2.4用公式法进行因式分解
2.4用因式分解法求解一元二次方程
1
正确理解用因式分解法求解一元二次方程的实质.
2
能熟练应用提公因式法、公式法解一元二次方程．
3
了解因式分解法是解一元二次方程时优先选用的.
问题1：用配方法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题2：用公式法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题3：什么叫因式分解，因式分解共有几种方法？ 问题4：你能从AB=0（A、B表示因式）得出什么？
2 2
用因式分解法解下列方程. (1256．
2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用适当方法解下列方程 （1）x －4x＋3＝0； （2）(2t＋3) ＝3(2t＋3)； （3）x －2x－3＝0．
2 2 2
达标检测 提升自我
A 组： 1．方程(x－16)(x＋8)＝0 的根是 2．方程 t(t＋3)＝28 的解为_______． 3．用适当方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）x2－6x＋9＝0． B 组： 4．解方程(x＋1)2＋4(x＋1)＝－4． 5．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864． ．
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
解 : 设这个数为x 依题意得：x 2 3 x 两边都同时约去x, 得：x 3
题目：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数为x，根 据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3．
必做题： 习题 2.7 第 1 题（1） （3）第 2 题（2） （4） ． 选做题： 习题 2.7 第 3 题．
谢谢观赏！
初中数学北师大版九年级上册《2.4 用因式分解法求解一元二次方程》课件
当 Δ=b2 - 4 ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ=b2 - 4 ac＜ 0 时，方程没有实数根．
新知讲解
探究：一个数的平方与这个数的 3 倍有可能相等吗？如果相等，
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
（x +1+5）（x +1-5）=0．
x + 2 = 0，或 x - 2 = 0．
x +1+5 = 0，或 x +1-5 = 0．
∴ x1 = -2， x2 = 2
∴ x1 = -6， x2 = 4
注意：1.善于借用乘法公式进行因式分解.
2.整体思想
课堂练习
1．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( A )
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16.
课堂总结
1、什么是因式分解法？
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两个一次因
式的乘积时，我们就可以利用因式分解的方法求解．这种解一元二
次方程的方法称为因式分解法．
2、因式分解法求解一元二次方程的一般步骤？
(1)整理方程，使其右边为0；
于分解成两个一次因式的乘积的
形式，再进行求解．
如果a·b＝0，那么a=0或b=0.
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x．
但他们的解法各不相同．
新知讲解
x2-3x=0,
即x(x-3)=0,
于是x=0，或x-3=0
当一元二次方程的一边为 0，而另一边易于分解成两
公式法求因式分解
公式法求因式分解
在研究一元二次方程时，关于因式分解的概念是考虑的重头戏。
因式分解是将一个多项式拆分成最简单的多项式乘积形式，也就是各个项都是单项式。
因式分解也是解决一元二次方程的重要基础，是求解多项式比较难以求解的情况下有用的一个系统化的方法。
那么，公式法求因式分解又是怎样的过程呢？
公式法求因式分解，是以一元二次方程为基础，根据定理，使用“一元二次方程的系数定义”，得出“一元二次方程的根的公式”。
一元二次方程的系数定义是a\times X^2+b\times X+c=0, 其中a, b, c为常数， X为未知数。
这里定义了a, b, c，接下来要求出该方程的根，即X的值。
左右乘以一个该方程本身的共轭乘数①，这里定义共轭乘数为D，再由共轭乘数定义得出一元二次方程的根的公式：X1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}；X2=\frac{-b-
\sqrt{b^2-4ac}}{2a}。
由此，我们可以把一元二次方程分解成多项式乘积，也是因式分解的过程：(X-X1)(X-
X2)=0，那么，X=X1或X=X2。
可以看到：X-X1=0 即X1=X；X-X2=0即X2=X，因此：X^2-X1X-X2X+X1X2=0，等号后面正好是一个一元二次方程，也就是说原来的多项式可以分解成2个单项式的乘积。
因此，通过使用公式法求因式分解，可以将一元二次方程精确拆分出多项式的单项式，为求解一元二次方程的根提供了可靠的基础。
有了因式分解的这种方法，可以精确求解一元二次方程的根，从而进一步探究一元二次方程的解以及其对开变换的运用。
由此可见，公式法求因式分解在研究一元二次方程时发挥着十分重要的作用。
北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》说课稿
北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学上《2.4用分解因式法求解一元二次方程》这一节主要介绍了用分解因式法求解一元二次方程的方法。
学生在学习了方程的解法之后，已经掌握了一元一次方程和一元二次方程的一些基本解法，如配方法，公式法等。
但是，对于一些特殊的一元二次方程，如x²=0或x²=1等，用配方法和公式法求解会比较繁琐。
而用分解因式法求解则可以简化运算，提高解题效率。
因此，本节课的学习对于学生来说，既有挑战性，又有实用性。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对一元二次方程的基本解法有一定的了解。
但是，对于用分解因式法求解一元二次方程，大部分学生可能还没有接触过。
因此，学生对于这一节的内容既有好奇心，又有一定的挑战性。
另外，学生在这个阶段的学习中，已经形成了自己的学习习惯和方法，对于新的学习内容，他们更希望老师能给予他们足够的引导和实践的机会。
三. 说教学目标1.让学生掌握用分解因式法求解一元二次方程的基本步骤。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：用分解因式法求解一元二次方程的基本步骤。
2.教学难点：如何引导学生发现和运用分解因式法求解一元二次方程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主探究和发现用分解因式法求解一元二次方程的方法。
2.教学手段：利用多媒体课件，展示一元二次方程的图像，帮助学生直观地理解一元二次方程的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的一元二次方程，让学生尝试用已学的解法去求解，从而引出本节课的主题。
2.自主探究：让学生分组讨论，尝试用分解因式法去求解一元二次方程，并总结出解题步骤。
3.讲解：教师根据学生的探究结果，进行讲解和归纳，明确用分解因式法求解一元二次方程的步骤。
4.练习：让学生独立完成几个类似的一元二次方程的求解，巩固所学知识。
因式分解知识点
因式分解知识点因式分解是数学中重要的基础知识之一。
它是指将一个多项式表示成若干个一次或多次幂的乘积的形式。
因式分解在数学中有广泛的应用，例如解方程、计算极限、构建数据模型等等。
本文旨在深入探讨因式分解的相关知识点。
一、基本概念1.1 多项式与因式：多项式是由常数、变量和幂次依次相乘所得的代数式，如$x^2+2x+1$。
因式是一种可以被一个数或一个代数式整除的代数式，如$x+1$是$x^2+2x+1$的因式。
1.2 因数与因式分解：在数学中，一个数$a$能够被另一个数$b$整除，即$a=bn$，则称$b$是$a$的因数。
因式分解是指将一个代数式写成各个因数的乘积的形式。
二、因式分解方法2.1 提公因式法：提公因式法是指先提取出多项式中的公因式，然后将公因式与剩余项相乘得到原多项式。
例如，$3x^3+6x^2=3x^2(x+2)$。
2.2 分组分解法：分组分解法是指将多项式中的项分成两组，使得每组之间可以找到一个公因式，然后将两组分别提取出公因式后合并得到原多项式。
例如，$x^2+2xy+y^2= (x+y)^2$。
2.3 短除法：短除法是将多项式中的项按某个因式进行除法运算后得到商式，将商式再按另一因式进行除法运算，直到多项式无法再做除法为止。
例如，$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。
2.4 公式法：公式法是指利用一些基本公式对多项式进行因式分解。
例如，$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$。
三、应用3.1 解高次方程：因式分解可以方便地解决高次方程，如 $x^2-5x+6=0$可以因式分解为$(x-2)(x-3)=0$，从而得到解$x=2$和$x=3$。
3.2 计算极限：因式分解可以化简复杂的代数式，从而方便计算极限，如$\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^3-27}{x^2-9}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x+3)(x-3)}=\lim\limits_{x\rightarrow3}\dfrac{x^2+3x+9}{x+3}=12$。
青岛版八年级上册数学教材内容
第一章轴对称与轴对称图形1.1 我们身边的轴对称图形1.2线段的垂直平分线
1.3角的平分线
1.4等腰三角形
1.5成轴对称图形的性质
1.6镜面对称
1.7简单的图案设计
第二章乘法公式与因式分解2.1平方差公式
2.2完全平方公式
2.3用提公因式法进行因式分解2.4用公式法进行因式分解
第三章分式
3.1分式的基本性质
3.2分式的约分
3.3分式的乘法于除法
3.4分式的通分
3.5分式的加法与减法
3.6比和比例
3.7分式方程
第四章样本与估计
4.1普查与抽样调查
4.2样本的选取
4.3加权平均数
4.4中位数
4.5众数
4.6用计算器求平均数
第五章实数
5.1算术平方根
5.2勾股定理
5.3无理数2是有理数吗
5.4由边长判定直角三角形
5.5平方根
5.6立方根
5.7方根估算
5.8用计算器求平方根和立方根5.9实数
第六章一元一次不等式
6.1不等关系和不等式6.2一元一次不等式6.3一元一次不等式组。
2023因式分解教案_3
2023因式分解教案2023因式分解教案篇1教学目标:1.知识与技能:掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题的能力.2.过程与方法:经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.3.情感态度与价值观:通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.教学重、难点:用提公因式法和公式法分解因式.教具准备:多媒体课件(小黑板)教学方法:活动探究法教学过程:引入:在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就是因式分解.什么叫因式分解?知识详解知识点1 因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做把这个多项式分解因式.【说明】 (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.例如:(2)因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.怎样把一个多项式分解因式?知识点2 提公因式法多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的公因式.ma+mb+mc=m(a+b+c)就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式是各项的公因式m,另一个因式(a+b+c)是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如:x2-x=x(x-1),8a2b-4ab+2a=2a(4ab-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解?为什么?(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x); (2)x2-2x+3=(x-1)2+2;(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1); (4)xn(x2-x+1)=xn+2-xn+1+xn.典例剖析师生互动例1 用提公因式法将下列各式因式分解.(1) -x3z+x4y; (2) 3x(a-b)+2y(b-a);分析:(1)题直接提取公因式分解即可,(2)题首先要适当的变形, 再把b-a化成-(a-b),然后再提取公因式.小结运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.(2)如果出现像(2)小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
2.4 分解因式法解一元二次方程教案
授课时间
课
型
新授
教学设计 教学环节 教师活动
教师提问： 1、我们已经学过 了几种解一元二次方
学生活动
设计意图
以问题串的形 式引导学生思考， 回忆三种解一元二 次方程的方法，有
一、回顾与复 习
程的方法? 2.什 么叫分解 因 式?
学生独立完成
利于学生衔接前后 知识，形成清晰的 知识脉络，为学生 后面的学习作好铺 垫。
2
正。
(仿照引 2、学生分组讨论： 这 两个 题实际 上我 们在前几节课时解过， 当
例题讲解 中,第一题学生 独自完成, 考察 了学生对引例的
例学生自行解决) (2)x-2=x(x-2); （师生共同解决） (3)x +6x-7=0 (师生共同解决)
2
时我们用的是开平方法， 掌握情况, 便于 现在用的是因式分解法。 及时反馈。第 2、 由此可知： 一个一元二次
课 后2. 反 思
3.
肯定地表扬和鼓励增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题 的意识,帮助学生形成积极主动的求知态度 这节课的“拓展延伸”环节让学生切实体会到方程在实际生活中的 应用.拓展了学生的思路,培养了学生的综合运用知识解决问题的能力. 本节中应着眼干学生能力的发展,因此其中所设计的解题策略、 思路 方法在今后的教学中应注意进一步渗透,才能更好地达到提高学生数学 能力的目标.
3 题体现了师生
方程的解法可能有多种， 互动共同合作， 我们在选用时，以简便 为主。 2、你能用分解因式法
进一步规范解题 步骤, 进一步规 范解题步骤 ,最 后提出两个问 题。问题 1 体现
三、例题解析
解下列方程吗？ （1）x -4=0 （2）(x+1) -25=0 思考： 问题 1： 这种解法是不是解这 两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法 来解?
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
适用的方程类型
(x+m)2＝n（n ≥ 0） x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0) (x + m) （x + n）＝0
3.用适当的方法解一元二次方程
（1）5（x2 - x）= 3 (x2 + x) ;
解：整理 , 得
一 因式分解法解一元二次方程
例1：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等,
这个数是几？你是怎样求出来的？
小颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得,可得方程 x2 = 3x
小颖的思路：
由方程 x2 = 3x ,得 x2 - 3x = 0
3 9 2
小明的思路：
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x=3. 所以这个数是3.
用因式分解法
解一元二次方程
选用适当的方法解一元二次方程.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法? 你是否还有其它方法来解?
二 选用适当的方法解一元二次方程 例3： 用适当的方法解方程：
（1）3x（x + 5）= 5（x + 5）； （2）（5x + 1）2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因 分析：方程一边以平方形式 式，所以用因式分解法解答较快. 出现，另一边是常数，可直
结论 （1）对于一元二次方程（x - p）（x - q）=0,那么它的两
（2）对于已知一元二次方程的两个实数根为p，q，那么这个
一元二次方程可以写成（x - p）(x - q )=0的形式.
当堂练习 1.快速说出下列方程的解
（1）（4x - 1）(5x + 7) = 0;
用公式法进行因式分解
用公式法进行因式分解因式分解是代数中常见的问题，通过找到多项式的特定因子来将其分解为更简单的形式。
公式法是其中一种常用的方法，可以用于分解各种类型的多项式。
在本文中，我们将详细介绍如何使用公式法进行因式分解，包括一些常见情况的示例和注意事项。
首先，我们来看一下一元二次多项式的因式分解。
一元二次方程的一般形式为ax² + bx + c，其中a，b，c为实数，且a不等于0。
我们的目标是将它分解为两个一次因子的乘积。
一元二次方程的因式分解公式为：ax² + bx + c = (mx + p)(nx + q)其中，mn = a，pq = c，mq + np = b为了说明这个公式的使用，我们举一个例子。
例如，将方程2x²+5x+3分解为两个一次因子的乘积。
解法如下：a=2，b=5，c=3我们需要找到两个因子m和n，它们的乘积等于a，也就是2、同时，我们需要找到两个因子p和q，它们的乘积等于c，也就是3、最后，我们需要找到mq + np的结果等于b，也就是5考虑到这些条件，我们可以选择m=1，n=2，p=1，q=3，并代入公式：2x²+5x+3=(x+1)(2x+3)我们可以验证一下这个结果是否正确，将两个一次因子相乘，然后展开得到原多项式。
另一个需要考虑的情况是一元三次多项式的因式分解。
一元三次方程的一般形式为ax³ + bx² + cx + d，其中a，b，c，d为实数，且a不等于0。
一元三次方程的因式分解公式不像二次情况那么直观，因为它需要考虑更多因子的组合。
我们需要使用因式分解的方法来一步一步地推导出最终结果。
我们以一个例子来说明这个过程。
考虑方程2x³+5x²-3x-2的因式分解。
我们需要找到一个因子为x-r，其中r是一个实数根。
如果这个因子是方程的根，那么代入x的值等于r，方程等式两边都应该等于0。
我们可以使用这个性质来不断尝试各种可能的实数根。
2.4_用因式分解法解一元二次方程
新版北师大九上第二章
下面的解法正确吗？如果不正确， 错误在哪？
解方程 ( x 5)( x 2) 18 解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4. 原方程的解为x1 8或x2 4.
零;
2. 关键是熟练掌握分解因式的知识; 3.理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一 个因式等于零.”
DCZX
新版北师大九上第二章
例
题
1.用分解因式法解方程:(1)5x2=4x; (2)x-2=x(x-2).
解 : 1 5x 2 4x 0, x 5x 4 0. x 0或5x 4 0.
2
公式法 解:x 2 3 x 0
a=1,b=-3,c=0 b2 4ac (3) 2 4 1 0 9 0 3 9 33 x 2 1 2 x1 3, x2 0
3 2 3 (x ) 2 2 3 3 x 2 2 x1 3, x2 0
新版北师大九上第二章
2.4 用因式分解法解一元二次方程
ax bx c 0(a 0)
2
DCZX
新版北师大九上第二章
新课导 入
1用配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为 (x+m)2=n（n≥0） 的形式； ___________________ 一般形式 ； 2.用公式法解一元二次方程应先将方程化为_________
DCZX
(
)
新版北师大九上第二章
随堂练 习
1.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解析：设这个数为x,根据题意,得
2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x-7=0.
2.4用因式分解法求解一元二次方程根(教案)
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与因式分解法求解一元二次方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示因式分解法的基本原理。
-举例：x^2 - 5x + 6 = 0的因式分解过程：x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)。
-重点二：一元二次方程求解后的验根方法。
-强调验根的重要性，确保解的正确性。
-介绍将解代入原方程检验的步骤和方法。
-举例：将求得的解x1 = 2, x2 = 3代入原方程x^2 - 5x + 6 = 0进行验证。
5.激发学生的自主学习与合作交流能力：鼓励学生在课堂上积极思考、主动探索，与同伴进行交流与合作，共同解决问题，提高自主学习能力。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：因式分解法求解一元二次方程的基本原理和步骤。
-明确因式分解的目的是将一元二次方程转化为两个一次因式的积，从而求解。
-强调在因式分解过程中，正确寻找公因式和恰当的分解方法的重要性。
其次，学生在进行因式分解时，有时会忽略掉一些细节，导致最终解得的结果并不正确。这一点提醒我，在讲解过程中，要特别强调每个步骤的重要性，让学生们明白每一步都不能马虎。同时，我也计划在后续的练习中，加入更多的验算环节，让学生们养成自我检查的好习惯。
此外，我发现学生们在小组讨论中，能够主动提出问题、分享解题思路，这是一个非常好的现象。但也有一些学生在讨论中较为沉默，可能是因为他们对自己的观点不够自信。针对这个问题，我打算在以后的课堂中，多给予鼓励和支持，让每个学生都能勇敢地表达自己的看法。
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件2
（2）原式可变形为(3x+2)2-4(x-3)2=0．
分解因式，得[(3x+2)+2(x-3)][(3x+2)-2(x-3)]=0，
即
(5x-4)(x+8)=0．
于是得
5x-4=0，或x+8=0，
x1
4 5
，x2
8．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
解：（1）因式分解，得(x-2)(3-x)=0． 于是，得x-2=0，或3-x=0， 所以， x1=2 , x2=3．
五、课堂练习
7．用因式分解法解下列方程： （1）3(x-2)-x(x-2)=0；（2）(3x+2)2=4(x-3)2；（3）3x(2x+1)=4x+2．
三、探究新知
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数 是几？你是怎样求出来的？
根据题意，设这个数为x，得方程x2=3x． 整理得x2-3x=0 x（x -3）=0 x=0或x -3=0 所以x1=0或x2=3
三、探究新知
像这样，先因式分解，使方程化为两个一次式乘积等于0的 形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元 二次方程的方法叫做因式分解法．
B．x=0
C．x1=0，x2=2 D．x1=0，x2=-2 2．用因式分解法把方程(x-1)(x-2)=12分解成两个一元一次方程，下
用公式法进行因式分解(二)
2.4用公式法进行因式分解（二）【课型】：公式定理课【学习目标】1、理解完全平方公式的结构特点。
2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。
3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。
4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力．通过知识结构图培养学生归纳总结的能力．【重点】用完全平方公式分解因式．【难点】灵活应用完全平方公式分解因式．【教学方法】自主探究合作学习法【学生情况分析】本节课是在学生能够熟练应用平方差公式和完全平方公式进行整式乘法运算的基础上进行的逆向变形，由于学生对于这两个公式掌握的比较牢固，加上学生刚学习了应用平方差公式进行因式分解，因此相信学生能够较好的完成本课的任务学习准备】多媒体课件【导学流程】一、提出问题，创设情境问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验和方法，•分析和推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分解因式的多项式具有什么特点？问题2：把下列各式分解因式．（1）a2+2ab+b2（2）a2-2ab+b2引入本节的课题，明确本节的学习目标。
二、学生自学，独立探究自学任务：1、自学课本43页、44页例2。
2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。
3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。
自学检测：1、因式分解的完全平方公式的表述：两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，•等于这两个数的和（或差）的平方．2、完全平方公式的符号表示．即：a2+2ab+b2=（a+b）2，a2-2ab+b2=（a-b）2．3、下列各式是不是完全平方式？（1）a2-4a+4（2）x2+4x+4y2（3）4a2+2ab+14b2（4）a2-ab+b2（5）x2-6x-9（6）a2+a+0.25（放手让学生讨论，达到熟悉公式结构特征的目的）。
4、把3题中是完全平方式的进行因式分解。
结果：（1）a2-4a+4=a2-2×2·a+22=（a-2）2（3）4a2+2ab+14b2=（2a）2+2×2a·12b+（12b）2=（2a+12b）2（6）a2+a+0.25=a2+2·a·0.5+0.52=（a+0.5）2（2）、（4）、（5）都不是．三、精讲点拨，拓展提高。
2.4 用因式分解法求解一元二次方程演示文稿
1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解,而 右边等于0; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“ab=0,则a=0或b=0 ”
例题解析
解下列方程：
（1） 5X2=4X (2) X-2=X(X-2) (3) (X+1)2-25=0 ⑷ 4x2-4x+1=0
学以致用
1、解下列方程： 0，那么—————————
讲授新知：想一想
2 解方程： 10 x 4.9 x 0
因式分解
探 究
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0。
x 10 4.9x 0
两个因式乘积为 0，说明什么 降次，化为两个一次方程
（1） -3t2+t=0 （2） X2-4=0 （3） 4X(2X+1)=3(2X+1)
例题解析
1、解下列方程：
① x2-3x+2=0 ②
2 3y -y-2=0
⑴ x2+2x-8=0 ⑵ x2-5x+6=0 ⑶ 2y2-y-3=0
③ 5x2+4x-1=0
归纳总结
因式分解法 1、 ax2+c=0====> 直接开平方法 ax2+bx=0====> 因式分解法 因式分解法 2 ax +bx+c=0====> 公式法（配方法）
新北师大版九年级数学（上）
第四节 用因式分解法求解一元二次方程
尚贤中学 孙联刚
回顾与复习
1.我们已经学过了几种解一元二次方程 的方法?
直接开平方法
配方法 公式法
x2=a (a≥0)
b 2 4ac . b 2 4ac 0 . 2a
(x+m)2=n (n≥0)
用公式法进行因式分解
2.4用公式法进行因式分解1、把下列各多项式进行因式分解：（1）a2－b2= （2）a2±2ab+b2= 2、你能说说你算得快的原因吗？把乘法公式：平方差公式：(a+b)(a－b)＝a2－b2完全平方公式：(a±b) 2＝a2±2ab+b2反过来就得到：a2－b2=（a+b)(a－b) a2±2ab+b2＝(a±b) 2做一做例1：分解因式：（1）4a2－9b2 (2)－25a2y4+16b16练习:分解因式：（1）36b4x8－9c6y10（2）81x4－y4例2、分解因式：（1）x2+6ax+9a2（2）－x2－4y2+4xy练习：分解因式：（1）a4x2－4a2x2y+4x2y2 （2）（x+y）2－12（x+y）z+36z2（1）(x+2y)2－(x－2y)2（2）9（a－b）2+6（a－b）+1基础题一、选择题1．下列因式分解正确的是（）A．x2+y2=（x+y）（x－y）B．x2－y2=（x+y）（x－y）C．x2+y2=（x+y）2 D．x2－y2=（x－y）2 2．下列各式不是完全平方式的是（）A．x2+4x+1 B．x2－2xy+y2C．x2y2+2xy+1 D．m2－mn+1 4 n23．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（）A．m2－mn+n2B．（a+b）2－4ab C．x2－2x+14D．x2+2x－14．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x2+4）（x+2）（x－▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，85．若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（）A．8 B．16 C．2 D．4二、填空题6．分解因式：a3－4a=______．7．已知x2－y2=69，x+y=3，则x－y=______．8．把a2b+b3－2ab2分解因式的结果是______．9．请你写一个能先提公因式，再运用公式来分解因式的三项式，并写出分解因式的结果．___________．三、计算题10．分解因式：（x2+4）2－16x2．。
2[2].4用公式法进行因式分解
![2[2].4用公式法进行因式分解](https://img.taocdn.com/s3/m/3f3e0dd2d15abe23482f4dcc.png)
2.4用公式法进行因式分解学习目标：1、进一步理解因式分解与整式的乘法的互逆关系，会用公式法进行因式分解。
2、了解因式分解的一般步骤。
3、通过学生自主探究解题途径，发展学生的观察能力和分析能力。
学习过程：一、问题的提出回忆学过的平方差公式和完全平方公式：（1）（ａ+ｂ）（ａ–ｂ）=（2）（ａ+ｂ）2 =（3）（ａ–ｂ）2 =思考：观察上述算式的左边和右边各有什么特点？二、交流发现：你能把下列多项式写成两个整式的积的形式吗？（1）ａ2 –ｂ2 =（2）ａ2 + 2ａｂ+ｂ2 =（3）ａ2 – 2ａｂ+ｂ2 =（4）（2 x ）2 – 52 =（5）（5 x ）2 + 2 •5 x • 2 + 22 =（6）（3m ）2 – 2 •3m •12 n +（12 n ）2 =总结：像这样，利用 把某些多项式进行因式分解的方法，就叫做公式法。
三、合作探究：1、自学例1，思考：（1）例1 是借助哪一个公式进行因式分解的？（2）说出能运用平方差公式进行因式分解的多项式的特征。
（3）在运用平方差公式进行因式分解时，首先应将各项写成 的形式，然后再在运用平方差公式进行因式分解。
2、自学例2，思考：（1） 例2 是借助哪一个公式进行因式分解的？（2） 怎样验证一个多项式能否运用完全平方公式进行因式分解？四、训练提升：1、选择题（1）多项式ａ2 +ｂ2 ，，ａ2 –ｂ2 ，，–ａ2 +ｂ2 ，–ａ2 –ｂ2 中能用平方差公式进行因式分解的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）在下列多项式中，是完全平方式的是（ ）A ．m 2 +2mn –n 2B ．ａ2 –ａ+ 14C ．x 2 + 2 xy + 4y 2D ．x 4 – 2 xy + 4y 42、填空（1）把x 2 – 4y 2 进行因式分解，得 。
（2）如果100 x 2+ k xy + 49y 2 = （10 x –7 y ）2 ，那么k = 。
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第二章第4节用公式法进行因式分解
郝戈庄初中八年级王春美
一、课前预习：
课本43页---44页。
二、课内探究
（一）、学习目标
1．会用公式法进行因式分解．
2．了解因式分解的一般步骤．
（二）、学习重难点：
学习重难点：用公式法进行因式分解．
（三）、学习准备：
1
学生复习平方差公式和完全平方公式
（四）、学习过程：
1.自主探究
1、乘法公式：（a+b）(a-b)=______________；
（a+b）2 =___________________
2、将以上公式反过来，就得到：
a2－b2 =_____________________；
a2+2ab+b2 =________________________
把2作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
（注意：公式中的字母a和b可以表示任意的数、单项式或多项式）
例1 把下列各式进行因式分解：
2
1b2
（1）4x2–25 (2)16a2 -
9
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
1b2解：（1）4x2–25 (2)16a2 -
9 = =
练习1：把下列各式进行因式分解：
1、课本44页练习1
3
2、（1） a4 -81b4 (2) （m+n）2-（m-n）2
例2 把下列各式进行因式分解：
1n2
(1) 25x2+20x+4 (2) 9m2-3mn+
4
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
（小组讨论交流）
练习2：把下列各式进行因式分解：
1、课本44页练习2
2、(1) x2-ax+9是完全平方公式,则a的值为（）
4
A.6
B.-6
C. 6
D.无法确定
(2) 4x2 +__________xy+25y2 =（2x-5y）2；
（______）+8a+1=（_______+1）2
（小组讨论交流）
挑战自我:
课本44页“挑战自我”
（小组讨论交流）
你们的共识是__________________________;__________________________________ ( 小组交流解决在预习中没有解决的问题)
5
精讲点拨：
（学生到黑板前展示重点问题）
____________________________________________________________________五、小结通过本节课，你学到了什么？说说你的收获。
六、课后检测
1、分解因式：
6
（1）x2－y2
（2）16m2－9n2
(3) m2-2mn+n2
(4) 9m2 - 6mn + n2
2、若多项式4a2 +M 能用平方差公式分解因式，则单项式M=_____________
(写出一个即可)
3、下列代数式：（1）x2 – 4xy + y2；（2）6x2 + 3x + 1；
（3）4x2 - 4x + 1 ；（4）x2 + 4xy + 2y2；
（5）9x2 +16y2 -20xy
能用完全平方公式分解因式的有______________(写序号)
4、分解因式：
（1）- x2 – 2xy - y2；（2）9（a-b）2 - 16（a+b）2
7
课时：第２课时
教学过程：
活动一：做一做
例3:分解因式：（1）－２4x+322x
（2）3a2x－6axy + 3ay2
练习：运用公式法因式分解
（1）(3a+2b)2－(2a+3b)2
（2）（m2+n2+1）2－4m2n2
（3）（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
1（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
（4）
2
解：（1）(3a+2b)2－(2a+3b)2
＝[(3a+2b)+(2a+3b)][(3a+2b)－(2a+3b)]
＝(3a+2b+2a+3b)(3a+2b－2a－3b)
8
＝(5a+5b)(a－b)
＝5(a+b)(a－b)
解：（2）（m2+n2－1）2－4m2n2
＝（m2+n2－1+2mn）（m2+n2－1－2mn）
＝[(m2+2mn+n2）－1][（m2－2mn+n2）－1]
＝[（m+n）2－12][（m－n）2－12]
＝（m+n+1）（m+n－1）（m－n+1）（m－n－1）
.
解：（x2+4x）2+8（x2+4x）+16
＝（x2+4x）2+2（x2+4x）×4+42
＝(x2+4x+4) 2
＝[（x+2）2]2＝（x+2）4
.
1（x2－2y2）2－2（x2－2y2）y2+2y4
解：
2
1[（x2－2y2）2－4（x2－2y2）y2+4y4]
＝
2
1[（x2－2y2）2－2（x2－2y2）（2y2）+（2y2）2] ＝
2
1（x2－2y2－2y2）2
＝
2
1（x2－4y2）2
＝
2
9
1[（x+2y）（x－2y）]2
＝
2
1（x+2y）2（x－2y）2
＝
2
作业
课本习题2.4P46 A3、4.
10。