陕西省西安市第三十一中学高中数学3.3《二倍角的三角函数》教案(1)北师大版必修4
北师大版高中高二数学必修4《二倍角的三角函数》说课稿
北师大版高中高二数学必修4《二倍角的三角函数》说课稿一、课程内容概述本堂课的教学内容是北师大版高中高二数学必修4中的《二倍角的三角函数》一节。
在这节课中，我们将学习如何通过使用二倍角的三角函数，来简化和解决一些数学问题。
通过掌握这些知识，学生能够扩展对三角函数的应用，并在实际问题中应用所学的数学知识。
二、教学目标1.理解什么是二倍角及其概念；2.掌握二倍角的求值方法；3.理解二倍角的三角函数在几何图形中的应用；4.能够运用二倍角的三角函数解决实际问题。
三、教学重点1.理解二倍角的概念；2.掌握二倍角的求值方法；3.理解二倍角的三角函数在几何图形中的应用。
四、教学难点1.运用二倍角的三角函数解决实际问题。
五、教学准备1.教科书：北师大版高中高二数学必修4；2.录音设备。
六、教学过程1. 导入与引入（5分钟）为了引起学生对本节课的兴趣，我将从一个实际问题入手开始本节课的引入。
例如，我可以说：“大家有没有想过如何计算一个角的二倍角呢？例如，如果我们想求正弦60度角的二倍角，应该怎么做呢？”通过引入一个实际问题，我们能够引起学生对本节课的兴趣，并激发他们思考的欲望。
2. 二倍角的概念（10分钟）在本节课的第二部分，我们将会介绍二倍角的概念。
二倍角指的是一个角度的两倍。
在三角函数中，我们使用特定的符号来表示二倍角的三角函数值。
例如，正弦函数的二倍角，我们将用sin(2θ)表示，其中θ代表原角。
在这一部分，我会通过一些具体的例子来向学生解释这个概念，并引导他们思考如何根据已知的角度求出二倍角的数值。
3. 二倍角的求值方法（20分钟）在本节课的第三部分，我们将学习如何求解二倍角的数值。
首先，我们将学习如何用已知角度的三角函数值来求解二倍角的数值。
例如，如果我们知道sinθ的值，我们可以通过使用公式sin(2θ) = 2sinθcosθ来求解sin(2θ)的值。
其次，我们将学习如何通过使用三角函数的和差化积公式来求解二倍角的数值。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学必修4 3 二倍角的三角函数》
“二倍角的正弦、余弦、正切”教学设计界首一中荣战教材分析：对公式的引入改变了教材中直接填结果的做法，而是通过提出问题，设置情景对和角公式中的角、的关系特殊情形时的简化，让学生探讨发现、推证得出二倍角公式，这样学生会感到自然，好接受，并可清晰知道和角的三角函数与二倍角公式的联系，同时让学生学会怎样发现数学规律，并体会到化归（这里是将一般化归到特殊）这一基本数学思想在发现中所起的作用，对教材的例题则有所增减，处理方式也有适当改变。
学情分析：我们的学生从认知角度上看，已经比较熟练的掌握了两角和与差的三角函数的基础上。
从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。
从能力上看，学生主动学习能力、探究的能力、较弱。
教学目标：根据新课程标准的要求、本节教材的特点和学生对三角函数的认知特点，我们把本节课的教学目标确定为：1、能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，理解它们的内在联系，从中体会数学的化归思想和数学规律的发现过程。
2、掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对二倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形的能力，以及应用转化、化归、换元等数学思想方法解决问题的能力。
3、通过一题多解、一题多变，激发学生的学习兴趣，培养学生的发散性思维、创新意识和数学情感，提高数学素养。
教学重点、难点重点：使学生在掌握了和角、差角公式后如何将和角公式化为二倍角公式，以及公式的两种变形和公式成立的条件；如何学会去发现数学规律，并体会化归、转化等基本数学思想在发现中所起的作用，能正确应用这些公式进行三角化简、求值、证明等。
难点：灵活应用二倍角公式变形的态式，熟练解三角综合题。
教学过程一、复习启发、设置情景、引出正题1、（复习性提问）：请同学回顾两角和的公式（学生回答，教师板书）2、（探索性提问）当上述公式中角、具有特殊化关系时，公式变为什么形式？3、集体订正后，引导学生观察其结构，并指名回答观察结果（学生回答：左边角均为，右边角均为，具有“二倍”关系）4、引入正题师：肯定学生观察结论准确，并加以说明公式中蕴含着“对称”、“和谐”之美教师板书二倍角公式简记为即为我们今天要学习的二倍角公式【设计意图：复习已学公式，对其特殊化。
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思
北师大版高二数学必修四《二倍角的三角函数》教案及教学反思一、教案设计1.1 教学目标1.了解二倍角的概念及性质；2.掌握二倍角的基本公式；3.熟练掌握二倍角三角函数的计算方法。
1.2 教学重难点教学重点：二倍角的概念及性质，基本公式的推导。
教学难点：二倍角三角函数的应用。
1.3 教学内容知识点1：二倍角的概念及性质知识点2：二倍角的基本公式知识点3：二倍角三角函数的计算方法1.4 教学方法1.讲授法：详细讲解二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法；2.练习法：通过例题引导学生熟练掌握二倍角的计算方法；3.归纳法：总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法。
1.5 学情分析学生已经学习了三角函数，对角度、弧度制有一定的认识，但对于二倍角的概念还不够熟练，需要教师进行详细的讲解和引导。
1.6 教学过程环节内容方法引入通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用讲授法引入知识点1二倍角的概念及性质的详细讲解讲授法详细知识点2二倍角的基本公式的推导及讲解讲授法详细知识点3二倍角三角函数的计算方法的演示及练习引导讲授法演示，练习法引导，通过例题和练习巩固和熟练掌握计算方法课堂练习课堂练习及答疑练习法引导总结总结二倍角的概念、性质、基本公式以及计算方法，让学生熟练掌握归纳法总结二、教学反思本次教学中，教师通过精心设计的教学方案，把二倍角的概念、基本公式和计算方法更加清晰明了地呈现给学生。
教师在讲解的过程中通过多个例题，让学生更加深入地理解和应用二倍角三角函数。
在课堂教学中，教师采用了讲授法、练习法和归纳法相结合的教学模式。
在引入环节中，通过例题引出二倍角的概念，并让学生思考二倍角的性质及应用；在知识点的讲解中，教师详细地讲解了二倍角的概念、性质和基本公式，并通过多个例题帮助学生掌握基本公式的运用；在知识点3的环节中，通过一些例题和练习，让学生更好地应用所学知识解决问题。
在教学的过程中，教师注重学生的思维能力和动手能力的培养。
北师版数学高一-教学设计3.3二倍角的三角函数
§3 二倍角的三角函数导入新课思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换,公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用倍角公式进行了简单的化简,求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式,并用它来解决一些三角函数式的化简,求值等.思路2.先让学生写出上节课学习的二倍角公式,接着出示课本例5让学生探究,由此展开新课. 推进新课 新知探究 提出问题 ①α与2α有什么关系?②如何建立cos α与sin 22α之间的关系？③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? 活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α,将公式中的α用2α代替,解出sin 22α即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=1-2sin 22α,所以sin 22α=2cos 1α-①在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2α代替α,即得cos α=2cos 22α-1, 所以cos 22α=2cos 1α+.②将①②两个等式的左右两边分别相除,即得 tan 22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义,得到tansin sin2cossin 22221cos cos cos 2cos222ααααααααα⋅===+⋅;④tansin sin2sin1cos 2222sin coscos 2sin 222ααααααααα⋅-===⋅.⑤ 这样我们就得到另外两个公式： tanαααcos 1sin 2+=;tan αααsin cos 12-=.以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式,称之为半角公式. 在这些公式中,根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定,如果2α所在象限无法确定,则应保留根号前面的正,负两个符号.教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点： (1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提醒学生在以后的学习中引起注意.同时还要强调,本例的结果还可表示为：sin2α=±2cos 1α-,cos 2α=±2cos 1α+,tan 2α=±ααcos 1cos 1+-,并称之为半角公式(不要求记忆),符号由2α所在象限决定.教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.讨论结果：①α是2α的二倍角. ②sin 22α=2cos 1α-.③④略(见活动）. 应用示例思路1例1 已知cos α=257,求sin 2α,cos 2α,tan 2α的值. 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解：sin2α=±53225712cos 1±=-±=-α, cos2α=±54225712cos 1±=+±=+α, tan 2α=4354532cos2sin±=±=αα. 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练 已知θ为第二象限角,sin(π-θ)=2524,则cos 2θ的值为( ) A.53 B.54 C.±53 D.±54【解析】∵sin(π-θ)=2524∴sin θ=2524. 又θ为第二象限角, ∴cos θ=-257,cos θ=2cos 22θ-1, 而2θ在第一,三象限, ∴cos 2θ=±53.【答案】C 例2 已知sin2α=-1312,π＜2α＜3π2,求tan α. 解：因为π＜2α＜3π2,故π2＜α＜3π4,α是2α的一半,运用半角公式,有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a ,所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα. 例3 已知sin x -cos x =21,求sin 3x -cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab (a -b ),∴a 3-b ==(a -b )=+3ab (a -b ).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由sin x ·cos x 与sin x ±cos x 之间的转化,提升学生的运算,化简能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )3+3sin x cos x (sin x -cos x )=1611.此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中. 解：由sin x -cos x =21,得(sin x -cos x )2=41, 即1-2sin x cos x =41, ∴sin x cos x =83.∴sin 3x -cos 3x =(sin x -cos x )(sin 2x +sin x cos x +cos 2x )=21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法. 变式训练 已知sin θ+cos θ=51,且π2≤θ≤3π4,则cos2θ的值是___________. 【答案】-257例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1,求证：ABA B 2424sin sin cos cos +=1. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A ,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A ,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换. 证法一：∵BAB A 2424sin sin cos cos +=1, ∴cos 4A ·sin 2B +sin 4A ·cos 2B =sin 2B ·cos 2B . ∴cos 4A (1-cos 2B )+sin 4A ·cos 2B =(1-cos 2B )cos 2B , 即cos 4A -cos 2B (cos 4A -sin 4A )=cos 2B -cos 4B . ∴cos 4A -2cos 2A cos 2B +cos 4B =0.∴(cos 2A -cos 2B )2=0.∴cos 2A =cos 2B .∴sin 2A =sin 2B .∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B +sin 2B =1. 证法二：令BA22sin cos =cos α,B A sin sin 2=sin α, 则cos 2A =cos B cos α,sin 2A =sin B sin α.两式相加,得1=cos B cos α+sin B sin α,即cos(B -α)=1. ∴B -α=2k π(k ∈Z ),即B =2k π+α(k ∈Z ). ∴cos α=cos B ,sin α=sin B .∴cos 2A =cos B cos α=cos 2B ,sin 2A =sin B sin α=sin 2B . ∴BBB B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B +sin 2B =1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练 在锐角△ABC 中,A ,B ,C 是它的三个内角,记S =BA tan 11tan 11+++,求证：S ＜1. 证明：∵S =BA B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A +B ＞90°,∴90°＞A ＞90°-B ＞0°. ∴tan A ＞tan(90°-B )=cot B ＞0. ∴tan A ·tan B ＞1.∴S ＜1.思路2例1 已知sin2 010°=-21,求sin1 005°,cos1 005°,tan1 005°的值. 解：因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角, 所以cos2 010°=-232010sin 12-=- . 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角, 所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-, cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+, tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-= . 例2 证明x xcos sin 1+=tan(π42x +).活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.注意式子左边包含的角为x ,三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x，三角函数的种类为正切. 解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan(π42x +)=πππsin()sin cos cos sin cos sin42424222πππcos()cos cos sin sin cos sin 42424222x x x x x x x x x x+++==+--,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x,得 x x x x x x xx cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos2+=-++. 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+. 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 π1tantan tan π242tan()π421tan 1tan tan 242x xx x x ++==+-- 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法. 变式训练 已知α,β∈(0,π2)且满足：3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值. 解：3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,① 3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β,②①2+②2,得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91， ∵α∈(0,π2),∴sin α=31.∴sin(α+2β)=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α(sin 2α+cos 2α)=3×31=1.∵α,β∈(0, π2),∴α+2β∈(0,3π2).∴α+2β=π2.例3 求证：aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+.活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明：证法一：左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边.∴原式成立. 证法二：右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边.∴原式成立.点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力. 变式训练 求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+. 分析：运用比例的基本性质,可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+,此式右边就是tan2θ.证明：原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ.而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边.∴上式成立,即原等式得证.知能训练 1.若sin α=135,α在第二象限,则tan 2α的值为( ) A.5 B.-5 C.51 D.-512.设5π＜θ＜6π,cos 2θ=α,则sin 4θ等于( ) A.21a + B.21a - C.-21a + D.-21a- 3.已知sin θ=-53,3π＜θ＜7π2,则tan 2θ=__________________.【答案】1.A 2.D 3.-3 课堂小结1.先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.三角恒等式与条件等式的证明.2.教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的基本手段. 作业课本习题3—2 A 组5—11,B 组1—5.设计感想1.本节主要学习了怎样推导半角公式,积化和差,和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换.在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形.还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等.2.在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查.特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方.考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用.从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换.。
北师大版高一年级数学《二倍角的三角函数》教学设计
三、学习者特征分析 通过公式的推导，进一步培养学生的逻辑推理能力。领会从一般化归为特殊的 数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学数学的兴趣
四、教学过程一回顾旧知 复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan
)
2 A. 2
3 B. 3
C. 2
D. 3
3．化简11＋ ＋ssiinn44αα－ ＋ccooss44αα＝__________.
4．已知 α 为第二象限的角，sinα＝35，则 tan2α＝__________.
四课堂小结
1.化简时，有些题目首先要降幂，然后才可以寻找到二倍角的形式，进而寻找到它们的关 系． 2.有条件的等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左右两边的三角函数式的区别与联 系，灵活使用条件变形即可得证． 五作业布置
升幂降角公式
1 cos2 2 cos2 1 cos2 2sin2
cos2 1 cos2
2 降幂升角公式
sin 2 1 cos2
2
探究点 3：余弦的二倍角公式的变形
三例题讲解
1．已知 sinα＝23，则 cos(π－2α)＝(
)
A．－
5 3
B．－19
1
5
C.9
D. 3
2．若 α∈0，π2，且 sin2α＋cos2α＝14，则 tanα 的值等于(
P128 第 6.7 题
五、教学策略选择与信息技术融合的设计
本节课运用多媒体 ppt 进行教学，这样利于学生接受，讲解详细，
教师活动
预设学生活动
设计意图
六、教学评价设计 本节课学生掌握很好，课堂活跃，学生积极参与。充分调到学生的积极性！
高中数学北师大版必修四学案：第三章 3 二倍角的三角函数(一)
学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点一二倍角公式思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？梳理二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝2sin αcos α，(S2α)(3.9)cos 2α＝cos2α－sin2α(C2α)(3.10)＝1－2sin2α (3.11)＝2cos2α－1，(3.12)tan 2α＝2tan α1－tan2α. (T2α)(3.13)知识点二二倍角公式的变形1．公式的逆用2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝____________，cos2α－sin2α＝________，2tan α1－tan2α＝tan 2α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式1＋cos 2α＝________，1－cos 2α＝________，1＋cos α＝________________，1－cos α＝________________________ .降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.类型一 给角求值例1 求下列各式的值：(1)cos 72°cos 36°；(2)13－23cos 215°； (3)1－tan 275°tan 75°；(4)1sin 10°－3cos 10°.反思与感悟 对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．跟踪训练1求下列各式的值： (1)cos 2π7cos 4π7cos 6π7； (2)1sin 50°＋3cos 50°.类型二 给值求值例2(1)若sin α－cos α＝13，则sin 2α＝________. (2)若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α等于() A.6425B.4825C ．1 D.1625引申探究在本例(1)中，若改为sin α＋cos α＝13，求sin 2α. 反思与感悟 (1)条件求值问题常有两种解题途径：①对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；②对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．(2)一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练2 已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．类型三 利用倍角公式化简例3 化简2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.反思与感悟 (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使三角函数式中的项数尽量少；④尽量使分母不含有三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角．②降幂或升幂．③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.跟踪训练3化简下列各式：(1)π4＜α＜π2，则1－sin 2α＝________； (2)α为第三象限角，则1＋cos 2αcos α－1－cos 2αsin α＝________.1.12sin π12cos π12的值等于() A.14 B.18 C.116 D.12 2．sin 4π12－cos 4π12等于() A ．－12 B ．－32 C.12 D.323.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α＝________.5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍； α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)． 2．二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α；②cos 2α＝1＋cos 2α2； ③1－cos 2α＝2sin 2α；④sin 2α＝1－cos 2α2. 答案精析问题导学知识点一思考1sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α. 思考2cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α)＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α.知识点二1.12sin 2αcos 2α 2．2cos 2α2sin 2α2cos 2α22sin 2α2题型探究例1解 (1)cos 36°cos 72°＝2sin 36°cos 36°cos 72°2sin 36° ＝2sin 72°cos 72°4sin 36°＝sin 144°4sin 36°＝14. (2)13－23cos 215°＝－13(2cos 215°－1)＝－13cos 30° ＝－36. (3)1－tan 275°tan 75°＝2·1－tan 275°2tan 75°＝2·1tan 150°＝－2 3. (4)1sin 10°－3cos 10°＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°＝4(sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°)2sin 10° cos 10° ＝4sin 20°sin 20°＝4. 跟踪训练1(1)18(2)4 例2(1)89(2)A 引申探究解 由题意，得(sin α＋cos α)2＝19， ∴1＋2sin αcos α＝19， 即1＋sin 2α＝19， ∴sin 2α＝－89. 跟踪训练2 解 (1)tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝tan α＋tanπ41－tan αtan π4＝2＋11－2×1＝－3. (2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α ＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×24＋2－2＝1. 例3解 方法一原式＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝2cos 2α－12·sin ⎝⎛⎭⎫π4－αcos ⎝⎛⎭⎫π4－αcos 2⎝⎛⎭⎫π4－α ＝2cos 2α－1sin ⎝⎛⎭⎫π2－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 方法二 原式＝cos 2α2·1－tan α1＋tan α⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α2 ＝cos 2αcos α－sin αcos α＋sin α(sin α＋cos α)2＝cos 2α(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝cos 2αcos 2α－sin 2α＝1. 跟踪训练3(1)sin α－cos α(2)0当堂训练1．B2.B3.1－324. 3 5．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513，且0<x <π4， ∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.。
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计
高中高二数学二倍角的三角函数教案设计教案设计：高中高二数学二倍角的三角函数一、教学目标：1. 理解二倍角的概念，并掌握二倍角的性质。
2. 掌握二倍角的三角函数公式。
3. 能够运用二倍角的三角函数公式解决实际问题。
二、教学内容：1. 二倍角的概念和性质。
2. 二倍角的三角函数公式。
三、教学过程：步骤一：导入新知识1. 谈论平时的学习和应用中是否有用到过二倍角的概念和公式。
2. 引出本节课的学习内容：二倍角的三角函数。
步骤二：概念讲解和性质说明1. 给出二倍角的定义：在原角的基础上，角度扩大一倍后得到的角即为二倍角。
2. 分析二倍角的正弦、余弦、正切的性质，带入图像和具体数值进行说明。
步骤三：三角函数公式的推导与运用1. 讲解二倍角的三角函数公式的推导过程，并给出公式的表达形式。
2. 讲解公式中的特殊情况，如角度为0°、90°、180°等情况下的三角函数值。
3. 运用二倍角的三角函数公式解决一些实际问题，如角度为30°、45°、60°等情况下的三角函数值的计算。
步骤四：练习与巩固1. 设计一些针对二倍角的三角函数公式的练习题，让学生进行练习并互相交流解题方法。
2. 布置相关的课后习题，供学生进行巩固和拓展。
四、教学手段：1. 板书：绘制二倍角的三角函数公式推导过程和相关例题。
2. 多媒体：播放相关的视频和动画，引导学生更好地理解和掌握知识。
五、教学评价：1. 教师针对学生在课堂上的表现进行口头评价，并及时纠正和解答学生的问题。
2. 布置课后作业，检验学生对二倍角和三角函数公式的掌握情况。
六、教学延伸：可以设计更多的实际问题和练习题，帮助学生进一步巩固和应用二倍角的三角函数知识。
也可以引导学生研究更多二倍角的性质和相关公式。
北师大版高中必修43二倍角的三角函数课程设计
北师大版高中必修43二倍角的三角函数课程设计
一、授课背景
在高中数学的课程中，三角函数是一个非常重要的部分，而二倍角的概念与应
用则更是涉及到许多重要的数学知识点。
因此，本文的课程设计将重点针对北师大版高中必修43二倍角的三角函数展开，以深入浅出的方式，帮助学生掌握二倍角
的基本概念、性质、应用，提高他们的数学素养与能力。
二、教学内容
1. 基本概念与性质
二倍角是指一个角度的两倍，因此在三角函数中，二倍角的概念被广泛应用，
并且有很多基本的性质。
在本节课中，我们将帮助学生深入理解二倍角的概念，掌握它的基本性质。
具体内容包括：
•什么是二倍角？
•二倍角的正弦、余弦、正切解析式
•二倍角的基本性质
2. 表达式化简
在数学中，表达式化简是一种非常重要的技能。
对于二倍角的三角函数，表达
式化简也是必不可少的。
在本节课中，我们将帮助学生彻底理解表达式化简的方法，并且教授如何应用这种方法简化二倍角的三角函数表达式。
具体内容包括：
•表达式化简的基本概念
1。
北师版数学高一北师大版必修4学案 3.3 二倍角的三角函数(一)
明目标、知重点 1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变形，并能灵活地将公式变形运用．1．倍角公式(1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α，sin α2cos α2＝12sin α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.2．倍角公式常用变形(1)sin 2α2sin α＝cos_α，sin 2α2cos α＝sin_α； (2)(sin α±cos α)2＝1±sin_2α； (3)sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2.[情境导学] 利用我们已经学习的公式，能否将2sin 20°cos 20°进一步化简呢？显然，利用我们已经学习的两角和与差的正弦、余弦、正切公式已不能对2sin 20°cos 20°做进一步的化简，这就使得我们有必要进一步扩展三角函数公式的“阵营”，以便于我们解决类似的问题． 探究点一 二倍角公式的推导思考1 二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用α的三角函数表示2α的三角函数的公式．根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式．你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？试一试？答 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos(α＋α)＝cos αcos α－sin αsin α＝cos 2α－sin 2α；tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α.思考2 根据同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，你能否只用sin α或cos α表示cos 2α？答 ∵cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－(1－cos 2α) ＝2cos 2α－1；或cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝(1－sin 2α)－sin 2α＝1－2sin 2α. 探究点二 余弦的二倍角公式的变形及应用 思考 余弦的二倍角公式是否有其他变形？答 二倍角的余弦公式cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α变形较多，应用灵活．其中sin 2α＝1－cos 2α2，cos 2α＝1＋cos 2α2称作降幂公式，1－cos α2＝sin 2α2，1＋cos α2＝cos 2α2称作升幂公式．这些公式在统一角或函数名时非常有用．练习1：函数f (x )＝3sin x cos x ＋cos 2x －12的最小正周期是________．答案 π 解析 ∵f (x )＝32sin 2x ＋12(2cos 2x －1) ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， ∴T ＝2π2＝π.练习2：函数f (x )＝cos 2x ＋4sin x 的值域是________． 答案 [－5,3]解析 f (x )＝cos 2x ＋4sin x ＝1－2sin 2x ＋4sin x ＝－2sin 2x ＋4sin x ＋1＝－2(sin x －1)2＋3. 当sin x ＝1时，f (x )max ＝3； 当sin x ＝－1时，f (x )min ＝－5.例1 已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值．解 由π4<α<π2，得π2<2α<π.又因为sin 2α＝513，cos 2α＝－1－sin 22α＝－1－⎝⎛⎭⎫5132＝－1213. 于是sin 4α＝2sin 2αcos 2α ＝2×513×⎝⎛⎭⎫－1213＝－120169； cos 4α＝1－2sin 22α＝1－2×⎝⎛⎭⎫5132＝119169； tan 4α＝sin 4αcos 4α＝－120169119169＝－120119.反思与感悟 解答此类题目一方面要注意角的倍数关系；另一方面要注意函数名称的转化方法，利用同角三角函数关系及诱导公式解决问题是常用方法． 跟踪训练1 求下列各式的值． (1)sin π8sin 3π8；(2)cos 215°－cos 275°；(3)2cos 25π12－1；(4)tan 30°1－tan 230°. 解 (1)∵sin 3π8＝sin(π2－π8)＝cos π8，∴sin π8sin 3π8＝sin π8cos π8＝12·2sin π8cos π8＝12sin π4＝24. (2)∵cos 275°＝cos 2(90°－15°)＝sin 215°， ∴cos 215°－cos 275°＝cos 215°－sin 215° ＝cos 30°＝32. (3)2cos 25π12－1＝cos 5π6＝－32. (4)tan 30°1－tan 230°＝12×2tan 30°1－tan 230° ＝12tan 60°＝32. 例2 求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A .证明 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－cos 2A 1＋cos 2A 2＝⎝⎛⎭⎫2sin 2A 2cos 2A 2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A . 反思与感悟 利用倍角公式证明三角恒等式，关键是找到左、右两边式子中角间的倍角关系，先用倍角公式统一角，再用同角三角函数基本关系式等完成证明． 跟踪训练2 化简：1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ.解 方法一 原式＝(1－cos 2θ)＋sin 2θ(1＋cos 2θ)＋sin 2θ＝2sin 2θ＋2sin θcos θ2cos 2θ＋2sin θcos θ＝2sin θ(sin θ＋cos θ)2cos θ(cos θ＋sin θ)＝tan θ.方法二 原式＝(sin θ＋cos θ)2－(cos 2θ－sin 2θ)(sin θ＋cos θ)2＋(cos 2θ－sin 2θ)＝(sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)－(cos θ－sin θ)](sin θ＋cos θ)[(sin θ＋cos θ)＋(cos θ－sin θ)] ＝2sin θ2cos θ＝tan θ. 例3 在△ABC 中，cos A ＝45，tan B ＝2，求tan(2A ＋2B )的值．解 方法一 在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34，tan 2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2×341－⎝⎛⎭⎫342＝247，又tan B ＝2，所以tan 2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43.于是tan(2A ＋2B )＝tan 2A ＋tan 2B1－tan 2A tan 2B＝247－431－247×⎝⎛⎭⎫－43＝44117.方法二 在△ABC 中，由cos A ＝45，0<A <π，得sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫452＝35.所以tan A ＝sin A cos A ＝35×54＝34.又tan B ＝2，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B )＝tan[2(A ＋B )]＝2tan (A ＋B )1－tan 2(A ＋B )＝2×⎝⎛⎭⎫－1121－⎝⎛⎭⎫－1122＝44117. 反思与感悟 解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这种关系来选择公式，“凑角法”是解决此类三角问题的常用技巧． 跟踪训练3 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2xcos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值．解 原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x . ∵sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝513， 且0<x <π4，∴π4＋x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.1．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54 D ．1＋34答案 C解析 原式＝sin 215°＋cos 215°＋12sin 30°＝1＋14＝54.2．sin 4π12－cos 4π12等于( ) A ．－12B ．－32C.12D.32答案 B解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin 2π12＋cos 2π12·⎝⎛⎭⎫sin 2π12－cos 2π12 ＝－⎝⎛⎭⎫cos 2π12－sin 2π12＝－cos π6＝－32.3.tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.答案 1－32解析 原式＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·tan 15°＝12tan(60°－45°)＝12×3－11＋3＝1－32. 4．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案3解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0 即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.[呈重点、现规律]1．对“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是32α的二倍；α2是α4的二倍；α3是α6的二倍；α2n ＝2·α2n ＋1(n ∈N ＋)．2．二倍角的余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛．二倍角的常用形式：①1＋cos 2α＝2cos 2α，②cos 2α＝1＋cos 2α2，③1－cos 2α＝2sin 2α，④sin 2α＝1－cos 2α2.一、基础过关1．若sin α2＝33，则cos α等于( )A ．－23B ．－13C.13D.23答案 C解析 cos α＝1－2sin 2α2＝1－2×⎝⎛⎭⎫332＝13.2．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12C.89 D ．－89答案 D解析 ∵sin α＋cos α＝13，∴1＋2sin αcos α＝19，∴sin 2α＝－89.3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A ．－13B ．－79C.13D.79 答案 B解析 cos(2π3＋2α)＝－cos(π3－2α)＝－cos[2(π6－α)]＝－[1－2sin 2(π6－α)]＝2sin 2(π6－α)－1＝－79.4．若1－tan θ2＋tan θ＝1，则cos 2θ1＋sin 2θ的值为( )A ．3B ．－3C ．－2D ．－12答案 A解析 ∵1－tan θ2＋tan θ＝1，∴tan θ＝－12.∴cos 2θ1＋sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θ(sin θ＋cos θ)2＝cos θ－sin θcos θ＋sin θ＝1－tan θ1＋tan θ＝1－⎝⎛⎭⎫－121＋⎝⎛⎭⎫－12＝3. 5．已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459B.259 C ．－459D ．－259答案 A解析 设底角为θ，则θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，顶角为180°－2θ. ∵sin θ＝53，∴cos θ＝1－sin 2θ＝23.∴sin(180°－2θ)＝sin 2θ＝2sin θcos θ ＝2×53×23＝459. 6．2sin 222.5°－1＝________. 答案 －22解析 原式＝－cos 45°＝－22. 7．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55. (1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 解 (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55， 所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α ＝22×⎝⎛⎭⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝⎛⎭⎫－255＝－45， cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α ＝⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3310.二、能力提升8．4cos 50°－tan 40°等于( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．22－1答案 C解析 4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°cos 40°－sin 40°cos 40°＝2sin 80°－sin 40°cos 40°＝2sin (50°＋30°)－sin 40°cos 40°＝3sin 50°＋cos 50°－sin 40°cos 40°＝3sin 50°cos 40°＝ 3.9．函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________． 答案 π解析 ∵y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，∴T ＝π. 10．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______.答案 3解析 1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝2sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ22cos θ2⎝⎛⎭⎫cos θ2＋sin θ2＝tan θ2＝3. 11．(1)已知π<α<32π，化简1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α； (2)化简：sin 50°(1＋3tan 10°)．解 (1)∵π<α<32π，∴π2<α2<34π， ∴1＋cos α＝2|cos α2|＝－2cos α2， 1－cos α＝2|sin α2|＝2sin α2. ∴1＋sin α1＋cos α－1－cos α＋1－sin α1＋cos α＋1－cos α ＝1＋sin α－2(cos α2＋sin α2)＋1－sin α2(sin α2－cos α2) ＝(cos α2＋sin α2)2－2(cos α2＋sin α2)＋(sin α2－cos α2)22(sin α2－cos α2) ＝－2cos α2. (2)原式＝sin 50°cos 10°＋3sin 10°cos 10° ＝2sin 50°sin (10°＋30°)cos 10°＝2sin 50°sin 40°cos 10°＝2sin 40°cos 40°cos 10°＝sin 80°cos 10°＝1. 12．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78°；(2)sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°. 解 (1)原式＝sin 6°cos 48°cos 24°cos 12°＝sin 6°cos 6°cos 12°cos 24°cos 48°cos 6°＝sin 96°16cos 6°＝cos 6°16cos 6°＝116. (2)∵sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°·2sin 40°cos 10°＝1， cos 80°1－cos 20°＝sin 10°2sin 210°＝2sin 210°， ∴sin 50°(1＋3tan 10°)－cos 20°cos 80°1－cos 20°＝1－cos 20°2sin 210°＝ 2. 三、探究与拓展13．已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos x ，－12，b ＝(3sin x ，cos 2x )，x ∈R ，设函数f (x )＝a ·b . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解 (1)∵f (x )＝a ·b ＝3sin x cos x －12cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )max ＝1； 当2x －π6＝－π6即x ＝0时，f (x )min ＝－12.。
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《二倍角的三角函数》教案教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明；引导学生发现数学规律,让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用,培养学生的创新意识。
教学重点:二倍角公式的推导及简单应用。
教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。
教学过程：Ⅰ.课题导入前一段时间,我们共同探讨了和角公式、差角公式,今天，我们继续探讨一下二倍角公式.我们知道，和角公式与差角公式是可以互相化归的。
当两角相等时，两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?请同学们试推.先回忆和角公式sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin(α＋β)＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα（S2α)cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α（C2α)tan（α＋β)＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α还可以变形为：cos2α＝2cos 2α－1或:cos2α＝1－2sin 2α同学们是否也考虑到了呢?另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S 2α、C 2α中，角α可以是任意角；但公式T 2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误! (k ∈Z )时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ，k ∈Z 时，tan α的值不存在;当α＝错误!＋错误!，k ∈Z 时tan2α的值不存在）.当α＝错误!＋kπ（k ∈Z ）时,虽然tan α的值不存在,但tan2α的值是存在的，这时求tan2α的值可利用诱导公式:即：tan2α＝tan2（错误!＋kπ）＝tan(π＋2kπ）＝tan π＝0 (2）在一般情况下，sin2α≠2sin α例如：sin 错误!＝错误!≠2sin 错误!＝1；只有在一些特殊的情况下,才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k ∈Z )时，sin2α＝2sin α＝0成立］。
北师版新课标高中数学必修二教案《二倍角的三角函数》
《二倍角的三角函数》教学设计“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具．通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律．通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想．因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α，β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师要引导学生自己去做，因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．在实际教学过程中不要过多地补充一些高技巧、高难度的练习，更不要再补充一些较为复杂的积化和差或和差化积的恒等变换，教材上把积化和差公式放在了习题上处理．1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．教学重点：二倍角公式推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式． 课时安排 2课时第1课时导入新课思路1．（复习导入）请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2．（问题导入）出示问题，让学生计算，若sin α=53，α∈（2，π），求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α=sin （α+α）=sin αcos α+cos αsin α=2sin αcos α的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．新知探究 提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？（请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写）②你写的这三个公式中角α，β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？ ④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin （ ）=2sin （ ）cos （ ），cos （ ）=cos 2（ ）-sin 2（ ）．⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α吗？活动：问题①，学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α，β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇◆ 教学过程妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α，β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化．教师再与学生一起集体订正黑板上的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin （α+β）=sin αcos β+cos αsin β⇒sin2α=2sin αcos α（S 2α）； cos （α+β）=cos αcos β-sin αsin β⇒cos2α=cos 2α-sin 2α（C 2α）； tan （α+β）=aaa a a 2tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan -=⇒-+ββ（T 2α）． 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫作二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”．教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考，因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．这时教师点出，这些公式都叫作倍角公式（用多媒体演示）．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．问题④，教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角．二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．问题⑤，因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：（Ⅰ）这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；（Ⅱ）通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；（Ⅲ）二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；（Ⅳ）公式（S 2α），（C 2α）中的角α没有限制，都是α∈R ．但公式（T 2α）需在α≠2πk +4π和α≠kπ+2π（k ∈Z ）时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α=kπ+2π，k ∈Z 时，虽然tan α不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．问题⑥，填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，2α是4α的二倍，3α是23α的二倍，3α是6α的二倍，2π-α是4π-2α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式． 例如：sin2α=2sin 4αcos 4α，cos 3α=cos 26α-sin 26α等等． 问题⑦，本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4αcos 4α=2（2sin 4αcos 4α）=2sin 2α，40tan 240tan 2-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，2tan α=tan2α（1-tan 2α）等等． 问题⑧，一般情况下：sin2α≠2sin α，cos2α≠2cos α，tan2α≠2tan α．若sin2α=2sin α，则2sin αcos α=2sin α，即sin α=0或cos α=1，此时α=kπ（k ∈Z ）． 若cos2α=2cos α，则2cos 2α-2cos α-1=0，即cos α=231-（cos α=231+舍去）．若tan2α=2tan α，则αα2tan 1tan 2-2tan α，∴tan α=0．结合tan α≠±1，∴α=kπ（k ∈Z ）．解答：①—⑧（略）． 应用示例 思路1例1 已知tan α=21，求tan2α的值． 解：tan2α=34tan 2tan 22=-αα． 例2 设α是第二象限角，已知cos α=-0．6，求sin2α，cos2α和tan2α的值． 解：因为α是第二象限角，所以sin α＞0，tan α＜0． 由于cos α=-0．6，故sin α=α2cos 1-=0．8． 可得sin2α=2sin α·cos α=-0．96，cos2α=2cos 2α-1=2×（-0．6）2-1=-0．28， tan2α=7242cos 2sin =αα．例3 在△ABC 中，已知AB =AC =2BC （如图1），求角A 的正弦值．图1解：作AD ⊥BC 于D ，设∠BAD =θ，那么∠A =2θ． 因为BD =21BC =41AB ， 所以sin θ=AB BD =41． 因为0＜2θ＜π，所以0＜θ＜2π， 于是cos θ=415， 故sin A =sin2θ=815． 4．要把半径为R 的半圆形木料截成长方形（如图2），应怎样截取，才能使长方形面积最大?图2解：如图2，设圆心为O ，长方形面积为S ，∠AOB =α，则 AB =R sin α，OB =R cos α， S =（R sin α）·2（R cos α） =2R 2sin α·cos α =R 2sin2α．当sin2α取最大值，即sin2α=1时，截面面积最大．不难推出α=4π时，长方形截面面积最大，最大截面面积等于R 2．例5 已知sin2α=135，4π＜α＜2π，求sin4α，cos4α，tan4α的值． 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，观察所给条件与结论的结构，注意二倍角公式的选用，领悟“倍角”是相对的这一换元思想．让学生体会“倍”的深刻含义，它是描述两个数量之间关系的．本题中的已知条件给出了2α的正弦值．由于4α是2α的二倍角，因此可以考虑用倍角公式．本例是直接应用二倍角公式解题，目的是为了让学生初步熟悉二倍角的应用，理解二倍角的相对性，教师大胆放手，可让学生自己独立探究完成．解：由4π＜α＜2π，得2π＜2α＜π． 又∵sin2α=135，∴cos2α=-α2sin 12-=-2)135(1-=-1312．于是sin4α=sin[2×（2α）]=2sin2αcos2α=2×135×（-1312）=-169120；cos4α=cos[2×（2α）]=1-2sin 22α=1-2×（135）2=169119； tan4α=a a 4cos 4sin =（-169120）×119169=-119120．点评：学生由问题中条件与结论的结构不难想象出解法，但要提醒学生注意，在解题时注意优化问题的解答过程，使问题的解答简捷、巧妙，规范，并达到熟练掌握的程度．本节公式的基本应用是高考的热点．变式训练1．不查表，求值：sin15°+cos15°．解：原式=2615cos 15cos 15sin 215sin )15cos 15(sin 222=++=+ ． 点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若22)4sin(2cos -=-παα，则cos α+sin α的值为（ ） A ．-27 B ．-21 C ．21D ．27 答案：C3．下列各式中，值为23的是（ ） A ．2sin15°-cos15° B ．cos 215°-sin 215° C ．2sin 215°-1 D ．sin 215°+cos 215° 答案：B例6 证明θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+=tan θ．活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨，鼓励．强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左边=)1cos 21(cos sin 2)cos 211(cos sin 2)2cos 1(2sin )2cos 1(2sin 22-++-++=++-+θθθθθθθθθθ =θθθθθθθθθθθθ2222cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos 1cos sin ++=+-+)cos (sin cos )sin sin(cos θθθθθ++=tan θ=右边，所以，原式成立． 方法二：左边=θθθθθθθθθθθθθθ22222222222cos 22sin sin 22sin sin cos sin cos sin cos sin 2sin cos sin ++=-+++-+++ =)cos (sin cos 2)cos (sin sin 2θθθθθθ++θtan ==右边．所以，原式成立． 方法三：左边=)sin (cos )cos sin 2cos (sin )sin (cos )cos sin 2cos (sin 2cos )2sin 1(2cos )2sin 1(22222222θθθθθθθθθθθθθθθθ-+•++--•++=++-+ =)sin )(cos sin (cos )cos (sin )sin )(cos sin (cos )cos (sin 22θθθθθθθθθθθθ-+++-+-+=θθθθθθθθθθθθθθθθθθcos 2)cos (sin sin 2)cos (sin )sin cos cos )(sin cos (sin )cos sin cos )(sin cos (sin •+•+=-+++-+++ =tan θ=右边． 所以，原式成立．点评：以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．思路2例1 求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式，并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=16120sin 1620sin 20sin 16160sin 20sin 2280cos 40cos 20cos 20sin 233===•• ． 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．例2 在△ABC 中，cos A =54，tan B =2，求tan （2A +2B ）的值． 活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A +B +C =π，0＜A ＜π，0＜B ＜π，0＜C ＜π，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A +2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan （2A +2B ）的值改为求tan2C 的值．解：方法一：在△ABC 中，由cos A =54，0＜A ＜π，得 sin A =53)54(1cos 122=-=-A ．所以tan A =434553cos sin =⨯=A A ， tan A =724)43(1432tan 1tan 222=-⨯=-A A ， 又tan B =2， 所以tan2B =342122tan 1tan 222-=-⨯=-B B ． 于是tan （2A +2B ）=11744)34(7241347242tan 2tan 12tan 2tan =-⨯--=-+B A B A ．方法二：在△ABC 中，由cos A =54，0＜A ＜π，得 sin A =53)54(1cos 122=-=-A ．所以tan A =434553cos sin =⨯=A A ．又tan B =2， 所以tan （A +B ）=2112431243tan tan 1tan tan -=⨯-+=-+B A B A ． 于是tan （2A +2B ）=tan[2（A +B ）] =11744)211(1)211(2)(tan 1)tan(222=---⨯=+-+B A B A ． 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野．变式训练1．设向量a =（cos α，21）的模为22，则cos2α等于…（ ）A ．-41 B ．-21 C ．21D ．23解析：由|a |=41cos 2+α=22，得cos 2α+41=21，cos 2α=41，∴cos2α=2cos 2α-1=2×41-1=-21．答案：B 2．化简：αααα4sin 4cos 14sin 4cos 1+-++．解：原式＝)2cos 2(sin 2sin 2)2sin 2(cos 2cos 22cos 2sin 2sin 22cos 2sin 22cos 222αααααααααααα++=++ =cot 2α． 知能训练 已知cos α=71，cos （α-β）=1413，且0＜β＜α＜2π， （1）求tan2α的值； （2）求β． 解：（1）由cos α=71，0＜α＜2π，得sin α=734)71(1cos 122=-=-α． ∴tan α=3471734cos sin =⨯=αα．于是tan2α=.4738)34(1342tan 1tan 222-=-⨯=-αα （2）由0＜β＜α＜2π，得0＜α-β＜2π． 又∵cos （α-β）=1413，∴sin （α-β）=1433)1413(1)(cos 122=-=--βα． 由β=α-（β-α），得cos β=cos ［α-（α-β）］=cos αcos （α-β）+sin αsin （α-β）=71×1413+734×211433=．∴β=3π． 点评：本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式，三角函数值的符号，已知三角函数值求角以及计算能力．作业 课本习题．课题小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练地运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深地留在了学生记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导，获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．第2课时导入新课思路1．我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换，公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用倍角公式进行了简单的化简，求值及解决实际问题，本节将利用二倍角公式的逆用推导出半角公式，并用它来解决一些三角函数式的化简，求值等．思路2．先让学生写出上节课学习的二倍角公式，接着出示课本例5让学生探究，由此展开新课．新知探究提出问题①α与2α有什么关系? ②如何建立cos α与sin 22α之间的关系？ ③sin 22α=2cos 1α-，cos 22α=2cos 1α+，tan 22α=ααcos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？ ④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cos α=1-2sin 22α，将公式中的α用2α代替，解出sin 22α即可． 教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2α的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中，以α代替2α，以2α代替α，即得cos α=1-2sin 22α， 所以sin 22α=2cos 1α-① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2α代替α，即得 cos α=2cos 22α-1， 所以cos 22α=2cos 1α+．② 将①②两个等式的左右两边分别相除，即得tan 22α=ααcos 1cos 1+-③ 又根据正切函数的定义，得到tan αααααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos 22sin 2cos 2sin 2+=••==；④ tan αααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin 22sin 2cos 2sin 2-=••==．⑤ 这样我们就得到另外两个公式：tan αααcos 1sin 2+=；tan αααsin cos 12-=． 以上我们得到的五个有关半角三角函数的公式，称之为半角公式． 在这些公式中，根号前面的符号由2α所在象限相应的三角函数值的符号确定，如果2α所在象限无法确定，则应保留根号前面的正，负两个符号．教师引导学生观察上面的①②③④⑤式，可让学生总结出下列特点：（1）用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数；（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）． 教师与学生一起总结出这样的特点，并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到．提醒学生在以后的学习中引起注意．同时还要强调，本例的结果还可表示为：sin 2α=±2cos 1α-，cos 2α=±2cos 1α+，tan 2α=±ααcos 1cos 1+-，并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α所在象限决定． 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异．因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点．代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．讨论结果：①α是2α的二倍角． ②sin 22α=2cos 1α-． ③④略（见活动）．应用示例思路1例1 已知cos α=257，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值． 活动：此题考查半角公式的应用，利用半角公式进行化简解题．教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系．解：sin 2α=±53225712cos 1±=-±=-α，cos 2α=±54225712cos 1±=+±=+α， tan 2α=4354532cos 2sin±=±=αα． 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系． 变式训练已知θ为第二象限角，sin （π-θ）=2524，则cos 2θ的值为（ ） A ．53 B ．54 C ．±53 D ．±54 解析：∵sin （π-θ）=2524∴sin θ=2524． 又θ为第二象限角，∴cos θ=-257，cos θ=2cos 22θ-1， 而2θ在第一，三象限， ∴cos 2θ=±53． 答案：C例2 已知sin2α=-1312，π＜2α＜23π，求tan α． 解：因为π＜2α＜23π，故2π＜α＜43π，α是2α的一半，运用半角公式，有 cos2α=-135)1312(12sin 122-=---=-a ， 所以tan α=23131213512sin 2cos 1-=-+=-αα． 例3 已知sin x -cos x =21，求sin 3x -cos 3x 的值． 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于（a -b ）3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3=a 3-b 3-3ab （a -b ），∴a 3-b ==（a -b ）=+3ab （a -b ）．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由sin x ·cos x 与sin x ±cos x 之间的转化，提升学生的运算，化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求之，即sin 3x -cos 3x =（sin x -cos x ）3+3sin x cos x（sin x -cos x ）=1611．此方法往往适用于sin 3x ±cos 3x 的化简问题之中． 解：由sin x -cos x =21，得（sin x -cos x ）2=41， 即1-2sin x cos x =41， ∴sin x cos x =83． ∴sin 3x -cos 3x =（sin x -cos x ）（sin 2x +sin x cos x +cos 2x ）=21（1+83）=1611． 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法． 变式训练已知sin θ+cos θ=51，且2π≤θ≤43π，则cos2θ的值是___________． 答案：-257 例4 已知B A B A 2424sin sin cos cos +=1，求证：AB A B 2424sin sin cos cos +=1． 活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A ，B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A ，B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2+b 2=1的形式，可利用三角代换． 证法一：∵BA B A 2424sin sin cos cos +=1， ∴cos 4A ·sin 2B +sin 4A ·cos 2B =sin 2B ·cos 2B ．∴cos 4A （1-cos 2B ）+sin 4A ·cos 2B =（1-cos 2B ）cos 2B ，即cos 4A -cos 2B （cos 4A -sin 4A ）=cos 2B -cos 4B ．∴cos 4A -2cos 2A cos 2B +cos 4B =0．∴（cos 2A -cos 2B ）2=0．∴cos 2A =cos 2B ．∴sin 2A =sin 2B ． ∴AB A B 2424sin sin cos cos +=cos 2B +sin 2B =1． 证法二：令BA 22sin cos =cos α，B A sin sin 2=sin α， 则cos 2A =cos B cos α，sin 2A =sin B sin α．两式相加，得1=cos B cos α+sin B sin α，即cos （B -α）=1．∴B -α=2kπ（k ∈Z ），即B =2kπ+α（k ∈Z ）．∴cos α=cos B ，sin α=sin B ．∴cos 2A =cos B cos α=cos 2B ，sin 2A =sin B sin α=sin 2B ． ∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B +sin 2B =1． 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．变式训练在锐角△ABC 中，A ，B ，C 是它的三个内角，记S =BA tan 11tan 11+++，求证：S ＜1． 证明：∵S =B A B A B A B A B A tan tan tan tan 11tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1++++++=+++++ 又A +B ＞90°，∴90°＞A ＞90°-B ＞0°．∴tan A ＞tan （90°-B ）=cotB ＞0．∴tan A ·tan B ＞1．∴S ＜1．思路2例1 已知sin2 010°=-21，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值． 解：因为2 010°=5×360°+210°是第三象限的角，所以cos2 010°=-232010sin 12-=- ． 又1 005°=2×360°+285°是第四象限的角，所以sin1 005°=-42623222010cos 1+=+=-， cos1 005°=42623222010cos 1-=-=+， tan1 005°=32434826261005cos 1005sin --=+-=-+-= ． 例2 证明x x cos sin 1+=tan （24x +π）． 活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角2x ，三角函数的种类为正切．解：方法一：从右边入手，切化弦，得tan （24x +π）=2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 4sin 2cos 4cos 2sin 4cos 2cos 4sin )24cos()24sin(x x x x x x x x x x -+=-+=++ππππππ，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos2x +sin 2x ，得 x x x x x x x x cos sin 1)2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos 2+=-++． 方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin 2cos 2sin 2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(coscos sin 12x x x x x x x x x x x x -+=-++=+． 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x ，得 )24tan(2tan 4tan 12tan 4tan 2tan 12tan 1x x x x x +=-+=-+πππ 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法． 变式训练已知α，β∈（0，2π）且满足：3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求α+2β的值． 解法一：3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β，即3sin 2α=cos2β，①3sin2α-2sin2β=0⇒3sin αcos α=sin2β，②①2+②2，得9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1，即9sin 2α（sin 2α+cos 2α）=1，∴sin 2α=91 ∵α∈（0，2π），∴sin α=31． ∴sin （α+2β）=sin αcos2β+cos αsin2β=sin α·3sin 2α+cos α·3sin αcos α=3sin α（sin 2α+cos 2α）=3×31=1． ∵α，β∈（0，2π）， ∴α+2β∈（0，23π）．∴α+2β=2π． 解法二：3sin 2α+2sin 2β=1cos2β=1-2sin 2β=3sin 2α，3sin2α-2sin2β=0sin2β=23πsin2α=3sin αcos α， ∴cos （α+2β）=cos αcos2β-sin αsin2β=cos α·3sin 2α-sin α·3sin αcos α=0．∵α，β∈（0，2π），∴α+2β∈（0，23π）．∴α+2β=2π． 解法三：由已知3sin 2α=cos2β，23πsin2α=sin2β， 两式相除，得tan α=cot 2β，∴tan α=tan （2π-2β）． ∵α∈（0，2π），∴tan α＞0．∴tan （2π-2β）＞0． 又∵β∈（0，2π），∴-2π＜2π-2β＜2π． 结合tan （2π-2β）＞0，得0＜2π-2β＜2π． ∴由tan α=tan （2π-2β），得α=2π-2β，即α+2β=2π． 例3 求证：aa a 2222tan tan 1cos sin )sin()sin(ββββ-=-+． 活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证明：证法一：左边=ββαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+ ββαβα222222cos sin sin cos cos sin -==1-αβββα222222tan tan 1cos sin sin cos -==右边．∴原式成立． 证法二：右边=1-βαβαβαβαβα2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos -= βαβαβαβαβα22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==βββ22cos sin )sin()sin(a a a -+=左边．∴原式成立． 点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．变式训练求证：θθθθθθ2tan 14cos 4sin 1tan 24cos 4sin 1-++=-+． 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于θθθθθθ2tan 1tan 24cos 4sin 14cos 4sin 1-=++-+，此式右边就是tan2θ．证明：原等式等价于θθθθ4cos 4sin 14cos 4sin 1++-+=tan2θ． 而上式左边=θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+ =)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++=tan2θ=右边．∴上式成立，即原等式得证． 知能训练1．若sin α=135，α在第二象限，则tan 2α的值为（ ） A ．5 B ．-5 C ．51 D ．-51 2．设5π＜θ＜6π，cos2θ=α，则sin 4θ等于（ ） A ．21a + B ．21a - C ．-21a + D ．-21a - 3．已知sin θ=-53，3π＜θ＜27π，则tan 2θ=__________________． 答案：1．A 2．D 3．-3课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛总结：本节学习了公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本习题．1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式以及如何利用已有的公式进行简单的恒等变换．在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用，应用诱导公式时符号问题也是常出错的地方．考试大纲对本部分的具体要求是：用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，体会向量方法的作用．从两角差的余弦公式进而推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系，能运用上述公式进行简单的恒等变换．。
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计
高中高一数学《二倍角的三角函数》教案设计一、教学目标1.知识与技能：掌握二倍角的正弦、余弦、正切函数公式，能够运用这些公式进行计算和化简。
2.过程与方法：通过探究、讨论、练习等方式，培养学生的数学思维能力，提高解题技巧。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、积极思考的精神。
二、教学重点与难点1.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切函数公式的推导与应用。
2.教学难点：二倍角公式的推导过程及运用过程中的符号变化。
三、教学过程1.导入新课（1）复习回顾：引导学生回顾初中阶段学习的正弦、余弦、正切函数的定义及性质。
（2）提出问题：如何利用已知的三角函数公式来推导二倍角的三角函数公式？2.探究新知（1）引导学生利用正弦、余弦、正切的定义，结合三角形的面积公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切函数公式。
（2）教师引导学生进行推导，并解释推导过程中的关键步骤。
3.应用练习（1）教师给出一些简单的二倍角问题，让学生运用新学的公式进行解答。
（2）学生互相交流，分享解题过程和心得。
（3）教师点评，指出学生解题过程中的优点和不足。
4.拓展延伸（1）引导学生探讨二倍角公式在解三角形、化简三角函数表达式等方面的应用。
（2）学生举例说明，教师点评。
（2）学生反馈学习过程中的疑问和收获。
6.作业布置（1）教材P页习题1、2、3。
（2）思考：如何利用二倍角公式化简三角函数表达式？四、教学反思1.本节课通过引导学生探究二倍角公式的推导过程，让学生体会到了数学的严谨性和美感，提高了学生的学习兴趣。
2.在应用练习环节，学生能够积极参与，互相交流，提高了解题技巧。
3.在拓展延伸环节，学生能够将二倍角公式应用于实际问题，培养了学生的数学思维能力。
4.教学过程中，部分学生对二倍角公式的符号变化掌握不够熟练，需要在课后加强练习。
5.教师在课堂上要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，提高教学效果。
五、教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、思维活跃度、合作交流情况等。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《二倍角的三角函数》
二倍角的三角函数的教学设计教学目标1知识与技能〔1〕能够由和角公式导出倍角公式；〔2〕能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识能力和逻辑推理能力2过程与方法让学生自己由和角公式推导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学习数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法；通过练习，稳固所学知识3情感、态度和价值观通过揭示本节知识的背景，激发学生分析、探求的学习态度和学习兴趣，通过学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；能理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力，提高逆向思维的能力学情分析学生已经学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式，推导二倍角公式对学生来说难度不大，可以把这个培养运算能力和逻辑思维能力的时机留给学生，由学生独立完成公式的推证，从而获取知识,增强自信重点难点重点：掌握二倍角的正弦、余弦和正切公式，灵活运用公式解决问题难点：二倍角公式的灵活运用及培养学生的转化、化归等数学思想教学过程教学活动活动1复习回忆教师：请三位学生到黑板上写出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，其他学生在自己本子上写出两角和与差的正弦、余弦和正切公式学生：写出两角和与差的正弦、余弦和正切公式教师：当学生写好了两角和与差的正弦、余弦和正切公式之后，让学生来判断书写得是否正确，此时并指出三个公式中的可以相同，也可以不同，为后面引出二倍角公式打下了伏笔活动2提出问题，合作探究教师：问题一：如何用推导？学生：请几位学生来交流，为问题二的解决做好了铺垫教师：问题二：在公式中，如果用替代，会有什么结论呢？学生：让学生独立完成公式的推证，期间请两位学生到黑板上板演,最后请师生一起来完成教师：问题三：你能用类似的方法得出的公式吗？学生：让学生自己来完成，完成后请几位学生来核对答案，然后做适当的点评教师：引导学生注意刚刚我们所推导的三个公式的特点，并加于分析和点拨教师：试一试：试用与的公式推导引导学生，，是同角三角函数，那就比拟容易找到它们三者之间的关系学生：请学生独立自主完成，引导学生发现与前面推导的结果一致，教师在黑板上板书，学生核对教师：想一想：利用公式能否只用或表示引导学生分析公式的特点，思考、讨论并完成对公式的适当变形学生：学生思考、讨论、交流，最后把结果统一起来，教师与学生做最后的整理与板书活动3探求新知，抽象概括教师：刚刚我们一起所推导的公式就是二倍角公式，让学生梳理这几个公式，并提出问题：这组公式有什么特点？应注意些什么？公式的适用范围是什么？学生：学生梳理公式，分析公式的特点，公式的适用范围，并对公式进行适当的变形教师：让学生充分发表自己的观点，然后教师点评、指导，并进行归纳总结学生和教师总结如下：教师：提出问题：这些公式之间它们有怎样的推导关系呢？学生：学生思考、讨论、交流，让学生自己去发现，教师与学生一起总结见PPT 活动4应用举例，稳固新知例1 ，求的值教师：让学生独立完成,熟悉公式学生：完成例1变式求以下各式的值：教师：用投影仪展示题目，让学生完成，请学生校对答案，并做适当的点评与指导学生：独立自主完成变式例2 设是第二象限角，，求，和的值教师：先让学生独立完成，再请两位学生到黑板板演，同时提出问题：请学生们思考解答此题应该注意什么问题？〔当通过开方求三角函数时，一定要根据角所在的范围，确定三角函数值的符号〕学生：独立自主完成例2，并思考教师提出的问题例3 在中，见PPT，求角的正弦值教师：适当分析引导，在学生充分思考、讨论的根底上，和学生一起完成板书学生：思考、讨论例3的解法例4 要把半径为的半圆形木料截成长方形〔如图〕〔见PPT〕，应怎样截取，才能使长方形的面积最大？教师：引导学生分析如何将实际问题转化为数学问题，即建立恰当的数学模型，对例4进行分析时，学生较容易想到的是建立矩形面积是矩形宽的函数，此时矩形的长为，那么矩形的面积，只要注意到，把看做一个整体，利用配方法求最大值不妨以这种解法为根底，利用三角函数的有界性，引入参数角，于是产生了利用三角函数的解法学生：充分思考、在小组内讨论、交流此题有几种解法，试着用多种方法解答此题，并进行比拟教师：最后比拟两种解法，使学生感受三角函数在解最值问题时起到的减少量、简化运算的作用例5 求函数的最小正周期教师：在必修4第一章已经学习了函数的最小正周期为，的最小正周期为，由此引导学生要将函数化为一次的形式即降次，那么这一转化与我们这节课所学知识有什么关联呢？学生：通过教师引导，学生自主探究，得出结论，应将变形为，那么就可以顺利地利用公式求周期了教师：请学生来答复，对答复正确的学生给予肯定活动5教师：这节课你学到了什么？学生：让学生思考5分钟左右，在草稿纸上写出自己总结的知识教师：引导学生进行归纳总结学生：在教师的引导下，归纳本节课的学习内容、解题方法及数学数学方法最后师生共同总结如下：1方法上：学会怎样去发现数学规律，并体会从一般化归为特殊这一根本数学思想在探索中所起的作用2知识上：理解二倍角公式〔3〕公式变形：活动6布置作业教师：根据学生的情况进行分层布置作业：课本习题3—3A组第1,2,5，B组第2题；附加题B组第3题〔供学有余力的同学探究〕学生：认真、独立、自主地完成作业活动7为满足学生的需求，课件最后设计了课堂跟踪训练试题活动8设计感想本节课采用启发引导，讲练结合的授课方式，表达学生的主体地位，发挥教师的主导作用，通过启发诱导学生深入思考问题，解决问题，反应学习信息，调节教学活动，新课程的标准中强调：动手实践、自主探索与合作交流是学生进行有效的数学学习活动的重要方式在数学中，注重学生的动手和动脑的活动安排，鼓励每一个学生亲自实践、积极思考，体会活动的乐趣，并且在乐学的气氛中促进学生对知识的理解和体验，通过小组讨论、合作交流鼓励学生勇于发现，增强合作意识，体验探索与创造的乐趣，并且在活动中获得成功的体验，为学生建立学好数学的自信心本节教案的设计很好地表达了新课程的理念，让学生动脑思考、动手推导出二倍角公式，由学生独立完成，从而获取知识，把培养运算能力和逻辑思维能力的时机留给了学生对于公式的特点在让学生观察思考、充分发表自己观点的根底上，教师引导分析，表达了学生主体、教师主导地位对于题的教学注重讲练结合，教师重在引导学生分析，学生思考讨论完成解答过程作业分必做题和选做题，根据学生的具体情况布置作业，让不同层次的学生都能得到最大的开展和提高。
陕西省西安市第三十一中学高中数学3.3二倍角公式的两个特殊变式及应用同步教学例题讲解北师大版必修4
二倍角公式的两个特殊变式及应用一、变式变式1：sin2α＝sin 2(α＋4π)－cos 2(α＋4π) ＝2sin 2(α＋4π)－1 ＝1－2cos 2(α＋4π)． 变式2：cos2α＝2sin(α＋4π) cos(α＋4π)＝2sin(4π＋α) sin(4π－α)． 以上两个变式的形式与二倍角正、余弦形式恰相反，角度变为(α＋4π)．其实证明只需运用诱导公式再结合倍角公式即可解决．由sin2α＝－cos(2α＋2π)＝－cos2(α＋4π)，及cos2α＝sin2(α＋4π)，再用倍角公式即可． 二、应用变式1、2主要用于题中含有2α与4π±α问题的转化． 例1 已知cos(α＋4π)＝35，求sin 2sin 4απα⎛⎫- ⎪⎝⎭． 分析：本题只需将sin2α及sin(4π－α)，运用变式及诱导公式转化成cos(α＋4π)形式即可解决问题． 解：∵cos(α＋4π)＝35，由变式1，得 sin2α＝1－2cos 2(α＋4π)＝725． sin(4π－α)＝cos(α＋4π)＝35． ∴ 原式＝77253155=． 例2 已知sin(4π＋x )sin(4π－x )＝16，x ∈(2π，π)，求sin4x 的值． 分析：本题只需求cos2x 即可，又由变式2并结合题意即可解决．解：由变式2，得c os2x ＝2sin(4π＋x )sin(4π－x )＝31，又2x ∈(π，2π)，∴ sin2x ＝－．∴ sin4x ＝2sin2x cos2x ＝－9．例3 已知x ∈(－2π，2π)，且sin2x ＝2sin(x －4π)，求x 的值．分析：将角2x 与x －4π统一即可，又运用变式1即可达到目的．解：由变式1，原方程可化为 1－2cos 2(x ＋4π)＝－cos(x ＋4π)．解得cos(x ＋4π)＝1或cos(x ＋4π)＝－21．又x ∈(－2π，2π)，∴x ＋4π＝0或x ＋4π＝23π，∴ x ＝－4π或x ＝－512π．。
高中数学北师大版必修4第3章3《二倍角的三角函数》word导学案1
陕西省榆林育才中学高中数学第3章《三角恒等变形》3二倍角的三角函数（1）导学案北师大版必修4【学习目标】1．探索、发现并推导二倍角公式，了解公式之间的内在联系．2．掌握二倍角公式的特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的求值问题．【重点难点】重点：二倍角公式的推导及其应用.难点：二倍角公式的灵活应用.【使用说明】复习回顾两角和的正弦、余弦和正切公式，利用由一般到特殊的思想推导二倍角的正弦、余弦和正切公式，注意公式之间的内在联系；熟记二倍角公式及其特征，灵活应用公式解决与二倍角有关的问题．【自主学习】1．复习回顾：()sinαβ+= ；()cosαβ+= ；()tanαβ+= ．2．探索新知：3．若tan2α=，则tan2α=________．【合作探究】1．设α是第二象限角，已知3cos5α=-，求sin2,cos2αα和tan2α的值．【课堂检测】1． 求下列各式的值：(1) 2sin15cos15； (2) 22cos 22.5sin 22.5-； (3) 212sin 15-； (4) 212cos 15-； (5) sin cos88ππ； (6) 2tan 751tan 75-． 2．已知73cos ,2,82πααπ=<< 求sin 2,cos 2αα和tan 2α的值．3．已知等腰三角形一个底角的正弦值为3,5求这个三角形的顶角的正弦、余弦及正切的值．【课后训练】1． 求下列各式的值： (1) 22sin cos 1212ππ-； (2) 2'12sin 6730-； (3) sin15sin 75； (4) 25tan125tan 112ππ-．2．已知83cos ,(,2),172πααπ=∈ 求cos2α和tan 2α的值．3．把图中的一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料, 怎样截取才能使横截面面积最大?。
北师大版数学高一 3.3 二倍角的三角函数 教案 必修4
3.3 二倍角的三角函数本节教材分析（1）三维目标①知识与技能：（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.②过程与方法：让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.③情感、态度与价值观：通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.（2）教学重点公式的推导.倍角公式的应用.（3）教学难点二倍角公式与同角三角函数的综合应用。
（4）教学建议通过本节学习让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.①通过两角和的三角公式引导学生推导二倍角的公式并注意适用范围；②通过对公式结构特点观察记忆公式；③通过范例的应用，掌握公式中解题方法的应用；④结合同角关系灵活运用二倍角公式，并能推导半角公式。
2222222sin 22sin cos 1sin 2(sin cos )cos 2cos sin 1cos 22cos 1cos 21cos 212sin sin 2ααααααααααααααα=±=±=-+=-=-=-=巩固训练新课导入设计导入一 以复习与提出问题的方式引入新课，特别结合范例对二倍角要公式变形要熟练，体会二倍角公式在解题中的应用，同时注意三角函数化简求值过程对角、函数名变形基本原则化异为同的理解与应用。
《3.2二倍角的三角函数(一)》教学案
《3.2二倍角的三角函数（一）》教学案第1课时二倍角的三角函数●三维目标1．知识与技能能从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．了解它们的内在联系，并能运用上述公式进行简单的恒等变换．2．过程与方法通过公式的推导过程，使学生认识整个公式体系的形成过程，领会体现出的数学基本思想和方法，从而提高数学素质．3．情感、态度与价值观通过公式推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养学生辩证唯物主义观点．●重点难点重点：二倍角公式的推导及运用．难点：二倍角公式的灵活运用．教学方案设计●教学建议1．关于二倍角公式推导的教学教学时，建议教师先复习和角公式T(α＋β)，S(α＋β)，C(α＋β)，然后令α＝β，利用特殊化的推理方式，让学生自主推导出二倍角公式；在此基础上借助同角三角函数关系，引导学生得出C2α的其他两种形式．通过公式推导，让学生进一步体会公式间的密切联系，提高学生熟练应用公式解题的能力．2．关于二倍角公式应用的教学教学时，建议教师处理好以下两点：(1)强调“倍角”的相对性，打破学生习惯认为只有α与2α才具有二倍角关系．(2)通过例题教学让学生熟悉公式的正向、逆向和变形运用，特别是余弦公式的变式较多，教学中应适当通过题目强化训练．●教学流程创设问题情境，引出问题，如何用α的三角函数表示出sin 2α，cos 2α与tan 2α？⇒引导学生结合公式S α＋β、Cα＋β及Tα＋β推导出倍角公式，并探究二倍角余弦公式的变形.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握灵活运用倍角公式进行求值的方法.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握利用倍角公式解决给值求值问题的求解策略及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握三角函数式的化简方法及要求.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课前自主导学1．如何利用两角和的正弦和余弦公式推导出sin 2α，cos 2α？【提示】 sin 2α＝sin(α＋α)＝sin αcos α＋cos αsin α＝2sin αcos α，即sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos(α＋α)＝cos 2α－sin 2α，即cos 2α＝cos 2α－sin 2α. 2．如何利用两角和的正切公式推导出tan 2α？【提示】 tan 2α＝tan(α＋α)＝2tan α1－tan 2α，即tan 2α＝2tan α1－tan 2α. (1)sin 2α＝2sin_αcos_α(S 2α)； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α(C 2α)； (3)tan 2α＝2tan α1－tan α(T 2α).你还能得到二倍角的余弦公式其他变形吗？【提示】 利用sin 2α＋cos 2α＝1，公式C 2α可变形为cos 2α＝2cos 2α－1或cos 2α＝1－2sin 2α.cos 2α＝2cos 2α－1，cos 2α＝1－2sin 2α. 课堂互动探究例1 (1)cos π8cos 3π8； (2)12－cos 2π8； (3)tan π12－1tan π12； (4)cos 20°cos 40°cos 80°.【思路探究】 (1)中两角互余，故可以转化为同角正余弦的积的形式．(2)中的角的倍角为特殊角，故可以用降幂公式解决．(3)式可化为正切倍角公式的形式．(4)中可用公式的变形：cos α＝sin 2α2sin α来解决．【自主解答】 (1)cos π8cos 3π8＝cos π8sin π8 ＝12sin π4＝24.(2)12－cos 2 π8＝12(1－2cos 2π8)＝－12cos π4＝－24.(3)tan π12－1tan π12＝tan 2π12－1tan π12＝－2·1－tan 2π122tan π12＝－2×1tan π6＝－233＝－2 3.(4)cos 20°cos 40°cos 80°＝sin 40°2sin 20°·sin 80°2sin 40°·sin 160°2sin 80°＝18. 规律方法1．解答本类题关键是抓住公式及其变形式的特征，观察分析题目中具有的与公式相似的结构特征，从而找到解题的切入点．2．对于倍角公式应做到灵活运用，即根据所给式子的特点构造出倍角形式，正用、逆用或变形用倍角公式进行化简和求值．变式训练求下列各式的值：(1)2tan 15°1－tan 215°；(2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 【解】 (1)2tan 15°1－tan 215°＝tan 30°＝33. (2)∵sin 10°sin 50°sin 70° ＝sin 20°sin 50°sin 70°2cos 10° ＝sin 20°cos 20°sin 50°2cos 10°＝sin 40°sin 50°4cos 10°＝sin 40°cos 40°4cos 10° ＝sin 80°8cos 10°＝18，∴sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116.例2 (1)已知sin α＋cos α＝13，0＜α＜π，求sin 2α的值；(2)已知cos α＝－45，α∈(π2，π)，tan(π－β)＝12，求tan(α－2β)的值．【思路探究】 (1)将已知等式两边平方，利用同角三角函数的基本关系求解；(2)已知α的余弦值和范围可求出tan α的值，利用诱导公式可求出tan β的值，然后利用倍角公式求出t an 2β的值，结合两角差的正切公式求解．【自主解答】 (1)sin α＋cos α＝13两边同时平方，得sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α＝19，因为sin 2α＋cos 2＝1，所以2sin αcos α＝sin 2α＝－89.(2)由已知条件得sin α＝1－cos 2α＝1－－452＝35，tan α＝sin αcos α＝－34，由tan β＝－tan(π－β)＝－12得tan 2β＝2tan β1－tan 2β＝－11－14＝－43，所以tan(α－2β)＝tan α－tan 2β1＋tan αtan 2β ＝－34－－431＋－34－43＝724.规律方法对于给值求值问题，注意寻找已知式与未知式的联系，有以下两种解题方向： (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．变式训练已知sin(π4－x )＝513，0＜x ＜π4，求cos 2xπ4＋x的值． 【解】 原式＝sπ2＋2xcπ4＋x ＝π4＋xπ4＋x π4＋x＝2sin(π4＋x )．∵sin(π4－x )＝cos(π4＋x )＝513，且0＜x ＜π4， ∴π4＋x ∈(π4，π2)， ∴sin(π4＋x )＝1－cos2π4＋x ＝1213，∴原式＝2×1213＝2413.例3 化简：1＋sin 4α－cos 4α1＋sin 4α＋cos 4α.【思路探究】 本题主要考查二倍角公式的应用．基本思路是能化简成使该分式的分子与分母有公因式进行约分，解法有两种：一是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，cos 4α＝2cos 22α－1，cos 4α＝1－2sin 22α代入进行化简；二是将sin 4α＝2sin 2αcos 2α，1＋cos 4α＝2cos 22α，1－cos 4α＝2sin 22α代入进行化简．【自主解答】 法一 原式 ＝1＋2sin 2αcos 2α－1＋2sin 22α1＋2sin 2αcos 2α＋2cos 22α－1 ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋cos 2α＝tan 2α. 法二 原式＝－cos 4α＋sin 4α＋cos 4α＋sin 4α＝2sin 22α＋2sin 2αcos 2α2cos 22α＋2sin 2αcos 2α ＝2sin 2αα＋sin 2α2cos 2αα＋sin 2α＝tan 2α.规律方法1．三角函数的化简有四个方向，即分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异． 2．对三角函数式化简结果的一般要求： (1)函数种类最少； (2)项数最少； (3)函数次数最低； (4)能求值的求出值； (5)尽量使分母不含三角函数； (6)尽量使分母不含根式． 变式训练 化简：(1)11＋tan θ－11－tan θ； (2)2cos 2α－1π4－α2π4＋α. 【解】 (1)原式＝－tan θ－＋tan θ＋tan θ－tan θ＝－2tan θ1－tan 2θ＝－tan 2θ.(2)原式＝cos 2απ4－α2π2－π4－α＝cos 2απ4－α2π4－α ＝cos 2απ4－απ4－α＝cos 2απ4－2α＝cos 2αcos 2α＝1. 易错易误辨析选择公式不恰当致误典例 已知cos α＋sin α＝33(0＜α＜π)，求cos 2α的值． 【错解】 ∵(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝13，∴sin 2α＝－23，∴cos 2α＝±1－sin 22α＝±53.【错因分析】 利用二倍角公式的变形形式cos 2α＝±1－sin 22α时，忽略了α角的取值范围，导致错解．【防范措施】 在三角恒等变换中，运用不同的公式有不同的解题过程，若在解题过程中选择恰当的公式，则能使解题过程更严密，不容易出错．【正解】 ∵(cos α＋sin α)2＋(sin α－cos α)2＝2， ∴(cos α－sin α)2＝2－13＝53，∴cos α－sin α＝±153. ∵cos α＋sin α＝33，∴(cos α＋sin α)2＝13，sin αcos α＝－13.∵0＜α＜π且sin αcos α＝－13＜0， ∴sin α＞0，cos α＜0， ∴cos α－sin α＝－153.∴cos 2α＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α) ＝－153×33＝－53.对二倍角公式的理解及二倍角公式的应用形式(1)对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8α是4α的二倍角；6α是3α的二倍角；4α是2α的二倍角；3α是32α的二倍角；α2是α4的二倍角；α3是α6的二倍角；……又如α＝2·α2，α2＝2·α4，…. (2)公式正用从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的．(3)公式逆用异向转移，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现．应用时要求对公式特点有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α＝tan 2α.当堂双基达标1．计算1－2sin 2 22.5°的结果等于________． 【解析】 1－2sin 222.5°＝cos 45°＝22.【答案】 222．(2012·济宁高一检测)已知x ∈(－π2，0)，cos x ＝45，则tan 2x ＝________. 【解析】 ∵x ∈(－π2，0)，cos x ＝45， ∴sin x ＝－35，∴tan x ＝－34， ∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝－247. 【答案】 －2473．计算：(1)2sin 37.5°·cos 37.5°＝________；(2)sin 267.5°－cos 267.5°＝________；(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝________.【解析】 (1)2sin 37.5°cos 37.5°＝sin 75°＝6＋24. (2)sin 267.5°－cos 267.5°＝－cos 135°＝22.(3)tan 7.5°1－tan 27.5°＝12·2tan 7.5°1－tan 27.5°＝12tan 15° ＝2－32. 【答案】 (1)6＋24 (2)22 (3)2－32 4．已知sin x 2－2cos x2＝0. (1)求tan x 的值； (2)求cos 2x 2π4＋xx的值． 【解】 (1)由sin x 2－2cos x 2＝0⇒tan x2＝2， ∴tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43.(2)原式＝cos 2x －sin 2x 222cos x －22sin xx＝x －sin xx ＋sin x x －sin x x＝cos x ＋sin xsin x ＝1tan x ＋1＝(－34)＋1＝14. 课后知能检测 一、填空题1．cos 2π12－sin 2π12＝________.【解析】 原式＝cos(2×π12)＝cos π6＝32. 【答案】 322．计算sin 105°cos 75°的值为________．【解析】 sin 105°cos 75°＝sin(180°－75°)cos 75°＝sin 75°cos 75°＝12sin 150°＝12sin 30°＝14.【答案】 143．若sin α＝13，则cos 2α＝________. 【解析】 cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×(13)2＝79. 【答案】 794．若tan(α＋π4)＝3＋22，则1－cos 2αsin 2α＝________.【解析】 由tan(α＋π4)＝1＋tan α1－tan α＝3＋22，得tan α＝22， ∴1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α＝tan α＝22. 【答案】 225．已知tan 2θ＝－22，π＜2θ＜2π，则tan θ的值为________． 【解析】 由题意得2tan θ1－tan 2θ＝－22， 解得tan θ＝－22或tan θ＝ 2.又π＜2θ＜2π，则π2＜θ＜π，所以有tan θ＝－22.【答案】 －226．已知tan θ2＝3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝________.【解析】 ∵tan θ2＝3，∴原式＝2sin 2θ2＋sin θ2cos 2θ2＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝tan 2θ2＋tan θ21＋tan θ2＝t an θ2＝3.【答案】 37．θ是第三象限角，sin 4θ＋cos 4θ＝59，则sin 2θ＝________. 【解析】 sin 4θ＋cos 4θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)2－2sin 2θcos 2θ＝1－12sin 22θ＝59， ∴sin 22θ＝89，又θ为第三象限角， ∴sin θ<0，cos θ<0，∴sin 2θ＝2sin θcos θ>0，∴sin 2θ＝223.【答案】 2238．若sin 2α＝45，则tan 2α＋1tan 2α＝________.【解析】 tan 2α＋1tan 2α＝sin 2αcos 2α＋cos 2αsin 2α＝sin 4α＋cos 4αsin 2αcos 2α＝2α＋cos 2α2－2sin 2αcos 2α14sin 22α＝1－12sin 22α14sin 22α ＝1－1245214452＝174. 【答案】 174二、解答题9．(2013·巢湖市质检)已知cos x ＝－255，x ∈(－π，0)．(1)求sin 2x 的值；(2)求tan(2x ＋π4)的值．【解】 (1)∵cos x ＝－255，x ∈(－π，0)，∴sin x ＝－55，∴sin 2x ＝2sin x cos x ＝45.(2)由(1)得，tan x ＝sin x cos x ＝12，∴tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝43， ∴tan(2x ＋π4)＝tan 2x ＋tan π41－tan 2x tan π4＝－7.10．已知sin 22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，π2)，求sin α及tan α的值． 【解】 由题意得sin 22α＋sin 2αcos α＝1＋cos 2α＝2cos 2α，∴2sin 2αcos 2α＋sin αcos 2α－cos 2α＝0.∵α∈(0，π2)，∴cos α≠0，∴2sin 2α＋sin α－1＝0，即(2sin α－1)(sin α＋1)＝0.∵sin α＋1≠0，∴2sin α－1＝0，∴sin α＝12.∵0＜α＜π2，∴α＝π6，∴tan α＝33.11．已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值和最小值．【解】 (1)∵f (x )＝2sin(π－x )cos x＝2sin x cos x ＝sin 2x ，∴函数f (x )的最小正周期为π.(2)由－π6≤x ≤π2⇒－π3≤2x ≤π，∴－32≤sin 2x ≤1，∴f (x )在区间[－π6，π2]上的最大值为1，最小值为－32.教师备课资源备选例题求证：3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .【思路探究】 从左边入手，从角的构成看，化4A 为2A ，再化为A ，从函数名称构成看，化弦为切．从左、右两边的结构看，将左边分式化简为右边的整式形式．【自主解答】 ∵左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2＝tan 4A ＝右边，∴3－4cos 2A ＋cos 4A 3＋4cos 2A ＋cos 4A ＝tan 4A .规律方法证明恒等式问题的两个原则：(1)观察式子两端的结构形式，一般是从复杂到简单，如果两端都比较复杂，就将两端都化简，即采用“两头凑”的思想．(2)证明的一般步骤是：先观察，找出角、函数名称、式子结构等方面的差异，然后本着“复角化单角”、“异名化同名”、变换式子结构‘变量集中’”等原则，设法消除差异，达到证明的目的．变式训练求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 【证明】 要证1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ， 只需证1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. 上式：左边＝－cos 4θ＋sin 4θ＋cos 4θ＋sin 4θ＝2sin 22θ＋2sin 2θcos 2θ2cos 22θ＋2sin 2θcos 2θ＝2sin 2θθ＋cos 2θ2cos 2θθ＋cos 2θ＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝右边．∴原等式成立．。
二倍角的三角函数教案
二倍角的三角函数教案二倍角的三角函数教案一.学习目标：1.知识与技能（1）能够由和角公式而导出倍角公式；（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；（3）能推导和理解半角公式；（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.2.过程与方法让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的'各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力.二．学习重、难点重点:倍角公式的应用.难点:公式的推导.三 .学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.四.学习设想1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：2、提出问题：公式中如果，公式会变得如何？3、让学生板演得下述二倍角公式：这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：是的倍角.2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：这两个形式今后常用.例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1.（公式巩固性练习）求值：①．sin2230’cs2230’=②．③．④．例2.化简①．②．③．④．例3、已知，求sin2，cs2，tan2的值。
解：∵ ∴∴sin2 = 2sincs =cs2 =tan2 =思考：你能否有办法用sin、cs和tan表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin、cs和tan分别表示sin3，cs3，tan3.例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例4. cs20cs40cs80 =例5.求函数的值域.解：————降次学生练习：思考（学生思考，学生做，教师适当提示）你能够证明：证：1在中，以代2，代即得：∴2在中，以代2，代即得：∴3以上结果相除得：这组公式有何特点？应注意些什么？注意：1左边是平方形式，只要知道角终边所在象限，就可以开平方。
2022年 高中数学新北师大版精品教案《二倍角的三角函数》
二倍角的三角函数〔第1课时〕教学分析“二倍角的正弦、余弦、正切公式〞是在研究了两角和与差的三角函数的根底上，进一步研究具有“二倍角〞关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具、通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律、通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想、因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α=β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想这一切教师要引导学生自己去做在本节实际教学过程中没有过多地补充一些高技巧、高难度的练习，主要采用了较适合本班学情的根底题，也更符合新课标在这一章的编写意图和新课改精神学情分析通过前一阶段的学习，学生已经对两角和的正弦、余弦以及正切公式较为熟悉，所以本节中对于二倍角的三角函数公式的推导应该相对容易些，但由于本班为普通班，接受能力以及对知识的应用方面较为薄弱，应重点突破一、教学目标1 知识与技能：掌握公式的推导，明确的取值范围，能正确运用二倍角公式求值、化简、证明。
2 过程与方法：通过公示的推导，了解它们的内在联系，培养学生的类比推理能力，自主探究的学习能力，通过综合运用公式，掌握有关技巧，提高分析问题、解决问题的能力。
3 情感、态度价值观：让学生自己由和角公式推导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴含的和谐美，激发学生学数学的兴趣，引导学生发现数学规律，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质。
二、教学重、难点 1 教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式的变形，二倍角公式的简单应用；2 教学难点：二倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数，倍角公式与以前学过的同角三角函数的根本关系式、诱导公式、和角公式的综合应用三、教学方法诱导学习法、问题探究法、讲授法等方法相结合四、教学过程：〔一〕复习导入大家首先回忆一下两角和的正弦、余弦和正切公式，我们由此能否得到的公式呢？〔学生自己动手，把上述公式中看成即可〕设计意图：通过复习回忆两角和的正弦、余弦和正切公式，以此为知识根底，为下面引入二倍角的三角函数公式做铺垫〔二〕公式推导由一般的αβ到特殊的两角相等，即：α=β，你能得到什么样的启示？有什么发现？inαα= coαα= tanαα=设计目的：通过提问的方式，启发学生逐步深入探究新知识，体悟知识的生成过程；思考：上述关于的式子有没有其他形式了？能否变成只含有或形式的式子呢？；．从而得到二倍角公式：注意：1通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；2二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；3对于公式S2α,C2αα∈R ，但公式T2α需满足α≠π和2α≠π∈Z时才成立；4“二倍角〞是一种相对的数量关系如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，是的二倍，-α是-的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式。
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二倍角的三角函数
一.教学目标：
1.知识与技能
（1）能够由和角公式而导出倍角公式；
（2）能较熟练地运用公式进行化简、求值、证明，增强学生灵活运用数学知识和逻辑推理能力；
（3）能推导和理解半角公式；
（4）揭示知识背景，引发学生学习兴趣，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识. 并培养学生综合分析能力.
2.过程与方法
让学生自己由和角公式而导出倍角公式和半角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.
3.情感态度价值观
通过本节的学习，使同学们对三角函数各个公式之间有一个全新的认识；理解掌握三角函数各个公式的各种变形，增强学生灵活运用数学知识、逻辑推理能力和综合分析能力.提高逆用思维的能力. 二.教学重、难点
重点:倍角公式的应用. 难点:公式的推导. 三.学法与教学用具
学法：(1)自主+探究性学习：让学生自己由和角公式导出倍角公式，领会从一般化归为特殊的数学思想，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。
(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距. 教学用具:电脑、投影机. 四.教学设想
【探究新知】
1、复习两角和与差的正弦、余弦、正切公式：
2、提出问题：公式中如果β=α，公式会变得如何？
3、让学生板演得下述二倍角公式：
α-=-α=α-α=αα
α=α2222sin 211cos 2sin cos 2cos cos sin 22sin
α
αα2tan 1tan 22tan -=
[展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？
注意：1．每个公式的特点，嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：4α是8
α
的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次） 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形： 2
2cos 1sin ,2
2cos 1cos 22
α
-=
αα
+=
α 这两个形式今后常用. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例1.（公式巩固性练习）求值： ①．sin2230’cos2230’=
4
2
45sin 21=
②．=-π18cos
22
2
2
4cos =π ③．=π-π8cos 8sin
22
2
24cos -=π- ④．=ππππ12cos 24cos 48cos 48sin
82
16sin 12cos 12sin 212cos 24cos 24sin 4=π=ππ=πππ 例2.化简 ①．=π-ππ+π)125cos 125)(sin 125cos 125(sin
2365cos 125cos 125sin 22=π-=π-π ②．=α-α2sin 2cos
44
α=α
-αα+αcos )2
sin 2)(cos 2sin 2(cos 2222 ③．
=α+-α-tan 11tan 11α=α
-α
2tan tan 1tan 22
④．=θ-θ+2cos cos 212
21cos 2cos 212
2
=+θ-θ+
例3、已知),2(,135sin ππ
∈α=
α，求，，的值。
解：∵),2(,135sin ππ∈α=α ∴13
12sin 1cos 2-=α--=α
∴sin2 = 2sin
cos = 169
120
-
cos2 = 169
119
sin 212
=α- tan2 = 119
120
-
[展示投影]思考：你能否有办法用sin 、cos 和tan 表示多倍角的正弦、余弦和正切函数？你的思路、方法和步骤是什么？试用sin 、cos 和tan 分别表示sin3，cos3，tan3.
[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）
例
20
sin 80cos 40cos 20cos 20sin
20sin 80cos 40cos 40sin 21
= 8120
sin 160sin 8120sin 80cos 80sin 41
===
例5.求函数x x x y sin cos cos 2+=的值域.
解：2
1
)42sin(222sin 2122cos 1+π+=++=
x x x y ————降次 [展示投影]学生练习： 教材P 123练习第1、2、3题
[展示投影]思考（学生思考，学生做，教师适当提示）
你能够证明：α
+α-=αα+=αα-=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
222
证：在 α-=α2
sin 212cos 中，以代，2
α代即得：
2sin 21cos 2α-=α ∴2
cos 12sin 2α-=α
在 1cos 22cos 2
-α=α 中，以代，2
α代即得：
12
cos 2cos 2-α=α ∴2cos 12cos 2α+=α 以上结果相除得：α
+α-=αcos 1cos 12tan 2 [展示投影]这组公式有何特点？应注意些什么？ 注意：
左边是平方形式，只要知道
2
α
角终边所在象限，就可以开平方。
公式的“本质”是用角的余弦表示
2
α
角的正弦、余弦、正切
上述公式称之谓半角公式（课标规定这套公式不必记忆）
α
+α
-±
=αα+±=αα-±=αcos 1cos 12tan ,2cos 12cos ,2cos 12sin
还有一个有用的公式：α
α
-=α+α=αsin cos 1cos 1sin 2tan
（课后自己证） [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充） 例6.已知cos 257=α，求2
tan ,2cos ,2sin α
αα的值. 例7.求cos
8
π
的值. 例8.已知sin 54-=α，)23,
(ππα∈，求2
tan ,2cos ,2sin α
αα的值. [展示投影]练习 教材P 125练习第1、2、3题. [学习小结]
1．公式的特点要嘱记：尤其是“倍角”的意义是相对的，如：
4α是8
α
的倍角. 2．熟悉“倍角”与“二次”的关系（升角——降次，降角——升次）. 3．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形：
22cos 1sin ,2
2cos 1cos 22
α
-=
αα
+=
α 这两个形式今后常用. 4.半角公式左边是平方形式，只要知道2
α
角终边所在象限，就可以开平方；公式的“本质”
是用角的余弦表示2
α
角的正弦、余弦、正切.
5．注意公式的结构，尤其是符号. 五、评价设计 六、课后反思：。