立体几何限时练4+5

江苏省黄埭中学高二数学限时训练（4）一．填空题（每题5分，共8题）1. 已知直线a、b和平面α，那么能得到a∥b的条件有_____ ②___．(填序号)①a∥α，b∥α；② a⊥α，b⊥α；③bα且a∥α；④ a、b与α成等角．2.已知A、B表示不同的点，l表示直线，α、β表示不同的平面，则下列推理错误的是________．①A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α；②A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB；③l⊄α，A∈l⇒A∉α；④A∈α，A∈l，l⊄α⇒l∩α＝A.答案③3.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．答案2 34.平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．答案 55.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为________．56.平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．答案1或47.空间四边形ABCD中，各边长均为1，若BD＝1，则AC的取值范围是________．答案(0，3)8.如图是一正方体的表面展开图，B、N、Q都是所在棱的中点，则在原正方体中，①AB与CD相交；② MN∥PQ；③ AB∥PE；④ MN与CD异面；⑤ MN∥平面PQC.其中真命题的是________(填序号)．答案：①②④⑤二．解答题（每题15分，共两题）1. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，已知BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，求证：C 1B ⊥平面ABC.证明：由AB ⊥侧面BB 1C 1C ，得AB ⊥BC 1，在△BC 1C 中，BC ＝1，CC 1＝BB 1＝2，∠BCC 1＝π3，由余弦定理有 BC 1＝BC 2＋CC 21－2·BC·CC 1·cos ∠BCC 1 ＝1＋4－2×2×cos π3＝3，故有BC 2＋BC 21＝CC 21，∴ C 1B ⊥BC.而BC ∩AB ＝B 且AB 、BC 平面ABC ，∴ C 1B⊥平面ABC.2．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥面ABC ，∠ABC ＝90°，AE ⊥PB 交PB 于E ，AF ⊥PC 交PC 于F ，求证：(1) BC ⊥平面PAB ； (2) AE ⊥平面PBC ； (3) PC ⊥平面AEF. 证明：(1) ∵PA ⊥平面ABC ，BC 平面ABC ，∴PA ⊥BC.又∠ABC ＝90°，即BC ⊥AB.又PA ∩AB ＝A ，PA 面PAB ，AB 面PAB ，∴BC ⊥平面PAB.(2) ∵BC ⊥平面PAB ，AE 平面PAB ，∴BC ⊥AE.又AE ⊥PB ，PB ∩BC ＝B ，PB 面PBC ，BC 平面PBC ，∴AE ⊥平面PBC.(3) ∵AE ⊥平面PBC ，PC 平面PBC ，∴AE ⊥PC.又AF ⊥PC ，AE ∩AF ＝A ，AE 面AEF ，AF 面AEF ，∴PC ⊥平面AEF.江苏省黄埭中学高二数学限时训练（5）一．填空题（每题5分，共8题）1. 设m 、n 表示不同直线，α、β表示不同平面，则下列结论中正确的是________．(填序号) ①若m ∥α，m ∥n ，则n ∥α②若m ⊂α，n ⊂β，m ∥β，n ∥α，则α∥β ③若α∥β，m ∥α，m ∥n ，则n ∥β ④若α∥β，m ∥α，n ∥m ，n ⊄β，则n ∥β 答案 ④2.过三棱柱ABC —A 1B 1C 1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB 1A 1平行的直线共有________条． 答案 63. 已知,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面。

下列命题： ①若,,||,||,l m l m ααββ⊂⊂则||αβ； ②若,||,,l l m αβαβ⊂=则||l m ；③若||,||,l αβα则||l β； ④若,||,||,l m l ααβ⊥则m β⊥. 其中真命题是 （写出所有真命题的序号）. ②④ 4.下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行． 答案 ③5.对于不重合的两个平面α与β，给出下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都平行于γ； ②存在直线l ⊂α，直线m ⊂β，使得l ∥m ；③存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β. 其中可以判定α与β平行的条件的个数为________． 答案 26.在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是__________． 答案 平行或异面7. 给出下列关于互不相同的直线l 、m 、n 和平面α、β、γ的三个命题： ①若l 与m 为异面直线，l ⊂α，m ⊂β，则α∥β； ②若α∥β，l ⊂α，m ⊂β，则l ∥m ；③若α∩β＝l ，β∩γ＝m ，γ∩α＝n ，l ∥γ，则m ∥n . 其中真命题的个数为________． 答案 18. 下面四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是________．(填图形对应的序号)答案 ①②二．解答题（每题15分，共两题）1.如图，ABD ∆和BCD ∆都是等边三角形，E F O 、、分别是AD BD AC 、、的中点，G 是OC 的中点；（1）求证：BD FG ⊥； （2）求证：//FG 平面BOE 。

证明：（1）连接AF 和CF ，因为F 为BD 的中点，ABD ∆和BCD ∆都是等边三角形，所以BD AF ⊥，BD CF ⊥， 又AFCF F =，所以BD ⊥平面AFC ，又FG ⊂平面AFC ， 所以BD FG ⊥。

（2）设BE 和AF 交于点H ，连接OH ，在等边三角形ABD ∆中，E F 、分别是AD BD 、的中点， 所以H 为重心，23AH AF =， 又O 为AC 中点，G 是OC 的中点，所以23AO AG =， 在三角形AFG 中，23AH AOAF AG==， BACDE F GOH所以//HO FG ，又FG ⊄平面BOE ，HO ⊂平面BOE ， 所以//FG 平面BOE 。

2. 如图，在四面体ABCD 中，CD CB =，BD AD ⊥，点E ，F 分别是AB ，BD 的中点．(1) EF ∥平面ACD(2)求证：平面EFC ⊥平面BCD ；江苏省黄埭中学高二数学限时训练（6）一．填空题（每题5分，共8题） 1.以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数为____1____．2．给出下列关于两条不相同的直线a,b 和两个不同的平面α、β的四个命题：其中正确的个数是__________13. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，下列结论中，正确的结论是________(只填序号)． ①AD 1∥BC 1 ②平面AB 1D 1∥平面BDC 1 ③AD 1∥DC 1 ④AD 1∥平面BDC 1 答案 ①②④4. 设α，β，γ是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．②④5. 已知两条直线,m n ，两个平面,αβ，给出下面四个命题：①//,m n m n αα⊥⇒⊥ ②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ ③//,////m n m n αα⇒ ④//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥其中正确命题的序号是 （1）（4）6. 设,,l m n 表示不同直线，αβγ，，表示不同平面，下列命题正确的个数是： ． 2 ①若m ∥l ，且.m α⊥则l α⊥； ②若,,,m l n αββγγα===且n ∥β,则l ∥m ；③若,,l m n αββγγα===，则l ∥m ∥n ；④若m ∥l ，且m ∥α.则l ∥α.7. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断：①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，剩余的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题____________________________． 答案 ①③④⇒②(或②③④⇒①)8. 设βα,为两个不重合的平面，n m ,是两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊂m ，α⊂n ，//m β，//n β，则//αβ； ②若,,βα⊂⊂m n βα与相交且不垂直，则m n 与不垂直； ③若,,m m n αβαβ⊥=⊥，则n ⊥β；④若βαα//,,//⊥n n m ，则β⊥m ．其中所有真命题的序号是 ▲ ④ ．（写出所有真命题的序号） 二．解答题（每题15分，共两题）1.如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC,已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B 与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点． (1) 求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2) 若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC.证明：(1) 连结AC 1，因为M 为A 1B 与AB 1的交点，所以M 是AB 1的中点．又N 为棱B 1C 1的中点，所以MN ∥AC 1.又AC 1平面AA 1C 1C ，MN 平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C.(2) 由AC ＝AA 1，则四边形AA 1C 1C 是正方形，所以AC 1⊥A 1C.因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC.因为BC 平面ABC ，所以CC 1⊥BC.因为∠ACB ＝90°，所以AC ⊥BC.因为CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以BC ⊥AC 1.又AC 1平面AA 1C 1C ，MN ∥AC 1，所以MN ⊥A 1C ，MN ⊥BC.又BC ∩A 1C ＝C ，所以MN ⊥平面A 1BC.2. 如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点． 求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面P AD .证明 (1)如图，在△P AD 中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD.又因为EF⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.(2)连结BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.因为平面P AD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面P AD.又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面P AD.。