实用下料问题 - 同济大学数学系
数学建模 。下料问题
计算各种模式下的余料损失
上、下底直径d=5cm， 罐身高h=10cm。
模式1 余料损失 242-10d2/4 - dh=222.6 cm2
罐身个数 模式1 模式2 模式3 模式4 1 2 0 4 底、盖 个数 10 4 16 5 余料损失 （cm2） 222.6 183.3 261.8 169.5 冲压时间 （秒） 1.5 2 1 3
目标
Max 0.1 y1 0.001(222 .6 x1 183 .3x2 261 .8 x3 169 .5 x4 157 .1 y2 19 .6 y3 )
时间约束 1.5x1 2 x2 x3 3x4 144000 (40小时) 原料约束
x1 x2 x3 50000 ,
26 x1 x2 x3 31
模式排列顺序可任定
x1 x2 x3
LINGO求解整数非线性规划模型
Local optimal solution found at iteration: 12211 Objective value: 28.00000 Variable Value Reduced Cost X1 10.00000 0.000000 X2 10.00000 2.000000 X3 8.000000 1.000000 R11 3.000000 0.000000 R12 2.000000 0.000000 R13 0.000000 0.000000 R21 0.000000 0.000000 R22 1.000000 0.000000 R23 0.000000 0.000000 R31 1.000000 0.000000 R32 1.000000 0.000000 R33 0.000000 0.000000 R41 0.000000 0.000000 R42 0.000000 0.000000 R43 2.000000 0.000000
线材下料问题-线性规划
一、问题陈述(下料问题)某工厂要做150套钢架，每套钢架分别需要长度为2.5米、2.6米和1.9米的圆钢各一套。
原料每根长10米，问应如何下料，可使所用原料最省？二、问题分析该问题是运筹学在实际运用中比拟经典的“线材下料问题〞，从第一局部问题陈述中可以看出，该问题的一般提法是，要做N套产品，需要用规格不同的M种线材，各种规格的长度分别为l1，l2，l3，...，l m，每一套产品需要不同规格的原料分别为m1，m2，m3，...，m m根，原材料的长度为一定的长度，问应该如何下料，从而使原材料的耗用最省。
因此，在解决此类问题时应分两步考虑：1、确定可行的切割模式：即按照客户需要在原材料钢材上安排切割的一种组合；2、确定合理的切割模式：合理的切割模式的预料不应该大于或等于客户需要的钢材的最小尺寸。
对于如上第一分部提出的线材下料问题，可以用运筹学中线性规划的方法求解，通过建立线性规划模型来具体分析。
三、模型建立建立线性规划模型时，对于约束条件这里为切割要满足客户对钢材数量的最低要求，此题将对标准钢材的切割〔2.5米、2.6米、1.9米〕，从而组合成一套钢架，要求为150套等因素建立约束条件。
但是，对于目标函数而言，会有这样两种情况：1、求的钢材原材料总根数最少；2、求的钢材原材料余料最少。
在本文的分析中，我们选择前者，即：求解使用的钢材原材料总根数最少。
为了建立模型方便，我们把下料后余下的小于最短用料的钢材称为废弃钢材，把下料得到的长为2.5m，2.6m，1.9m的钢材称为规格钢材，把10米长的原材料钢材称为原钢。
因此，所用的原钢可以分解成三局部：1、成套利用的规格钢材；2、剩余的规格钢材；3、废弃钢材。
通过分析计算，可以得到原钢的11种下料方式如下：表1：一条原料钢材的11种切法X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 112.6m 0 0 1 0 2 0 1 3 2 1 0 1.9m 0 1 1 2 1 3 2 1 2 3 5 Sum109.4 9.5 8.8 9.6 8.2 8.9 9.7 9 8.3 9.5我们设决策变量：采取第i 种下料方式的有x i 根原钢，i=1,2,3,...,11.另外设置辅助变量：剩余2.5米的规格钢材为y 1根，剩余的2.6米规格钢材为y 2根，剩余的1.9米规格钢材为y 3根。
同济《高等数学》有200多处错误和问题
同济《高等数学》有200多处错误和问题2010-03-12 10:21文章录入、责任编辑：杨琳中国神马集团高级工程师刘云亮E-mail: xh2008pmm@ 提要：河南省教育厅负责高教工作的秦某2010年7月在河南省教育厅对笔者说：在大河网—《大河报》上报道“同济《高等数学》有200多处错误和问题”的目的：在于提醒我省的高校要慎重选择教材。
两位教授的我们看法已经反映给高教部了，你也可以直接找高教部反映同济大学教材的问题！关键词：同济大学，《高等数学》，200多处错误和问题。
“河南党建”网3月12日讯大河网—《大河报》报导：最不应该出错的书是教材，但我省两位退休教授对《高等数学》进行研究后，竟发现200多处错误，因此人大代表建议对高校现行的教材过过筛子，筛出其中的错误，加以改正，防止误人子弟。
据了解，目前我国高校招生人数已有600多万，学生所用基础课教材大多首选教育部高等教育出版社出版的教材。
安阳工学院侯双根教授、郑州大学侯双印教授从事高校数学教学五十多年，退休后仍孜孜不倦地研究现行的《高等数学》教材，结果发现：获得国家级教学成果一等奖、国家级规划教材，由同济大学数学系主编的《高等数学》教材中，竟有200多处错误和问题，而该教材是全国通用教材，重印次数极多、影响面极大。
错误类型包括：定理或结论错误，定理或公式证明不完整，概念错误，证明、解法或计算繁琐，图形错或画得误差较大等。
教育部重点主抓并获得国家级教学成果一等奖的教材尚且如此，其它教材就可想而知了，因此代表们建议：教育部以严谨认真的态度正视高校教材建设，采取有效措施，清理现行教材中存在的错误和问题。
在安阳召开全国性的《高等数学》教材研讨会，侯双根、侯双印两位老师愿在会上就教材中存在的错误和问题进行讲解。
.（特派记者郑松波、王倩、王曦辉、李敬欣）。
工程学问题下料最佳方案
工程学问题下料最佳方案工程学中的下料指的是将原材料按照设计要求进行切割、裁剪、加工等操作，以便制造出符合产品要求的零部件或产品。
下料的质量和效率直接影响着整个生产流程的顺利进行，因此如何选择最佳的下料方案成为工程学中的重要问题。
在选择下料方案时，需要考虑原材料的特性、产品的设计要求、生产设备的性能以及生产效率等因素。
本文将针对下料过程中的材料选择、下料方式、下料工艺和下料设备等方面进行探讨，以寻找最佳的下料方案。
一、材料选择1. 材料特性在下料过程中，材料的特性是影响下料方案选择的重要因素。
首先需要考虑材料的硬度、韧性、厚度、形状以及表面粗糙度等特性。
不同材料的特性会影响切割前的处理方式、切割工具的选择以及下料过程中的加工参数设定。
此外，材料的成本、可供性和环保性也需要考虑在内。
在选择下料方案时，需要综合考虑材料的特性和成本，以便为下料过程提供最佳的原材料选择。
2. 材料类型根据材料的类型不同，下料方案也会有所差异。
常见的材料类型包括金属材料、塑料材料、木材等。
不同类型的材料需要采用不同的下料工艺和设备，以确保下料过程的质量和效率。
在选择下料方案时，需要根据产品设计要求和生产设备的性能，综合考虑材料的类型，以寻找最佳的下料方案。
二、下料方式1. 切割方式在下料过程中，常见的切割方式包括火焰切割、等离子切割、激光切割、水切割、机械切割等。
不同的切割方式适用于不同类型的材料和产品，具有不同的优势和局限性。
火焰切割适用于钢铁等金属材料，具有成本低、加工速度快的优势；等离子切割适用于不锈钢、铝合金等特殊材料，具有高速切割和高精度的优势；激光切割适用于各种类型的材料，具有非接触式加工、高精度和高效率的优势；水切割适用于石材、陶瓷等非金属材料，具有无热变形、无污染和高精度的优势；机械切割适用于木材、塑料等材料，具有成本低、操作简单的优势。
在选择下料方式时，需要综合考虑材料的特性、产品的设计要求以及生产设备的性能，以寻找最佳的切割方式。
数学建模下料问题
表5-3 钢管下料的合理切割模式
4米钢管根数 6米钢管根数 8米钢管根数 余料（米） 4 0 0 3 3 1 0 1 2 0 1 3
模式1 模式2 模式3 模式4 模式5 模式6 模式7
1 1 0 0
2 1 3 0
0 1 0 2
3 1 1 3
问题化为在满足客户需要的条件下，按照哪些种合 理的模式，切割多少根原料钢管，最为节省。而 所谓节省，可以有两种标准，一是切割后剩余的 总余料量最小，二是切割原料钢管的总根数最少。 下面将对这两个目标分别讨论。
(38) (39) (40) (41)
每一种切割模式必须可行、合理，所以每根原料钢管的 成品量不能超过19米，也不能少于16米（余量不能大于3 米），于是
16 4r11 5r21 6r31 8r41 19 16 4r12 5r22 6r32 8r42 19 16 4r13 5r23 6r33 8r43 19
Min x1 x2 x3
（37）
约束条件 为满足客户的需求，应有
r11 x1 r12 x2 r13 x3 50
r21 x1 r22 x2 r23 x3 10 r31 x1 r32 x2 r33 x3 20 r41 x1 r42 x2 r43 x3 15
即按照模式2切割15根原料钢管，按模式5切割5根，按模 式7切割5根，共27根，可算出总余料量为35米。与上面 得到的结果相比，总余料量增加了8米，但是所用的原料 钢管的总根数减少了2根。在余料没有什么用途的情况下， 通常选择总根数最少为目标。
问题2）的求解
问题分析 按照解问题1）的思路，可以通过枚举法首先确 定哪些切割模式是可行的。但由于需求的钢管规格增加到4 种，所以枚举法的工作量较大。下面介绍的整数非线性规 划模型，可以同时确定切割模式和切割计划，是带有普遍 性的方法。 同1）类似，一个合理的切割模式的余料不应该大于或等于 客户需要的钢管的最小尺寸（本题中为4米），切割计划中 只使用合理的切割模式，而由于本题中参数都是整数，所 以合理的切割模式的余量不能大于3米。此外，这里我们仅 选择总根数最少为目标进行求解。
高等数学同济第七版下课后习题及解答
高等数学同济第七版下课后习题及解答高等数学作为大学理工科专业的重要基础课程，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力起着至关重要的作用。
而《高等数学》同济第七版更是被广泛使用的经典教材之一。
在学习过程中，课后习题是巩固知识、深化理解的重要环节。
下面，我们就来详细探讨一下这本教材下册的课后习题及解答。
首先，我们来了解一下这本教材下册所涵盖的主要内容。
下册主要包括多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程等重要章节。
每个章节都配有丰富的习题，旨在帮助学生掌握相关的概念、定理和方法。
在多元函数微积分学部分，习题的类型多种多样。
有关于偏导数、全微分的计算，也有涉及多元函数极值和条件极值的问题。
例如，在计算偏导数时，学生需要熟练掌握对各个变量的求导法则，并且要注意函数的复合结构。
对于全微分的习题，需要理解全微分的定义以及其与偏导数的关系，通过练习能够准确地求出给定函数的全微分。
而在极值问题中，学生要学会运用拉格朗日乘数法，通过建立方程组来求解极值点。
无穷级数这一章节的习题则主要集中在级数的收敛性判别、函数展开成幂级数等方面。
对于级数的收敛性判别，需要掌握各种判别法，如比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
在函数展开成幂级数的习题中，学生要熟悉常见函数的幂级数展开式，并能够运用相应的方法将给定的函数展开成幂级数。
常微分方程部分的习题包括一阶和二阶常微分方程的求解，以及线性微分方程解的结构等内容。
在求解一阶常微分方程时，要掌握分离变量法、一阶线性方程的求解公式等方法。
对于二阶常微分方程，要能够根据方程的特征根来确定通解的形式，并通过给定的初始条件求出特解。
接下来，我们谈谈如何有效地解答这些课后习题。
第一步，认真审题。
仔细阅读题目，理解题目所考查的知识点和要求。
明确题目中的已知条件和未知量，以及它们之间的关系。
第二步，回顾相关知识。
根据题目所涉及的知识点，迅速在脑海中回顾所学的概念、定理和方法。
如果对某些知识点感到模糊，应及时查阅教材进行复习。
实用下料问题~同济大学数学系
实用下料问题~同济大学数学系实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, . m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。
现在我们要为某企业考虑下面两个问题。
1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块，要求在4天完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。
高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案解析
word 完美格式第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==⋅=++解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节 偏导数word 完美格式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =， 求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂word 完美格式4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ， 求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y f y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y -+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=， 证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
下料问题的解法
有交货时间限制的大规模实用下料问题朱珠,王辉,张志敏指导老师：鲁习文(华东理工大学理学院数学系,上海200237)摘要：本文讨论了有交货时间限制的大规模单一原材料下料问题。
对于一维下料问题，本文提出一种新的算法：DP 贪婪算法。
在一维的基础上建立了二维的求解模型，运用降维思想结合一维的DP 贪婪算法，给出解决该模型的算法。
数值计算结果表明该算法对大规模下料问题是有效的。
关键词：下料问题，DP ，贪婪算法 1、问题描述单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中m i W w L l w i i i ,,1,, =<<<。
m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 。
下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小.2、一维下料问题2.1 模型假设在充分了解并分析了实际情况后，我们对一维下料问题提出如下假设：（1）每天下料的数量受到企业生产能力的限制，在未完成需求任务前，每天下料的数量等于最大下料能力。
（2）每个切割点处由于锯缝所产生的损耗不可忽略。
（3）增加一种下料方式大致相当于使原材料总损耗增加%08.0。
（4）每种零件有各自的交货时间，若某零件无交货时间，则记该零件交货时间为无穷大。
2.2 一维单一原材料实用下料问题的模型根据公司要求，目标是既要所用材料最少，也要下料方式少。
记m ：零件种类总数,i x ：第i 种下料方式下料的根数，k ：下料方式的种类数，:i δ第i 种下料方式的余料。
圆锥形固体粉料料斗下料不畅问题解决探析
苑得印 ! 赵国相 "
!.欧季亚新材料 南京 有限公司 江苏 南京 '!'!+' '.上海蓝滨石化设备有限责任公司 上海 '"!*!)/
摘要 某工厂现有圆锥形固体粉料料斗在出料过程中出现下料不畅问题 采用加装自动振动器 进行间歇性循环锤击的初步解决方法 但效果不佳 通过分析料斗结构 料斗流型及固体粉料特 性等影响料斗下料的因素 认为引起料斗下料不畅的主要原因是料斗倾斜角过小 造成了物料的 偏流和沉积 运用改流体概念 提出在料斗内加装整块贯穿式倾斜挡板 加大料斗倾斜角的优化 改进方案 改进后彻底解决了料斗下料不畅问题 生产效率大幅提高 现场应用效果良好 关键词 料斗 固体粉料 倾斜角 挡板 优化 中图分类号 01"*!.'*2222222文献标志码 3222!"#$!".+-%-45.6778.!""",#$%%.'"'$."'."!'
黏性较大时 下料就愈发困难 即使选用不锈钢 料斗也不能弥补料斗倾斜角太小造成的问题
出 口 管 道 圆 筒 的 直 径 达 %++466 经 计 算 分 析 采用此出口管径的料斗内不会形成卸料拱 不 会 对 下 料 产 生 任 何 影 响 *$
图 加装在料斗仓壁外的自动振动器
施间歇性循环锤击 锤击瞬间机械能传递到料斗 外壁经过仓壁传递给粉料破坏料拱使物料松动 而容易下料随着自动振动卸料系统的投用基本 能维持一定量的生产但下料不畅问题仍有发生 在一次物料切换过程中彻底清理检查料斗内部
图 圆锥形料斗中自然卸荷拱拱高与出料口宽度关系曲线
为此文中通过对料斗下料过程的深入剖析 结合改流体的概念提出了成本低施工周期短 施工简单易行的高效优化改进方案 解决了料斗 下料不畅的问题
下料问题
有关说明2004年全国部分高校研究生数学建模竞赛组织委员会、评审委员会热烈欢迎广大研究生参加竞赛，接受挑战，真心预祝你们在竞赛中充分发挥自己的聪明才智，团结协作，顽强拼搏，赛出风格，赛出水平。
衷心希望你们通过竞赛增长才干，提高能力。
本次竞赛共有A、B、C、D四道赛题，每队可任选一题参赛，只要在九月二十日十八时之前寄出参赛论文都可以参加评奖。
但是由于赛题的难度不可能完全相同，差异在所难免。
因此，在评奖中既要考虑四条题目之间的大致平衡，也会考虑到题目的难易程度，向选择难度较大题目的参赛队有所倾斜，特此说明。
由于各种原因，参赛队也有可能对题目有疑问，可以在的网页上贴出疑问，我们将请命题人在同一网页尽快作出回答，以提高效率。
但绝对不应借此进行讨论，请各参赛队自觉遵守竞赛纪律。
竞赛仅仅是个手段，不是目的。
因此，我们真诚欢迎广大研究生竞赛后对赛题继续进行深入的讨论，中国数学建模网页将为大家提供交流的平台。
在评奖中可能参考这里的结果，更重要的是争取把这些真刀真枪的实际问题解决得更好，扩大数学建模活动的影响，同时也进一步提高我国数学建模活动的水平。
评审委员会将选择讨论中出现的优秀成果（包括少量的竞赛优秀论文）在核心期刊上发表。
研究生和教师是数模活动的主体，我们真诚地盼望能经常听到你们的意见与建议，让我们共同努力把这一活动办得既扎实又有成效。
补充通知各参赛队：关于竞赛的几个具体问题通知如下：1、竞赛采用统一封面，请与题目一同下载。
2、参赛队号已正式通知各校，为防止通信出现差错，各校的参赛队号表也与题目公布在一起备查。
3、鉴于有部分学校分几次报名，有的学校对报名表的顺序没有足够地重视，也有参赛队的成员已发生变化，同时防止组委会登记工作中出现错误，请每个参赛队务必重填报名表，并由学校竞赛负责人分配属于本校的队号，不要发生本单位内或本单位与外单位重号现象。
重填后的报名表应装订于论文的封面前。
B题：实用下料问题“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
数学建模——下料问题
为了使总费用最少，应如何下料？
1.3 问题分析
针对以上问题，作如下分析： 此问题是为了解决投入成本最小为目标的优化问题，我们利用线性规划知识 建立了优化模型。根据原材料费用和题意中切割模式下的产生的附加费用，建立 总费用目标函数。再根据题意中的客户需求和生产限制建立限制条件，得到待求 模型。最终求解模型得到最优解，然后对模型进行了检验和进一步分析可得这个 最优解就是最佳的切割模式分配。
z
a( x1
x2
x3
x4
)
1 10
ax1
2 10
ax2
3 10
ax3
4 10
ax4
（1）
由假设 1，为了满足客户需要 15 根 290mm、28 根 215mm、21 根 350mm 和 30 根 455mm 的钢管，构造如下约束条件：
x1r11 x2r12 x3r13 x4r14 15 x1r21 x2r22 Байду номын сангаасx3r23 x4r24 28 x1r31 x2r32 x3r33 x4r34 21 x1r41 x2r42 x3r43 x4r44 30
r1i , r2i , r3i , r4i 表 示 第 i 种 模 式 下 将 一 根 原 料 钢 管 切 割 成 290mm,215mm,350mm,455mm 钢管的数量
a 为原材料一根钢管的价值
2 模型的建立与求解
2.1 模型的建立
由假设 4，由于目标使得总运费最少，我们建立如下目标函数：
min
（2）
由假设 2,3 为了使每种切割模式下的余料浪费不能超过 100mm，构造如下约束 条件：
1750 290r11 215r21 350r31 455r41 1850 1750 290r12 215r22 350r32 455r42 1850 1750 290r13 215r23 350r33 455r43 1850 1750 290r14 215r24 350r34 455r44 1850
几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》
几个值得商榷的问题——评同济大学应用数学系编《微积分》陈克东;陈宝根;唐生强
【期刊名称】《桂林电子科技大学学报》
【年(卷),期】2002(022)002
【摘要】面向二十一世纪的课程教材<微积分>,突出了微积分学的基本思想和基
本方法,渗透了现代数学思想,探索了数学与计算机应用的结合,继承了原<高等数学>教材的许多长处, 瑕不掩瑜,瑜中有瑕.<微积分>教材存在一些不妥或错误,而且有些
问题值得商榷.
【总页数】3页(P27-28,58)
【作者】陈克东;陈宝根;唐生强
【作者单位】桂林电子工业学院,计算科学与应用物理系,广西,桂林,541004;桂林电
子工业学院,计算科学与应用物理系,广西,桂林,541004;桂林电子工业学院,计算科学与应用物理系,广西,桂林,541004
【正文语种】中文
【中图分类】O172
【相关文献】
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商榷的问题"的商榷意见 [J], 古今强
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数学建模之下料问题
数学建模之下料问题下料问题摘要本文是针对如何对钢管进行下料问题，根据题目要求以及下料时有关问题进行建立切割费用最少以及切割总根数最少两个目标函数通过结果分析需要使用何种切割模式。
生产方式所花费的成本价格或多或少有所不同，如何选取合理的生产方式以节约成本成为了很多厂家的急需解决的问题。
这不仅仅关系到厂家的利益，也影响到一个国家甚至整个人类星球的可利用资源，人们的生活水平不断提高对物资的需求量也不断上升，制定有效合理的生产方式不仅可以为生产者节约成本也可以为社会节约资源，以达到资源利用最大化。
本文以用于切割钢管花费最省及切割总根数最少为优化目标，通过构建多元函数和建立线性整数规划模型，利用数学及相关方面的知识对钢管的切割方式进行优化求解最佳方案。
本文最大的特色在于通过求解出切割钢管花费最省及切割总根数最少时分别得出两种目标函数取最小值时的切割模式。
通过结果发现两种目标函数取最小值时所需切割根数都一样。
于是选择切割钢管花费最省为目标函数，此时的切割模式达到最少，这样既满足了总根数最小有满足了切割费用最小。
关键词：切割模式LINGO软件线性整数一、问题的提出某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。
从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm。
现有一客户需要15根290mm、28根315mm、21根350mm和30根455mm的钢管。
为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。
此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm。
为了使总费用最小，应如何下料？二、基本假设1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm的钢管。
2、假设每次切割都准确无误。
3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。
同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题一、选择题：1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有()()();();()A Q xoy B Qyoz C Qxoz D Q xoz ⊥面；面面面5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±； (B)222ααββ→→→→±+； (C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则平面().(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .7、设直线方程为1111220A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160x y z ⎧+=⎨=⎩，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=； (B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；(C)22214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L ：31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 .八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L ：24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，2:L 24132x t y t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面：220x y z +--=，310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 .十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点，且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题: 1、二元函数221arcsin z x y=+的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤； (C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<.2、设2(,)()x f xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y +； (B) 2(1)xy y +； (C) 221()y x x +； (D) 2(1)yy x+. 3、22220lim()x y x y x y →→+=( ). (A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ).(A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).(A)偏导数不存在； (B)不可微；(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ).(A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂； (B)22f v v y∂∂⋅∂∂；(C)22222()f v f v y v v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂； (D)2222f v f v y v v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂. 7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围 成的四面体的体积V=( ). (A)332a ； (B) 33a ； (C) 392a； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ). (A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足(0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16； (D)18.10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).();();();().A gradu gradvB u gradv v graduC u gradvD v gradu ⋅⋅+⋅⋅⋅二、讨论函数33x y z x y+=+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln yz x= ；2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),y z u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导数,求2zx y∂∂∂.六、设cos ,sin ,uux e v y e v z uv ===,试求z x ∂∂和z y∂∂ .七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 .八、求平面1345x y z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 .九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题: 1、1100(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰； (B)1100(,)xdy f x y dx -⎰⎰；(C)1100(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)1100(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ；(B)；(C)(D) .3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23x y == (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=4、xyD xe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A) 1;e (B) e ; (C) 1;e- (D) 1.5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所围成,则I =( ).(A)22400ad a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012ad r rdr a πθπ⋅=⎰⎰; (C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰;(D)22402ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰.6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A) 148； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- .7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则Ω=( ).(A) 2136a b ；(B) 2136a b(C) 2136b c ；(D) 1368、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1zx y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)21100I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰； (B)211rI d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰；(D)120zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那部分面积s =( ).；(B) ；；(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量 x I =( ).(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、22()Dx y d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域: 0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、Dyarctgd xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、2(369)Dyx y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区域:222x y R +≤ 4、222D x y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序:1、123301(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；2、110(,)dx f x y dy ⎰；3、(cos ,sin )ad f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yxxdx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为x y z →→.五、计算下列三重积分: 1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 . 六、求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 .七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题:设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x ， (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0.若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π. 4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确.(A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰. 6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)20d rdr πθ⎰⎰;(B)20d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则22xy zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A)2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD x y ⎰⎰; (C) 0 . 8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i 穿过曲面∑的流量； 面密度为2z 的曲面∑的质量； 向量2z k 穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)222xyD xy zds x y ∑=⎰⎰⎰⎰；(B)2222()()xyD x y dxdy x y dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰；(C)2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ).(A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰；(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰外侧=22(321)xx dxdydz -+⎰⎰⎰；(C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤；2、求(s i n 2)(c o s 2)x xLe y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222ds x y z ∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及之间的圆柱面222x y R +=； 2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰， 其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0z ≥的上侧 . 四、证明:22xdx ydy x y++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及 原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z = .六、求向量A xi yj zk =++通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=), 已知流速函数222V xz i yx j zy k =++,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题:1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑；(B)1n ∞=；(C)1n ∞=； (D)1(1)nn ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑； (B)114()5n n ∞-=∑；(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑； (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑； (B)13!n n n n n ∞=∑； (C) 221sin n n ππ∞=∑； (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}n s 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )-(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn ar∞=∑收敛 . (A)1r <； (B)1r ≤； (C)r a <； (D)1r >.6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ).(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].7、若幂级nn n a x∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x ∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数()n nn n ab x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +； (B)12R R ⋅；(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R .8、当0R >时,级数21(1)nn k nn ∞=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)nn n n x∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n∞=∑； 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅ .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑； 2、212n n n n x ∞=∑.六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数.九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 .十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 .十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===.-第八章 测 验 题 答 案一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩.八、81390x y z --+=.九、1124463x t y t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=.十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,3d =.第九章 测 验 题 答 案一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时,则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点. 三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln yy x z x y=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++ 23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2yy y y uuuy xu xy u xef e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,fl φφ∂=+∂ 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及八、4335(,,).5512九、切点min 2V =.第十章 测 验 题 答 案1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、B ；6、A ；7、A ；8、B,D ；9、B ； 10、C.二、1、2409π-；2、2364π； 3、4294R R ππ+；4、5.2π三、1、2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；-2、21201(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰；3、(cos ,sin )aarrdr f r r d θθθ⎰⎰.四、11(,,)zzdz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-； 2、2503π； 3、0.七、提示：1()(),()()()(),(0)0xF x f t dt F x f x F t f x dx F '====⎰⎰则且第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.二、1、3220(2)3t +-； 2、2a π.三、1、2H arctg R π； 2、44h π-； 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.提示:化成2123332n n ++++)五、1、11[,)55-； 2、(.六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±且).十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑12sin ()cos ,[0,)(,)n h nhf x nx x h h nπππ∞==+∈⋃∑---- 精品文档考试教学资料施工组织设计方案精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案(31)
习题11-31.求下列幂级数的收敛域:(1)x+2x2+3x3+⋅⋅⋅+nx n+⋅⋅⋅;解,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是发散的;当x=-1时,幂级数成为,也是发散的,所以收敛域为(-1, 1).(2);解,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1, 1].(3);解,故收敛半径为R=+∞,收敛域为(-∞,+∞).(4);解,故收敛半径为R=3.因为当x=3时,幂级数成为,是发散的;当x=-3时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-3, 3).(5);解,故收敛半径为.因为当时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为.(6);解这里级数的一般项为.因为,由比值审敛法,当x2<1,即|x|<1时,幂级数绝对收敛;当x2>1,即|x|>1时,幂级数发散,故收敛半径为R=1.因为当x=1时,幂级数成为,是收敛的;当x=-1时,幂级数成为,也是收敛的,所以收敛域为[-1, 1].(7)∑∞=--122212nnnxn;解这里级数的一般项为.因为,由比值审敛法,当,即时,幂级数绝对收敛;当,即时,幂级数发散,故收敛半径为.因为当时,幂级数成为∑∞=-121 2nn,是发散的,所以收敛域为.(8)∑∞=-1)5 (nn nx.解,故收敛半径为R=1,即当-1<x-5<1时级数收敛,当|x-5|>1时级数发散.因为当x-5=-1,即x=4时,幂级数成为∑∞=-1)1 (nnn,是收敛的;当x-5=1,即x=6时,幂级数成为,是发散的,所以收敛域为[4, 6).2.利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:(1);解设和函数为S(x),即,则.(2);解设和函数为S(x),即,则.提示:由得.(3).解设和函数为S(x),即,则.提示:由得.温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。
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实用下料问题一．问题的重述“下料问题(cutting stock problem)”是把相同形状的一些原材料分割加工成若干个不同规格大小的零件的问题，此类问题在工程技术和工业生产中有着重要和广泛的应用. 这里的“实用下料问题”则是在某企业的实际条件限制下的单一材料的下料问题。
现考虑单一原材料下料问题. 设这种原材料呈长方形，长度为L ,宽度为W ，现在需要将一批这种长方形原料分割成m 种规格的零件, 所有零件的厚度均与原材料一致，但长度和宽度分别为),(,),,(11m m w l w l ，其中w i ＜m i W w L l i i ,,1,, =<<. m 种零件的需求量分别为m n n ,,1 .下料时，零件的边必须分别和原材料的边平行。
这类问题在工程上通常简称为二维下料问题。
特别当所有零件的宽度均与原材料相等，即m i W w i ,,1, ==，则问题称为一维下料问题。
一个好的下料方案首先应该使原材料的利用率最大，从而减少损失，降低成本，提高经济效益。
其次要求所采用的不同的下料方式尽可能少，即希望用最少的下料方式来完成任务。
因为在生产中转换下料方式需要费用和时间，既提高成本，又降低效率。
此外，每种零件有各自的交货时间，每天下料的数量受到企业生产能力的限制。
因此实用下料问题的目标是在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。
现在我们要为某企业考虑下面两个问题。
1．建立一维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题，制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料数，所采用的下料方式数和废料总长度. 单一原材料的长度为 3000mm, 需要完成一项有53种不同长度零件的下料任务. 具体数据见表一(略)，其中 i l 为需求零件的长度，i n 为需求零件的数量. 此外，在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm. 据估计，该企业每天最大下料能力是100块 ，要求在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；要求不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。
2．立二维单一原材料实用下料问题的数学模型, 并用此模型求解下列问题.制定出在企业生产能力容许的条件下满足需求的下料方案, 同时求出等额完成任务所需的原材料块数和所需下料方式数.这个问题的单一原材料的长度为 3000mm,宽度为100mm, 需要完成一项有43种不同长度和宽度零件的下料任务. 具体数据见表二(略)，其中 i i i n w l ,,分别为需求零件的长度、宽度和数量. 切割时的锯缝可以是直的也可以是弯的，切割所引起的锯缝损耗忽略不计.据估计，该企业每天最大下料能力是20块 要求在4天内完成的零件标号(i )为: 3,7,9,12,15, 18, 20, 25, 28, 36.二．问题的分析在生产实践中，经常会遇到如钢材、木材等条型材的下料问题，即如何根据原材料的长度、零件的尺寸以及需求量确定出使原材料消耗最少的最优下料方案。
本题要求：在生产能力容许的条件下，以最少数量的原材料，尽可能按时完成需求任务, 同时下料方式数也尽量地小。
对于一维下料问题，首先我们必须找出全部可行的下料方式；然后才能确定下料方式作为决策变量和形式约束条件的结构系数，这样才能建立优化决策模型，通过计算机编程计算得到我们所需要的最优下料方案。
考虑到这里是单一原材料下料问题，这大大减少了下料方式；但由于零件的种类有53种之多，因此下料方式仍然很多，计算量很大，所以在建立优化模型的基础上，我们需要找到比较合适的算法来解决这类实际问题。
近年来，国内外关于这方面的研究比较活跃，并涌现出了不少近似算法，如Gilmore 与Gomory 用线性规划建立的一刀切问题的数学模型；Dyckhoff 提出的线性规划方法以及Sarker 提出的动态规划方法等。
由于下料问题属于布局问题，不同于一般的数值性优化,近年又出现应用遗传算法来求解下料优化问题。
我们力图建立一种实用的模型——多目标整数规划模型[1] [2][7]，并提出一种新的优化思想方法——启发式多层次逐层优化方法，解决此问题；同时与其他的求解方法进行比较。
对于二维下料问题，我们采用分类层次分析法；由于原材料的长度为3000mm ，宽度为100mm ，而43种零件的长度最小的为155mm ，这样就不会出现零件的长边在原材料的宽边上切割的情况，也就是说零件的长边都是顺着原材料的长边切割的。
考虑到零件的宽有20，30，35，50（mm ）这4种规格，为了尽量节省材料，我们应该使原材料在宽边上尽量利用完全，这样只有几种宽边完全利用的组合方式（5种），分别为：50-50，50-30-20， 30-30-20-20，35-35-30，20-20-20-20-20。
我们把零件按宽边的规格分为4类（20，30，35，50），对每一类都可按问题一的处理一维下料问题的方式找最优的方案，然后再把他们按上述的几种方式进行组合，以求得最优解。
三．问题的假设1．对于第一问的假设：1）在每个切割点处由于锯缝所产生的损耗为5mm ； 2）企业每天的最大下料能力为100块；3）考虑下料方式的数量对总损耗的影响，下料方式越少则原材料总损耗越小； 4）对于剩余长度为)50(≤≤+y y x mm 的材料，可以通过细微调整锯缝的位置锯得长度为x mm 的零件； 2．对于第二问的假设：1）切割所引起的锯缝损耗忽略不计；2）切割时锯缝可以是直的也可以是弯的，但要求转弯为直角； 3）企业每天最大的下料能力是20块； 4）原材料和零件都是长方形。
四．符号说明L ——原材料的长度（L =3000mm ） W ——原材料的宽度（W =100mm ） N ——所用的原材料总数量 K ——所采用的下料方式总数量i l ——第i 号零件的长度L l i ≤（单位：mm ，53,,2,1 =i ）i w ——第i 号零件的宽度W w i ≤ i n ——第i 号零件的需求量ij a ——第j 种下料方式中切割第i 号零件的数量 j x ——按第j 种下料方式切割的原材料的数量 j c ——按第j 种下料方式切割的废料长度（mm ） 1G ——第一问中要求在4天内完成的零件号的集合 {}48362825201815129751，，，，，，，，，，=G2G ——第一问中要求在不迟于6天完成的零件号的集合 {}50,46,40,38,32,29,24,11,42=G3G ——第二问中要求在4天内完成的零件号的集合 {}36,28,25,20,18,15,12,9,7,33=G五．模型的建立与求解1．对问题一的解决：此问要求：在4天内完成的零件标号(i )为: 5,7,9,12,15,18,20,25, 28,36,48；不迟于6天完成的零件标号(i )为:4,11,24,29,32,38,40,46,50。
而该企业每天最大下料能力是100块，我们要制定出在生产能力容许的条件下满足需求的下料方案，同时要求等额完成任务，我们的目标是要尽可能节省材料，尽可能用少的下料方式。
为此我们建立多目标整数规划模型：（首先我们约定：0ˆ0=）∑=jj x MinN , ∑=jjj x x MinK （1）..T S ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥≥⨯≤⨯≤==∀<+-∀≤-+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∈∈∈∈≤≤==，且为整数，且为整数，，，006100)(4100)(53,2,1)(min )5(5)5(212111531531531j ij G G i j G G i ijjij G i j G i ijj ij j i j ij i i i i ij i i ij x a a x a a x a i n x a j l l a L j L l a注：1.我们有：若采用了第j 种下料方式，则j x 为大于0的整数，因此1=jj x x ；若没有采用第j 种下料方式，则j x 为0，如上定义可得：000==jj x x ，这样∑=j jj x x K 即表示了所用的下料方式数量；2．约束中第一条是：考虑了锯缝时，原材料长度L 对下料方式的限制，即对于任意一种下料方式，所得到的零件总长度与锯缝总长度之和要小于等于L ；3．约束中第二条是：考虑了锯缝时，对于每一种下料方式的废料长度要小于零件的最小长度；4．约束中第三条是：为了满足题中要求的等额完成任务的限制条件；5．约束中第四条是：为了满足在企业每天生产能力是100块时，要求在4天内完成零件集合1G 的条件，其中∑∈1G i ijjij a x a 表示第j 种下料方式中所切割的第i 种零件数占这种下料方式中所切割的零件集合1G 中零件数的权数，因此∑∑∑∈∈11)(G i jG i ijjij ax a 表示了完成零件集合1G 所用的原材料数，又由于在4天内要完成零件集合1G ，故上述所算出的所用的原材料数要小于等于4100⨯，注意若01=∑∈G i ij a ，即表示第j 种下料方式中没有切割到零件集合1G 中的零件，因此：1,0G i a ij ∈∀=，这样按照注释1中的约定0ˆ0=，可知正好表示：这种下料方式不产生集合1G 中的零件，故而这条约束很完善；6．约束中第五条和第四条的解释类似；约束中第六条和第七条表示ij a 和j x 要取整数。
对于废料的度量：由于存在锯缝为5mm ，对任何一种可行的下料方式()j j j a a a 5321,,, ，则其满足条件L l a i i ij ≤-+∑=5)5(531，所以如果单纯的用∑=+-531)5(i i ij l a L 来度量此种下料方式的废料是不对的，这可能取到负值；实际上，又由于对问题一有假设4，我们可以知道：对所有满足0)5(531≤+-∑=i i ij l a L 的下料方式来说，废料都为0；故而我们可以得到废料的度量方式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-≤+-+-=∑∑∑===时，当时，当0)5(00)5()5(531531531i iij i i ij i i ij j l a L l a L l a L c 经过数学处理，得到：2)5()5(531531⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=∑∑==i i ij i i ij j l a L l a L c因此废料总量为：∑=jj j x c C废弃率定义为：∑∑∑==jj jj j jj x x c x C q 3000/3000/利用率定义为：∑∑∑-=-=-=jj jj j jj x x c x C q p 3000/13000/11对于此模型（即（1）式）的求解比较困难，我们需要首先分解此模型，然后创建适应的优化算法解决此问题：()j j j a a a 5321,,, 表第j 种下料方式 1）当前最优的下料方式的模型：多层整数线性规划模型a)当01>∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （2）..T S⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+∑∑∈=1531105)5(ga n a L l a G i i i i i i i ，且为整数 其中()5321,,,a a a 表一种下料方式，1g 为努力程度，定义为某种下料方式中含有集合1G 中零件的个数，从中我们可以看出1g 越大零件集合1G 完成得越快；b) 当01=∑∈G i i n 且02>∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （3）..T S⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤≤-+∑∑∈=2531205)5(ga n a L l a G i i i i i i i ，且为整数 2g 为努力程度，类似1g 的定义和理解；c) 当01=∑∈G i i n 且02=∑∈G i i n 时，求最优的一种下料方式的数学模型为：∑==531i i i l a MaxS （4）..T S⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+∑=，且为整数i i i i i n a Ll a 05)5(531这三个模型都是整数线性规划问题，可以用分支定界法求解，亦可用lingo 直接编程（见附录程2序九），可以很快计算得结果；也可以用matlab7.0[3]编程算得。