北师大版八年级数学上册备课课时练习课件4.2一次函数与正比例函数
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157.19.北师大版八年级数学上册4.2 一次函数与正比例函数(课件)
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
…… …… ……
余
飞
恰惆壶红拾夜飘忆，酒世
生 茫 茫 。
只 叹 伊 人 已 去 ，
雪 ， 茫 然 又 一 岁
举 杯 独 醉 ， 饮 罢
如 流 年 负 了 青 春
怅 泪 溶 了 雪 ，
月 光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮 一
弹 指 雪 花 ？ 谁 痴
解: y=0.03×(x-3 500) (3500<x<5000)
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？ 解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）. (3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月 工资是多少元？
解:设此人本月工资是x元，则 19.2=0.03×(x-3500), x=4140. 答:此人本月工资是4140元.
解：（1）y=0.5x； （2）把y=10代入y=0.5x中，得10=0.5x. 解得x=20，即收割完这块麦田需要20小时.
7.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其 速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位： s）的函数解析式; 解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数.
（3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速 度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3.
解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数.
例2：已知函数y＝(m－5)xm2－24＋m＋1. (1)若它是一次函数，求m的值； (2)若它是正比例函数，求m的值．
4.2一次函数与正比例函数-2024-2025学年初中数学八年级上册(北师版)上课课件
课堂小结
若两个变量x,y间的对应关系可以表示成 y=kx+b（k，
b 是常数，k≠0）的形式，则称y是x的一次函数.
一
次
例函
函数
数与
正
比
定义
一次函数y=kx+b（k，b 是常数，k≠0），当 b=0 时，
变为 y=kx，这时称y是x正比例函数.
①寻找等量关系（有时直接将公式当做等量关
列一次函
数关系式
并且以每小时 45 公里的速度匀速行驶，t 小时后张三距离乙地
s 公里，请写出 s 和 t 的函数解析式，并计算 3 小时后，s 的值
为多少？
解：每小时行驶 45 公里，t 小时行驶了45t 公里.
函数解析式为 s = 150 -
10
45t(0≤t≤ ).
3
当 t =3 时，s =150-45×3 =15.
2.点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，则 a 的值为（ B ）.
A. 2
B. 8
C. -2
D. -8
解：因为点 A（3，a）在函数 y=x+5 的图象上，所以
a=3+5=8. 故应该选 B.
学习目标
1.理解正比例函数和一次函数的概念，能根据所给条件
或情境写出正比例函数和简单的一次函数的关系式.
答：y=3+0.5x.
3
4
5
4.5
5
5.5
例2 某辆汽车油箱中原有油60L,汽车每行驶50km耗油6L.
(1) 完成下表：
汽车行使路程
x/km
耗油量y/L
0
0
50
100
150
200
八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数课件(新版)北师大版
3.若y=(m-2)x+ m2 -4是关于(guānyú)x的正比例函数，则=-m2
(guānyú)x的≠一2次函数，则m
.
；若它是关于
第八页，共24页。
【例1】写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否(shì fǒu)为x的一次函数？ 是否(shì fǒu)为正比例函数？
(1)汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程y(km)与行驶时间x(h)之间的关系. (2)圆的面积y (cm2)与它的半径x (cm)之间的关系. (3)某水池有水15cm3，现打开进水管进水，进水速度为 5m3/h，x h后这个水池内有水y m3
第十九页，共24页。
【解析( jiě xī)】（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（ｘ－5）×2.6＝2.6ｘ－3. （2）因为x＝8>5 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）．
第二十页，共24页。
4．（益阳·中考(zhōnɡ kǎo)）我们知道，海拔高度每上升1 km，温度下降6℃. 某时刻，益阳地面温度为20℃，设高出地面x km处的温度为y℃. (1)写出y与x之间的函数关系式. (2)已知益阳碧云峰高出地面约500 m，求这时山顶的温度大约是多少℃？ (3)此刻，有一架飞机飞过益阳上空，若机舱内仪表显示飞机外面的温度为34℃，求飞机离地面的高度为多少千米.
（
）√
）√
第十四页，共24页。
2. x -2 -1 0 1 2 … y -5 -2 1 4 7 …
根据上表写出y与x之间的关系式是：y=3x+1 ，可 判断(pànd是uàn)y____x的一次函数(填“是”或“不是”).
第十五页，共24页。
1．（南充·中考）如图，小球从点A运动到点B，速度(sùdù)
北师版初中数学八年级上册精品教学课件 第4章 2一次函数与正比例函数
解 (1)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1是一次函数,所以m2-24=1,且m-5≠0.
由m2-24=1,解得m=±5.
由m-5≠0,得m≠5.所以m=-5.
(2)因为 y=(m-5)
2 -24
+n+1 是正比例函数,
所以m2-24=1,n+1=0,且m-5≠0.
由m2-24=1,且m-5≠0,得m=-5.
(2)因为小颖家四月份的水费不超过34.5元,五月份的水费超过34.5元,
所以当y=27.6时,3.45x=27.6,解得x=8;
当y=58.65时,4.83x-13.8=58.65,解得x=15.
15-8=7(吨).
所以,小颖家五月份比四月份节约用水7吨.
本
课
结
束
由n+1=0,解得n=-பைடு நூலகம்.
【误区警示】
判断一个函数是一次函数或正比例函数,不仅要考虑自变量的次数等于1,
还不能忽视自变量的系数不能等于0这一条件.
知识点二
列关系式表示一次函数关系
【例2】 为了鼓励居民节约用水,某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每
户家庭的水费:每月用水量不超过10吨时,按每吨3.45元计费;每月用水量超
一次函数
2
一次函数与正比例函数
核心·重难探究
知识点一
一次函数的概念
2 -24
+n+1 .
【例1】 已知函数 y=(m-5)
(1)若它是一次函数,求m的值;
(2)若它是正比例函数,求m,n的值.
思路分析 (1)一次函数中自变量x的次数等于几?x的系数有什么限制条件?
北师大版八年级数学上册：4.2 一次函数与正比例函数 课件(共31张PPT)
的一对对应值即可确定k值。
从方程角度看，如果三个量x、y、k中已知其中 两个量，则一定可以求出第三个量。
1.画函数图象需要经历哪些步骤？ 列表、描点、连线。 2.你能依据这些步骤画出以上正比 例函数的图象吗？
O
在（0，0）与（1，1）之间描出二十等分点，画出y=x的图象的一段； （表格在前面的基础上加下列）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h后， 是否已经过了距始发站 1100km 的南京站？
思考下列问题： 1. y 300t 中，变量和常量分别是什么？其对
应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？ 3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3） 呢？
形式上是一个一次单项式，单项式系数就是
比例系数k。
5.正比例函数 y kx （常数 k 0）的自变量x的 取值范围是什么？（4）的函数自变量的取值范围有 何不同？
一般情况下正比例函数自变量取值范围为一切实 数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同。
6.如何理解y与x成正比例函数？反之， y kx （k
差。
c 7t 2（ 5 20 t 25）
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方 法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得 差是G的值。
G h 105
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括 月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）。
时与之对应的自变量的值。
从图象上看，方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。
观察下面这几个不等式：
（1） 3x 2 2 （2） 3x 2 0 （3）3x 2 1
从方程角度看，如果三个量x、y、k中已知其中 两个量，则一定可以求出第三个量。
1.画函数图象需要经历哪些步骤？ 列表、描点、连线。 2.你能依据这些步骤画出以上正比 例函数的图象吗？
O
在（0，0）与（1，1）之间描出二十等分点，画出y=x的图象的一段； （表格在前面的基础上加下列）
（3）京沪高铁列车从北京南站出发 2.5 h后， 是否已经过了距始发站 1100km 的南京站？
思考下列问题： 1. y 300t 中，变量和常量分别是什么？其对
应关系式是函数关系吗？谁是自变量，谁是函数？
2.自变量与常量按什么运算符号连接起来的？ 3.（1）与（2）之间有何联系？（2）与（3） 呢？
形式上是一个一次单项式，单项式系数就是
比例系数k。
5.正比例函数 y kx （常数 k 0）的自变量x的 取值范围是什么？（4）的函数自变量的取值范围有 何不同？
一般情况下正比例函数自变量取值范围为一切实 数，但在特殊情况下自变量取值范围会有所不同。
6.如何理解y与x成正比例函数？反之， y kx （k
差。
c 7t 2（ 5 20 t 25）
（2）一种计算成年人标准体重G（单位：kg）的方 法是：以厘米为单位量出身高值h，再减常数105，所得 差是G的值。
G h 105
（3）某城市的市内电话的月收费额y（单位：元）包括 月租费22元和拨打电话xmin的计时费（按0.1元/min收取）。
时与之对应的自变量的值。
从图象上看，方程的解是函数图象与x轴交点的横坐标。
观察下面这几个不等式：
（1） 3x 2 2 （2） 3x 2 0 （3）3x 2 1
4.2 一次函数与正比例函数(课件)北师大版数学八年级上册
所以y＝x＋2 1是一次函数，但不是正比例函数.
(3)y＝3x2－x(3x－2)
知1－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(4)
y=－
3 x
因为 y=－ 3x中， － 3x不是整式，所以它不是一次函数 .
知1－练
方法点拨：判断函数是否为一次函数的方法 : 先 看函数关系式是否是整式的形式，再 将函数关系式进行恒等变形，然后看 它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ， b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 .
为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
特别提醒
知1－讲
◆一次函数y＝kx＋b(k ≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3) 常数项b可以是任意实数.
◆函数是一次函数⇔函数关系式为y＝kx＋b(k，b
是常数，k ≠ 0).
知1－练
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
2. 一次函数与正比例函数的关系
知1－讲
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋
b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数
都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式
知2－练
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月 后这棵树的高度为 y( cm) .
解：由题意，得 y=2x+50， 所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .
(3)y＝3x2－x(3x－2)
知1－练
解：因为y＝3x2－x(3x－2)＝2x，k＝2，b＝0，
所以它是一次函数，也是正比例函数.
(4)
y=－
3 x
因为 y=－ 3x中， － 3x不是整式，所以它不是一次函数 .
知1－练
方法点拨：判断函数是否为一次函数的方法 : 先 看函数关系式是否是整式的形式，再 将函数关系式进行恒等变形，然后看 它是否符合一次函数关系式 y=k x+b(k ， b 为常数， k ≠ 0)的结构特征 .
为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0).
特别提醒
知1－讲
◆一次函数y＝kx＋b(k ≠0) 的结构特征：
(1)k ≠ 0；
(2)自变量x的次数是1；
(3) 常数项b可以是任意实数.
◆函数是一次函数⇔函数关系式为y＝kx＋b(k，b
是常数，k ≠ 0).
知1－练
例1 下列函数中，哪些是一次函数？哪些又是正比例函数？
2. 一次函数与正比例函数的关系
知1－讲
(1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋
b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数
都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.
(2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx
(k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式
知2－练
(3)一棵树现在高 50 cm，每个月长高 2 cm， x 个月 后这棵树的高度为 y( cm) .
解：由题意，得 y=2x+50， 所以 y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数 .
北师大版八年级数学上册第四章42一次函数与正比例函数课件
1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之 间的关系； 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式； 3、经历一般规律的探索过程、发展抽象思维能力； 4、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展 数学应用能力。
1、什么是函数?函数有哪些表示方式?
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定 一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是 x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
问题1.某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂 物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 (2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
问题 2.某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行 驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路 0 程x/km
50 100 150 200 300
耗油量y/L 0
6 12 18 24 36
(2) 你能写出x与y的关系吗?
(3) 你能写出油箱的剩余油量z（L）与汽车行驶路程 x(km)之间的关系吗?
例1 .写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km) 与行驶时间x(h)之间的关系;
解：y=60x y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
例1 .写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （2）一棵树现在高50cm,每个月长高2cm,x月后这棵 树的高度为ycm.
1、什么是函数?函数有哪些表示方式?
在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定 一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称y是 x的函数,其中x是自变量,y是因变量.
问题1.某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂 物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg， 4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 (2)你能写出x与y之间的关系吗？
y=3+0.5x
问题 2.某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行 驶50 km耗油6 L.
(1) 完成下表：
汽车行使路 0 程x/km
50 100 150 200 300
耗油量y/L 0
6 12 18 24 36
(2) 你能写出x与y的关系吗?
(3) 你能写出油箱的剩余油量z（L）与汽车行驶路程 x(km)之间的关系吗?
例1 .写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km) 与行驶时间x(h)之间的关系;
解：y=60x y是x的一次函数,也是x的正比例函数.
例1 .写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断: y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （2）一棵树现在高50cm,每个月长高2cm,x月后这棵 树的高度为ycm.
北师大版八年级数学上册4.2一次函数与正比例函数(教案)
在实际问题中的应用方面，学生们表现出较高的兴趣，但他们在建立数学模型时仍存在一定难度。针对这一情况，我采用了分组讨论和实验操作的方式，让学生们亲身体验从实际问题中抽象出数学模型的过程。通过这种方式，他们能够更好地理解一次函数和正比例函数在实际生活中的应用。
在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了许多有创意的想法。我在这个过程中扮演了一个引导者的角色，适时地提出问题，引导他们进行深入思考。从成果分享来看，学生们对一次函数与正比例函数的理解有了明显提高。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：展示不同k值的正比例函数图像，说明k值对图像斜率的影响。
（3）一次函数与正比例函数在实际问题中的应用，如线性关系的数据分析、趋势预测等。
-举例：分析某商品销售额与时间的关系，利用一次函数进行趋势预测。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像的斜率和截距的物理意义，以及如何从图像中读取这些信息。
-难点解析：学生可能难以将图像的几何特征与函数表达式中的参数联系起来，需要通过图示和实例来强化理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与正比例函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距；而正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx，它通过原点。这两个概念在描述现实世界的线性关系方面具有重要意义。
在小组讨论环节，学生们积极参与，提出了许多有创意的想法。我在这个过程中扮演了一个引导者的角色，适时地提出问题，引导他们进行深入思考。从成果分享来看，学生们对一次函数与正比例函数的理解有了明显提高。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数与正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-举例：展示不同k值的正比例函数图像，说明k值对图像斜率的影响。
（3）一次函数与正比例函数在实际问题中的应用，如线性关系的数据分析、趋势预测等。
-举例：分析某商品销售额与时间的关系，利用一次函数进行趋势预测。
2.教学难点
（1）理解一次函数图像的斜率和截距的物理意义，以及如何从图像中读取这些信息。
-难点解析：学生可能难以将图像的几何特征与函数表达式中的参数联系起来，需要通过图示和实例来强化理解。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一次函数与正比例函数的基本概念。一次函数是形如y=kx+b的函数，其中k为斜率，b为截距；而正比例函数是特殊的一次函数，形如y=kx，它通过原点。这两个概念在描述现实世界的线性关系方面具有重要意义。
4.2 一次函数与正比例函数 北师大版八年级上册数学习题课件
9．某天通过高速公路收费站的汽车中，共有3000辆次缴了通行费，其中大车每辆 次缴费20元，小车每辆次缴费10元．设这一天小车缴通行费的辆次为x，总的通行费 收入为y元．
(1)试写出y关于x的函数关系式(不用体现x的取值范围)，y是x的一次函数吗？是正 比例函数吗？
(2)若这一天小车缴通行费的辆次为1000，则这天的通行费收入是多少元？ 解：(1)y＝10x＋20(3000－x)＝－10x＋60000，y是x的一次函数，但不是x的正比例 函数 (2)当x＝1000时，y＝－10×1000＋60000＝50000(元).即若这一天小车缴通行费的 辆次为1000，则这天的通行费收入为50000元
(2)李明身上仅仅有14元，乘出租车到科技馆的费用够不够？请说明理由．
解：(1)由题意，得y＝8＋1.8(x－3)＝1.8x＋2.6(x>3)
(2)当x＝6时，y＝1.8×6＋2.6＝13.4＜14，∴乘出租车到科技馆的费用够用
15．某电信公司手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须 缴月租费50元，另外每通话1分钟收费0.4元；B类收费标准如下：没有月租费，但每 通话1分钟收费0.6元．
8．写出下列各题中x与y的关系式，并判断y是否是x的正比例函数． (1)电报收费标准是每个字0.1元，电报费y(元)与字数(x)之间的函数关系式； (2)地面气温是28 ℃，如果每升高1 km，气温下降6 ℃，则气温y(℃)与升高的高度 x(km)的关系． 解：(1)y＝0.1x，是正比例函数 (2)y＝28－6x，不是正比例函数
14．某校组织学生到距离学校6 km的市科技馆参观，学生李明因事没能乘上学校 的包车，于是准备在学校门口乘出租车去科技馆．出租车的收费标准如下：
北师大版八年级上册数学4.2 一次函数与正比例函数 课件 (共16张PPT)
y=3+0.5x ，
先独立完成——小组长组织交流
1.观察上面实际问题中所得函数关系式，完成下面问题。 （1）这些函数关系式在形式上的共同点？
y=0.12x，
z=60－0.12x
（2）若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的
一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
1.独立思考，认真完成 2.把握好时间；8分钟。
（3分钟完成，3分钟批阅，2分钟统计合格人数）
达标检测必做题和选做题答案
1.（2），（3），（5）; （ 3） , （ 5 ） . 2.(1) y=15+5x (2)当y=30时，30=15+5x,解得x=3 3 即进水3小时后水池内有水30 m 3.K=3
亲爱的学生，你们好！ 亲爱的孩子，你们好！ 辛勤的耕耘将会化为累累硕果。为了那丰收的时刻， 辛勤的耕耘将会化为累累硕果。为 让我们一起拼搏。
m3
一加十，十加百，百加千千万， 你帮我，我帮你， 大家心相连 ，同舟嘛共济课改路， 号子嘛一喊，研讨 路。希望我们的兴平教育大发展呀！
了那丰收的时刻，让我们一起拼搏。 勤奋是舟，规律是桨，老师导航，顺利抵港。 请铭记：勤奋是舟，规律是桨，老 师导航，顺利抵港。 把握生命里的每一分钟
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg，
4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表： x/kg y/cm 0 1 2 3 4 5
3
3.5
4
ห้องสมุดไป่ตู้
4.5
5
5.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？ y=3+0.5x
先独立完成——小组长组织交流
1.观察上面实际问题中所得函数关系式，完成下面问题。 （1）这些函数关系式在形式上的共同点？
y=0.12x，
z=60－0.12x
（2）若两个变量 x、y之间的关系可以表示成 y=kx+b(b为常数，k≠0）的形式，则称y是x的
一次函数.（x为自变量，y为因变量.）
1.独立思考，认真完成 2.把握好时间；8分钟。
（3分钟完成，3分钟批阅，2分钟统计合格人数）
达标检测必做题和选做题答案
1.（2），（3），（5）; （ 3） , （ 5 ） . 2.(1) y=15+5x (2)当y=30时，30=15+5x,解得x=3 3 即进水3小时后水池内有水30 m 3.K=3
亲爱的学生，你们好！ 亲爱的孩子，你们好！ 辛勤的耕耘将会化为累累硕果。为了那丰收的时刻， 辛勤的耕耘将会化为累累硕果。为 让我们一起拼搏。
m3
一加十，十加百，百加千千万， 你帮我，我帮你， 大家心相连 ，同舟嘛共济课改路， 号子嘛一喊，研讨 路。希望我们的兴平教育大发展呀！
了那丰收的时刻，让我们一起拼搏。 勤奋是舟，规律是桨，老师导航，顺利抵港。 请铭记：勤奋是舟，规律是桨，老 师导航，顺利抵港。 把握生命里的每一分钟
(1)计算所挂物体的质量分别为 1 kg， 2 kg， 3 kg，
4 kg， 5 kg时的长度，并填入下表： x/kg y/cm 0 1 2 3 4 5
3
3.5
4
ห้องสมุดไป่ตู้
4.5
5
5.5
(2)你能写出x与y之间的关系吗？ y=3+0.5x
北师大版八年级上册第4.2一次函数与正比例函数(教案)
另外，教学过程中，我对学生们的鼓励和表扬还不够，导致部分学生在面对困难时显得不够自信。在以后的教学中，我要更加关注学生们的情感需求，多给予鼓励和支持，帮助他们建立自信心。
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
最后，课后我会对今天的课堂教学进行总结，找出不足之处，不断优化教学方法，以提高教学效果。同时，我也会关注学生们的反馈，了解他们在学习过程中的需求和困难，以便更好地调整教学内容和进度。
5.情感与价值观：通过数学知识在实际生活中的应用，让学生体会数学的价值，增强学习数学的兴趣和信心，培养积极向上的学习态度。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数概念的理解：强调一次函数y=kx+b（k≠0）中，k和b的含义及其对图像的影响，确保学生理解函数表达式中每个参数的核心作用。
-图像与性质的关联：通过分析一次函数的图像，让学生掌握斜率k的正负与图像走势的关系，以及截距b在图像上的表现。
-正比例函数的特殊性：明确正比例函数是一次函数的特殊情况，即b=0的情况，理解其图像始终通过原点的特点。
-函数应用能力的培养：通过实际问题的引入，让学生学会将现实问题抽象为一次函数模型，并运用函数性质解决问题。
举例：讲解一次函数的应用时，可以引用实际案例，如“小明骑自行车旅行，速度恒定，时间为t小时，行程为s公里，建立s与t的函数关系”。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，用尺子和直角坐标系，让学生们手动绘制一次函数的图像。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“一次函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调一次函数的斜率k和截距b这两个重点。对于难点部分，我会通过案例和图像来帮助大家理解，比如斜率k如何影响图像的斜率和y值的变化。
北师大版初中八年级数学上册第四章一次函数2一次函数与正比例函数课件
第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
基础过关全练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念 1.(2024福建三明期末)在下列函数中,是正比例函数的是 ( C) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1 解析 根据正比例函数的定义知选C.
2.(2023江苏徐州月考)已知函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, 则m,n满足 ( A ) A.m≠2,n=-4 B.m=2,n=4 C.m=2,n=-4 D.m≠2,n=4 解析 ∵函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, ∴m-2≠0且-n-4=0,解得m≠2,n=-4,故选A.
费恰好为10 000元.请问:该商店继续购进了多少件航天模型 玩具? 解析 (1)依题意得y=1 000(x-50)=1 000x-50 000. (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有(m+ 1 000)件航天模型玩具. 依题意得(m+1 000)(60-50)×20%=10 000, 解得m=4 000. 答:该商店继续购进了4 000件航天模型玩具.
解析 (1)由题意可得, 方案一中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=4x. 方案二中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=5×3+5×0.7(x-3)=3.5x+4.5. (2)王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适. 理由:当x=20时, 方案一的花费为4×20=80(元),方案二的花费为3.5×20+4.5 =74.5(元),
.
(2)在(1)的条件下,设某户月用水量为x m3,应交水费为y(元),
写出y与x之间的关系式.
2 一次函数与正比例函数
基础过关全练
知识点1 一次函数与正比例函数的概念 1.(2024福建三明期末)在下列函数中,是正比例函数的是 ( C) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x D.y=2x2+1 解析 根据正比例函数的定义知选C.
2.(2023江苏徐州月考)已知函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, 则m,n满足 ( A ) A.m≠2,n=-4 B.m=2,n=4 C.m=2,n=-4 D.m≠2,n=4 解析 ∵函数y=(m-2)x-n-4是正比例函数, ∴m-2≠0且-n-4=0,解得m≠2,n=-4,故选A.
费恰好为10 000元.请问:该商店继续购进了多少件航天模型 玩具? 解析 (1)依题意得y=1 000(x-50)=1 000x-50 000. (2)设该商店继续购进了m件航天模型玩具,则总共有(m+ 1 000)件航天模型玩具. 依题意得(m+1 000)(60-50)×20%=10 000, 解得m=4 000. 答:该商店继续购进了4 000件航天模型玩具.
解析 (1)由题意可得, 方案一中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=4x. 方案二中,购买的种子数量x(千克)(x>3)和付款金额y(元)之间 的函数关系式是y=5×3+5×0.7(x-3)=3.5x+4.5. (2)王伯伯要买20千克玉米种子,选方案二合适. 理由:当x=20时, 方案一的花费为4×20=80(元),方案二的花费为3.5×20+4.5 =74.5(元),
.
(2)在(1)的条件下,设某户月用水量为x m3,应交水费为y(元),
写出y与x之间的关系式.
北师大版八年级数学上册 4.2 一次函数与正比例函数(共18张PPT)
练一练
3.下列语句中,具有正比例函数关系的是( C).
A. 长方形花坛的面积不变, 长y与宽 x 之间的关系; B. 正方形的周长不变, 边长 x与面积 S 之间的关系; C. 三角形的一条边不变, 这条边上的高h与S之间的关系; D. 圆的面积为S , 半径为r , S 与r 之间的关系.
练一练
公 司 日 产 3200吨 熟 料水泥 生产线 项目的 顺利投 产,和日 产5000吨 项目 的快速建设,宁 东 粉 磨 站 的 正常运 行离不 开广大 员工的 艰辛付 出,离不 开各级 领导、 事业同 仁以及
一次函数
正比例函数
正比例函数是特殊的一次函数。
火眼金睛
1.在函数(1)y = —3x ，（2）y=x-5, (3) S=-4t， (4) y=2-3x ,（5）y=2x （6） y=2x2-3x,中
汽车行驶路 程x/千米
0
50
100 150 200 300
邮箱剩余油 量P/升
60
54
48
42 36 24
（3）你写出油箱剩余油量P(L)与汽车行驶路程x(km)之间 的关系式__P_=_6_0_－__0_.1_2_x_.
试一试 例2 某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法计算水
费：每户每月用水不超过10 m3 时，每立方米按1.5元计费; 每户每月用水超过10 m3 时，其中的10 m3 仍按原标准收费，
是一次函数的是 (2) (3) (4) (5) ,是正比例函数是 (3) (5) .
2.当m= -1 时,函数 y (m1)x m - 3 是关于x的一次函数.
试一试
例1 写出下列各题中的关系式，并判断：y是否为x 的一次函数？是否为正比例函数？
北师大版八年级数学上册课件：4.2一次函数与正比例函数(共16张PPT)
（1）汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程为y(千米)与行驶时间x(时)之间的关系。
月收入低于3500元的部分不收税;月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……
缴费多少元？ 3、某弹簧称的自然长度为3 厘米.
（3）某水池有水15立方米，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x小时后这个水池内有水y立方米.
之间的关系式； 3、函数y=(m+1)x+(m-2),当m 时，它是一次函数，当m= 时，它是正比例函数函数，
在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克,弹簧长度y增加 0. 在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克,弹簧长度y增加 0.
（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应 (3) 你能写出Z与x之间的关系式吗?
例题2
……个人…工…资、薪金所得税征收办法 月收入低于3500元的部分不收税; 月收入超过3500元但低于5000元 的部分征收3%的所得税……
(1)若某人月收入3860元，则超出3500元的部分是_3_6_0_ 元，他应缴所得税为1_0__.8_元.
(2)若某人月收入x元(x大于3500而又小于5000)，则超 出3500元的部分是（__X_-3_5_0_0_）_元，你能写出应缴所得税 y（元）与月收入x（元）之间的关系式吗？
费，但每通话1分钟交费0.4元. 1、能举例说明什么是一次函数、正比例函数。
(1)若某人月收入3860元，则超出3500元的部分是____元，他应缴所得税为____元.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分） 比例函数的是 .
1、一般地，在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称 是 的函数.
月收入低于3500元的部分不收税;月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……
缴费多少元？ 3、某弹簧称的自然长度为3 厘米.
（3）某水池有水15立方米，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x小时后这个水池内有水y立方米.
之间的关系式； 3、函数y=(m+1)x+(m-2),当m 时，它是一次函数，当m= 时，它是正比例函数函数，
在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克,弹簧长度y增加 0. 在弹性限度内,所挂物体的质量x每增加1千克,弹簧长度y增加 0.
（2）某手机用户这个月通话时间为152分，他应 (3) 你能写出Z与x之间的关系式吗?
例题2
……个人…工…资、薪金所得税征收办法 月收入低于3500元的部分不收税; 月收入超过3500元但低于5000元 的部分征收3%的所得税……
(1)若某人月收入3860元，则超出3500元的部分是_3_6_0_ 元，他应缴所得税为1_0__.8_元.
(2)若某人月收入x元(x大于3500而又小于5000)，则超 出3500元的部分是（__X_-3_5_0_0_）_元，你能写出应缴所得税 y（元）与月收入x（元）之间的关系式吗？
费，但每通话1分钟交费0.4元. 1、能举例说明什么是一次函数、正比例函数。
(1)若某人月收入3860元，则超出3500元的部分是____元，他应缴所得税为____元.
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系式；
（1）写出每月应缴费用y（元）与通话时间x（分） 比例函数的是 .
1、一般地，在某个变化过程中,有两个变量x和y,如果给定一个x值,相应地就确定一个y值,那么我们称 是 的函数.
4.2 一次函数与正比例函数 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
重
难
题
型
突
破
思路点拨
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4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
解题通法 根据正比例函数的定义确定字母的值时 ，
重
难
题 需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
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4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
■考点二
返回目y 是 x 的函数；（2）
数关系式
分析题中等量关系列出关于变量 x 和 y 的方
的一般步
程；（3）用含 x 的代数式表示 y；（4）根
骤
据实际问题的意义注意自变量 x 的取值范围
根据列出的函数关系式还可以解决给定自变
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
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对点典例剖析
考
点
清
典例 1 下列函数 ：①y = -2x + 1，②y= ，③y=
单
解 （x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1
的正比例函数
4.2 一次函数与正比例函数
返回目录
续表
考
点
清
单
解
读
（1）一次函数关系式 y=kx+b（k≠0）的条件
k≠0 千万不能忽视；（2）正比例函数是特殊的一
注意
次函数，但一次函数不一定是正比例函数；（3）
一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体
难
题
型
突
破
思路点拨
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4.2 一次函数与正比例函数
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解题通法 根据正比例函数的定义确定字母的值时 ，
重
难
题 需使比例系数和自变量的指数同时符合条件.
型
突
破
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4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
■考点二
返回目y 是 x 的函数；（2）
数关系式
分析题中等量关系列出关于变量 x 和 y 的方
的一般步
程；（3）用含 x 的代数式表示 y；（4）根
骤
据实际问题的意义注意自变量 x 的取值范围
根据列出的函数关系式还可以解决给定自变
是不是不为 0.
4.2 一次函数与正比例函数
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对点典例剖析
考
点
清
典例 1 下列函数 ：①y = -2x + 1，②y= ，③y=
单
解 （x-3），④y=2x2+1中，一次函数有 _____ 个，正比例函
读
数有 ______ 个.
4.2 一次函数与正比例函数
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ 3 1
的正比例函数
4.2 一次函数与正比例函数
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续表
考
点
清
单
解
读
（1）一次函数关系式 y=kx+b（k≠0）的条件
k≠0 千万不能忽视；（2）正比例函数是特殊的一
注意
次函数，但一次函数不一定是正比例函数；（3）
一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体
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3. 下列各关系中，符合正比例关系的是( A ) A. 正方形的周长C和它的边长a B. 距离s一定时，速度v和时间t
C. 圆的面积S和圆的半径r
Hale Waihona Puke D. 正方体的体积V和棱长a
4.下列函数：(1)y＝4x＋3；(2)y＝－x； (3)y＝ 1 x ；
2
(4)y＝x2；(5)y＝1－x，其中一次函数有(C A.1个 B.2个 C.3个
4.2
一次函数与正比例函数
学习目标
1. 理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之 间的关系.
2. 能根据所给条件写出简单的一次函数表达式.
课前预习
1. 函数y1＝－2x和y2＝－3x，当y1＝y2时，x＝
0
.
2.下列函数中，y是x的一次函数的有 ① . 1 1 2 ①y＝x－6；②y＝2x ＋3；③y＝ ；④y＝ ； x x2 ⑤y＝5；⑥y＝x2.
D. y＝x＋30
解析
本题考查的是用一次函数解决实际问题. 设
甲、乙两个水桶中已各装了m(L)，n(L)水，由“若将 甲中的水全倒入乙后，乙水桶可再装20 L的水”得y ＝m＋n＋20；由“若将乙中的水倒入甲，装满甲水 桶后，乙还剩10 L的水”得x＝m＋n－10. 两式相减 得y－x＝30，即y＝x＋30. 故选D. 答案 D
新知 3
一次函数与正比例函数的应用
【例3】有甲、乙两个大小不同的水桶，容量分别为 x(L)，y(L)，且已各装一些水.若将甲中的水全倒入乙 后，乙水桶可再装20 L的水；若将乙中的水倒入甲， 装满甲水桶后，乙还剩10 L的水，则x，y的关系式是
(
)
A. y＝20－x B. y＝x＋10
C. y＝x＋20
数的是(
A. ①⑤ C. ②⑤ 解析
)
B. ①④⑤ D. ②④⑤
解题关键是掌握一次函数的定义条件. 一次函
数y＝kx＋b的定义条件是：k，b为常数，k≠0，自
变量次数为1. 根据一次函数的定义条件逐一分析，①
是一次函数；②自变量次数不为1，故不是一次函数； ③自变量次数不为1，故不是一次函数；④是常数函 数；⑤是一次函数. 故选A. 答案 A
新知 2
一次函数与正比例函数的关系
当y＝kx＋b中的b＝0时，得y＝kx，我们称y是x
的正比例函数，所以正比例函数是特殊的一次函数. 我们可以说正比例函数是一次函数，但不能说一次 函数是正比例函数. 【例2】在下列函数中，x是自变量，哪些是一次函数？ 哪些是正比例函数？ 1 (1)y＝3x；(2) y ；(3)y＝－3x＋1；(4)y＝x2. x
举一反三 一根弹簧不挂重物时长14 cm，挂上重物后伸长的 长度与所挂重物的质量成正比.如果挂上1 kg的重物 后，弹簧伸长2 cm，求弹簧总长y(单位：cm)随所挂 物体质量x(单位：kg)变化的函数关系.
y＝2x＋14
解析
这类判断题，应严格按照有关函数的定义，
看函数是不是可以表示为规定的形式. 解 一次函数有(1)y＝3x和(3)y＝－3x＋1.其中(1)y ＝3x还是正比例函数，(2)(4)既不是一次函数，也不是
正比例函数.
举一反三 已知函数 y ＝ (m － 3)x3 － |m| ＋ m ＋ 2 ，当 m ＝ _____ ±2 时， 它是一次函数；当m＝ _____ -2 时，它是正比例函数.
) D.4个
名师导学
新知 1
一次函数的概念
若两个变量x，y之间的关系式可以表示成y＝kx＋b(k， b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(x是自变量). 注意：一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两 个变量x，y的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式.
2 【例1】下列函数关系式：①y＝－2x；② y ； x ③y＝－2x2；④y＝2；⑤y＝2x－1. 其中属于一次函