第三节 数 乘 向 量
数乘向量
解：作图如右
依图猜想:A、B、C三点共 线∵ AB=OB-OA
=a+2b-(a+b)=b
又 AC=OC-OA =a+3b-(a+b)=2b
∴ AC=2AB
C
b
B
b
A
ba
O
又 AB与AC有公共点A，∴ A、B、C三点共线.
D
C
������
M
A
���Ԧ���
B
������������ = − ������ ������ + ������
试一试
计算： ������ ������（������ ՜������ + ������ ՜������ − ������ ՜������ ) − ������(−������ ՜������ + ������ ՜������ − ������ ՜������ ); ������ 已知������ ՜������ + ՜������ + ������ ՜������ − ������ ՜������ − ������ ՜������ − ՜������ + ՜������ 求 ՜������ .
2
1
(3) ���Ԧ��� = − 3 ���Ԧ���, ������ = 3 ���Ԧ���
3
3
(4) ���Ԧ��� = − 4 ���Ԧ���, ������ = − 2 ���Ԧ���
三、实数与向量的积的运算律：
a
2���Ԧ���
3(2���Ԧ���)
6���Ԧ���
三、实数与向量的积的运算律：
特别地: （ − ������）������ = ������ −������ = −（������）������ ������ ������ − Ԧ������ = ������������ − ������Ԧ������
微积分向量的乘法运算
求向量 x的坐标.
解 设 x la,则 9 a x l(a a) 9l , l 1,
x a (2,1,2).
例4
设
a
0
,
b
0
,
且
c
0
,并且有
a
c
b
c,
问是否有 a b？
解
取
a
i,
b j,
c
i
j
k,
则有
a
c
b
c
1,
但
a
b.
例5
证明向量
c与向量
(a
c)b
(b
例 (2)
2a与设ba的 夹(1角,1； ,4(3)，) ab在
b(1上 ,2的,2投)，影求. (1)
a
b；
例解3((32)设()1c)aaoasb2bi||baa1j|||Pb1br2j|kb1a,向, (3量2P2)9xrj与3b(aa4共)a|b线12b2|,,且9a3.9 x334.9.,
l
(a
b ).
4. 向量积的坐标表示
设
a
axi ay j azk,
b bxi by j bzk
a
b
aybz
azby
,
azbx
axbz , axby
a ybx
向量积的分解表达式
ay az , ax az , ax ay
by bz bx bz bx by
向量积的坐标表达式
1
记为
s W
a
b
,
F
M s
2
注意：a
b
中的“.”不能省.
若
a
大学经典课件之高等数学——7-3向量的乘法运算
C
1 25 2 2 2 = 15 + 12 + 16 = , 2 2 1 | AC | = 42 + ( −3)2 = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
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r r r 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规 r r r 则，且| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算 r r r ( m × n) ⋅ p .
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结束
r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = r r , | a || b |
cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
——两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 r r r r a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0
( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 =− , 2
r r r r r ( 3 ) a ⋅ b =| b | ( a ) b
3π . ∴θ = 4 r r r r a⋅b ∴ (a )b = r = −3. |b |
2
2 2
b a r a
向量数乘运算及其几何意义课件
向量数乘运算及其几何意义
1．向量的数乘
定义
长度 λ>0
方 λ＝0
向 λ<0
一般地，实数λ与向量a的积是一个向__量__， 这种运算叫做向量的数乘，记作λa |λa|＝|λ|a λa的方向与a的方向_相__同___ λa＝0 λa的方向与a的方向_相__反__
[破疑点]①实数与向量可以进行数乘运算，其结果是一个
命题方向 向量的线性表示 [例 2] 已知O→A＝3e1，O→B＝3e2，C、D 是 AB 的三等分 点，求O→C、O→D. [分析] 依据向量加法、减法的定义和数乘向量的几何意 义，将待求向量逐步向已知条件过渡．
[解析] O→C＝O→A＋A→C＝O→A＋13A→B ＝O→A＋13(O→B－O→A)＝23O→A＋13O→B ＝23×3e1＋13×3e2＝2e1＋e2， O→D＝O→A＋A→D＝O→A＋23A→B ＝O→A＋23(O→B－O→A)＝13O→A＋23O→B＝e1＋2e2.
向量，不是实数；但实数与向量不能进行加运算，如λ＋a，λ－a是错误的．
②对任意非零向量a，则向量
a |a|
是与向量a同向的单位向
量．
③λa的几何意义就是把向量a沿着a的方向或反方向扩大
或缩小|λ|倍．
命题方向 向量线性运算的运算律
[例 1] 计算：(1)3(6a＋b)－9(a＋13b)； (2)12[(3a＋2b)－(a＋12b)]－212a＋38b； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. [分析] 综合运用实数与向量的运算律解题．
[解析] 证明：(1)∵A→B＝a＋b，B→C＝2a＋8b， C→D＝3(a－b) ∴B→D＝B→C＋C→D＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5A→B. ∴A→B、B→D共线， 又∵它们有公共点 B，∴A、B、D 三点共线．
《向量数乘运算》课件
• 向量数乘运算的基本概念 • 向量数乘运算的规则与性质 • 向量数乘运算的应用场景 • 向量数乘运算的几何解释 • 向量数乘运算的注意事项与常见错误
01
向量数乘运算的基本概念
向量的定义与表示
总结词
理解向量的定义和表示方法是学习向量数乘运算的基础。
详细描述
向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，起点为 原点。在二维平面上，向量可以用有序对（x, y）表示，在三 维空间中，向量可以用有序三元组（x, y, z）表示。
数乘运算的定义
总结词
理解数乘运算的定义是掌握向量数乘 运算的关键。
详细描述
数乘运算是指将一个标量与一个向量 相乘，结果仍为一个向量。标量可以 是实数或复数，与向量相乘时，标量 可以乘以向量的每一个分量。
向量数乘运算的意义
总结词
了解向量数乘运算的意义有助于理解其在物理和工程领域的应用。
详细描述
向量数乘运算在物理学和工程学中有着广泛的应用，如速度和加速度的计算、 力的合成与分解、交流电的相量表示等。通过向量数乘运算，可以方便地描述 和解决物理问题，简化计算过程。
分类与回归分析
在分类与回归分析中，向量数乘运算用于训练模型和预测结果。通过向量数乘运算，可以对数据进行特 征提取和变换，进而训练分类器或回归模型。同时，向量数乘运算也用于预测新数据的分类或回归结果 。
04
向量数乘运算的几何解释
向量的模与方向
总结词
描述向量的模与方向的概念。
详细描述
向量的模表示向量的大小，方向表示向量的指向。通过几何图形可以直观地表示 向量，其中箭头长度代表向量的模，箭头指向代表向量的方向。
详细描述
在进行向量数乘运算时，如果数乘的系数过 大或过小，可能会导致结果溢出或下溢。为 了避免这种情况，应选择合适的数据类型和 算法，或者采用适当的缩放因子来调整数乘 的系数，以确保结果的精度和准确性。同时 ，在编写代码时，可以使用异常处理机制来
空间向量的数乘运算 课件
问题 2 向量共线在几何中有什么应用？ 答案 利用向量共线可以证明几何中的两直线平行和 三点共线问题．证明两直线平行要先证明两直线上的向
量 a，b 平行，还要证明直线上有一点不在另一条直线 上；证明三点 A、B、C 共线，只需证明存在实数 λ，使 A→B＝λB→C或A→B＝λA→C即可．
例 2 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E 在 A1D1 上，且A→1E＝2E→D1，F 在对 角线 A1C 上，且A→1F＝23F→C.
(2)要证明 a∥α，只需在 a 上取向量 a，证明 a 可以用平面 α 内两个不共线向量线性表示且说明 a 上有一点不在 α 内．
问题 5 已知 A、B、M 三点不共线，对于平面 ABM 外的
任一点 O，确定在下列各条件下，点 P 是否与 A、B、M
一定共面？ (1)O→B＋O→M＝3O→P－O→A；(2)O→P＝4O→A－O→B－O→M. 解 (1)原式可变形为O→B＝O→P＋(O→P－O→A)＋(O→P－O→M) ＝O→P－P→A－P→M，即P→B＝O→B－O→P＝－P→A－P→M.
答案 λ>0 时，λa 和 a 方向相同；λ<0 时，λa 的方向和 a 方向相反；λa 的长度是 a 的长度的|λ|倍．
问题 2 空间向量的数乘运算满足哪些运算律？ 答案 空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： 分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb， 结合律：λ(μa)＝(λμ)a.
例 1 设 A 是△BCD 所在平面外的一点，G 是△BCD 的重
共线． 3．共面向量
(1)共面向量的概念
平行于__同___一__个__平__面___的向量，叫做共面向量．
(2)三个向量共面的充要条件 若两个向量 a，b 不共线，则向量 p 与向量 a，b 共面的充要 条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使___p_＝__x_a_＋ ___yb_____.
向量的运算
向量的数乘运算性质：数乘运算满足消去律，即当k≠0时， ka=0→a=0。
几何意义
向量的数乘运算可以改变向量的长度和方向 数乘运算的结果与原向量共线 数乘运算可以用坐标表示，通过改变坐标系中的坐标实现
数乘运算在物理和工程中有着广泛的应用，如速度和加速度的合成、力的分解等
向量的向量积定义：两个向量a和b的向量积是一个向量c，其模长为|c|=|a||b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹 角。
添加 标题
向量的向量积性质：向量积满足反交换律，即a×b=-b×a；向量积与标量乘法可结合，即 k(a×b)=(ka)×b=a×(kb)；向量积与向量的加法和数乘可分配，即a×(b+c)=(a×b)+(a×c)，(a+b)×c=(a×c)+(b×c)。
运算规则
向量的向量积定 义：两个向量a和 b的向量积是一个 向量c，其模长为 |c|=|a||b|sinθ， 其中θ为a和b之 间的夹角。
向量的向量积性 质：c垂直于a和 b，即c与a和b都 正交。
向量的向量积运
算
：
c=a×b=b×a，
即交换律成立。
向量的向量积几 何意义：表示两 个向量a和b所围 成的平行四边形 的面积。
向量加法的逆元是相反向 量
向量数乘
定义与性质
向量数乘的定义：数乘是一个向量与一个标量的乘积，结果仍为一个向量 向量数乘的性质：数乘后的向量长度或大小会发生变化，但方向保持不变 实数与向量的数乘：实数可以与向量相乘，得到新的向量 数乘在向量运算中的作用：数乘是向量运算中的基本操作之一，可以用于向量的缩放和平移等操作
空间向量的数乘运算 课件
AA1
1 2
(B1A1
B1C1
)
AA1
1 2
(BA
BC)
AA1
1 2
(－AB
AD)
c 1 (－a b) 2
－1 a 1 b c． 22
方法二：BM BA AA1 A1M
－AB
AA1
1 2
(A1B1
A1D1
(AB
AD)
－a c 1 (a b) 2
－1 a 1 b c． 22
而利用p xa y与b a,bp共面则不需要a,b不共线的条件. 向量共面的充要条件是处理向量共面问题的主要依据.
A1A AB
2bca 3
a
2 b c, 3
EF 2所EB以, E，F，B三点共线.
5
类型 三 空间向量共面定理的理解应用 【典型例题】 1.已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外任意一点O， 则(1)、(2)两个条件可以确定点P与点A，B，M一定共面的 是__________.(填序号)
(3)空间向量共面的其他判定方法． 三个非零向量a,b,c,其中无两者共线，那么它们共面的充要条 件是存在三个非零实数l,m,n,使la+mb+nc=0.
类型 一 空间向量的数乘运算 【典型例题】 1.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交 点．若 AB a，AD b，AA1 c，则下列向量中与BM相等的向量 是( )
提示：(1)正确.若p=x a+y b,则p与a,b共面是正确的，是由 共面向量基本定理得到的. (2)不正确.当a,b共线，而p与a，b不共线时，p=x a+y b是不 成立的. (3)正确.是共面向量的充要条件. (4)不正确.当 MA，MB共线，而 MP与MA，MB不共线时， MP xMA yMB不成立. 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
向量的数乘及几何意义
向量的数乘及几何意义首先，数乘可以用于描述向量的数量特征。
对于一个向量A = (a1,a2, ...,an)，它的数乘kA = (ka1, ka2, ..., kan)，其中k是一个数。
数乘可以改变向量的大小，当k > 1时，向量的大小会增大；当k < 1时，向量的大小会缩小；当k = 0时，向量会变为零向量。
这个特性使得数乘可以用于描述向量的缩放效果。
其次，数乘还可以用于推导向量的几何性质。
假设有两个向量A和B，在数学中可以证明以下几何性质：1.数乘的交换律：k(A+B)=kA+kB。
这个性质说明了数乘对向量的线性运算。
即两个向量之和的数乘等于分别对每个向量进行数乘后再相加。
2.数乘的结合律：(k1k2)A=k1(k2A)。
这个性质说明了数乘的运算是可结合的。
即连续进行两次数乘的结果与将两个数乘因子相乘再对向量进行数乘的结果相同。
3. 数乘的单位向量：kį = (ka1, ka2, ..., kan)。
这个性质说明了单位向量与数乘之间的关系。
即单位向量的每个分量等于将数与向量的各个分量相乘后得到的向量。
利用数乘的几何性质，可以帮助我们推导出一些向量的几何意义。
以下是数乘的一些几何意义：1.向量的平移：当数乘k>0时，等式kA可以表示向量A的平移。
向量A的平移kA代表了将向量A移动到离原点O的距离为，k，倍的位置。
2.向量的伸缩：当数乘k>1时，等式kA可以表示向量A的伸缩。
向量A的伸缩kA代表了将向量A的大小按比例增大k倍。
3.向量的反向：当数乘k<0时，等式kA可以表示向量A的反向。
向量A的反向kA代表了将向量A方向反转180°，同时改变其大小。
4.零向量：当数乘k=0时，等式kA可以表示零向量。
零向量是一个特殊的向量，它的大小为0，方向为任意。
虽然向量的数乘在数学中有很多定义和性质，但它们的几何意义可以被统一地描述为向量的平移、伸缩、反向和零向量。
向量的数乘不仅在理论数学中有重要的地位，也在实际应用中起到了至关重要的作用。
数乘向量
uuur uuur 3(OA AB)
uuur 3OB
B OA
B' A'
巩固练习：计算：
r rr
rrr
（1）（2 2a 6b 3c) 3(3a 4b 2c);
rr r r rrr r (2)已知3(x a) 2(x 2a) 4(x a b) 0
2.1.4 数乘向量
已知非零向量a，作出a + a + a和
( a)+( a)+( a).
O a A a Ba C
－a
－a
－a
N
M
Q
P
OC =OA AB BC = a + a + a =3 a
PN = PQ QM MN
=(
a )+(
a )+(
a )=3
a
（1）3a与a方向相同,且|3a|=3|a|； （2）3a与a方向相反,且|3a|=3|a|.
分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方 程，通过方程组的求解获得m、n.
解：记3m＋2n＝a ① m－３n＝b ②
3×②得 ３m－９n＝３b
③
①－③得 11n＝a－３b.
∴
n＝
1 11
a－
3 11
b
④
将④代入②有：m＝b＋３n＝
3 11
a＋
2 11
b
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量 的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解 向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元 一次方程组的方法一致.
例3. 设x是未知向量，解方程： 5(x+a)+3(x－b)=0.
高中数学 第三章3.1.2 空间向量的数乘运算讲解与例题
3.1.2 空间向量的数乘运算问题导学一、空间向量的数乘运算活动与探究1如图所示，已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中x ，y ，z 的值：(1)''BD xAD y AB z AA =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ；(2)'AE x AD y AB z AA =++u u u r u u u r u u u r u u u r ．迁移与应用1．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点F 是侧面CDD ′C ′的中心，若AF u u u r ＝AD u u u r＋x AB u u u r ＋y 'AA u u u r，则x －y 等于( )．A ．0B ．1C ．12D ．－122．如图，平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，AM u u u u r ＝12MC u u u u r ，1A N u u u u r ＝2ND u u u r ，设AB u u u r ＝a ，ADu u u r＝b ，1AA u u u r＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u u r ．确定要表示的向量的终点是否是三角形边的中点，若是，利用平行四边形法则即可；若不是，利用封闭图形，寻找到所要表示的向量所对应的线段为其一边的一个封闭图形，利用这一图形中欲求向量与已知向量所在线段的联系，进行相应的向量运算是处理此类问题的基本技巧．一般地，可以找到的封闭图形不是唯一的．但无论哪一种途径，结果应是唯一的．二、共线向量活动与探究2如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1D1，AB的中点，E在AA1上且AE＝2EA1，F在CC1上且CF＝12FC1，判断MEu u u r与NFu u u r是否共线？迁移与应用1．已知向量a ，b 且AB u u u r＝a ＋2b ，BC uuu r ＝－5a ＋6b ，CD uuu r ＝7a －2b ，则一定共线的三点为( )．A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，D D ．A ，C ，D2．如图，四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形，且不共面，M ，N 分别是AC ，BF 的中点．判断CE u u u r 与MN u u u u r是否共线．1．判断向量a，b共线的方法有两种：(1)定义法，即证明a，b所在基线平行或重合．(2)利用“a＝λb⇒a∥b”判断．2．如果a，b是由空间图形中的有向线段表示的，可利用空间向量的运算性质，结合具体图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b，即a与b共线．三、共面向量活动与探究3已知A ，B ，C 三点不共线，平面ABC 外的一点M 满足OM u u u u r ＝13OA u u u r ＋13OB uuu r ＋13OC u u u r．(1)判断MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 三个向量是否共面；(2)判断点M 是否在平面ABC 内．迁移与应用1．下列说法中正确的是( )． A ．平面内的任意两个向量都共线 B ．空间的任意三个向量都不共面 C ．空间的任意两个向量都共面 D ．空间的任意三个向量都共面2．如图所示，已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量OE uuu r ＝k OA u u u r ，OF u u u r ＝k OB uuu r ，OG u u u r＝k OC u u u r ，OH u u u r ＝k OD u u u r，求证：(1)四点E ，F ，G ，H 共面； (2)平面AC ∥平面EG ．1．证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行、直线在平面内等进行证明．2．利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中注意直线与向量的相互转化．3．空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使MP u u u r ＝x MA u u u r＋y MB u u u r．满足这个关系式的点P 都在平面MAB 内；反之，平面MAB 内的任一点P 都满足这个关系式．这个充要条件常用以证明四点共面．答案：课前·预习导学 【预习导引】1．(1)λa 向量 (2)①相同 ②0 ③相反 ④|λ| (3)①λa ＋λb λa ＋μa ②(λμ)a预习交流1 提示：OG u u u r ＝OM u u u u r ＋MG u u u u r ＝OM u u u u r ＋23MN u u u u r＝12OA u u ur ＋23(MO u u u u r ＋OC u u u r ＋CN u u u r )＝12a ＋2311+()22⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦a c b c ＝12a －13a ＋23c ＋13b －13c ＝16a ＋13b ＋13c ． 2．(1)互相平行或重合 共线向量 平行向量 (2)a ＝λb (3)方向向量 OA u u u r ＋t AB u u u r预习交流2 提示：由加法的平行四边形法则知①中P ，A ，B 三点不共线；②中向量表达式可化为PA u u u r ＝－2PB u u u r，故三点共线；同理③中P ，A ，B 三点也共线．3．(1)同一个平面 (2)(x ，y ) x a ＋y b (3)x AB u u u r ＋y AC u u u r OA u u u r ＋x AB u u u r＋y AC u u u r预习交流3 (1)提示：不成立．因为当p 与a ，b 都共线时，存在不唯一的实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立．当p 与a ，b 不共线时，不存在实数对(x ，y )使p ＝x a ＋y b 成立．(2)提示：原式可以变形为OP uuu r ＝(1－y －z )OA u u u r ＋y OB uuu r ＋z OC u u u r， ∴OP uuu r －OA u u u r ＝y (OB uuu r －OA u u u r )＋z (OC u u u r －OA u u u r)，即AP u u u r ＝y AB u u u r＋z AC u u u r ．∴点P 与点A ，B ，C 共面． 课堂·合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量系数相等，求出x ，y ，z 的值．解：(1)因为'BD u u u u r ＝BD u u u r ＋'DD u u u u r＝BA u u u r ＋AD u u u r ＋'DD u u u u r ＝－AB u u u r ＋AD u u u r ＋'AA u u u r ， 又'BD u u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z 'AA u u u r ，所以x ＝1，y ＝－1，z ＝1．(2)因为AE u u u r ＝'AA u u u r ＋'A E u u u u r ＝'AA u u u r ＋12''A C u u u u ur＝'AA u u u r ＋12(''A B u u u u u r ＋''A D u u u u u r )＝'AA u u u r ＋12''A B u u u u u r ＋12''A D u u u u u r＝12AD u u ur ＋12AB u u u r ＋'AA u u u r ， 又AE u u u r ＝x AD u u u r ＋y AB u u u r ＋z 'AA u u u r ，所以x ＝12，y ＝12，z ＝1．迁移与应用 1．A解析：如图所示，∵AF AD DF =+u u u r u u u r u u u r，∴'DF x AB y AA =+u u u r u u u r u u u r ．∴1''2DC xAB y AA =+u u u ur u u u r u u u r ． ∴1''2AB xAB y AA =+u u uu r u u u r u u u r 'xAB yBB =+u u u r u u u r ．∴11'''22AB BB xAB yBB +=+u u uu r u u u r u u u r u u u r ． ∴12x y ==，x －y ＝0．2．解：MN u u u u r ＝MC u u u u r ＋CD uuu r ＋DN u u u r ＝23AC u u u r －AB u u u r ＋131DA u u uu r＝23(AB u u ur ＋AD u u u r )－AB u u u r ＋13(1DD u u u u r ＋11D A u u u u r ) ＝23(AB u u ur ＋AD u u u r )－AB u u u r ＋13(1AA u u u r －AD u u u r ) ＝－13AB u u ur ＋13AD u u u r ＋131AA u u u r＝－13a ＋13b ＋13c ．活动与探究2 思路分析：结合给出的平行六面体，利用向量的线性运算对ME u u u r 或NFu u u r 进行化简转化，根据共线向量定理进行判断．解：由已知可得：ME u u u r ＝1MD u u u u r ＋11D A u u u u r ＋1A E u u u r＝12BA u uu r ＋CB u u u r ＋131A A u u u r ＝－NB uuu r ＋CB u u u r ＋131C C u u u u r ＝CN u u u r ＋FC uuu r ＝FN u u u r ＝－NF u u u r ．所以ME u u u r＝－NF u u u r ，故ME u u u r 与NF u u ur 共线．迁移与应用 1．A 解析：因为BD u u u r ＝BC uuur ＋CD uuu r ＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ＝2AB u u u r ，所以AB u u u r 与BD u u u r共线，即A ，B ，D 三点共线．2．解：∵M ，N 分别是AC ，BF 的中点，而四边形ABCD ，ABEF 都是平行四边形，∴MN u u u u r ＝MA u u u r ＋AF u u u r ＋FN u u u r ＝12CA u u u r ＋AF u u u r ＋12FB u u u r ．又∵MN u u u u r ＝MC u u u u r ＋CE u u u r ＋EB u u u r ＋BN u u u r＝－12CA u uu r ＋CE u u u r －AF u u u r －12FB u u u r ，∴12CA u uu r ＋AF u u u r ＋12FB u u u r ＝－12CA u uu r ＋CE u u u r －AF u u u r －12FB u u u r ．∴CE u u u r ＝CA u u u r ＋2AF u u u r ＋FB u u u r ＝2(MA u u u r ＋AF u u u r ＋FN u u ur )＝2MN u u u u r ， ∴CE u u u r ∥MN u u u u r ，即CE u u u r 与MN u u u u r共线．活动与探究3 思路分析：要证明三个向量共面，只需证明存在实数x ，y ，使MA u u u r ＝x MB u u u r＋y MC u u u u r，证明了三个向量共面，点M 就在平面内．解：(1)∵OA u u u r ＋OB uuu r ＋OC u u u r ＝3OM u u u u r， ∴OA u u u r －OM u u u u r ＝(OM u u u u r －OB uuu r )＋(OM u u u u r －OC u u u r)，∴MA u u u r ＝BM u u u u r ＋CM u u u u r ＝－MB u u u r －MC u u uu r ．∴向量MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 共面．(2)由(1)向量MA u u u r ，MB u u u r ，MC u u uu r 共面，三个向量又有公共点M ，∴M ，A ，B ，C 共面．即点M 在平面ABC 内． 迁移与应用 1．C2．证明：(1)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r ，EG u u u r ＝OG u u u r －OE uuu r ＝k OC u u u r －k OA u u u r ＝k AC u u u r ＝k (AB u u u r ＋AD u u u r )＝k (OB uuu r －OA u u u r ＋OD u u u r －OA u u u r )＝OF u u u r －OE uuu r ＋OH u u u r －OE uuu r ＝EF u u u r ＋EH u u u r ．所以E ，F ，G ，H 共面．(2)EF u u u r ＝OF u u u r －OE uuu r ＝k (OB uuu r －OA u u u r )＝k AB u u u r，且由第(1)小题的证明中知EG u u u r ＝k AC u u u r，于是EF ∥AB ，EG ∥AC ．所以平面EG ∥平面AC ．当堂检测1．当|a|＝|b|≠0，且a ，b 不共线时，a ＋b 与a －b 的关系是( )． A ．共面 B ．不共面 C ．共线 D ．无法确定答案：A 解析：空间中任何两个向量都是共面向量，但不一定共线． 2．下面关于空间向量的说法正确的是( )． A ．若向量a ，b 平行，则a ，b 所在的直线平行B ．若向量a ，b 所在直线是异面直线，则a ，b 不共面C ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB u u u r ，CD uuur 不共面D ．若A ，B ，C ，D 四点不共面，则向量AB u u u r ，AC u u u r ，AD u u u r不共面答案：D 解析：可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B ，C 都不正确．注意向量平行与直线平行的区别，可知A 不正确，可用反证法证明D 是正确的．3．如图所示，已知空间四边形ABCD 中，F 为BC 的中点，E 为AD 的中点，若EF u u u r ＝λ(AB u u u r＋DC u u u r)，则λ＝______．答案：12 解析：如图所示，取AC 的中点G ，连结EG ，GF ，则EF u u u r ＝EG u u u r ＋GF u u u r ＝12(AB u u u r ＋DC u u u r )．∴12λ=． 4．在空间四边形ABCD 中，连结AC ，BD ．若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则1322AB BC DE AD +--u u u r u u u r u u u r u u u r 的化简结果为__________． 答案：0 解析：如图，延长DE 交BC 于点F ，根据题意知F 为BC 的中点．又因为E 为正三角形BCD 的中心， 所以DE u u u r ＝23DF u u u r 即DF u u u r ＝32DE u u u r ， 所以AB u u u r ＋12BC u u u r －32DE u u u r －AD u u u r ＝(AB u u u r －AD u u u r )＋BF u u u r －32DE u u u r ＝DB u u u r ＋BF u u u r －DF u u u r ＝DF u u u r －DF u u u r ＝0．5．已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体．(1)化简12'23AA BC AB ++u u u r u u u r u u u r ，并在图中标出其结果； 答案：解：)如图，取AA ′的中点E ，则12'AA u u u r ＝'EA u u u r ．又BC uuu r ＝''A D u u u u u r ，AB u u u r ＝''D C u u u u u r ，取F 为D ′C ′的一个三等分点2'''3D F D C ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则'D F u u u u r ＝23AB u u u r ． ∴12'AA u u u r ＋BC uuu r ＋23AB u u u r ＝'EA u u u r ＋''A D u u u u u r ＋'D F u u u u r ＝EF u u u r ． (说明：表示方法不惟一) (2)设M 是底面平行四边形ABCD 的中心，N 在侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上，且BN ＝3NC ′，设MN u u u u r ＝αAB u u u r ＋βAD u u u r ＋γ'AA u u u r ，试求α，β，γ的值． 答案：解：MN u u u u r ＝MB u u u r ＋BN u u u r ＝12DB u u u r ＋34'BC u u u u r ＝12(DA u u u r ＋AB u u u r )＋34(BC uuu r ＋'CC u u u u r )＝12(－AD u u u r ＋AB u u u r )＋34(AD u u u r ＋'AA u u u r )＝12AB u u u r ＋14AD u u u r ＋34'AA u u u r ， ∴12α=，14β=，34γ=．提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记．。
3.1.2空间向量数乘运算
由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
研一研·问题探究、课堂更高效
因此E→G＝O→G－O→E ＝kO→C－kO→A＝kA→C ＝k(A→B＋A→D)＝k(O→B－O→A＋O→D－O→A) ＝O→F－O→E＋O→H－O→E＝E→F＋E→H. 由向量共面的充要条件知 E，F，G，H 四点共面．
是对只平于有面这一内一对的平实两面数个内1 不的，2共任使线意的 向a 向 量 量a1e，1，那有2么e且2
如果空间向量
p
与两不共线向量
a
，b
共
面，那么可将三个向量平移到同一平面 ，则
有 p x yb
反果过p来 ，x对空y间b，任那意么两向个量不p共与线向的量向a量 ,
小结 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定 理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一 个向量用另外两个向量进行表示．
跟踪训练 3 如图所示，已知矩形 ABCD 和
矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M， N 分别在对角线 BD，AE 上，且 BM＝13BD， AN＝13AE.求证：向量M→N，C→D，D→E共面．
a
a // b(b 0)
b (b 0)
a b (b 0) 性质 a // b (b 0) 判定
由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题
如图，l 为经过已知点A且平行已知非零向量 a
的直线， 若点P是直线l上任意一点，则
由
l
//
a
知存在唯一的t,
数乘向量知识点总结
数乘向量知识点总结一、数乘向量的定义数乘向量是指一个数与一个向量相乘的运算。
假设有一个向量v和一个标量k，那么数乘向量的结果为kv，它的每个分量都等于v的对应分量乘以k。
例如，假设有一个向量v=(x,y)和一个标量k，那么kv=(kx,ky)。
二、数乘向量的性质1. 分配律：对于任意的向量u,v和任意的数k，满足k(u+v) = ku+kv。
2. 结合律：对于任意的向量v和任意的数k1,k2，满足(k1k2)v = k1(k2v)。
3. 1的性质：对于任意的向量v，满足1v=v。
4. 零向量的性质：对于任意的数k，满足k0=0。
5. 负数的性质：对于任意的向量v和任意的数k，满足(-k)v = -(kv)。
以上性质是数乘向量运算中的基本性质，它们和实数的运算性质有些相似，但是也有些区别。
我们可以根据这些性质来进行向量的数乘运算。
三、数乘向量的应用1. 方向调整数乘向量可以用来调整向量的方向。
当k大于0时，kv与v的方向相同；当k小于0时，kv与v的方向相反；当k等于0时，kv是零向量。
2. 向量的缩放数乘向量可以用来对向量进行缩放。
当k大于1时，kv的大小大于v的大小；当0<k<1时，kv的大小在0和v的大小之间；当k小于0时，kv的大小与v的大小的绝对值相等。
3. 向量的线性组合数乘向量还可以用来定义向量的线性组合。
一个向量组的线性组合是指以这个向量组为基础的所有的向量的和，其系数是任意的实数。
线性组合是向量空间的一个重要的概念。
四、数乘向量与矩阵乘法的关系矩阵可以看成是向量的推广，因此向量的数乘和矩阵的乘法有着密切的关系。
向量的数乘可以看成是一个特殊的矩阵乘法，向量可以看成是一个只有一列的矩阵。
因此数乘向量也可以用来解释矩阵的乘法。
矩阵的乘法实际上也是一种线性变换，它可以用来对一个向量进行变换。
而数乘向量可以看成是对向量进行缩放和方向变换的操作。
因此，数乘向量和矩阵的乘法有着内在的联系。
人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》课件 (一)
人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》课件 (一)人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》课件是一本在数学学科中广受欢迎的经典教材，主要介绍了向量的基本概念、运算法则、向量的线性组合以及向量的数乘等知识点。
本文将对该课件进行详细的介绍，以便学生们更好地掌握这一重要的数学知识点。
一、向量的概念在数乘向量课件中，向量的概念是最具基础性的一个知识点。
它把向量定义为一个有大小和方向的实数数组，用箭头表示，具有平移不变性和向量相等等基本性质。
在数乘向量课件中，通过生动的图表和实例，向学生们详细展示了向量的三要素、零向量、平行向量等基本概念，让学生们对向量有了更深入的理解。
二、向量的运算作为向量的另一个核心知识点，向量的运算也在数乘向量课件中得到了充分的体现。
课件首先介绍了向量之间的加法运算，并详细解释了加法运算的重要性。
为了使学生们更好地掌握加法运算的方法，课件还特别准备了大量的练习题，帮助学生们更好地巩固和应用所学知识。
三、向量的线性组合在解决一些复杂的问题时，向量的线性组合方法是非常有用的。
通过数乘向量课件的学习，学生们能够深入了解什么是向量的线性组合，以及通过向量的线性组合进行向量的表示和运算等基本知识。
此外，数乘向量课件还通过大量的例题和练习题，帮助学生们更好地掌握和应用向量的线性组合法则，为日后的学习打下了坚实的基础。
四、向量的数乘向量的数乘是数乘向量课件中不可或缺的一个重要知识点。
数乘向量课件通过简单易懂的方法，详细讲解了向量的数乘定义和基本规则，使得学生们能够深刻认识到数乘的重要性，并更好地掌握向量的的数乘操作。
综上所述，人教版中职数学基础模块下册《数乘向量》课程是一份非常完整、内容丰富、通俗易懂的数学教材。
它从向量的定义、运算、线性组合到向量的数乘，对向量知识点进行了全面的阐述和解释。
通过学习这份教材，学生们可以更好地理解向量的概念、掌握向量的运算、深入了解向量的线性组合和向量的数乘等知识，为日后更深入的数学学科学习打下坚实基础。
教学课件：第三节-向量的乘法运算
在物理中，向量乘法可以用来描述旋转运动 和力矩。例如，角速度和角加速度是向量与 时间的函数，它们的计算涉及到向量的外积 运算。力矩也是一个向量，它的计算涉及到 向量的外积运算。
在解析几何中的应用
总结词
向量在解析几何中用于表示点、线、面等几 何对象。
详细描述
在解析几何中，向量可以表示点、线、面等 几何对象，并且通过向量的运算来研究这些 对象之间的关系。例如，向量的模长表示点 到原点的距离，向量的夹角表示两直线之间
应用场景
在机器人控制、动画制作等领域中，向量的乘法运算有着广 泛的应用。
向量乘法与数量积的区别
数量积
数量积是向量的点乘，结果是一个标量而不是向量。计算公式为 a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和向量b的模长，θ是两向量的夹角。
区别
数量积和向量乘法的结果不同，前者是标量，后者是向量；另外，它们的几何 意义也不同，数量积表示两向量的夹角，而向量乘法表示一个旋转。
教学课件：第三节-向量 的乘法运算
• 向量的乘法运算概述 • 向量乘法的性质 • 向量乘法的运算规则 • 向量乘法的应用 • 练习与巩固
01
向量的乘法运算概述
向量乘法的定义
定义
向量a和向量b的乘积是一个向量，记 作a×b，其长度等于以a和b为邻边的 平行四边形的面积，方向垂直于a和b 所在的平面。
叉积是向量运算中的一种，表示两个三维向量之间的垂直关系。其结果是一个向量，垂直于作为运算输入的两个 向量。
运算规则
叉积满足反交换律，即A×B=-B×A，并且不满足结合律。
向量与实数之间的乘法
标量乘法（Scalar Multiplication）
标量乘法是指一个实数与一个向量相乘，结果是一个同方向的向量，其长度是原向量长 度的|k|倍，方向与原向量相同（当k>0）或相反（当k<0）。
向量的乘法运算
a , 有 a // 0 .
(1 ) i ( 2 )i i, j j, j j , k k 的结果是多少 k , k i 的结果是多少 ? ?
Байду номын сангаас
例5、 设 a ( 2 ,1 , 1 ), b ( 1 , 1 , 2 ), 求 与 a , b 同时垂直的单位向量 .
（1）混合积的轮换对称性：
[a b c ] [b c a ] [c a b ]
（2）混合积的结果是一个数。
（3）混合积的几何意义：
[ a b c ] 是以 a , b , c 为相邻三棱的 平行六面体的体积
ab c
.
如图 , 求力 f 相对于支点 o 的力矩 M .
f
o
P
Q
（1）向量积的几何意义：
. a b 表示以 a , b 为邻边的平行四边形的 面积 .
. a b 垂直于一切与
a , b 平行的平面 .
（2）运算律：
a 0 0a 0 aa 0 a b b a (a b ) c a c b c ( a ) ( b ) ( a b )
（5）运算律：
2 a a a 幂律： 交换律： a b b a 分配律： a (b c ) a b a c ( 数乘结合律： a ) ( b ) ( a b )
（6）夹角公式： ( a , b ) [ 0 , ]满足 :
2020-2021学年数学北师大版必修4教学教案：2.3.1数乘向量
2.3.1数乘向量向量作为一种运算工具，其知识体系是从实际的物理问题中抽象出来的，它在解决几何问题中的三点共线、垂直、求夹角和线段长度、确定平移等问题中显示出了它的易理解和易操作的特点。
一、总体设想：本节课的设计有两条暗线：一是围绕物理中物体做功，引入数量积的概念和几何意义；二是围绕数量积的概念通过变形和限定衍生出新知识――垂直的判断、求夹角和线段长度的公式。
教学方案可从三方面加以设计：一是数量积的概念；二是几何意义和运算律；三是两个向量的模与夹角的计算。
二、教学目标： 1．知识和技能：(1) 使学生了解向量的数量积的抽象根源。
(2) 使学生理解向是的数量积的概念：两个非零向量的夹角；定义；本质；几何意义。
(3) 使学生了解向量的数量积的运算律(4) 掌握向量数量积的主要变化式：2a a =；=θcos .ba ba ⋅⋅ 2．过程与方法：(1) 从物理中的物体受力做功，提出向量的夹角和数量积的概念，然后给出两个非零向量的夹角和数量积的一般概念，并强调它的本质；接着给出两个向量的数量积的几何意义，提出一个向量在另一个向量方向上的投影的概念。
(2) 由数量积的定义式，变化出一些特例，让学生自主归纳出性质。
(3) 给出向量的数量积的运算律，并通过例题具体地显示出来。
3．情感、态度和价值观：(1) 使学生学会有效学习：抓住知识之间的逻辑关系。
(2) 让学生感受新知识产生、形成的过程，培养辩证法思想。
三、重、难点：【重点】数量积的定义，向量模和夹角的计算方法 【难点】向量的数量积的几何意义四、教学方案及其设计意图：θsF 平面向量的数量积，是解决垂直、求夹角和线段长度问题的关键知识，其源自对受力物体在其运动方向上做功等物理问题的抽象。
于是在引导学生学习平面向量数量积的概念时，要围绕物理方面已有的知识展开，这是使学生把所学的新知识附着在旧知识上的绝好的机会。
（如图）首先说明放置在水平面上的物体受力F 的作用在水平方向上的位移是s ，此问题中出现了两个矢量，即数学中所谓的向量，这时力F 对物体的所做的功为W θcos ⋅⋅=s F ，这里的是矢量F 和s 的夹角，也即是两个向量夹角的定义基础，在定义两个向量的夹角时，要使学生明确“把向量的起点放在同一点上”这一重要条件，并理解向量夹角的范围。
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D. BC 1 BA
2
【提示】 CD=CB BD= BC 1 BA , 故选C.
2
同步精练
二、填空题 11．化简：－2(3a＋b)－3(2b－a)＝_－__3_a_－__8_b__. 12．已知向量e1，e2不共线，若向量a＝e1＋2e2，向量b ＝3e1－5e2，则3a－b＝____1_1_e_2 ___.
同步精练
6．四边形ABCD中，若 AB 4 DC ，则四边形ABCD的
形状是( D )
5
A．正方形
B．矩形
C．平行四边形
D．梯形
【提示】 AB= 4 DC，∴AB∥CD且
5
AB≠CD，故四边形ABCD是梯形，故选D.
同步精练
7．设a，b是非零向量，若8a－kb与－ka＋b共线，则实
数k＝( C )
【解析】 ∵ta＋b和a＋tb共线，由平行向
量基本定理知一定存在唯一实数λ，使得ta＋b
＝λ(a＋b)．
典例解析
【举一反三2】 已知两个非零向量a与b不共线，如果 AB ＝a＋b，BC ＝2a＋8b，CD ＝2a－4b，求证：A，B， D三点共线．
证明：∵ BD BC CD＝(2a＋8b)＋(2a－4b) ＝4a＋4b＝4(a＋b)＝4 AB,
C．a－7b＋6c
D．－a＋5b
【提示】 3(a－2b＋c)－2(2a－3b＋3c)＝3a －6b＋3c－4a＋6b－6c＝－a－3c，故选B.
同步精练
5．已知非零向量a，b，AB＝3a－2b，CB ＝5a＋2b，则
5AB 3BC 等于( A )
A．－16b
B．16b
C．－16a D．16a
【提示】 5AB 3BC 5AB 3CB ＝5(3a－2b)－3(5a＋ 2b)＝－16b，故选A.
14．已知向量a，b不共线，AB ＝2a－b，BC ＝xa－4b，
若A，B，C三点共线，则x＝____8____.
【提示】 AD AB BD AB 5 BC
AB
5
(
AC
AB)=
2
AB
5
AC
2
7 a
5
b.
7
77
77
【提示】 因为A，B，C三点共线，所以 AB BC ，即
2a－b＝λ(xa－4b)，可得
【提示】 －2(3a＋b)－3(2b－a)＝－6a－ 2b＋3a－6b＝－3a－8b.
【提示】 3a－b＝3(e1＋2e2)－(3e1－5e2) ＝11e2.
同步精练
13．如图所示，点D是BC边上一点，且
BD DC
5 2
，若
AB
＝a，AC ＝b，则用a，b表示 AD可得 AD＝_7_2_a___75_b_.
第三节 数乘向量
知识梳理
1．数乘向量 (1)数乘向量的定义 实数λ和向量a的__乘__积____是个向量，记作λa，这种运算 叫做数乘向量．λa的长度是|λa|＝__|λ_|·__|_a_| _，λa的方向： ①当λ>0时，λa与a方向___相__同___； ②当λ<0时，λa与a方向___相__反___； ③当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 注：λa中的实数λ叫做向量a的系数；数乘向量的结果是 一个向量． (2)数乘向量的几何意义 λa的几何意义就是把向量a沿着a的__方__向____(λ>0)或a的 __相__反__方__向__(λ<0)放大或缩小，a与λa总是___平__行___的．
【提示】 由(3m－4n)e1＋(2m－3n)e2＝6e1
＋3e2可得
3m 4n 6, ① 2m 3n 3, ②
由①－②得m－n＝3，
故选B.
同步精练
10．如图所示，点D是△ABC的边AB的中点，则向量CD
等于( C ) A．BC 1 BA
2
B. BC 1 BA
2
C．BC 1 BA
2
x 2, 4 1,
解得x＝8.
同步精练 15．若向量a与向量b不共线，且a∥c，b∥c，则c＝
____0____.
【提示】 ∵c∥a，c∥b，∴a∥b或c＝0.
又∵a与b不平行，∴c＝0.
同步精练
三、解答题 16．已知 AB ＝e1＋5e2， BC＝－2e1＋8e2，CD ＝3(e1－ e2)，求证A，B，D三点共线．
同步精练
3．已知|a|＝3，向量b是向量a的单位向量，则( C )
A．b＝3a B．b＝－3a C．b＝ 1 a D．b＝－ 1 a
3
3
【提示】 根据向量的单位向量定义，b
与a的方向相同，|b|＝1，故选C.
4.化简：3(a－2b＋c)－2(2a－3b＋3c)＝( B )
A．a－7b＋6c
B．－a－3c
知识梳理
(3)数乘向量的运算律 ①(λ＋μ)a＝____λa____＋____μ_a___； ②λ(μa)＝___(λ_μ_)___a； ③λ(a＋b)＝____λa____＋____λ_b___. 注：向量的加法，减法与数乘向量的综合运算，叫向量
的线性运算．
2．平行向量基本定理 (1)平行向量基本定理
∴由平行向量基本定理知BD AB. ∵ BD与AB 有公共点B，∴A，B，D三点共线．
【思路点拨】 本题考查对平 行向量基本定理的理解与运用．
同步精练
一、单项选择题 1．已知a，b是非零向量，若b＝2a，则下列结论正确的 是( B ) A．a与b的方向相同，a的模是b的模的2倍 B．a与b的方向相同，b的模是a的模的2倍 C．a与b的方向相反，a的模是b的模的2倍 D．a与b的方向相反，b的模是a的模的2倍
4 4 44
典例解析
【举一反三1】 (1)已知 AM 2 AB ，点O是线段AB外
3
任意一点，试用OA,OB 表示OM.
(1)解：OM OA AM OA 2 AB OA 2 (OB OA) 1 OA 2 OB.
3
3
33
典例解析
(2)设D为△ABC所在平面内一点，BC 3CD ，则( A )
33
33
故选A.
【思路点拨】 本题考查向量的线性运算．
典例解析
【例2】 已知两个非零向量a与b不共线，且ta＋b和a＋ tb共线，求实数t的值．
∵ta＋b和a＋tb共线，
∴存在唯一实数λ，使得ta＋b＝λ(a＋tb)，
∴(t－λ)a＝(λt－1)b.
又∵a与b不共线，∴
t= t=1,
解得t＝±1.
【提示】 因为b＝2a，根据数乘向量的定义可知， a与b的方向相同，b的模是a的模的2倍．故选B.
同步精练
2．对于非零向量a，b，“a＝－3b”是“a∥b”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【提示】 根据数乘向量的定义，由a＝－3b可 知a与b的方向相反⇒a∥b，但a∥b推不出a＝－ 3b，故选A.
A．2 2
B．2 2
C．2 2
D．8
【提示】 ∵8a－kb与－ka＋b共线，∴存在实数
λ，使得8a－kb＝λ(－ka＋b)＝－λka＋λb，
k =8 = k，
解得k＝2 2，故选C.
同步精练
8．如图所示的▱ABCD中，若 AC＝a， BD＝b，则 CD可
表示为( D)
A．a－b
B．b－a
C. (a－b)
D. (b－a)
【提示】 CD=CO OD= 1 CA 1 BD
22
=
1 2
AC
1 2
BD=
1 2
a
(b
a)，故选D.
同步精练
9．已知向量e1，e2不共线，实数m，n满足(3m－4n)e1＋
(2m－3n)e2＝6e1＋3e2，则m－n的值等于( B )
A．0
B．3
C．2
D．－3
A. AD 1 AB 4 AC
33
B．AD 1 AB 4 AC
33
C. AD 4 AB 1 AC
33
D. AD 4 AB 1 AC
33
【提示】 在△ABC中，BC AC AB ，因为 BC 3CD ，
则 CD 1 BC 1 (AC AB) ，所以 AD AC CD 1 AB 4 AC .
解：∵ AB ＝e1＋5e2， BC ＝－2e1＋8e2，CD ＝3(e1－e2)， BD BC CD ＝－2e1＋8e2＋3(e1－e2) ＝－2e1＋8e2＋3e1－3e2＝e1＋5e2＝ AB,
AB BD.
又∵线段AB与BD交于点B，∴A，B，D三点共线．
如果向量b≠_____0___，则a∥b的充分必要条件是，存在 唯一实数λ，使得__a_＝__λ_b__．
知识梳理
(2)非零向量a的单位向量：与a同向的单位向量．a的单
a
位向量是____a____．
(3)线段中点的向量表达式
点M是线段AB的中点，点O是平面内任意一点，则 OM 1
(___O__A___＋____O_B___)．
2
典例解析
【例1】 已知 AP 1 AB ，点O是线段AB外任意一
4
点．若 OA ＝a，OB ＝b，试用a，b表示 OP.
OP 3 a 1 b 44
【解析】 由向量加法知 OP OA AP
OA 1 AB OA 1 (OB OA)= 3 OA 1 OB 3 a 1 b.
4
4