＝－2．
（3）讨论函数y＝x＋ （k＞0）在区间（0，＋∞）上的单调性．
例1（习题3.2 第8题）
新知探究
证明：∀x1，x2∈（3，＋∞），且x1＜x2，
例1（习题3.2 第8题）
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
新知探究
证明：由x1，x2∈（3，＋∞），得x1＞3，x2＞3，
所以x1x2＞9，x1x2－9＞0．
由x1＜x2，得x1－x2＜0，
（1）根据函数单调性的定义证明函数y＝x＋ 在区间（3，＋∞）上单调递增；
例1（习题3.2 第8题）
新知探究
（2）讨论函数y＝x＋ 在区间（0，＋∞）上的单调性；
解：当x≥0时，f（x）＝x（1＋x）；
当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x×（1＋（－x））＝－x（1－x），
且函数f（x）是奇函数，
所以f（x）＝－f（－x）＝x（1－x）．
图象如图实线部分．
新知探究
追问3 若函数f（x）是定义域为R的偶函数，其他条件不变，画出函数f（x）的图象，并求出函数的解析式．
最高（低）点的纵坐标就是函数f（x）的最大（小）值．
图象关于原点（y轴）对称，则为奇（偶）函数．
符号语言
∀x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2）），那么就称函数f（x）在区间D上单调递增（递减）．
如果存在实数M（m）满足：（1）∀x∈I，都有f（x）≤M（f（x）≥m）；（2）∃x0∈I，使得f（x0）＝M（m），那么就称M（m）是函数y＝f（x）的最大（小）值．
所以f（－1）＝－f（1）＝－2．
函数的奇偶性及其应用PPT课件(人教版)
f (x)，若存在 x，使f (-x)＝－f (x)，则函数y＝×f (x)一定是奇函数．( )③
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2
不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )④若f(x)是定义在R上的奇
函数,则f×(0)=0.( ) ×
√
题型一 ——函数奇偶性的判断
一看
二算
三判
1.判断下列函数的奇偶性
（1）f (x) x 1 （2）
图象关于y轴对称 ②f (x) = f (-x) =f (|x|)
定义域关于原点对称
（2）奇函数
①对于∀x∈I，都有-x∈I
图象关于原点对称 ②-f (x) = f (-x)
定义域关于原点对称
对于奇函数y=f(x)，若0∈I，则必有f(0)=0；
巩固概念
判断正误．①函数 f (x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函数．( )②对于函数y＝
（3）f
(x)
x 1，x 0 x 1，x 0
题型二 ——函数奇偶性的应用
1.若 f (x)＝ax2－bx＋1是定义域为[a，a＋1]的偶函数，则a=____,b=____
题型二 ——函数奇偶性的应用
2. 已知奇函数f(x)的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图象如图所示。 （1）画出在区间[－5，0]上的图象； （2）写出使f (x)<0的x的取值集合．
题型二 ——函数奇偶性的应用
4. 若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x),满足f(x)＋g(x)＝x2＋3x＋1，则 f(x)解析式为________________
4 小结
1.函数的奇偶性的定义及图象： 2.判断函数的奇偶性的方法： 3.函数的奇偶性的应用：
函数奇偶性及其应用
1 知识点复习
1.从“形”上认识函数的奇偶性 y y=x2
《高一数学《习题课》课件
中档题解析
总结词：提升能力
详细描述：中档题目相对于基础题目难度有所提升，需要学生具备一定的分析问题和解决问题的能力。通过解析这类题目， 可以帮助学生提升数学思维能力，掌握数学思想和方法。
难题解析
总结词：拓展思维
详细描述：难题通常具有较高的难度，需要学生具备较为扎实的数学基础和较高的思维水平。通过解 析这类题目，可以帮助学生拓展数学思维，培养创新能力和解决问题的能力。同时，也可以让学生了 解数学的深度和广度，激发学习数学的兴趣和热情。
随着知识点的深入，题目难度将逐渐加大 ，要求学生具备更扎实的数学基础和更高 的思维能力。
课堂活动
复习计划
下节课将组织更多的课堂活动，如数学竞 赛、小组讨论等，以激发学生的学习兴趣 和积极性。
建议学生提前预习下节课内容，并制定相 应的复习计划，以确保下节课的学习效果 。
THANKS
感谢观看
解题技巧
通过讲解典型例题，教授了学生如何 运用所学知识解决实际问题，以及如 何运用数学思维分析问题。
课堂互动
课堂上进行了多次小组讨论和互动问 答，鼓励学生积极参与，提高课堂氛 围。
作业布置
布置了相应的习题作业，以巩固本节 课所学内容，并要求学生按时完成。
下节课展望
知识拓展
难度提升
下节课将进一步深入学习高一数学中的其 他重要知识点，如三角函数、平面几何等 。
04
易错点分析
Chapter
常见错误分析
学生对某些数学概念理解不准确 ，导致在应用时出现偏差。
学生在解题过程中逻辑推理不严 密，导致结论错误。
计算错误 概念理解不清 公式运用不当 逻辑推理混乱
学生在解题过程中经常出现计算 失误，如加减乘除运算错误、开 方运算错误等。
人教版高中数学新教材必修第一册课件：3.2 函数的奇偶性与单调性综合习题课 (共12张PPT)
1.偶函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ， 都有－x I 且 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
3.奇偶函数的图象特征
偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调 递减.
证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0, ∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2). ∵y=f(x)在R上是偶函数,
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
讲
课 人
一个函数为偶函数
：
它的图象关于y轴对称
邢
启 强
3
回顾练习
1.已知偶函数f (x)在[0,+)上是增函数，若f (a) f (b),则必有（C）
A、a b B、a b C、a b D、a b
2.若奇函数f (x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1， 则它在[7, 3]上是（ B ） A、增函数且最小值是 1 B、增函数且最大值是 1 C、减函数且最大值是 1 D、增函数且最小值是-1
若f (3) 5,则f (3) ___5___
(2)函数f (x) ax5 bx3 cx 1,
若f (3) 5,则f (3) ___3 _
解：(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(3)=-f(-3)＝-5
解：(2)设 g(x)= ax5 bx3 cx ,g(x)是奇函数
f(x)= g(x)+1,因为 f(－3)＝5，所以 g(－3)＝4
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ， 都有－x I 且 f(－x)=f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．
2.奇函数定义
一般地，设函数 f(x)的定义域为 I，如果 x I ，都 有－x I 且 f(－x)=－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
3.奇偶函数的图象特征
偶函数的图象关于y轴成轴对称,所以在两个对称的区 间上单调性相反.即y=f(x)在它的对称区间(-∞,0)上单调 递减.
证明：:∀x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0, ∵y=f(x)在(0,+∞)上是单调递增, ∴f(-x1)>f(-x2). ∵y=f(x)在R上是偶函数,
一个函数为奇函数
它的图象关于原点对称
讲
课 人
一个函数为偶函数
：
它的图象关于y轴对称
邢
启 强
3
回顾练习
1.已知偶函数f (x)在[0,+)上是增函数，若f (a) f (b),则必有（C）
A、a b B、a b C、a b D、a b
2.若奇函数f (x)在[3,7]上是增函数，且最小值是1， 则它在[7, 3]上是（ B ） A、增函数且最小值是 1 B、增函数且最大值是 1 C、减函数且最大值是 1 D、增函数且最小值是-1
若f (3) 5,则f (3) ___5___
(2)函数f (x) ax5 bx3 cx 1,
若f (3) 5,则f (3) ___3 _
解：(1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(3)=-f(-3)＝-5
解：(2)设 g(x)= ax5 bx3 cx ,g(x)是奇函数
f(x)= g(x)+1,因为 f(－3)＝5，所以 g(－3)＝4
人教A版必修一3.2.2函数的奇偶性课件
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
课堂小结
1.知识点：
(1)利用奇偶性求函数的解析式. (2)利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式.
2.方法归纳：转化法、数形结合法. 3.易错点：解不等式易忽视函数的定义域.
然后利用单调性比较大小.
【练2】设函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x总有f(－x)＝f(x),当x∈[0，＋∞)时，
f(x)单调递增，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是
√A.f(π)>f(－3)>f(－2)
B.f(π)>f(－2)>f(－3)
C.f(π)<f(－3)<f(－2)
D.f(π)<f(－2)<f(－3)
√B.f(－1)<f(－0.5)<f(0) D.f(－1)<f(0)<f(－0.5)
解析：∵函数f(x)为奇函数，且f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)在R上单调递增，∴f(－1)<f(－0.5)<f(0).
【比较大小的求解策略】
(1)若自变量在同一个单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小. （2)若自变量不在同一个单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，
又f(x)在R上为偶函数，∴当x∈(－∞，0)时，f(x)＝f(－x)＝x2－x－1. (2)设x>0，则－x<0，则f(－x)＝－(－x)2－(－x)＝－x2＋x.
又f(x)是R上的奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝x2－x. 又∵函数的定义域为R，∴f(0)＝0，
－x2－x，x<0， 综上可知 f(x)＝x2－x，x≥0.
高中数学(人教B版)必修第一册：函数的奇偶性【精品课件】
注: 既不是奇函数也不是偶函数的函数, 称为非奇非偶函数.
问题 6. 是否存在函数, 既是奇函数又是偶函数? 说明理由.
分析 设函数 的定义域为 D, 且满足: ∀ ∈, − ∈, 则:
是奇函数 ⇔ − = − ,
是偶函数 ⇔ − = ,
∴ 既是奇函数又是偶函数 ⇔ − = − = ⇔ = 0.
如: = 2 − 2, =
1
都是偶函数.
注: 图像关于 y 轴对称的函数是偶函数, 偶函数的图像关于 y 轴对称.
问题2.函数 ℎ = 2 − 2,
∈ −1,2 是偶函数吗?
分析 = −1,2 , ∀ ∈ , 是否满足 ① − ∈ ; ② − = ?
2. − =
− = −
⇔ − − = 0,
⇔ − + = 0.
(1) = 2 +
偶函数
(2) = + 1 − − 1 +
奇函数
(3) = 2 + ∙
奇函数
例 3 如果函数 和 均为奇函数, 且定义域相同(均为 D), 判断下列
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
1+
≥ 0
.
< 0
(1) = + 1 − − 1 ;
解 (1)定义域为, ∴∀ ∈, − ∈.
∵ − = − + 1 − − − 1 �
= − 1 − + 1 = − ,
点 P, 那么图像上必定存在一个横坐标为 − 的点 Q, 这两点关于 y 轴对称,
人教版高中数学奇偶性全文课件PPT1
-4 -3 -2 -1 O1 2 3 4 x -1
-2
-3
-3
-4
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奇函数
定义：对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(odd function)。
请分别举例说明这四类 函数
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2、判断函数的奇偶性 奇函数 偶函数
非奇非偶函数
偶函数
非奇非偶函数 奇函数
奇函数
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三、函数奇偶性的应用 1、利用函数的奇偶性求解析式
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2、利用函数的奇偶性求函数值
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-1
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错
错
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二、函数奇偶性的判断 1、函数的分类
一个函数不是奇函数就是偶函数，这个说法是否 正确，理由是什么？
人教版高中数学必修一.2函数的奇偶性PPT课件
人教A版必修一第一章
复习引入：
复习引入：
1.什么是轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁 的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做它的对称轴.
2.什么是中心对称图形？
在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，能 与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做它的对称中心.
f(x)=2-｜x｜ … -1 0
1
2
12 10
3
…
-1 …
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 o
f(x)=2-｜x｜
123 x
人教版高中数学必修一.2函数的奇偶 性PPT课 件
人教版高中数学必修一.2函数的奇偶 性PPT课 件
… -3 -2 -1 0 1 ax
质
关于原点对称
关于y轴对称
判断
定义域是否关于原点对称.
步骤
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
注：若奇函数在原点处有定义，则一定有f(0)=0
课堂检测：
1.若定义在区间[a,5] 上的函数f(x) 为偶函数，则a=___.
2. 已知函数 （）
是奇函数，则a 的值为
A．-1
B．-2
C．1
D．2
3. 如果奇函数f(x) 在[3,7] 上是增函数，且最小值是5， 那么 在f(x)在[-7,-3] 上是（ ）
A增函数，最小值是-5 B增函数，最大值是-5
C减函数，最小值是-5 D减函数，最大值是-5
4. 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)
; (2)
；
（3）
; (4)
课后拓展：
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， f(x)=x(1-x),
复习引入：
复习引入：
1.什么是轴对称图形？
如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁 的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图 形，这条直线叫做它的对称轴.
2.什么是中心对称图形？
在平面内，一个图形绕某个点旋转1800，能 与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称 图形，这个点叫做它的对称中心.
f(x)=2-｜x｜ … -1 0
1
2
12 10
3
…
-1 …
y
5 4 3 2 1
-3 -2 -1 o
f(x)=2-｜x｜
123 x
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… -3 -2 -1 0 1 ax
质
关于原点对称
关于y轴对称
判断
定义域是否关于原点对称.
步骤
f(-x)=-f(x)
f(-x)=f(x)
注：若奇函数在原点处有定义，则一定有f(0)=0
课堂检测：
1.若定义在区间[a,5] 上的函数f(x) 为偶函数，则a=___.
2. 已知函数 （）
是奇函数，则a 的值为
A．-1
B．-2
C．1
D．2
3. 如果奇函数f(x) 在[3,7] 上是增函数，且最小值是5， 那么 在f(x)在[-7,-3] 上是（ ）
A增函数，最小值是-5 B增函数，最大值是-5
C减函数，最小值是-5 D减函数，最大值是-5
4. 判断下列函数是否具有奇偶性：
(1)
; (2)
；
（3）
; (4)
课后拓展：
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时， f(x)=x(1-x),
《奇偶性》_课件详解人教版1
一个x，则-x也一定也在定义域内(即定义域关
于原点对称)．
《奇偶性》优质ppt人教版1-精品课件 ppt(实 用版)
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(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f (-x)=-f (x)成立. 若f(x)为偶函数，则f (-x)=f (x)成立.
《奇偶性》优质ppt人教版1-精品课件 ppt(实 用版)
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随堂训练
判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+2x；
(2) f(x)=2x4+3x2；
解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x)，
1 3
类比于偶函数定义的导出，得出奇函数的定义。
《奇偶性》优质ppt人教版1-精品课件 ppt(实 用版)
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奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的特征: ①解析式的基本特征： f (-x)=-f (x) ②图象特征:关于原点对称.
《奇偶性》优质ppt人教版1-精品课件 ppt(实 用版)
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例题1 . ( 教材35页例5)判断下列函数的奇偶性：
• （1）
（2）
• （3）
（4）
首先，确定函数的定义域，并判断其定义域是否关 于原点对称；
其次，确定
与
的关系；
于原点对称)．
《奇偶性》优质ppt人教版1-精品课件 ppt(实 用版)
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(3)奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若f(x)为奇函数，则f (-x)=-f (x)成立. 若f(x)为偶函数，则f (-x)=f (x)成立.
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随堂训练
判断下列函数的奇偶性:
(1) f(x)=x3+2x；
(2) f(x)=2x4+3x2；
解: 函数定义域为R． ∵f(-x)=(-x)3+2(-x) = -x3-2x = -(x3+2x) = - f(x)，
1 3
类比于偶函数定义的导出，得出奇函数的定义。
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奇函数的概念
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, 都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
奇函数的特征: ①解析式的基本特征： f (-x)=-f (x) ②图象特征:关于原点对称.
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例题1 . ( 教材35页例5)判断下列函数的奇偶性：
• （1）
（2）
• （3）
（4）
首先，确定函数的定义域，并判断其定义域是否关 于原点对称；
其次，确定
与
的关系；
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*强调: 理解并熟练掌握规范的证明步骤.
**例题2:画出函数 y x(x 2 2)(,1 x 5)
的大致图象,并根据图象讨论函数的单调性.
*说明:(1)解题的前提是必须把函数的解析式转化
为分段函数的形式:
y
x2 ,(1 x 2)
x2
4x,(2
x
5)
x o 1-m -m 2
典例解析
(综合问题) **例题4:若奇函数定f(x)在区间[1,5]上是递减函数, 试判断函数f(x)在区间[-5,-1]上的单调性,并加以
证明.
y
*说明:
(1)可根据题意,作
出函数的大致图象;
o
-
-x
(2)然后利用奇函数 -5 x1 x2 -1 1 x2 x1 5
的数量关系转化条
(3)最后根据所作出的函数的大致图象,研究函数 的单调性.
问题探究
**例题7:已知函数 f(x1) x2 2x1 的定义域为 [-2,0].试求出函数f(x)的单调区间.
*说明: (1)可以利用代换法先求得函数f(x)的解析 式及其定义域,然后作图解之. (2)在进行代换的同时应注意变量的允许范 围也应随之而同步变化.
(2)然后分段作出函数图象,并利用其观察出
函数的单调性.
作图演示
y
4
y x(x 2 2)(,1 x 5)
3
2
1
5
x
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
-1
y
x2 x2
,(1 x 2) 4x,(2 x 5)
-2 -3 -4
-5
**作图法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为研究函数性质的重要的常用方法,应加
以重视和关注,特别是掌握画复杂的分段函数的图象.
典例解析
(综合问题)
**例题3:定义在区间[-2,2]上的偶函数g(x),在x≥0
时,g(x)单调递减,若g(1-m)＞g(m)成立.求:实数m的
取值范围.
y
*说明:
(1)可根据题意,作 出函数的大致图象;
g(1-m) g(m)
(2)然后数形结合, 转化条件为绝对值 -2 m 不等式组而后解之.
课堂小结
**请你谈谈本节课的体会与收获**
课后作业
**导学与测试(P77) 课后练习3.4(2): 3,4,5.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10.
(1)求证函数
f
(
x )
x
4 x
,x
(,2
)是增函数.
(2)若函数
y
a x ,y
-
b x
在(0,+∞)上都是减函数,
那么函数 f(x) ax2 bx 在(0,+∞)上的单调性如
何?并说明理由.
(3)判断函数 f(x) 2x2 6x 7,x - 4,5 的单调性,
并求出它的单调区间.
(4)画出函数 f(x) x x 3 1的图象,并写出函数的 单调区间.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10. (5)已知函数 f(x) ax2 2x 3在[1,+∞)上为减函数, 在(-∞,1]为增函数,求实数a的值.
(2a2 a 1)(,3a2 2a 1)恒大于零.
问题探究
**例题6:研究函数
y
x
1 x
的奇偶性、单调性.
*说明: (1)研究函数的性质时,首先必然要研究函数的定 义域,同时还需作出的函数的大致图象;
(2)可利用和函数图象的作法,结合函数奇偶性以 及基本不等式等知识,作出相对准确的函数图象;
(6)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,4]内单调递增, 试比较f(-π)与f(3.14)的大小.
(7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0] 上是增函数,若f(a)≥f(2),求实数a的取值范围. (8)已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且在定义域上 是单调递减函数,若 f(1- a) f(1- a2 ) 0 ,求实数a的 取值范围.
复习导入
**1.简述:奇函数、偶函数的概念,图象性质,判断方法.
**2.简述:增函数、减函数的概念,图象性质,判断方法.
**强调: ①函数图象的重要性,其作用在于能直观形象地 反映出函数的具体性质. ②判断方法:应紧扣概念,规范步骤,讲求方法, 严格证明.
典例解析
**例题1:证明函数 f(x) x3 3 在R上递减.
件,并加以严格证明.
典例解析
(综合问题) **例题5:若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是 单调递增的,若满足 f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1). 试求出实数a的取值范围.
*说明: (1)根据题意,作出函数的大致图象解决问题;
(2)应注意本题中的自变量的特殊性.
**例题2:画出函数 y x(x 2 2)(,1 x 5)
的大致图象,并根据图象讨论函数的单调性.
*说明:(1)解题的前提是必须把函数的解析式转化
为分段函数的形式:
y
x2 ,(1 x 2)
x2
4x,(2
x
5)
x o 1-m -m 2
典例解析
(综合问题) **例题4:若奇函数定f(x)在区间[1,5]上是递减函数, 试判断函数f(x)在区间[-5,-1]上的单调性,并加以
证明.
y
*说明:
(1)可根据题意,作
出函数的大致图象;
o
-
-x
(2)然后利用奇函数 -5 x1 x2 -1 1 x2 x1 5
的数量关系转化条
(3)最后根据所作出的函数的大致图象,研究函数 的单调性.
问题探究
**例题7:已知函数 f(x1) x2 2x1 的定义域为 [-2,0].试求出函数f(x)的单调区间.
*说明: (1)可以利用代换法先求得函数f(x)的解析 式及其定义域,然后作图解之. (2)在进行代换的同时应注意变量的允许范 围也应随之而同步变化.
(2)然后分段作出函数图象,并利用其观察出
函数的单调性.
作图演示
y
4
y x(x 2 2)(,1 x 5)
3
2
1
5
x
-4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4
-1
y
x2 x2
,(1 x 2) 4x,(2 x 5)
-2 -3 -4
-5
**作图法ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为研究函数性质的重要的常用方法,应加
以重视和关注,特别是掌握画复杂的分段函数的图象.
典例解析
(综合问题)
**例题3:定义在区间[-2,2]上的偶函数g(x),在x≥0
时,g(x)单调递减,若g(1-m)＞g(m)成立.求:实数m的
取值范围.
y
*说明:
(1)可根据题意,作 出函数的大致图象;
g(1-m) g(m)
(2)然后数形结合, 转化条件为绝对值 -2 m 不等式组而后解之.
课堂小结
**请你谈谈本节课的体会与收获**
课后作业
**导学与测试(P77) 课后练习3.4(2): 3,4,5.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10.
(1)求证函数
f
(
x )
x
4 x
,x
(,2
)是增函数.
(2)若函数
y
a x ,y
-
b x
在(0,+∞)上都是减函数,
那么函数 f(x) ax2 bx 在(0,+∞)上的单调性如
何?并说明理由.
(3)判断函数 f(x) 2x2 6x 7,x - 4,5 的单调性,
并求出它的单调区间.
(4)画出函数 f(x) x x 3 1的图象,并写出函数的 单调区间.
**导学与测试(P78) 单元综合练习3.4: 3,4,5,10. (5)已知函数 f(x) ax2 2x 3在[1,+∞)上为减函数, 在(-∞,1]为增函数,求实数a的值.
(2a2 a 1)(,3a2 2a 1)恒大于零.
问题探究
**例题6:研究函数
y
x
1 x
的奇偶性、单调性.
*说明: (1)研究函数的性质时,首先必然要研究函数的定 义域,同时还需作出的函数的大致图象;
(2)可利用和函数图象的作法,结合函数奇偶性以 及基本不等式等知识,作出相对准确的函数图象;
(6)已知定义域为R的偶函数f(x)在[0,4]内单调递增, 试比较f(-π)与f(3.14)的大小.
(7)已知函数y=f(x)是R上的偶函数,且f(x)在(-∞,0] 上是增函数,若f(a)≥f(2),求实数a的取值范围. (8)已知奇函数f(x)的定义域为(-1,1),且在定义域上 是单调递减函数,若 f(1- a) f(1- a2 ) 0 ,求实数a的 取值范围.
复习导入
**1.简述:奇函数、偶函数的概念,图象性质,判断方法.
**2.简述:增函数、减函数的概念,图象性质,判断方法.
**强调: ①函数图象的重要性,其作用在于能直观形象地 反映出函数的具体性质. ②判断方法:应紧扣概念,规范步骤,讲求方法, 严格证明.
典例解析
**例题1:证明函数 f(x) x3 3 在R上递减.
件,并加以严格证明.
典例解析
(综合问题) **例题5:若定义在R上的偶函数f(x)在(-∞,0)上是 单调递增的,若满足 f(2a2 a 1) f(3a2 2a 1). 试求出实数a的取值范围.
*说明: (1)根据题意,作出函数的大致图象解决问题;
(2)应注意本题中的自变量的特殊性.