理论力学15分析静力学(精)

束条件称为运动约束。
例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。
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几何约束： y A r
运动约束： v A r 0
(x A r 0)
2、定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束。 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。 前面的例子中约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约束。
分析力学的奠基人是拉格朗日。他在1788年发表了名 称为《分析力学》的著作。在该著作中，拉格朗日以能量 和功为基本量，使用数学分析方法导出了具有普遍意义的 拉格朗日动力学方程，开创了力学的新的重要分支。
理论力学引Fra bibliotek言在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系 的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的 平衡问题。 分析静力学的基本原理是虚位移原理，它从位移和功的 概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该方法适用于研究 任意质点系的平衡问题，是研究平衡问题的最一般的方法。
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例如：车轮沿直线轨道作纯滚动， x A r 0 是微分方程，但
经过积分可得到 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。
x A r C （常数），该约束仍为完整约束。
非完整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 4、单面约束和双面约束 在两个相对的方向上同时 对质点或质点系进行运动限制
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例1 曲柄连杆机构中，可取曲柄OA的转角为广义坐标，则：
x A r cos , y A r sin xB r cos l 2 r 2 sin 2 , y B 0
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第十一章 分析静力学基础
§11–1 分析力学基本概念
§11–2 虚位移、虚功、理想约束
§11–3 虚位移原理
§11–4 以广义坐标表示的虚位移原理 、广义力 §11–5 保守系统平衡的稳定性
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§11-1
一、约束和约束方程
分析力学基本概念
限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。 将约束的限制条件以数学方程来表示，则称为约束方程。 例如：
通常，n 与 s 很大而k 很小。为了确定质点系的位置，用 适当选择的k 个参数（相互独立），要比用3n个直角坐标和s个 约束方程方便得多。 用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐标。 广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x, y, z, s 等）也可以取角位移（如 , , , 等）。在完整约束情 况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。
其自由度为 k=3n-s 。 确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数目，称
为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。 例如, 前述曲柄连杆机构例子中, 确定曲柄连杆机构位置的四 个坐标xA、yA、xB、yB须满足三个约束方程,因此有一个自由度。
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四、广义坐标 一般地，质点系的自由度
k 3n s
理论力学
分析力学概述
牛顿力学以力、位移、速度、加速度等矢量为基本量。 故又称矢量力学。牛顿力学一般取单个质点或刚体为研究对 象，以建立坐标、矢量在坐标轴上投影的方法求解。 这种求解方法对质点或刚体个数少的不甚复杂的力学系 统可以得到满意的结果，且直观性较强。但对于质点或刚体 个数较多的复杂系统的力学问题，取单个物体为研究对象就 会出现约束力多、方程多、求解困难的问题。
例如：重物M由一条穿过固定圆环的细绳
系住。初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。 x2+y2=( l0 -vt )2 约束方程中显含时间 t
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3、完整约束和非完整约束 如果在约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束） 而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中 含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程 积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整 约束方程只能以微分形式表达。 如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程 中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为 有限形式，则这类约束称为完整约束。
zB 0
yc r 0 c r x
二、约束的分类 根据约束的形式和性质，可将约束划分为不同的类型，通 常按如下分类： 1、几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。
如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几
何约束。 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约
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分析力学取标量形式的能量和功为基本量。采用广义 坐标、广义速度、虚位移等描述系统的运动状态，从能量 和功等基本量出发，取整个系统为研究对象，建立系统主 动力之间的联系，从而避免了复杂系统中各质点或刚体之 间的众多约束力问题，使求解更便捷、更规范。
分析力学在处理复杂系统的力学问题，以及过渡到 非力学现象方面比牛顿力学更优越。
曲柄连杆机构
平面单摆
x2 y 2 l 2
x A2 y A2 r 2
( xB xA )2 ( yB y A )2 l 2 , yB 0
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y A x A tant zA 0
yA 0 zA 0 ( x B vt ) y l
2 2 B 2
( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 l 2 zA 0 zB 0 A yB y A y xA xB x A
刚杆
的约束称为双面约束。只能限
制质点或质点系单一方向运动 的约束称为单面约束。 x2 +y2 =l 2 x2 +y2 <l 2
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双面约束的约束方程为等式，单面约束的约束方程为不等 式。 我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况， 其约束方程的一般形式为（s为质点系所受的约束数目，n为质 点系的质点个数）
f j ( x1 , y1 ,z1; ;xn , yn ,zn )0
( j 1,2, ,s)
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三、自由度 一个自由质点在空间的位置：（ x, y, z ) 3个
一个自由质点系在空间的位置：( xi , yi , zi ) (i=1,2……n) 3n个
对一个非自由质点系，受s个完整约束，（3n-s )个独立坐标。