高等数学D

高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。

了解函数的几种特性。

了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。

掌握16个函数及一些常见函数的图形。

第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。

理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。

第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。

第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。

了解复合函数的极限运算法则。

第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。

第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。

第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。

了解初等函数的连续性。

理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。

第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。

理解左导数与右导数的概念。

掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。

掌握函数可导性与连续性的关系。

第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。

第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。

第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。

第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。

第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。

掌握函数的一阶微分。

第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。

第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。

第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。

会求曲线的拐点。

会用函数的单调性证明简单的不等式。

第五节：函数的极值与最大、最小值要求：理解函数的极值与最值的概念，掌握求函数的极值和最值的方法，会解有关最值的应用题。

第四章不定积分第一节：不定积分的概念与性质要求：理解原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的性质，记11个基本积分公式，掌握直接积分法。

第二节：换元积分法要求：掌握第一类换元法、第二类换元法。

第三节：分部积分法要求：掌握分部积分法。

第六章微分方程第一节：微分方程的基本概念要求：了解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解的概念。

第二节：可分离变量的微分方程要求：掌握可分离变量的微分方程的求解方法。

掌握齐次方程的求解方法。

第三节：一阶线性微分方程要求：掌握一阶线性微分方程的求解方法。

第四节：可降阶的高阶微分方程要求：掌握前两种类型的高阶微分方程的降阶方法。

第五节：常系数齐次线性微分方程要求：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法。

二、试卷结构《高等数学D(一)》共五道大题：一、填空题（5*3分）二、选择题（5*3分）三、判断题（5*2分）四、计算题（6*7分）五、解答题（2*9分）共100分。

各章比例：第一章10%、第二章25%、第三章21%、第四章22%、第六章22%。

三、练习题(一)一、填空题1．函数131y x x=++的定义域是 。

2．0sin 5lim 2x x x →= 。

3．设()f x 可导，[]ln ()y f x =，则dy = 。

4．不定积分23x x dx -⎰= 。

5．微分方程430y y y '''-+=的通解为________________________.二、单项选择题1．设2,01(),,12x x f x x x ⎧<≤=⎨<<⎩在点1x =处必定 （ ）A ．连续但不可导B ．连续且可导C ．不连续但可导D ．不连续，故不可导2．曲线y x =在点4x =处的切线方程是 （ ） A ．114y x =- B ．112y x =+ C ．114y x =+ D ．124y x =+ 3．下列函数在区间[1,1]-上满足罗尔定理条件的是 （ ）A ．21xB ．3xC ．xD ．211x +4．设()f x 为连续函数，则下列等式中正确的是 （ ）A ．()()f x dx f x '=⎰B ．()()d f x dx f xC dx=+⎰ C ．()()d f x dx f x =⎰ D ．()()d f x dx f x dx =⎰5．微分方程12'x y e-=的通解是 （ ） A ．2xy e C -=+ B ．2x y e C =+C ．22xy eC -=-+D ．2x y Ce -= 三、计算题1．求极限 ()011lim x x x e x x e →---。

2．设函数1sin 2 ,0 (), ,0 x x f x a bx x +≤⎧=⎨+>⎩在点 0x =处可导，求,a b 的值。

3．设参数方程()1sin cos x t t y t t =-⎧⎪⎨=⎪⎩确定y 是x 的函数，求dy dx 。

4．设方程2290y xy -+=确定隐函数()y y x =，求d d y x。

5．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。

6．求不定积分()22arcsin 1x dx x -⎰。

7．求不定积分321x dx x -⎰。

8.求微分方程30dy xy dx +-=满足初始条件10x y ==的特解。

四、解答题 1．求函数()()23213f x x x =--的极值。

2．证明不等式：当0x >时，221ln(1)1x x x x +++>+。

一. 1. 1[,0)(0,)3-+∞ 2. 52 3.()()f x dx f x ' 4.()322133x C -+ 5.312x x y C e C e =+.二. 1.A 2.C 3.D 4.D 5.C三. 1.12 2.1,2a b == 3.cos sin 1sin cos dy t t t dx t t t -=-- 4.y y y x'=- 5. 22ln ln y x C -=. 6.()31arcsin 3x C + 7.32221(1)13x x C ---+ 8.33y x =- 四.1. 极大值()213f =，极小值()20f = 2. 利用函数的单调性可证明之(二)一、 填空题1.函数arcsin(4)()ex x f x -=的定义域是 。

2.若 lim(1)3x x a x →∞+=，则常数a = 。

3.设4ln (1),y x =-则d y = 。

4.不定积分2d 23xx x =-⎰ 。

5.微分方程'''450y y y -+=的通解为 。

二、单项选择题1.设210sin (),00,x x f x x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，则()f x 在点0x =处（ ） A ．0lim ()x f x →不存在； B ．0lim ()x f x →存在，但()f x 在点0x =处不连续； C ．'(0)f 存在； D ．()f x 在点0x =处连续，但不可导。

2.函数1()x f x x+=在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理，则定理中的ξ为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．123.曲线e x y x =+点0x =处的切线方程是（ ）A ． 210y x --=；B ．220y x --=；C ．10y x --=；D ．20y x --=4. 微分方程x e y =''的通解为 （ ）A. Cx e y x +=B. 21C x C e y x ++=C. 21C e C y x +=D. x C e C y x 21+=5.微分方程222x dy y dx x ydy =-是（ ）A ．可分离变量方程B ．一阶线性方程C ．齐次方程D ．二阶线性方程三、计算题1． 求极限1ln cos(1)lim π1sin 2x x x →--。

2． 讨论函数 ||,0e (),01x x f x x x ≤⎧=⎨>+⎩ ，在点0x =处是否连续？是否可导？3． 设由方程e 2xy xy y ++=确定隐函数()y y x =，求0d d x y x =。

4． 设由参数方程2arctan ln(1)x t t y t =-⎧⎨=+⎩确定y 是x 的函数，求22d d y x 。

5． 求不定积分221d 1x x x -⎰。

6． 求微分方程'ln x xy y x +=满足初始条件112x y ==的特解。

7． 求微分方程22101x dx dy y -+=-的通解。

四、综合题1．求函数ln x y x =的单调区间、极值及此函数曲线的凹凸区间和拐点。

2．证明：当π02x <<时，sin 2πx x >。