第十二章 第4节 用公式法进行因式分解
公式法因式分解教案
公式法因式分解教案公式法因式分解教案篇一学习重点：同底数幂乘法运算性质的推导和应用.学习过程：一、创设情境引入新课复习乘方an的意义：an表示个相乘，即an=.乘方的结果叫a叫做，n是问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算?列式为，你能利用乘方的意义进行计算吗?二、探究新知：探一探：1根据乘方的意义填空(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2();(2)55×54=_________=5();(3)(-3)3×(-3)2=_________________=(-3)();(4)a6a7=________________=a().(5)5m5n猜一猜：aman=(m、n都是正整数)你能证明你的猜想吗?说一说：你能用语言叙述同底数幂的乘法法则吗?同理可得：amanap=(m、n、p都是正整数)三、范例学习：【例1】计算：(1)103×104;(2)aa3;(3)mm3m5;(4)xmx3m+1(5)xx2+x2x1.填空：⑴10×109=;⑵b2×b5=;⑶x4x=;⑷x3x3=.2.计算：(1)a2a6;(2)(-x)(-x)3;(3)8m(-8)38n;(4)b3(-b2)(-b)4.【例2】：把下列各式化成(x+y)n或(x-y)n的形式. (1)(x+y)4(x+y)3(2)(x-y)3(x-y)(y-x)(3)-8(x-y)2(x-y)(4)(x+y)2m(x+y)m+1四、学以致用：1.计算：⑴10n10m+1=⑵x7x5=⑶mm7m9=⑷-4444=⑸22n22n+1=⑹y5y2y4y=2.判断题：判断下列计算是否正确?并说明理由⑴a2a3=a6();⑵a2a3=a5();⑶a2+a3=a5();⑷aa7=a0+7=a7();⑸a5a5=2a10();⑹25×32=67()。
分解因式及在实数范围内分解因式
分解因式及在实数范围内分解因式因式分解的常用方法一、提公因式法。
二、运用公式法。
三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式 （二）分组后能直接运用公式四、十字相乘法。
（一）二次项系数为1的二次三项式直接利用公式——))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++进行分解。
(二）二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2（三）二次项系数为1的齐次多项式（四）二次项系数不为1的齐次多项式五、换元法。
六、添项、拆项、配方法。
七、待定系数法。
八、在实数范围内分解因式因式分解巩固提高一．填空题1．如果二次三项式x 2﹣ax+15在整数范围内可以分解因式，那么整数a 的值为（只填写一个你认为正确的答案即可) _________ ．2．把x 2+kx+16分解成两个一次二项式的积的形式，k 可以取的整数是 _________ ．(写出符合要求的三个整数）．3．分解因式：（x+2）（x+4）+x 2﹣4= _________ ．4．因式分解（x+1）4+(x+3）4﹣272= _________ ．5．分解因式:（1﹣7t ﹣7t 2﹣3t 3)（1﹣2t ﹣2t 2﹣t 3）﹣（t+1）6= _________ ．6．分解因式：18ax 2﹣21axy+5ay 2= _________ ．7．若对于一切实数x ，等式x 2﹣px+q=（x+1）（x ﹣2）均成立,则p 2﹣4q 的值是 _________ ．8．在实数范围内分解因式：2x 2﹣8x+5=2（x ﹣)（x ﹣)．此结论是： __ 的． 二．解答题9．分解因式（1）8a 3b 2﹣12ab 3c （2）﹣3ma 3+6ma 2﹣12ma（3）2（x ﹣y ）2﹣x （x ﹣y ） (4）3ax 2﹣6axy+3ay 2 （5）p 2﹣5p ﹣36(6)x 5﹣x 3 （7）（x ﹣1）（x ﹣2)﹣6 （8）a 2﹣2ab+b 2﹣c 210．已知x 2﹣7xy+12y 2=0（y≠0)，求x ：y 的值．11．（1）因式分解 （2x+y ）2﹣（x+2y)2 （2）在实数范围内分解因式x 4﹣9．12．把a 4﹣6a 2+9在实数范围内分解因式．13．把多项式9mx 4﹣6mx 2+m 在实数范围内因式分解．14．已知x 2﹣x ﹣1=0，求﹣x 3+2x 2+2007的值．15．已知四个实数a,b ，c ，d ，且a≠b,c≠d ．若四个关系式：a 2+ac=4，b 2+bc=4，c 2+ac=8，d 2+ad=8同时成立，试求a ，c 的值．16．已知整数a，b满足6ab=9a﹣10b+16，求a+b的值．17．试说明两个连续正偶数的平方差一定能被4整除，但不能被8整除．18．计算:．19．计算：．20．已知：a为有理数，a3+a2+a+1=0，求1+a+a2+a3+…+a2012的值．21．证明：58﹣1能被20至30之间的两个整数整除．22．用因式分解进行计算（1)（2）2.5×19.7+3。
因式分解常用方法及练习
1、用提公因式法把多项式进行因式分解【知识精读】如果多项式的各项有公因式，根据乘法分配律的逆运算，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式。
提公因式法是因式分解的最基本也是最常用的方法。
它的理论依据就是乘法分配律。
多项式的公因式的确定方法是：（1）当多项式有相同字母时，取相同字母的最低次幂。
（2）系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。
下面我们通过例题进一步学习用提公因式法因式分解【分类解析】1. 把下列各式因式分解（1）a xabxacxaxm m mm 2213（2）a ab a b a ab b a ()()()32222分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
解：a xabxacxaxax axbx c x m m mm m 221323()（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n 为自然数时，()()()()a b b a a b b a nn n n 222121；，是在因式分解过程中常用的因式变换。
解：a ab a b a ab ba ()()()32222)243)((]2)(2))[(()(2)(2)(222223b babab aa b b a a b a b a a b a ab b a a b a a 2. 利用提公因式法简化计算过程例：计算1368987521136898745613689872681368987123分析：算式中每一项都含有9871368，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果。
解：原式)521456268123(1368987987136813689875、中考点拨：例1。
因式分解322x x x ()()解：322x xx ()()322231x x xxx ()()()()说明：因式分解时，应先观察有没有公因式，若没有，看是否能通过变形转换得到。
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1
【教案】青岛版数学七年级下册12.4《用公式法进行因式分解(1)》教案1一. 教材分析本节课的主题是“用公式法进行因式分解（1）”，这是青岛版数学七年级下册的教学内容。
因式分解是初中学段数学的重要内容，是解决各种数学问题的基本技能。
通过本节课的学习，学生将掌握因式分解的基本方法，提高解决数学问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的运算、方程的解法等知识，具备了一定的数学基础。
但因式分解较为抽象，需要学生具有一定的逻辑思维能力和转化能力。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对性地进行引导和讲解。
三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解并掌握因式分解的基本概念和方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够培养数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学学习的乐趣，增强对数学学科的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：学生能够掌握因式分解的基本方法，能够运用公式法进行因式分解。
2.难点：学生能够理解因式分解的原理，能够灵活运用公式法进行因式分解。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：教师引导学生发现因式分解的规律，培养学生的自主学习能力。
3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力和交流能力。
六. 教学准备1.教师准备：教师需要熟悉教材内容，了解学生的学习情况，准备相关的教学资源和教学工具。
2.学生准备：学生需要预习教材内容，了解因式分解的基本概念和方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过生活实例引入因式分解的概念，引导学生思考如何将一个多项式分解成几个整式的乘积。
2.呈现（10分钟）教师展示因式分解的定义和基本方法，引导学生发现因式分解的规律。
3.操练（10分钟）教师提出一些因式分解的问题，学生分组讨论，共同解决问题。
初中数学用公式法进行因式分解(含答案)
初中数学用公式法进行因式分解(含答案)用公式法进行因式分解一、填空题(本大题共20小题，共分)1.分解因式：xy2+8xy+16x= ______ ．2.因式分解：4m2-36= ______ ．3.因式分解：2a3-8ab2= ______ ．4.将多项式mn2+2mn+m因式分解的结果是 ______ ．5.把多项式4ax2-9ay2分解因式的结果是 ______ ．6.因式分解：2x2-32x4= ______ ．7.因式分解：a2b-4ab+4b= ______ ．8.分解因式：mx2-4m= ______ ．9.分解因式a2b-a的结果为 ______ ．10.分解因式：2ax2-8a= ______ ．11.分解因式：2m2-8= ______ ．12.分解因式：ma2+2mab+mb2= ______ ．13.分解因式：a2b-b3= ______ ．14.分解因式：x（x-1）-y（y-1）= ______ ．15.分解因式：ax3y-axy= ______ ．16.因式分解：3y2-12= ______ ．17.因式分解：m2n-6mn+9n= ______ ．18.因式分解：a2b-ab+b= ______ ．19.分解因式-a3+2a2b-ab2= ______ ．20.分解因式：a2b+4ab+4b= ______ ．二、计算题(本大题共30小题，共分)21.分解因式（1）a2（a-b）+4b2（b-a）（2）m4-1（3）-3a+12a2-12a3．22.把下列多项式分解因式：（1）6x2y-9xy；（2）4a2-1；（3）n2（n-6）+9n．23.把下列各式因式分解（1）ap-aq+am（2）a2-4（3）a2-2a+1（4）ax2+2axy+ay2．初中数学用公式法进行因式分解(含答案) 24.分解因式：（1）x+xy+xy2（2）（m+n）3-4（m+n）25.因式分解：（1）x（x-2）-3（2-x）（2）x2-10x+25．26.把下列各式进行因式分解：（1）a3-6a2+5a；（2）（x2+x）2-（x+1）2；（3）4x2-16xy+16y2．27.因式分解：（1）x2-y2（2）-4a2b+4ab2-b3．28.分解因式（1）x3-16x（2）8a2-8a+2．29.分解因式：（1）3m4-48；（2）b4-4ab3+4ab2．30.分解因式：（1）2x2-4x（2）a2（x-y）-9b2（x-y）（3）4ab2-4a2b-b3（4）（y2-1）2+6（1-y2）+9．31.分解因式：（1）3a2+6ab+3b2（2）9（m+n）2-（m-n）2．32.因式分解：（1）a（x-y）-b（y-x）（2）3ax2-12ay2（3）（x+y）2+4（x+y+1）33.分解因式：（1）a（x-y）-b（y-x）；（2）16x2-64；（3）（x2+y2）2-4x2y2．34.分解因式（1）4x3y-xy3（2）-x2+4xy-4y2．35.分解下列因式：（1）9a2-1（2）p3-16p2+64p．36.因式分解：（1）x2-10xy+25y2（2）3a2-12ab+12b2（3）（x2+y2）2-4x2y2（4）9x4-81y4．37.将下列各式分解因式（1）16a2b2-1（2）12ab-6（a2+b2）38.把下列各式因式分解（1）4a2-16（2）（x2+4）2-16x2．39.把下列多项式因式分解：（1）x3y-2x2y+xy；（2）9a2（x-y）+4b2（y-x）．40.分解因式（1）x3-xy2（2）（x+2）（x+4）+1．41.因式分解：-3a3b+6a2b2-3ab3．42.把下列各式分解因式：①4m（x-y）-n（x-y）；②2t2-50；③（x2+y2）2-4x2y2．43.因式分解（1）x2-5x-6（2）2ma2-8mb2（3）a3-6a2b+9ab2．44.分解因式：2x2-12x+18．45.分解因式：（1）x3+2x2+x（2）x3y3-xy．46.因式分解：（1）ax2-2ax+a（2）24（a-b）2-8（b-a）47.因式分解：（1）4x2-16y2（2）x2-10x+25．48.分解因式（1）m（a-3）+2（3-a）（2）x2-6x+9．49.因式分解：6xy2-9x2y-y2．50.分解因式（1）x2（a+b）-a-b（2）a3b-2a2b2+ab3（3）y4-3y3-4y2（4）-（a2+2）2+6（a2+2）-9．用公式法进行因式分解答案和解析【答案】（y+4）2（m+3）（m-3）（a+2b）（a-2b）（n+1）2（2x+3y）（2x-3y）（1+4x）（1-4x）（a-2）2（x+2）（x-2）（ab-1）（x+2）（x-2）（m+2）（m-2）（a+b）2（a+b）（a-b）14.（x-y）（x+y-1）（x+）（x-）（y+2）（y-2）（m-3）2（a-）2（a-b）2（a+2）221.解：（1）原式=a2（a-b）-4b2（a-b）=（a-b）（a2-4b2）=（a-b）（a+2b）（a-2b）；（2）原式=（m2+1）（m2-1）=（m2+1）（m+1）（m-1）；（3）原式=-3a（4a2-4a+1）=-3a（2a-1）2．22.解：（1）原式=3xy（2x-3）；（2）原式=（2a+1）（2a-1）；（3）原式=n（n2-6n+9）=n（n-3）2．23.解：（1）原式=a（p-q+m）；（2）原式=（a+2）（a-2）；（3）原式=（a-1）2；（4）原式=a（x2+2xy+y2）=a（x+y）2．24.解：（1）原式=x（1+4y+4y2）=x（1+2y）2；（2）原式=（m+n）[（m+n）2-4]=（m+n）（m+n+2）（m+n-2）．25.解：（1）原式=x（x-2）+3（x-2）=（x-2）（x+3）；（2）原式=（x-5）2．26.解：（1）原式=a（a2-6a+5）=a（a-1）（a-5）；（2）原式=（x2+x+x+1）（x2+x-x-1）=（x+1）2（x+1）（x-1）；（3）原式=4（x2-4xy+4y2）=4（x-2y）2．27.解：（1）原式=（x+y）（x-y）；（2）原式=-b（4a2-4ab+b2）=-b（2a-b）2．28.解：（1）原式=x（x2-16）=x（x+4）（x-4）；（2）原式=2（4a2-4a+1）=2（2a-1）2．29.解：（1）原式=3（m4-16）=3（m2+4）（m+2）（m-2）；（2）原式=b2（b2-4ab+4a）．30.解：（1）原式=2x（x-2）；（2）原式=（x-y）（a2-9b2）=（x-y）（a+3b）（a-3b）；（3）原式=-b（b2-4ab+4a2）=-b（2a-b）2；（4）原式=（y2-1）2-6（y2-1）+9=（y2-4）2=（y+2）2（y-2）2．31.解：（1）原式=3（a2+2ab+b2）=3（a+b）2；（2）原式=[3（m+n）+m-n][3（m+n）-（m-n）]=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）．32.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=3a（x2-4y2）=3a（x+2y）（x-2y）；（3）原式=（x+y）2+4（x+y）+4=（x+y+2）2．33.解：（1）原式=a（x-y）+b（x-y）=（x-y）（a+b）；（2）原式=16（x2-4）=16（x+2）（x-2）；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．34.解：（1）原式=4xy（x2-y2）=4xy（x+y）（x-y）；（2）原式=-（x2-4xy+4y2）=-（x-2y）2．35.解：（1）原式=（3a+1）（3a-1）；（2）原式=p（p2-16p+64）=p（p-8）2．36.解：（1）原式=（x-5y）2；（2）原式=3（a2-4ab+4b2）=3（a-2b）2；（3）原式=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2；（4）原式=9（a2+3y2）（x2-3y2）．37.解：（1）原式=（4ab+1）（4ab-1）；（2）原式=-6（a2-2ab+b2）=-6（a-b）2．38.解：（1）原式=4（a2-4）=4（a+2）（a-2）；（2）原式=（x2+4+4x）（x2+4-4x）=（x-2）2（x+2）2．39.解：（1）原式=xy（x2-2x+1）=xy（x-1）2；（2）原式=9a2（x-y）-4b2（x-y）=（x-y）（3a+2b）（3a-2b）．40.解：（1）原式=x（x2-y2）=x（x+y）（x-y）；（2）原式=（x+3）2．41.解：原式=-3ab（a2-2ab+b2）=-3ab（a-b）2．42.解：①4m（x-y）-n（x-y）=（x-y）（4m-n）；②2t2-50=2（t2-25）=2（t+5）（t-5）；③（x2+y2）2-4x2y2=（x2+y2+2xy）（x2+y2-2xy）=（x+y）2（x-y）2．43.解：（1）原式=（x-6）（x+1）；（2）原式=2m（a2-4b2）=2m（a+2b）（a-2b）；（3）原式=a（a2-6ab+9b2）=a（a-3b）2．44.解：原式=2（x2-6x+9）=2（x-3）2．45.解：（1）原式=x（x2+2x+1）=x（x+1）2；（2）原式=xy（x2y2-1）=xy（xy+1）（xy-1）．46.解：（1）原式=a（x2-2x+1）=a（x-1）2；（2）原式=24（a-b）2+8（a-b）=8（a-b）[3（a-b）+1]=8（a-b）（3a-3b+1）．47.解：（1）原式=（2x+4y）（2x-4y）；（2）原式=（x-5）2．48.解：（1）原式=m（a-3）-2（a-3）=（a-3）（m-2）；（2）原式=（x-3）2．49.解：原式=-y（9x2-6xy+y）．50.解：（1）原式=x2（a+b）-（a+b）=（a+b）（x2-1）=（a+b）（x+1）（x-1）；（2）原式=ab（a2-2ab+b2）=ab（a-b）2；（3）原式=y2（y2-3y-4）=y2（y-4）（y+1）；（4）原式=-[（a2+2）-3]2=-（a-1）2（a+1）2．。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
《公式法》因式分解PPT课件(第2课时)
B. + −
C. − +
D. − + +
D
）
课堂检测
基础巩固题
3.如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(
A . 11
B. 9
C. -11
)
B
D. -9
4.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.
±8
课堂检测
∴＋＋＝(＋) ＝112＝121.
连接中考
（2020•眉山）已知 + = − − ，则 −
. 4
的值为
解析：由 +
得
+
= − − ，
− + + = ，
即 − + + + + = ，
∵ − = , = ，
∴原式=2.
巩固练习
变式训练
已知－＋－＋＝，求＋＋的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(－)＋(－)＝.
∵(－) ≥ ，(－) ≥ ，
∴－＝，－＝，∴＝，＝，
是.
巩固练习
变式训练
将前面例题的（2）（3）（4）变为完全平方式？
（2） + ²;
+ ² + ；
（3） + − ；
+ + ；
（4） + + .
+ + .
探究新知
知识点 2
用完全平方公式因式分解
运用公式法例题课
运用公式法因式分解一、学习指导1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)23、应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。
明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。
③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。
④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。
二、例题分析：例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16解：（1）4a 2－9b 2＝(2a)2－(3b)2＝(2a+3b)(2a －3b)解：（2）－25a 2y 4+16b 16＝16b 16－25a 2y 4＝(4b 8)2－(5ay 2)2＝(4b 8+5ay 2)(4b 8－5ay 2)注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2例2:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)2分析：（1）题二项式有公因式9应该先提取公因式，再对剩余因式进行分解，符合平方差公式。
（2）题的两项式符合平方差公式，x+2y 和x －2y 分别为公式中的a 和b 。
（3）题也是两项式，9x 4和y 4是公式中的a 和b 。
（4）题也是两项式，3a+2b 和2a+3b 是平方差公式中的a 和b 。
解：（1）36b 4x 8－9c 6y 10＝9(4b 4x 8－c 6y 10)＝9[(2b 2x 4)2－(c 3y 5)2]＝9(2b 2x 4+c 3y 5)(2b 2x 4－c 3y 5)注：解题的第二步写成公式的左边形式一定不要丢。
[因式分解公式法教案]公式法分解因式
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[因式分解公式法教案]公式法分解因式公式法分解因式篇一:分解因式法_课件设计教学目标：1、会用分解因式法（提公因式，公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。
2、能根据具体的一元一次方程的特征灵活选择方法，体会解决问题方法的多样性。
教学程序：一、复习：1、一元二次方程的求根公式：x=（b2－4ac≥0）2、分别用配方法、公式法解方程：x2－3x+2=03、分解因式：（1）5 x2－4x （2）x－2－x(x－2)(3) (x+1)2－25二、新授：1、分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。
小亮：利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。
2、分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。
3、例题讲析：例：解下列方程：(1) 5x2=4x(2) x－2=x(x－2)解：（1）原方程可变形为：5x2－4x=0x(5x－4)=0x=0或5x=4=0∴x1=0或x2=(2)原方程可变形为x－2－x(x－2)=0(x－2)(1－x)=0x－2=0或1－x=0∴x1=2，x2=14、想一想你能用分解因式法简单方程x2－4=0 (x+1)2－25=0吗？解：x2－4=0(x+1)2－25=0x2－22=0 (x+1)2－52=0(x+2)(x－2)=0 (x+1+5)(x+1－5)=0x+2=0或x－2=0x+6=0或x－4=0∴x1=－2, x2=2 ∴x1=－6 , x2=4三、巩固：练习：P62 随堂练习1、2四、小结：（1）在一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式时，就可用分解因式法来解。
（2）分解因式时，用公式法提公式因式法五、作业：P62 习题2.7 1、2公式法分解因式篇二:初中数学说课稿万能一、说教材用因式分解法求解一元二次方程是北师大版九年级上册第二章第四节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。
因式分解常用方法
( )
⑧ 4 x 31x 15
3
分组分解法
拆项添项法
配方法
待定系数法
求根法
„„
一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式， 然后用原多项式除以公因式，把所 得的商与公因式相乘即可。往往与 其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习：
1）15(m–n)+13(n–m)
2）4(x+y)+4( 将符合其形式的公式套进去即可 完成因式分解，有时需和别的方 法结合或多种公式结合。
五、常用到的式子：
a b c 2ab 2ac 2bc (a b c) 2
2 2 2
a3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ac)
二、公式法 公式法随堂练习：
1）(a2–10a+25)(a2–25)
方法四、换元法
对结构比较复杂的多项式，若把其中某些 部分看成一个整体，用新字母代替（即换 元），则能使复杂问题简单化、明朗化， 在减少多项式项数，降低多项式结构复杂 程度等方面有独到作用。
例题：（分解因式） （第12届“五羊杯” 竞赛题）
( x x 4)(x x 3) 10
x 4 2 x 3 3x 2 2 x 1
六*、待定系数法 试因式分解 2x2+3xy–9y2+14x–3y+20。
通过十字相乘法得到 (2x–3y)(x+3y)
设原式等于(2x–3y+a)(x+3y+b)
a 2b 14 通过比较两式同类项的系数可得： 3a 3b 3 a 4 解得： b 5 ，∴原式 = (2x–3y+4)(x+3y+5)
因式分解的常用方法教案
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
2022秋八年级数学上册第12章整式的乘除12.5因式分解2公式法__平方差公式课件新版华东师大版
答案显示
a2－b2＝_(_a_＋__b_)_(a_－__b_)_，即两个数的平方差，等于这 两个数的和与这两个数的差的积．
1．【2020·金华】下列多项式中，能运用平方差公式分 解因式的是( C )
A．a2＋b2 B．2a－b2 C．a2－b2 D．－a2－b2
2．【中考·济宁】多项式4a－a3分解因式的结果是( B ) A．a(4－a2) B．a(2－a)(2＋a) C．a(a－2)(a＋2) D．a(2－a)2
(3)因式分解与整式乘法有互逆关系，请你利用a2－b2＝(a＋ b)(a－b)简算：
①999.92－0.12；
解：999.92－0.12 ＝(999.9－0.1)×(999.9＋0.1) ＝999.8×1 000 ＝99962 ＝356－3316×356＋3316 ＝－1138×1 ＝－1138.
任意两个奇数的平方差是8的倍数．
(3)说明这个规律的正确性．
解：设m、n为两个整数，两个奇数可分别表示为2m＋1和 2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－n)(m＋n＋1)．①当 m、n同是奇数或同是偶数时，m－n一定为偶数，所以4(m －n)一定是8的倍数；②当m、n一奇一偶时，m＋n＋1一 定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述， 任意两个奇数的平方差是8的倍数．
【点拨】设较小的偶数为2n，则较大的偶数为2n＋2， 则(2n＋2)2－(2n)2＝(2n＋2＋2n)(2n＋2－2n)＝2(4n＋2) ＝4(2n＋1)． ∴能被4整除，故选C.
15．【中考·宜昌】小强是一位密码编译爱好者，在他的
密码手册中，有这样一条信息：a－b、x－y、x＋y、
a＋b、x2－y2、a2－b2分别对应下列六个字：昌、爱
初中数学因式分解公式法十字相乘法知识点的讲解和练习
运用公式法进行因式分解【知识精读】把乘法公式反过来，就可以得到因式分解的公式。
主要有：平方差公式完全平方公式立方和、立方差公式补充：特别地：当时，有运用公式法分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，熟练地掌握公式。
但有时需要经过适当的组合、变形后，方可使用公式。
用公式法因式分解在求代数式的值，解方程、几何综合题中也有广泛的应用。
因此，正确掌握公式法因式分解，熟练灵活地运用它，对今后的学习很有帮助。
下面我们就来学习用公式法进行因式分解【分类解析】1. 把分解因式的结果是（）A. B.C. D.分析：。
再利用平方差公式进行分解，最后得到，故选择B。
说明：解这类题目时，一般先观察现有项的特征，通过添加项凑成符合公式的形式。
同时要注意分解一定要彻底。
2. 在简便计算、求代数式的值、解方程、判断多项式的整除等方面的应用例：已知多项式有一个因式是，求的值。
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。
解：根据已知条件，设则由此可得由（1）得把代入（2），得把代入（3），得3. 在几何题中的应用。
例：已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。
所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
解：为等边三角形。
4. 在代数证明题中应用例：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数。
分析：先根据已知条件把奇数表示出来，然后进行变形和讨论。
解：设这两个连续奇数分别为（为整数）则由此可见，一定是8的倍数。
5、中考点拨：例1：因式分解：________。
解：说明：因式分解时，先看有没有公因式。
此题应先提取公因式，再用平方差公式分解彻底。
例2：分解因式：_________。
解：说明：先提取公因式，再用完全平方公式分解彻底。
题型展示：例 1. 已知：，求的值。
解：原式说明：本题属于条件求值问题，解题时没有把条件直接代入代数式求值，而是把代数式因式分解，变形后再把条件带入，从而简化计算过程。
初中数学因式分解教案
初中数学因式分解教案初中数学因式分解教案(5篇)作为一名优秀的教育工作者，可能需要进行教案编写工作，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。
如何把教案做到重点突出呢？下面是小编帮大家整理的初中数学因式分解教案，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。
初中数学因式分解教案1教学目标1.知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力.2.过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.3.情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值.重、难点与关键1.重点：利用平方差公式分解因式.2.难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.3.关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来.教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维.教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式.(1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n).【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演.(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律.1.分解因式：a2-25;2.分解因式16m2-9n.【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：(1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2=(4m+3n)(4m-3n).【教师活动】引导学生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同时，导出课题：用平方差公式因式分解.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式(单项式、多项式).二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：(投影显示或板书)(1)x2-9y2;(2)16x4-y4;(3)12a2x2-27b2y2;(4)(x+2y)2-(x-3y)2;(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解.【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演.【学生活动】分四人小组，合作探究.解：(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)]=5y(2x-y);(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).初中数学因式分解教案2教学目标1.知识与技能了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系.2.过程与方法经历从分解因数到分解因式的类比过程，掌握因式分解的概念，感受因式分解在解决问题中的作用.3.情感、态度与价值观在探索因式分解的方法的活动中，培养学生有条理的'思考、表达与交流的能力，培养积极的进取意识，体会数学知识的内在含义与价值.重、难点与关键：1.重点：了解因式分解的意义，感受其作用.2.难点：整式乘法与因式分解之间的关系.3.关键：通过分解因数引入到分解因式，并进行类比，加深理解.教学方法：采用“激趣导学”的教学方法.教学过程：一、创设情境，激趣导入【问题牵引】请同学们探究下面的2个问题：问题1：720能被哪些数整除?谈谈你的想法.问题2：当a=102，b=98时，求a2-b2的值.二、丰富联想，展示思维探索：你会做下面的填空吗?1.ma+mb+mc=()();2.x2-4=()();3.x2-2xy+y2=()2.【师生共识】把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式.三、小组活动，共同探究【问题牵引】(1)下列各式从左到右的变形是否为因式分解：①(x+1)(x-1)=x2-1;②a2-1+b2=(a+1)(a-1)+b2;③7x-7=7(x-1).(2)在下列括号里，填上适当的项，使等式成立.①9x2(______)+y2=(3x+y)(_______);②x2-4xy+(_______)=(x-_______)2.四、随堂练习，巩固深化课本练习.【探研时空】计算：993-99能被100整除吗?五、课堂总结，发展潜能由学生自己进行小结，教师提出如下纲目：1.什么叫因式分解?2.因式分解与整式运算有何区别?六、布置作业，专题突破选用补充作业。
人教版数学八年级上册课件：14.3.2 公式法
知
提公因式法
平方差公式 a2–b2=(a+b)(a–b)
3.完全平方公式 (a±b)2=a2±2ab+b2
探究新知
探究
你能把下面4个图形拼成一个正方形并求出你
拼成的图形的面积吗？
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
同学们拼出图形为：
探究新知
这个大正方形的面积可以怎么求？ (a+b)2 = a2+2ab+b2
探究新知
辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？
(1)x2+y2
×
(2)x2–y2
√
★符合平方差的形 式的多项式才能用
(3)–x2–y2 (4)–x2+y2 (5)x2–25y2 (6)m2–1
–(x×2+y2) y√2–x2
(x√+5y)(x–5y) (m√+1)(m–1)
平方差公式进行因 式分解，即能写成: ( )2–( )2的形式.
这两项都是数或式的平方，并且符号相同.
(3)中间项和第一项，第三项有什么关系？
是第一项和第三项底数的积的±2倍.
探究新知
完全平方式: a 2 2ab b2
完全平方式的特点： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍.
探究新知
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式，将
答：剩余部分的面积为36 cm2.
课堂检测
拓广探索题
(1)992–1能否被100整除吗？ (2)n为整数，(2n+1)2–25能否被4整除？
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计
青岛版七下数学第12章因式分解教学设计教学设计一. 教材分析《青岛版七下数学第12章因式分解教学设计》是根据我国新课程标准编写的一本教材。
本章主要内容包括：因式分解的概念、提公因式法、公式法、十字相乘法等。
通过本章的学习，使学生掌握因式分解的方法和技巧，提高他们的数学解题能力。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已掌握了有理数、整式的乘法等基础知识，但对于因式分解的概念和方法还不够了解。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，循序渐进地引导学生学习，使他们能够理解和掌握因式分解的方法。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的概念和方法，能够运用提公因式法、公式法、十字相乘法等进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等方法，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的概念和方法。
2.难点：提公因式法、公式法、十字相乘法的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过设置问题情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂活动。
2.启发式教学法：教师提出问题，引导学生思考、讨论，培养学生的思维能力。
3.实践教学法：让学生通过动手操作、动脑思考，加深对因式分解方法的理解。
4.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成任务，培养学生的合作意识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示因式分解的方法和例子。
2.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入因式分解的概念，让学生初步了解因式分解的意义。
2.呈现（10分钟）展示因式分解的方法（提公因式法、公式法、十字相乘法），并通过例题讲解各个方法的应用。
3.操练（10分钟）让学生独立完成练习题，巩固因式分解的方法。
教师巡回指导，解答学生的问题。
12.4用公式法进行因式分解1
12.4用公式法进行因式分解(1) 学习目标： 1．会用公式法进行因式分解。
2．了解因式分解的步骤。
重点：会用公式法进行因式分解。
难点：熟练应用公式法进行因式分解。
在具体问题中，会正确运用完全平方公式。
教学过程： 【温故知新】 1.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 2.因式分解与整式乘法有什么区别和联系？ 3.你能对44,422++-m m m 进行因式分解吗？ 【探索新知】 活动一： （一）根据乘法公式计算： ①=-+)2)(2(m m ②=-+))((b a b a ③=+2)2(m ④=+2)(b a （二）根据等式的对称性填空 ①=-42m ②=-22b a ③=++442m m ④=++222b ab a （三）思考： １、（二）中四个多项式的变形是因式分解吗？ ２、对比（一）和（二）你有什么发现？ 活动二： （一）、说出下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？ ①22y x -; ②22y x +- ; ③ 22y x +; ④22y x --; ⑤ 216b -。
平方差公式的结构特征： （1）左边是 项式，每项都是 的形式，两项的符号 ； （2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的 ，另一个因式是这两数的 。
（二）、说出下列多项式哪些可用完全平方公式进行因式分解？ ①222y xy x ++；②222y xy x ++-；③22y xy x ++；④22y xy x +-完全平方公式的结构特征：（1）左边是 项式，有两项都为正且能够写成 的形式，另一项是刚才写成平方项两底数 。
（2）右边是两平方项底数 。
【应用新知】例1：把下列各式进行因式分解:（1）4 x 2-25 (2) 16a 2 -91 b 2 解：(1) 4 x 2-25=(2x)2-52=(2x+5)(2x-5)(2) 16a 2 -91b 2= =要求：完成填空，你能用乘法检验做的对错吗？试试看。
怎样学好因式分解？
怎样学好因式分解？因式分解的要从以下几方面去学习：一、因式分解是什么？1、定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
在定义的理解上需要注意以下几方面的问题：①因式分解是针对多项式而言的，只有多项式才能因式分解。
②因式分解是恒等变化，结果要写成整式乘积的形式；③因式分解必须分解到每个因式不能在分解为止。
2、因式分解与整式乘法的关系:因式分解是整式乘法的逆过程, 利用整式乘法的运算可以检验因式分解的结果是否正确。
在这各知识点下通常会考察两种题型：1、判断一个等式的变形是否是因式分解：2、因式分解与分式乘法的关系：二、如何对一个整式进行因式分解因式分解主要有提公因式法和公式法两种1、提公因式法1）公因式是什么：多项式各项都含有的相同因式。
注：公约式可以是数字、字母，也可以是多项式。
2）如何找公因式：①确定系数，若各项系数都为整数，应提取各项系数的最大公约数；当多项式的各项系数为分数时，公因数式的系数为分数，分母取各项系数中分母的最小公倍数，分子取各项系数中分子的最大公约数；②确定相同字母或整式，公因式应取多项式各项中相同的字母或整式。
③确定公因式中相同字母的指数，取相同字母指数的最小值为公因式中此字母的指数。
④综合前三步，确定公因式。
注：如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；若底数互为相反数的幂，要将相反数统一成相等的数。
3）、提公因式法如何操作：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
注：首项系数为负时，一般先提出“-”，使括号内的首项系数为正，当提出“-”时，括号里的每项都要变号。
多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，可以检验是否漏项。
某项与公因式相同时，该项保留因式是1，而不是0.本知识点下常见的题型有以下三种：1）、提公因式法分解因式2）、利用提公因式法求代数式的值在求值问题，当题目所给条件不容易求出所需字母的取值时，可以通过对式子的恰当变形，构造含有已知条件中的式子的代数式，然后运用整体代入法求出代数式的值。
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第十二章第4节用公式法进行因式分解
郝戈庄初中七年级王春美
一、课前预习：
课本121页---122页。
二、课内探究
（一）、学习目标
1．会用公式法进行因式分解．
2．了解因式分解的一般步骤．
（二）、学习重难点：
学习重难点：用公式法进行因式分解．
（三）、学习准备：
学生复习平方差公式和完全平方公式
（四）、学习过程：
1.自主探究
1、乘法公式：（a+b）(a-b)=______________；
（a+b）2 =___________________
2、将以上公式反过来，就得到：
a2－b2 =_____________________；
a2+2ab+b2 =________________________
a2-2ab+b2 =________________________
把2作为公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。
（注意：公式中的字母a和b可以表示任意的数、单项式或多项式）
例1 把下列各式进行因式分解：
1b2
（1）4x2–25 (2)16a2 -
9
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
1b2
解：（1）4x2–25 (2)16a2 -
9
= =
练习1：把下列各式进行因式分解：
1、课本122页练习1
2、（1） a4 -81b4 (2) （m+n）2-（m-n）2
例2 把下列各式进行因式分解：
1n2
(1) 25x2+20x+4 (2) 9m2-3mn+
4
在（1）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
在（2）式中公式中的a相当于_______________；
b相当于_______________
（小组讨论交流）
练习2：把下列各式进行因式分解：
1、课本122页练习2
2、(1) x2-ax+9是完全平方公式,则a的值为（）
A.6
B.-6
C. 6
D.无法确定
(2) 4x2 +__________xy+25y2 =（2x-5y）2；
（______）+8a+1=（_______+1）2
（小组讨论交流）
( 小组交流解决在预习中没有解决的问题)
精讲点拨：
（学生到黑板前展示重点问题）
__________________________________________________________
__________五、小结
通过本节课，你学到了什么？说说你的收获。
六、课后检测
1、分解因式：
（1）x2－y2
（2）16m2－9n2
(3) m2-2mn+n2
(4) 9m2 - 6mn + n2
2、若多项式4a2 +M 能用平方差公式分解因式，则单项式
M=_____________
(写出一个即可)
3、下列代数式：（1）x2 – 4xy + y2；（2）6x2 + 3x + 1；
（3）4x2 - 4x + 1 ；（4）x2 + 4xy + 2y2；
（5）9x2 +16y2 -20xy
能用完全平方公式分解因式的有______________(写序号) 4、分解因式：
（1）- x2 – 2xy - y2；（2）9（a-b）2 - 16（a+b）2。