2019届高三理科数学上学期第三次阶段试卷带答案
陕西省2019届高三第三次教学质量检测数学(理)试题(扫描版)pdf
∴ＥＦ∥ＡＤ．
综上，ＥＦ⊥ＢＣ． （４分）
注：亦可取 ＡＤ中点 Ｇ、连接 ＧＢ，ＧＣ，可证 ＡＤ⊥
平面 ＧＢＣ，则可证 ＥＦ⊥平面 ＧＢＣ，即证得 ＥＦ⊥
ＢＣ．
（Ⅱ）∵平面 ＡＢＣ⊥平面 ＤＢＣ，ＡＯ平面 ＡＢＣ， 平面 ＡＢＣ∩平面 ＤＢＣ＝ＢＣ，ＡＯ⊥ＢＣ．
即 ａ＞０，
（６分）
{ 由韦达定理有
ｔ１＋ｔ＝２槡２， 根据参数的几 ｔ１·ｔ２ ＝－８ａ＋２，
点对称，∴ｇ（ｘ）＝－ｆ（－ｘ）＝－ｘ２＋２ｘ．
（２分） ∴原不等式可化为 ｜ｘ－１｜≥２ｘ２，即 ｘ－１≥２ｘ２ 或 ｘ－１≤ －２ｘ２，解 得 不 等 式 的 解 集 为
则 ｇ（ｘ）单调递增． 综上，ｇ（ｘ）极小值 ＝ｇ（１）＝ｅ－２， 无极大值． （４分）
２０．【解析】（Ⅰ）由题意得
ｃ＝３，
ｃ ａ
＝槡２３，
（Ⅱ）∵ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＋ １ ２（３ｘ２ ＋ｘ－３ｋ）≥０．
∴ａ＝２槡３． （２分）
又因为 ａ２＝ｂ２＋ｃ２，∴ｂ２＝３．
∴ｃｏｓ＜→ｍ→，ｎ＞＝→→｜ｍｍ·｜→→｜ｎｎ｜＝槡５５，
２１．［解析］（Ⅰ）∵ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘｘ）＝ｅｘ
－ｘ２ ｘ
－１．
∴ｇ′（ｘ）＝ｘｆ′（ｘ）ｘ２－ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）（ｘｅ２ｘ－ｘ－１）（ｘ
＞０）． （２分） 设 ｔ（ｘ）＝ｅｘ－ｘ－１，则 ｔ′（ｘ）＝ｅｘ－１＞０，即 ｔ（ｘ）
— ２—
ｘ０ － １２）＋ １ ２ｘ２ ０ ＋ １ ２ｘ０ －１＝ １２（ｘ２０ －ｘ０ －３）
（１０分）
∵ｘ０∈（－１，０），∴ｈ（ｘ０）∈（－３２，－１２），
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)Word版含答案
仅有四个不同的点 C ，使得 △ ABC 的面积为 5，则实数 a 的取值范围是 ____ ．
三、解答题：本大题共
6 个大题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（ 12 分） [2019 ·江南十校 ] 已知数列 an 与 bn 满足： a1 a2 a3
an 2bn n N * ，且 an
3 ，则 cos2
（
）
2
3
1 A．
2
1 B．
3
1 C．
3
6． [2019 ·临川一中 ]函数 f x
1 2x 1 2x
sin x 的图象大致为（
1 D．
2 ）
A．
B．
C．
D．
7． [2019 ·南昌一模 ]如图所示算法框图，当输入的 x 为 1 时，输出的结果为（
）
A．3
B． 4
C．5
D． 6
8．[2019 ·宜宾二诊 ] 已知 △ ABC 中， A ， B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，且 b 3 ， c 3 3 ， B 30 ，
D． 16 8 2 4 5
10． [2019 ·汕尾质检 ] 已知 A ， B ， C ， D 是球 O 的球面上四个不同的点，若
AB AC DB DC BC 2 ，且平面 DBC 平面 ABC ，则球 O 的表面积为（
）
A ． 20π 3
B． 15π 2
C． 6π
x2 y2 11． [2019 ·临川一中 ]如图所示， A1 ， A2 是椭圆 C :
2
4
15．[2019 ·赣州期末 ]若曲线 y x ln x 在 x 1 处的切线 l 与直线 l : ax y 1 0 垂直，则切线 l 、直线 l 与 y 轴围成的三角形的面积为 _______． 16． [2019 南·通期末 ] 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A 0, a ， B 3, a 4 ，若圆 x 2 y2 9 上有且
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
理科数学 第 1页（共 10页）22019 年第三次全国大联考【新课标Ⅲ卷】理科数学·全解全析1. 【答案】D【解析】由 A = {x | x 2 < 2} = {x | - < x < 2} ，B = {x | y = x + 1} = {x | x ≥ -1} ，得 A B = {x | -1 ≤ x < 2} ，故选 D ．2. 【答案】A【解析】因为 z = 3 - i= (3 - i)(1 + 2i)=3 + 2 - i + 6i= 1 + i ，所以复数 z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1) ，故选 A ． 3．【答案】B1 - 2i (1 - 2i)(1 + 2i) 5【解析】由三视图得，该几何体是棱长为 3 的正方体截去一个棱长为 1 的正方体，如图所示，所以该几何体的表面积与棱长为 3 的正方体的表面积相等，即所求表面积为 S = 6 ⨯ 32 = 54 ．故选 B ．4．【答案】C【解析】2016 年，2017 年，2018 年容易题分值分别为 40，55，96，逐年增加，①正确；近三年中档题分值所占比例最高的年份是 2016 年，②错误；2018 年的容易题与中档题的分值之和为 96+42=138， 138 = 0.92 > 90% ，③正确，故选 C ．1505. 【答案】B【解析】(x - 2)( 2 + 1)5 的展开式中的常数项为 x ⨯ C 4 ⨯ 2⨯14 - 2 ⨯15 = 10 - 2 = 8 ，故选 B ．x 6. 【答案】Dn 2 - 1n 2 + 1 5xn 2 - 1n 2 + 1n 2 n 2 【解析】A ，当 n 为偶数时， , 2 2 不是整数，所以 n , , 2 2 不是勾股数；B ，n 2+ ( )2 ≠ ( 2 2+ 1)2 ，12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D ABCBDBDBCAC理科数学 第 2页（共 10页）3 3 2n 2 n 2 n 2 - 2 n 2 + 2 n 2 - 2 n 2+ 2 所以 n , , + 1不是勾股数；C ， n 2 + ( )2 ≠ ( )2 ，所以 n , , 不是勾股数；D ，当 n 2 2 n 2 n 2 4 4 n 2 n 2 4 4n 2 n 2 为偶数时， n ,7. 【答案】B- 1, 4 4 + 1 都是整数，且 n 2 + ( -1)2 = ( 4 4 + 1)2，所以 n , - 1, 4 4+ 1 是勾股数，故选 D ．【解析】模拟运行该程序：x =1，y =1，z =11，满足循环条件；x =1，y =11，z =21，满足循环条件；x =11， y =21，z =131，满足循环条件；x =21，y =131，z =341，不满足循环条件，终止循环，输出 z 的值为 341， 观察 A 、B 、C 、D 四个选项，可知只有 B 选项符合题意，故选 B ．8. 【答案】D【解析】由题意得 a 2 = 1⨯ a = a + 6 ，所以 a = 3 （负值舍去），所以 a = 3 + 2 = 5 ，因为数列141121, a , a , b , b , b , , b , 成等比数列，设其公比为 q ，则 q = a 1 = 3 ，所以b = 35 = 243 ，所以 b 3 = 243，1 4 123 n故选 D ．1 3 a 5 9. 【答案】B【解析】设双曲线C 的焦距为2c (c > 0) ，则由△OPF 为等边三角形，得 c P ( ,3c ) ，代入双曲线 C 的方c 2 3c 2 2 23e 2程得 - = 4 ，即e 2 - = 4 ，解得e = + 1 （或 e = - 1 ，舍去），故选 B ． a 2 b 2 e 2 - 110. 【答案】C【解析】解法一：如图，连接 D 1 A ， AC ， D 1C ，易证平面 ACD 1 平面 EFG ，因为 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ，所以点 P 在直线 AC 上，所以当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为 ，故选 C ．解法二：如图，连接 D 1C ， AC ，因为直线 D 1 P 与平面 EFG 没有公共点，所以直线 D 1 P 平面 EFG ．延长 EF ，与 DC 的延长线交于点 H ，连接GH ，则 D 1C GH ，AC EF ，所以点 P 在直线 AC 上，易得6理科数学 第 3页（共 10页）当 P 为 AC 中点时，线段 D 1 P 的长度最小，最小值为 ，故选 C ．11. 【答案】A【解析】由 f (a ) = 1, f (a + 2) = 0 得函数 f (x ) 的图象关于直线 x = a 对称，且关于点(a + 2, 0) 对称，由存在不相等的实数 x 1 , x 2 ∈(a , a + 2) 使得 f (x 1 ) = f (x 2 ) 成立，可得 f (x ) 在(a , a + 2) 上不单调，所以区间 (a , a + 2)的长度不小于 3T （其中T 为函数 f (x ) 的最小正周期），即 2 ≥ 3 ⨯ 2π ，即ω≥ 3π，故选 A ．4 12. 【答案】C4 ω 4【解析】由(a + 1)x - ln x + b - 2 ≤ 0 ，得ln x ≥ (a + 1)x + b - 2 ，若存在唯一实数 x 0 ，使得 f (x 0 ) ≤ 0 ，则 直线 y = (a +1)x + b - 2 与曲线 y = ln x 相切，设切点为 P (t , ln t ) ，则切线方程为 y - ln t = 1(x - t ) ，即ty = 1 x + ln t - 1 ，所以 a + 1 = 1 ，b - 2 = ln t - 1 ，所以 a + b = 1 + ln t ，设 g (t ) = 1 + ln t (t > 0) ，则 g'(t ) =t - 1， t t t t t 2所以 g (t ) 在(0,1) 上单调递减，在(1, +∞) 上单调递增，所以 g (t ) ≥ g (1) = 1，所以 a + b 的取值范围是[1, +∞) ，故选 C ． 13．【答案】[-1,5]【解析】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由 z = 2x - y +1得 y = 2x - z + 1，平移直线 y = 2x ，可知直线 y = 2x - z + 1过点 A (2, 0) 时 z 取到最大值， z max = 2 ⨯ 2 - 0 + 1 = 5 ，过点 B (0, 2) 时 z 取到最小值， z min = 0 - 2 + 1 = -1 ，所以 z = 2x - y + 1的取值范围是[-1,5] ．6理科数学 第 4页（共 10页）( , 14．【答案】 - 12【解析】由| a ⋅ b |=| a | ⋅ | b | 可知向量 a , b 共线，所以cos α+ 2 sin α= 0 ，所以tan α= - 1．215．【答案】( 1, +∞) 21 1 1⎧ 1 , n 为奇数 【解析】由 a = 1 且 a - = ，得 a = ， a = , a = 1 ， ，∴ a = ⎪ 2 ，因为数2 n +12 1 23 2 4n ⎨ ⎪⎩ 1, n 为偶数列{b } 是递增数列，当 n 为奇数时，b - b = 1 + λ> 0 ，∴ λ> - 1 ，当 n 为偶数时，b - b = - 1+ λ> 0 ，n n +1 n 2 2 n +1 n2∴ λ> 1 ，综上，实数λ的取值范围是 1+∞) ．2 2 16．【答案】(4, 4)【解析】由题意知直线 OA 的斜率为正，设直线 OA 的斜率为 k (k > 0) ，则直线 OA 的方程为 y = kx ， ⎧ y 2 = 4x 4 4 16 16 ⎧ y 2 = 4x 直线 MN 的方程为 y = k (x -1) ，联立⎨ ，得 A ( , ) ，所以| OA |2= + ；联立⎨ ，⎩ y = kx k 2k k 4 k 2 ⎩ y = k (x - 1)2 2 2 22k 2 + 4 4 消去 y ，整理得 k x - (2k + 4)x + k = 0 ，设 M (x 1 , y 1 ), N (x 2 , y 2 ) ，则 x 1 +x 2 =k 2 =2+ k2 ， x 1 x 2 = 1 ， | MF | ⋅ | NF |= (1 + k 2 ) | x -1| ⋅ | x -1| = (1 + k 2 ) | x x - (x + x ) + 1| = 4(1 + 1 ) ．因为1成 1 2 1 2 1 2| MF |, | OA |,| NF | k 2 2等比数列，所以| MF | ⋅ | NF |= 1 | OA |2 ，即 4(1 + 4 1 ) = 4 k 2 k 4 + 4 ，所以 k 4= 1 ，解得 k = 1 ，故点 A 的坐标k 2 为(4, 4) ．17．（本小题满分 12 分）【解析】解法一：（1）由 AB = AC 可得∠BAC = π - 2C ， ∴ cos ∠BAC = -cos 2C = 2 sin 2 C - 1 = 2 ⨯ ( 2 5 )2 - 1 = 3．（2 分）5 5 ∵ AB = AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ，∴ BE 2 = AB 2 + AE 2 - 2AB ⋅ AE cos ∠BAE = 49 + 25 - 42 = 32 ，∴ BE = 4 ．（6 分）（2）由（1）知， cos ∠BAE = 3 ，∴ sin ∠BAE = 4，5 5∴ S △ABE= 1 AB ⋅ AE ⋅ sin ∠BAE = 1 ⨯ 7 ⨯ 5⨯ 4 = 14 ．（12 分） 2 2 5 解法二：（1）如图，取 BC 的中点 D ，连接 AD ，交 BE 于点 F ．a - a 2 n n 2理科数学 第 5页（共 10页）22 ⨯ 7 ⨯ 4 2由题意得 AD ⊥ BC ，∵ AC = AE + EC = 5 + 2 = 7 ， sin C = 2 5 ，∴ cos C =5 ，55∴ CD = AC ⋅ cos C = 7 ⨯5 = 7 5 ，∴ BC = 2CD = 14 5，（3 分 ） 5 5 5∴ BE 2 = BC 2 + EC 2 - 2BC ⋅ EC ⋅ cos C = 196 + 22 - 2 ⨯ 14 5 ⨯ 2 ⨯ 5= 32 ，∴ BE = 4．（6 分） 5 5 5（2）由（1）知 BE = 4 ，AB 2 + BE 2 - AE 249 + 32 - 25 ∴ cos ∠ABE = = = 2 AB ⋅ BE ，（9 分） 2 ∴ sin ∠ABE = 2 ，2 ∴ S= 1 AB ⋅ BE ⋅ sin ∠ABE = 1 ⨯ 7 ⨯ 4 2 ⨯ 2= 14 ．（12 分） △ABE2 2 218．（本小题满分 12 分）【解析】（1）如图，作 PO ⊥ AC 于 O ，连接 BO ，由 PA = BA ， ∠PAC = ∠BAC ， AO = AO ，可得△PAO ≌△BAO ， 所以∠AOB = ∠AOP = 90︒ ，所以OB ⊥ AC ，（3 分） 又 PO BO = O ，所以 AC ⊥ 平面 PBO ， 因为 PB ⊂ 平面 PBO ，所以 PB ⊥ AC ．（6 分）2 2理科数学 第 6页（共 10页）3 6 3 2 72 7 144 ⎧⎪n ⋅ （2）由 PA = AB = 2 ， ∠PAC = ∠BAC = 60︒ ，可得OP = OB = 2sin 60︒ = ， OA = 2 cos 60︒ = 1 ， 又 PB = ，所以OP 2 + OB 2 = PB 2 ，所以OP ⊥ OB ，所以OA ,OB ,OP 两两垂直，分别以OA ,OB ,OP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O - xyz （如图），则 O (0, 0, 0), A (1, 0, 0), B (0，3, 0), C (-3, 0, 0) ， P (0, 0, 3) ，AB = (-1, 3, 0) ， BC = (-3, - 3, 0) ，BP = (0, - 3, 3) ，BC = 0⎪⎧ -3x -3y = 0 设平面 BCP 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎨，即⎨ ， ⎪⎩n ⋅ BP = 0 ⎪⎩- 3y + 3z = 0取 x = -1 ，则 y = 3, z = ，所以n = (-1, 3, 3) 是平面 BCP 的一个法向量，（10 分）设直线 AB 与平面 PBC 所成角为θ，则sin θ=| cos AB , n | AB ⋅ n | |= =| AB | ⋅ | n | =4= ， 7所以直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为19．（本小题满分 12 分）．（12 分） 【解析】（1）由茎叶图可知：甲校学生数学成绩的中位数为128 + 135= 131.5 ，乙校学生数学成绩的中2位数为128 + 129= 128.5 ，所以这 40 份试卷的成绩，甲校学生数学成绩的中位数比乙校学生数学成绩的2 中位数高．（2 分）（2）由题意，作出 2 ⨯ 2 列联表如下：甲校乙校 合计 数学成绩优秀 10 7 17 数学成绩不优秀10 13 23 合计20204040 ⨯ (10 ⨯13 -10 ⨯ 7)2计算得 K 2的观测值 k = ≈ 0.9207 < 2.706 ，20 ⨯ 20 ⨯17 ⨯ 23所以没有 90 0 0 的把握认为数学成绩在 100 分及以上的学生中数学成绩是否优秀与所在学校有关．（8 分）（3）因为 X ~ N (110,144) ，所以μ= 110 ，σ== 12 ，| -1⨯ (-1) + 3 ⨯ 3 + 0 ⨯ 3 |(-1)2 + ( 3)2 + 02 ⨯ (-1)2 + ( 3)2 + ( 3)2 2 77理科数学 第 7页（共 10页）(1, ) (1, ) ⎨ x PM PN ⎩所以 P (86 < X ≤ 134) = 0.9544 ，所以 P ( X > 134) =1 - 0.9544= 0.0228 ， 2由题意可知ξ~ B (3, 0.0228) ，所以 E ξ= 3⨯ 0.0228 = 0.0684 ．（12 分）20．（本小题满分 12 分）【解析】（1）由 e = 1（其中 e 为椭圆C2圆 x 2 + y 2 - 2x - 3y = 0 的圆心为 3 ，由 3 在椭圆 C 上，得 1 + 9= 1 ，即3a 2 = 1 ，2 = 4b 2 ，⎧3a 2 = 4b 2 联立⎪ 2 2⎧⎪a 2= 4 ，解得⎨， a 24b 2 ⎨ 1 ⎪⎩a 2 + 9 = 1 4b 2⎪⎩b 2= 3 x 2 + y 2 =故椭圆 C 的标准方程为 4 3⎧ y = mx + n 1 ．（4 分）（2）联立⎪ 2 + y 2 ，消去 y ，整理得(3 + 4m 2 )x 2 + 8mnx + 4n 2 -12 = 0 ， = 1 ⎪⎩ 4 3因为直线 y = mx + n 与椭圆 C 只有一个公共点 M ，所以∆= 64m 2 n 2 - 4(3 + 4m 2 )(4n 2 -12) = 0 ，即 n 2 = 3 + 4m 2 ，（6 分）设点 M 的坐标为(x , y ) ，则 x = - 4mn = - 4m , y = mx + n = 3 ，即 M (-4m 3，（8 分） M M M3 + 4m 2 n M Mn n , n )假设 x 轴上存在点 P (t , 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ，4m 3因为 N (4, 4m + n ) ，所以 PM = (- - t , ) ， PN = (4 - t , 4m + n ) ，n n则 ⋅ = (- 4m - t )(4 - t ) + 3 (4m + n ) = t 2 - 4t + 3 + 4m (t - 1) = 0 恒成立，n n n⎧t = 1所以⎨t 2 - 4t + 3 = 0 ，所以t = 1 ，即在 x 轴上存在点 P (1, 0) ，使得以 MN 为直径的圆恒过点 P ．（12 分）21．（本小题满分 12 分）【解析】（1）若 a = 2 ，则 g (x ) = x 2 - 2x ln x + 2 + x ln x = x 2 - x ln x + 2 ， 所以 g' (x ) = 2x - ln x - 1 ，（2 分）因为函数 g (x ) 的图象在 x = t 处的切线的斜率 k = g' (t ) = 2t - ln t - 1 = 1 ，即 2t - ln t - 2 = 0 ， 设ϕ(t ) = 2t - ln t - 2(t > 1 ) ，则ϕ' (t ) = 2 - 1> 0 ，2 t理科数学 第 8页（共 10页）⎩ 所以ϕ(t ) 在( 1 ，+∞) 上是增函数，又ϕ(1) = 0 ，2所以 2t - ln t - 2 = 0 有唯一实数解t = 1 ，（2 分）因为 g (1) = 3 ，把(1, 3) 代入 y = x + b 得b = 2 ．（4 分） （2） ∀x ∈[1, e] ， f (x ) > -1 ，即 x - a ln x + a + 1> 0 ． x设 h (x ) = x - a ln x + a + 1，则 h (x ) 在[1, e]上的最小值 h (x ) x因为 h' (x ) = 1 - a - a + 1 = (x + 1)(x - a - 1)，（5 分）min> 0 ，x x 2 x 2①当 a + 1 ≤ 1即a ≤ 0 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≥ 0 ，所以 h (x ) 单调递增， 所以 h (x )min = h (1) = 2 + a > 0 ，所以-2 < a ≤ 0 ．（7 分）②当1 < a + 1 < e ，即0 < a < e - 1 时， x ∈[1, a + 1] 时 h'(x ) ≤ 0 ， h (x ) 单调递减， x ∈[a + 1, e] 时 h'(x ) ≥ 0 ， h (x ) 单调递增，所以 h (x )min = h (a + 1) = 2 + a - a ln(a + 1) ，由1 < a + 1 < e 可得0 < a ln(a + 1) < a ， 所以 h (a + 1) > 2 > 0 ，满足题意．（9 分）③当 a + 1 ≥ e 即 a ≥ e - 1 时，在区间[1, e] 上， h'(x ) ≤ 0 ，所以 h (x ) 单调递减， a + 1e 2 + 1 e 2 + 1 所以 h (x )min = h (e) = e +e 2+ 1- a > 0 ，解得 a < e ，因为 > e -1， e -1 e -1所以e -1 ≤ a < e -1．（11 分） e 2 +1综上可得实数 a 的取值范围是(-2, ) ．（12 分）e -1 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）将ρcos θ= x ， ρ2 = x 2 + y 2 代入ρ2 - 2 | ρcos θ|= 3 ，得曲线C 的直角坐标方程为 x 2 + y 2 - 2 | x |= 3 ，即(| x | -1)2 + y 2 = 4 ，（3 分）所以曲线 C 表示圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 及圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) ．（5 分）⎧x = a - 2t （2）由⎨ y = 2t消去参数 t 得直线 l 的普通方程为 x + y - a = 0 ，当直线 l 与圆弧(x -1)2 + y 2 = 4(x ≥ 0) 相切时（如图），得|1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 + 1 或 a = -2 + 1 （舍去）；（8 分）2 2理科数学 第 9页（共 10页）2f (x ) ⎨x > 1 ⎩当直线 l 与圆弧(x + 1)2 + y 2 = 4(x < 0) 相切时，得| -1 + 0 - a |= 2 ， 2解得 a = 2 - 1 （舍去）或 a = -2 - 1，所以当-2 - 1 < a < 2 + 1 时直线l 与曲线C 有 2 个公共点，故 a 的取值范围为(-2 -1, 2 2 + 1) ．（10 分）23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲【解析】（1）当 a = 0 时， f (x ) =| 2x - 2 | + | x + 1| ，由题意， x ≠ 0 ， ①当 x < 0 时， f (x ) ≥ 3 | x | ⇔ f (x ) ≥ -3 ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|> -3 ，该不等式恒成立；（3 分） x②当 x > 0 时， f (x ) ≥3 | x | ⇔| 2x - 2 | + | x + 1|≥ 3 ，x⇔ ⎧2x - 2 + x + 1 ≥ 3 ⎩ ⇔ x ≥ 4 ．3⎧-2x + 2 + x + 1 ≥ 3或⎨0 < x ≤ 1 综上可得 x < 0 或 x ≥ 4 ，故不等式 f (x ) ≥ 3 | x |的解集为(-∞, 0) [ 4 , +∞) ．（5 分）3 x 3（2）因为| 2x - 2 | + | x + 1| = 2 | x -1| + | x + 1| ≥| x - 1| + | x + 1| ≥| (x - 1) - (x + 1) | =2，当且仅当 x = 1 时等号成立，所以| 2x - 2 | + | x + 1| -a ≥ 2 - a ．（8 分）所以要使函数 y = 的值域为[0, +∞) ，应满足 2 - a ≤ 0 ，即 a ≥ 2 ， 所以实数 a 的取值范围是[2, +∞) ．（10 分）2 2 2 2理科数学第10页（共10页）。
高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)
2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)
(整理版)2019高考卷III理科数学真题(含答案)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 设集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|x²3x+2=0}，则A∩B=（）A. {1, 2}B. {1}C. {2}D. ∅2. 若复数z满足|z|=1，则|z1|的最大值为（）A. 0B. 1C. 2D. √23. 在等差数列{an}中，若a1=1，a3+a7=22，则数列的公差为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，则实数a的值为（）A. 2B. 0C. 2D. 45. 若直线y=kx+b与圆(x1)²+y²=1相切，则k的取值范围是（）A. [√2，√2]B. (√2，√2)C. [1，1]D. (1，1)6. 在三角形ABC中，若a=3，b=4，cosB=3/5，则sinA的值为（）A. 3/5B. 4/5C. 3/4D. 4/37. 若函数f(x)=x²2x+3在区间[1，2]上的最小值为m，最大值为M，则Mm的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 38. 设平面直角坐标系xOy中，点A(2，3)，点B在直线y=2x上，若|AB|=√10，则点B的坐标为（）A. (1，2)B. (2，4)C. (1，2)D. (1，2)9. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列的前n项和为（）A. n²B. n²+1C. n²+nD. 2n²+2n10. 若函数f(x)=x³3x在区间（1，2）上的最大值为M，最小值为m，则M+m的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 在平行四边形ABCD中，若AB=3，BC=4，∠ABC=120°，则平行四边形ABCD的面积为（）A. 6B. 8C. 10D. 1212. 已知函数f(x)=x²+ax+b，若f(x)在区间（∞，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，且f(0)=4，则函数f(x)的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知等差数列{an}的公差为2，且a1+a3+a5=21，则a4的值为______。
2019届高三上学期三调考试数学(理)试题
2019届高三上学期三调考试 数学（理）试题（word 版）Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}2210M x x x =--<，{}20N x x a =+>，U R =，若U M C N φ⋂=，则a 的取值范围是( ) A.1a >B.1a ≥C.1a <D.1a ≤2.若直线y kx =与双曲线22194x y -=相交，则k 的取值范围是( )A.20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭B.2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C.22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D.22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3.在ABC △中，3AB =，2AC =，12BD BC =，则AD BD ⋅=( )A.52-B.52C.54-D.544.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，正项等比数列{}n b 中，23b a = ，()23142,n n n b b b n n N +-+=≥∈，则2log n b =( ) A.1n -B.21n -C.2n -D.n5.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B ，且ABC △为等腰直角三角形，则实数a 的值为( )A.17或1- B.1- C.1 D.1或1-6.在ABC 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若2222014a b c +=，则()2tan tan tan tan tan A BC A B ⋅+的值为( )A.2013B.1C.0D.20147.已知点()(),0M a b ab ≠是圆222:C x y r +=内一点，直线l 是以M 为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为2bx ay r -=，那么( ) A.l m ⊥且m 与圆C 相切 B.l m ∥且m 与圆C 相切 C.l m ⊥且m 与圆C 相离D.l m ∥且m 与圆C 相离8.若圆22210x y ax y +-++=和圆221x y +=关于直线1y x =-对称，过点(),C a a -的圆P 与y 轴相切，则圆心P 的轨迹方程是( ) A.24480y x y -++= B.22220y x y +-+= C.24480y x y +-+=D.2210y x y --+=9.平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD AD ⋅=-，点M 在边CD 上，则MA MB ⋅的最大值为( )11-C.0D.210.已知椭圆()222210,0x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α=∠，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是( )A.⎤⎥⎣⎦B.1⎤⎥⎣⎦C.⎣⎦D.⎣⎦11.已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A ，B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )1 112.已知在R 上的函数()f x 满足如下条件：①函数()f x 的图象关于y 轴对称；②对于任意x R ∈，()()220f x f x +--=；③当[]0,2x ∈时，()f x x =；④函数()()()12n n f x f x -=⋅，*n N ∈，若过点()1,0-的直线l 与函数()()4f x 的图象在[]0,2x ∈上恰有8个交点，则直线l 斜率k 的取值范围是( ) A.80,11⎛⎫⎪⎝⎭B.110,8⎛⎫ ⎪⎝⎭C.80,19⎛⎫ ⎪⎝⎭D.190,8⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，已知1sin 262A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1b =，ABC △，则sin sin b cB C++的值为_______________.14.已知平面上有四点,,,O A B C ，向量OA ，OB ，OC 满足：0OA OB OC ++=，1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-，则ABC △的周长是_______________.15.已知1F 、2F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π=∠，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_______________.16.已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式()2235n n n a λ--<-对*n N ∀∈恒成立，则整数λ的最大值为________________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC △中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知向量33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且满足3m n +=. (1)求角A 的大小；(2)若b c +=，试判断ABC △的形状.18.已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . (1)求圆C 的方程；(2)在圆C 上是否存在两个点M ，N 关于直线1y kx =-对称，且以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.19.各项均为正数的数列{}n a 中，11a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*n N ∈，有()222n n n S pa pa p p R =+-∈.(1)求常数p 的值； (2)求数列{}n a 的通项公式； (3)记423nn n S b n =⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率e =，原点到过点(),0A a ，()0,B b -.(1)求椭圆C 的方程；(2)如果直线()10y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点,E F ，且,E F 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 21.已知定点()0,1F ，定直线:1m y =-，动圆M 过点F ，且与直线m 相切. (1)求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线与曲线C 相交于,A B 两点，分别过点,A B 作曲线C 的切线1l ，2l ，两条切线相交于点P ，求PAB △外接圆面积的最小值. 22.设函数()21ln 2f x x ax bx =--.(1)当12a b ==时，求函数()f x 的最大值； (2)令()()212a F x f x ax bx x =++-，()03x <≤其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(3)当0a =，1b =-，方程()22mf x x =有唯一实数解，求正数m 的值.2018～2019学年度上学期高三年级三调考试数学(理)试卷答案一、选择题1-5:BCCDD 6-10:ACCDB 11、12：CA二、填空题13.2 14.三、解答题17. 解：(1)∵()()2223m n m n ++⋅=，代入33cos ,sin 22A A m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22A A n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，有33112cos cos sin sin 32222A A A A ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭，∴331cos cos sin sin 22222A A A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即31cos 222A A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴1cos 2A =，60A =°. (2)法一：∵1cos 2A =，∴222122b c a bc --=①又∵b c +=②联立①②有，222bc b c =+-，即222520b bc c --=，解得2b c =或2c b =，又∵b c -，若2b c =，则a =，∴)2222224a c c c b +=-==，ABC △为直角三角形，同理，若2c b =，则ABC △也为直角三角形.18.(1)由已知，得圆心在经过点()4,0P 且与28y x =-垂直的直线122y x =-+上，它又在线段OP 的中垂线2x =上，所以求得圆心()2,1C .所以圆C 的方程为：()()22215x y -+-=.(2)假设存在两点,M N 关于直线1y kx =-对称，则1y kx =-通过圆心()2,1C ，求得1k =， 所以设直线MN 为y x b =-+，代入圆的方程得()2222220x b x b b -++-=， 设()11,M x x b -+，()22,N x x b -+，则()121222230OM ON x x b x x b b b ⋅=-++=-=，解得0b =或3b =，这时0∆>，符合题意，所以存在直线MN 为y x =-或3y x =-+符合条件.19.解：(1)由11a =及()2*22n n n S pa pa p n N =+-∈，得：22p p p =+-，∴1p =.(2)由2221n nn S a a =+-①，得2111221n n n S a a +++=+-② 由②－①，得()()2211122n n n n n a a a a a +++=-+-，即：()()()11120n n n n n n a a a a a a ++++--+=， ∴()()112210n n n n a a a a +++--=，由于数列{}n a 各项均为正数，∴1221n n a a +-=，即112n n a a +-=， ∴数列{}n a 是首项为1，公差为12的等差数列， ∴数列{}n a 的通项公式是()111122n n a n +=+-⨯=. (3)由12n n a +=，得：()34n n n S +=，∴4223n n n n S b n n =⋅=⋅+，∴231222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⋅…()23121222122n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯…，()()2311121222222212212n n n n n n T n n n +++--=++++-⋅=-⨯=--⋅--…()1122n n T n +=-⋅+.20.解：(1)因为c a =，222a b c -=，所以2a b =，因为原点到直线:1x yABa b -=的距离d =4a =，2b =， 故所求椭圆C 的方程为221164x y +=.(2)由题意2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()22148120k x kx ++-=，可知0∆>，设()22,E x y ，()33,F x y ，EF 的中点是(),M M M x y ，则2324214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+， 所以21M BM M y k x k +==-，所以20M M x ky k ++=，即224201414k k k k k -++=++，又因为0k ≠， 所以218k =，所以k =21.解：(1)设点M 到直线l 的距离为d ，依题意2M d =，设(),M x y1y +，化简得24x y =.所以点M 的轨迹C 的方程为24x y =.(2)设:1AB l y kx =+，代入24x y =中，得2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，124x x ⋅=-，所以()21241AB x x k =-=+，因为2:4C x y =，即24x y =，所以2xy =，所以直线1l 的斜率为112x k =，直线2l 的斜率为222x k =，因为121214x xk k ==-，所以PA PB ⊥，即PAB △为直角三角形.所以PAB △的外接圆的圆心为线段AB 中点，线段AB 是直径，因为()241AB k =+， 所以当0k =时线段AB 最短，最短长度为4，此时圆的面积最小，最小面积为4π. 22.解：(1)依题意，知()f x 的定义域为()0,+∞， 当12a b ==时，()211ln 42f x x x x =--， ()()()21111'222x x f x x x x-+-=--=， 令()'0f x =，解得1x =.(∵0x >)因为 ()0g x =有唯一解，所以()20g x =，当01x <<时，()'0f x >，此时()f x 单调递增； 当1x >时，()'0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的极大值为()314f =-，此即为最大值.(2)()ln aF x x x =+，(]0,3x ∈，则有()00201'2x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，所以200max12a x x ⎛⎫≥-+ ⎪⎝⎭，(]00,3x ∈. 当01x =时，20012x x -+取得最大值12，所以12a ≥.(3)因为方程()22mf x x =有唯一实数解， 所以22ln 20x m x mx --=有唯一实数解， 设()22ln 2g x x m x mx =--，则()2222'x mx mg x x--=，令()'0g x =，20x mx m --=，因为0m >，0x >，所以10x =<(舍去)，2x =当()20,x x ∈时，()'0g x <，()g x 在()20,x 上单调递减； 当()2,x x ∈+∞时，()'0g x >，()g x 在()2,x +∞上单调递增； 当2x x =时，()2'0g x =，()g x 取最小值()2g x .则()()220'0g x g x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即22222222ln 200x m x mx x mx m ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，所以222ln 0m x mx m +-=，因为0m >，所以222ln 10x x +-=(*) 设函数()2ln 1h x x x =+-，因为当0x >时，()h x 是增函数，所以()0h x =至多有一解，因为()10h =，所以方程(*)的解为21x =1=，解得12m =.。
2019届高三上学期第三次调研考试数学理试题Word版含答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.（1）已知集合{}2|2A x x x =+-<0，集合{}|B x x =>0，则集合AB =（ ）A ．{}|1x x <B ．{}|2x x >-C ．{}|0x x <<1D ．{}|2x x -<<1 （2）若复数z 满足1i z i ⋅=--，则在复平面内，z 所对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（3）若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．2B ．6C ．7D ．8 （4）两个正数a 、b 的等差中项是，且a b ＜， 的离心率e 等于（ ）ABCD （5）已知函数()y f x =与x y e =互为反函数，函数()y g x =的图象与()y f x =的图象关于x 轴对称，若()1g a =，则实数a 的值为（ ） A ．e -B C ．eD （6）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”。
如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的n 值为（ ） A ．48 B ．36 C ．24 D ． 12）（7）已知直线l 过点()2,0P -，当直线l 与圆222x y x +=有两个交点时，其斜率k 的取值范围为（ ） ABCD（8）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何的体积为（ ）立方单位。
ABCD（9）已知F 是抛物线24x y =的焦点，M ，N 是该抛物线上两点，则MN的中点到准线的距离为（ ） AB ．2C ．3D ．4 （10）在ABC ∆中，点D 是AC 上一点，且4AC AD =，P 为BD 上一点，向量()AP AB AC λμλμ=+>0,>0，则）A ．16B ．8C ．4D ．2 （11在[]0,π内的值域为则ω的取值范围为（ ）ABC D ．(]0,144432 2 2 3正视图侧视图俯视图（12）已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-且()00f =，当](0,4x ∈时关于x 的不等式()()20f x a f x +⋅>⎡⎤⎣⎦在[]200,200-上有且只有200个整数解，则实数a 的取值范围为（） ABCD 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.（13________。
(理科数学答案) 2019年高三年级第三次诊断性测试
2019年高三年级第三次诊断性测试（理科数学答案）一、选择题：每小题5分.1~5 BABBC 6~10 ABDCD 11~12 CC 二、填空题：每小题5分. 13.23π14.3 15.2 16.15,28éö÷ê÷êëø三、解答题：17.（12分）（Ⅰ）由正弦定理得1sin C=Û()sin cos cos sin C B B C C B =+-()()()sin tan B C B C B C Û+=+Û+=∴60B C +=°，∴120A =°； …6分（Ⅱ）1sin 2S bc A ==，∵222222cos 3a b c bc A b c bc bc =+-=++³，即33bc ³∴1bc £，∴1sin 2S bc A ==£…12分 18.（12分）（Ⅰ）如图，取AD 中点G ，联结CG 交BD 于Q ，∴1//CG C E ，联结AF 交BD 于P ， ∵,F G 都是中点，∴AFCG 是平行四边形， ∴//PF CG ，∴//PF 平面1DEC ， 又∵//AF CG ，∴BP PQ QD ==，∴133BP BD ==； …6分（Ⅱ）建立空间直角坐标系，易得二面角1P EC D --的余弦值为13. …12分19. （12分）（Ⅰ）由已知可得100x =，()922221100671496000i i x ==´+++=å ，∴9221996000900006000i i x x =-=-=å，又()91ln 2522i i i x y =×=å，24.022.679v =»，∴25229 2.67100119ˆ0.0260006000b-´´==»， ˆ 2.670.021000.67a =-´=， ∴回归方程为：0.020.67x y e +=； …6分 （Ⅱ）由 3.67ˆ39.25ye =»，而39.25 1.247.147´=>， ∴这一在校男生的体重是正常的. …12分 20.（12分）（Ⅰ）由2b =，e =，得21c =，25a =，∴椭圆的方程为22154x y +=； …5分（Ⅱ）设P 为MN 的中点，由题意得2BF FP =，()0,2B ，()1,0F ，设(),P x y ，则()1,2BF =- ，∴1,12FP æöç÷=-ç÷èø ，即3,12P æöç÷-ç÷èø， 设直线l ：312y k x æöç÷+=-ç÷èø，即312y kx k æöç÷=-+ç÷èø，代入2245200x y +-=得 ()()222354532512002k x k k x k æöç÷+-+++-=ç÷èø， ∴()22253231510151254k k k k k k +=Þ+=++，∴65k =， ∴直线l 的方程为65140x y --=，联立2215465140x y x y ì+=ïíï--=ïî得2721120x x -+=， ∴MN =又d ==，∴11223535BMN S d MN D =××==. …12分21. （12分） （Ⅰ）由()()()()'221111xx x e ax e x fx a x xx --æö-ç÷=+-=ç÷èø，∴()22'2244e e a f -==， ∴0a =； …5分（Ⅱ）由()()()()'210xx eaxfx x x--=>设()()0x g x e ax x =->，则()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=， ∴①若01a <£时，()'x g x e a =-，∴()()01g x g >=，∴()f x 在()0,1上递增，在()1,+¥上递减，∴()()min 11f x f e a e ==-³-，显然满足()20f x e +³，②若1a e <£时，()'0ln g x x a =Þ=，∴()()()ln ln 1ln 0g x g a a a a a a ³=-=-³， 同①则()()min 10f x f e a ==-³，也满足()20f x e +³， ③若2e a e <£时，()'0x g x e a =Þ=，∴(]ln 1,2x a =Î，∴()()()min ln 1ln 0g x g a a a ==-<， ∴()g x 在()0,+¥上存在两个零点12,x x ，且()10,1x Î，()21,x Î+¥，()f x 在()0,1和()21,x 上是减函数，在()1,1x 和()2,x +¥上是增函数，∴()f x 在1x 和2x 处取得极小值，由()()()1111111ln ln x e f x a x x a a x x x =+-=+-，又11x e ax =，∴11ln ln x a x =+，即11ln ln x x a -=-，∴()()1ln 1ln f x a a a a a =-=-，同理()()21ln f x a a =-，∴()()min 1ln f x a a =-， 记()()()21ln h a a a e a e =-££，则()()''ln 11ln ln 0h a a a a a a =-=--=-<，∴()()()222min 12h a h e e e ==-=-，∴2e a e ££时，()()221ln 0f x e a a e +³-+³， 综上所述 20a e ££时()20f x e +³成立. …12分 22. （10分）（Ⅰ）sin cos 0x αy α-=，()2221x y -+=； …5分 （Ⅱ）直线参数方程代入圆的方程得()()22cos 2sin 1t αt α-+=，化简得24cos 30t t α-+=，当06πα<<cos 1α<<，2316cos 04αæöç÷D =->ç÷èø成立，∴12124cos OA OB t t t t α+=+=+=，∵06πα<<，∴4OA OB <+<. …10分 23. （10分）（Ⅰ）()32f x x >-+，即123x x +++>，由数轴得()(),30,x Î-¥-+¥∪； …5分 （Ⅱ）∵()[]11,1f x x x x -=+-Î-，要证()f x x -£1£∵2a b +=2a b =+³14ab £，1==³. …10分以上各题的其他解法，限于篇幅，从略，请酌情给分．。
黑龙江省2019年高三(上)第三次段考数学试卷(理科)(解析版)
2019年黑龙江省高三（上）第三次段考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}2．若复数z=，则复数z的模|z|=（）A．B．C．D．53．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2 |=（）A．B．C．2 D．4．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值等于（）A． B． C． D．5．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．2566．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．97．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（π，0）对称 D．关于直线x=π对称8．若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）的所有一次不动点之和为m，则（）A．m＜0 B．m=0 C．0＜m＜1 D．m＞19．函数的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．给出下列说法，其中正确的个数是（）①命题“若α=，则sinα=”的否命题是假命题；②命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，）”，使sinx+cosx=”，命题q：“在△ABC 中，若sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（￢p）∧q为真命题．A．1 B．2 C．3 D．411．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．30° D．45°12．数列{a n}满足a1=1，a2=1，，则a9，a10的大小关系为（）A．a9＞a10B．a9=a10C．a9＜a10D．大小关系不确定二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在横线上．13．若等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，则a4=．14．设（e为自然对数的底数），则的值．15．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．16．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，=，求a的值．若=1，b=1，S18．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，其前n项和为T n，求证：T n＜（n ∈N*）．19．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．20．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R，集合A={x|y=，集合B={y|y=2x，x∈R}，则（∁R A）∩B=（）A．{x|x＞2}B．{x|0＜x≤1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜0}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】由全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x ≤2}，求出∁R A={x|x＜0，或x＞2}，再由B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵全集U=R，集合A={x|y=}={x|2x﹣x2≥0}={x|0≤x≤2}，∴∁R A={x|x＜0，或x＞2}，∵B={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}，∴（∁R A）∩B={x|x＞2}．故选A．2．若复数z=，则复数z的模|z|=（）A．B．C．D．5【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z===，则复数z的模|z|==．故选：B．3．已知向量=（1，x），=（1，x﹣1），若（﹣2）⊥，则|﹣2 |=（）A．B．C．2 D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】向量的坐标运算和向量的数量积求出x的值，再根据向量的模计算即可．【解答】解：∵向量=（1，x），=（1，x﹣1），∴﹣2=（1，x）﹣2（1，x﹣1）=（﹣1，2﹣x），∵（﹣2）⊥，∴（﹣2）•=0，即﹣1+x（2﹣x）=0，解得x=1，∴﹣2=（﹣1，1），∴|﹣2|==，故选：A．4．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，则tan（α+）的值等于（）A． B． C． D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由于α+=（α+β）﹣（β﹣），利用两角差的正切即可求得答案．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===．故选：B．5．在正项等比数列{a n}中，a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，则a8•a10•a12等于（）A．16 B．32 C．64 D．256【考点】等比数列的性质．【分析】由a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，根据韦达定理即可求出a1和a19的积，而根据等比数列的性质得到a1和a19的积等于a102，由数列为正项数列得到a10的值，然后把所求的式子也利用等比数列的性质化简为关于a10的式子，把a10的值代入即可求出值．【解答】解：因为a1和a19为方程x2﹣10x+16=0的两根，所以a1•a19=a102=16，又此等比数列为正项数列，解得：a10=4，则a8•a10•a12=（a8•a12）•a10=a103=43=64．故选C6．若a＞0，b＞0，且函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则ab的最大值（）A．2 B．3 C．6 D．9【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求出函数的导数，由极值的概念得到f′（1）=0，即有a+b=6，再由基本不等式即可得到最大值．【解答】解：函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2的导数f′（x）=12x2﹣2ax ﹣2b，由于函数f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx﹣2在x=1处有极值，则有f′（1）=0，即有a+b=6，（a，b＞0），由于a+b≥2，即有ab≤（）2=9，当且仅当a=b=3取最大值9．故选D．7．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，将该函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称C．关于点（π，0）对称 D．关于直线x=π对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】由已知其周期公式可求ω=2，再由f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得f（x）=sin（2x++φ）为奇函数，则有+φ=kπ（k∈Z），|φ|＜，可求φ 代入选项检验．【解答】解：由已知T=，则ω=2，f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得f（x）=sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）为奇函数，则有： +φ=kπ（k∈Z），∵|φ|＜，∴φ=﹣，可得：f（x）=sin（2x﹣）．代入选项检验，当x=时，f（）=sin=1为函数的最大值，根据三角函数的性质可知对称轴处将取得函数的最值，D正确．故选：D．8．若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（x）的一次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）的所有一次不动点之和为m，则（）A．m＜0 B．m=0 C．0＜m＜1 D．m＞1【考点】函数恒成立问题．【分析】函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0．或利用函数y=lnx的图象与函数y=e x的图象关于直线y=x对称即得出答案．【解答】解：函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），而e x=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0．（法二）因为函数y=lnx的图象与函数y=e x的图象关于直线y=x对称所以y=lnx与y=﹣x的交点和y=e x与y=﹣x的交点关于y=x对称，从而可得m=0故选B9．函数的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】正切函数的图象；函数的零点与方程根的关系．【分析】将函数零点个数，转化为图象交点的个数，在同一坐标系中画出它们的图象即可得到结论【解答】解：在同一坐标系中画出函数y=3cos，y=log2x+的图象，如图所示，由图象知它们有3个交点，即函数有3个零点．故选B．10．给出下列说法，其中正确的个数是（）①命题“若α=，则sinα=”的否命题是假命题；②命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③“φ=+2kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④命题p：“∃x∈（0，）”，使sinx+cosx=”，命题q：“在△ABC 中，若sinA＞sinB，则A＞B”，那么命题（￢p）∧q为真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，若α≠时，则sinα可能成立；②，命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1；③，“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件；④，命题p：x∈（0，），sinx+cosx=＞1，命题p是假命题，命题q是真命题，【解答】解：对于①，原命题的否命题是：“若α≠，则sinα≠”是假命题，故正确；对于②，命题p：∃x0∈R，使sinx0＞1，则￢p：∀x∈R，sinx≤1，正确；对于③，“φ=+kπ（k∈Z）”是“函数y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件，故错；对于④，命题p：x∈（0，），sinx+cosx=＞1，∴命题p是假命题，命题q是真命题，那么命题（￢p）∧q为真命题，故正确．故选：C11．若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90°B．60°C．30° D．45°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【分析】G是△ABC的重心，可得=，又a+b+c=，可得a=1，b=1，c=1，利用余弦定理即可得出．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴=，又a+b+c=，∴a=1，b=1，c=1，由余弦定理可得：cosA===．∵A∈（0°，180°）．∴A=30°．故选：C．12．数列{a n}满足a1=1，a2=1，，则a9，a10的大小关系为（）A．a9＞a10B．a9=a10C．a9＜a10D．大小关系不确定【考点】数列递推式．【分析】对n分奇数、偶数，结合特殊角的三角函数值将递推关系式化简，进一步考察数列中项的关系规律，再进行求解比较．【解答】解：当n为偶数时，a n+2=（1+0）a n+4×1=a n+4，偶数项构成以4为公差的等差数列．a10=a2+（5﹣1）×4=1+16=17．当n为奇数时，a n+2=（1+1）a n+4×0=2a n，奇数项构成以2为公比的等比数列．a9=a1•24=1×16=16，所以a9＜a10故选C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填写在横线上．13．若等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，则a4=7．【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，解得a3=5，d=a3﹣a2=5﹣3=2，由a4=a3+d，能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}的前5项和S n=25，且a2=3，∴，∴a3=5，d=a3﹣a2=5﹣3=2，∴a4=a3+d=5+2=7．故答案为：7．14．设（e为自然对数的底数），则的值．【考点】定积分；分段函数的解析式求法及其图象的作法．【分析】根据定积分的定义，找出分段函数各自区间的原函数然后代入计算即可．【解答】解：∵，∴=∫01f（x）dx+∫1e f（x）dx=（x3）|01+（lnx）|1e=+1=，故答案为．15．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．测得∠BCD=15°，∠BDC=30°，CD=30米，并在点C测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB=米．【考点】解三角形的实际应用．【分析】先根据三角形的内角和求出∠CBD，再根据正弦定理求得BC，进而在直角三角形ACB中根据∠ACB及BC，进而求得AB．【解答】解：∠CBD=180°﹣∠BCD﹣∠BDC=135°，根据正弦定理，∴BC===15，∴AB=tan∠ACB•CB=×15=15，故答案为15．16．已知函数f（x）=x（e x﹣e﹣x）﹣（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），则满足f（x）＞0的实数x的取值范围为（，1）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据条件构造函数g（x），利用函数的奇偶性和单调性的性质解不等式即可【解答】解：构造函数g（x）=x（e x﹣e﹣x），则g（x）=x（e x﹣e﹣x）为偶函数，且当x＞0时，g（x）单调递增，则由f（x）＞0，得x（e x﹣e﹣x）＞（2x﹣1）（e2x﹣1﹣e1﹣2x），即g（x）＞g（2x﹣1），∴不等式等价为g（|x|）＞g（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，即x2＞（2x﹣1）2，∴3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，故答案为：（，1）．三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosωx，sinωx），=（cosωx，co sωx），ω＞0，函数，其最小正周期为π．（1）求函数f（x）的表达式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，S为其面积，=，求a的值．若=1，b=1，S【考点】正弦定理；平面向量数量积的运算．【分析】（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，整理即可表示出f（x）解析式，利用正弦函数的单调性确定出f（x）的递增区间即可；（2）由f（）=1以及（1）确定出的解析式，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把b，sinA，以及已知面积代入求出c 的值，再利用余弦定理即可求出a的值．【解答】解：（1）∵=（cosωx，sinωx），=（cosωx，cosωx），ω＞0，∴函数f（x）=•﹣=cos2ωx+sinωxcosωx﹣=（1+cos2ωx）+sin2ωx﹣=sin（2ωx+），∵T=π，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z，得到﹣+kπ≤x≤+kπ，k ∈Z，则f（x）的增区间为[﹣+kπ， +kπ]（k∈Z）；（2）由f（）=sin（A+）=1，得到A+=，即A=，=bcsinA=，b=1，∵S∴c=4，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，则a=．18．等差数列{a n}中，2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，其前n项和为S n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足b n=，其前n项和为T n，求证：T n＜（n ∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求；（Ⅱ）运用等差数列的求和公式，求得S n=n2，b n==（﹣），由数列的求和方法：裂项相消求和，计算化简，再由不等式的性质，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，因为2a1+3a2=11，2a3=a2+a6﹣4，可得2a1+3（a1+d）=5a1+3d=11，2（a1+2d）=a1+d+a1+5d﹣4，得d=2，a1=1，所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．（Ⅱ）证明：S n=na1+n（n﹣1）d=n+n（n﹣1）×2=n2，b n====（﹣），前n项和为T n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（1+﹣﹣﹣）=﹣（+）＜．即有T n＜（n∈N*）．19．如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2．（Ⅰ）求证：AC∥平面BEF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．（Ⅱ）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能结合三角函数知识能求出平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．【解答】（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG∴OG∥DE，且OG=DE．∵AF∥DE，DE=2AF，∴AF∥OG，且OG=AF，∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．∴FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（Ⅱ）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵DE=DA=2AF=2，∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），设平面BEF的一个法向量为=（x，y，z），则，令x=1，则y=1，z=2，=（1，1，2），设平面ABCD与平面BEF所成二面角的平面角为α，由条件知α是锐角平面ABCD的法向量可取为（0，0，1），所以cosα=|=，所以tanα=即为所求．20．在直角坐标平面内，已知点A（2，0），B（﹣2，0），P是平面内一动点，直线PA、PB斜率之积为﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点（，0）作直线l与轨迹C交于E、F两点，线段EF的中点为M，求直线MA的斜率k的取值范围．【考点】轨迹方程；直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．由此可知动点P的轨迹C的方程．（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0，由此入手可推导出直线MA 的斜率k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设P点的坐标为（x，y），依题意，有．化简并整理，得．∴动点P的轨迹C的方程是．（Ⅱ）依题意，直线l过点且斜率不为零，故可设其方程为，由方程组消去x，并整理得4（3m2+4）y2+12my﹣45=0设E（x1，y1），F（x2，y2），M（x0，y0），则∴，∴∴，∴，①当m=0时，k=0；②当m≠0时，∵，∴0．∴．∴且k≠0．综合①②可知直线MA的斜率k的取值范围是：﹣．21．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1（a＞0，e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，求实数a的值；（3）在（2）的条件下，证明：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；导数的运算．【分析】（1）求导函数，确定函数的单调性，从而可得f（x）在x=lna 处取得极小值，且为最小值；（2）f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min≥0．由（1），构造函数g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0，确定函数的单调性，即可求得实数a的值；（3）由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x，令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），可得，从而有，由此即可证得结论．【解答】（1）解：由题意a＞0，f′（x）=e x﹣a，由f′（x）=e x﹣a=0得x=lna．当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＜0；当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．即f（x）在x=lna处取得极小值，且为最小值，其最小值为f（lna）=e lna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1．（2）解：f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即在x∈R上，f（x）min ≥0．由（1），设g（a）=a﹣alna﹣1，所以g（a）≥0．由g′（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna=0得a=1．∴g（a）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，∴g（a）在a=1处取得最大值，而g（1）=0．因此g（a）≥0的解为a=1，∴a=1．（3）证明：由（2）知，对任意实数x均有e x﹣x﹣1≥0，即1+x≤e x．令（n∈N*，k=0，1，2，3，…，n﹣1），则．∴．∴=．请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．【解答】解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是[选修4-5：不等式选讲]23．设实数a，b满足2a+b=9．（i）若|9﹣b|+|a|＜3，求x的取值范围；（ii）若a，b＞0，且z=a2b，求z的最大值．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（i）由题意可得|9﹣b|=2|a|，不等式|9﹣b|+|a|＜3可化为|a|＜1，由此解得a的范围．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，再根据z=a2b=a•a•b，利用基本不等式求得它的最大值．【解答】解：（i）由2a+b=9得9﹣b=2a，即|9﹣b|=2|a|．所以|9﹣b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得﹣1＜a＜1．所以a的取值范围﹣1＜a＜1．（ii）因为a，b＞0，2a+b=9，所以，当且仅当a=b=3时，等号成立．故z的最大值为27．…。
2019届高三第三次教学质量检测理科数学试卷含解析
【解析】
【分析】
根据复数的除法运算法则，即可求解，得到答案
.
【详解】由题意，复数 z(1 i ) 1 i ，则 z 1 i 1i
1i 1i 1i 1i
D. i 2i
i ，故选 C. 2
【点睛】本题主要考查了复数的运算，其中解答中熟记复数的除法运算的法则是解答的关键，着重考查了运算与求 解能力，属于基础题 .
3.若向量 a (1,1)， b ( 1,3) ， c (2, x) 满足 (3a b) c 10 ，则 x （ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】 A
【解析】
【分析】
根据向量的坐标运算，求得 (3a b ) (2,6) ，再根据向量的数量积的坐标运算，即可求解，得到答案
.
【详解】由题意，向量 a (1,1)， b ( 1,3) ， c (2, x) ，则向量 (3a b ) 3(1,1) ( 1,3) (2,6) ，
则1
1
1 (
1 ) (2 m n) 3
n
2m
n 2m 32
3 2 2，
mn mn
mn
mn
当且仅当
1
所以
m
n 2m ，即 n
mn 1
的最小值为 3 n
2m 时等号成立， 2 2 ，故选 A.
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不是准确运算是解答的关
键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题
1)
15 ，解得 n
5，
2
n(n 1)
，
2
所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 2 7 1 13 114 ，
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(三)(附答案)
ˆ
ˆ
ˆ 并根据你的判断结果求回归方程．（b 结果保留一位小数）
（3）若一年按 365 天计算，试估计收费标准为多少时，年销售额 L 最大？（年销售额L 365 入住率 收费标
准 x）
xy
ˆ n nx y ， aˆ y ˆbx ， x 200， x 2 325000 ，
参考数据：b
i1
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题记分．
22．（10 分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
[2019· 新疆一模]在直角坐标系
xOy
中，圆 C
的参数方程为
x
2
2cos
为参数，以坐标
原点为极点，x 轴
y 2sin
的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 l 的极坐标方程为 ， 0 ．
数列， a 2 ， b b 4 ．
1
3
2
（1）求数列a 与b 的通项公式；
n
n
（2）若数列c 满足 c
a n
n N* ，T 为数列c 的前 n项和，证明T 1．
nn
bb
n
nn
n n1
18．（12 分）[2019·沧州模拟]近年来，随着互联网技术的快速发展，共享经济覆盖的范围迅速扩张，继共享单 车、共享汽车之后，共享房屋以“民宿”、“农家乐”等形式开始在很多平台上线．某创业者计划在某景区附近租 赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了 100 天．得到的统计数据如下表，x 为收费标准（单位：元/日）， t 为入住天数（单位：天） ，以频率作为各自的“入 住率”，收费标准 x 与“入住率” y 的散点图如图：
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学(一)(附答案)
2019届高三第三次模拟考试卷理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·深圳期末]已知集合22log 815A x y xx ，1Bx a xa ，若A B，则a 的取值范围是（）A ．,3B ．,4C ．3,4D ．3,42．[2019·广安期末]已知i 为虚数单位，aR ，若复数1i zaa 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第三象限，且5z z ，则z（）A ．12iB ．12iC ．2i D ．23i3．[2019·潍坊期末]我国古代著名的周髀算经中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分则“立春”时日影长度为（）A ．19533分B ．110522分C ．211513分D ．512506分4．[2019·恩施质检]在区间2,7上随机选取一个实数x ，则事件“2log 10x ”发生的概率是（）A ．13B ．59C ．79D ．895．[2019·华阴期末]若双曲线2210mxym的一条渐近线与直线2yx 垂直，则此双曲线的离心率为（）A ．2B ．52C ．3D ．56．[2019·赣州期末]如图所示，某空间几何体的正视图和侧视图都是边长为2的正方形，俯视图是四分之三圆，则该几何体的体积为（）A ．π4B ．π2C ．3π4D ．3π27．[2019·合肥质检]函数2sin f x xx x 的图象大致为（）A ．B ．班级姓名准考证号考场号座位号C ．D ．8．[2019·江西联考]已知0.21.1a ，0.2log 1.1b ， 1.10.2c，则（）A ．abcB ．bcaC ．ac bD ．cab9．[2019·汕尾质检]如图所示的程序框图设计的是求9998210099321aaaa 的一种算法，在空白的“”中应填的执行语句是（）A ．100inB ．99inC ．100i nD ．99in 10．[2019·鹰潭质检]如图所示，过抛物线220y px p的焦点F 的直线l ，交抛物线于点A ，B ．交其准线l 于点C ，若2BCBF ，且21AF，则此抛物线的方程为（）A ．22yxB ．22yx C ．23yxD ．23yx11．[2019·陕西联考]将函数πsin 26y x的图象向右平移π3个单位，在向上平移一个单位，得到g x 的图象若124g x g x ，且1x ，22π,2πx ，则122x x 的最大值为（）A ．9π2B ．7π2C ．5π2D ．3π212．[2019·中山期末]如图正方体1111ABCDA B C D ，棱长为1，P 为BC 中点，Q 为线段1CC 上的动点，过A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是（）①当102CQ 时，S 为四边形；②当12CQ 时，S 为等腰梯形；③当34CQ 时，S 与11C D 交点R 满足1113C R ；④当314CQ时，S 为六边形；⑤当1CQ 时，S 的面积为62．A ．①③④B ．②④⑤C ．①②④D ．①②③⑤二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·西安一模]已知向量a 与b 的夹角为60，3a，13ab，则b_____．14．[2019·吴忠中学]52xy xy 的展开式中33x y 的系数为__________．15．[2019·广安一诊]某车间租赁甲、乙两种设备生产A ，B 两类产品，甲种设备每天能生产A 类产品8件和B类产品15件，乙种设备每天能生产A 类产品10件和B 类产品25件，已知设备甲每天的租赁费300元，设备乙每天的租赁费400元，现车间至少要生产A 类产品100件，B 类产品200件，所需租赁费最少为_________元16．[2019·湖师附中]已知数列n a 满足：11a ，*12nnn a a n a N，1121nnb n a *n N，1b ，且数列n b 是单调递增数列，则实数的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·濮阳期末]已知ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1c o s 3s i n c Aa C ．。
2019届高三理科数学测试卷(三)附答案
第1页（共8页） 第2页（共8页）2019届高三理科数学测试卷（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|3A x x =≤，集合(){|lg B x y a x ==-，且}x ∈N ，若集合{}0,1,2A B =，则实数a的取值范围是（ ） A ．[]2,4B ．[)2,4C ．(]2,3D ．[]2,32．已知i 是虚数单位，复数z 是z 的共轭复数，复数1i3i 1iz -=+-，则下面说法正确的是（ ）A ．z 在复平面内对应的点落在第四象限B ．22i z =+C ．2+z z的虚部为1 D ．22zz =+ 3．已知双曲线()22106x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为（ ）A ．14222=-y x B ．18422=-y x C ．1822=-y x D ．18222=-y x 4．据统计一次性饮酒4．8两诱发脑血管病的概率为0．04，一次性饮酒7．2两诱发脑血管病的概率为0．16．已知某公司职员一次性饮酒4．8两未诱发脑血管病，则他还能继续饮酒2．4两不诱发脑血管病的概率为（ ） A ．87B ．65 C ．43 D ．2120 5．某四棱锥的三视图如图所示，其中每个小格是边长为1的正方形，则最长侧棱与底面所成角的正切值为（ ）A ．552 B ．25 C ．38 D ．23 6．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足()1502n n n a S S n -+=≥，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 的前n 项和为n S n 5=B ．数列{}n a 的通项公式为()151n a n n =+，115a =C ．数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为递增数列D ．数列{}n a 是递增数列7．古代著名数学典籍《九章算术》在“商功”篇章中有这样的描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，问积几何？”其中“圆亭”指的是正圆台体形建筑物．算法为：“上下底面周长相乘，加上底面周长自乘、下底面周长自乘的和，再乘以高，最后除以36．”可以用程序框图写出它的算法，如图，今有圆亭上底面周长为6，下底面周长为12，高为3，则它的体积为（ ）A ．32B ．29C ．27D ．218．若(),M x y 为⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤--≥+-0202302y x y x y x 区域内任意一点，则()22216z x y λλλ=++-的最大值为（ ）A ．2B ．28λ-C ．262+λD ．242--λ此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第3页（共8页） 第4页（共8页）9．已知实数a ，b ，c ，a a2log 2-=，121log 2b b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，2312c c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b a c >>10．将函数()22cos ()16g x x π=+-的图象，向右平移4π个单位长度，再把纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()f x ，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 在区间75,124ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 在区间25,34ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为3-D ．3x π=是函数()f x 的一条对称轴 11．已知函数()2e 3,0241,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨++<⎪⎩，若关于x 的方程()0f x kx -=有4个不同的实数解，则k 的取值范围为（ ） A ．()(),4223e,-∞--+∞B ．()e 3,422--C ．()(),422422,-∞-++∞D ．()3e,422-+12．已知过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且FB AF 3=，抛物线的准线l 与x 轴交于C ，l AA ⊥1于点1A ，且四边形CF AA 1的面积为36，过()1,0K -的直线'l 交抛物线于M ，N 两点，且(]()1,2KM KN λλ=∈，点G 为线段MN 的垂直平分线与x 轴的交点，则点G 的横坐标0x 的取值范围为（ ） A ．133,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．92,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．93,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．11,72⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，4AB BC ==，2AD =，则向量BD 在向量AC 上的投影为 ．14．二项式()742111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项为 ．15．已知数列{}n a 满足31=a ，且对任意的m ，*n ∈N ，都有n mmn a a a =+，若数列{}n b 满足()23log 1n n b a =+，则数列21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T 的取值范围是 ．16．已知正方形ABCD 的边长为22，将ABC △沿对角线AC 折起，使平面⊥ABC 平面ACD ，得到如图所示的三棱锥ACD B -，若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为DC ，BO 上的动点（不包括端点），且CM BN =，设x BN =，则三棱锥AMC N -的体积取得最大值时，三棱锥ADC N -的内切球的半径为 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知在ABC △中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，22sin 12sin 32A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求B 的大小；（2）若B C A 2sin sin sin =，求ca的值．第5页（共8页） 第6页（共8页）18．（12分）如图，三棱柱111C B A ABC -中，四边形CA C A 11为菱形，111160B A A C A A ∠=∠=︒，4AC =，2AB =，平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，Q 在线段AC 上移动，P 为棱1AA 的中点．（1）若Q 为线段AC 的中点，H 为BQ 中点，延长AH 交BC 于D ，求证：AD ∥平面PQ B 1； （2）若二面角11C PQ B --的平面角的余弦值为1313，求点P 到平面1BQB 的距离．19．（12分）2018年1月26日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满10分者为“安全食堂”，评分7分以下的为“待改革食堂”．评分在4分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：（1）现从16所大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个评分不低于9分的概率；（2）以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选3个，记X 表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X 的分布列及数学期望．20．（12分）椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点为1F ，2F ，离心率为22，已知过y 轴上一点()0,M m 作一条直线l ：()0y kx m m =+≠，交椭圆于A ，B 两点，且1ABF △的周长最大值为8． （1）求椭圆方程；（2）以点N 为圆心，半径为ON 的圆的方程为()222x y m m ++=．过AB 的中点C 作圆的切线CE ，E 为切点，连接NC ，证明：当NC NE取最大值时，点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）．第7页（共8页） 第8页（共8页）21．（12分）已知函数()212f x x =，()ln g x a x =． （1）若曲线()()y f x g x =-在2=x 处的切线与直线073=-+y x 垂直，求实数a 的值；（2）设()()()h x f x g x =+，若对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，求实数a的取值范围；（3）若在[]1,e 上存在一点0x ，使得()()()()00001'''f x g x g x f x +<-成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==21t a y tx （其中t 为参数，0>a ），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l ：0sin cos =+-b θρθρ与2C ：θρcos 4-=相交于B A ,两点，且90AOB ∠=︒． （1）求b 的值；（2）直线l 与曲线1C 相交于M ，N 两点，证明：22C M C N ⋅（2C 为圆心）为定值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤；（2）若不等式()2f x x a <+的解集为A ，{}2|30B x x x =-<，且满足A B ⊆，求实数a 的取值范围．答案 第1页（共6页） 答案 第2页（共6页）高三理科数学（三）答 案一、选择题． 1．【答案】C 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】B 12．【答案】A 二、填空题． 13．【答案】2-14．【答案】22- 15．【答案】12,2115⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．【答案】3622-三、解答题．17．【答案】（1）3B π=或56B π=；（2）1=ca ．【解析】（1）∵22sin 12sin 3cos22A C B B +⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴22sin 12sin 3cos 202A C B B +⎛⎫--= ⎪⎝⎭，即02cos 3cos sin 2=+B B B ，∴02cos 32sin =+B B ，∴sin 203B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴()23B k k π+=π∈Z ，又()0,B ∈π，∴3B π=或56B π=． （2）∵B C A 2sin sin sin =，∴2b ac =，又由余弦定理得B ac c a b cos 2222-+=，∴()2212cos a c ac B +=+，当3B π=时，则0222=-+ac c a ，∴c a =，∴1=ca ， 当56B π=时，则()22310a c ac ++-=，∴()23110a ac c⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，()2314230∆=--=-<，此方程无解．综上所述，当且仅当3B π=时，可得1=ca ． 18．【答案】（1）见解析；（2）26． 【解析】（1）证明：如图，取1BB 中点E ，连接AE ，EH ， ∵H 为BQ 中点，∴1EH B Q ∥，在平行四边形B B AA 11中，P ，E 分别为1AA ，1BB 的中点，∴1AE PB ∥， 又E AE EH = ，111B Q B PB = ，∴平面EHA ∥平面QP B 1． ∵⊂AD 平面EHA ，∴AD ∥平面PQ B 1．（2）连接1PC ，1AC ，∵四边形CA C A 11为菱形，∴4111===C A AC AA ， 又1160C A A ∠=︒，∴11AC A △为正三角形． ∵P 为1AA 的中点，∴11AA PC ⊥，∵平面⊥11A ACC 平面11A ABB ，平面 11A ACC 平面111AA A ABB =，⊂1PC 平面11A ACC ， ∴⊥1PC 平面11A ABB ，在平面11A ABB 内过点P 作1AA PR ⊥交1BB 于点R ， 建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则答案 第3页（共6页） 答案 第4页（共6页）()0,0,0P ，()10,2,0A ，()0,2,0A -，()10,0,23C ，()0,4,23C -，设()0,2,23AQ AC λλ==-，[]0,1λ∈，∴()()0,21,23Q λλ-+，∴()()0,21,23PQ λλ=-+， ∵211==AB B A ，1160B A A ∠=︒，∴()13,1,0B ，∴()13,1,0PB =，设平面1PQB 的法向量为(),,x y z =m ，则100PQ PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得()2123030y z x y λλ⎧-++=⎪⎨+=⎪⎩，令1=x ，则3y =-，1z λλ+=-，∴平面1PQB 的一个法向量为11,3,λλ+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭m ，设平面C C AA 11的法向量为()1,0,0=n ，二面角11C PQ B --的平面角为θ，则2113cos 13113θλλ⋅==+⎛⎫++- ⎪⎝⎭m nm n， ∴21=λ或41-=λ（舍），∴AC AQ 21=，∴()0,3,3Q -．又()3,3,0B-，∴()3,0,3QB =-，∴336QB =+=，连接BP ，设点P 到平面1BQB 的距离为h ，则h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯6421313342131，∴26=h ，即点P 到平面1BQB 的距离为26． 19．【答案】（1）121140；（2）见解析，()0.75E X =．【解析】（1）设i A 表示所抽取3个中有i 所大学食堂评分不低于9分，至多有1个评分不低于9分记为事件A ，则()()()3121241201331616C C C 121140C C P A P A P A =+=+=． （2）由表格数据知，从16所大学食堂任选1个评分不低于9分的概率为41164=， 由题知X 的可能取值为0，1，2，3．()33270464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()121313271C 4464P X ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()21231392C 4464P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3313464P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ∴X 的分布列为∴()27911230.75646464E X =⨯+⨯+⨯=． 20．【答案】（1）12422=+y x ；（2）见解析． 【解析】（1）由题意得11122148AF BF AB AF BF AF BF a ++≤+++==， ∴2=a ∵22=a c ，∴2=c ，∴2=b ， ∴所求椭圆方程为12422=+y x ． （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立⎩⎨⎧=++=4222y x m kx y 得()222214240k x kmx m +++-=，由0>∆得2422+<k m ，且124221+-=+k km x x ，∴122221my y k +=+， ∴222,2121kmm C k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．∵以点N 为圆心，ON 为半径的圆的方程为()222x y m m ++=，∴()0,N m -，∴2222222121km m NC m k k ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，整理得()()22422241321m k k NC k ++=+， ∵NE m =，∴()()()2422222224138312121k k NC k NEkk+++==+++．令()2833t k t =+≥，∴41122+=+t k ，∴()222161611112NC t t NE t t=+=++++， 令()13y t t t =+≥，则011'2>-=t y ， ∴tt y 1+=在[)3,+∞上单调递增，∴3101≥+t t ，当且仅当3=t 时等号成立，答案 第5页（共6页） 答案 第6页（共6页）此时NC NE取得最大值，且0=k ，∴22422=+<k m ，∴22<<-m 且0≠m ，∴点M 在短轴上（不包括短轴端点及原点）． 21．【答案】（1）2-=a ；（2）[)1,+∞；（3）()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 【解析】（1）()()21ln 2y f x g x x a x =-=-，'ay x x=-， 由题意得322=-a，解得2-=a ， （2）()()()21ln 2h x f x g x x a x =+=+，对任意两个不等的正数1x ，2x ，()()12122h x h x x x ->-恒成立，令21x x >，则()()()12122h x h x x x ->-，即()()112222h x x h x x ->-恒成立，则问题等价于()21ln 22F x x a x x =+-在()0,+∞上为增函数，()'2a F x x x=+-，则问题转化为()'0F x ≥在()0,+∞上恒成立，即22x x a -≥在()0,+∞上恒成立， 所以()2max21a x x ≥-=，即实数a 的取值范围是[)1,+∞．（3）不等式()()()()00001'''f x g x g x f x +<-等价于0000ln 1x a x a x x -<+， 整理得01ln 000<++-x a x a x ，构造函数()1ln am x x a x x +=-+，由题意知，在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00m x <， ()()()()22221111'1x ax a x a x a a m x x x x x --+--++=--==，因为0>x ，所以01>+x ，令()'0m x =，得a x +=1．①当11≤+a ，即0≤a 时，()m x 在[]1,e 上单调递增，只需()120m a =+<，解得2-<a ； ②当11e a <+≤，即0e 1a <≤-时，()m x 在a x +=1处取得最小值． 令()()11ln 110m a a a a +=+-++<，即()11ln 1a a a ++<+，可得()11ln 1a a a++<+ 令1+=a t ，则1e t <≤，不等式()11ln 1a a a ++<+可化为t t t ln 11<-+， 因为1e t <≤，所以不等式左端大于1，右端小于或等于1，所以不等式不能成立． ③当1e a +>，即e 1a >-时，()m x 在[]1,e 上单调递减，只需()1e e 0eam a +=-+<， 解得2e 1e 1a +>-．综上所述，实数a 的取值范围是()2e 1,2,e 1⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭． 22．【答案】（1）2=b ；（2）见解析．【解析】（1）由题意可得直线l 和圆2C 的直角坐标方程分别为0=+-b y x ，()2224x y ++=， ∵90AOB ∠=︒，∴直线l 过圆2C 的圆心()22,0C -，∴2=b ． （2）证明：曲线1C 的普通方程为()20x ay a =>，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=ty tx 22222（t 为参数），代入曲线1C 的方程得214022t t ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭， 04212>+=∆a a 恒成立，设M ，N 两点对应的参数分别为1t ，2t ，则821=t t ， ∴228C M C N =， ∴22C M C N 为定值8．23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）由()9f x ≤可得2419x x -++≤，即⎩⎨⎧≤->9332x x 或⎩⎨⎧≤-≤≤-9521x x 或⎩⎨⎧≤+--<9331x x ，解得42≤<x 或21≤≤-x 或12-<≤-x ， 故不等式()9f x ≤的解集为[]2,4-．（2）易知()0,3B =，由题意可得2412x x x a -++<+在()0,3上恒成立，⇒241x x a -<+-在()0,3上恒成立1421-+<-<+-⇒a x x a x 在()0,3上恒成立， 3->⇒x a 且5a x >-+在()0,3上恒成立⎩⎨⎧≥≥⇒5a a 5≥⇒a ．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学III卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科III卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
（共12题；共60分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2}2.若z（1+i）=2i，则z=（）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.84.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 245.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 26.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-17.函数y=2x3，在[-6,6]的图像大致为（）2+2A. B.C. D.8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124 B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ） A. 3√24 B. 3√22C. 2√2D. 3√2 11.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−23 ）＞ f （ 2−32 ）C. f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）＞ f （log 3 14 ）D. f （ 2−23 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （log 3 14 ）12.设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω>0），已如f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f （x ）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f （x ）在（0， π10 ）单调递增④ω的取值范围[125 ， 2910 ）其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.（共4题；共20分）13.已知a ，b 为单位向量，且a-b=0，若c=2a- √5 b ，则cos<a ，c>=________。
2019届高三数学上学期第三次月考试题 理(含解析)新人教版
2019学年第一学期高三第三次月考试卷数学(理科)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则的子集的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】由题意，令，得，所以，其子集的个数为，故选B.2. 的内角的对边分别为，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】在中，则,即，若，则，即，所以是成立的充要条件，故选C.3. （）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，故选D.4. 下列命题中正确的是（）A. 命题“，使”的否定为“，都有”B. 若命题为假命题，命题为真命题，则为假命题C. 命题“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题D. 命题“若，则或”的逆否命题为“若且，则”【答案】D【解析】选择A：命题“，使”的否定为“，都有”；选项B：为真命题；选项C：“若，则与的夹角为锐角”原命题为假命题，逆命题为真命题，故选D5. 中，角的对边分别为，，，，则为（）A. B. C. D.【答案】A.... ..............由正弦定理，可得，进而得到，故选A.6. 已知数阵中，每行的三个数依次成等差数列，每列的三个数也依次成等差数列，若，则所有九个数的和为（）A. 18B. 27C. 45D. 54【答案】C【解析】由题意得，这九个数的和根据等差数列的性质，得，又因为各列也构成等差数列，则，所以，故选C.7. 已知函数（），且导函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，由图象可得，函数的最大值，又因为，所以，可得，所以，将代入，得，即，即，因为，所以，所以所以，故选B.8. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在仿射坐标系中的坐标.若在此仿射坐标系下，的坐标为，的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平面直角坐标系可得：，则，所以，故选A.9. 函数（）的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知，所以函数是奇函数，依据图象排除A和C选项，由于，即，排除D选项，故选B.10. 将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和．若，则下列说法中一定正确的是（）A. B. 不存在，使得C. 对，且，都有D. 以上说法都不对【答案】C【解析】由，则，所以数列构成首项为，公比为的等比数列，所以，又当时，，所以当，且时，是成立的，故选C.11. 已知，，，则函数（）的各极大值之和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意得，，所以，则，所以的极大值点为，的各极大值之和为，故选A.点睛：本题主要考查了导数在函数中的应用以及等比数列的求和问题，其中解答中涉及到归纳推理、利用导数研究函数的极值，以及等比数列求和公式等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中认真审题，利用导数判定出函数在定义域上的极大值点是解答的关键.12. 如图，点为的边上一点，，为边上的一列点，满足，若，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，因为，且，所以，得，所以，又，所以数列表示首项为，公差为的等差数列，所以，故选B.点睛：本题主要考查了向量的运算和数列的通项公式的求解问题，其中解答中涉及到向量的线性运算，共线向量的表示和等差数列的判定和等差数列的通项公式的应用，试题综合性强，属于中档试题，解答中根据向量的运算和共线向量的表示，得出数列和的关系是解答的关键.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. __________．【答案】【解析】由，及，可得，所以.14. 已知函数，若，则实数的值是__________．【答案】0或或【解析】由题意得，①当时，，符合题意；②当时，，解得，符合题意；③当时，，解得，符合题意，综上所述，或或.15. 若直线为函数图象的一条切线，则的最小值为__________．【答案】0【解析】设切点，则，所以方程为，即，所以，，可得在上单调递减，在单调递增，所以当时，取得最小值.点睛：本题主要考查了导致在函数中的应用，其中解答中涉及到导数的几何意义求解切线的方程，利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的最值等知识点的综合应用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中根据导数的几何意义，得出切线方程，求得的解析式是解答的关键.16. 点为所在平面内的一点且满足，，动点满足，，则的最小值为__________．【答案】【解析】因为，即点是外接圆的圆心，即外心，又因为，即点是外接圆的重心，所以是等边三角形，由，解得，即三角形的边长为，以点为原点建立坐标系，并且做单位元，点是圆上任意一点，则，点是的中点，所以，，当时，函数取得最小值，即的最小值为.点睛：本题主要考查了三角函数的综合应用问题，其中解答中涉及到三角形的性质，正弦定理解三角形，以及三角函数的恒等变换和三角函数的性质，试题综合性强，属于难题，解答中根据三角形的形式和正弦定理得到三角形为等边三角形，建立坐标系，利用坐标法求解是解答的关键.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知向量，，记函数.(1)求函数的最大值及取得最大值时的取值集合；(2)求函数在区间内的单调递减区间.【答案】（1）最大值，且取得最大值时的集合为；（2）和【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，化简得，即可求解函数的最值，及其相应的的值. (Ⅱ)由题意:根据三角函数的图象与性质，即可求解在的单调递减区间．试题解析：当，即时，取得最大值.此时，最大值.且取得最大值时的集合为.(2)由题意: ，即，．于是，在的单调递减区间是和．18. 在等差数列中，，.记数列的前项和为.(1)求；(2)设数列的前项和为，若成等比数列，求.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意，求得等差数列的公差，进而得到数列的通项公式，即可求解数列的前项和.(Ⅱ)由成等比数列，求解，进而得到数列通项公式，再猜裂项相消求和即可.试题解析：(1)由得，∵，∴，∴，∴，∴，．(2)若成等比数列，则，即，∴，∵∴.19. 设分别为三个内角的对边，若向量，，且.(1)求的值；(2)求的最小值(其中表示的面积).【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由题意得，得出向量的坐标，根据，利用，化简即可到结论；(Ⅱ)由三角形的面积公式及余弦定理，得，在中，得出，再利用正切的两角和公式和基本不等式，即可求解结论.试题解析：(1) ∵，，且，∴即，，因此.(2)由及余弦定理，得在中，∵，易知，∴即当且仅当时，．20. 设函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ)由定义域为，求得，分，两种情况讨论，即可得出函数的单调性；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知得到，则恒成立，转化为函数，得出，令令，利用导数得出的单调性和最值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)由定义域为，，当时，，在单调增．当时，，；在单调增，在单调减．综上所述:当时，在单调增；当时，在单调增，在单调减．(2)由(Ⅰ)可知，，则恒成立．令，显然，再令，，当，当．在单调减，单调增．，，∴，在单调增，，∴．21. 设正项数列的前项和为，且满足，，.(1)求数列的通项公式；(2)若正项等比数列满足，且，数列的前项和为.①求；②若对任意，，均有恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(Ⅰ) 由题意，可化简得，进而求得，所以，利用等差数列的通项公式，即可求解数列的通项公式；(Ⅱ)由（1）得出，利用乘公比错位相减法，求解数列的和，在利用恒成立，分类参数转化为恒成立，即可求解结论.试题解析：(1) ，，∴，∴且各项为正，∴又，所以，再由得，所以∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴(2)∴，①，②∴，恒成立∴，即恒成立.设，当时，；时，∴，∴.点睛：本题主要考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到等差数列的通项公式的求解，数列的乘公比错位相减法求和，数列的恒成立的求解等知识点的综合运用，试题有一定的综合性，属于中档试题，解答中准确运算和合理转化恒成立问题是解答的关键.22. 已知函数.(1)若，试判断函数的零点个数；(2)若函数在上为增函数，求整数的最大值，(可能要用的数据: ；).【答案】（1）1个；（2）6【解析】试题分析：(Ⅰ)根据导数求解函数的单调性，利用零点的存在定理，即可判定函数在上的零点的个数.(Ⅱ)由题意，把在上恒成立，在上恒成立，进而转化为在上恒成立，令，即，利用导数求解函数的单调性和最小值，即可求解实数的取值范围.试题解析：(1)因为，易知在上为增函数，则，故在上为增函数，又，，所以函数在上的零点有且只有1个.(2)因为，由题意在上恒成立，因为显然成立，故只需在上恒成立，令，则因为由(1)可知: 在上为增函数，故在上有唯一零点记为，，，则，，则在为减函数，在为增函数，故时，有最小值.令，则最小值有，因，则的最小值大约在之间，故整数的最大值为6.点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值与最值，以及恒成立问题的求解，试题综合性强，属于难题，此类问题的解答中，根据题意合理利用分离参数转化为新函数的性质是解答的关键.。
2019届高三上学期第三次联考数学(理)试题
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|40}A x x =-<，{|326}B x x =-<<，则A B =（ ）A ．3{|2}2x x -<< B ．{|22}x x -<< C ．3{|3}2x x -<< D ．{|23}x x -<<2. ）A ．13 B C ． 3.在ABC ∆中，AB AC =，5BAC π∠=，则向量AB 与BC 的夹角为（ ）A ．5π B ．25π C ．35π D ．45π4.设点(,)P x y 是图中阴影部分表示的平行四边形区域（含边界）内一点，则2z x y =-的最小值为（ ）A ． -6B ．-4 C. -2 D ．-1 5.将偶函数()sin(3)(0)f x x ϕϕπ=+<<的图像向右平移12π个单位长度后，得到的曲线的对称中心为（ ）A ．7(,0)()336k k Z ππ+∈ B ．(,0)()312k k Z ππ+∈ C. (,0)()36k k Z ππ+∈ D ．(,0)()34k k Z ππ+∈ 6.已知向量12,e e 满足12121||||12e e e e ===，向量122m te e =+，其中0t >，则“32t >”是“||m t< ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要7.《九章算术》涉及到中国古代算数中的一种几何体----阳马，它是底面为矩形，两个侧面与底面垂直的四棱锥，已知网格纸上小正方形的边长为1，现有一体积为4的阳马，则该阳马对应的三视图（用粗实线画出）可能为（ ）A ．B ．C. D ．8.若函数22,0()32,0x e x a x f x ax a x ⎧-+>=⎨+-≤⎩在(,)-∞+∞上是单调函数，且()f x 存在负的零点，则a的取值范围是（ ）A ．2(,1]3B ．23(,]32 C. 3(0,]2 D ．2(,)3+∞ 9.函数3()sin f x x x =在[,]ππ-上的图像大致为（ ）A ．B ． C.D ．10.已知高为3的正三棱柱111ABC A B C -的每个顶点都在球O 的表面上，若球O 的表面积为21π，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值为（ ）A ．14 B C. 13 D 11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，若2n n n a S +=，则100a =（ ）A ．101100223-+B ．100100223-+ C. 10199223-+ D ．10099223-+12.若函数51()ln(1)2(1)f x x ax a x =++-+在(0,1)上为增函数，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,0)[,2]4-∞B ．1(,0)[,1]2-∞ C. 1[1,0)(0,]4- D ．1[1,0)[,1]2- 第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知直线1:10l ax by ++=与2:210l x y +-=互相垂直，且1l 经过点(1,0)-，则b = ．14.已知正数,a b 满足321a b +=，则23a b+的最小值为 ．15.若(,)612ππθ∈-，且212sin 25θθ+=-，则tan(2)12πθ+= ．16.已知点2F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，直线y kx =交C 于,A B 两点，若223AF B π∠=，2AF B S ∆=，则C 的虚轴长为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知:p 函数2()240f x x mx =++≥在其定义域上恒成立，:q 对任意(1,)x ∈-+∞，241x x m x ++≤+恒成立.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，求实数m 的取值范围. 18. 在ABC ∆中，已知32sin 4cos 2B B +=，且B 为锐角. （1）求sin B ；（2）若(4(sin sin )B AC A C =+，且ABC ∆的面积为2，求ABC ∆的周长. 19. 在数列{}n a 中，11a =，214(1)(2)n n a n a n n ++=+，设1n n n b a n +=. （1）证明：数列{}n b 是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项积n T .20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，,,E F G 分别为棱,,PA PD AB 的中点，且24CD PD AD ===.（1）证明：平面PBC 与平面EFG 平行，并求这个平行平面之间的距离； （2）求二面角C FG E --的大小.21. 设抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过F 且倾斜角为6π的直线l 与抛物线E 交于,A B 两点，16||3AB =. （1）求抛物线E 的方程；（2）已知过点(,1)M m -作直线n 与抛物线E 相切于点N ，证明：FM FN ⊥. 22. 已知函数()1xf x ae x =-+有两个零点12,x x . （1）求a 的取值范围；（2）设0x 为()f x 的极小值点，证明：1202x x x +<.试卷答案一、选择题1-5: ACCAD 6-10: BCBBA 11、12：DB 二、填空题13.-2 14. 24 15. 1716. 三、解答题17.解：（1）若p 为真，则2()240f x x mx =++≥恒成立， 所以24160m -≤，解得22m -≤≤，即m 的取值范围为[2,2]-.（2）若q 为真，令24()1x x g x x ++=+，则4()111g x x x =++-+. 因为(1,)x ∈-+∞，所以10x +>， 所以()3g x ≥. 当且仅当411x x +=+，即1x =时取“=”， ∴min ()3g x =，故3m ≤. 由题意得：命题,p q 一真一假， 则223m m -≤≤⎧⎨>⎩或223m m m <->⎧⎨≤⎩或，即23m <≤或2m <-， 所以实数m 的取值范围为(2,3](,2)-∞-.18.解：（1）∵232sin 4cos24(12sin )B B B +==-， ∴1sin 4B =或1sin 2B =-. 在ABC ∆中，∵sin 0B >，∴1sin 4B =. （2）设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵(4(sin sin )B AC A C =+，∴(4()b b a c =+，∴4a c +=又∵ABC ∆的面积为152，∴111sin 224ac B ac =⨯=，∴ac =∵B为锐角，∴cos B =由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-2()2214a c ac ac =+--⨯=，∴1b =， ∴ABC ∆的周长为519.（1）证明：∵11122(2)1(1)n n n n n n n ab a n n n b n a a n++++++==+22(2)4(1)4(1)(2)n n n n n n ++==++， 又1122b a ==.∴数列{}n b 是首项为2，公比为4的等比数列. （2）解：由（1）知，1124n n n n b a n-+==， 则2121n n na n -=+， 从而1321123()22341n n n T n +++-=⨯⨯⨯⨯+221n n =+. 20.（1）证明：∵,,E F G 分别为棱,,PA PD AB 的中点， ∴//EF AD ，//EG PB ， 又EFEG E =，∴平面//PBC 平面EFG .依题意可得，BC CD ⊥，BC PD ⊥，CD PD D =，则BC ⊥平面PCD .取PC 的中点M ，连接MD ，∵CD PD =，∴MD PC ⊥， 又BC ⊥平面PCD ，∴MD BC ⊥， 从而MD ⊥平面PBC .取PM 的中点H ，连接FH ，则//FH MD ，FH ⊥平面PBC .∵MD =FH =（另由P EFG G PEF V V --=亦可得）（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(2,0,0)F ，(2,0,2)M ，(2,1,0)E ，(0,2,2)G ，(0,0,4)C ，(2,0,4)CF =-，(0,2,2)CG =-，设(,,)n x y z =是平面CFG 的法向量，则00n CF n CG ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即240220x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得(2,1,1)n =.由（1）知，平面EFG 的一个法向量为(2,0,2)DM =，则cos ,n DM <>==. 由图可知，二面角C FG E --为钝角，故二面角C FG E --为56π（或0150）. 21.（1）解：由题意可知，(0,)2p F ，l的方程为2p y =+，设11(,)A x y ，12(,)B x y，由222py x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩，得2233504y py p -+=， 故1253p y y +=， 所以12516||||||33p AB AF BF y y p p =+=++=+=， 所以2p =，故抛物线E 的方程为24x y =.（2）证明：设点00(,)N x y ，00x ≠，因为214y x =，所以1'2y x =. 切线方程为0001()2y y x x x -=-，即2001124y x x x =-.令1y =-，可解得20042x m x -=，所以2004(,1)2x M x --.所以2004(,2)2x FM x -=-，00(,1)FN x y =-，22200000442220222x x x FM FN y x --=-+=-+=，所以FM FN ⊥.22.（1）因为()1xf x ae x =-+有两个零点，所以方程1xx a e -=有两个不同的解. 设函数1()x x h x e -=，则2'()xxh x e -=，当2x <时，'()0h x >；当2x >时，'()0h x <.所以max21()(2)h x h e==.当1x >时，()0h x >；当x →+∞时，()0h x →. 当x →-∞时，()h x →-∞，故a 的取值范围为21(0,)e . （2）证明：设12x x <，由'()0f x =，得ln x a =-，则0ln (0)x a a =->，1(1,ln )x a ∈-，则21110x x ->->，由题知，121122()10()10x x f x ae x f x ae x ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，则12121(*)1xxae x ae x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 所以121211x x x e x +-=-，即12(1)(1)1211x x x e x ---=-，令1211x t x -=-，(0,1)t ∈，则121(1)x t x -=-， 当当2(1)(1)t x e t --=，得2ln 11t x t -=-，1ln 11t tx t -=-， 所以212ln (1)(1)1()11)1t x x t t ---=-=-+-t =. 当(0,1)t ∈0<10+>，令()ln g t t =，(0,1)t ∈，则1'()0g t t ===<恒成立.所以()y g t =在(0,1)上单调递减，则()(1)0g t g >=. 当当12(1)(1)10x x ---<，即12(1)(1)1x x --<. 由（*）式得12212(1)(1)1x x a e x x +=--<当当122x x e a +-<，即122ln x x a +<-，又0ln a x -=， 所以1202x x x +<.。
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2019届高三理科数学上学期第三次阶段试卷带答案
理科数学试题
时量：120分钟满分：150分
一、填空题（共12小题，每小题5分）
1．设集合，若，则的值为( )
A．0 B．1 C．D．2
2．已知复数满足（为虚数单位），则复数所对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4.下列函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（）
A B
C D
5. 如右图，给出了一个程序框图,其作用是输入的值,输出
相应的的值,若要使输入的的值与输出的的值相等,则这样的的值的集合为（）
A.{0}
B.{1,3}
C.{0,1,3}
D.{0,3}
6. 已知直线与直线垂直，平行于平面，则
与平面的位置关系是（）
A．B．
C．与平面相交D．以上都有可能
7.某几何体三视图如右，其中三角形的三边长与圆的
直径均为2，则该几何体体积为（）
A．B．
C．D．
8、曲线和曲线围成一个叶形图
（如图所示阴影部分），其面积是（）
A．1 B．13
C．22 D．12
9.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道. 要求4名水暖工都分配出去，并每名水暖工只去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有( ）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
10. 已知抛物线的准线与双曲线的两条渐近线围成一个等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（）
A. B. C. D.
11.如图，在中，，则的值为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
12.定义在R上的函数满足，为函数的导函数，已知的图像如图所示，若两个正数满足，则的取值范围是（）
二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 若函数在区间是减函数，则的取值范围是________.
14. 若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为_____________
15、已知数列满足，且则（用a,b表示）
三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为
（1）求sinBsinC;
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长.
19.(12分)如图所示的多面体中，面是边长为2的正方形，平面⊥平面，，分别为棱的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）已知二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
20.已知抛物线C的顶点是椭圆的中心，且焦点与该椭圆右焦点重合。
（1）求抛物线C的方程；
（2）若为x轴上一动点，过P点作直线交抛物线C于A、B两点。
①设试问：当a为何值时，t取得最小值，并求此最小值。
②若a=－1，点A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过定点。
21.（本题满分12分）已知
（Ⅰ）证明：图象恒在直线的上方；
（Ⅱ）若在恒成立，求的最小值.
（二）选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如
果多做，则按所做的第一题计分。
22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23.已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－3|－m的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若m的最大值为n，当正数a，b满足23a＋b＋1a＋2b＝n时，求7a＋4b的最小值．
2018年下学期高三年级第3次阶段性测试
理科数学参考答案
一、选择题答案表：本大题共12题，每小题5分，共60分
题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案A D C D C D C B A C C A
二、填空题答案：本大题共有4小题，每小题5分，满分20分
13、14、20__ 15. 16.
18.
19.证明：（Ⅰ）取中点，连接，，
因为是正方形，所以，.
因为分别是, 中点，所以, .
又因为且，所以，，
所以四边形是平行四边形, 所以.
又因为平面，平面所以平面．
（Ⅱ）因为平面⊥平面，平面平面，
，平面，所以平面．
如图，以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系．
设，则．
因为⊥底面，所以平面的一个法向量为.
设平面PFB的一个法向量为，
,
则即令x=1，得，所以．由已知，二面角的余弦值为，所以得，解得a =2,所以．因为是四棱锥的高，所以其体积为
．
20.解：（Ⅰ）由题意，设抛物线C的标准方程为y2=2px（x>0），焦点F（，0），
∵椭圆的右焦点为（1，0），
∴，即p=2，
∴抛物线方程为：y2=4x …………4分
（Ⅱ）（ⅰ）设直线AB：my=x一a．
联立，消x得=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=一4a，，由S△AOB= = ∴,
∵，
∴,
∴当a=2时，t有最小值一2．…………8分
（ⅱ）由（ⅰ）可知D（x1，一y1），，，
直线BD的方程为y一y2= ，即
y= ∴y= ，
∴直线BD过定点（1，0）12分
21. 解（Ⅰ）由题意只需证即证明在上恒成立。
令，
即单调递增。
又，所以在唯一的解，记为，
且
可得当
所以只需最小值
易得，，所以.所以结论得证。
（Ⅱ）令，则，
所以，当时，
要使，只需
要使成立，只需恒成立。
令
则，由
当时，此时有成立。
所以满足条件。
当时，此时有
不符合题意，舍去。
当时，令得
可得当时，。
即时，
不符合题意舍去。
综上，
又所以的最小值为。
22.解：（1）由得，
即，
故曲线的一个参数方程为（为参数，且）.
（2）由（1）可知点的坐标为，，
则矩形的周长为，
∵，∴，∴，∴
23.解：(1)因为该函数的定义域为R，所以|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．
设函数g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，则m不大于函数g(x)的最小值，
又|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即g(x)的最小值为4，所以m ≤4.。