高考复习北京四中数学第三次统测(理科)

高考复习北京四中数学第三次统测(理科)
一、选择题：（每小题5分）
1. 在正实数集上定义一种运算*：当时，a*b=b3：当时，a*b=b2。

依照那个定义，满足3*x=27的x的值为（）
A．3B．1或9C．1或D．3或
2. 函数的部分图象大致是（）
A. B. C. D.
3. 在的展开式中，含项的系数是首项为－2公差为3的等差数列的（）
A．第13项B．第18项C．第11项D．第20项
4. 若将函数的图象按向量平移，使图象上点P的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（）
A．B．
C．D．
5. 一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到那个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）
A．B．C．D．
6. 已知函数在点处连续，则的值是（）
A．2B．3C．－2D．－4
7. 已知，，点C在坐标轴上，若，则如此的点C的个数为
（）
A．1 B．2C．3D．4
8. 设数集，，且差不多上集合
的子集，假如把叫做集合的“长度”，那么集合的
“长度”的最小值是（）
A．B．C．D．
二、填空题：（每小题5分）
9. 若（m∈R+）是纯虚数，则的值为_____，的虚部是_____.
10. 在数列中，若且对任意有则数列前项的和为_____，前项和最小时的等于_____.
11. 若，则目标函数的取值范畴是_____.
12. 向量a、b满足（a－b）·（2a+b）=－4，且|a|=2，|b|=4，则a与b夹角的余弦值等于_____.
13. 已知P是抛物线上的动点，定点A（0，-1），若点M分所成的比为2，则点M的轨迹方程是
_____，它的焦点坐标是_________．
14. 若定义在区间D上的函数关于D上的任意n个值，总满足
，则称为D上的凸函数. 现已知
在上是凸函数，则锐角中，的最大值是
_________．
答案
一、选择题：（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案
二、填空题：（每小题5分）
9 10
11 12
13 14
三、解答题
15. （本小题满分13分）
矩形ABCD，AB=4，BC=3，E为DC中点，沿AE将ΔAED折起，使二面角D-AE-B为60°。

(I)求DE与平面AC所成角的大小；
(II)求二面角D-EC-B的大小。

16. （本小题满分13分）
甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题，规定每位考生都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题才算合格。

（1）求甲、乙两人考试合格的概率分别是多少？
（2）求乙答对试题数的概率分布及数学期望。

17. （本小题满分14分）
设函数在时取得极值.
（1）试确定的值；
（2）求的单调区间.
18. （本小题满分14分）
已知函数.
（1）求的值，使点到直线的距离最短为；
（2）若不等式在恒成立，求的取值范畴.
19. （本小题满分13分）
直线与曲线交于（异于原点）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）；过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……, 过且斜率为的直线与曲线交于（异于）,……。

设坐标为,（）.
（Ⅰ）求和的表达式；
（Ⅱ）判定是否存在，若存在，求它的值；若不存在，说明理由.
20. （本小题满分13分）
已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于的动点，且有，设的斜率分别是.
（1）求证；
（2）设分别为双曲线和椭圆的右焦点，若∥，求的值.
答案
一、选择题：（每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C D C C B C C
二、填空题：（每小题5分）
9 -8 10 4或5
11 [8，14] 12
13 y=6x2-1(x≠0) 14
15．如图1，过点D作DM⊥AE于M，延长DM与BC交于N，在翻折过程中DM⊥AE，MN⊥AE保持不变，翻折后，如图2，∠DMN为二面角D-AE-B的平面角，∠DMN=60°，AE ⊥平面DMN，又因为AE平面AC，则平面AC⊥平面DMN。

(I)在平面DMN内，作DO⊥MN于O，
∵平面AC⊥平面DMN，
∴DO⊥平面AC。

连结OE，DO⊥OE，∠DEO为DE与平面AC所成的角
如图1，在直角三角形ADE中，AD=3，DE=2，
，。

如图2，在直角三角形DOM中，DO=DM·sin60°=,
在直角三角形DOE中，，则。

∴DE与平面AC所成的角为。

(II)如图2，在平面AC内，作OF⊥EC于F，连结DE，
∵DO⊥平面AC，∴DF⊥EC，∴∠DFO为二面角D-EC-B的平面角。

如图1，作OF⊥DC于F，则RtΔEMD∽RtΔOFD，，∴。

如图2，在RtΔDOM中，OM=DMcos∠DMO=DM·cos60°=.
如图1，DO=DM+MO。

在RtΔDFO中，，
∴二面角D-EC-B的大小为。

16. 解：（1）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B
则
（2）乙答对试题数ξ的可能值为1，2，3
则
∴ξ的概率分布为
ξ 1 2 3
P
17．（１）
∵f(x)在x1=1，x2=2时取得极值
∴
（2）由（1）可得：
令∴x<0或1<x<2
∵∴1<x<2
∴f(x)的单调增区间为（1，2），减区间是（0，1）和（2，+）
18. 解：（1）由题意得M到直线x+y-1=0的距离
令
解得a=3或a=-1（舍去）
∴a=3
（2）由
得
也确实是
令
即at2-2t+a2≤0在t∈[1，2]上恒成立
设，则要使上述条件成立，只需
解得
即满足题意的a的取值范畴是
19．解：（Ⅰ）由已知，
设，其中，
解（注意到）得，x1=1
因此，；
；
；
推测
当时，，推测正确，
假设当时，成立，即
那么，当时，
综上所述，.
（Ⅱ）.
因此，.
20. 解：（1）A（-a，0），B（a，0），设P（x1，y1）Q（x2，y2）则
（2）
由（1）
又P在双曲线上
同理。