7.5平面向量的数乘运算-教学设计公开课
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【课题】7.1.5平面向量的数乘运算
江夏职业技术学校吴婷
【教学目标】
(1)理解向量的数乘运算的定义
(2)掌握共线向量的基本定理
【教学重点】数乘运算的定义
【教学难点】对向量线性表示的理解和运用
【课时安排】2课时
【教学过程】
一、创设情境兴趣导入
观察图7-15可以看出,向量OC 与向量a 共线,并且 OC =3a .
图7−15
二、新授知识
1.数乘运算的定义:实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa
大小:||||||a a λ=λ(7.3)
a
a
a a O A B C
方向:若||λ≠a 0,则
当λ>0时,λa 的方向与a 的方向相同,
当λ<0时,λa 的方向与a 的方向相反.
一般地,有0a =0,λ0=0.
2.共线向量的基本定理:对于非零向量a 、b ,当0λ≠时,有
λ⇔=a b a b ∥(7.4)
3.向量的数乘运算法则:
()()111a a a a , ;=-=-()()()()2a a a ;
λμλμμλ== ()()3a a a λμλμ+=+ ;()a b a b (4).λλλ+=+
4.向量的线性表示:一般地,λa +μb 叫做a ,b 的一个线性组合(其中λ,μ均为系数).如
果l =λa +μb ,则称l 可以用a ,b 线性表示.
5.向量的线性运算:向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.
三、注意:向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似,因此,实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形,可直接应用于向量的运算中.但是,要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的.
巩固知识典型例题
例6在平行四边形ABCD 中,O 为两对角线交点如图7-16,AB =a ,AD =b ,试用a ,b 表示向量AO 、OD .
分析因为12AO AC =
,12OD BD =,所以需要首先别求出向量AC 与BD .
分
图7-16
解AC =a +b ,BD =b −a ,
因为O 分别为AC ,BD 的中点,所以
1122==AO AC (a +b )=12a +12
b , OD =
12BD =12(b −a )=−12a +12b . 四、例6中,12a +12b 和−12a +12
b 都叫做向量a ,b 的线性组合,或者说,AO 、OD 可以用向量a ,b 线性表示.
运用知识强化练习
1.计算:(1)3(a −2b )-2(2a +b );
(2)3a −2(3a −4b )+3(a −b ).
2.设a ,b 不共线,求作有向线段OA ,使OA =12
(a +b ). 3.在正方形ABCD 中,AB =a ,
BC =b 。 (1)用a 、b 表示向量OD ;
(2)用a 、b 表示向量CO 。
五、作业
书P34:习题7.1:T5,6
六、小结 (1)向量的数乘运算的定义
(2)共线向量的基本定理
七、反思
实数λ乘以非零向量a ,是数乘运算,其结果记作λa ,它是一个向量,其方向与向量a 相同,其模为a 的λ倍.由此得到λ⇔=a b a b ∥.对向量共线的充要条件,要特别注意“非
λ≠”等条件.零向量a、b”与“0