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高三年级数学第三次考试(附答案)

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高三试卷数学-山东省实验中学2024届高三上学期第三次诊断考试(12月)数学试卷及参考答案

高三试卷数学-山东省实验中学2024届高三上学期第三次诊断考试(12月)数学试卷及参考答案

山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A.13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C.{0,1,2}D.{0,1}2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）A.85B.85-C.15D.15-3.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.29B.827C.49D.125.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.,1]3B.6[3 C.622,33D.22[,1]36.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =±B.y =±C.y =D.y =7.已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.[)1,+∞ C.12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.3B.6C.12D.6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）A.1012k a =B.10111012a m a << C.m k≥ D.212s s =10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A .4ω= B.π6ϕ=-C.()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称11.已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（）A.当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B.函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ⊥D.1AP PQ QB ++的取值范围是第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．15.若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．19.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．山东省实验中学2024届高三第三次诊断考试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第3页至第4页．3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．4．非选择题的作答：用0.m 加黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．第Ⅰ卷（共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}220M x x x =--<，{210}N x x =∈+>Z ，则M N ⋂=（）A.13,22⎛⎤-⎥⎝⎦ B.1,12⎛⎤-⎥⎝⎦C.{0,1,2}D.{0,1}【答案】D 【解析】【分析】化简集合M,N ，根据交集运算得解.【详解】因为{}220{12}M x x x x x =--<=-<<，12N x x ⎧⎫=∈>-⎨⎬⎩⎭Z ，所以{0,1}M N ⋂=．故选：D ．2.已知复数z 满足()12i 32i z +=-，则复数z 的实部为（）A.85B.85-C.15 D.15-【答案】D 【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数z ，即可得答案.【详解】由()12i 32i z +=-可得()32i (12i)32i 18i 18i 12i 5555z -----====--+，故复数z 的实部为15-，故选：D3.数列{}n a 满足21n n a a +=，*n ∈N ，则“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】解：由()2110n n n n n n a a a a a a +-=-=->，解得0n a <或1n a >，所以“12a =”是“{}n a 为单调递增数列”的充分不必要条件，故选：A4.把一个正方体各面上均涂上颜色，并将各棱三等分，然后沿等分线把正方体切开．若从所得的小正方体中任取一个，恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为（）A.29B.827C.49D.12【答案】C 【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式求得正确答案.【详解】一共有33327⨯⨯=个小正方体，其中2个面有颜色的小正方体有12个，（每条棱上有1个）所以恰好抽到2个面有颜色的小正方体的概率为124279=.故选：C5.如图在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A.,1]3B.6[3 C.622,33D.22[,1]3【答案】B 【解析】【详解】设正方体的棱长为1，则11111AC AC AO OC OC ======，所以1111332122cos ,sin 33322A OC A OC +-∠==∠=⨯，1131322cos ,sin 33A OC A OC +-∠=-∠=.又直线与平面所成的角小于等于90 ，而1A OC ∠为钝角，所以sin α的范围为[,1]3，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.6.如图，1F ､2F 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于A ､B 两点.若A 是2BF 中点且12BF BF ⊥则该双曲线的渐近线方程为（）A.y =±B.y =±C.y =D.y =【答案】A 【解析】【分析】设2AB AF m ==，利用双曲线的定义得121222,222AF AF a m a BF BF a m a =+=+=-=-，再利用勾股定理建立方程组，消去m ,得到2213a c =，进而得到b a的值，由by x a =±得到双曲线的渐近线方程.【详解】设21212,22,222AB AF m AF AF a m a BF BF a m a ===+=+=-=-，222222111212,BF BA AF BF BF F F +=+=,()()222222m a m m a -+=+①，()2222244m a m c -+=②,由①可得3,m a =代入②式化简得：2213a c =,∴2212a b =,∴ba=,所以双曲线的渐近线方程为by x a=±=±.故选：A【点睛】本题考查双曲线的定义、渐近线方程，解题时要注意如果题干出现焦半径，一般会用到双曲线的定义.7.已知函数()()3222,1131122,1326ax x f x x ax a x x -≤⎧⎪=⎨-++->⎪⎩，若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.[)1,+∞ C.12,2⎛⎤- ⎥⎝⎦D.3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】转化为任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，得到()g x 在R 上递增求解.【详解】解：因为若对任意12x x <都有()()121222f x f x x x -<-，所以对任意12x x <都有()()112222f x x f x x -<-，令()()2g x f x x =-，则()g x 在R 上递增，当1x ≤时，()()22g x a x =-+，则20a +<，即2a <-成立；当1x >时，()322213112326g x x ax a x =-+-，则()2232g x x ax a '=-+，当312a ≤，即23a ≤时，()211320g a a '=-+≥，解得12a ≤；当312a >，即23a >时，231024a g a ⎛⎫'=-≥ ⎪⎝⎭，无解；又()21311222326a a a -+≤-+-，即2430a a --≥，解得34a ≤-或1a ≥，综上：2a <-，故选：A.8.棱长为2的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些小球的最大半径为（）A.3 B.6C.12D.6【答案】C 【解析】【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++求出内切球的半径，再通过11AO O HAO OF=求出空隙处球的最大半径即可.【详解】由题，当球和正四面体A BCD -的三个侧面以及内切球都相切时半径最大，设内切球的球心为O ，半径为R ，空隙处最大球的球心为1O ，半径为r ，G 为BCD △的中心，得AG ⊥平面BCD ，E 为CD 中点，球O 和球1O 分别和平面ACD 相切于F ，H ，在底面正三角形BCD 中，易求BE =，233BG BE ==，3AG ∴=，又344ABC ABD ACD BCD S S S S ====⨯= ，由A BCD O BCD O ABC O ACD O ABD V V V V V -----=+++，即得3A BCDBCD ABC ABD ACDV R S S S S -=+++，又12622333A BCD V -==，66R ∴==，362AO AG GO =-=-=，12363AO AG R r r r =--=--=-，又1AHO AFO ，可得11AO O H AO OF =即612r =，即球的最大半径为12.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.一组数据1220231232023(),,,a a a a a a a ⋯<<<⋯<，记其中位数为k ，均值为m ，标准差为1s ，由其得到新数据123202321,21,21,,21a a a a +++⋯+的标准差为2s ，下列结论正确的是（）A.1012k a =B.10111012a m a << C.m k≥ D.212s s =【答案】AD 【解析】【分析】利用中位数的定义可判断A 选项；举反例可判断B 选项C ；利用均值和方差公式可判断D 选项.【详解】对于A 选项，因1232023a a a a <<<< ，样本数据最中间的项为1012a ，由中位数的定义可知，1012k a =，A 正确；对于B ，不妨令n a n =()820231,2,,2022,100n a =⋯=，则81012122022100122023101220232023m a +++++++=>== ，B 错误；对于C ，不妨令n a n =()20231,2,,2022,1n a =⋯=，则10121220222022.11220222023101220232023m k a ++++++===<= ，C 错误；对于D ，数据123202421,21,21,,21a a a a ++++ 的均值为：()202420241121212120242024ii i i a a m ==+=+=+∑∑，其方差为122s s =，D 对.故选：AD 10.已知函数()()12πsin 0,,,2f x x x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，下列结论正确的是（）A.4ω=B.π6ϕ=-C.()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 D.()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称【答案】BCD 【解析】【分析】由题意可得π22T =，即可求出ω，再根据正弦函数的对称性即可求出ϕ，根据正弦函数的单调性和对称性即可判断CD .【详解】因为12,x x 为()f x 的两个极值点，且12x x -的最小值为π2，所以π2π222T ω==，所以2ω=，故A 错误；则()()sin 2f x x ϕ=+，又直线π3x =为()f x 图象的一条对称轴，所以2πππ32k ϕ+=+，所以ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故B 正确；所以()πsin 26f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由π,06x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，得πππ2,626x ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在间π,06⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确；将()f x 的图象向右平移π12个单位长度后得到函数()g x 的图象，则()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为πππsin 0633g ⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 正确.故选：BCD .11.已知函数()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，下列说正确的是（）A.当[]()*2,22x n n n ∈+∈N 时，()()1sin π22nf x x n =-B.函数()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增C.方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根D.若关于x 的不等式()()2f x k x ≤-在[]2,4恒成立，则1k ≥【答案】BC 【解析】【分析】A 、B 项利用函数的周期性和单调性求解；C 项，利用函数图象交点解决方程根的问题；D 项，利用切线性质解决不等式问题.【详解】A 项，()()2sin π,0212,22x x f x f x x ≤≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，表示当[]0,2x ∈时，()f x 向右平移2个单位长度时，y 值变为原来的12倍，所以当[]()*2,22x n n n ∈+∈N ，()()11sin π22n f x x n -=-，A 项错误；B 项，当[]0,2x ∈时，()2sin πf x x =，增区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当[]2,4x ∈时，增区间为52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦和7,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦，同理可得，所以()f x 在()*12,22n n n ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦N 上单调递增，B 项正确；C 项，如图所示，()y f x =与()()lg 2g x x =+的图象，满足5522f g ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，9922f g ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两图象共有4个交点，所以方程()()lg 2f x x =+有4个相异实根，C项正确；D 项，当[]2,4x ∈时，()()sin π2f x x =-，所以()()()()2sin π22f x k x x k x ≤--≤-⇒，当两函数相切时，k 有最小值，()()πcos π2f x x '=-，所以()2πf '=，所以πk ≥，D 项错误.故选：BC.12.圆柱1OO 高为1，下底面圆O 的直径AB 长为2，1BB 是圆柱1OO 的一条母线，点,P Q 分别在上、下底面内（包含边界），下列说法正确的有（）．A.若+=PA PB 3，则P 点的轨迹为圆B.若直线OP 与直线1OB 成45︒，则P 的轨迹是抛物线的一部分C.存在唯一的一组点,P Q ，使得AP PQ ⊥D.1AP PQ QB ++的取值范围是【答案】BC 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间距离公式以及向量夹角公式列式计算可得点P 的轨迹方程判断选项A 和选项B ，假设AP PQ ⊥，根据勾股定理列式结合均值不等式计算最值，即可判断选项C ，计算1AP PQ QB ++的最大值3AP 判断选项D.【详解】对B ，如图，不妨以O 为原点，以AB 的垂直平分线，1,OA OO 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0,(0,1,0),(0,1,0)OA B -，()10,1,1B -，设(),,1P x y ，则()()10,1,1,,,1OB OP x y =-=，由题意，22=，化简得，212y x =-，由于P 点在上底面内，所以P 的轨迹是抛物线的一部分，故B正确；对A ，3PA PB +==，化简得22119420x y +=，即P 点的轨迹为椭圆，故A 错误；对C ，设点P 在下平面的投影为1P ，若AP PQ ⊥，则222AP PQ AQ +=，则222221111AP PQ AQ +++=，当1P 在线段AQ 上时，2211AP PQ +可取最小值，由均值不等式，222211242AQ AQ AP PQ +≥⨯=，当且仅当112AQAP PQ ==时等号成立，所以2222112()2AQ AQ AP PQ =-+≤，即24AQ ≥，而点Q 只有在与点B 重合时，2A Q 才能取到4，此时点B 与点Q 重合，点P 与点1O 重合，故C 正确；对D ，当点P 与点1B ，点A 与点Q 重合，1AP PQ QB ++的值为3AP ==>，故D 错误.故选：BC【点睛】判断本题选项B 时，利用定义法计算线线所成的角不好计算时，可通过建立空间直角坐标系，利用向量夹角的计算公式列式计算.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1A -，()3,B y ，向量()1,2a = ，若AB 与a成锐角，则y 的取值范围为________．【答案】(1,9)(9,)-+∞ 【解析】【分析】根据向量夹角为锐角利用数量积求解.【详解】因为(4,1)AB y =- ，()1,2a = ，AB 与a成锐角，所以422220AB a y y ⋅=+-=+>，解得1y >-，当AB 与a同向时，(4,1)(1,2)(0)y λλ-=>，即412y λλ=⎧⎨-=⎩，解得9y =，此时满足0AB a ⋅> ，但AB 与a所成角为0，不满足题意，综上，AB 与a成锐角时，y 的取值范围为(1,9)(9,)-+∞ .故答案为：(1,9)(9,)-+∞ 14.如果圆台的上底面半径为5，下底面半径为R ，中截面（与上、下底面平行且等距的平面）把圆台分为上、下两个部分，其侧面积的比为1:2，则R =_______．【答案】25【解析】【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积的比为1:2，我们易构造出关于R 的方程，解方程即可求出R 的值．【详解】设中截面的半径为r ，则52R r +=①，记中截面把圆台分为上、下两个圆台的侧面积分别为1S 、2S ，母线长均为l ，1 2 π(),π()S r l S R r l =+=+5，又 1 2 ::S S =12 ，(5):()1:2r R r ∴++=②，将①代入②整理得：25R =.故答案为：2515.若关于x 的不等式()221e x x ax ≥+在()0,∞+恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(],2e -∞【解析】【分析】利用分离参数法，通过构造函数以及利用导数来求得a 的取值范围.【详解】依题意，不等式()221e xx ax ≥+在()0,∞+恒成立，即()221e x x a x+≤在()0,∞+恒成立，设()()()221e 0x x f x x x+=>，()()()23333312211e e ex x x x x x x x x x f x x x x -+++--+==='-，其中232e 0xx x x++>，所以()f x 在区间()0,1上，()()0,f x f x '<单调递减；在区间()1,+∞上，()()0,f x f x '>单调递增，所以()()12e f x f ≥=，所以2e a ≤，所以a 的取值范围是(],2e -∞.故答案为：(],2e -∞16.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，过C 中心的直线交C 于M ，N 两点，点P 在x 轴上其横坐标是点M 横坐标的3倍，直线NP 交C 于点Q ，若直线QM 恰好是以MN 为直径的圆的切线，则C 的离心率为_________．【答案】2【解析】【分析】利用三条直线的斜率关系，结合点差法可得.【详解】设()11,M x y ，()22,Q x y ，则()11,N x y --，()13,0P x ，设1k 、2k 、3k ，分别为直线MN 、QM 、NP 的斜率，则111y k x =，21221y y k x x -=-，()113111101344y y k k x x x +===--，因直线QM 是以MN 为直径的圆的切线所以QM MN ⊥，121k k =-，所以2314k k =-，又Q 在直线NP 上，所以21321y y k x x +=+，因M 、Q 在()222210x ya b a b +=>>上，所以2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得22221212220x x y y a b--+=，整理得2212122121y y y y b x x x x a +-⋅=-+-，故223214b k k a =-=-，即2214b a =，222131144b e a =-=-=，故2e =.故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()()sin sin sin sin C B c b a A B +-=-．（1）求角C 的大小（2）若ACB ∠的平分线交AB 于点D ，且2CD =，2AD DB =，求ABC 的面积．【答案】（1）π3C =（2）332【解析】【分析】（1）由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-，利用正弦定理转化为222a b c ab +-=，再利用余弦定理求解；（2）方法一根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，利用角平分线定理得到2b a =，23AD c =，13BD c =，再由1cos 2C =，3cos 2ACD ∠=，求得边长，再利用三角形面积公式求解.方法二根据CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，得到2b a =，然后由+= ACD BCD ABC S S S ，求得边a ，再利用三角形面积公式求解.【小问1详解】解：由(sin sin )()(sin sin )C B c b a A B +-=-及正弦定理，得()()()c b c b a a b +-=-，即222a b c ab +-=，所以2221cos 22a b c C ab +-==．因为(0,π)C ∈，所以π3C =．【小问2详解】方法一因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以由角平分线定理，得2CA AD CB DB==，则有2b a =，23AD c =，13BD c =．由222214cos 24a a c C a +-==，得c =．又2244439cos 28a c ACD a+-∠==，将c =代入，可得2a =或a =当32a =时，32c =，则13222DB CB +=+<，故舍去，所以a =所以11333sin 2222ABC S ab C ==⨯=△．方法二因为CD 平分ACB ∠，且2AD DB =，所以2CA ADCB DB==，则有2b a =．因为+= ACD BCD ABC S S S ，所以1π1π1π2sin 2sin sin 262623b a ab ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，则有23322a a =，所以a =所以21π333sin 2322ABC S ab ===△．18.如图，三棱锥–S ABC 的底面ABC 和侧面SBC 都是等边三角形，且平面SBC ⊥平面ABC ，点P 在侧棱SA 上．（1）当P 为侧棱SA 的中点时，求证：SA ⊥平面PBC ；（2）若二面角P BC A ––的大小为60°，求PASA的值．【答案】（1）证明见解析；（2）32PA SA -=.【解析】【分析】（1）通过证明SA BP ⊥和SA CP ⊥即可得证；（2）取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法建立关系可求解.【详解】（1）证明：因为ABC 为等边三角形，所以AB AC BC ==.因为SBC △为等边三角形，所以SB SC BC ==，所以AB SB =，AC SC =.在等腰BAS △和等腰CAS △中，因为P 为SA 的中点，所以SA BP ⊥，SA CP ⊥.又因为BP CP P = ，BP ，CP ⊂平面PBC ，所以SA ⊥平面PBC .（2）如图，取BC 的中点O ，连接SO ，AO ，则在等边ABC 和等边SBC △中，有BC AO ⊥，BC SO ⊥，所以AOS ∠为二面角S BC A --的平面角.因为平面SBC ⊥平面ABC ，所以90AOS ∠=︒，即AO SO ⊥.所以OA ，OB ，OS 两两垂直.以点O 为坐标原点，OB ，AO ，OS 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.设AB a =，则30,,02A a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0,02C a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，30,0,2S a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为P 在SA 上，设AP AS λ=()01λ<<，()0,,P y z ，则30,,2AP y a z ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭ ，330,,22AS a a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，解得()312y a λ=-，32z a λ=，即()0,1,22P a a λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.显然平面ABC 的一个法向量(0,0,1)n =.设平面PBC 的一个法向量为()111,,m x y z =，因为()133,1,222BP a a a λ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，(),0,0CB a = .所以00m BP m CB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即()111010x y z λλ=⎧⎨-+=⎩，令1y λ=，则11z λ=-，所以()0,,1m λλ=-.因为二面角P BC A --的大小为60°，所以cos ,cos 60mn mn m n ⋅〈〉==︒，所以22630λλ-+=.又01λ<<，解得32λ=，即32PA SA =.【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查向量法求空间中线段比例，属于中档题.19.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n n a n n -=⋅∈N （2）()31212nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n nn a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴121n na a n n+=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n na n-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n=，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k kk k k kk b b k ck -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n n n T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********nn n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.20.某中学有A ，B 两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：选择餐厅情况（午餐，晚餐）(),A A (),A B (),B A (),B B 王同学9天6天12天3天张老师6天6天6天12天假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率．（1）估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率；（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（3）假设M 表示事件“A 餐厅推出优惠套餐”，N 表示事件“某学生去A 餐厅就餐”，()0P M >，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明．()()РP M N M N >．【答案】（1）0.6（2）分布列见解析，1.9（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由频率估计概率，按古典概型进行求解；（2）先确定随机变量的可能取值，再求出各值所对应的概率，列出分布列，根据期望的定义求期望；（3）用条件概率公式进行推理证明.【详解】（1）设事件C 为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”，因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为61218+=，所以()180.630P C ==．（2）记X 为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X 的所有可能取值为1和2，所以()10.30.20.10.40.1P X ==⨯+⨯=，()()2110.9P X P X ==-==，所以X 的分布列为X 12P0.10.9所以X 的数学期望()10.120.9 1.9E X =⨯+⨯=．（3）由题知()()|P N M P N M >，所以()()()()()()()1P NM P NM P N P NM P M P MP M ->=-所以()()()P NM P N P M >⋅，所以()()()()()()()P NM P N P NM P N P M P N P NM ->⋅-，即()()()()P NM P N P N P NM ⋅>⋅，所以()()()()P NM P NM P N P N >，即()()||PM N P M N >21.已知函数()ln f x x =，()xg x e =．（1）若函数()()11x x f x x ϕ+=--，求函数()x ϕ的单调区间；（2）设直线l 为函数()f x 的图象上一点()()00,A x f x 处的切线．证明：在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与曲线()y g x =相切．【答案】（1）增区间()0,1和()1,+∞；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得函数()y x ϕ=的定义域和导数，分析导数的符号变化，即可得出函数()y x ϕ=的单调递增区间和递减区间；（2）求得直线l 的方程为001ln 1y x x x =+-，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，可得出0ln t x =-，进而可将直线l 的方程表示为0001ln 1x y x x x +=+，可得0001ln 1x x x +=-，然后利用（1）中的函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上的单调性结合零点存在定理可证得结论成立.【详解】（1）()()11ln 11x x x f x x x x ϕ++=-=---，定义域为()()0,11,+∞ ，()()()222121011x x x x x x ϕ+'=+=>--，所以，函数()y x ϕ=的单调递增区间为()0,1，()1,+∞；（2）()ln f x x =Q ，()001f x x '∴=，所以，直线l 的方程为()0001ln y x x x x -=-，即001ln 1y x x x =+-，()x g x e = ，则()x g x e '=，设直线l 与函数()y g x =相切于点()(),t g t ，则()01tg t e x '==，得0ln t x =-，则切点坐标为001ln ,x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以，直线l 的方程可表示为()00011ln y x x x x -=+，即0001ln 1x y x x x +=+，由题意可得000ln 1ln 1x x x +-=，则0001ln 1x x x +=-，下面证明：存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.由（1）知，函数()1ln 1x x x x ϕ+=--在区间()1,+∞上单调递增，()2ln 230ϕ=-< ，()22222132011e e e e e ϕ+-=-=>--，由零点存在定理可知，存在唯一的()202,x e ∈，使得()00x ϕ=，即0001ln 1x x x +=-.所以，存在唯一的()01,x ∈+∞使得0001ln 1x x x +=-.因此，在区间()1,+∞上存在唯一的0x ，使得直线l 与与曲线()y g x =相切.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数证明直线与曲线相切，考查了零点存在定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.22.已知动圆过点(0,1)F ，且与直线:1l y =-相切，设动圆圆心D 的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）过l 上一点P 作曲线C 的两条切线,PA PB ，,A B 为切点，,PA PB 与x 轴分别交于M ，N 两点．记AFM △，PMN ，BFN 的面积分别为1S 、2S 、3S ．（ⅰ）证明：四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）求2213S S S 的值．【答案】（1）24x y =（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）1【解析】【分析】（1）设出圆心(,)D x y ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出,,M N P 的坐标，再利用向量的加法法则即可得出证明；（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】设圆心(,)D x y|1|y =+，化简整理得：24x y =，所以曲线C 的方程为：24x y =．【小问2详解】（ⅰ）设()11,A x y ，()22,B x y ，因为24x y =，所以2x y '=，∴直线PA 的方程为：()1112x y x x y =-+，即2111124y x x x =-，令0y =，得到12x x =，同理可得直线PB 的方程为：2221124y x x x =-，令0y =，得到22x x =，∴1,02x M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,02x N ⎛⎫⎪⎝⎭，联立21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消y 解得122x x x +=，所以12,12x x P +⎛⎫-⎪⎝⎭，又(0,1)F ，∴1212,1,1,2222x x x x FM FN FP +⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+-=-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以四边形FNPM 为平行四边形；（ⅱ）由（ⅰ）知直线PA 的方程为2111124y x x x =-，又2114x y =，所以11102x x y y --=，即11220x x y y --=，同理可知直线PB 的方程为22220x x y y --=，又因为P 在直线PA ，PB 上，设()0,1P x -，则有101202220220x x y x x y -+=⎧⎨-+=⎩，所以直线AB 的方程为：0220x x y -+=，故直线AB 过点(0,1)F ，∵四边形FNPM 为平行四边形，∴//FM BP ，//FN AP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，FN PM =，PN MF =，BN BF MPNP FA MA==，∴MP NP MA BN ⋅=⋅，∵11sin 2S MA MF AMF =∠，21sin 2S PM PN MPN =∠，31||sin 2S NB NF BNF =∠‖，∴2222131sin (||||)||||2111||||||||||||sin ||sin 22PM PN MPN S PM PN PM PN S S MA MF NB NF MA NB MA MF AMF NBNF BNF ⎛⎫∠ ⎪⋅⋅⎝⎭====⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫∠⋅∠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭‖．【点睛】关键点点睛：（2）中的第（ⅰ）问，关键在于利用向量来证明，从而将问题转化成求出点的坐标，将几何问题代数化；第（ⅰⅰ）问的关键在于求出直线AB恒过定点，再利用几何关系，求出相似比.。

2024年成都七中高三数学(理)三模考试卷附答案解析

2024年成都七中高三数学(理)三模考试卷附答案解析

2024年成都七中高三数学（理）三模考试卷时间：120分钟满分：150分2024.04一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若向量(),4a x = 与向量()1,b x = 是共线向量，则实数x 等于（）A ．2B ．2-C ．2±D ．02．复数3i1iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数为（）A ．12i+B ．12i -C ．12i-+D ．12i--3．已知全集{}02πU x x =≤≤，集合sin A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，{}sin cos B x x x =≥，则A B ⋂等于（）A ．π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．2nx⎛⎝的展开式中，第5项为常数项，则正整数n 等于（）A ．8B ．7C ．6D ．55．三棱锥A BCD -的三视图如图所示，则该三棱锥的各条棱中，棱长最大值为（）AB C ．D ．26．已知3sin 2cos 21αα+=，则tan α=（）A ．3B ．13C ．13或0D ．3或07．已知圆22:1C x y +=，直线:0l x y c -+=，则“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要8．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩，得到如下所示的列联表：优秀非优秀甲班10b乙班c30附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（n a b c d =+++），()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050k 3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是（）A ．甲班人数少于乙班人数B ．甲班的优秀率高于乙班的优秀率C ．表中c 的值为15，b 的值为50D ．根据表中的数据，若按97.5%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”9．若ln 1,ln3b a e c =-==，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a>>D ．a b c>>10．已知函数()cos f x x x =-，若()()12πf x f x +=，则()12f x x +=（）A ．π1-B ．π1+C ．πD ．011．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，左、右顶点分别为1A ，2A ，P 为双曲线上一点，且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3，则下列说法正确的是（）A ．双曲线的渐近线方程为3y x =±B ．双曲线CC ．若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为2aD ．以1F 为半径的圆与渐近线相切12．设函数()3f x x x =-，正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-，若221a b λ+≤，则实数λ的最大值为（）A ．2+B ．4C ．2D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13．某班男女生的比例为3:2，全班的平均身高为168cm ，若女生的平均身高为159cm ，则男生的平均身高为cm .14．抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点（A 在第一象限），分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为C ，D ，若CD AF BF =-，则直线l 的倾斜角等于.15．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin cos 0c A C =，则22sin sin sin sin A B A B ++=.16．在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,1,2,ABC ABC BA BC BB P ∠=︒===是矩形11BCC B 内一动点，满足223PA PC +=，则当三棱锥-P ABC 的体积最大时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．某保险公司为了给年龄在20～70岁的民众提供某种疾病的医疗保障，设计了一款针对该疾病的保险，现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析，这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.（保费：元）据统计，该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费x2x3x4x5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布，为使公司不亏本，则保费x 至少为多少元？（精确到整数）(2)随着年龄的增加，该疾病患病的概率越来越大，经调查，年龄在[)50,60的老人中每15人就有1人患该项疾病，年龄在[]60,70的老人中每10人就有1人患该项疾病，现分别从年龄在[)50,60和[]60,70的老人中各随机选取1人，记X 表示选取的这2人中患该疾病的人数，求X 的数学期望.18．已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明：数列{}n a 是等比数列，并求出通项公式；(2)设函数()21ln 2f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的导函数为()f x '，数列{}n b 满足()n n b f a ='，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,90,2,ABC ABC BA AA D ∠=︒==是棱AC 的中点，E 在棱1BB 上，且1AE A C ⊥.(1)证明：//BD 平面1AEC ；(2)若四棱锥111C AEB A -的体积等于1，求二面角11C AE A --的余弦值.20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221x y a b+=（0a b >>）过点()2,0A ，直线l 与椭圆相交于不同于A 点的P ，Q 两点，N 为线段PQ 的中点，当直线ON 斜率为14-时，直线l 的倾斜角等于4π(1)求椭圆的方程；(2)直线AP ，AQ 分别与直线3x =相交于E ，F 两点.线段E ，F 的中点为M ，若M 的纵坐标为定值12，判断直线l 是否过定点，若是，求出该定点，若不是，说明理由.21．已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈.(1)若12a =，证明：()0f x >；(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点，求实数a 的取值范围.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程1010x ty t =+⎧⎨=-⎩（为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=，且直线l 与曲线C 相交于,M N 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点()00,P x y 是直线l 上一点，满足20PM PN +=，求点P 的直角坐标.选修4-5：不等式选讲23．已知函数()1f x x =-.（1）求不等式()32f x x ≥-的解集；（2）若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ，正数a ，b 满足a b m +=，求证：224a bb a+≥.1．C【分析】根据向量共线列方程，解方程即可.【详解】因为a 与b共线，所以41x x ⋅=⨯，解得2x =±.故选：C.2．B【分析】先对复数z 化简，再根据共轭复数的概念求解.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+-+-，所以复数z 的共轭复数为12i -.故选：B.3．B【分析】先利用三角函数知识化简两个集合，结合交集运算可得答案.【详解】因为3sin 2x ≥，02x π≤≤，所以π2π33x ≤≤；因为sin cos x x ≥，所以πsin cos sin 04x x x ⎛⎫--≥ ⎪⎝⎭，所以π2π2ππ4k x k ≤-≤+，解得π5π2π+2π44k x k ≤≤+，Z k ∈；因为02x π≤≤，所以π5π44x ≤≤，所以π2π,33A B ⎡⎤⎢⎥⎣=⎦.故选：B 4．C【分析】利用二项式定理求出展开式通项，由条件列方程求n .【详解】二项式2n x⎛ ⎝的展开式的第1r +为()1C 2rn r rr n T x -+⎛= ⎝，所以()4444465C 2C 2n n n nn T x x---⎛== ⎝，由已知6n =，故选：C.5．A【分析】根据给定的三视图作出原三棱锥，再求出各条棱长即可得解.【详解】依题意，三视图所对三棱锥A BCD -如图，其中AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，1,2AB CD BC ===，则AC ==，BD ==，AD ==故选：A 6．D【分析】将条件等价转化为()sin 3cos sin 0ααα-=，再利用等式性质得到结果.【详解】由于()23sin 2cos 26sin cos 12sin 2sin 3cos sin 1αααααααα+=+-=-+，故条件3sin 2cos21αα+=等价于()sin 3cos sin 0ααα-=，这又等价于sin 0α=或sin 3cos αα=，即tan 0α=或tan 3α=，所以D 正确.故选：D.7．C【分析】由事件从圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12，求c 的范围，结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【详解】直线0x y c -+=的斜率为1，在x 轴上的截距为c -，在y 轴上的截距为c ，当c >C 上不存在点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，当c =C 上有且仅有一个点(),x y ，使0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率为0，若0c <，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为劣弧AB （含,A B ）上的点，设劣弧AB 的长度为t ，则0πt <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =<，若0c =，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为直线l 上方的半圆上的点，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率π12π2P ==，若0c <<，如图，圆C 上满足条件0x y c -+≤点为优弧CD （含,C D ）上的点，设优弧CD 的长度为s ，则π2πs <<，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率12π2t P =>，若c ≤C 上所有点满足条件0x y c -+≤，所以事件圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率2π12πP ==，所以“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”等价于“0c ≥”，所以“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ，使0x y c -+≤的概率小于等于12”的充要条件，故选：C.8．D【分析】根据条件解出45b =，20c =，然后直接计算即可判断A ，B ，C 错误，使用2K 的计算公式计算2K ，并将其与5.024比较，即可得到D 正确.【详解】对于C ，由条件知1030105b c +++=，1021057c +=，故65b c +=，1030c +=.所以45b =，20c =，故C 错误；对于A ，由于甲班人数为10104555b +=+=，乙班人数为3020305055c +=+=<，故A 错误；对于B ，由于甲班优秀率为1025511=，乙班优秀率为202250511=>，故B 错误；对于D ，由于()2210545201030 6.109 5.024********K ⋅⨯-⨯=≈>⋅⋅⋅，故D 正确.故选：D.9．A【分析】由题设ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而判断,,a b c 的大小.【详解】由题设知：ln e a e =，ln 2ln 424b ==，ln 33c =，令ln ()xf x x=(0)x >，则21ln ()x f x x -'=，易知(0,)e 上()f x 单调递增，(,)e +∞上()f x 单调递减，即()(3)(4)(2)f e f f f >>=，∴a c b >>.故选：A.【点睛】关键点点睛：构造ln ()xf x x=(0)x >，利用导数研究其单调性，进而比较函数值的大小.10．B【分析】先利用导数证得()f x 在R 上单调递增，再利用条件得到()()12πf f x x =-，结合单调性即知12πx x +=，最后代入求值即可.【详解】因为()cos f x x x =-，所以()1sin 0f x x '=+≥.所以()f x 在R 上单调递增.因为()()12πf x f x +=，所以()()()()()1122222ππcos f x f x f x f x f x x x =-++-=-=()()222πcos ππf x x x =----=，结合()f x 在R 上单调递增，知12πx x =-，即12πx x +=.所以()()12ππππ1cos f x x f +===+-.故选：B.11．D【分析】通过123PA PA k k =求得22b a ，从而求得双曲线的渐近线方程，由此判断A ；进而可求得双曲线的离心率判断B ；求得三角形的面积判断C ；求得1F 到渐近线的距离可判断D.【详解】对于A ，设点(,)P x y ，则2222)1(x y b a-=，因为12(,0),(,0)A a A a -，所以1222222PA PA y y y b k k x a x a x a a ===+-- ，又123PA PA k k =，得223b a =，所以ba=y =，故A 错误；对于B，因为2c a ==，所以双曲线C 的离心率为2，故B 错误；对于C ，因为12PF PF ⊥，所以2221212||||||PF PF F F +=，又12||||||2PF PF a -=，所以22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=，所以2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=，所以212||||2PF PF b =，所以12121||||2PF F S PF PF ==2b ，故C 错误；对于D ，由B 选项可得2c a =，以1F到渐近线方程为y =的距离为：222a d ===，又1F，所以以1F为半径的圆与渐近线相切，故D 正确.故选：D.12．A【分析】依题意可得33a b a b +=-，从而得到222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，再令()1at t b =>，最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为()3f x x x =-，所以()3f a a a =-，()3f b b b =-，又()()2f a f b b +=-，所以332a a b b b -+-=-，即33a b a b +=-，因为0a >，0b >，所以330a b +>，所以0a b >>，所以331a b a b+=-，又221a b λ+≤，即3322a b a b a bλ++≤-，所以322b ba b a b λ≤+-，所以222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-，令at b=，则1t >，所以2221112211111a t t b b a t t t t ++-+===++-⎛⎫ ⎪⎝⎭---()2121t t =-++-22≥+=+，当且仅当211t t -=-，即1t时取等号，所以)22min221b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭，所以2λ≤+，则实数λ的最大值为2+.故选：A【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出331a b a b +=-，从而参变分离得到222b a a b b λ≤+-，再换元、利用基本不等式求出222b a b b a +-的最小值.13．174【分析】设出男生的平均身高，然后根据条件列方程求解即可.【详解】设男生的平均身高为cm x ，则根据题目条件知321591683232x +⋅=++，即3318840x +=，所以84031852217433x -===.故答案为：174.14．4π##45︒【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示CD ，AF ，BF ，求出直线l 的斜率，即可求解.【详解】抛物线22y px =的准线为：2p x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1,2p C y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又A 在第一象限，所以10y >，20y <，所以12CD y y =-，由抛物线定义可得12pAF x =+，22p BF x =+，所以121222p pAF BF x x x x -=+--=-，又CD AF BF =-，所以12CD x x =-，所以1212x x y y -=-，故直线AB 的斜率12121y y k x x -==-，所以直线l 的倾斜角为π4.故答案为：π4.15．34##0.75【分析】由正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，可求得C ，由余弦定理可得222c a b ab =++，再结合正弦定理可得222sin sin sin sin sin A B A B C ++=，可求结论.【详解】由sin cos 0c A C =，结合正弦定理可得sin sin cos 0C A A C =，因为sin 0A ≠，所以sin 0C C =，所以tan C =因为(0,π)C ∈，所以2π3C =，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，可得222c a b ab =++，结合正弦定理可得2223sin sin sin sin sin 4A B A B C ++==.故答案为：34.16．73π##73π【分析】根据给定条件，确定点P 的位置，再结合球的截面小圆性质确定球心并求出球半径即得.【详解】显然三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，过P 作1//PQ AA 交BC 于Q ，连接AQ ，令,PQ x CQ y ==，显然PQ ⊥平面ABC ，,AQ BC ⊂平面ABC ，则,PQ AQ PQ BC ⊥⊥，而90ABC ∠=︒，则222222221(1),PA PQ AQ x y PC x y =+=++-=+，又223PA PC +=，于是22221(1)3x y y ++-+=，整理得2213()24x y =--+，当12y =时，max x 三棱锥-P ABC 的底面ABC 面积为12，要其体积最大，当且仅当x 最大，因此2PQ =，即1PC PB BC ===时，三棱锥-P ABC 的体积最大，PBC 的外接圆圆心2O 为正PBC 的中心，令三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ，半径为R ，则2OO ⊥平面PBC ，显然AC 的中点1O 是ABC 的外接圆圆心，则1OO ⊥平面ABC ，由AB BC ⊥可得AB ⊥平面PBC ，于是21//O Q OO ，而1//O Q AB ，则1O Q ⊥平面PBC ，21//OO O Q ，四边形12OOQO 是平行四边形，因此121336OO O Q PQ ===，而11222O C AC ==，则22211712R OO O C =+=，所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积27π4π3S R ==.故答案为：7π3【点睛】关键点点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.17．(1)30元(2)16【分析】（1）根据小矩形面积和为得到关于a 的方程，解出a 值，再列出不等式，解出即可；（2）首先分析出X 的取值为0，1，2，再列出对应概率值，利用期望公式计算即可.【详解】（1）()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=，解得0.032a =，保险公司每年收取的保费为：()100000.070.1620.3230.2540.2510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯，所以要使公司不亏本，则10000 3.351000000x ⨯≥，即3.35100x ≥，解得10029.853.35x ≥≈，即保费30x =元；（2）由题意知X 的取值为0，1，2，()14912601510150P X ==⨯=，()1914123115101510150P X ==⨯+⨯=，()11121510150P X ==⨯=，列表如下：X12P126150231501150()1262312510121501501501506E X ∴=⨯+⨯+⨯==.18．(1)证明见解析，212n n a -=(2)12520ln24399n n T n +⎤⎡⎫⎛⎫=⋅-+⎥ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦【分析】（1）根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩分两步求解即可；（2）方法一：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，进而将{}n b 通项公式变形为125211ln2443939n n n b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再根据裂项求和求解即可.方法二：根据题意，结合导数运算与212n n a -=得()ln2214nn b n =⋅-⋅，再根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：342n n S a =- ，()11342,2n n S a n --∴=-≥，相减得1344n n n a a a -=-，即14n n a a -=，∴数列{}n a 是以4为公比的等比数列，又1113423S a a =-=，解得12a =121242n n n a --=⋅=.（2）解：方法一：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n n n b n --∴=⋅=⋅-⋅，()125211ln2214ln2443939n n n n b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，∴1231n n nT b b b b b -=+++++ 21324357137ln244ln244ln24499999191⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⨯+⨯+⋅⨯-⨯+⋅⨯-⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11252112520ln244ln243939399n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦.方法二：()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ，()n n b f a ='，212n n a -=，()212122ln2ln2214n n nn b n --∴=⋅=⋅-⋅∴()()2311ln214ln234ln254ln2234ln2214n nn T n n -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅ ()()12344ln214ln234ln254ln2234ln2214n n n T n n +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+ ，两式相减得：()11233ln214ln224ln224ln224ln2214n n n T n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅++ ()()1231ln2142ln2444ln2214n n n ++++=⋅⋅-⋅⋅+- ()()21114ln2142ln2ln22141414n n n +-=⋅⋅-+⋅⋅---()111ln2142ln2ln22414163n n n ++--⋅-⋅+=⋅⋅()()11165412ln22ln23ln221433ln 220432ln 2n n n n n +++⎡⎤-⋅+⋅⋅-=--⋅⎣=-⎦-∴()()1116546542520ln249939ln 220ln 2209n n n n n n T n +++⎡⎤⎡⎤-⋅-⋅⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦===⋅-+ ⎪⎢⎥---⎭⎣+⎝⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+ ⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦19．(1)证明见解析(2)12【分析】（1）先利用线面垂直的判定与性质定理证得1AE A B ⊥，再利用平行线分线段成比例的推论证得//BD FG ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；（2）利用四棱锥111C AEB A -的体积求出11B C ，建系并写出相关点的坐标，求出两个平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】（1）如图，连接1A B 交AE 于F ，连接1A D 交1AC 于G ，连接FG ，1AA ⊥ 平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，1AA BC ∴⊥，又因11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂平面ABE,故BC ⊥平面ABE,又AE ⊂平面ABE,则BC AE ⊥，又111,,,AE A C A C BC C A C BC ⊥=⊂ 平面1,A BC 则⊥AE 平面1,A BC 又1A B ⊂平面1A BC ，1AE A B ∴⊥，在1Rt A AB △中，由12AB AA ==知1A B =，2111AA A F A B ==即12A F BF =，又因1111//,2AD A C A C AD =，可得12A G GD =，即在1A BD 中，112AG A F GD FB==，,BD FG ∴∥FG ⊂ 平面1AEC ，BD ⊄平面1AEC//BD ∴平面1AEC ；（2）设11B C x =，四棱锥111C AEB A -的体积为()1121132⨯+=，解得x =，由（1）知11190,90AA B A BA EAB A BA ∠+∠=︒∠+∠=︒，所以1AA B EAB ∠=∠，又11tan tan AB BE AA B EAB AA AB ∠==∠==，则1BE =，所以E 为棱1BB 的中点.以1,,BC BA BB 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，如图，则()())()11,0,0,1,2,0,A E C A ，则1(0,AE EC == ，设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =，由1n AE n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩，得00z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令z =(n =- ，因BC ⊥平面11ABB A ，故可取平面1AEA 的法向量()1,0,0m =，1cos ,||||2n m n m n m ⋅〈〉==-，因为二面角11C AE A --为锐二面角，所以二面角11C AE A --的余弦值为12.20．(1)2214x y +=；(2)直线l 过点()2,1-.【分析】（1）根据点A 得到2a =，然后利用点差法得到2144b -=-，即可得到1b =，然后写椭圆方程即可；（2）设,P Q 的坐标，根据直线,AP AQ 的方程得到点,E F 的坐标，然后将α，β转化为方程sin 2cos x y kx x -=-的两根，根据M 的纵坐标和韦达定理得到00121422k kx y -⋅=-+，最后根据M 的纵坐标为定值得到0x ，0y ，即可得到直线l 过定点.【详解】（1）由已知得2a =，设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ 中点为()00,N x y 由22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得222221212121221212044x x y y y y y y b b x x x x ---++=⇒⋅=--+，∴221144b b -=-⇒=，即1b =.所以椭圆方程为2214x y +=.（2）设()2cos ,sin P αα，()2cos ,sin Q ββ，所以AP l ：()sin 22cos 2y x αα=--，即()122tan 2y x α=--，∴13,2tan 2E α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，同理13,2tan 2F β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，设直线l 过点()00,x y ，∴α，β是方程sin 2cos x y k x x -=-的两根.即20022002tantan 2222tan tan 22x x y y k x xx x --=---，整理得()200002tan2tan 2022x xy k kx y kx k ---+-+=，∴002tantan 222y k kx αβ+=--，00002tan tan 222y k kx y k kx αβ+-=--，∴00tantan1121224422tan tan 22M y k kx y αβαβ+=-=-⋅=-+，∴02x =，01y =-，所以直线l 过点()2,1-.【点睛】关键点睛：本题解题关键在于M 的纵坐标为定值，对于定值的问题关键在于与参数无关，本题中M 的纵坐标为定值可得与参数k 无关，即可得到02x =，然后求0y 即可.21．(1)证明见解析；(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）对()f x 求导后构造函数()()11e sin cos 122xg x f x x x x =-'=--，通过求导得出()f x '的单调性和范围得出函数()f x 的单调性，进而得出结论；（2）分类讨论参数a 与12的关系，并通过构造函数和多次求导来探究函数()f x 的单调性，即可得出满足函数在()0,π内有唯一零点的实数a 的取值范围.【详解】（1）由题意，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a =时，不等式()0f x >等价于1e sin 102xx x x --->，则()11e sin cos 122xf x x x x '=---，令函数()()g x f x ='，则()1e cos sin 2xg x x x x +'=-，()10,π,e cos 1cos 0,sin 02x x x x x x ∈∴->->> ，所以函数()g x 在()0,π上单调递增，且()00g =，()()0g x f x '∴=>在()0,π上恒成立，即函数()f x 在()0,π上单调递增，且()00f =，所以()0,πx ∈时，不等式()0f x >成立；（2）由题意及（1）得，在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中，当12a ≤时，()1e sin 1e sin 12x xf x ax x x x x x =---≥---，由（1）可知此时()0f x >，所以此时函数()f x 没有零点，与已知矛盾，12a ∴>，()()e sin cos 1xf x a x x x =-+-'，令函数()()h x f x ='，所以()()e sin 2cos xh x a x x x =-'+，令函数()()u x h x ='，()()3sin cos x u x e a x x x ∴=++'，①若()()π0,,e 3sin cos 02xx u x a x x x ⎛⎫∈=++'> ⎪⎝⎭，所以函数()()u x h x ='在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，且()π2ππ0120,022u a u e a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使函数()h x 在()00,x 上递减，在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，②若π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，显然()()e sin 2cos 0xh x a x x x =-'+>，所以函数()h x 在()00,x 上递减，在()0,πx 上递增，且()()0π0e 10,ππ10h h e a =-==+->()10,πx x ∴∃∈，使函数()f x 在()10,x 上递减，在()1,πx 上递增，又()()00e 10,πe π10f f π=-==--> ，()10f x ∴<，且()21,πx x ∃∈，使得()20f x =，综上得，当12a >时，函数()f x 在()0,π内有唯一零点，∴a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，多次求导，函数的单调性，函数的导数求零点，考查学生分析和处理问题的能力，计算的能力，求导的能力，具有很强的综合性.22．(1)200x y +-=，2y x=(2)()22,2-或()191,.【分析】（1）直线的参数方程消去参数t ，得到直线l 的普通方程，再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程，代入曲线C 中，得到韦达定理，利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【详解】（1）由1010x t y t =+⎧⎨=-⎩，消去参数t ，得20x y +=，即直线l 的普通方程为200x y +-=，.由2sin cos ρθθ=得：22sin cos ρθρθ=，∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2y x =，即曲线C 的直角坐标方程为2y x =.（2）设直线l的参数方程为00222x x y y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，代入2y x =得：220001222t t y x t +=-，整理得(22000220t t y x +++-=，设点M ，N 对应的参数分别为1t ，2t，120t t +=-2120022t t y x =-，因为20PM PN +=u u u u r u u u r r ，可得1220t t +=且0020x y +=.解得022x =，02y =-，或019x =，01y =，经验证均满足0∆>，所以求点P 的直角坐标为()22,2-或()19,1.23．（1）{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭；（2）证明见解析.【解析】（1）根据()32||f x x - ，可得3131x x -⎧⎨>⎩ 或1301x x +⎧⎨⎩ 或3130x x -+⎧⎨<⎩ ，然后解不等式组即可得到解集；（2）先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值，再利用基本不等式求出22a b b a+的最小值即可．【详解】解：（1）当1x ≥时，得41323x x x -≥-⇒≥，∴43x ≥；当01x <<时，得1322x x x -≥-⇒≥，∴无解；当0x ≤时，得21323x x x -≥+⇒≤-；综上，不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.（2）∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=，∴4m =，即4a b +=，又由均值不等式有：22a b a b+≥，22b a b a +≥，两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴224a b a b b a +≥+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和基本不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属于中档题．。

高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)

高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)

2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。

一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。

哈师大附中 2024 年高三第三次模拟考试数学参考答案

哈师大附中 2024 年高三第三次模拟考试数学参考答案

哈师大附中2024年高三第三次模拟考试数学参考答案一.单项选择题1-4 BACD 5-8 AADD 二.多项选择题9.BD 10.BCD 11.BCD 三.填空题12. 4 13. 33[,]44−14. 2 四.解答题15.解：（Ⅰ）221()0(1)x f x x x x +'=>+，()，1(1),(1)02f f '== 3' ∴()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为10(1)2y x −=−，即1122y x =−6' （Ⅱ）221()0(1)x f x x x x +'=>+，()，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增9'又(1)0f =，(0,1)()0x f x ∴∈<时即1ln 1x x x −<+在(0,1)x ∈上恒成立 11' 20231202312024ln 20232024404712024−∴<=−+ 即20231ln 20244047<− 13' 16.解：（Ⅰ）32nn n S a =−，11132n n n S a +++=−，两式相减得：1232nn n a a +=+2'112(2)3(2)n n n n a a ++−=−，即1132(2)2n n n n a a ++−=−4'111132,1S a a =−∴=11210a ∴−=−≠，20nn a ∴−≠6' 112322n n n n a a ++−∴=−，{}2n na ∴−是以-1为首项，32为公比的等比数列 7'（II ）由（Ⅰ）可知132(1)2n nn a −⎛⎫−=−⋅ ⎪⎝⎭，132()2nn n a −∴=−8'13(1)2(2)()2n n n b λλ−∴=+−+113(1)2(2)()2n n n b λλ++=+−+{}n b 是递增数列，1n n b b +∴>对*n N ∀∈恒成立1133(1)2(2)()(1)2(2)()22n n n n λλλλ+−∴+−+>+−+即33(1)(2)()4n λλ∴+>+10'（1）当20λ+<时，即2λ<−时3(1)3()24n λλ+<+，3()04n >，且3,()04n n ∴→+∞→，故3(1)02λλ+≤+21λ∴−<≤−（舍）12'（2）当20λ+=时，即2λ=−时30−>矛盾，2λ=−（舍）13'（3）当20λ+>时，即2λ>−时3(1)3()24n λλ+>+，1333()()444n ≤=，故3(1)324λλ+>+23λ∴>−，满足2λ>−，故23λ>−15'17.解：（Ⅰ）设第i 局甲胜为事件i A ，则第i 局乙胜为事件i A ，其中1,2,3,i =2'则“第3局甲开球”=2A21212121121()()()()()()()P A P A A P A A P A P A A P A P A A =+=+4'222115()33339P A =⋅+⋅= 6' （II ）依题1,2,3,4X = 7'1231224(1)()33327P X P A A A ===⋅⋅= 1231231232121111217(2)()()()33333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1231231232212111128(3)()()()33333333327P X P A A A P A A A P A A A ==++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=1232228(4)()33327P X P A A A ===⋅⋅=X ∴的分布列为478874()12342727272827E x =⨯+⨯+⨯+⨯= 15'18.解：（Ⅰ）在棱AB 上取点F ，使2AF FB =，连接1,DF FB 由已知//,DC FB DC FB =，∴四边形BCDF 为平行四边形，//DF BC ∴2' 又11//BC B C ，11//DF B C ∴，即11,,,D F B C 四点共面4'连接1FC ，由已知//,EF DC EF DC =，1111//,DC D C DC D C =1111//,EF D C EF D C ∴=∴四边形11EFC D 为平行四边形，11//D E FC ∴6'1D E ⊄平面11,DFB C 1FC ⊂平面11DFB C1//D E ∴平面11,DFB C 即1//D E 平面11DB C7'（Ⅱ）在菱形11ADD A 中， 160A AD ∠=，取11A D 中点G ，连接DG ,则DG AD ⊥ 又平面11ADD A ⊥平面ABCD ，DG ∴⊥平面ABCD 8'在等腰梯形ABCD 中，DE DC ⊥，DE =,,DE DC DG 两两互相垂直，以D 为原点,,DE DC DG 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系(0,0,0),10)(0,1,0),D A B C G −，，10'（ⅰ）11113(,22DC DG GD D C −=++=，11(3,1,0),(0,1,0)C B DC == 设(,,)n x y z =为平面11DB C 的一个法向量则1113302230n DC x y n C B x y ⎧⋅=−++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得(1,3,2)n =−11' 设(,,)m x y z =为平面1DCC 的一个法向量则1330220m DC x y m DC y ⎧⋅=−+=⎪⎨⎪⋅==⎩得(2,0,1)m = 12' 设平面11DB C 与平面1DCC 夹角为θ则10cos cos ,5m n m nm nθ⋅=〈〉==⋅ ∴平面11DB C 与平面1DCC 夹角余弦值为514'（ⅱ）1131(,22DA DG GA =+=− ∴点1A 到平面11DB C的距离为1324DA n n⋅== 17'19.解：（Ⅰ） 依题直线AB 方程为1y x =−，代入2y x = 得210y y −−=，2(1)4(1)50∆=−−−=>设1122(,),(,)A x yB x y ，则12121,1y y y y +==− 2' 12AB y y ∴=−=4'（Ⅱ）设:(1)2AB l x m y =−+代入2y x =得220y my m −+−=，6'设2(,)N t t ，1122(,),(,)A x y B x y1212,2y y m y y m +==−8' 22221212()()()()0NA NB y t y t y t y t ⋅=−−+−−= 10'即21212()10y y t y y t ++++=2210m tm t −+++=即2(1)(1)0t m t ++−=1t ∴=−，即(1,1)N − 12'（Ⅲ）设2222(,),(,),(,),(,)A a a B b b E c c D d d:()AB l a b y x ab +=+过(2,1)M ，22,1a ab ab b a −∴+=+∴=− 13' :()ED l c d y x cd +=+过(2,1)M ，22,1d c d cd c d −∴+=+∴=−14':()AD l a d y x cd +=+与12y x =联立 22P ad x a d =+−，同理22Q bc x b c =+− 15'222()()2221122222211P Q a d ad bc ad a d x x a d a d b c a d a d −−−−∴+=+=+−−+−+−+−+−−− 2244844842222M ad ad a d a d x a d a d a d −−++−=+===+−−−+− ,P Q ∴中点为M17'。

甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024届高三第三次诊断考试数学试题(解析版)

甘肃省兰州市西北师范大学附属中学2024届高三第三次诊断考试数学试题(解析版)

西北师大附中2024届高三第三次诊断考试试题数学命题人：张勇李晓霞审题人：张志兵一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若复数z 满足()12i z i+=+，则复数z 的虚部是（）A.52-B.52i -C. D.52i 【答案】A 【解析】【分析】首先求出2i +，可得1+z i=，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数z 化简成(,)a bi a b R +∈的形式，即可得到复数z 的虚部.【详解】由于2i +=(1)(1)1+(1)(1555552)22i z i i i i i -===-=+-故复数z 的虚部是52-，故选：A【点睛】关键点点睛：该题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若(,)z a bi a b R =+∈，其中a 为复数的实部，b 为虚部，正确解题的关键是熟练掌握有关概念和运算公式．2.设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A.{x |2<x ≤3} B.{x |2≤x ≤3}C.{x |1≤x <4} D.{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U故选：C【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有A.24种 B.48种C.96种D.144种【答案】C 【解析】【详解】由题意知程序A 只能出现在第一步或最后一步，∴从第一个位置和最后一个位置选一个位置把A 排列，有122A =种结果， 程序B 和C 实施时必须相邻，∴把B 和C 看做一个元素，同除A 外的3个元素排列，注意B 和C 之间还有一个排列，共有424248A A =，根据分步计数原理知共有24896⨯=种结果，故选C.4.若函数()()()1x x a f x x++=为奇函数，则实数=a （）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由函数()f x 为奇函数，根据奇函数的性质得到()()f x f x -=-，分别代入列出关于a 的方程，即可求出a 的值.【详解】由题意可得，0x ≠，()()f x f x -=-，∴(1)()(1)()x x a x x a x x-+-+++=--，整理可得，2(1)0a x +=对任意0x ≠都成立，10a ∴+=，1a ∴=-.故选：B5.已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A.23B.12C.13D.14【答案】D 【解析】【详解】分析：先根据条件得PF 2=2c,再利用正弦定理得a,c 关系，即得离心率.详解：因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP 斜率为36得，222tan ,sin cos 6PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=，由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,π54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于,,a b c 的方程或不等式，再根据,,a b c 的关系消掉b 得到,a c 的关系式，而建立关于,,a b c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6.函数()21ln f x x ax x =-++-，若()f x 在0,12⎛⎫⎪⎝⎭是减函数，则实数a 的取值范围为（）A.(,2]-∞B.(,2)-∞ C.(,3]-∞ D.(3),-∞【答案】C 【解析】【分析】求导，导函数小于等于0恒成立，分离参数求新函数最值即可求解．【详解】函数()()211ln ,2f x x ax x f x x a x'=-++-∴=-+-，若函数在区间0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，则()0f x '≤在0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭恒成立，即12a x x ≤+在0,12⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，由对勾函数性质可知12y x x =+在0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，故123y x x =+>，所以3a ≤.故选：C.7.若2cos21sin 2x x =+，则tan x =（）A.1-B.13 C.1-或13D.1-或13或3【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式化简求解即可.【详解】由2cos21sin 2x x =+可得()()2222cos sin sin cos x x x x -=+()()sin cos 2cos 2sin sin cos 0x x x x x x ⇒+---=()()sin cos cos 3sin 0x x x x ⇒+-=.故sin cos 0x x +=或cos 3sin 0x x -=.即tan 1x =-或1tan 3x =.故选：C【点睛】本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数的公式等.属于中等题型.8.已知12304πx x x <<<<，函数()sin f x x =在点()(),sin 1,2,3i i x x i =处的切线均经过坐标原点，则（）A.3113tan tan x x x x < B.1313tan tan x x x x > C.1322x x x +< D.1322x x x +>【答案】C 【解析】【分析】根据导数的几何意义求出曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程，进而312123tan tan tan 1x x x x x x ===即可判断AB ；画出函数tan y x =与y x =图象，由AD EC k k <可得32212132ππx x x x x x x x --<----，化简计算即可判断CD.【详解】由题意知，()cos f x x '=，则112233()cos ,()cos ,()cos f x x f x x f x x '''===，所以曲线()f x 在点112233(,sin ),(,sin ),(,sin )x x x x x x 处的切线方程分别为111222333sin cos (),sin cos (),sin cos ()y x x x x y x x x x y x x x x -=--=--=-，因为切线均过原点，所以111222333sin cos ,sin cos ,sin cos x x x x x x x x x ===，即112233tan ,tan ,tan x x x x x x ===，得312123tan tan tan 1x x x x x x ===，故AB 错误；由312123tan tan tan 1x x x x x x ===，得tan (1,2,3)i i x x i ==，画出函数tan y x =与y x =图象，如图，设()()()112233,tan ,,tan ,,tan A x x B x x C x x ，如上图易知：2222(π,tan ),(+π,tan )D x x E x x -，由正切函数图象性质AD EC k k <，得32212132tan tan tan tan ππx x x x x x x x --<----，即32212132ππx x x x x x x x --<----，又2132π0,π0x x x x -->-->，所以21323221()(π)()(π)x x x x x x x x ---<---，即132ππ2πx x x +<，解得1322x x x +<，故C 正确，D 错误.故选：C【点睛】关键点点睛：证明选项CD 的关键是根据tan (1,2,3)i i x x i ==构造新函数tan x x =，通过转化的思想和数形结合思想分析是解题的关键.二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知抛物线22y x =的焦点为F ，准线为l 且与x 轴交于点Q ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于M ，N 两点，若3PF MF =，则（）A.23MF =B.83MN =C.1FQ =D.2PQ =【答案】ABC 【解析】【分析】先根据题意写出直线的方程，再将直线的方程与抛物线22y x =联立，消去y 得到关于x 的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求逐项判断.【详解】对C:抛物线2:2C y x =的焦点为1(2F ，0)，准线为1:2l x =-，易知1,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则1FQ =，C正确；对D,设1(M x ,1)y ，2(N x ,2)y ，M ，N 到准线的距离分别为M d ，N d ，由抛物线的定义可知11||2M MF d x ==+，21||2N NF d x ==+，于是12||||||1MN MF NF x x =+=++． 3,PF MF =，则22MPM MF d ==∴直线MN 的倾斜角为60 或120 ，斜率为，因为1FQ =，故PQ =，D 错误；对AB:1(2F ,0)，∴直线PF 的方程为1)2y x =-，将12y x =-，代入方程22y x =，并化简得2122030x x -+=，1212513,,362x x x x ∴+===，于是1258||||||1133MN MF NF x x =+=++=+=．112||23M MF d x ==+=,故AB 正确；故选：ABC ．10.设e 为自然对数的底数，函数e ()ln (0)xaf x a x x x-=->，则下列结论正确的是（）A.当e a =时，()f x 无极值点B.当e a >时，()f x 有两个零点C.当1e a <<时，()f x 有1个零点D.当1a ≤时，()f x 无零点【答案】ACD 【解析】【分析】对函数求导，对其单调性、极值及零点进行分析即可求解.【详解】∵()e ln x a f x a x x -=-，则()()()()22e 1e e 0x x x a x x a af x x x x x--⋅-+'=-=>.当0a >时，令()0f x '=，得1ln x a =，21x =，下面分析A 、B 、C 三项；对于A 项，当e a =时，12ln 1a x x ==，，()0f x '≥在()0,∞+恒成立，()f x 在定义域上单调递增，即()f x 不存在极值点，故A 正确；对于B 项，当e a >时，12ln 1a x x >>，，此时()f x '在()20,x 与()1,x +∞为正，在()21,x x 为负，故()f x 有极大值()()21e 0f x f a ==-<，有极小值()()1ln f x f a =，此时()f x 的极大值小于0，由零点存在性定理可知其最多存在一个零点，故B 错误；对于C 项，当1e a <<时，120<ln 1a x x <<，，此时()f x '在()10,x 与()2,x +∞为正，在()12,x x 为负，故()f x 有极大值()()()1ln ln ln 0f x f a a a ==->，极小值()()21e 0f x f a ==->，()e ln ,x a ax xf x x--=令()()()()0e ln lim lim e lim ln 10xxx x x g x a ax x g x a ax x a +++→→→=--⇒=--⋅=-<即当0x +→时，()0f x <，故()f x 在()0,ln a 上存在一个零点，故C 正确；而对于D 项，当1a ≤时，()f x '在()0,1为负，在()1,+∞为正，所以()f x 在()0,1单调递减，在()1,+∞单调递增；()()min 1e 0f x f a ==->，此时()f x 无零点，故D 正确.故选：ACD.11.下列选项中正确的是（）A.已知随机变量X 服从二项分布110,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()25D X =B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望()75E X =C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为{}1,2,3,4,5,6Ω=，令事件{}2,3,4A =，事件{}1,2B =，则事件A 与事件B 相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC 【解析】【分析】由二项分布的方差公式、超几何分布的均值公式；条件概率与事件相互独立的关系以及二项分布的性质判断各选项．【详解】A 选项，()1~10,2X B ，()()115101222D X =⨯⨯-=，()()2410D X D X ==，A 错误；B 选项，X 服从超几何分布，N ＝10，M ＝7，n ＝2，()772105M E X np n N==⋅=⨯=；C 选项，()12P A =，()13P B =，AB ＝{2}，()()()16P AB P A P B ==，A ，B 相互独立；D 选项，设9次射击击中k 次概率()99C 0.80.2kkkP X k -==⋅⋅最大，则9111099911899C 0.80.2C 0.80.2C 0.80.2C 0.80.2k k k k k k k k k k k k-----++-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎨⋅⋅≥⋅⋅⎩，解得7≤k ≤8，P （X ＝7）＝P （X ＝8）同时最大，故k ＝7或8，D 错误．故选：BC ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知圆台下底面的半径为2，高为__________【答案】14π3【解析】【分析】设圆台上底面的半径为r ，根据已知条件先算出r 的值，进而利用圆台体积公式计算即可.【详解】设圆台上底面的半径为r ，下底面半径为R，则有222(2)2r =-+，解得1r =或3r =（舍去）.圆台的体积为()()22221114ππ21212333V h r R rR π=++=⨯⨯⨯++⨯=.故答案为：14π3.13.过点()3,3M --且互相垂直的两直线与圆224210x y y ++-=分别相交于A 、B 和C 、D ，若AB CD =，则四边形ACBD 的面积等于__________．【答案】40【解析】【分析】假设,AB CD 两直线都有斜率，设1,AB CD k k k k==-，求出k 的值，再求出||,||AB CD ,即得解；再考虑AB 斜率不存在时，CD 的斜率为0，即得解.【详解】由题得圆的方程为22(2)25x y ++=，点()3,3M --在圆的内部，假设,AB CD 两直线都有斜率，设1,AB CD k k k k==-，因为AB CD =，则圆心到两直线的距离相等，直线AB 的方程为3(3),330y k x kx y k +=+∴-+-=，所以圆心到直线AB=，直线CD 的方程为13(3),330y x x ky k k+=-+∴+++=，所以圆心到直线CD=所以|31||3|,2k k k -=+∴=或12-，，所以AB CD ===，此时四边形ACBD 的面积等于12⨯.当AB 斜率不存在时，CD 的斜率为0，所以直线AB 方程为3x =-，直线CD 的方程为=3y -，联立22(2)25x y ++=和3x =-，得32x y =-⎧⎨=⎩或36x y =-⎧⎨=-⎩，所以||8AB =，联立22(2)25x y ++=和=3y -，得3x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩3x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩所以||CD =，因为||||AB CD ≠，所以这种情况不存在.故答案为：40【点睛】易错点睛：解答本题容易漏掉AB 斜率不存在，CD 的斜率为0，虽然最后结果正确，但是解题不严谨.利用斜率解答问题时，一定要讨论直线斜率存在和不存在两个情况.14.已知函数()2sin()(0||)，ωφωφπ=+><f x x 的部分图象如下图所示，且(1)(1)2，，，ππ-A B ，则φ的值为______．【答案】56π-【解析】【分析】由从点A 到点B 正好经过了半个周期，求出ω，把A 、B 的坐标代入函数解析式求出sin φ的值，再根据五点法作图，求得φ的值．【详解】根据函数()2sin()(0f x x ωφω=+>，||)φπ<的图象，且(,1),(,1)2A B ππ-，可得从点A 到点B 正好经过了半个周期，即1222πππω=- ，2ω∴=．再把点A 、B 的坐标代入可得2sin(22πφ+)2sin 1φ=-=，2sin(2πφ+ )2sin 1φ==-，1sin 2φ∴=-，26k πφπ∴=-，或526k πφπ=-，Z k ∈．再结合五点法作图，可得56πφ=-，故答案为：56π-．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知在数列{}n a 中，()()*11211,n n n a a a n n++==⋅∈N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 的通项公式nn a b n=在k b 和1k b +之间插入k 个数，使这2k +个数组成等差数列，将插入的k 个数之和记为k c ，其中1k =，2，…，n ，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）()1*2n n a n n -=⋅∈N （2）()31212n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦【解析】【分析】（1）方法1：根据递推关系式，先变形；再采用累积法求数列通项公式；方法2：根据递推关系式，先构造出等比数列，再求数列通项公式.（2）先求出数列{}n c 的通项公式，再根据通项公式的特点利用错位相减法求前n 项和.【小问1详解】方法1：()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴()121n n n a a n++=，∴当2n ≥时，132112112232121n n n n n nn a a a a a a a n a ---⨯⋅⨯⨯⨯==-=⋅⋅⋅ ∴12,2n n a n n -=⋅≥又 1n =也适合上式，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ；方法2：∵()()*121n n n a a n n++=⋅∈N ，∴121n na a n n+=+，又111a =，故0n a n≠，∴n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公比为2，首项为1的等比数列．∴12n na n-=，∴()1*2n n a n n -=⋅∈N ．【小问2详解】()1*2n n a n n -=⋅∈N ，n n a b n=，∴12n n b -=.由题知，()()1112232222k kk k k kk b b k ck -+-++===⋅设数列{}n c 的前n 项和为n T ﹐则()012213333312223212222222n n n T n n --=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ ()123133333212223212222222n n n T n n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⋅+⋅ 所以012213333331222222222222n n n n T n ---=⨯⨯+⨯+⨯++⨯+⨯-⋅ ()021********nn n -=⋅-⋅-()31122n n ⎡⎤=-+-⋅⎣⎦，故()31212nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦.16.某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的频率分布直方图（引体向上个数只记整数）．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究小组．（1）第一小组决定从单次完成1~15个引体向上的男生中，采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取22人进行全面的体能测试．①在单次完成6~10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1~5个”的人数为随机变量X，求X的分布列；（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这800人的学业成绩与体育成绩之间的22⨯列联表．体育成绩学业成绩合计优秀不优秀不优秀200400600优秀100100200合计300500800根据小概率值0.005a=的独立性检验，分析体育锻炼是否与学业成绩有关？参考公式：独立性检验统计量()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，其中n a b c d=+++．临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828【答案】（1）①14；②见解析（2）有关【解析】【分析】（1）先利用分层抽样的定义求出单次完成15-个中，610-个中，1115-个中选的人数，即可确定甲被抽到的概率；再由题意可得X 的所有可能取值有0、1、2、3，求出相应的概率，从而可求得X 的分布列；（2）根据表中的数据和公式22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，求出2X ，再根据临界值表中的数据判断即可．【小问1详解】如图，0.02:0.03:0.062:3:6=，即从15-个中选4个，610-个中选6个，1115-个中选12个，故男生甲被抽到的概率为14所以X 的所有可能取值有0、1、2，3且223183C (0)C 385204P X ===，41822123C C (1)C 385153P X ===，24181223C C 27(2)C 385P X ===．33422C 1(3)C 385P X ===所以X 的分布列为：X0123P204385153385273851385【小问2详解】零假设为0H ：体育锻炼与学业成绩独立，根据列联表中的数据得22800(2000040000)16017.7787.8793005006002009X ⨯-==≈>⨯⨯⨯，可推断零假设0H 不成立，且该推断犯错误的概率不超过0.005．所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．17.如图，两个正四棱锥的底面都为正方形ABCD ，顶点,M N 位于底面两侧，2,AB AM AN =⊥．记正四棱锥M ABCD -的体积为1V ，正四棱锥N ABCD -的体积为2V ．（1）求12V V +的最小值；（2）若122V V =，求直线AM 与平面BCN 所成角的正弦值．【答案】（1）823（2）36【解析】【分析】（1）由锥体体积公式求出1V ，2V ，根据基本不等式求最值，（2）建立空间直角坐标系，根据向量法求得结果.【小问1详解】设正方形ABCD 中心为O ，因为M ABCD -和N ABCD -都是正四棱锥，所以OM ⊥面,ABCD ON ⊥面ABCD ，且,,M O N 共线．设12,OM h ON h ==．因为,AM AN OA MN ⊥⊥，所以OAM ONA △△∽，所以OM OA OAON=．因为2AB =，所以2122,2OA h h OA ===，所以()12121214824333V V h h h h +=⨯⨯+≥⨯=，当且仅当122h h ==时，等号成立，所以12V V +的最小值为823．【小问2详解】由122V V =设,2ON h OM h ==，由（1）知2222h OA ==，即1h =，以O为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，则()()()()()1,1,0,1,1,0,1,1,0,0,0,2,0,0,1A B C M N ---，所以()()()1,1,2,1,1,1,2,0,0AM BN CB =-=---=，设平面BCN 的一个法向量(),,n x y z = ，则n BN n CB ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ,即00n BN n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，020x y z x ---=⎧⎨=⎩，令1y =，则0,1x z ==-，所以()0,1,1n =-．设直线AM 与面BCN 所成角为α．则13sin cos ,626n AM n AM n AMα⋅====⋅⋅．所以直线AM 与平面BCN 所成角的正弦值为36.18.已知抛物线()2:20C y px p =>上有一点()()1,0P m m >，F 为抛物线C 的焦点，,02p E ⎛⎫-⎪⎝⎭，且2EP =.（1）求抛物线C 的方程；（2）过点P 向圆222:2p E x y r ⎛⎫++= ⎪⎝⎭（点P 在圆外）引两条切线，交抛物线C 于另外两点,A B ，求证：直线AB 过定点.【答案】（1）24y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用点P 在抛物线上和EP =，可构造方程组求得p 的值，进而得到抛物线方程；（2）讨论可知两切线斜率必然存在，假设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可化简整理得到121k k =；假设直线AB 方程，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论，利用韦达定理表示出121k k =，可化简整理得到():2323AB x ty t y t =+-=+-，由此可得直线所过定点.【小问1详解】由题意知：,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭， 抛物线C 过点()()1,0Pm m >，22m p ∴=，又EP =，2222121222p p m m ⎛⎫⎛⎫∴++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，221221422p p p p ⎛⎫⎛⎫∴++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0p >，解得：2p =，∴抛物线C 的方程为：24y x =.【小问2详解】由（1）得：()1,2P ，圆()222:1E x y r ++=；()1,2P 在圆外，222228r ∴<+=，即0r <<当过点P 的圆E 的切线有一条斜率不存在时，即1x =是圆E 的一条切线，则2r =，2y ∴=是过点P 的圆E 的另一条切线；此时切线2y =与抛物线E 有且仅有一个交点P ，不合题意；当过点P 的圆E 的切线斜率存在时，设切线方程为：()21y k x -=-，即20kx y k --+=，∴圆心()1,0E -到切线的距离d r ==，整理可得：()2224840r k k r -++-=，设两条切线的斜率分别为12,k k ，则121k k =；由题意知：直线AB 斜率不为0，可设直线AB 方程为：x ty n =+，由24x ty ny x=+⎧⎨=⎩得：2440y ty n --=，设()()1122,,,A x y B x y ，则124y y t +=，124y y n =-，()()()()()121212221212121212222216161122244444y y y y k k x x y y y y y y y y ----∴=⋅=⋅==--+++++--161484n t ==-++，整理可得：23n t =-，∴直线():2323AB x ty t y t =+-=+-，∴直线AB 恒过定点()3,2--；综上所述：直线AB 恒过定点()3,2--.【点睛】思路点睛：本题考查直线与圆锥曲线综合应用中的直线过定点问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与曲线方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知中的等量关系，代入韦达定理可整理得到变量间的关系，从而化简直线方程；④根据直线过定点的求解方法可求得结果.19.已知函数()2e 1x axf x x-=+．（1）若0a =，讨论()f x 的单调性．（2）若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ．①求a 的取值范围；②求证：1232x x x ++>-．【答案】（1）()f x 在(,1)-∞-和(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增（2）①111(,)(,)22e +∞ ；②证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据的导函数与0的关系求出单调区间，（2）①先求导，(0)0f '=，令()e (2)x g x a x =-+，再求导，判断根的范围②利用分析法进行求证，要证：1232x x x ++>-，只要证：122x x +>-，只要证2222e e 2(1)0x x a x ----+<，转化为只要证22222e (2)e 0x x x x --++>，求导，判断增减性，问题得以证明．【小问1详解】解：当0a =时，e ()1xf x x=+，1x ≠-，∴2e ()(1)xx f x x '=+，当()0f x '<时，x 在(,1)-∞-和(1,0)-上，()f x 单调递减，当()0f x '>时，x 在(0,)+∞上，()f x 单调递增，【小问2详解】①解：2e ()1x axf x x-=+ ，2[e (2)]()(1)x x a x f x x -+'∴=+，首先(0)0f '=，令()e (2)x g x a x =-+，则()0g x =应有两个既不等于0也不等于1-的根，求导可得，()x g x e a '=-，若0a ≤，则()0g x '>，()g x 在(,1)-∞-，(1,)-+∞上均为增函数，且1x <-时，()()1g x g <-；1x >-时，()()1g x g >-，故()0g x =在()(,1)1,-∞--+∞ 上至多有一个零点，不合题意，舍去，故0a >，()e 0x g x a '=-=有唯一的根0ln x a =，当ln x a <时，()0g x '<，当ln x a >时，()0g x '>，所以0x 是()g x 的极小值点且为最小值，要使()0g x =有两根，只要0()0g x <即可，由ln 0()e (ln 2)(ln 1)0a g x a a a a =-+=-+<，得1e>a ，此时()110e g a -=-≠，又由(0)0g ≠，得12a ≠，若11e 2a a >≠且时，()33e 0g a --=+>，设()2ln ,2S x x x x =->，则()20x S x x-'=>，故()S x 在()2,+∞上为增函数，故()(2)22ln 20S x S >=->即()2e 2xx x >>，取8max 2,2a M ⎧+⎪=⎨⎪⎪⎩⎭，则x M >时，2e 220x ax a x ax a -->-->，故此时()0g x =有两个既不等于0也不等于1-的根，而1(1)0eg a -=-<，故()0g x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-，于是在定义域中，连同0x =，()0f x '=共有三个相异实根，并且在这三个根的左右，()f x '的正负变号，它们就是()f x 的三个极值点，综上，a 的取值范围是111(,)(,)e 22+∞ ；②证明：由①可知()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x 中，两个是()0g x =的两根（不妨设为1x ，2x ，其中121)x x <-<，另一个为30x =，要证：1232x x x ++>-．只要证：122x x +>-，即只要证明122x x >--，因为()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，其中ln 1a >-，故只要证12()(2)g x g x <--，其中12()()0g x g x ==，只要证22()(2)g x g x <--，而22222(2)e [(22]x x e a x a x ---+<---+，只要证2222e e 2(1)0x x a x ----+<，由222()e (2)0x g x a x =-+=，得22e 2x a x =+，由此代入上述不等式，只要证明2222222e e e(1)02x x x x x ----+<+，只要证22222e (2)e 0x x x x --++>，令2()e (2)e x x h x x x --=++，当1x >-时，22()(1)e (1)e (1)(e e )0x x x x h x x x x ----'=+-+=+->，()h x 单调递增，而(1)0h -=，所以当1x >-时，()0h x >，于是证22222e (2)e 0x x x x --++>，即：1232x x x ++>-．【点睛】本题主要考查了导数与函数的单调性和极值的关系，以及利用分析法证明，同时考查了运算能力，分析问题的能力，计算量比较大，属于难题．。

贵州省遵义市高三第三次统一考试理科数学答案

贵州省遵义市高三第三次统一考试理科数学答案

遵义市2023届高三年级第三次统一考试参考答案（理科数学）一、选择题题号123456789101112答案ADBCDCBCDABD二、填空题14.2115.216.3三、解答题17.（12分）解：（1）110)01.002.003.0035.0(=⨯++++a ，得005.0=a …………………………3分由图知：年龄位于)40,30[这一组频率为35.0，此时频率最大所以，众数为3524030=+……………………………………………………………………5分（2）X 所有可能的值是0,1,2,3……………………………………………………………………6分P (X =0)=033336C C C =120,P (X =1)=123336C C C =920,P (X =2)=033336C C C =920,P (X =3)=303336C C C =120………………………………………………………10分因此X 的分布列为X0123P120920920120于是X 的期望为19913()0123202020202E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（人）……………………12分18.（12分）解：（1）由题知：n n a n S 2=+①当1=n 时，111==a S ……………………………………………………………………1分当2≥n 时，112)1(--=-+n n a n S ②①-②得到，1221--=+n n n a a a ，化简得：121+=-n n a a …………………………3分所以)1(211+=+-n n a a …………………………………………………………………4分所以}1{+n a 是以2为首项，2为公比的等比数列…………………………………5分（2）由（1）知：n n n a a 221111=+=+-）（，即21n n a =-……………………………6分121121)12()12(22111---=-⨯-==∴+++n n n n n n n n n a a b ……………………………………8分12122311111111()()()2121212121211121n nn n n T b b b ++∴=+++=-+-++-------=-- ……………………………10分由111312114n +-<-得，1215n +<，故n 的最大值为2………………………………………12分19.（12分）解：（1）如图，以D 点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .A(4，0，0)，C '(1，3，D(0，0，0)，B(4，4，0)(33AC '=-，()440DB = ，，因为0AC AC ''⋅= ，所以AC '⊥BD ………………………………………………………6分（2）由(1)知()400DA = ，，，(3DC '=()440DB = ，，设平面AC D '与平面DC B '的法向量分别为m =(x 0，y 0，z 0)，n=(x 1，y 1，z 1)则00DA m DC m ⎧⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩即0000400x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，令01y =，则0z =，即(0,1,m =同理可求得n = ，于是330cos ,20m n m n m n ⋅<>==因此二面角'A DC B --的余弦值是20 (12)分20.（12分）解：（1）由题可知有21=a c ，1434122=+b a ，222c b a =-联立解得1,3,2===c b a 所以椭圆C 的方程为13422=+y x ……………………………………………………5分（2）由直线l 的斜率为21，可设直线l 的方程为t y x +=2，联立椭圆方程消去x 可得123121622=-++t ty y 设Q P ,的坐标为),(),,(2211y x Q y x P ，则4321ty y -=+，16123221-=t y y ①……………………………………………………7分所以22)(22121tt y y x x =++=+，所以)1)(1()1)(23()1)(23(1231232112212211----+--=--+--=+x x x y x y x y x y k k AQ AP …………………9分展开整理得)1)(1(3)()(232121211221--++-+-+=+x x y y x x y x y x k k AQ AP ，3)2()2(12211221-=+++=+y t y y t y y x y x ②将①②代入可得0=+AQ AP k k ，从而ANM AMN ∠=∠，因此||||AN AM =………………………………12分21.（12分）解：（1）证明：，xe x xf -sin =)( x e x x f -cos =)(′∴………………………………………………………………1分记),(′=)(x f x g x x e x x g e x x g -cos -=)(′-sin -=)(′∴，………………………………………2分<e -0,<cosx -∴)0,1-(∈x ，x )(′∴,0<)(′′∴x g x g 在)0,1-(单调递减且0>1-21>1-1sin =-)1-sin(-=)1-(′1-ee e g ，0<1-=)0(′g …………………4分所以在)0,1-(存在唯一0x ，使得0=)(′0x g 当0<<1-x x ，)(,0>)(′x g x g 在),1(-0x 单调递增当0<<0x x ，)(,0<)(′x g x g 在)0(0，x 单调递减所以)(x g 在)0,1-(存在唯一极大值点………………………………………………6分1-1-)0()0,1-()(0)(1)0()()0,1-()())0,1-((0cos 2)()cos (sin )(cos )cos (sin -1cos sin )-(sin cos )-(cos )(∴cos -sin )(,cos -sin ≥∴cos ≤)()01-(∈∀222≥∴=∴>'∴=<∴∴∈>='∴+=+=+='=a h x h x h t x t x t x x e x t x x e x t xx x e x x e x x e x x h xe x x h x e x a x a xf x x x x x x xx 上单调递增且在上单调递增，在，记记成立，，都有，）（ …………………………………………………………………………………………………………12分22.（10分）解：（1）由题得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-t y t x 233212所以直线l 的直角坐标方程为033=--y x ………………………………………………2分曲线C 的极坐标方程为θρcos 6=∴θρρcos 62=，由⎩⎨⎧=+=θρρcos 222x y x 得：曲线C 的普通方程为0622=-+x y x ………………………………………………………………5分（2）由点)0,1(P 可知点P 在直线l 上则直线l 的参数方程可写为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'='+=t y t x 23211（t '为参数）………………………………………6分将直线参数方程带入曲线C 的普通方程为0622=-+x y x 得：522=-'-'t t 不妨假设B A ,两点对应的参数分别为21,t t ''，则：522121-=''='+'t t t t ，…………………………………………………………………………………8分∴624)(2122121=''-'+'='+'=+t t t t t t PB P A ………………………………………………10分23.（10分）解：（1）由题意：①当1<x 时，32)(+-=x x f ，则：532≤+-x ，解得1-≥x 此时11<≤-x ②当21≤≤x 时，1)(=x f ，则：5)(≤x f 恒成立此时21≤≤x ③当2>x 时，32)(-=x x f ，则：532≤-x ，解得4≤x 此时42≤<x 综上所述，不等式5)(≤x f 的解集为[]4,1-…………………………………………………………5分（2）由绝对值三角不等式得1)2(121)(=---≥-+-=x x x x x f ）（…………………………7分（当且仅当02(1≤--））（x x 时等号成立）因为函数)(x f 的最小值为t 1=∴t ⇒1=++c b a 由柯西不等式得：9)111())(111(1112=++≥++++=++c b a cb ac b a ∴9111≥++c b a ，当且仅当13a b c ===时，“=”成立…………………………………………10分。

重庆市高三三诊数学试题(解析版)

重庆市高三三诊数学试题(解析版)

一、单选题1．已知集合，，则 ()(){}|2340A x Z x x =∈+-<{|B x y ==A B = A ． B ． C ． D ．(]0,e {}0,e {}1,2()1,2【答案】C【详解】 ，()(){}2340A x Z x x =∈+-<{}3={|4,}1,0,1,2,32x x x -<<∈=-Z {B x y = ，选C.{}{|1ln 0}(0,]1,2x x e A B =-≥=∴⋂=2．复数的共轭复数在复平面内对应的点位于 2i1i++z A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据复数的四则运算化简可得z ，然后可得，最后由复数的几何意义可得. z 【详解】因为，所以，所以对应复平面内的点.2i (2i)(1i)31i 1i 222z ++-===-+31i 22z =+z 31(,22故选：A ． 3．已知，则（ ）2cos tan 5sin ααα=+3πcos 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D 1313-【答案】C【分析】根据已知式子结合同角三角函数的商数关系与平方关系，可求得的值，再由诱导公sin α式求得的值.3πcos 2α⎛⎫- ⎪⎝⎭【详解】解：①， 222cos sin 2cos tan sin 5sin 2cos 5sin cos 5sin αααααααααα=⇒=⇒+=++由于代入①，得：，22sin cos 1αα+=()()23sin 5sin 203sin 1sin 20αααα+-=⇒-+=由于，所以，故， []sin 1,1α∈-sin 20α+≠1sin 3α=所以.3π1cos sin 23αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭故选：C.4．某地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的概率是，连续两天顾客量超过1920万人次的概率是，在该地摊集中点在销售旺季的某天接纳顾客量超过1万人次的条件下，随后720一天的接纳顾客量超过1万人次概率是（ ）. A ．B ．C ．D ．7109104579【答案】D【分析】利用条件概率的定义及其概率计算公式求解即可．【详解】设“某天接纳顾客量超过1万人次”为事件A ，“随后一天的接纳顾客量超过1万人次” 为事件B ， 则，，9()20P A =7()20P AB =所以， 7()720()9()920P AB P B A P A ===故选：D ．5．如图中阴影部分是一个美丽的螺旋线型图案，其画法是：取正六边形各边的三等分点ABCDEF ，，，，，，作第2个正六边形，然后再取正六边形各边1A 1B 1C 1D 1E 1F 111111A B C D E F 111111A B C D E F 的三等分点，、、，，，作第3个正六边形，依此方法，如果这个2A 2B 2C 2D 2E 2F 222222A B C D E F 作图过程可以一直继续下去，由，，...构成如图阴影部分所示的螺旋线型图案，则11A BB ∆212A B B ∆该螺旋线型图案的面积与正六边形的面积的比值趋近于（ ）ABCDEFA ．B ．CD11216【答案】B【分析】分别计算出阴影部分面积和正六边形的面积，即可求解.【详解】解：由外至内设每个六边形的边长构成数列，每个阴影三角形的面积构成数列，{}n a {}n S 设，则，，……， ABa =11A B ==222A B a =依此类推，，nn n A B a =所以数列是以为公比的等比数列，所以，{}n aa 1n n a a -=⨯又，所以， 21121sin120233Sa a ︒=⨯⨯⨯=222S a =，……，22423S a a ⎫⎪==⎪⎭依此类推，，222n n S a -=则数列的前n 项和{}nS 24222222n n T a a a -=+2422212277711999n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=++++=++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，22297711299n na a ⎡⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-=-⎢⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎥⎣⎦⎦正六边形的面积为：，2216sin 602ABCDEF S a =⨯=. 16=故选：B.6．已知函数，记，，，则，，的大小关()21xf x =-()0.5log 3a f =()5log 3b f =()lg 6c f =a b c 系为（ ）． A ． B ． a b c <<a c b <<C ． D ．b<c<a c b a <<【答案】C【分析】根据函数的奇偶性及指数函数的性质判断函数单调性，再根据自变量的大小关系比较函数值的大小.【详解】由，，()21xf x =-()()2121xxf x f x --=-=-=所以函数为偶函数， ()f x 又当时，，0x ≥()21xf x =-所以函数在上单调递增， ()f x ()0,∞+因为，且0.5122log 3log 3log 3==-2log 31>又，，，， 5ln 3log 3ln 5=50log 31<<ln 6ln 2ln 3lg 61ln10ln 2ln 5+==<+0lg 61<<则， 5log 3ln 3ln 2ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5lg 6ln 5ln 2ln 3ln 2ln 5ln 3ln 5+⋅+⋅=⋅=+⋅+⋅又，则， ln 5ln 3ln 20>>>ln 2ln 5ln 3ln 5ln 2ln 3ln 3ln 5⋅+⋅>⋅+⋅所以， 5log 3ln 2ln 3ln 3ln 51lg 6ln 2ln 5ln 3ln 5⋅+⋅=<⋅+⋅所以，52log 3lg 6log 3<<所以， ()()()()520.5log 3lg 6log 3log 3f f f f <<=即， b<c<a 故选：C.7．已知点F 为抛物线的焦点，，点M 为抛物线上一动点，当最小时，点M24y x =()1,0A -MF MA恰好在以A ，F 为焦点的双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线斜率的平方是（ ）A B ．C ．D 2+3+【答案】B【分析】由题可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求AM MF MAM 出2a ，结合，可求得，再利用求得结果.1c =c a 2221b c a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【详解】由抛物线的对称性，不妨设为抛物线第一象限内点，如图所示：M故点作垂直于抛物线的准线于点B ，由抛物线的定义知，易知轴，可得M MB ||||MF MB =//MB xMAF BMA ∠=∠cos cos MF MB A BM A AMA M F M=∠∠∴==当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，MAF ∠MF MAAM 24y x =设直线方程为：，AM ()1y k x =+联立，整理得，()241y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩()2222240k x k x k +-+=其中，解得：， 216160k ∆=-+=1k =±由为抛物线第一象限内点，则，M 1k =则，解得：，()24210x x ++-=1x =此时，即或 24y =2y ==2y -所以点的坐标且M (1,2)M 由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为 ()1,0A -()1,0F设双曲线的实轴长为2a ，则，2||||2a AM MF =-=，1a ∴=-又，则， 1c =1c a==+故渐近线斜率的平方为)22222221112b c a c a a a -⎛⎫==-=-=+ ⎪⎝⎭故选：B8．把平面图形上的所有点在一个平面上的射影构成的图形叫做图形在这个平面上的射影.M M 'M 如图，在三棱锥中，，，，，，将围成A BCD -BD CD ⊥AB DB ⊥AC DC ⊥AB DB 5==4CD =三棱锥的四个三角形的面积从小到大依次记为，，，，设面积为的三角形所在的平面1S 2S 3S 4S 2S 为，则面积为的三角形在平面上的射影的面积是α4S αA ．B ．C ．D ．2521030【答案】A【分析】将所给三棱锥补形为长方体，根据长方体的性质，分别计算，，，，A BCD -1S 2S 3S 4S 然后找到对应的，在所在的平面上的投影，计算其面积得答案. 4S ABC 2S ACDE AHC 【详解】将该三棱锥补形为长方体如图所示，因为，，由长方体性质可得，AB DB 5==4CD =，3BE ==BC ==AC DE ==所以， 11102BCD S BD CD S =⋅===， 212ACD S AC CD S =⋅===， 312522ABD S AB BD S =⋅===在中，由余弦定理可得，，ABC cos ABC ∠==sin ABC ∠=所以， 41sin 2ABC S AB AC BAC S =⋅⋅∠== 由上面计算可知，平面是平面，也即是平面 αACD ACDE 则问题转化为求解三角形在平面平面上的射影面积， ABC ACDE 过点在平面内作，交于点， B BDE BH DE ⊥DE H 因为平面，平面，所以，CD ⊥BDE BH ⊂BDE BH CD ⊥又因为，平面，平面， DE CD D ⋂=DE ⊂ACDE CD ⊂ACDE 所以平面，BH ⊥ACDE 则面积为的在平面上的射影为 4S ABC αAHC故射影面积为. 1122ACDE S S AC CD ==⋅=故选：A.【点睛】求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解，其中一个很重要的方法为将几何体补形为长方体，这使得几何体中的位置关系更为直观明确.二、多选题9．下列说法正确的的有（ ）A ．已知一组数据的方差为10， 则的方差也为10 12310,,,,x x x x 123102,2,2,,2x x x x ++++B ．对具有线性相关关系的变量，其线性回归方程为，若样本点的中心为，,x y ˆ0.3yx m =-(),2.8m 则实数的值是m 4C ．已知随机变量服从正态分布，若，则X ()2,N μσ()(1)51P X P X >-+≥=2μ=D ．已知随机变量服从二项分布，若，则X 1,3B n ⎛⎫⎪⎝⎭()316E X +=6n =【答案】AC【分析】根据方差的定义可判断A ；根据样本点在回归直线上求得的值可判断B ；根据m 可得，由对称性求出对称轴可得的值可判断C ；()(1)51P X P X >-+≥=()()51P X P X ≥=≤-μ根据二项分布方差的公式以及方差的性质可判断D ，进而可得正确选项. 【详解】对于A ：设的平均数为，方差为， 12310,,,,x x x x x ()D x 则，， 121010x x x x +++=()()()()222121011010D x x x x x x x ⎡⎤=-+-++-=⎢⎥⎣⎦ 所以的平均数为，123102,2,2,,2x x x x ++++ 2x +所以方差为 ()()()2221210122222210x x x x x x ⎡⎤+--++--+++--⎢⎥⎣⎦ ，故选项A 正确；()()()()222121011010x x x x x x D x ⎡⎤=-+-++-==⎢⎥⎣⎦ 对于B ：因为线性回归直线过样本点中心，所以， 2.80.3m m =-可得，故选项B 错误；4m =-对于C ：因为随机变量服从正态分布，X ()2,N μσ所以对称轴为，又， X μ=()()151P X P X >+≥=-而，所以，()()111P X P X >+≤-=-()()51P X P X ≥=≤-则，故选项C 正确； ()5122μ+-==对于D ：因为服从二项分布，所以，所以X 1B ,3n ⎛⎫⎪⎝⎭()13E X n =，则，故选项D 错误.(31)3()13163nE X E X +=+=⨯+=5n =故选：AC.10．下列命题为真命题的是（ ） A ．过任意三点有且仅有一个平面B ．为直线，为不同的两个平面，若，则 m ,αβ,m m αβ⊥⊥αβ∥C ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α//,//m n ααm n ∥D ．为不同的直线，为平面，若，则 ,m n α,m n αα⊥⊥m n ∥【答案】BD【分析】根据空间中点线面的位置关系，结合选项即可逐一求解. 【详解】对于A ，过任意不共线的三点有且仅有一个平面，故A 错， 对于B ，由于，所以，故B 正确，,m m αβ⊥⊥αβ∥对于C, 若，则可以异面，也可以相交，也可以，故C 错误， //,//m n αα,m n m n ∥对于D,根据垂直于同一平面的两直线平行，可知D 正确. 故选：BD11．已知椭圆的左，右焦点分别为，长轴长为4，点在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>12,FF )P外，点在椭圆上，则（ ）C Q C A ．椭圆的离心率的取值范围是C ⎫⎪⎪⎭B ．当椭圆时，的取值范围是C1QF 22⎡⎣C ．存在点使得Q 210QF QF ⋅=D ．的最小值为2 1211QF QF +【答案】ABC【分析】根据点在椭圆外，即可求出的取值范围，即可求出离心率的取值范围，从而)P C b 判断A ；根据离心率求出，则，即可判断B ；c []1,QF a c a c ∈-+设上顶点，得到，即可判断C ；A 120AF AF ⋅<根据利用基本不等式判断D. 124QF QF +=【详解】由题意得，又点在椭圆外，则，解得2a =)PC 22114b+>b <所以椭圆的离心率的离心率的取值范围是，故A 正确；C c e a ==>C⎫⎪⎪⎭当，所以的取值范围是，即，e=c=1b ==1QF [],a c a c -+22⎡⎣故B 正确；设椭圆的上顶点为，，，由于，()0,A b ()1,0F c -()2,0F c 222212·20AF AF b c b a =-=-<所以存在点使得，故C 正确；Q 120QF QF ⋅=， ()21121212112224QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭当且仅当时，等号成立， 122QF QF ==又， 124QF QF +=所以，故D 不正确． 12111QF QF +≥故选：ABC12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有R ()f x A 12,R x x ∀∈12x x A -∈，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（ ）()()12f x f x A -∈()f x A A ．是“封闭”函数()2f x x =[]1,1-B ．定义在上的函数都是“封闭”函数R ()f x {}0C ．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数()f x {}1()f x {}k ()*N k ∈D ．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数()f x [],a b ()*,N a b ∈()f x {}ab 【答案】BC【分析】A 特殊值判断即可；B 根据定义及函数的性质即可判断；C 根据定义得到124,3x x ==都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，DR x ∀∈(1)()1f x f x +=+22()()f x k f x k +-=选项可判断出其逆否命题的正误，得到D 选项的正误.【详解】对A ：当时，，而，A 错124,3x x ==121[1,1]x x -=∈-12()()1697[1,1]f x f x -=-=∉-误；对B ：对于集合，使，即，必有， {}012,R x x ∀∈120x x -=12x x =12()()0f x f x -=所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B 正确； R ()f x {}0对C ：对于集合，使，则，{}112,R x x ∀∈{}121x x -∈121x x =+而是“封闭”函数，则，即都有， ()f x {}122(1)()1f x f x +-=R x ∀∈(1)()1f x f x +=+对于集合，使，则，，{}k 12,R x x ∀∈{}12x x k -∈12x x k =+*N k ∈而，，...，， 22()(1)1f x k f x k +=+-+22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+22(1)()1f x f x +=+所以，222222()(1)...(1)(1)(2)...()1f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++-即，故，一定是“封闭”函数，C 正确；22()()f x k f x k +=+22()()f x k f x k +-=()f x {}k ()*N k ∈对D ，其逆否命题为，若是“封闭”函数，则不是“封闭”函数，只需()f x {}ab ()f x [],a b ()*,N a b ∈判断出其逆否命题的正误即可，使，则，12,R x x ∀∈12x x ab -=12()()f x f x ab -=若，则，[],ab a b ∈ab a ab b a b ≥⎧⎪≤⎨⎪<⎩由解得，因为，所以，ab b ≤1a ≤*N a ∈1a =即使，则，12,R x x ∀∈[]12,x x ab b a b -==∈[]12()(),f x f x ab b a b -==∈满足是“封闭”函数，()f x [],a b ()*,N a b ∈故逆否命题为假命题，故原命题也时假命题，D 错误. 故选：BC【点睛】关键点点睛：对于C ，根据给定的条件得到都有，有R x ∀∈(1)()1f x f x +=+R x ∀∈恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.()()f x a f x b +=+三、填空题13．已知向量，若，则_____．(4,3),(1,)a b m =-= (2)a b b +⊥m =【答案】或/或 2-12122-【分析】根据向量的坐标运算及向量垂直的数量积表示求解即可.【详解】，(4,3),(1,)a b m =-=，2(2,32)a b m →→∴+=-+，(2)a b b +⊥ ，解得或. (2)2(32)0a b b m m →→→∴+⋅=-++=2m =-12m =故答案为：或.2-1214．若，则______． ()()()()82801281111x a a x a x a x -=+++++++ 5a =【答案】448-【分析】令可得，分析可知为展开式中的系数，然后利1x t +=()82801282t a a t a t a t -=++++ 5a 5t 用二项式定理可求得的值.5a 【详解】令可得，则， 1x t +=1x t =-()1112x t t -=--=-所以，， ()82801282t a a t a t a t -=++++ 所以，为展开式中的系数，5a 5t 的展开式通项为， ()82t -()()()88188C 2C 210,1,2,,8k kk k kk k k T t t k --+=⋅-=⋅⋅-= 所以，. ()()55358C 215681448a =⋅⋅-=⨯⨯-=-故答案为：.448-15．已知有相同焦点、的椭圆和双曲线交于点，，椭圆和双曲线的离心率分别1F 2F P 12||||PO F F =是、，那么__________（点为坐标原点）． 1e 2e 221211e e +=O 【答案】5【分析】设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得，在12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=和中，分别利用余弦定理，两式相加，则，进而得到，即可1POF ∆2POF ∆22210m n c +=2212225a a c c+=得到答案.【详解】设椭圆的长半周长为，双曲线的实半轴长为，它们的半焦距都为， 1a 2a c 并设，根据椭圆的定义和双曲线的定义可得， 12,PF m PF n ==122,2m n a m n a +=-=在中，由余弦定理得，1POF ∆22211112cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos m c c c c POF =+-⨯∠在中，由余弦定理得，2POF ∆22222222cos PF OF OP OF OP POF =+-∠即2221422cos n c c c c POF =+-⨯∠又由, 12POF POF π∠=-∠两式相加，则，22210m n c +=又由，所以，()2222212222m n m n mn a a +=+-=+222222*********a a c a a c +=⇒+=所以，即.2212225a a c c+=2212115e e +=【点睛】本题主要考查了椭圆与双曲线的定义及其几何性质的求解，其中解答中利用椭圆和双曲线的定义，以及在和中，利用余弦定理，两式相1POF ∆2POF ∆加，求得是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.22210m n c +=四、双空题16．意大利数学家傲波那契在研究兔子繁殖问题时发现了数列1，1，2，3，5，8，13，…，数列中的每一项被称为斐波那契数，记作Fn .已知，，（，且n >2）. 11F =21F =12n n n F F F --=+*N n ∈（1）若斐波那契数Fn 除以4所得的余数按原顺序构成数列，则{}n a 1232023a a a a +++= ___________.（2）若，则___________.2024F a =1232022F F F F +++=【答案】 2697 /-1+a1a -【分析】（1）根据带余除法的性质，总结数列规律，可得答案； （2）利用递推公式，结合裂项相消，可得答案.【详解】（1）由题意，，则，，则， 141401F ÷=÷= 11a =241401F ÷=÷= 21a =由，则除以4的余数为，即， 312F F F =+3F ()11402+÷= 32a =由，则除以4的余数为，即， 423F F F =+4F ()12403+÷= 43a =由，则除以4的余数为，即， 534F F F =+5F ()32411+÷= 51a =由，则除以4的余数为，即， 645F F F =+F 6()31410+÷= 60a =由，则除以4的余数为，即， 756F F F =+7F ()01401+÷= 71a =由，则除以4的余数为，即，867F F F =+8F ()01401+÷= 81a=故由斐波那契数除以4的余数按原顺序构成的数列，是以6为最小正周期的数列，因为n F {}n a ，所以；202363371÷= 1232023833712697a a a a ++++=⨯+= （2）由斐波那契数的递推关系可知：时，且，， n F 2n >21n n n F F F --=-121F F ==2024F a =所以. ()()()122022324320242023202421F F F F F F F F F F F a +++=-+-++-=-=- 故答案为：2697，a -1五、解答题17．已知是等比数列的前项和．()12n n S λλ+=-∈R {}n a n (1)求及； λn a (2)设，求的前项和． 21log n n nb a a =+{}n b n n T 【答案】(1)， 2λ=2n n a =(2) 1(1)122n n n n T +=-+【分析】（1）由与关系求通项公式，再由等比数列的定义求解 n a n S （2）由分组求和法求解【详解】（1）①当时，，1n =114a S λ==-②当时，，2n ≥11222n n nn n n a S S +-=-=-=由题意得，故， 142a λ=-=2λ=2n n a =（2）， 211log 2n n n n n b a a ==++则， 2111()(12)222n n T n =+++++++ 得 1(1)122n n n n T +=-+18．在中，角所对的边分别为，且. ABC ,,A B C ,,a b c 2cos a b c B +=(1)求证：； 2C B =(2)求的最小值. 3cos a bb B+【答案】(1)证明见解析(2)最小值为【分析】（1）根据正弦定理边角互化和两角和差正弦化简即可证明. （2）将问题转化，根据第一问解得，32cos 2cos cos a b c B b b B b B ++=24cos cos B B =+π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后结合不等式求解.【详解】（1）在中，， ABC 2cos a b c B +=由正弦定理得， sin sin 2sin cos A B C B +=又，()πA B C =-+因为, ()sin sin 2sin cos B C B C B ++=⋅所以, sin cos sin cos sin C B B C B ⋅-⋅=所以,又,()sin sin C B B -=sin 0B >所以，且, 0πC B C <-<<πB C B C +-=<所以， B C B =-故.2C B =（2）由（1）得，2C B =()30,πB C B +=∈所以，π10,,cos ,132B B ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为， 2cos ,2a b c B C B +==所以32cos 2cos cos a b c B bb B b B++=2sin cos 2sin 2sin2cos 2sin sin cos sin cos C B B B B BB B B B⋅+⋅+==⋅⋅， 24cos cos B B=+≥当且仅当即，即当且仅当时等号成立， 24cos cos B B =cos B =π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π4B =所以当时，的最小值为π4B =3cos a bb B +19．某厂计划购买台机床，该种机床使用四年后即被淘汰，并且在使用过程中机床有一易损零50件，若在购进机床同时额外购买这种易损零件作为备用件，此时每个只需元．在使用期间如果300备件不足再购买，则每个要元．所以在购买前要决策购买数目．使得该厂购买机床时搭配的易500损备用零件费用最省．为此业内相关人员先搜集了台以往这种机床在四年内更换的易损零件50数，并整理数据后得如下柱状图．以这台机床更换的易损零件数的频率代替每台机床更换的易损零件数发生的概率．记表示50X 2台机床四年内实际共需更换的易损零件数，表示购买台机床的同时备用的易损零件数目，n 2为购买机床时备用件数发生的概率．()P X n =n （1）求时的最小值；()0.5P X n ≤≥n （2）求的分布列及备用的易损零件数时的数学期望；X 19n =X （3）将购买的机床分配给名年龄不同（视技术水平不同）的人加工一批模具，因熟练程度不同50而加工出的产品数量不同，故产生的经济效益也不同．若用变量表示不同技工的年龄，变量为x y 相应的效益值（元），根据以往统计经验，他们的每日工作效益满足最小二乘法和关于的线性y x 回归方程，已知他们年龄的方差为，所对应的效益方差为. 1.240ˆyx =+x 214.4x s =222.5ys =①试预测年龄为岁的技工使用该机床每日所产生的经济效益；50②试根据的值判断使用该批机床的技工人员所产生的效益与技工年龄的相关性强弱．r 附：下面三个计算回归直线方程的斜率和截距及表示随机变量与相关关系强弱的 ˆy bxa =+ˆb a x y 系数计算公式：，r ()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑r =【答案】（1）；（2）分布列见解析，元；（3）①元；②该机床的技工所产19()5490E X =100生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系.【分析】（1）计算出、、、的值，进而可求得满足()16P X =()17P X =()18P X =()19P X =时的值；()0.5P X n ≤≥n （2）根据题意可知，随机变量的可能取值有、、、、、，计算出随机变量在X 161718192021X 不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并根据实际情况求得时的数学期望； X 19n =X （3）①将代入回归直线方程可求得结果；20x =②根据相关系数公式结合已知数据求得的值，进而可得出结论. r 【详解】（1）根据图示柱表，易知更换易损零件的频数为的频率为．易损零件的频数10100.250=为的频率为． 20200.450=将频率视为概率，且知每台机床易损零件的发生与否是相互独立的，结合图表得：当时，；16X =()16880.20.20.04P X ==+=⨯=当时，；17X =()1789980.20.40.40.20.16P X ==+=+=⨯+⨯=当时，；18X =()189********.40.420.20.20.24P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，． 19X =()19109910118811P X ==+=+=+=+20.40.220.20.20.24=⨯⨯+⨯⨯=据互斥事件发生的概率知；()()()()181617180.440.5P X P X P X P X ≤==+=+==<．()()()1918190.440.240.680.5P X P X P X ≤=≤+==+=>于是的最小值为；n 19（2）由（1）进而知，随机变量的可能取值为：、、、、、， X 161718192021当时，； 20X =()2010101199110.20.220.40.20.2P X ==+=+=+=⨯+⨯⨯=当时，；21X =()211011111020.20.20.08P X ==+=+=⨯⨯=当时，． 21X =()2211110.20.20.04P X ==+=⨯=于是分布列为：X 16 17 18 1920 2122P 0.04 0.160.240.240.2 0.080.04进而结合（1）知，当备用的易损零件数时，随机变量取值为、、、、、19n =X 161718192021，需注意的是，虽备用的易损零件数时，但发生的概率仍按实际需要的台机床时计算． 19n =X 则购买易损零件所产生的实际费用数学期望为()193000.04193000.16193000.24193000.24E X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯()()()193005000.21930025000.0819********.04+⨯+⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯（元）；()193000.040.160.240.241240536288=⨯++++++387614885362885940=+++=（3）①先根据回归方程易知（元），即岁的技工日使用该机床产生的效益1.250401ˆ00y=⨯+=50为元；100②由方差计算公式知，()()()22221250150x s x x x x x x ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎢⎥⎣⎦即等价化为， ()()()2222125050xs x x x x x x =-+-+⋅⋅⋅+-同理．()()()2222125050y s y y y y y y=-+-+⋅⋅⋅+-又，，，据公式求出相关系数则有 214.4xs =222.5ys =ˆ 1.2b=r ()()()5015021i i i i i x xy y r x x==--==-∑∑． 1.20.9ˆ6b ===易知：该机床的技工所产生的日经济效益与技工的年龄具有非常强的相关关系．【点睛】本题是以工业生产为背景命制的试题，命题目的：其一是考查考生能够在实际情景中从数学的视角发现问题、分析问题、建立模型、解决模型、改进模型；能对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题．其二是考查考生对概率知识、随机变量分布列、数学期望、回归分析、相关关系等概念的应用；其三是考查考生的数据处理能力、逻辑推理能力、和运算求解能力及建模能力．体现了数学应用和数学转化的数学素养，落实了高考对数学应用性、综合性的考查要求，属于难题.20．如图，在三棱柱中，平面 .111ABC A B C -111,,BC BB BC B C O AO ==⊥ 11BB C C(1)求证:;1AB B C ⊥(2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值.160B BC ︒∠=AB 11BB C C 30︒111A B C A --【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得AO ⊥11BB C C 1AO B C ⊥1BC BB =11BC B C ⊥平面，即可证得.1B C ⊥1ABC 1AB B C ⊥（2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别O 1,,OB OB OA ,,x y z 求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解.11AB C 111B C A 12,n n【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， AO ⊥11BB C C 1B C ⊂11BB C C 1AO B C ⊥因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 1BC BB =11BB C C 11BB C C 所以，11BC B C ⊥又因为，平面，平面，所以平面， 1AO BC O ⋂=AO ⊂1ABC 1BC ⊂1ABC 1B C ⊥1ABC 因为平面， 所以.AB ⊂1ABC 1AB B C ⊥（2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， AB 11BB C C 30,AO ︒⊥11BB C C 30ABO ︒∠=因为， 所以是正三角形， 160B BC ︒∠=1BCB △设， 则，2BC =12,1B C BO OA ===以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， O 1,,OB OB OA ,,x y z如图所示，则，11(0,1,0),(0,0,1),(B B A C所以 ，11111(0,1,1),1)AB C B A B AB =-===-设平面的一个法向量为，则，11AB C 1(,,)n x y z =111110n AB y z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取，可得，1x=y z ==1(1,n =设平面的一个法向量为，则，111B C A 2111(,,)n x y z = 21111111110n A B z n C B y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩取，可得，11x=1y z ==2(1,n =设二面角的大小为，111A B C A --θ因为， 121cos ,7n n = 所以，sin θ==所以二面角111A B C A --21．已知椭圆的右焦点为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线2222:1(0)x y C a b a b +=>>1F 1F x 与短轴两端点的连线相互垂直. 1F （1）求椭圆的方程；C （2）若圆上存在两点，，椭圆上存在两个点满足：三点共线，222:O x y a +=M N C ,P Q 1,,M NF 三点共线，且，求四边形面积的取值范围.1,,P Q F 0PQ MN ⋅=PMQN 【答案】（1）；（2）2212x y +=【解析】（1）又题意知，，及即可求得，从而得椭圆方程. a =a =222a b c =+a b c 、、（2）分三种情况：直线斜率不存在时，的斜率为0时，的斜率存在且不为0时，设MN MN MN 出直线方程，联立方程组，用韦达定理和弦长公式以及四边形的面积公式计算即可.【详解】（1）由焦点与短轴两端点的连线相互垂直及椭圆的对称性可知，，b c =∵过点且与1F x 22ba∴=又，解得.222a b c =+1a b c ===∴椭圆的方程为C 2212x y +=（2）由（1）可知圆的方程为，O 222x y +=（i ）当直线的斜率不存在时，直线的斜率为0， MN PQ此时||2,||PMQN MN PQ S ===四边形（ii ）当直线的斜率为零时，.MN |||2PMQN MN PQ S ===四边形（iii ）当直线的斜率存在且不等于零时，设直线的方程为， MN MN (1)(0)y k x k =-≠联立，得，222x y +=2222(1)220(0)k x k x k +-+-=∆>设的横坐标分别为，则. ,M N ,M N x x 222222,11M N M N k k x x x x k k -+=⋅=++所以，||MN =-（注：的长度也可以用点到直线的距离和勾股定理计算.）||MN 由可得直线的方程为，联立椭圆的方程消去，PQ MN ⊥PQ 1(1)(0)y x k k=--≠C y 得 222(2)4220(0)k x x k +-+-=∆>设的横坐标为，则. ,P Q ,P Q x x 222422,22p p Q Q k x x x x k k -+=⋅=++||PQ ∴==1||||2PMQNS MN PQ ===四边形2110,1222PMQN S k <<<<∴<<+ 四边形综上，由（i ）（ii ）（ⅲ）得的取值范围是.PMQN S 四边形【点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题，解答此类题目，通常利用的关系，确定椭圆方程是基础；通过联立直线方程与椭圆方程建立方程a b c 、、组，应用一元二次方程根与系数，得到目标函数解析式，运用函数知识求解；本题是难题.22．已知函数． ln ()e xxf x a x-=+(1)若是的极值点，求a ；1x =()f x (2)若，分别是的零点和极值点，证明下面①，②中的一个．0x 1x ()f x ①当时，；②当时，．0a >2100ln 1x x x <-+a<010ln 21x x <-注：如果选择①，②分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】(1) e a =(2)证明见解析.【分析】（1）对函数进行求导，由是函数的极值点，则，即可得，然后将1x =()f x ()01f '=e a =带入原函数进行分析说明即可；e a =（2）选择①因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 找出等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同0a >时结合已知的条件即可得；2100ln 1x x x <-+选择②因为分别为的零点和极值点，所以，分别求出的值，找出01,x x ()f x 0()0,f x =1()0,f x '=a 等量关系式，然后根据，对函数式进行分析，利用构造新函数利用函数导数单调性，同时结0a <合已知的条件即可得；10ln 21x x <-【详解】（1）因为，所以， ln ()e xx f x a x -=+21ln ()e xx f x a x --'=-+若是函数的极值点，则，，即， 1x =()f x ()01f '=121ln1(1)e 01f a --'=-+=e a =此时，2121e ln ()x x xf x x --'-=设，则，，21()1e ln x g x x x ---=121()2e1e xx g x x x x--+--'=(1)2g '=-所以存在，使得当时，，单调递减， 1m n <<(),x m n ∈()0g x '<()g x 当时，，单调递增，当时，，(),1x m ∈22()(1)()0g x g f x x x '=>=()f x ()1,x n ∈22()(1)()0g x g f x x x'=<=单调递减，()f x 所以当时，是的极值点. e a =1x =()f x （2）选择①：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,xx x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln xx x x a x x --==当时，，则，即 0a >()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=<01ln 0,ln 1x x <<0101,0e,x x <<<<因为，所以当，即时，成立，200314x x -+≥13ln 4x <3410e x <<2100ln 1x x x <-+当时，若，则只需证明，341e e x ≤<10e x x ≤2000ln x x x <-设，则 ()2e ln 1()x x k x x -=()3e ln 2ln 3(),x x x x x k x x --+'=设，1()ln 2ln 3k x x x x x =--+则为增函数，且12()ln k x x x'=-112(1)20,(e)10,e k k ''=-<=->所以存在唯一，使得， 2(1,e)x ∈12222()ln 0k x x x '=-=当时，，单调递减，当时，，单调递增， 2(1,)∈x x 1()0k x '<1()k x 2(,)x x ∈+∞1()0k x '>1()k x 故，所以，单调递增， 112224()()5(0k x k x x x ≥=-+>()0k x '>()k x 所以，则，等价于. 10e x x ≤()100e 100222100e ln 1e ln e ln e x x x x x x x x x -=≤02+(1e)010e x x --≥设，则，2+(1e)1()e x m x x -=-[]2+(1e)()(1e)1exm x x -'=-+当时，若时，，，单调递减，3410e e e x x ≤≤<14e 1x -≤<(1e)10x -+<()0m x '<()m x 所以当，所以当时，成立，14e1x -≤<3e()(1)e10,m x m ->=->341e e x ≤<10e e x x ≤<设，则， 2()ln n x x x x =-+1()21n x x x'=-+当时，，单调递增所以当时，，01x <<()0n x '>()n x 01x <<()(1)0n x n <=即成立，22000100ln ,ln 1x x x x x x <-<-+综上，若，分别是的零点和极值点，当时，.0x 1x ()f x 0a >2100ln 1x x x <-+选择②：因为分别为的零点和极值点，所以， 01,x x ()f x 0000000ln e ln ()e0,x x x x f x a a x x -=+==-，所以. ()111112211e 1ln 1ln ()e0,x x x x f x a a x x ---'=-+==()1010210e ln 1e ln x x x x a x x --==当时，，则，即 0a <()1010210e ln 1e ln 0x x x x x x -=>01ln 0,ln 1x x >>011,>e,x x >若，即则只需证明， 10e x x ≤101ln ln x x ≤+002ln 2x x <-设，则， 2()ln 2x x x h =-+1()2h x x'=-当时，，单调递减，所以.1x >()0h x '<()h x 10()(1)0,ln 21h x h x x <=<-若，设，则，单调递增， 10e e x x >>2e ()(e)xx x x ϕ=>3(2)e ()0x x x xϕ-'=>()ϕx 所以，所以，，()()10e x x ϕϕ>()01e 101222010eln 1e ln e (ln 1)e x x x x x x x x x--=>02e 100ln e ln 1x x x x x +-<+所以只需证明.2e 000e ln 121x x x x x +-+<-设，则，2e ()e ln 22x x u x x x x +-=-+[]2e ()ln (1e)ln 1e 2x xu x x x x +-'=+-+-当时，，当时，即时，，1x >[]2e ()(2e)ln 1e 2x xu x x +-'<-+-(2e)ln 10x -+≤1e 2ex -≥()0u x '<设，[]2e ()(2e)ln 1e2x xv x x +-=-+-则， 2e 2e ()(e 1)(e 2)ln 1e e x x v x x x +--⎡⎤'=+--+-⎢⎥⎣⎦因为当时，函数单调递增， 1x >2e()(e 1)(e 2)ln 1e t x x x -=+--+-所以当时，，1e 21ex -<<11e 2e 211e 2e 22e 2e ()(e)(e 1)(e 2)ln e1e=0eet x t ------<=+--+-<，单调递减，此时也有，()0v x '<()v x 3e ()()(1)e 20u x v x v -'<<=-<所以当时，单调递减，，即当时，， 1x >()u x ()(1)0u x u <=1e e x x >>10ln 21x x <-综上，综上，若，分别是的零点和极值点，当时，. 0x 1x ()f x 0a <10ln 21x x <-【点睛】函数与导数综合简答题常常以压轴题的形式出现， 难度相当大，主要考向有以下几点：1、求函数的单调区间（含参数）或判断函数（含参数）的单调性；2、求函数在某点处的切线方程，或知道切线方程求参数；3、求函数的极值（最值）；4、求函数的零点（零点个数），或知道零点个数求参数的取值范围；5、证明不等式；解决方法：对函数进行求导，结合函数导数与函数的单调性等性质解决，在证明不等式或求参数取值范围时，通常会对函数进行参变分离，构造新函数，对新函数求导再结合导数与单调性等解决.。

2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)

2024年山东潍坊市高三三模数学高考试卷试题(含答案详解)

潍坊市高考模拟考试（潍坊三模）数学2024.5一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求.1．设复数πsin 2i 4z θ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭是纯虚数，则θ的值可以为（）A ．π4B ．5π4C ．2023π4D ．2025π42．已知集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,|3,Z A B x x n n =---==∈，则A B ⋂的子集个数是（）A ．3个B ．4个C ．8个D ．16个3．如图，半径为1的圆M 与x 轴相切于原点O ，切点处有一个标志，该圆沿x 轴向右滚动，当圆M 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为N )，标志位于点A 处，圆N 与x 轴相切于点B ，则阴影部分的面积是（）A ．2B ．1C ．π3D ．π44．某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2，上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为（）A B ．12C ．2D 5．牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程()0f x =的根就是函数()f x 的零点r ，取初始值()0,x f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为()1,x f x 的图象在点()()11,x f x 处的切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，一直继续下去，得到12,,,n x x x ，它们越来越接近r ．设函数()2f x x bx =+，02x =，用牛顿迭代法得到11619x =，则实数b =（）A ．1B ．12C ．23D ．346．已知1F ，2F 分别为椭圆C ：22162x y+=的左、右焦点，点()00,P x y 在C 上，若12F PF ∠大于π3，则0x 的取值范围是（）A ．(),-∞+∞B ．(C ．(),-∞+∞D ．(7．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且()1e f =，当0x >时，()1e xf x x<'+，则不等式()ln 1e xf x x ->的解集为（）A ．()0,1B ．()0,∞+C ．()1,∞+D ．()()0,11,∞⋃+8．已知()()()()()()828901289321111x x a a x a x a x a x ++=+++++++++ ，则8a =（）A ．8B ．10C ．82D ．92二、多项选择题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为棱111,C D C C 的中点，则（）A ．直线BN 与1MB 是异面直线B ．直线MN 与AC 所成的角是3πC ．直线MN ⊥平面ADND ．平面BMN 截正方体所得的截面面积为98.10．下列说法正确的是（）A ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”是互斥事件B ．掷一枚质地均匀的骰子两次，“第一次向上的点数是1”与“两次向上的点数之和是7”是相互独立事件C ．若123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，方差是6，则12345,,,,x x x x x 的方差是65D ．某人在10次射击中，设击中目标的次数为X ，且()10,0.8B X ，则8X =的概率最大11．已知12F F ，双曲线()222:104x y C b b-=>的左、右焦点，点P 在C 上，设12PF F △的内切圆圆心为I ，半径为r ，直线PI 交12F F 于Q ，若53PQ PI = ，1215PI PF t PF =+，R t ∈则（）A ．25t =B ．圆心I 的横坐标为1C ．5r =D ．C 的离心率为2三、填空题:本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12．已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c λ==-=，若()20c a b ⋅+= ，则实数λ=13．已知关于x 的方程()()2cos 0x k ωϕω+=≠的所有正实根从小到大排列构成等差数列，请写出实数k 的一个取值为14．已知,,a b c 均为正实数，函数()()22ln f x x a b x x =+++．（1）若()f x 的图象过点()1,2，则12a b+的最小值为；（2）若()f x 的图象过点(),ln c ab c +，且()3a b t c +≥恒成立，则实数t 的最小值为．四、解答题:本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、说明过程或演算步骤.15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,2AB AC AB AC AA ⊥==，E 是棱BC的中点．(1)求证：1//A C 平面1AB E ；(2)求二面角11A B E A --的大小．16．已知正项等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且12311S S S ++，，成等比数列.(1)求数列{}n a 的通项公式n a ；(2)若()1,1sin ,2nn n n S b n S n π⎧⎪⎪=⎨-⎪⋅⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n b 的前4n 项和.17．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，E 为直线:1l y =-上一点，动点F 满足FE l ⊥，OF OE ⊥ .(1)求动点F 的轨迹C 的方程;(2)若过点1,02T ⎛⎫⎪⎝⎭作直线与C 交于不同的两点,M N ，点()1,1P ，过点M 作y 轴的垂线分别与直线,OP ON 交于点,A B .证明：A 为线段BM 的中点.18．某高校为了提升学校餐厅的服务水平，组织4000名师生对学校餐厅满意度进行评分调查，按照分层抽样方法，抽取200位师生的评分(满分100分)作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级:满意度评分[0,60)[60,80)[80,90)[]90100，满意度等级不满意基本满意满意非常满意(1)求图中a 的值，并估计满意度评分的25%分位数;(2)若样本中男性师生比为1:4，且男教师评分为80分以上的概率为0.8，男学生评分为80分以上的概率0.55，现从男性师生中随机抽取一人，其评分为80分以上的概率为多少?(3)设在样本中，学生、教师的人数分别为()1200m n n m ≤≤≤，，记所有学生的评分为12,,m x x x ，，其平均数为x ，方差为2x s ，所有教师的评分为12,,n y y y ，，其平均数为y ，方差为2y s ，总样本的平均数为z ，方差为2s ，若245x y x y s s s ==，试求m 的最小值.19．一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂，并只受重力的影响，这个项链形成的曲线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程e e 2x xccc y -⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，其中c 为参数.当1c =时，就是双曲余弦函数()e e ch 2x x x -+=，类似地双曲正弦函数()e e sh 2x xx --=，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比三角函数的三个性质：①倍角公式sin22sin cos x x x =；②平方关系22sin cos 1x x +=；③求导公式()()''sin cos cos sin x x x x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；(2)当0x >时，双曲正弦函数()sh y x =图象总在直线y kx =的上方，求实数k 的取值范围；(3)若1200x x >>，，证明：()()()()()2221112121ch sh 1ch sh sin sin cos .x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤+--⋅+>+--⎣⎦⎣⎦1．C【分析】根据题意得到πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，将四个选项代入检验，得到答案.【详解】由题意得πsin 04θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，A 选项，当π4θ=时，ππsin 144⎛⎫+= ⎪⎝⎭，不合题意，A 错误；B 选项，当5π4θ=时，5ππsin 144⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，不合要求，B 错误；C 选项，当2023π4θ=时，2023ππsin sin 506π044⎛⎫+==⎪⎝⎭，故C 正确；D 选项，当2025π4θ=时，2025ππsin 144⎛⎫+=⎝⎭，D 错误.故选：C 2．C【分析】由交集的定义求得A B ⋂，根据子集个数的计算方法即可求解．【详解】由题意得，{3,0,3}A B ⋂=-，则A B ⋂的子集有328=个，故选：C ．3．B【分析】根据给定条件，求出劣弧AB 的长，再利用扇形面积公式计算即得．【详解】由圆M 与圆N 外切，得2MN =，又圆M ，圆N 与x 轴分别相切于原点O 和点B ，则2OB MN ==，所以劣弧AB 长等于2OB =，所以劣弧AB 对应的扇形面积为12112⨯⨯=.故选：B 4．A【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可．【详解】设上、下两圆锥的底面半径为r ，高分别为12,h h ，体积分别为12,V V ，因为上圆锥的高与底面半径相等，所以1h r =，则2111222221π1312π3r h V h r V h h r h ====得，22h r =，=，5=，故选：A ．5．D【分析】求得()f x 在()()22f ,的切线方程，代入16,019⎛⎫⎪⎝⎭求解即可．【详解】()2f x x b '=+，(2)4f b '=+，()242f b =+，则()f x 在()()22f ,处的切线方程为()()()4242y b b x -+=+-，由题意得，切线过16,019⎛⎫⎪⎝⎭代入得，()()16424219b b ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭，解得34b =，故选：D ．6．D【分析】由已知可知1PF ，2PF的坐标和模，由向量数量积的定义及坐标运算可得关于0x 的不等关系，即可求解.【详解】因为椭圆C ：22162x y +=，所以26a =，22b =，所以2224c a b =-=，所以()12,0F -，()22,0F ，因为点()00,P x y 在C 上，所以2200162x y +=，所以2200123y x =-，0x <<，又()1002,PF x y =--- ，()2002,PF x y =-- ，所以222120002423PF PF x y x ⋅=+-=- ，又)10033PF x ==+=+ ，)2003PF x x ==-=- ，所以121212cos PF PF PF PF F PF ⋅=⋅∠ ，因为12F PF ∠大于π3，所以121212πcos cos 3PF PF F PF PF PF ⋅∠<⋅ ，所以()()2000221233332x x x -<+⋅-⋅，解得0x <<所以0x 的取值范围是(.故选：D .7．A【分析】由不等式化简构造新函数，利用导数求得新函数的单调性，即可求解原不等式.【详解】不等式()ln 1exf x x->等价于()e ln x f x x >+，即()e ln 0x f x x -+>，构造函数()()e ln ,0x g x f x x x =-+>，所以1()()e xg x f x x''=--，因为0x >时，()1e xf x x<'+，所以()0g x '<对(0,)∀∈+∞x 恒成立，所以()g x 在(0,)+∞单调递减，又因为(1)(1)e ln10g f =--=，所以不等式()e ln 0x f x x -+>等价于()(1)g x g >，所以01x <<，即()ln 1exf x x->的解集为()0,1.故选：A.8．B【分析】由()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，利用二项式定理求解指定项的系数.【详解】()()()()88321211x x x x ⎡⎤⎡⎤++=++++⎣⎦⎣⎦，其中()811x ⎡⎤++⎣⎦展开式的通项为()()88188C 11C 1rrr r rr T x x --+=+⋅=+，N r ∈且8r ≤，当0r =时，()()8818C 11T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的2，可得()821x +；当1r =时，()()77128C 181T x x =+=+，此时只需乘以第一个因式()12x ⎡⎤++⎣⎦中的()1x +，可得()881x +.所以82810a =+=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把()()832x x ++表示成()()81211x x ⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦，利用即可二项式定理求解.9．ABD【分析】根据异面直线成角，线面垂直的判定定理，梯形面积公式逐项判断即可.【详解】对于A ，由于BN ⊂平面11BB C C ，1MB 平面1111BB C C B ,B BN =∉，故直线BN 与1MB 是异面直线，故A 正确；对于B ，如图，连接1CD ，因为M N ，分别为棱111C D C C ，的中点，所以1∥MN CD ，所以直线MN 与AC 所成的角即为直线1CD 与AC 所成的角，又因为1ACD △是等边三角形，所以直线1CD 与AC 所成的角为π3，故直线MN 与AC 所成的角是π3，故B 正确；对于C ，如图，假设直线MN ⊥平面ADN ，又因为DN ⊂平面ADN ，所以MN DN ⊥，而222MN DN DM ===，这三边不能构成直角三角形，所以DN 与MN 不垂直，故假设错误，故C 错误；对于D ，如图，连接11,A B A M ，因为111,A B CD CD MN ∥∥，所以1//A B MN ，所以平面BMN 截正方体所得的截面为梯形1A BNM ，且11,2MN A B A M BN ====4，所以截面面积为19(2248⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.10．BCD【分析】由互斥事件的定义即可判断A ；由独立事件的乘法公式验证即可判断B ；由平均值及方差的公式即可判断C ；由二项分布的概率公式即可判断D ．【详解】对于A ，事件“至少有一个黑球”与事件“至少有一个红球”可以同时发生，所以不是互斥事件，故A 错误；对于B ，设A =“第一次向上的点数是1”，B =“两次向上的点数之和是7”，则()16P A =，()61366P B ==，()136P AB =，因为()()()P AB P A P B =⋅，所以事件A 与B 互相独立，故B 正确；对于C ，由123452,,,,,x x x x x 的平均数是7，得12345,,,,x x x x x 的平均数为8，由123452,,,,,x x x x x 方差是6，则()()222222123451234514752536xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯+=，所以()()222222123451234516856x x x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，所以12345,,,,x x x x x 的方差()()22222212345123451685655xx x x x x x x x x ++++-+++++⨯=，故C 正确；对于D ，由()10,0.8B X 得，当()110,Z x r r r =≤≤∈时，()101041C 55rrr P x r -⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当2r ≥时，令()()()101011111041C 411551141C 55r rr r r r P x r r P x r k ----⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=-⎝⎭⎝⎭==≥=-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，即445r ≤，令()()()10101911041C 1551141041C 55r rrr r r P x r r P x r k -+-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪=+⎝⎭⎝⎭==≥=+-⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得395r ≥，即394455r ≤≤，所以当8r =时，()8P X =最大，故D 正确，故选：BCD ．11．ACD【分析】由121533PQ PF t PF =+ ，且12,,F Q F 三点共线，得到25t =，可判定A 正确；根据双曲线的定义和122EF EF c +=，求得12,EF a c EF c a =+=-，可判定B 错误；利用角平分线定理得到11222PF QF PF QF ==，结合三角形的面积公式，分别求得,c r 的值，可判定C 正确；结合离心率的定义和求法，可判定D 正确.【详解】对于A 中，因为12515333PQ PI PF t PF ==+，且12,,F Q F 三点共线，所以15133t +=，可得25t =，所以A 正确；对于B 中，设切点分别为,,E F G ，则12122EF EF PF PF a -=-=，又因为122EF EF c +=，所以12,EF a c EF c a =+=-，所以点E 为右顶点，圆心I 的横坐标为2，所以B 错误；对于C 中，因为121233PQ PF PF =+ ，所以122QF QF =，由角平分线定理，得11222PF QF PF QF ==，又因为1224PF PF a -==，所以128,4PF PF ==，由53PQ PI = 可得52P y r =，所以()121152122222PF F S c r c r =+⋅=⨯⨯ ，可得4c =，所以128F F =，则12PF F △为等腰三角形，所以1211(812)422PF F S r =+⋅=⨯⨯ 5r =，所以C 正确；对于D 中，由离心率422c e a ===，所以D 正确.【点睛】方法点拨：对于双曲线的综合问题的求解策略：1、与双曲线的两焦点有关的问题，在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合122PF PF a -=，运用平方的方法，建立12PF PF ⋅的联系；2、当与直线有关的问题，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式，根与系数的关系构造相关变量关系式进行求解；3、当与向量有关相结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系转化为点的坐标问题，再根据与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解.12．3-【分析】根据向量线性运算和数量积公式得到方程，求出答案.【详解】()()()22,44,26,2a b +=+-=，()()()21,6,2620c a b λλ⋅+=⋅=+=，解得3λ=-.故答案为：3-13．10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）【分析】根据三角降幂公式化简，再结合图象求得k 的取值即可.【详解】因为()()2cos 0x k ωϕω+=≠，所以cos 2()12x k ωϕ++=，即cos 2()21x k ωϕ+=-，要想方程所有正实根从小到大排列构成等差数列，则需要210k -=或1±，所以10,1,2k =.故答案为：10,,12（答案不唯一，填写其中一个即可）.14．9113【分析】（1）由()f x 的图象过点()1,2得21a b +=，根据基本不等式“1”的妙用计算即可；（2）由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得()22c ac b a c +=-，进而得出22c ac b a c+=-，利用换元法及基本不等式即可求得3ca b+的最大值，即可得出t 的最小值．【详解】（1）由()f x 的图象过点()1,2得，(1)122f a b =++=，即21a b +=，所以()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即13a b ==时等号成立．由()3a b t c +≥恒成立得，3ct a b≥+，（2）因为()f x 的图象过点(),ln c ab c +，则()()22ln ln f c c a b c c ab c =+++=+，即()22c ac b a c +=-，当2a c =时，0c =不合题意舍，所以2a c ≠，即2a c ≠，则22c acb a c+=-，则由0b >得2a c >，所以222222233533512ac c c ac a ac c c a b a ac c a a a c c c --===+-+⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭+-，设20am c-=>，所以()()222237332521351a m m c m m a a m m c c -==+++-++⎛⎫-+ ⎪⎝⎭1131337m m =≤++，当且仅当33m m=，即1m =，则3,4a c b c ==时，等号成立，故答案为：9；113．【点睛】方法点睛：第二空由()f x 的图象过点(),ln c ab c +得出22c acb a c+=-，代入消元得出关于,a c 的齐次式，换元后根据基本不等式计算可得．15．(1)证明见解析(2)30︒【分析】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，先得出平面1//A DC 平面1AB E ，由面面平行证明线面平行即可；（2）建立空间直角坐标系，根据面面夹角的向量公式计算即可．【详解】（1）取11B C 的中点D ，连接1,,A D CD DE ，由直三棱柱111ABC A B C -得，1111,//B C BC B C BC =，1111,//AA BB AA BB =，因为E 是棱BC 的中点，点D 是11B C 的中点，所以1B D CE =，所以四边形1ECDB 为平行四边形，所以1//CD B E ，同理可得四边形1BEDB 为平行四边形，所以11,//,BB DE BB DE =所以11,//AA DE AA DE =，所以四边形1AEDA 为平行四边形，所以1//A D AE ，因为AE ⊂平面1AB E ，1A D ⊄平面1AB E ，所以1A D //平面1AB E ，同理可得//CD 平面1AB E ，又1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1A DC ，所以平面1//A DC 平面1AB E ，又1AC ⊂平面1A DC ，所以1//A C 平面1AB E ．（2）设122AB AC AA ===，以A 为原点，分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则()()()()110,0,0,0,0,1,2,0,1,1,1,0A A B E ，所以()()()()11111,1,0,2,0,1,2,0,0,1,1,1AE AB A B EA ====--，设平面1AEB 的一个法向量为()1111,,n x y z =，由11100AE n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，取11x =，的()11,1,2n =-- ，设平面11A EB 的一个法向量为()2222,,n x y z =，由112120A B n EA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得，2222200x x y z =⎧⎨--+=⎩，取21y =，的()20,1,1n = ，设平面1AEB 与平面11A EB 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===由图可知二面角11A B E A --为锐角，则二面角11A B E A --的大小为30︒．16．(1)21n a n =+(2)28(1)41nn n n -++【分析】（1）根据12311S S S ++，，成等比数列求得1a ，即可求得{}n a 的通项公式.（2）根据{}n a 的通项公式求得n S ，分奇偶项分别求出n b 再求和，即可求得{}n b 的前4n 项和.【详解】（1）因为2213(1)(1)S S S =++，所以2111(22)(1)(37)a a a +=++，即11(1)(3)0a a +-=，解得11a =-或3，又因为0n a >，所以13a =，所以32(1)21n a n n =+-=+.（2）1()(2)2n n n a a S n n +==+，所以1111()22nS n n =-+，所以n 为奇数时，1341134111111111111(1()()2323524141n n b b b S S S n n --+++=+=-+-++--+ 11(1)241n =-+，n 为偶数时，424424(42)44(42)16n n n n b b S S n n n n n--+=-=-⨯-⨯+=-24416(12)8(1)n b b b n n n +++=-+++=-+ ，所以前4n 项和4112(1)8(1)8(1)24141n nT n n n n n n =--+=-+++.17．(1)2y x =(2)证明见详解.【分析】（1）设动点F 的坐标为(),x y ，直接利用题中的条件列式并化简，从而求出动点F 的轨迹方程；（2）要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，设直线的方程为12x my =+，设点()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，由直线OP ，ON 可求得点,A B ，计算120B A x x x +-=即可证.【详解】（1）设点(),F x y ，则(),1E x -，因为OF OE ⊥，所以0OF OE =⋅ ，所以20x y -=，即2x y =，所以动点F 的轨迹方程为：2y x =；（2）因为BM y ⊥轴，所以设()11,M x y ，()22,N x y ，()1,A A x y ，()1,B B x y ，若要证A 为线段BM 的中点，只需证12A B x x x =+即可，当直线MN 斜率不存在或斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不满足题意，所以直线MN 斜率存在且不为0，12120x x y y ≠，设直线MN ：12x my =+，0m ≠，由212x my y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得22210mx x -+=，442148m m ∆=-⨯⨯=-，由题意可知，直线MN 与抛物线C 有两个交点，所以0∆>，即480m ->，所以12m <，由根与系数的关系得，121x x m +=，1212x x m=，由题意得，直线OP 方程y x =，所以()11,A y y ，直线ON 方程22y y x x =，所以2112,x y B y y ⎛⎫⎪⎝⎭，所以22212111111111222222212B A x y x x x x x x x y x x x x y x x ⎛⎫⋅+-=+-=+-=+- ⎪⎝⎭()121211112122222112202x x x x x x x x x x x x x x m m +-⎛⎫=⋅=+-=-⨯= ⎪⎝⎭，所以A 为线段BM 的中点.18．(1)0.035a =；72.5(2)0.6(3)160【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1，列出方程，求得0.035a =，再利用百分位数的计算方法，即可求解；（2）设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，结合全概率公式，即可求解；（3）根据题意，利用方差的计算公式，求得245x y s s s =，得到160y x y x s s m n s s +=，令x y s t s =，得到160n my t +=，利用基本不等式求得nmy t+≥200n m =-，得出不等式160≥m 的范围，即可求解.【详解】（1）解：由频率分布直方图的性质，可得：(0.0020.0040.00140.00200.0025)101a +++++⨯=，解得0.035a =，设25%分位数为0x ，由分布直方图得0.020,040.140.2++=，所以0700.05100.2x -=，解得072.5x =.（2）解：设“抽到男学生”为事件A ，“评分80分以上”为事件B ，可得()0.8,(|)0.55,()0.2,(|)0.8P A P B A P A P B A ====，由全概率公式得()()(|)()(|)0.80.550.20.80.6P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.（3）解：由x y =，可得mx n yz x m n+==+，所以22222111111[()()][()()]200200m n m ni i i i i j i j s x z y z x x y y =====-+-=-+-∑∑∑∑2214()2005x y x y ms ns s s =+=，所以22160x y x y ms ns s s +=，即160y xy xs s mn s s +=，令x y s t s =，则160nmy t+=，由于n my t +≥=n my t =时，等号成立，又因为200n m =-，可得160≥=220064000m m -+≥，解得40m ≤或160m ≥，因为1200n m ≤≤≤且200m n +=，所以160m ≥，所以实数m 的最大值为160.19．(1)答案见解析，证明见解析(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）类比，写出平方关系，倍角关系和导数关系，并进行证明；（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，求导，分1k ≤和1k >两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案；（3）结合新定义将所证变为()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，先利用导数求得()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，再设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，利用导数得其单调性及()0h x >，从而()()()111f x x f x xf x >+'+，得证.【详解】（1）平方关系：()()22chsh 1x x -=；倍角公式：()()()sh 22sh ch x x x =；导数：()()sh()ch()ch()sh()x x x x ''⎧=⎪⎨=⎪⎩.理由如下：平方关系，()()2222e e e e ch sh 22x x x x x x --⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222e e e e 12244x x x x --++=--=+；倍角公式：()()()()()22e e e e e e sh 22sh ch 22x x x x x x x x x ----+-===；导数：()()e e ee sh()ch 22x xxxx x --'--+===，()e e ch()sh 2x x x x -'-==；以上三个结论，证对一个即可.（2）构造函数()()sh F x x kx =-，()0,x ∞∈+，由（1）可知()()ch F x x k ='-，①当1k ≤时，由e e ch()12x xx -+=≥，又因为0x >，故e e x x -≠，等号不成立，所以()()ch 0F x x k '=->，故()F x 为严格增函数，此时()(0)0F x F >=，故对任意0x >，()sh x kx >恒成立，满足题意；②当1k >时，令()()(),0,G x F x x ∞∈'=+，则()()sh 0G x x ='>，可知()G x 是严格增函数，答案第15页，共15页由(0)10G k =-<与1(ln 2)04G k k=>可知，存在唯一0(0,ln 2)x k ∈，使得0()0G x =，故当0(0,)x x ∈时，0()()()0F x G x G x =<='，则()F x 在0(0,)x 上为严格减函数，故对任意0(0,)x x ∈，()()00F x F <=，即()sh x kx >，矛盾；综上所述，实数k 的取值范围为(],1-∞；（3）因为()()ch sh e xx x +=，所以原式变为()()21212121e 1e sin sin cos x x x x x x x x --⋅>+--，即证()()121112121e sin e sin e cos x x x x x x x x x +-+>-+-，设函数()=e sin x f x x -，即证()()()12121f x x f x x f x >+'+，()=e cos x f x x -'，设()()=e cos x t x f x x =-'，()e sin x t x x '=+，0x >时()0t x '>，()t x 在()0,∞+上单调递增，即()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，设()()()()()111,0h x f x x f x xf x x =+-->'，则()()()11h x f x x f x =+'-''，由于()=e cos x f x x -'在()0,∞+上单调递增，11x x x +>，所以()()11f x x f x +>''，即()0h x '>，故()h x 在()0,∞+上单调递增，又()00h =，所以0x >时，()0h x >，所以()()()1110f x x f x xf x +-->'，即()()()111f x x f x xf x >+'+，因此()()()12121f x x f x x f x >+'+恒成立，所以原不等式成立，得证.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。

江苏省新高考2023届高三上学期第三次大联考数学试卷 附答案

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数学本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1,2,3,{32}A B xx =-=-<<∣，则()A B ⋂=R（ ）A.{}1,0,1-B.{}3C.{}2,3D.{}1,0,1,2- 2.若42i z =+，则i 1iz⋅=+（ ） A.3i + B.13i + C.3i - D.13i -3.已知,a b 是单位向量，若()3a a b ⊥+，则a b -=（ ）A. C.8 D.834.我国古代魏晋时期数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，“割之弥细，所失弥少，割之，又割，以至于不可割，则与圆周合体无所失矣”·刘徽从圆内㧍正六边形逐次分割，一直分割到圆内接正1536边形，用正多边形的面积逼近圆的面积.利用该方法，由圆内接正n 边形与圆内接正2n 边形分别计算出的圆周率的比值为（ ）A.180sin n ⎛⎫⎪⎝⎭ B.180cos n ⎛⎫ ⎪⎝⎭C.3602sin n ⎛⎫⎪⎝⎭D.3602cos n ⎛⎫ ⎪⎝⎭5.若函数()()2()4f x x a x a =--的极大值点为1-，则a 的值为（ ）A.13- B.1- C.13-或1- D.3-或1-6.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 交于,A B两点.若23,2AB a AF AB =⊥，则C 的离心率为（ ）A.5B.5C.23D.137.若()()1sin22sin cos ααβαβ+=+-，则（ ）A.sin 2α=B.sin 2β=C.tan 1α=D.tan 1β=8.已知0.50.5log ,log 0.5,log b ca a abc a ===，则（ ）A.b a c <<B.c a b <<C.a c b <<D.c b a <<二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为()3,02f f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则（ ） A.6πϕ=B.4x π=是()f x 图象的对称轴C.,04π⎛⎫-⎪⎝⎭是()f x 图象的对称中心 D.()f x 在()0,π上单调递增10.第22届世界杯足球赛于2022年11月20日到12月18日在卡塔尔举行.世界杯足球赛的第一阶段是分组循环赛，每组四支队伍，每两支队伍比赛一场，比赛双方若有胜负，则胜方得3分，负方得0分；若战平，则双方各得1分.已知某小组甲､乙､丙､丁四支队伍小组赛结束后，甲队积7分，乙队积6分，丙队积4分，则（ ） A.甲､丁两队比赛，甲队胜 B.丁队至少积1分 C.乙､丙两队比赛，丙队负 D.甲､丙两队比赛，双方战平11.已知正四棱锥P ABCD -的所有棱长都相等，,,M N O 分别是侧面PAB ，侧面PBC 和底面ABCD 的中心，则（ ） A.PM BN ∥ B.MN ∥平面PAC C.MN PB ⊥ D.OM ⊥平面PAB 12.已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫-⎪⎝⎭R 是偶函数，()2xf x -是奇函数，则（ ） A.()()5012f f +=B.()()112f f +-=C.()1124f = D.()2101()443nn n k f k +-==-∑三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若526a a =+，则1a =__________. 14.过点()1,0作曲线e x y =的两条切线，则这两条切线的斜率之和为__________.15.设抛物线21:2C y x =和22:2(1)C y px p =>的焦点分别为12,F F ，点A 在2C 上，2AF x ⊥轴，线段1AF 交1C 于点B ，且B 为1AF 的中点，则p 的值为__________. 16.已知圆柱1OO 的轴截面是边长为8的正方形，,A B 是圆O 上两点，,C D 是圆1O 上两点，且6,AB CD AB CD ==⊥，则四面体ABCD 的外接球的表面积为__________，四面体ABCD 的体积为__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）记ABC 的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，已知1cos sin 3cos sin A A B B+=-. （1）证明：3b c a +=；（2）若,53C a π==，求ABC 的面积.18.（12分）已知数列{}n a 满足()()12211,3,222n n n a a na n a n a ++=-==+++. （1）设1n nn a a b n++=，证明：{}n b 是等比数列； （2）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，求2n S . 19.（12分）已知函数()2cos f x x x =-.（1）设()()g x f x ='，求()g x 在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值； （2）讨论()f x 的零点个数. 20.（12分）如图，在多面体ABCDE 中，平面ACD ⊥平面,ABC BE ⊥平面,ABC ABC 和ACD 均为正三角形，4,3AC BE ==，点F 在AC 上.（1）若BF ∥平面CDE ，求CF ；（2）若F 是AC 的中点，求二面角F DE C --的正弦值. 21.（12分）已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的实轴长为4，左､右顶点分别为12,A A ，经过点()4,0B 的直线l 与C 的右支分别交于,M N 两点，其中点M 在x 轴上方.当l x ⊥轴时，26MN =（1）设直线12,MA NA 的斜率分别为12,k k ，求21k k 的值； （2）若212BA N BA M ∠∠=，求1A MN 的面积. 22.（12分）已知函数()21ln 2f x a x x x =+-. （1）求()f x 的单调区间； （2）若0a ，证明：135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2023届新高考基地学校高三第三次大联考数学-答案与解析一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】C 【解析】R{3B x x =≤-∣或(){}R 2},2,3x A B B ≥⋂=，选C .2.【答案】A【解析】42i z =+，则()()()i 42i 24i 1i i 24i 42i,1i 1i 1i 2zz -+-+=-===+++ ()()12i 1i 3i,=+-=+选A .3.【答案】B【解析】()()3,30a a b a a b ⊥+∴+=，即2130,3a ab a b +⋅=∴⋅=-，22221133a b a a b b -=-⋅+=++==，选B. 4.【答案】B【解析】正n 边形圆心角212122,sin sin 22n S n r r r n n nπππ=⋅⋅⋅⋅=， 正2n 边形圆心角22212,2sin sin 222S n r r nr n n nπππ=⋅⋅⋅=， 2212222sin sin cos 2cos , B.sin sin n r nr S n n n S n nr nr n nππππππ===选 5.【答案】A【解析】()()()()()224()390f x x a x a x a x a x a =--+-=--='，x a =或3a ，由选项知0a <，则()30,a f x <在()()(),3,3,0,0,a a ∞∞-+，()f x ∴极大值为3a ，即31a =-，即13a =-.6.【答案】A【解析】令1213,2,,2a AF m AF a m BF m ==-=-则则212BF a m =+， 22,Rt AF AB ABF ⊥中，222196(2),245a a m a a m m ⎛⎫+=+-∴= ⎪⎝⎭，1264,55a a AF AF ∴==，Rt 12AF F 中，22236164,25255a a e e =+∴=，选A. 7.【答案】D【解析】()()1sin22sin cos ααβαβ+=+-，()()()1sin 2sin cos αβαβαβαβ+++-=+-()()()()()()1sin cos cos sin 2sin cos αβαβαβαβαβαβ++-++-=+-()()()()()()1sin cos cos sin sin sin2αβαβαβαβαβαββ⎡⎤=+--+-=+--=⎣⎦，22,,,tan 1,24k k k ππβπβπβ∴=+∴=+∈∴=Z 选D.8.【答案】B【解析】0.50.5log 0,01,0log 1,0.51a a a a a =>∴<<<<∴<<，()()()0.50.5log 0,1,1,log 0,1,0.5,1,b c c a b a b c a c a a =∈∴<<=∈∴∈<， 0.50.5log log ,,a c a c c a b ∴<∴>∴<<，选B.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BD 【解析】()()2223,,sin ,0332T f x x f f πππωϕω⎛⎫⎛⎫==∴==+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则()f x 关于,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，2,,,346k k Z k k Z ππϕπϕπ⋅+=∈∴=-+∈，,0,,26k A ππϕϕ<∴=∴=-错.()223sin ,,,,363622f x x x k k Z x k k Z ππππππ⎛⎫=--=+∈∴=+∈ ⎪⎝⎭，2,4,4k x x ππ==∴=是()f x 图象的对称轴，B 对.23,,36424x k k Z x k πππππ-=∈=+=-时，13k Z =-∈， ,04π⎛⎫∴- ⎪⎝⎭不是对称中心，C 错. ()2,,23622x x f x πππππ-<-<-<<∴的一个单调增区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ()f x 在()0,π单调增，D 对，选BD.10.【答案】ACD【解析】甲队积7分331,=++胜两场平一场；乙队积6分330=++，胜两场负一场，负的一场一定是负给甲的， 乙队胜了丙､丁两队，C 对.两队积了4分310=++，胜平负各一场，负是输给乙 当甲､丙平时，丙胜丁，甲胜丁；当丙､丁平时，芮胜甲不可能.∴甲丙平，甲胜丁，AD 对，选ACD.11.【答案】BCD【解析】取AB 中点,E BC 中点,,F M N 分别为,PAB PBC 的中心MN EF ∴∥，又,,EF AC MN AC MN ∴∴∥∥∥平面,B PAC 对.,AC BD PO AC AC ⊥⊥⇒⊥平面,C PBD AC PB MN PB ⇒⊥⇒⊥对.设2AB =，则1,OE PO PE ME PEO ∠=====，222212121,,33OM OM ME OE ME OM =+-=∴+=∴⊥， ,,AB OE AB PO AB ⊥⊥∴⊥平面,,POE AB OM AB ME E ∴⊥⋂=， ,AB ME ⊂平面,PAB OM ∴⊥平面,D PAB 对，选BCD.12.【答案】ACD 【解析】12f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数关于0x =对称，()f x 关于12x =-对称， ()()2x g x f x =-为奇函数，()()()()()00020,01,101g f f f f ∴=-=∴=-==，()()()()()()15111120,1122g g f f f f -+=--+-=∴-+=，()()501,A 2f f ∴+=对，B 错.()()()()()311,22224024f g g f f =-+=--+-=()()()()()()1731122122,2,C 424f f f f f f ∴-+==+=+∴=对. ()()()()()()110,2,1222xxx x g x g x f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=-+=+-++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2011141444114()1111411434314nn nnn k f k =⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=++=+---⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦-∑111144111443343334n nn n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⨯-+⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，D 对.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】14- 【解析】1111114614,,,149366152a d a d a a a d a d d ⎧+=++=-⎧∴∴=-⎨⎨+=+=⎩⎩14.【答案】2e 1-【解析】0x >时，e ,xy =切点()1111,e ,e ,e xxx x y k =='，切线()1111:e e xxl y x x -=-过()()1121111,0,e e 1,2,e xxx x k ∴-=-∴==，0x ≤时，e x y -=，切点()2222,e,e,e x x xx y k ---'==-，切线()2222:ee x x l y x x ---=--过()()222221,0,e e 1,0,1x x x x k --∴-=--∴==-，212e 1k k +=-.15.1【解析】111,,,0,,22442p p p A p F B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在1C 上，212442p p ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭解得1p =16.【答案】128π；48【解析】方法一：圆柱外接球半径24128R S R ππ====，圆O 上取两点11,C D 使得1111,CC OO DD OO ∥∥， 圆1O 上取两点11,A B 使得1111,AA OO BB OO ∥∥， 直四棱柱1111AC BD A CB D -的体积16681442V =⨯⨯⨯=，11111111144A BCD B CB D C BC D D A CD A AC D V V V V V -----=----111111111114488883333CB DBC D AC DAC D SS S S =-⨯-⨯-⨯-⨯()11111111Δ161616144144333BC D AC D BC D AC D S S S S=--=-+.11161611441446648332AC BD S =-=-⨯⨯⨯=方法二：（1）显然圆柱底面半径为4，高为8，取1OO 中点O ，则O 为四面体ABCD 球心，224442,432128OA R S ππ=+==∴=⋅=表.（2）过C 作CE BA ∥于点,E ∴四边形ABCE 为平行四边形，11166848332A BCD E BCDB CDE ACDE V V V S h ---∴===⋅=⨯⨯⨯⨯=.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.【解析】 （1）因为1cos sin 3cos sin A AB B+=-，所以sin cos sin 3sin sin cos B A B A A B +=-，因为()A B C π=-+，所以()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以sin sin 3sin B C A +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C==，得3b c a +=. （2）由①得15b c +=，①由余弦定理，得22222cos 255c a b ab C b b =+-=+-，② 由①②解得8,7b c ==.所以ABC的面积为11sin 5822ab C =⨯⨯=. 18.【解析】（1）因为()()21222n n n na n a n a ++=+++， 所以1121122211n n n n n n n n a a a a a nn b n n ++++++++++==++ ()()1122221n n n n n n a a a a n b n n+++++===+. 又因为1122b a a =+=，所以数列{}n b 是以2为首项2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，2n n b =，所以12nn n a a n ++=⋅，所以()()()()321212342121232212n n n n S a a a a a a n --=++++++=⨯+⨯++-⋅，所以()3521241232212n n S n +=⨯+⨯++-⋅.两式相减，得()()321212312222212n n n S n -+-=⨯+⨯++--⋅()()42221212121056221221433n n n n n -++⨯--=+--⋅=-+⋅-， 所以2121065299n n n S +-=+⋅. 19.【解析】（1）因为()()()2sin ,2cos 0g x f x x x g x x ==--=--'<'， 所以()g x 在区间,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 所以当4x π=时，()g x取最大值422g ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； 当x π=时，()g x 取最小值()2g ππ=-. （2）先讨论()f x 在[)0,∞+上的零点个数，由（1）可知，()f x '在()0,∞+上递减，()()00f x f ''<=，所以()f x 在()0,∞+上递减，因为()2010,022f f ππ⎛⎫⎛⎫=>=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以以()f x 在[)0,∞+上有唯一零点，因为()f x 是偶函数，所以()f x 在R 上有两个零点. 20.【解析】（1）取AC 中点O ，连结OD ，过点F 作FG OD ∥交CD 于点G ，连结EG .因为ACD 是正三角形，所以OD AC ⊥，因为平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ⋂平面ABC AC =， 所以OD ⊥平面ABC .因为BE ⊥平面ABC ，所以BE OD ∥， 所以FG BE ∥，所以,,,B E G F 四点共面， 因为BF ∥平面,CDE BF ⊂平面BEGF ，面BEGF ⋂平面CDE GE =，所以BF GE ∥.又因为FG BE ∥， 所以四边形BEGF 是平行四边形. 所以132FG BE OD ===FG 是三角形OCD 的中位线， 所以112CF OC ==. （2）如图，以O 为坐标原点，{},,OB OC OD 为基底建立空间直角坐标系， 因为3,3,4BE OD AC ===，所以()()()0,0,0,0,2,0,23,0,0O A B -，()((0,2,0,0,0,23,23,0,3C D E所以()(0,2,23,23,3CD CE =-=-，设平面CDE 的一个法向量(),,n x y z =，则0,0,CD n CE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2230,23230,y z x y z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则23,2y z ==，所以()1,23,2n =. 又平面DEF 的一个法向量()0,1,0m =，设二面角F DE C --所成角的大小为α，所以23cos 17m n m n α⋅==， 所以85sin 17α=.即二面角1E AC C --的正弦值为8517.21.【解析】法一：（1）因为24a =，所以2a =，令4x =得223y b =，所以2326MN b ==2b =C 的方程为22142x y -=显然直线MN 与y 轴不垂直，设其方程为4x ty =+，联立直线MN 与C 的方程，消去x 得，()2228120t y ty -++=， 当22t ≠时，2Δ16960t =+>， 设()()1122,,,M x y N x y ，则121222812,22t y y y y t t +=-=--. 因为122212221,222y y x k k x x y +===⋅+-，所以()()()()1212211212226622x x ty ty k k y y y y ++++== ()2222212121221248366362232422t t t y y t y y t t y y t -++++--===--.（2）因为212BA N BA M ∠∠=，所以121212tan tan tan21tan BA MBA N BA M BA M∠∠∠∠==-，又因为1122,tan k BA M k BA N ∠∠==-，所以122121k k k -=-，即122121k k k =-，（※） 将213k k =-代入（※）得，1121231k k k -=-， 因为M 在x轴上方，所以13k =，所以直线1MA方程为)23y x =+，联立C 与直线1MA 方程，消去y 得，28200x x --=， 解得10x =或2x =-（舍），所以(M ， 代入4x ty =+，得2t =，所以直线MN方程为42x y =+， 联立C 与直线MN 方程，消去x得，25480y --=，解得y =5y =-， 所以1A MN的面积为11211622A B y y ⋅-=⨯=法二：（1）由题意得242a a b =⎧=⎧⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎩⎪⎩双曲线C 的方程为22142x y -=. 设MN 方程为()()()()1122124,,,,,2,0,2,0x my M x y N x y A A =+-，()22222428120,2,Δ024x my m y my m x y =+⎧⇒-++=≠>⎨-=⎩，121212,22y y k k x x ∴==+-， ()()()212211*********1226262222y my k y x my y y k x y my y my y y y y +++∴=⋅==-+++- 2222222221212662231216422222mm y y m m m m m y y m m m ⋅++--===---⋅+-----. （2）设12,2BA M BA N ∠θ∠θ=∴=，由21tan233tan k k θθ=-⇒=1223tan 1tan 3A M θθ∴=⇒=∴-方程:2x =-，21222024x y y x y ⎧=-⎪⇒-=⇒=⎨-=⎪⎩同理联立222224x y y x y ⎧=+⎪⇒=⎨⎪-=⎩112163255A MNSy y ∴=⋅⋅-=⋅=. 22.【解析】法一：（1）因为()2,0x x af x x x+='->，①当14a ≥时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+上递增； ②当14a <时，由()0f x '=得，12x x ==， i ）当0a ≤时，120,0x x ≤>，当()20,x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∞∈+时，()0f x '>， 所以()f x 在()20,x 上递减，在()2,x ∞+上递增.ii ）当104a <<时，120x x <<， 当()()120,,x x x ∞∈⋃+时，()0f x '>； 当()12,x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()10,x 上递增，在()12,x x 上递减，在()2,x ∞+上递增. 综上，当0a ≤时，单调减区间为⎛ ⎝⎭，单调增区间为∞⎫+⎪⎪⎝⎭； 当104a <<时，单调减区间为⎝⎭，单调增区间为⎛ ⎝⎭和1,2∞⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭；当14a ≥时，单调增区间为()0,∞+，无减区间. （2）设()()()2,01g x f x f x x =+-<≤， 因为()()()()21212a a g x f x f x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=+--+--⎪⎢⎥-⎝⎭⎣''⎦' ()()()()()()2212121222a x x x x x a x x x x --=+-=⋅-+--.因为0,01a x ≤<≤时，220x x a a -+<≤，所以()()0,g x g x '<在(]0,1上递减，所以()()()121g x g f ≥=. 设13521n S f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则1213232112n n n S f f ff f f n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1(1)(1)(1)n n-≥-+-++-=-个所以2n S ≥-，即135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解析二：（1）()21a x x a f x x x x-+=+-='，令()200,Δ14f x x x a a =⇒-+==-'.①当140a -≤，即14a ≥时，()()0,f x f x '≥在()0,∞+上(),f x 的单增区间为()0,∞+，无单减区间.②当140a ->，即14a <时，（i ）若0a ≤时，令()102f x x +=⇒='，()f x 的单增区间为∞⎫+⎪⎪⎝⎭，单减区间为⎛ ⎝⎭.（ii ）若104a <<时，令()()0f x x f x '=⇒=的单增区间为,;∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单减区间为⎝⎭. （2）分析：要证135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥-⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 121323n n n n n n--+=+=，先证()()()21,0,2f x f x x +-≥-∈，()()()()22112ln ln 2(2)222f x f x a x x x a x x x +-=+-+-+---()()()221ln 22442ln 222a x x x x a x x x x ⎡⎤⎡⎤=-+-+-=-+-⎣⎦⎣⎦ 令()22,0,1x x t t -=∈，()()()()2ln 1,21f x f x a t t f x f x ∴+-=->-∴+-≥-对()0,2x ∀∈恒成立，121323211n n n f f f f f f n n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 135212n n f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++≥- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，证毕!。

广东省广州市2022届高三三模数学试题(解析版)

广东省广州市2022届高三三模数学试题(解析版)
【解析】
【分析】
利用正方体棱的关系，判断平面 所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形，如图所示，可计算出周长为定值，当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最，．
【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，
如图：与面 平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，
【答案】BD
【解析】
【分析】连接 ，设 ，由已知 ，利用双曲线的定义求得 ，判断D正确，根据直线的斜率把图中线段用 表示，从而求得 ，得离心率判断A，由数量积的定义计算数量积判断BC．
【详解】如图，连接 ，设 ，因为 ，所以 ，D正确.
又 为线段 的中点，所以 .又 ，所以 ，则 ，得 ，所以双曲线的离心率为 ，A不正确；
9.已知向量 ， ，则下列结论中正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.
【详解】 ，A正确； ，B正确；
，则 ，C正确；
，D错误.
故选：ABC.
10.在 中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是（）
A. ， ，则 的外接圆半径是4
B.若 ，则
C.若 ，则 一定是钝角三角形
D.若 ，则
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出 ，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.
【详解】由正弦定理知 ，所以外接圆半径是2，故A错误；
由正弦定理及 可得， ，即 ，由 ，知 ，故B正确；
2022届广州市高三年级第三次模拟考试

高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)

高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)

高三上学期第三次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；总分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合A={−1,0,1,2,},B={x∈Z|x−2x≤0}，则A∩B=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {−1,1,2}D. {0,1,2}2. 若复数z=a+2i2−i(a∈R)为纯虚数，则a=( )A. −4B. −2C. −1D. 13. 已知向量a=(1,−1),b=(1,t)，若〈a,b〉=π3，则t=( )A. 2−3B. 2+3C. 2+3或2−3D. −14. 若函数f(x)=1−cosxsinx(x∈[π3,π2])，则f(x)的值域为( )A. [3,+∞)B. [33,+∞)C. [1,3]D. [33,1]5. 正四面体S−ABC内接于一个半径为R的球，则该正四面体的棱长与这个球的半径的比值为( )A. 64B. 33C. 263D. 36. 在给某小区的花园绿化时，绿化工人需要将6棵高矮不同的小树在花园中栽成前后两排，每排3棵，则后排的每棵小树都对应比它前排每棵小树高的概率是( )A. 13B. 16C. 18D. 1127. 如图，圆内接四边形ABCD中，DA⊥AB，∠D=45°，AB=2，BC=22，AD=6.现将该四边形沿AD旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. 84π3B. 30πC. 92π3D. 40π8. 函数f(x)的定义域为R，且f(x)−f(x+4)=0，当−2≤x<0时，f(x)=(x+1)2，当0≤x<2时，f(x)=1−x，则n=12022f(n)=( )A. 1010B. 1011C. 1012D. 1013二、多选题（本大题共4小题，共20分。

江苏省盐城中学2023届高三第三次模拟考试数学试题及参考答案

江苏省盐城中学2023届高三第三次模拟考试数学试题及参考答案

江苏省盐城中学高三年级第三次模拟考试数学试卷（2023.5）命题人：胥容华沈巍龑审题人：蔡广军试卷说明：本场考试时间120分钟，总分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数i z i +=-331）（，其中i 为虚数单位，则=z （）A ．14B ．12C ．1D ．22.如图所示的Venn 图中，B A ，是非空集合，定义集合B A ⊗为阴影部分表示的集合，若{},4,,12|≤∈+==n N n n x x A {}765432，，，，，=B ，则=⊗B A （）{}6421.，，，A {}9642.，，，B {}765432.，，，，，C {}96421.，，，，D 3.已知公差不为零的等差数列{}n a 满足：2781a a a +=+，且248,,a a a 成等比数列，则2023a =（）A ．2023B ．2023-C ．0D ．120234.在△ABC 中4AB AC ⋅= ，2BC = ，且点D 满足BD DC = ，则||AD =（）B.C.D.325.已知函数f (x )的导函数3)(x x f ='，)2(),2(31(log 34432-===-f c f b f a ，则（）A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．b ＜a ＜cD ．a ＜c ＜b 6.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为（）A ．24181B ．26681C ．27481D ．6702437.设函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '，若()()()(),2223f x f x f x f x -=+'-='，则下列结论不一定正确的是（）A.()()113f x f x -++=B.()()22f x x f ''=+-C.()()()()11f f x f f x -='+' D.()()()()2ff x f f x ''+=8.已知B A ,是椭圆()222210x y a b a b+=>>与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的公共顶点，P 是双曲线上一点，PA ，PB 交椭圆于M ，N .若MN 过椭圆的焦点F ，且tan 3AMB ∠=-，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C D 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知(),,0,1a b c ∈，随机变量ξ的分布列为：（）ξ123Pabc则A ．()()2E E ξξ-=B ．()()2D D ξξ-=C ．()()22[]E E ξξ≥D ．()()22[2]D D ξξ-=10.已知曲线2:14x x C y +=，则（）A.曲线C 关于原点对称B.曲线C 上任意点P 满足1OP ≥（O 为坐标原点)C.曲线C 与2240x y -=有且仅有两个公共点D.曲线C 上有无数个整点（整点指横纵坐标均为整数的点）11.已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，H 为棱1AA （包含端点）上的动点，下列命题正确的是（）A ．BDCH ⊥B ．二面角C ABD --11的大小为3πC ．点H 到平面11CD B 距离的取值范围是332,33[D ．若⊥CH 平面β，则直线CD 与平面β所成角的正弦值的取值范围为]2233[，12.已知函数()(1)x f x x e =+，()(1)g x x lnx =+，则（）A ．函数()g x 在(0,)+∞上存在唯一极值点B ．)(x f '为函数)(x f 的导函数，若函数a x f x h -'=)()(有两个零点，则实数a 的取值范围是)1,11(2e -C ．若对任意0x >，不等式)(ln )(2x f ax f ≥恒成立，则实数a 的最小值为2eD ．若12()()(0)f x g x t t ==>，则12(1)lnt x x +的最大值为1e 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有____种．14.已知点）（y x P ,为圆5)1()2(:22=-+-y x C 上任意一点，且点P 到直线042:1=+-y x l 和02:2=+-m y x l 的距离之和与点P 的位置无关，则实数m 的取值范围是．15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是______．16.已知正四面体ABCD 的棱长为3，点E 满足AE AB λ=(01)λ<<，过点E 作平面α平行于AC 和BD ，设α分别与该正四面体的棱BC ，CD ，DA 相交于点F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为______，四棱锥A EFGH -的体积的最大值为______．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{a n }中，a 1＝1，S n 是其前n 项和，且满足S n ＋1＝(S n ＋S 1)2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }满足111)1(+++-=n n n n n a a a b ，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n 的最小值．18.如图，该几何体是由等高的半个圆柱和14个圆柱拼接而成，点G 为弧CD 的中点，且C ，E ，D ，G 四点共面．（1）证明：平面BDF ⊥平面BCG ；（2）若平面BDF 与平面ABG 所成二面角的余弦值为155，且线段AB 长度为2，求点G 到直线DF 的距离．19.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB BC CD ===，23AD =．（1）若DB 平分ADC ∠，证明：A C π+=；（2）记ABD △与BCD △的面积分别为1S 和2S ，求2212S S +的最大值．20.2021年奥运会我国射击项目收获丰盛，在我国射击也是一项历史悠久的运动．某射击运动爱好者甲来到靶场练习．（1）已知用于射击打靶的某型号枪支弹夹中一共有)(*N k k ∈发子弹，甲每次打靶的命中率均为21，一旦出现子弹脱靶或者子弹打光便立即停止射击．记标靶上的子弹数量为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（2）若某种型号的枪支弹巢中一共可装填6发子弹，现有一枪支其中有m 发为实弹，其余均为空包弹，现规定：每次射击后，都需要在下一次射击之前填充一发空包弹，假设每次射击相互独立且均随机，在进行)(N n n ∈次射击后，记弹巢中空包弹的发数为n X ，①当*N n ∈时，请直接写出数学期望)(n X E 与)(1-n X E 的关系；②求出)(n X E 关于n 的表达式．21.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点在圆E ：221x y +=上．（1）设点P 是双曲线2214y x -=左支上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，证明：直线AB 与圆E 相切；（2）设点T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，直线l 是圆E 在点T 处的切线，若直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，求TM TN ⋅的最大值．22.已知函数()e cos xf x x =，()()cos 0g x a x x a =+<，曲线()y g x =在6x π=处的切线的斜率为32．（1）求实数a 的值；（2）对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，求实数t 的取值范围；（3）设方程()()f x g x '=在区间()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 内的根从小到大依次为21x x 、、L 、n x 、L ，求证：12n n x x +->π．江苏省盐城中学高三年级第三次模拟考试数学答案（2023.5）一、单选题：CDAA CBCB8.【解析】如图，设00(,)P x y ，点,,P M A 共线，点,,P B N 共线，所在直线的斜率分别为,PA PB k k ，点P 在双曲线上，即2200221x y a b -=，有200200y y b x a x a a ⋅=-+，因此22PA PB b k k a⋅=，点11(,)M x y 在椭圆上，即2211221x y a b +=，有211211y y b x a x a a⋅=--+，直线,MA MB 的斜率,MA MB k k ，有22MA MB b k k a ⋅=-，即22PA MB b k k a⋅=-，于是MB PB BN k k k =-=-，即直线MB 与NB 关于x 轴对称，又椭圆也关于x 轴对称，且,M N 过焦点F ，则MN x ⊥轴，令(c,0)F ，由22221x c x yab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得2||b y a =，显然222tan ac a ac AMF b b a++∠==，222tan a c a acBMF b b a--∠==，22222222222tan tan 2tan 31tan tan 1a ac a acAMF BMF a b b AMB a ac a ac AMF BMF b a b b +-+∠+∠∠====-+--∠⋅∠--⋅，解得2213b a =，所以双曲线的离心率22221231133a b b e a a +==+=+=.故选：B二、多选题：BC BC ACD BCD12.【解析】对于A:x xx g ln 11)(++='，21()x g x x -''=，令()0g x ''>，解得：1x >，令()0g x ''<，解得：01x <<，故()g x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()min g x g '='（1）20=>，故()g x 在(0,)+∞递增，函数()g x 在(0,)+∞上无极值点，故A 错误；对于B ：函数ax f x h -=)()(/得到a x f =')(作出)(x f y '=的图象注意渐近线1=y B正确对于C：由A得：()f x在(0,)+∞递增，不等式)(ln)(2xfaxf≥恒成立，则2ln xax≥恒成立，故xxa ln2≥，设2()lnxh xx=，则22(1)()lnxh xx-'=，令()0h x'>，解得：0x e<<，令()0h x'<，解得：x e>，故()h x在(0,)e递增，在(,)e+∞递减，故()maxh x h=（e）2e=，故ea2≥，故C正确；对于D：若12()()(0)f xg x t t==>，则1122(1)(1)xx e x lnx t+=+=，t>，1x∴>，21x>，且12xx e=，12xx e=时，111121[(1)](1)(1)xxln x elntx x x e+=++，设11(1)xk x e=+，设()lnkg kk=，则21()lnkg kk-'=，令()0g k'>，解得：0k e<<，令()0g k'<，解得：k e>，故()g k在(0,)e递增，在(,)e+∞递减，故()maxg k g=（e）1e=，此时1122(1)(1)xe x e x lnx=+=+，故12(1)lntx x+的最大值是1e，故D正确；故选：．BCD三、填空题：2168-≤m22⎛⎝6，22315.【解析】由于34Aπ=，所以04Bπ<<，由正弦定理得223sin sin sin sin4b c aB C Aπ====，所以2sinb B=，2sinc C=，所以2sin2sin2sin2sin4b c B C B Bπλλλ⎛⎫+=+=+-⎪⎝⎭2sin 2cos sin (222B B B B B λλ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭.当20λ=，即22λ=时，b c B λ+=，没有最大值，所以22λ≠，则sin()b c B λϕ+=+，其中tanϕ=要使b c λ+有最大值，则B ϕ+要能取2π，由于04B π<<，所以42ππϕ<<，所以tan 1ϕ>，即1,>，解得22λ<<.所以λ的取值范围是2⎛ ⎝.16.【解析】//AC 平面α，平面α 平面ABC EF =，平面α 平面ADC GH =则//AC EF ，//AC GH ，则//EF GH又//BD 平面α，平面α 平面ABD EH =，平面α 平面BDC GF =则//BD EH ，//BD GF ，则//EH GF 则四边形EFGH 为平行四边形.由AE AB λ=，可得:=AE AB λ，则:=HE DB λ，:=1EF AC λ-又正四面体ABCD 的棱长为3，则=3HE GF λ=，()=31EF GH λ=-四边形EFGH 的周长为()=23+316HE GF EF GH λλ⎡⎤+++-=⎣⎦.由AE AB λ=，MQ =可得点A 到平面EFGH 的距离为，又平行四边形EFGH 为矩形，则四棱锥A EFGH -的体积2133(1)(1)3V λλλ=⨯⨯-=-令2()(1)(01)f x x x =-<<，则()(23)f x x '=-由()0f x '>得203x <<，由()0f x '<，得213x <<则()f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在2,13⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在23x =时取最大值222222()()(1)3333f =-=2(1)λ-的最大值为223四、解答题：17.【解析】（1）由题意可知11=-+n n S S ，则数列}{n S 为等差数列，可得2,n S n S n n ==，当2≥n 时，121-=-=-n S S a n n n ，当1=n 时也成立，所以12-=n a n ；（2）12)1(12)1([21)12)(12(2)1(1)1(1111+----=+--=+-=-+++nnnnnaaab nnnnnnnn，]121)1(1[211+-+=+nT nn，当n为奇数时211211(21>++=nTn，当n为偶数时)1211(21+-=nTn，单调递增，则522=≥TT n，则T n的最小值为52.18.【解析】（1）过G作//GH CB，交底面弧于H，连接HB，易知：HBCG为平行四边形，所以//HB CG，又G为弧CD的中点，则H是弧AB的中点，所以45HBA∠=︒，而由题设知：45ABF∠=︒，则90HBF HBA ABF∠=∠+∠=︒，所以FB HB⊥，即FB CG⊥，由CB⊥底面ABF，FB⊂面ABF，则CB⊥FB，又CB CG C⋂=，所以FB⊥面BCG，又FB⊂面BDF，所以面⊥BDF面BCG.（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系A xyz-，令半圆柱半径为r，高为h，则(0,2,0)B r，(2,0,0)F r，(0,0,)D h，(,,)G r r h-，所以(2,0,)FD r h=-，(0,2,)BD r h=-，(0,2,0)AB r=，(,,)AG r r h=-，若(,,)m x y z=是面BDF的一个法向量，则2020m FD rx hzm BD ry hz⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z r=，则(,,2)m h h r=，若(,,)n a b c=是面ABG的一个法向量，则20n AB rbn AG ra rb hc⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令c r=，则(,0,)n h r=，所以2215|cos,|||5||||m nm nm n⋅<>===，整理可得2222(4)(2)0h r h r-+=，则2h r=，由题设可知，此时点)0,0,2(),2,0,0(),2,1,1(FDG-，可求得26=d.19.【解析】（1）DB平分ADC∠，ADB CDB∴∠=∠，则cos cosADB CDB∠=∠，由余弦定理得：22222222AD BD AB CD BD BCAD BD CD BD+-+-=⋅⋅，即22444BD BD +-=，解得：)241BD =；2221244131cos22AD AB BD A AD AB+-+-==⋅ ，22244411cos 282CD BC BD C CD BC +-++-===⋅，cos cos A C ∴=-，又()0,A π∈，()0,C π∈，A C π∴+=方法二：由正弦定理可得CBDCDB BC A BD ADB AB sin sin ,sin sin =∠=∠，代入数据可得C A sin sin =，又两角不相等，故A C π∴+=（2）222222cos 2cos AB AD AB AD A BC BC CD C =+-⋅=-⋅，1688cos A C ∴-=-，整理可得：cos 1C A =-；2222221211sin sin 12sin 4sin 22S S AD AB A BC CD C A C⎛⎫⎛⎫+=⋅+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)22221212cos 44cos 1612cos 41A C A A =-+-=---22324cos 1224cos 146A A A ⎛⎫=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,A π∈ ，∴当cos 6A =时，2212S S +取得最大值，最大值为14.20.【解析】(1)由题意，X 的所有可能取值为k k ,1,,2,1,0- ，k m k X P k m m X P 21()(),1,,2,1,0)(211()21()(==-=-== ，所以X 的分布列为X 012…1-k kP212)21(3)21(…k )21(k )21(所以X 的数学期望为kkk k X E21()21)(1()21(2)21()(32+-+++= 化简可得kX E21(1)(-=.(2)①第n 次射击后，可能包含两种情况：第n 次射出空包弹或第n 次射出实弹，第n 次射击前，剩余空包弹的期望是)(1-n X E ，若第n 次射出空包弹，则此时对应的概率为6)(1-n X E ，因为射击后要填充一发空包弹，所以此时空包弹的数量为)(11)(11--=+-n n X E X E ，若第n 次射出实弹，则此时对应的概率为6)(11--n X E ，所以此时空包弹的数量为1)(1+-n X E ，综上，1)(65]1)(6)(1[)(6)()(11111+=+-+⋅=-----nnnnnnXEXEXEXEXEXE.②当0=n时，弹巢中有m-6发空包弹，则mXE-=6)(，由1)(65)(1+=-nnXEXE可得]6)([656)(1-=--nnXEXE，则)()65(6)(,)65)((6)(NnmXEmXE nnnn∈-=-=-.21.【解析】（1）抛物线C：()220y px p=>的焦点为,02p⎛⎫⎪⎝⎭，故可知122p p=⇒=，设00(,)P x y，PA的直线方程为()00x m y y x=-+，PB的直线方程为()00x n y y x=-+，m n≠，则()22000044440y xy my my xx m y y x⎧=⎪⇒-+-=⎨=-+⎪⎩，由于PA与抛物线相切，所以()2200001644400m my x m my x∆=--=⇒-+=，故方程的根为2y m=，将其代入抛物线方程得2x m=，故()2,2A m m，同理2000n ny x-+=,()2,2B n n，因此,m n是方程200x y x x-+=的两个根，故00,m n y mn x+==，直线AB的方程为()222222m ny x m mm n-=-+-，化简得()222y x m my=-+，圆心(0,0)到直线AB的距离为d=由于22014yx-=，200m my x=-，将其代入得212xd rx====，故直线AB与圆E相切（2）联立2222441021y x x x xx y⎧=⇒+-=⇒=-+⎨+=⎩，设(,)T a b，且满足221ab+=，21a-<<，则OTbka=，则MNakb=-，此时MN的直线方程为()ay x a bb=--+，联立直线MN与抛物线方程()22444y x by ya a ay x a bb⎧=⎪⇒+-=⎨=--+⎪⎩，设()()1122,,,M x y N x y,所以121244,by y y ya a+=-=-，高三年级第三次模拟考试进而222221212121222241,416y y y y a b x x x x a a +++====，()()1122,,,MT a x b y TN x a y b =--=-- ，因此()()()()22212121212121MT TN x a a x y b b y ax x x a ax by y y b by ⋅=--+--=--++--+ ()()22221122112222241441411a b b MT TN a x x x x b y y y y b a a b a a a aa a +⎛⎫⋅=+-++---=⨯-+-+-=-+ ⎪⎝⎭ 2125a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，由于21a -<≤，当12a =时，12a =时MT TN ⋅ 取最大值5，由于T 是圆E 上在第一象限内且位于抛物线开口区域以内的一点，所以,M N 在T 的两侧，故MT TM N T T N =⋅⋅ ，故此时TM TN ⋅的最大值为5，22.【解析】（1）因为()()cos 0g x a x x a =+<，则()1sin g x a x '=-，由已知可得131622g a π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，解得1a =-.（2）由（1）可知()1sin g x x '=+，对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()()0tf x g x '-≥恒成立，即e cos 1sin x t x x ≥+对任意的,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π恒成立，当2x π=-时，则有00≥对任意的R t ∈恒成立；当02x π-<≤时，cos 0x >，则1sin e cos x x t x +≥，令()1sin e cos x x h x x +=，其中02x π-<≤，()()()()()()222e cos e cos sin 1sin 1cos 1sin 0e cos e cos x x x x x x x x x x h x x x --+-+'==≥且()h x '不恒为零，故函数()h x 在,02π⎛⎤-⎥⎝⎦上单调递增，则()()max 01h x h ==，故1t ≥.综上所述，1t ≥.（3）证明：由()()f x g x '=可得e cos 1sin x x x =+，令()e cos sin 1x x x x ϕ=--，则()()e cos sin cos x x x x x ϕ'=--，因为()2,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则sin cos 0x x >>，所以，()0x ϕ'<，所以，函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，因为2233132e cos 2sin 21e 133322n n n n n πππππππϕπππ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭试数学试题·第4页共4页23e31022ππ+≥-->，2202n πϕ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，所以，存在唯一的()02,232x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，使得()00x ϕ=，所以，()2,232n x n n n ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈+N ，则()122,232n x n n n πππππ+⎛⎫-∈++∈ ⎪⎝⎭+N ，所以，()()()121112e cos 2sin 21n x n n n x x x πϕπππ+-+++-=----()()1111122211111e cos sin 1e cos e cos e e cos 0n n n n n x x x x x n n n n n n x x x x x x πππϕ+++++---+++++=--=-=-<=因为函数()x ϕ在()2,232n n n ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈+N 上单调递减，故12n n x x +-π>，即12n n x x +->π.。

安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题及参考答案

安徽省蚌埠市2023届高三第三次教学质量检查考试数学试题及参考答案

安徽省蚌埠市2023届高三年级第三次教学质量检查考试数学试卷及参考答案本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,2,3,5A =-，{B x y ==，则A B = （）A.{}0,2 B.{}1,0,2,3- C.{}5 D.{}1,3,5-2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()21i 2z -=，则2023z =（）A.1-B.1C.i- D.i3.已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2- B.12-C.12D.24.直线:10l x my m ++-=与圆()()22:129C x y -+-=的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.无法确定5.已知某地区中小学生人数如图①所示，为了解该地区中小学生的近视情况，卫生部门根据当地中小学生人数，用分层抽样的方法抽取了10%的学生进行调查，调查数据如图②所示，则估计该地区中小学生的平均近视率为（）A.50%B.32%C.30%D.27%6.若椭圆22:12x y C m +=的离心率为63，则椭圆C 的长轴长为（）A.6B.3或C.D.或7.函数()e 1cos e 1x xf x x -=⋅+的图象大致为（）8.在ABC △中，D 为BC 上一点，且3BD DC = ，ABC CAD ∠=∠，23BAD π∠=，则tan ABC ∠=（）A.13B.3C.3D.5二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则下列结论正确的是（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列B.数列{}222n n S S +-是等差数列C.数列222n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列D.数列{}lg n T 是等差数列10.已知F 是抛物线24y x =的焦点，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线上相异两点，则以下结论正确的是（）A.若126x x +=，那么8AB =B.若3AF BF +=，则线段AB 的中点到y 轴的距离为12C.若FAB △是以F 为直角顶点的等腰三角形，则4AB =D.若2AF FB =，则直线AB 的斜率为±11.已知AB 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一点，E 为SA 的中点，5SA =，圆锥SO 的侧面积为15π，则下列说法正确的是（）A.圆O 上存在点F 使EF ∥平面SBCB.圆O 上存在点F 使AF ⊥平面SBCC.圆锥SO 的外接球表面积为62532πD.的正四面体在圆锥SO 内可以任意转动12.已知1a b >>，则下列结论正确的是（）A.ea ba b-> B.()ln 1ln 1b a a b +>+C.()()log 1log 1a b a b +>+ D.b aa ab b>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知()1,2a = ，()2,b m = ，()3a a b ⊥-，则m =______.14.已知()()3423401234212x x a a x a x a x a x --+=++++，则024a a a ++=______.15.已知实数0a b >>，且5a b -=，则1112a b++-的最小值为______.16.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当10x -≤≤时，()12x f x m +=-，则当01x <≤时，()f x =______；若对[]0,1x ∀∈都有21224f x tx ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭，则实数t 的取值范围为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出说明文字、演算式、证明步骤.17.（本小题满分10分）某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生40女生30合计（1）根据所给数据完成上表，依据0.001α=的独立性检验，能否认为该校学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知这两名男生进球的概率均为23，这名女生进球的概率为12，每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进球总次数X 的分布列和数学期望.附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++α0.10.050.010.0050.001x α2.7063.8416.6357.87910.82818.（本小题满分12分）已知函数()()21cos cos02f x x x x ωωωω=+->.（1）若1ω=，求函数()f x 的最小正周期；（2）若()y f x =图象在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一条对称轴，求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的取值范围.已知数列{}n a 满足11a =，2121n n a a +=+，2212n n a a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12111n nT a a a =+++ ，求证：23n T <.20.（本小题满分12分）如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E ，F 分别在棱BC ，CD 上，平面ABD ∥平面EFG.（1）求DFCF的值；（2）若AB ⊥平面BCD ，DC CB ⊥，且3AB BC CD ===，求平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小.已知A ，B 是双曲线22:14x E y -=的左、右顶点，M 为双曲线上与A ，B 不重合的点.（1）设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k ⋅是定值；（2）设直线:1l x =与直线MA 交于点P ，l 与x 轴交于点S ，点Q 满足2QS SP =，直线BQ 与双曲线E 交于点N （与A ，B ，M 不重合）.判断直线MN 是否过定点，若直线MN过定点，求出该定点坐标；若直线MN 不过定点，请说明理由.22.（本小题满分12分）已知函数()e 1xf x =-，()()lng x x a =+，a ∈R .（1）若1a =，求证：()()f x g x ≥；（2）若函数()f x 与函数()g x 存在两条公切线，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题12345678BCCADDAD二、多选题9101112ABCBCDADAD三、填空题13.61-；14.54-；15.21；16.221+--x（2分）；⎥⎦⎤⎢⎣⎡81381，（3分）.四、解答题17.解：（1）2×2列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生6040100女生3070100合计90110200假设为0H ：该校学生喜欢足球与性别无关联.根据列联表中的数据，经计算得到()001.022828.101801821109010010030407060200x =>≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ根据小概率值001.0=α的独立性检验，推断0H 不成立，即认为该校学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意X 的所有可能取值为0，1,2,3，()181213102=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P ，()18531212131321212=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯⨯⨯==C X P ，()9421322131322212=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯⨯==C X P ，()92213232=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛==X P .X 的分布列如下：X 0123P1811859492∴X 的数学期望()61192394218511810=⨯+⨯+⨯+⨯=X E .18.解：(1)∵()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+=62sin 2cos 212sin 2321cos cos sin 32πωωωωωωx x x x x x x f ∴函数()x f 的最小正周期πωπ==22T .（2）由⎪⎭⎫ ⎝⎛+∈+62,662πωπππωx ，∴函数()x f 的图象在⎪⎭⎫⎝⎛40π，内有且仅有一条对称轴，∴23622ππωππ≤+<，即3832≤<ω，∴65643ππωππ≤+<，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛1,2164sin 8πωππf .19.解：（1）由题意12112212+=+=-+n n n a a a ，∴()1211212+=+-+n n a a ，∵0211≠=+a ，∴数列{}112+-n a 是首项为2，公比为2的等比数列，∴nn a 2112=+-，即1212-=-nn a ，而2221122-==+-n n n a a ，∴⎪⎩⎪⎨⎧--=++为偶数为奇数n n a n n n ,22,121221.（2）由（1）()()∑∑∑=++==----=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n i i i i n i i ni i i na a T 111112122121212231212311()()()()∑∑=+=++--=--<ni i ii n i i i i 1111112122312122233121131211213111<⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=+∑n ni i i .20.解：（1）延长CG 交AB 于点H ，连接DH CH ，，∵G 为ABC ∆的重心，∴H 为AB 的中点，且32=CH CG ，∵平面ABD ∥平面EFG ，平面ABD ∩平面DH DCH =，平面EFG ∩平面FGDCH =∴DH FG ∥，∴32==CH CG CD CF ，∴21=CF DF .（2）∵AB ⊥平面BCD ，BCD CD BC 平面，⊂，∴BC AB ⊥，CD AB ⊥，∵ABC AB BC B AB BC AB CD CB CD 平面，，，⊂=⋂⊥⊥,，∴ABC CD 平面⊥.如图，以BA 为x 轴，BC 为y 轴，过B 与CD 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由（1）同理可得BD EF ∥，则32==CB CE CD CF ，∴()()()010230003，，，，，，，，E F A ，()()()330030011，，，，，，，，D C G ，∴()()()3,0,00,0,1221=-=-=CD GE GF ，，，，，()033，，-=CA .设平面EFG 的一个法向量为()c b a m ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=++-=⋅0022a GE m c b a GF m ，令1=b ，则10-==c a ，，则()1,1,0-=m ，设平面ACD 的一个法向量为()z y x n ,,=，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅==⋅03303y x CA n z CD n ，令1=x ，则1=y ，0=z ，则()0,1,1=n ，设平面EFG 与平面ACD 的夹角为θ，则21221cos =⨯==n m θ，∴平面EFG 与平面ACD 的夹角的大小为3π.21.解：（1）设()11,y x M ，由题意()()0202，，，B A -，且142121=-y x ，∴4141442221212121111121=--=-=-⋅+=x x x y x y x y k k .（2）设()11,y x M ，()22,y x N ，()t P ,1，BN 的斜率为3k ，由SP QS 2=知：()t Q 2,1-，∴()612122131=----==t tk k k k BQAP.由（1）知：4121=k k ，∴2332=k k.设()2,2,0:≠±≠≠+=n m m n my x MN ……①双曲线1422=-y x E ：……②联立①②得：()0424222=-++-n mny y m ，44422221221---=--=+m n y y m mn y y ，∴()()2322222121221132=-+-+=-⋅-=n my n my y y x y x y k k ，即()()()()0232323221212=-++-+-n y y n m y y m ，整理得710=n ，故直线MN 过定点⎪⎭⎫⎝⎛0710.22.解：（1）令()()x x f x F -=，则()001>⇒>-='x e x F x，∴()x F 在()0，∞-上单调递减，在()∞+，0上单调递增，∴()()00=≥F x F ，∴()x e x f x≥-=1，当且仅当0=x 时，等号成立，∴()()()1ln 1ln +≥=+x x x f ，当且仅当0=x 时，等号成立，即()()x g x x f ≥≥，当且仅当0=x 时，等号成立.（2）设()x f 与()x g 的公切线为l ，直线l 与()x f 和()x g 分别切于点()1,11-x ex A 和点()()a x x B +22ln ,，易知()x e x f ='，()ax x g +='1，由题意知，公切线()1:111-+-=xx e x x ey l ，()()a x x x ax y ++-+=222ln 1，∴()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+=--+=a x x a x e x a x e x x 22212ln 11111，即()()()⎪⎩⎪⎨⎧+++=-+-=a x a a x e x a x x x 22121ln 1ln 1.()()ax aa x a x a x +++=+++2222ln ln 1，即()()01ln 122=-++-+a a x a x .令()()1ln 1-+-=a u u u G ，则()u G 在()∞+，0上存在两个零点.11∵()u u u u G 1ln -+='，()0112>+=''uu u G ，∴()u G '在()∞+，0上单调递增，又∵()01='G ，∴()u G 在()1,0上单调递减，在()∞+，1上单调递增.1°若1>a ，则()()011>-=≥a G u G ，∴()u G 在()∞+，0上没有零点.2°若1=a ，则()()01=≥G u G ，当且仅当1=u 时，等号成立.∴()u G 在()∞+，0上有且只有一个零点.3°若1<a ，令320-=a e u ，则21100<<<e u ，且0ln 0<u ，∴()()02112321ln 211ln 10000>=-+--=-+->-+-=a q a u a u u u G ，()011<-=a G ，()()()01ln 11ln 11ln 111111=-+>-++>-++=+-----a e a e a e e e G a a a a a ，∴()u G 在()∞+，0上存在两个零点.综上所述：1<a .。

河北省固安三中2025届高考数学三模试卷含解析

河北省固安三中2025届高考数学三模试卷含解析

河北省固安三中2025届高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2．设 2.71828...e ≈为自然对数的底数，函数()1xxf x e e -=--，若()1f a =，则()f a -=( )A ．1-B ．1C ．3D ．3-3．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．64．双曲线2212y x -=的渐近线方程为（ ）A ．32y x =±B ．y x =±C ．2y x =D ．3y x =5．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A ．322-B ．233C ．23D ．226．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为 A ．甲、乙、丙 B ．乙、甲、丙 C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线方程为34yx ，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 8．已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点（A 在x 轴上方），且满足3AF BF =，则直线l 的斜率为（ ） A ．1 B ．3 C ．2D ．39．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．已知实数0a b <<，则下列说法正确的是（ ） A ．c ca b> B ．22ac bc ＜ C ．lna lnb ＜D ．11()()22ab<11．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足PA m PF =，若m 取得最大值时，点P 恰好在以,A F 为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（ ）A ．31-B ．21-C ．512- D ．212- 12．设a b c ，，为非零实数，且a c b c >>，，则（ ） A ．a b c +>B ．2ab c >C ．a b2c +> D ．112a b c+> 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三年级第三次考试数学

高三年级第三次考试数学

度高三年级第三次考试数 学注意事项：1、答卷前；考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。

2、所有试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题；每小题选出答案后；用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动；用橡皮擦干净后；再选涂其它答案。

3、考试结束后；将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 参考公式：如果事件A 、B 互斥；那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立；那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 p ；那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率k n kk n n p P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题；每小题5分；共60分.在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.1．若双曲线的实半轴长为2；焦距为6；则该双曲线的离心率为（A ）13 （B ） 23（C ） 23（D ） 32．函数f (x ) =sin 2x ； x ∈[－π；π]；则满足f (x )=0的x 有（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个3．函数xy a =和1xy a =；0a >；1a ≠且；则它们的反函数的图象关于 （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）关于直线y=x 对称 （D ）原点对称 4．给出关于平面向量的两个命题：①→a 是非零向量；且→→⋅b a =→→⋅c a ；则→b =→c ；②→a ；→b 是非零向量；→a ⊥→b ；则|→a +→b |=|→a －→b |。

正确的命题的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）没有正确的命题 5．设a 、b 表示直线；α、β表示平面；α//β的充分条件是（A ）a ⊂α；b ⊂β；a//b （B ）a ⊂α；b ⊂β；a //β；b //α （C ）a ⊥b ；α⊥β；b ⊥α （D ）a//b , a ⊥α；b ⊥β 6．设等差数列{a n }前n 项和为S n ；则使S 6=S 7的一组值是（A ）a 3=9； a 10=―9 （B ）a 3=―9；a 10= 9 （C ）a 3=―12； a 10=9 （D ）a 3=―9；a 10=12 7．函数c ax x x x f +++-=233)(在(,1]-∞上是单调减函数；则a 的最大值是（A ）―3 （B ）―1 （C ）1 （D ）38．设二项式（3x +1）n 的展开式的各项系数和为a n ；展开式中x 2的系数为b n 。

云南省昆明市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次综合测试理科数学试卷 (含答案)

云南省昆明市第三中学2021-2022学年高三上学期第三次综合测试理科数学试卷 (含答案)

云南省昆明市第三中学高2022届高三上学期第三次综合测试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合A ={x |x 2-2x -3＜0}，B ={x |y =ln （2-x ）}，则A ∩B =（ ） A. {x |-1＜x ＜3} B. {x |-1＜x ＜2} C. {x |-3＜x ＜2} D. {x |1＜x ＜2}2. 已知z 1+2i=2+i ，则复数z +5的实部与虚部的和为（ ）A. 10B. -10C. 0D. -53. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（ ）A. 7B. 6C.9D.84. 如果X ∼B(20,p)，当p =1/2且P(X =k)取得最大值时， k 的值是（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 115. 设a =20.3，b =0.32，c =log x （x 2+0.3）（x ＞1），则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A. a ＜b ＜cB. b ＜a ＜cC. c ＜b ＜aD. b ＜c ＜a6. 哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习，要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为（ ）A. 60B. 80C. 120D. 2407. 一个几何体的三视图（单位：Cm ）如图所示，则该几何体的体积是80cm 3．则图中的x 等于（ ）A. 32B. 23C. 3D. 68. 设等差数列{a n }满足3a 8=5a 15，且a 1 ＞0，S n 为其前n 项和，则数列{S n }的最大项为（ ）A. S 23 B. S 24C. S 25D. S 269. 已知变量x ，y 满足约束条件{x +y ≤6x −3y ≤−2x ≥1若目标函数z =ax +by （a ＞0，b ＞0）的最小值为2，则1a +3b 的最小值为（ ）A. 2+√3B. 5+2√6C. 8+√15D. 2√310. 已知函数f （x ）=A sin （2x +φ）-12（A ＞0，0＜φ＜π2）的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x =π12对称，若对于任意的x ∈[0，π2]，都有m 2-3m ≤f （x ），则实数m 的取值范围为（ ）A. [1，32] B. [1，2]C. [32，2]D. [3−√32，3+√32] 11. 如图所示点F 是抛物线y 2=8x 的焦点，点A 、B 分别在抛物线y 2=8x 及圆x 2+y 2-4x -12=0的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，则△FAB 的周长的取值范围是（ ）A. （8，12）B. （6，10）C. [6，8]D. [8，12]12. 函数32()2e ln f x x x mx x =-+-有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )1.,A e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 21.,B e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭211.,C e e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 21.,D e e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分） 13. 若n =8∫e11x dx ，则二项式（√x -2√x）n的展开式中常数项为 ______ ． 14. 设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为 ______ ． 15. 在直角三角形△ABC 中，C =π2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，对平面内的任意一点M ，平面内有一点D 使得3MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 16. 若数列{a n }满足a n -（-1）na n -1=n （n ≥2，n ∈N *），S n 是{a n }的前n 项和，则S 40= ______ ．三、解答题（本大题共6小题，共80分）17. 如图所示，在△ABC 中，点D 为BC 边上一点，且BD =1，E 为AC 的中点，AE =32，cos B =2√77，∠ADB =2π3．（1）求AD 的长； （2）求△ADE 的面积．18. 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：日期 1月10日 2月10日 3月10日 4月10日 5月10日 6月10日昼夜温差x （°C ） 10 11 13 12 8 6 就诊人数y （个） 222529261612该兴趣小组确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选取的2组数据进行检验． （1）求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；（2）若选取的是1月与6月的两组数据，请根据2至5月份的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y =bx +a ；（附：b ^=∑(ni=1x i −x)(y i −y)∑(n i=1x i −x)2=∑x i ni=1y i −nxy∑x i2n i=1−nx 2）19. 如图，在△ABC 中，已知∠ABC =45°，O 在AB 上，且OB =OC =23AB ，又PO ⊥平面ABC ，DA ∥PO ，DA =AO =12PO ．（Ⅰ）求证：PD ⊥平面COD ； （Ⅱ）求二面角B -DC -O 的余弦值．CAE20. 设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上的点，且PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ •F 1F 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，坐标原点O 到直线PF 1的距离是13|OF 2|．（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）过椭圆C 的上顶点B 作斜率为k （k ＞0）的直线l 交椭圆C 于另一点M ，点N 在椭圆C 上，且BM ⊥BN ，求证：存在k ∈[14，12]，使得|BN |=2|BM |．21. 已知函数f （x ）=x ln x -（x -1）（ax -a +1）（a ∈R ）． （Ⅰ）若a =0，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若x ＞1时，f （x ）＜0恒成立，求a 的取值范围．选作题：考生在22、23中选作一题。

2023年河北省石家庄市高三高考三模数学试卷含答案

2023年河北省石家庄市高三高考三模数学试卷含答案

石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（三）数学（时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B 铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷､草稿纸上或答题卡非题号对应的答题区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，集合A B ､均为U 的子集，()U A B ⋂ð表示的区域为（）A.IB.IIC.IIID.IV2.已知函数()f x 同时满足性质：①()()f x f x -=-；②对于()12,0,1x x ∀∈，()()12120f x f x x x ->-，则函数()f x 可能是（）A.()e exxf x -=- B.()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C.()sin4f x x= D.()2f x x=3.3.观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是（）A. B.C. D.4.18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当n 很大时，1111ln 23n nγ++++=+ （常数0.577γ= ）.利用以上公式，可以估计111200012000230000+++ 的值为（）A.4ln10 B.ln3ln2+ C.ln3ln2- D.ln25.已知函数()()2sin (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的部分图像如图所示，则()f x 图象的一个对称中心是（）A.5,06π⎛⎫⎪⎝⎭B.2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭C.8,03π⎛⎫⎪⎝⎭D.11,06π⎛⎫-⎪⎝⎭6.已知,m n 是两条不同的直线，αβ､是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（）A.若,m n n α⊂∥，则m α∥B.若,,m n m n ααβ⊂⋂=⊥，则m β⊥C.若,m m αβ⊂⊥，则αβ⊥D.若,m αβα⊥⊥，则m β∥7.已知直线2310x y +-=经过圆22()()1x m y n -+-=的圆心，其中0m >且()1,0n ∈-，则212m n n-+的最小值为（）A.9B.5+C.1D.5+8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，A C ､是中国结主体部分上的定点，点B 是16个半圆上的动点，则AC AB ⋅的最大值为（）A.6617+B.6617+C.66217+D.1817二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知复数112i z =+，复数z 满足12z z -=，则（）A.115z z ⋅=5252z -<<C.复数1z 在复平面内所对应的点的坐标是()1,2-D.复数z 在复平面内所对应的点为(),Z x y ，则22(1)(2)4x y -+-=10.设函数()f x 的定义域为()00,0x x ≠R 是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（）A.()()0,x f x f x ∀∈≤RB.0x -是()f x -的极大值点C.0x 是()f x -的极小值点D.0x -是()f x --的极大值点11.已知函数()f x 图象上的点(),x y 都满足()202332023354x x yx x y x -++=--，则下列说法中正确的有（）A.()34f x x x=-+B.若直线l 与函数()f x 的图象有三个交点,,A B C ，且满足10AB BC ==，则直线AC 的斜率为3.C.若函数()()()240g x f x ax x a a =--+≠在0x x =处取极小值0，则332a =.D.存在四个顶点都在函数()f x 的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.12.已知曲线()00:44,,C x x y y P x y -=为C 上一点，则（）A.,20m x y m ∃∈-+=R 与曲线C 有四个交点B.2200x y +的最小值为1C.002x y -+的取值范围为D.过点(--的直线与曲线C 有三个交点，则直线的斜率147,22k ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.52x ⎛- ⎝的展开式中的常数项为__________.14.已知数列{}n a 的通项公式为1n a n =-，数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，则129b b b a a a +++= __________.15.已知正四面体A BCD -的棱长为6,P 是ABC 外接圆上的动点，Q 是四面体A BCD -内切球球面上的动点，则PQ 的取值范围是__________.16.我们常用的数是十进制数，如32101035110010310510=⨯+⨯+⨯+⨯，表示十进制的数要用0~9这10个数字.而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位一进制的数()32102100112020212=⨯+⨯+⨯+⨯，等于十进制的数9，现有一组十进制表示的数列()*122023,,,,,1,2,,2023i x x x x i ∈=N ，定义202311,1,2,,2022nn i ji j n b x x n ==+=+=∏∏ （1mi k a =∏表示12,,,m a a a 的乘积），若将122022,,,b b b 表示成二进制数，其中有1011个数末位是0，若将312202,,x x x 表示成二进制数，则末位是0的数至多有__________个.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知ABC 中，角,,A B C 的对边长分别是,,,sin 4sin cos a b c A C B =，且2c =.（1）证明：tan 3tan B C =；（2）若b =，求ABC 外接圆的面积18.（本小题满分12分）如图，在AOB中，,1,2AOB OB OA C π∠===为OB 的中点，将AOB 绕OB 所在的直线逆时针旋转至BOD 形成如图所示的几何体2Γ,3AOD π∠=.（1）求几何体Γ的体积；（2）求直线AB 与平面ACD 所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）已知,M N 为抛物线2:2(0)C y px p =>上不同两点，O 为坐标原点，OM ON ⊥，过O 作OH MN ⊥于H ，且点()2,2H .（1）求直线MN 的方程及抛物线C 的方程；（2）若直线l 与直线MN 关于原点对称，Q 为抛物线C 上一动点，求Q 到直线l 的距离最短时，Q 点的坐标.20.（本小题满分12分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 满足1233,36a a a =+=，数列{}n b 的前n 项和n S ，满足21233,3n n S n nb n b +=+=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若存在正整数n ，使得32780n n b Ma -≥成立，求实数M 的取值范围.)33 1.4,ln3 1.1≈≈.21.（本小题满分12分）肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可以预防感染乙肝病毒､体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占m %，某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照k 个人进行分组，将各组k 个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这k 个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.（1）若0.4m =，记每人血样化验次数为X ，当k 取何值时，X 的数学期望最小，并求化验总次数；（2）若0.8m =，设每人血样单独化验一次费用5元，k 个人混合化验一次费用k +4元.求当k 取何值时，每人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.()10 3.16,(1)1,2,||0.01nx nx n n x *≈+≈+∈≥≤N .22.（本小题满分12分）若定义在区间I 上的函数()y f x =，其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则称函数()y f x =为区间I 上的“曲折函数”，“现已知函数()222ln (0)f x a x x a =+>.（1）证明：()y f x =是()0,∞+上的“曲折函数”；（2）设00x a <<，证明：()10,x x a ∃∈，使得对于()1,x x a ∀∈，均有()()()()000a x f x f a f x --+<'.石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测（三）数学答案一､单选：1-4DABC5-8DCAC 二､多选：9.AD10.BC11.ACD12BCD三､填空题：13.8014.50215.16.1012四､解答题：（学生出现的其他解答方法，教研组商定给分）17..解：（1）因为sin 4sin cos A C B =所以()sin 4sin cos B C C B+=sin cos cos sin 4sin cos ,sin cos 3sin cos B C B C C B B C C B+==tan 3tan B C∴=（2）因为sin 4sin cos A C B =，所以22242a c b a c ac +-=⋅，222220a c b +-=，又2,4b c a ==∴=222,2c b a A π∠∴+=∴=12,42R a S π==∴=.18.解：（1）依题意211133V π=⨯⨯⨯；39=（2）解法一：过O 点作OM OA ⊥，分别以,,OA OM OB 所在的直线为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：()(3131,0,0,0,0,,3,,222A C B D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则(3331,0,,,,0,3222AC AD AB ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭设平面ACD 的法向量为(),,n x y z =，则，3002033022x z n AC n AD x y ⎧⎧-+=⎪⎪⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪⎪-+=⎪⎪⎩⎩令3y =，得)3,3,2n =设直线AB 与平面ACD 所成角为θ，则33sin 248AB n AB n θ⋅===⋅ ，所以直线AB 与平面ACD 所成角正弦值为38.解法二：设AD 的中点为E ，点B 到平面ACD 的距离为h ，222237122AC CD OC AO ⎛⎫==+=+= ⎪ ⎪⎝⎭22222cos 3,33AD OA OD OA OD AD π=+-⋅=∴=,CA CD CE AD =∴⊥ 根据勾股定理得1CE =，11331222ACD S AD CE ∴=⋅=⋅= 12311sin 234AOD S π=⋅⋅⋅=13B ACD B AOD C AOD AOD V V V S BC---=-=⋅ ACD AOD S h S BC ∴⋅=⋅ 3333,2424h h ⋅=⋅∴=设直线AB 与平面ACD所成角为34,sin 28h AB θθ===.19.解：（1）由点()2,2H ，得直线OH 的斜率为1，又OH MN ⊥，则直线MN 的斜率为-1，故直线MN 的方程为()212y x -=--，整理得直线MN 的方程为4x y +=设()()1122,,,M x y N x y ，联立242x y y px +=⎧⎨=⎩，得2280y py p +-=，则121228y y p y y p +=-⎧⎨=-⎩，由OM ON ⊥，得0OM ON ⋅=，即2212121212204y y x x y y y y p+=+=，因为120y y ≠，所以2124y y p =-，所以248p p -=-，解得2p =，故抛物线方程为24y x=（2）设点(),A x y 是直线l 上任一点，则点A 关于原点的对称点(),A x y '--在直线MN 上，所以()4x y -+-=，即直线l 的方程为4x y +=-.设点()00,Q x y ，则2004y x =，点Q 到直线l的距离d =2++==当02y =-时，d 的最小值是2，此时，()1,2Q -20.解：（1）设数列{}n a 公比为q ，由已知得23336q q +=，即2120q q +-=，解得3q =或4q =-（舍），所以1333n n n a -=⋅=.因为233n n S n nb n +=+，所以，当2n ≥时，()2113(1)311n n S n n b n --+-=-+-两式作差得()()1333122n n n b n b n --=-+-，因为2n ≥，所以123n n b b --=，即数列{}n b 是首项为23，公差为23的等差数列，所以()2221333n b n n =+-=（2）3327803nn n n b Ma M -≥⇔≤，设33n n n c =，则M 小于等于数列{}n c 的最大项.解法一：设n k =时，n c 最大，因为12118,39c c c ==>，所以1k >由11,k k k k c c c c -+≥⎧⎨≥⎩即331331(1)33(1)33k k k k k k k k -+⎧-≥⎪⎪⎨+⎪≥⎪⎩，即33333(1)3(1)k k k k ⎧≥-⎨≥+⎩，即)11k k k ⎧≥-⎪≥+，解得 3.52.5k k ⎧≤≈⎪⎪⎨⎪≥≈⎪⎩即()2.5 3.5k k Z ≤≤∈，所以3k =故数列{}n c 的最大项是333313c ==，所以1M ≤，即实数M 的取值范围是(],1∞-解法二：设()()()233ln3,33x xx x x f x f x -'==，当3,ln3x ∞⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()0f x '<，在()f x 在区间3,ln3∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以在3n ≥时，数列{}n c 是递减数列，又12318,,139c c c ===，所以数列{}n c 的最大项是333313c ==，所以1M ≤，即实数M 的取值范围是(],1∞-.21.解：（1）设每人血样化验次数为X ，由题意若混合血样呈阴性，则1X k=，若混合血样呈阳性，则1111,0.996,110.996k k X P X P X k k k ⎛⎫⎛⎫=+===+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.所以()()1110.996110.99610.996k k k E X k k k ⎛⎫=⨯++⨯-=+- ⎪⎝⎭，111(10.004)0.004k k k k=+--≈+令()10.004f x x x=+，则()f x 在(上单调递减，在()∞+为单调递增，k Z ∈ ，且()()1150.004150.1267,160.126515f f =+⨯≈=16k ∴=取得最小值，()E X 最小值为0.1265.所以，按16人一组，每个人血样化验次数的数学期望最小此时化验总次数为40000.1265506⨯=次..（2）设每组k 人，每组化验总费用为Y 元，若混合血样呈阴性则4Y k =+，若混合血样为阳性，则64Y k =+，且()()40.992,6410.992kkP Y k P Y k =+==+=-，所以()()()()40.9926410.992650.9924kkkE Y k k k k =+⨯++-=-⨯+，每个人血样的化验费用为：()44650.99265(10.008)k k E Y kk k=-⨯+=-⨯-+()446510.00810.041 1.8k k k k ≈-⨯-+=++≥+=当且仅当40.04k k=，即10k =时取等号，所以10个人一组，每个人血样化验费用的数学期望最小，化验总费用为4000 1.87200⨯=元.22.（1）解法一：要证()y f x =是()0,∞+上的曲折函数，即证存在两个不同的()12,0,x x ∞∈+，使得()()12f x f x =''，令()()222a g x f x x x'==+，即证：()1212,0,,x x x x ∞∃∈+≠，使得()()12g x g x =.任取4m a >，考虑方程()g x m =的正数解的情况.22222220a x m x mx a x+=⇔-+=判别式22Δ160m a =->，故方程有两个不等实根12,x x ，由韦达定理可知：212120,02m x x x x a +=>=>，从而12,0x x >.即()g x m =有两个不同的正实数解12,x x ，所以()()12g x g x =，即()y f x =是()0,∞+上的曲折函数.解法二.设()()1122,,,P x y Q x y 是函数图象上两点，()2122,2,(0)a x x f x x x x'≠=+>，()()12f x f x =''等价于2212122222a a x x x x +=+，即()()2121212210a x x x x x x ⎛⎫--=≠ ⎪⎝⎭，即2120x x a =>，即存在12,x x ，使()()12f x f x =''，所以()y f x =是()0,∞+上的曲折函数.（2）设函数()()()()()00F x a x f x f a f x =--+'代入()222a f x x x=+'及()222ln f x a x x =+，可得：()()2222000222ln a a F x a x x a a x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭则：()()()022222a x F x x a x -=-'，因为0x a <，所以：当()0,x a ∈时，()0F x '<，当(),x a ∞∈+时，()0F x '>，故：()F x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增.解法一：取0x x =代入函数()y F x =，可得：()()()22022220000002000022222ln 2ln 1a x x x a a a F x a x x a a x a x x x a a x ⎛⎫-⎛⎫=-+--+=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令0a t x =，其中1t >，故()20212232ln F x a t t t t ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭构造函数()212232ln (1)H t t t t t t=--+->则()()2233(1)1222220t t H t t t t t '-+=-+-=>从而()H t 在()1,∞+上单调递增，故()()10H t H >=，所以()00F x >……①再取x a =代入函数()y F x =，可得：()()22222000002042ln 342ln x x x a F a a a x a a x a x a a a ⎛⎫=---+=-+ ⎪⎝⎭令0x t a =，其中01t <<，则()()22342ln F a a t t t =-++，构造函数()()2342ln ,0,1S t t t t t =-++∈，则()2(1)20t S t t-=>'，故()S t 在()0,1上单调递增，即()()10S t S <=，所以()0F a <，……②解法二.取0x x =代入函数()y F x =，可得：()()2222000000222ln a a F x a x x a a x x x ⎛⎫=-+--+ ⎪⎝⎭，设()()()2222222ln ,0,a a m x a x x a a x x a x x ⎛⎫=-+--+∈ ⎪⎝⎭则()()222()0a x x a m x x '-+=-<，所以()m x 在()0,a 上单调递减，()()0m x m a >=，所以()00F x >……①再取x a =代入函数()y F x =，可得：()()22222200000042ln 342ln a a F a a a x a a x a ax x a x x =---+=-+-设()()2220000342ln ,,t n t t tx x t t x x ∞=-+-∈+，()()00444ln 4ln n t t x t t t x h t =--+='()04ln 4ln h t t x =-'+，因为0t x >，所以()()0,h t n t '<'在()0,x ∞+上单调递减，所以()()00n t n x '<='，所以()n t 在()0,x ∞+上单调递减，所以()()00n t n x <=，所以()0F a <……②又因为()F x 在()0,x x a ∈上单调递减，结合①与②，由零点存在性定理，必存在唯一的()10,x x a ∈，使得()10F x =，且对任意的()1,x x a ∈，均有()()10F x F x <=。

高三数学第三次阶段考试试题 理含解析 试题

高三数学第三次阶段考试试题 理含解析 试题

实验中学2021届高三数学第三次阶段考试试题 理〔含解析〕考前须知：1．答卷前，所有考生必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔将本人的姓名、考号填写上在答题卡上.2．选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或者签字笔答题，答案必须写在另发的答题卷各题目指定区 域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来之答案，然后再写上新之答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求答题之答案无效.4．考生必须保持答题卡的整洁，在在考试完毕之后以后，将答题卷和答题卡一并收回.第一卷〔一共60分〕一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的．{}260A x x x =--<，集合{}2|log 1B x x =<，那么A B =〔 〕A. ()2,3-B. (),3-∞C. ()2,2-D. ()0,2【答案】A 【解析】 【分析】先由二次不等式的解法得{}|23A x x =-<<，由对数不等式的解法得{}|02B x x =<<，再结合集合并集的运算即可得解.【详解】解不等式260x x --<,解得23x -<<,那么{}|23A x x =-<<, 解不等式2log 1x <,解得02x <<,即{}|02B x x =<<, 即AB =()2,3-,应选:A.【点睛】此题考察了二次不等式的解法及对数不等式的解法，重点考察了集合并集的运算，属根底题.i 是虚数单位，复数z 满足1zi z=-，那么z 的模是( ) A. 1 B.12【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法那么和模的计算公式即可得出． 【详解】1zz=-i ， ∴z ＝i -zi ， ∴z 1(1)11222i i i i i ===++-， ∴|z|2==， 应选：C ．【点睛】此题考察了复数的运算法那么和模的计算公式，属于根底题．2,a ln =125b -=，21cos 2c xdx π=⎰，那么,,a b c 的大小关系〔 〕A. a b c <<B. b a c <<C. c b a <<D.b c a <<【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与12比拟即可.【详解】12ln ,2a ln =>=121,25b -=<== ()02111cos sin 22220c xdx x ππ=⎰=⨯=，应选：D【点睛】此题考察实数大小的比拟，考察对数函数的性质，微积分定理，考察利用中间量比拟大小，属于常考题型.2sin cos 12x x π⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，那么cos2x =〔 〕A. 89-B. 79-C.79D. -1【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式化简得到sin x ，再结合二倍角的余弦公式即可求解. 【详解】2sin sin 1x x +=，即1sin 3x =所以22cos 212sin 1799x x =-=-= 应选C【点睛】此题主要考察了三角函数的化简和求值，属于根底题.5.(,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的〔 〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】方程表示双曲线，可得()()()5320m m m --+<，解得m 范围即可判断出结论，解得m 范围即可判断出结论．【详解】由方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线，可得()()2560m m m ---<，即()()()5320m m m --+<即2m <-，或者35m <<，∴ (,2)m ∈-∞-是方程222156x y m m m +=---表示的图形为双曲线的充分不必要条件，应选：A【点睛】此题考察了双曲线的HY 方程、不等式的解法、简易逻辑的断定方法，考察了推理才能与计算才能，属于中档题．P 是ABC 所在平面上一点，假设2355A APB AC =+，那么ABP △与ACP △的面积之比是〔 〕 A.35B.52C.32D.23【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得32=BP PC ，即点P 在线段AB 上，且32=BP PC ,由三角形面积公式可得:ABP S ∆APC S ∆:3:2BP PC ==，得解. 【详解】解：因为点P 是ABC 所在平面上一点，又2355AP AB AC =+， 所以2233-=-5555AP AB AC AP ,即23=55BP PC ,即32=BP PC ， 那么点P 在线段BC 上，且32=BP PC ,又1sin 2APC S AP PC APC ∆=∠，1sin 2ABP S AP BP APB ∆=∠,又APB APC π∠+∠=，即sin sin APC APB ∠=∠， 所以点P 在线段BC 上，且32=BP PC , :ABP S ∆APCS ∆1sin :2AP BP APB =∠1sin 2AP PC APC ∠:3:2BP PC ==， 应选：C.【点睛】此题考察了向量的线性运算及三角形的面积公式，重点考察了运算才能，属中档题.7.()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，那么函数()y f x =的图象大致为〔〕A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式可得()()f x f x =-，那么函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，再取特殊变量4π得04f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，即可得在()0,∞+存在变量使得()0f x <，再观察图像即可.【详解】解：因为()121sin 221xx f x x x -⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，那么()121sin 221x x f x x x ---⎛⎫-=-+⋅ ⎪+⎝⎭=121sin 221xx x x -⎛⎫-⋅ ⎪+⎝⎭，即()()f x f x =-，那么函数()y f x =为偶函数，其图像关于y 轴对称，不妨取4x π=，那么 ()44221(08221f x πππ-=-<+，即在()0,∞+存在变量使得()0f x <， 应选D.【点睛】此题考察了函数奇偶性的判断及函数的图像，重点考察了函数的思想，属中档题. 8.某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，那么不同排课法的种数是 A. 24B. 16C. 8D. 12【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可分三步进展分析：〔1〕要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；〔2〕将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；〔3〕数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解．【详解】根据题意，可分三步进展分析：〔1〕要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序，有222A =种情况； 〔2〕将这个整体与英语全排列，有222A =中顺序，排好后，有3个空位；〔3〕数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个， 安排物理，有2中情况，那么数学、物理的安排方法有224⨯=种， 所以不同的排课方法的种数是22416⨯⨯=种，应选B ．【点睛】此题主要考察了排列、组合的综合应用，其中解答红注意特殊问题和相邻问题与不能相邻问题的处理方法是解答的关键，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，那么ω的范围是〔 〕A. 3(0,]5B. 13[,]25C. 13[,]24D. 15[,)22【答案】B 【解析】 【分析】先化简()f x ，再根据正弦函数性质列方程与不等式，解得结果. 【详解】222()2sin cos ()sin sin (1cos())sin 422x f x x x x x x ωππωωωωω=--=+-- 2sin (1sin )sin sin x x x x ωωωω=+-=因为()f x 在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好获得一次最大值，所以255,,236222ππωπωπππωπ-≤-≤≤<，即13[,]25ω∈ 应选B【点睛】此题考察二倍角余弦公式、辅助角公式以及正弦函数性质，考察综合分析与求解才能，属中档题.y 满足约束条件342y x x y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩那么z ＝|x －3y |的最大值为( )A. 8B. 4C. 2D.455【答案】A 【解析】由题意作出满足条件的可行域如图中阴影局部，那么对于目的函数z=|x ﹣3y|，平移直线y=13x 可知， 当直线经过点A 〔﹣2，2〕时，z=|x ﹣3y|获得最大值， 代值计算可得z max =|﹣2﹣3×2|=8． 应选A ．11.AOB 中，OA a OB b ==，，满足||2a b a b ⋅=-=，那么AOB ∆的面积的最大值为〔 〕 3 B. 2C. 3D. 22【答案】A 【解析】 【分析】利用数量积公式以及平方关系计算得到sin AOB ∠，利用模长公式以及根本不等式得到||||4a b ≤，结合三角形面积公式化简即可求解.【详解】||||cos 2a b a b AOB ⋅=∠=,即2cos ||||AOB a b ∠=22(||||)4sin ||2|||||a b AOB a b a b -⎫∴∠==⎪⎭22||||2||2a b a a b b -=-⋅+= ，即228||||2||||a b a b =+≥所以||||4a b ≤ 所以22(||||)41111||||sin ||||=(||||)4164=32222||||AOBa b S a b AOB a b a b a b ∆-=∠=-≤-应选A【点睛】此题主要考察了平面向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题.22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，那么该椭圆离心率的取值范围是〔 〕A.⎫⎪⎪⎝⎭B. 15⎛ ⎝⎭C. 15⎛ ⎝⎭D.262⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】首先满足QF 1⊥QP ，点Q 在椭圆的内部，故点Q 轨迹在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上，且圆在椭圆的内部,得到2e <；根据Q 在线段2PF 的延长线上，考虑极端情况，得到15e >，得到答案.【详解】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ； ∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 22＜； 当Q 点与2F 重合时，此时不妨设113PF =，那么125F F =，故212PF =. 即252a =，52c =，此时15e =. Q 在线段2PF 的延长线上，故212PF F π>∠，故15e >. 综上可得：12,52e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.应选：C ．【点睛】此题考察了椭圆的性质、圆的性质，考察了推理才能与计算才能，属于难题．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔每一小题5分，满分是20分，将答案填在答题纸上〕()3ln 2f x x x x =+，那么曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是___________．【答案】750x y --= 【解析】 【分析】先求函数()f x 的导函数()'fx ，再由导数的几何意义，求()'17f =，那么曲线()y f x =在点()1,2处的切线的斜率为7，再由直线的点斜式方程求解即可.【详解】解：因为()3ln 2f x x x x =+，所以()'2ln 16fx x x =++，那么()'21ln11617f =++⨯=，即曲线()y f x =在点()1,2处的切线方程是27(1)y x -=-，即750x y --=， 故答案为750x y --=.【点睛】此题考察了导数的几何意义、直线的点斜式方程，重点考察了导数的应用及运算才能，属根底题.14.()422x x --的展开式中，3x 的系数为 ． 〔用数字填写上答案〕 【答案】40- 【解析】试题分析：()422x x --()422x x ⎡⎤=-+⎣⎦展开后只有()42x +与()33242C x x -+中含3x 项其系数和为133124432240C C C ⨯-⨯⨯=-，故答案为40-.考点：二项展开式定理.sin ()xx af x e-=有极值，那么实数a 的取值范围为_____________【答案】( 【解析】 【分析】求出函数的导函数，那么cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，求三角函数的值域得到结果.【详解】由sin ()x x a f x e -=可得：cos sin ()xx x af x e -+'=，∵函数sin ()xx af x e-=有极值， ∴cos sin ()xx x af x e-+'=有可变零点，∴cos sin 0x x a -+=，即sin cos 4a x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∴(a ∈故答案为：(2,2)-【点睛】此题考察函数存在极值的条件，考察三角函数的值域问题，考察转化思想，属于中档题.D 是直角ABC ∆斜边AB 上一动点，5,AC =4,BC =将直角ABC ∆沿着CD 翻折，使B DC '∆与ADC ∆构成直二面角，那么翻折后AB '的最小值是_______．【答案】21 【解析】 【分析】过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，那么有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，由此利用余弦定理、勾股定理能求出当4πα=时，AB ′获得最小值7．【详解】解：过点B ′作B ′E ⊥CD 于E ，连结BE ，AE ，设∠BCD ＝∠B ′CD ＝α，那么有B ′E ＝4sin α，CE ＝4cos α，2ACE πα∠=-，在△AEC 中，由余弦定理得：222516402AE cos cos cos πααα⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α， 在Rt △AEB ′中，由勾股定理得：AB '2＝AE 2+B ′E 2＝25+16cos 2α﹣40sin αcos α+16sin 2α＝41﹣20sin2α，∴当4πα=时，AB ′获得最小值21．故答案为：21．【点睛】此题考察线段长的最小值的求法，考察余弦定理、勾股定理、直二面角等根底知识，运算求解才能，考察函数与方程思想，是中档题．三、解答题：一共70分．解容许写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22、23题为选考题，考生根据要求做答． 〔一〕必考题：一共60分．{}n a 的前n 项和为n S ，公比是正数的等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，．1122331,3,8,15a b a b T S ==+=-=(Ⅰ)求{}{},n n a b 的通项公式； (Ⅱ)假设数列{}n c 满足11211222n n n n a c a c a c n +--+++=--对任意*n N ∈都成立；求证：数列{}n c 是等比数列．【答案】〔1〕1,32n n n a n b -==⋅；〔2〕证明见解析．【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为(0)q q >2375d q q q d +=+-=由题意得……………………………………………………………2分2375d q q q d +=+-=解得………………………………………………………5分(Ⅱ)由知两式相减：………………………………8分…………………………………………………………………10分当时，，合适上式即是等比数列…………………………18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.(1)求证：AD⊥平面BFED；(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．【答案】〔1〕证明见解析〔2〕θ最小值为60°【解析】【分析】〔1〕在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的断定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；〔2〕以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。

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高三年级数学第三次考试注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号准确地写在答题卡上。

2、所有试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

参考公式： 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B) 其中R 表示球的半径 如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 p ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 334R V π=次的概率kn k k n n p P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若双曲线的实半轴长为2，焦距为6，则该双曲线的离心率为（A ）13 （B ） 23（C ） 23（D ） 32．函数f (x ) =sin 2x ， x ∈[－π，π]，则满足f (x )=0的x 有（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 3．函数xy a =和1xy a =，0a >，1a ≠且，则它们的反函数的图象关于 （A ）x 轴对称 （B ）y 轴对称 （C ）关于直线y=x 对称 （D ）原点对称 4．给出关于平面向量的两个命题：①→a 是非零向量，且→→⋅b a =→→⋅c a ，则→b =→c ；②→a ，→b 是非零向量，→a ⊥→b ，则|→a +→b |=|→a －→b |。

正确的命题的序号是 （A ）① （B ）② （C ）①② （D ）没有正确的命题 5．设a 、b 表示直线，α、β表示平面，α//β的充分条件是（A ）a ⊂α，b ⊂β，a//b （B ）a ⊂α，b ⊂β，a //β，b //α （C ）a ⊥b ，α⊥β，b ⊥α （D ）a//b , a ⊥α，b ⊥β 6．设等差数列{a n }前n 项和为S n ，则使S 6=S 7的一组值是（A ）a 3=9， a 10=―9 （B ）a 3=―9，a 10= 9 （C ）a 3=―12， a 10=9 （D ）a 3=―9，a 10=12 7．函数c ax x x x f +++-=233)(在(,1]-∞上是单调减函数，则a 的最大值是 （A ）―3 （B ）―1 （C ）1 （D ）38．设二项式（3x +1）n 的展开式的各项系数和为a n ，展开式中x 2的系数为b n 。

若a n +b n =310，则n 等于（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 9．函数lg(10)y x x =-的图象大致形状是（A ） （B ） （C ） （D ）10．对某种产品的4件不同正品和4件不同次品一一进行检测，直到区分出所有次品为止。

若所有次品恰好经过五次检测被全部发现，则这样的检测方法有（A ）96种 （B ） 120种 （C ）384种 （D ）480种 11．把函数f (x )=2sin (872π-x )cos (82π+x )的图象向左平移a （a >0）个单位，得到函数y =g (x )的图象。

若函数y = g (x )是奇函数，则a 的最小值为（A ）4π （B ） 2π（C ） 34π （D ）54π 12．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l 1,“供给—价格”函数的图象为直线l 2，它们的斜率分别为k 1、k 2，l 1与l 2的交点P 为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P ，与直线l 1、 l 2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P 的条件为（A ）k 1+k 2>0 （B ）k 1+k 2=0 （C ）k 1+k 2<0 （D ）k 1+k 2可取任意实数二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分，只填结果，不要过程） （13）在下图中，直线L 为曲线C 在点P 处的切线，则直线L 的斜率是（14）如图，直角三角形ABC中，,12AC BC C π∠===，△ABD 为等腰直角三角形，2D π∠=。

当点D 到平面ABC 距离最大时，直线CD 与平面ABC 所成角为___________（15）平面内满足不等式组（x +y —4）（x + 2y —6）≤0，x ≥0，y ≥0的所有点中，使目标函数z =5x +4y 取得最大值的点的坐标是（16）已知O 为原点，点P (x 、y )在单位圆x 2 + y 2 = 1上，点Q (2cos θ, 2sin θ)满足PQ =（32,34-），则OP OQ ⋅ = ___________.三、解答题：本大题6个小题，共74分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤.(17) 解不等式231||1x x -<-(18) 某公交公司对某线路客源情况统计显示，公交车从每个停靠点出发后，乘客人数及频（II ）全线途经10个停靠点，若有2个以上（含2个），乘客人数超过18人的概率大于0.9，公交公司就要考虑在该线路增加一个班次，请问该线路需要增加班次吗？ (19) 在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为正三角形，1AB AA a ==，11112BAC B AC π∠=∠=。

（I ）求证：1AA BC ⊥；（II ）把四棱锥111A BCC B -绕直线BC 旋转到'''A BB C C -，使平面ABC 与平面''BB C C 重合，试求旋转过的角的余弦值。

(20) 已知锐角α，β满足2sin β=sin （2α+β）且α+β≠2π. ABCA 1B 1C 1 A ＇B ＇C ＇（I ）求证：tan (α+β)=3tan α （II ）设y =tan β, x=tan α, α∈[4π，2π]试求函数y =f (x )的最大值(21) 设S n 为数列{a n }的前n 项和，如果S n =2a n －3n +5. （I ）证明：数列{a n +3}是等比数列；（II ）是否存在正整数p 、q 、r （p <q <r ）使得p ,q , r 和S p ，S q ，S r 同时成等差数列？若存在，求出p 、q 、r 的值，若不存在，请说明理由。

(22) （Ⅰ）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，过F 作垂直于x 轴的直线与椭圆交于点M 、N ，相应的准线与x 轴交于点H ，求证：∠MHN 为锐角,且直线MH 与椭圆有且仅有一个公共点。

（Ⅱ）请针对抛物线y =)0(22>p px ，类比（I ），写出一个真命题．．．（不要求给出证明过程）。

（Ⅲ）动直线l 与（Ⅱ）中抛物线交于不同的两点A 、B ，满足AF =m BF （m ∈R ）,抛物线在点A 处的切线为l 1，在点B 处切线l 2，切线l 1与l 2交点为T ，求证：点T 在准线上。

数学试题参考答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应的评分细则。

二、对解答题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不在给分。

三、解答右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。

四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数。

一、选择题（每小题5分，满分60分）1、D2、C3、B4、B5、D6、 C7、A8、B9、A 10、C 11、C 12、A 二、填空题（每小题4分，满分16分） 13、 ； 14、4π ； 15、（6，0）； 16、 2518. 三、解答题17（本题满分12分） 解：原不等式可化为01||)2|)(|1|(|<--+x x x ……………………………………………4分∵|x |+1>0恒成立 ∴（|x |－2）（|x |－1）<0 …………………………5分 ∴1<|x |<2 ……………………………………………………………8分 ∴－2<x <－1或1<x <2 …………………………………………11分 ∴原不等式的解集为{x |－2<x <－1或1<x <2} ……………………… 12分（18）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.1+0.15+0.25+0.2=0.7 …………………………………………………4分 (Ⅱ)从每个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为0.20+0.20+0.1=0.5 ……………………………………………………… 6分 途经10个停靠点，没有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率为00101011()(1)22C - ……………………………………………………7分途经 10个停靠点，只有一个停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率1191011()(1)22C - ………………………………………9分所以，途经10个停靠点，有2个以上（含2个）停靠点出发后，乘客人数超过18人的概率 P =1－0101011()(1)22C -－C 110（21）（1－21）9=1－10915022-=9.01024973>…………11分 ∴该线路需要增加班次。

答：（Ⅰ）每个停靠点出发后，乘客人数不超过24人的概率约为0.7(Ⅱ) 该线路需要增加班次 ………………………………………………12分 （19）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）∵A 1C 1∥AC ，∠BA 1C 1=90°∴A 1B ⊥AC ……………………………………………………………………2分 同理A 1C ⊥AB过A 1作A 1H ⊥底面ABC ，H 为垂足，连接CH 、BH 、AH由三垂线定理的逆定理 BH ⊥AC ，CH ⊥AB …………………………………………4分 ∴H 为△ABC 的垂心 ∴AH ⊥BC由三垂线定理 AA 1⊥BC …………………………………………………………………6分 (Ⅱ) 即求二面角B 1―BC ―B ′大小的余弦值∵AA 1∥BB 1，由（Ⅰ）知B B 1⊥BC ，从而BB ′⊥BC∴∠B 1BB ′为二面角B 1―BC ―B ′的平面角……………………………………………9分 且有BB ′∥AH （在底面内AH 、BB ′同垂直于BC ）∴∠B 1BB ′=∠A 1AH （∠B 1BB ′与∠A 1AH 的两边分别平行，且方向相同） ∵△ABC 为正三角形 ∴H 为△ABC 的中心 ∵1AB AA a ==在Rt △A 1AH 中，cos ∠A 1AH=12()323AH AA a ⨯== ∴cos ∠B 1BB ′=3………………………………………………………………………12分 （20）（本题满分12分） 解：（Ⅰ）由条件有2sin [(α+β)－α]=sin [(α+β)+ α] 由两角和差的正弦公式有2sin (α+β)cos α－2cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+ cos (α+β)sin α整理得：sin (α+β)cos α=3 cos (α+β)sin α…………………………………………3分 ∵α、β为锐角，且α+β≠2π ∴cos α·cos (α+β)≠0两边同除以cos α·cos (α+β)得 tan (α+β)=3tan α…………………………………6分 （II ）tan β=tan [(α+β) －α]=tan()tan 1tan()tan αβααβα+-++=23tan tan 13tan ααα-+=αα2tan 31tan 2+∴ y =2312xx+∵α∈[2,4ππ] ∴x =tan α∈[1，+∞] ……………………………………………9分 假设x 1，x 2∈[1，+∞)，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)=121213x x +－222312x x +=)31)(31()13)((222212112x x x x x x ++-- ∵1≤x 1<x 2<+∞∴x 2－x 1>0且3x 1x 2－1>0 又（1+3x 21）(1+3x 22)>0 ∴f (x 1)－f (x 2)= 211222122()(31)0(13)(13)x x x x x x -->++ ∴f (x 1)>f (x 2)∴ f (x )在[1，+∞）上是减函数 ∴当x =1时，f (x )达到最大值f (1)= 21131122=⨯+⨯.………………………………………12分（21）（本题满分12分） 解：（I ）由条件a n +1=S n +1－S n =[2a n +1－3(n +1)+5]－(2a n －3n +5)=2a n +1－2a n －3…………………………3分 ∴a n +1=2a n +3 ∴a n +1+3=2(a n +3)∴{a n +3}是等比数列…………………………………………………………………6分 （II ）注意到a 1=S 1，在条件中取 n =1,得 a 1=－2 ∴a n +3=(a 1+3) ×2n －1=2n－1∴a n =2n －1－3 代入条件得S n =2n －3n +1……………………………………………………………8分 假设满足条件的正整数p 、q 、r 存在 则2p r q +=┈①2p r q S S S +=┈②由②得（2p －3p +1）+(2r －3r +1)=2(2q －3q +1)即2p +2r －3(p +r )=2×2q －6q将①代入得2p +2r =2q +1……………………………………………………………………10分 假设等差数列p 、q 、r 公差为d ，则q =p +d , r =p +2d ， d ∈N * ∴代入上式有2p +2p +2d =2p +d +1 两边同除以2p ，得1+22d =2d 即(2d －1)2=0，∴2d =1 ∴d =0，与d ∈N *矛盾∴满足条件的p 、q 、r 不存在. …………………………………………………………12分 （22）（本题满分14分） 解： （I ）a =2, b =3， c =1，左焦点F (－1, 0)，左准线方程x =－4 ∴H （－4，0）………………………………………………………1分将x =－1代入22143x y +=，得M (－1，23)，N （－1，－23）………………………2分 K MH =121)4(1023<=----∴∠MHF <4π 由对称性可知∠MHN <2π………………………………………………………………3分 直线MH 方程为y =21(x +4)，即y =21x +2代入22143x y +=，消去y 并整理得 x 2+2x +1=0 该方程得判别式△=0∴直线MH 与椭圆只有一个公共点，即为点M ……………………………………5分 （II ）若抛物线y =)0(22>p px 的焦点为F ，过F 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点M 、N ，准线与y 轴交于点H ，则∠MHN 为直角,且直线MH 与抛物线有且仅有一个公共点. (7)分（Ⅲ）法一：即证T 点纵坐标y =－2p 由()AF BF m R AF BF →→→=∈知……………………………………………………8分设A （2pt 1, 2pt 21），B （2pt 2, 2pt 22）, (t 1≠t 2), 直线l 1、l 2的斜率分别为k 1、k 2211(2,2)2p AF pt pt →=-，→BF =(2pt 2 ,2pt 22－2p) ∴2pt 1(2pt 22－2p )－2pt 2(2pt 221p -)=0，即2p 2(t 1－t 2)(4t 1t 2+1)=0∵p >0, t 1≠t 2 ∴4t 1t 2+1=0 ， 即t 1t 2=－41┈①………………………………10分记f (x )= 22x p ,则f ′(x ) =(22x p)′=x p∴k 1= f ′(2pt 1) =2t 1……………………………………………………11分 直线l 1的方程为 y －2pt 21=2t 1(x －2pt 1) 即y =2t 1x －2pt 21┈②同理l 2：y =2t 2x －2p t 22┈③……………………………………………………………12分 ②×t 2－③×t 1并将①代入消去x 得：（t 2－t 1）y =2p（t 1－t 2） ∵t 1≠t 2 ∴y =－2p ∴点T 在准线上。

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