中考数学第一轮复习(第18课三角形和等腰三角形)学案
中学中考数学第一轮复习导学案-等腰三角形与直角三角形
等腰三角形与直角三角形◆课前热身1.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．342.如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高 AD ＝8， 则边BC 的长为（ ）A ．21B ．15C ．6D ．以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º，腰长为4 cm ，则其腰上的高为 cm ．4.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．【参考答案】 1. B 2. A 3.4.33ACD B第2题图AD CPB第1题图 60°◆考点聚焦等腰三角线1．等腰三角形的判定与性质．2．等边三角形的判定与性质．3．运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题．直角三角形1．运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题．2．运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形．3．折叠问题．4．将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用．◆备考兵法等腰三角线1．运用三角形不等关系，•结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、边、角的计算问题，并要注意分类讨论．2．要正确辨析等腰三角形的判定与性质．3．能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题．直角三角形1．正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数．2．在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）•来解决问题，实现几何问题代数化．3．在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°，45°，60°）．若有，则应运用一些相关的特殊性质解题．4．在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时，•常常通过作高转化为直角三角形来解决．5．折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路．◆考点链接一．等腰三角形的性质与判定：1. 等腰三角形的两底角__________；2. 等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______，三线合一；3. 有两个角相等的三角形是_________． 二．等边三角形的性质与判定：1. 等边三角形每个角都等于_______，同样具有“三线合一”的性质；2. 三个角相等的三角形是________，三边相等的三角形是_______，一个角等于60°的_______三角形是等边三角形． 三．直角三角形的性质与判定： 1. 直角三角形两锐角________．2. 直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________．3. 直角三角形中，斜边的中线等于斜边的______．；4. 勾股定理：_________________________________________．5. 勾股定理的逆定理：_________________________________________________． ◆典例精析例1（湖北襄樊）在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点P 在BA 上时，BP ＝t ，AP ＝12-t ，2（t+3）＝12-t+12+3，解得t ＝7；②当点P 在AC 上时， PC ＝24-t ，t+3＝2（24-t+3），解得t ＝17，故填7或17.例2（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．【答案】（2+23）米．【解析】掌握30°所对的直角边等于斜边的一半，即可求解.BC A30°例3（四川乐山）如图，AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB等于（）A．513B．1213C．35D．45【答案】 A【解析】由AD⊥DC，知△ADC为直角三角形．由勾股定理得：AC2=AD2+DC2=32+42=5，AC=5，在△ACB中，∵AB2=169，BC2+AC2=52+122=169，∴AB2=BC2+AC2．由勾股定理的逆定理知：△ABC是直角三角形．∴sinB=ACAB=513．例4（安徽）已知点O到△ABC的两边AB，AC所在直线的距离相等，且OB=OC．（1）如图1，若点O在BC上，求证：AB=AC；（2）如图2，若点O在△ABC的内部，求证：AB=AC；（3）若点O在△ABC的外部，AB=AC成立吗？请画图表示．图1 图2解析（1）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂尺，由题意知，OE=OF，又OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFC．∴∠B=∠C．∴AC=AB．（2）过点O作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足．由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OF，OB=OC．∴Rt△OEB≌Rt△OFE．∴∠OBE=∠OCF．又OB=OC．∴∠OBC=∠OCB．∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB．（3）不一定成立．当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC，否则AB≠AC，•如示例图．成立不成立【点拨】本例从O点的特殊位置（BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点O在△ABC内，点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力．◆迎考精练一、选择题1.(四川达州)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（）A．13 B．26 C．47 D．942.（甘肃白银）如图，⊙O的弦AB＝6，M是AB上任意一点，且OM最小值为4，则⊙O的半径为（）A．5 B．4 C．3 D．2 3.（山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（）A．12B．14C．15D．1104.（浙江嘉兴）如图，等腰△ABC 中，底边a BC =，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设215-=k ， 则DE ＝（ ）A ．a k 2B ．a k 3C ．2k a D ．3k a5.（湖北恩施）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20， 点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A．．25 C．5 D ．35 6.（浙江宁波）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.（山东威海）如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ）A ．20B ．30C ．35D ．408.（湖北襄樊）如图，已知直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒二、填空题1.（四川泸州）如图，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则AF BCDEBADCADC EB 第4题图CA 1＝ ，=5554C A A C2.(四川内江)已知Rt △ABC 的周长是344+，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝___.3.（四川宜宾）已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．第12题图4.（湖南长沙）如图，等腰ABC △中，A B A C =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．三、解答题1.（河南）如图所示，∠BAC ＝∠ABD ,AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明．2.（浙江绍兴）如图，在ABC △中，40AB AC BAC =∠=，°，分别以AB AC ，为边作AC DB两个等腰直角三角形ABD 和ACE ，使90BAD CAE ∠=∠=°．（1）求DBC ∠的度数；（2）求证：BD CE =．3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧，50km AB A =，、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ，向A 、B 两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP 与直线X 垂直，垂足为P ），P 到A 、B 的距离之和1S PA PB =+，图（2）是方案二的示意图（点A 关于直线X 的对称点是A '，连接BA '交直线X 于点P ），P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+．（1）求1S 、2S ，并比较它们的大小； （2）请你说明2S PA PB =+的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B 到直线Y 的距离为30km ，请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ，使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.（广东中山）如图所示，ABC △是等边三角形， D 点是AC 的中点，延长BC 到E ，使CE CD =，（1）用尺规作图的方法，过D 点作DM BE ⊥，垂足是M （不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：BM EM =．【参考答案】 选择题P图（1）图（3）图（2）1. C2. A3. C4. A5. B6. B7. B 8. B【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，故选B 填空题 1.512，452. 83.29 4. 4 解答题1. OE ⊥AB ．证明：在△BAC 和△ABD 中，AC BD BAC ABD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAC ≌△ABD ．∴∠OBA =∠OAB , ∴OA =OB ． 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．2. 解：（1）ΔABD 是等腰直角三角形，90∠=°BAD ， ∴∠ABD ＝45°,AB ＝AC, ∴∠ABC ＝70°,∴∠CBD ＝70°+45°＝115°．证明：(2)AB ＝AC,90BAD CAE ∠=∠=°,AD ＝AE,∴ΔBAD ≌ΔCAE,∴BD ＝CE ．3. 解:⑴图（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40∴ BP ＝24022=+BC CPS 1＝10240+⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50， 又BC ＝40∴BA'＝4110504022=+由轴对称知：PA ＝PA'∴S 2＝BA'＝4110∴1S ﹥2S(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B∴S 2＝BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'，连接A'B',交X 轴于点P, 交Y 轴于点Q,则P,Q 即为所求过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G,A'B'＝5505010022=+ ∴所求四边形的周长为55050+4. 解：（1）作图见下图，（2） ABC △是等边三角形，D 是AC 的中点， BD ∴平分ABC ∠（三线合一），2ABC DBE ∴∠=∠．CE CD = ，CED CDE ∴∠=∠．又ACB CED CDE ∠=∠+∠ ，2ACB E ∴∠=∠．又ABC ACB ∠=∠ ，22DBC E ∴∠=∠，DBC E ∴∠=∠，BD DE ∴=．又DM BE ⊥ ，BM EM ∴=．AC B DEM。
最新备考中考数学一轮专题复习学案18 三角形
备考中考数学一轮专题复习学案18三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形．2.三角形中的主要线段：(1)三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它对边中点所得到的线段，叫做三角形这边上的中线．(2)三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，连接这个顶点和垂足的线段，叫做三角形这边上的高线（简称三角形的高）．(3)三角形的角平分线：连接三角形的一个顶点和这个角的平分线与对边交点的线段，叫做三角形的角平分线．(4)三角形中的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.3.三角形的边之间关系：(1)三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.推论：三角形的两边之差小于第三边.(2)三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围.③证明线段不等关系.【温馨提示】三角形的三边关系是判断三条线段能否构成三角形的依据，并且还可以利用三边关系列出不等式求某些量的取值范围. 4.三角形的角之间关系：(1)三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余.②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和.③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.(2)三角形的外角和等于360°；5.三角形的边与角之间的关系：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角.6.三角形的分类：按边分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩三边都不相等的三角形底边和腰不相等的三角形等腰三角形等边三角形三角形按角分：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形【例1】（2019·石家庄新华区质量检测）将一幅三角尺按图示的方式摆放(两条直角边在同一条直线上，且两锐角顶点重合)，连接另外两条锐角顶点，并测得∠1＝47°，则∠2的度数为( )A. 60°B. 58°C. 45°D. 43°【答案】B ．【解答】如下图，∵∠3＝180°－60°－45°＝75°，∴∠2＝180°－∠1－∠3＝58°. 故选B ．典型例题【例2】（2019·扬州）已知n 是正整数，若一个三角形的3边长分别是n ＋2、n ＋8、3n ，则满足条件的n 的值有( )A. 4个B. 5个C. 6个D. 7个【答案】D ．【解答】由三角形两边之和大于第三边可得：⎩⎪⎨⎪⎧（n ＋2）＋（n ＋8）>3n （n ＋2）＋3n >n ＋8（n ＋8）＋3n >n ＋2，解得2<n <10，∵n 是正整数，∴n ＝3，4，5，6，7，8，9，故选D.【例3】（2019·青岛）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F .若∠ABC ＝35°，∠C ＝50°，则∠CDE 的度数为( )A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°【答案】C ．【解答】如下图，∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝35°，∴∠1＝∠2＝17.5°.∵AE ⊥BD ，∴BF 为AE 边上的中线，∴AD ＝DE ，∠5＝90°－∠1＝72.5°.∴∠3＝∠4.∴∠CDE ＝2∠3.∵∠C ＝50°，∴∠BAC ＝95°.∴∠3＝∠BAC －∠5＝22.5°.∴∠CDE ＝2∠3＝45°.故选C ．知识点2：全等三角形知识点梳理1.全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形．2.三角形全等的判定：三角形全等的判定定理：（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）.直角三角形全等的判定：对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，除了有一般三角形全等的判定方法，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．典型例题【例4】（2019·衡水故城县期末）如图，△ABC ≌△DEC ，点E 在线段AB 上，若∠AED ＋∠BCE ＝52°，则∠ACD 的度数为（ ）A. 25°B. 26°C. 27°D. 28°【答案】B ．【解答】∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ABC ＝∠DEC ，∠ACB ＝∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE .∵∠AED ＋∠DEC ＋∠CEB ＝180°，∠CEB ＋∠ABC ＋∠BCE ＝180°，∴∠AED ＝∠BCE .∵∠AED ＋∠BCE ＝52°，∴∠AED ＝∠BCE ＝12×52°＝26°.∴∠ACD ＝∠BCE ＝26°． 1.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角） 推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边.即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合.21教育名师原创作品推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°.知识点梳理知识点3： 等腰三角形（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）.③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A =180°—2∠B ，∠B =∠C =2180A ∠-︒ 2.等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.3.等边三角形：(1)定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.(2)性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.(3)判定:三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.【例5】（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－8x＋15＝0的一根，则此三角形的周长是（）A. 16B. 12C. 14D. 12或16【答案】A．【解析】方程x2－8x＋15＝0的两个根为3，5.但长度为3，3，6的三条线段不能构成三角形，故该三角形的三边为5，5，6，即周长为16.故答案为A．1.直角三角形定义:有一个角是直角的三角形叫作直角三角形2. 直角三角形的性质:（1）直角三角形两锐角互余.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.3. 直角三角形的判定：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形.（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.4.勾股定理及逆定理：（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c 的平方，即：a2+b2=c2;（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.【例6】（2019·重庆市12/26）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′与AB 交于点E，连结AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC′的距离为（）A33B3217D13【答案】B．【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝3DM3，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长．【解答】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'典型例题于点H，∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点，∴DC＝AD＝2，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M，∴AD＝AC′＝DC'＝2，∴△ADC'为等边三角形，∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°，∵DC＝DC'，∴∠DCC'＝∠DC'C＝12×60°＝30°，在Rt△C'DM中，∠DC'C＝30°，DC'＝2，∴DM＝1，C'M∴BM＝BD﹣DM＝3﹣1＝2，在Rt△BMC'中，BC'，∵S△BDC'＝12BC'•DH＝12BD•CM，DH＝3，∴DH故选：B．1．(2019·荆门)将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，使得它们的直角边互相垂直，则∠1的度数是( )A. 95°B. 100°C. 105°D. 110°2.(2019·石家庄藁城区模拟)李老师布置了一道作图作业：“将一条12cm的线段分成三段，然后用这三条线段为边作一个三角形．”下面是四个同学分线段的结果：小李：5cm，5cm，2cm；小王：3cm，4cm，5cm；小赵：3cm，3cm，6cm；小张：4cm，4cm，4cm.其中，分法不正确的是( )A．小李B．小王C．小赵D．小张3. (2019·杭州)在△ABC中，若一个内角等于另两个内角的差，则( )A. 必有一个内角等于30°B. 必有一个内角等于45°C. 必有一个内角等于60°D. 必有一个内角等于90°4. (2019·眉山)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，∠巩固训练B＝30°，∠ADC＝70°，则∠C的度数是( )A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°5. (2019·张家界)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝13 AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于( )A. 4B. 3C. 2D. 16. (2018·邯郸二模)三个全等三角形按如图所示的形式摆放，则∠1＋∠2＋∠3的度数是( )A. 90°B. 120°C. 135°D. 180°7. （2019·河北中考说明）如图，在△ABC中，已知∠C＝90°，AC ＝60 cm，AB＝100cm，a，b，c，…，是在△ABC内部的矩形，它们的一个顶点在AB上，一组对边分别在AC上或与AC平行，另一组对边分别在BC上或与BC平行．若各矩形在AC上的边长相等，矩形a的一边长是72 cm，则这样的矩形a，b，c，…的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 98. （2018·包头）如图，在△ABC中，AB＝AC，△ADE的顶点D，E 分别在BC，AC上，且∠DAE＝90°，AD＝AE.若∠C＋∠BAC＝145°，则∠EDC的度数为（）A．17.5°B．12.5°C．12°D．10°9. （2018·陕西）如图，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为D，∠ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为( )A. 423B. 2 2C.823D.3 210.（2019·呼和浩特）下面三个命题①底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等；②两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等；③斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全等，其中正确的命题序号为________．11. （2019·怀化）若等腰三角形的一个底角为72°，则这个等腰三角形的顶角为________．12. （2019·株洲）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB ＝________．13. （2019·成都）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为________．14. （2019·甘肃）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝________．15. （2019·盐城）如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．16.（2019·通辽15/26）腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为．17.（2019·北京市12/28）如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°（点A，B，P是网格线交点）．18.(2019·杭州)如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC.(1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B；(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ.若∠AQC＝3∠B，求∠B的度数．19.（2019·兰州）如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E.求证：AC∥DF.20.（2019·无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在AB、AC上，BD＝CE，BE、CD相交于点O，求证：（1）△DBC≌△ECB；（2）OB＝OC.21. （2019·温州）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）当AD⊥BC，AE＝1，CF＝2时，求AC的长．22.（2019·石家庄十八县联考二）如图，直线a∥b，点M，N分别为直线a和直线b上的点，连接M，N，∠1＝70°，点P是线段MN 上一动点，直线DE始终经过点P，且与直线a，b分别交于点D，E，设∠NPE＝α.(1)证明：△MPD∽△NPE；(2)当△MPD与△NPE全等时，直接写出点P的位置；(3)当△NPE是等腰三角形时，求α的值．1．【答案】C.【解析】如下图，可得∠3＝∠2＝45°，∠4＝60°，∴∠1＝45°＋60°＝105°.2．【答案】C.【解析】∵3＋3＝6，不满足三角形两边之和大于第三边∴长为3 cm，巩固训练参考答案3 cm ，6 cm 的三条线段不能作一个三角形，故选C.3．【答案】D.【解析】设这三个内角分别为∠A ，∠B ，∠C ，则∠A ＝∠B －∠C ，移项得∠A ＋∠C ＝∠B ，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴2∠B ＝180°，即∠B ＝90°.4．【答案】C.【解析】∵∠B ＝30°，∠ADC ＝70°，∴∠BAD ＝∠ADC －∠B ＝70°－30°＝40°.∵AD 平分∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAD ＝40°.∴∠C ＝180°－∠ADC －∠DAC ＝180°－70°－40°＝70°.5．【答案】C.【解析】如下图，过点D 作DE ⊥AB 于点E .∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC .∵AC ＝8，∴DC ＝14×8＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD .又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2，故选C .6．【答案】D.【解析】如下图，由图形可得∠1＋∠4＋∠5＋∠8＋∠6＋∠2＋∠3＋∠9＋∠7＝540°，∵三个三角形全等，∴∠4＋∠6＋∠9＝180°.又∵∠5＋∠7＋∠8＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝540°－180°－180°＝180°.7．【答案】D.【解析】如下图．易证△BDE≌△EFG≌△GKH≌△HL M，可得BD＝EF ＝GK＝HL＝BC－DC＝1002－602－72＝8 cm，根据此规律，共有80÷8－1＝9个这样的矩形．8．【答案】D.【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵∠C＋∠BAC＝145°，∴∠B＝180°－(∠C＋∠BAC)＝180°－145°＝35°.∴∠C＝35°.∵∠DAE＝90°，∴∠ADC＝55°.∵AD＝AE，∴∠ADE＝45°.∴∠EDC＝∠ADC－∠ADE＝55°－45°＝10°.9．【答案】C.【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ACD中，∵∠C＝45°，AC＝8，∴AD＝AC·sin45°＝8×22＝4 2.∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝90°－60°＝30°.∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE＝30°.∴∠BAD＝∠ABE，∴AE＝BE，在Rt△BDE中，∵∠DBE＝30°.∴DE＝1 2 BE＝12AE .∵AE ＋DE ＝AD ，∴AE ＋12AE ＝4 2.∴AE ＝823.10．【答案】①②. 【解析】命题①顶角相等的等腰三角形则三角都相等，若有底边相等则两三角形全等；命题②如解图所示，若AB ＝EF ，BC ＝FG ，AH 、EI 分别为BC 、FG 边上的中线，则有△ABH ≌△EFI ，即有∠B ＝∠F ，即有△ABC ≌△EFG ；命题③错误．11．【答案】36°.【解析】这个等腰三角形的顶角为180°－2×72°＝36°.12．【答案】4.【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CM B 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2.∴AB ＝2MC ＝4.13．【答案】9.【解析】∵在△ABC 中，AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .∵∠BAD ＝∠CAE ，∴△BAD ≌△CAE .∴CE ＝BD ＝9.14．【答案】85或14. 【解析】当∠A 为顶角时，则底角∠B ＝∠C ＝12(180°－∠A )＝50°，此时的特征值k ＝80°50°＝85；当∠A 为底角时，则顶角(∠B 或∠C )＝180°－2∠A ＝20°，此时的特征值k ＝20°80°＝14.故答案为85或14. 15．【答案】2.【解析】如下图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x .∴AB ＝2AC ＝2x .在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.16．【答案】6或25或45．【解析】解：①如图1：当AB ＝AC ＝5，AD ＝4，则BD ＝CD ＝3，∴底边长为6；②如图2：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD＝3，∴BD＝2，∴BC＝22+＝25，24∴此时底边长为25；③如图3：当AB＝AC＝5，CD＝4时，则AD22-3，AC CD∴BD＝8，∴BC＝45∴此时底边长为45故答案为：6或5517．【答案】45．【解析】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB ＝∠PAB +∠PBA ＝45°，故答案为：45．18．【解答】(1)证明：∵点P 在AB 的垂直平分线上，∴PA ＝PB .∴∠PAB ＝∠B .∴∠APC ＝∠PAB ＋∠B ＝2∠B ；(2)解：根据题意得BQ ＝BA ，∴∠BAQ ＝∠BQA ，设∠B ＝x ，∴∠AQC ＝∠B ＋∠BAQ ＝3x ，∴∠BAQ ＝∠BQA ＝2x ，在△ABQ 中，x ＋2x ＋2x ＝180°，解得x ＝36°，即∠B ＝36°.19．【解答】证明：∵BF ＝EC ，∴BF ＋FC ＝EC ＋CF ，即BC ＝EF .在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ∠B ＝∠E ，BC ＝EF∴△ABC ≌△DEF (SAS)．∴∠ACB ＝∠DFE .∴AC ∥DF .20．【解答】 (1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠DBC ＝∠ECB .∵BD ＝CE ，BC ＝BC ,∴△DBC ≌△ECB (SAS)；(2)解：∵△DBC ≌△ECB ，∴∠EBC ＝∠DCB .∴OB ＝OC .21．【解答】(1)证明：∵CF ∥AB ，∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F .∵AD 是BC 边上的中线，∴BD ＝CD .在△BDE 与△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCD ∠BED ＝∠CFD ，BD ＝CD∴△BDE ≌△CDF (AAS )；(2)解：∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2.∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3.∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴△ABC 为等腰三角形．∴AC ＝AB ＝3.22．【解答】(1)证明：∵a ∥b ，∴∠1＝∠PNE .又∵∠MPD ＝∠NPE ＝α，∴△MPD ∽△NPE ；(2)解：当△MPD 与△NPE 全等时，点P 是MN 的中点；(3)解：①当PN ＝PE 时，∠PNE ＝∠PEN ＝70°.∴α＝180°－∠PNE －∠PEN ＝180°－70°－70°＝40°. ∴α＝40°；②当EP ＝EN 时，α＝∠PNE ＝∠1＝70°；③当NP ＝NE 时，α＝∠PEN ＝180°－∠PNE 2＝180－∠12＝180°－70°2＝55°. 综上所述：α的值为40°或70°或55°.。
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形
中考一轮复习教案：等腰三角形与直角三角形一、教学目标1、学生能够掌握等腰三角形和直角三角形的定义、性质和判定定理。
2、能够运用等腰三角形和直角三角形的相关知识解决简单的几何问题。
3、培养学生的逻辑推理能力和空间想象能力。
二、教学重难点1、重点（1）等腰三角形的性质和判定。
（2）直角三角形的性质和判定。
2、难点（1）等腰三角形和直角三角形的综合应用。
（2）运用相关定理进行推理和证明。
三、教学方法讲授法、练习法、讨论法四、教学过程（一）知识回顾1、等腰三角形的定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
2、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两腰相等。
（2）等腰三角形的两底角相等（简写成“等边对等角”）。
（3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）。
3、等腰三角形的判定（1）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
（2）有两条边相等的三角形是等腰三角形。
4、直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
5、直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（3）直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。
6、直角三角形的判定（1）如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a²＋ b²＝ c²，那么这个三角形是直角三角形。
（2）如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（二）例题讲解例1：已知等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个内角的度数。
解：分情况讨论：（1）当70°角为顶角时，底角的度数为：（180°70°）÷2 ＝55°，所以另外两个内角的度数分别为 55°，55°。
2020宁夏中考数学一轮复习课件 第18讲等腰三角形与直角三角形
5.(2019·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A=60°，点E 为AD边上一点，连接BD、CE，CE与BD交于点F，且CE∥AB，若AB=8， CE=6，则BC的长为______.
6.(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE 平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F. (1)若∠C=36°，求∠BAD的度数； (2)求证：FB=FE.
［解析］过点A作AD⊥BC于点D(或延长线于D)，根据含30度角的直角三角形 的性质得到AD的长，再根据勾股定理得到BD，CD的长，再分两种情况： 如图1，当AD在△ABC内部时， 如图2，当AD在△ABC外部时，进行讨论即可求解.
变式训练
9cm，1cm或5cm，5cm
16.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，若一边上的中线长为4，则△ABC的面积 为______________________. 17.如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC的方向平移 m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与点D，E，F对应.若以A，D，E为顶 点的三角形是等腰三角形，则m的值是_____________.
方法指导
在三角形中，证明两条线段相等或两个角相等，常用的方法是： （1）如果线段或角在同一个三角形中，先考虑“等边对等角”“等角对等边” 来证明； （2）如果线段和角不在同一个三角形中，可证明两个三角形全等，或者通过 等腰三角形“三线合一”来解决.
焦点2 直角三角形的性质和判定
样题2 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，交BC于点D， 若CD=1，则BD=2. ［解析］根据角平分线性质求出∠BAD的度数， 根据含30度角的直角三角形性质求出AD即可得BD. ∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°. ∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=30°，∴BD=AD=2CD=2. ［点评］本题考查了对含30度角的直角三角形的性质和角平分线性质的应用， 求出AD的长是解此题的关键.
中考一轮复习第18讲《等腰三角形》讲学案
中考数学一轮复习第18讲《等腰三角形》【考点解析】知识点一、等腰三角形的性质【例1（·贵州安顺·3分）已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A．20或16B．20C．16D．以上答案均不对【分析】根据非负数的意义列出关于x、y的方程并求出x、y的值，再根据x是腰长和底边长两种情况讨论求解．【解答】解：根据题意得，解得，（1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形；（2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20．故选B．【点评】本题考查了等腰三角形的性质、非负数的性质及三角形三边关系；解题主要利用了非负数的性质，分情况讨论求解时要注意利用三角形的三边关系对三边能否组成三角形做出判断．根据题意列出方程是正确解答本题的关键．【变式】（·黑龙江哈尔滨·3分）在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，点P为边BC的三等分点，连接AP，则AP的长为或．【考点】等腰直角三角形．【分析】①如图1根据已知条件得到PB=BC=1，根据勾股定理即可得到结论；②如图2，根据已知条件得到PC=BC=1，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：①如图1，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PB=BC=1，∴CP=2，∴AP==，②如图2，∵∠ACB=90°，AC=BC=3，∵PC=BC=1，∴AP==，综上所述：AP的长为或，故答案为：或．知识点二、等腰三角形的内角的计算【例2】（新疆乌鲁木齐）等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．【答案】120°．【分析】本题主要考虑与这个外角相邻的内角是顶角或是底角，利用内角和定理即可得解. 【解析】等腰三角形一个外角为60°，那相邻的内角为120°，三角形内角和为180°，如果这个内角为底角，内角和将超过180°，所以120°只可能是顶角．故答案为：120°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．【变式】如图，在等腰三角形纸片ABC中，AB=AC，∠A=50°，折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE，则∠CBE= °．【答案】15.【解析】∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ACB=∠ABC=12（180°﹣50°）=65°.∵将△ABC折叠，使点A落在点B处，折痕为DE，∠A=50°，∴∠ABE=∠A=50°.∴∠CBE=∠ABC﹣∠ABE=65°﹣50°=15°．知识点三、等腰三角形的多解问题【例3】（·湖北武汉）平面直角坐标系中，已知A(2，2)、B(4，0)．若在坐标轴上取点C，使△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定；坐标与图形性质【答案】A【解析】构造等腰三角形，①分别以A，B为圆心，以AB的长为半径作圆；②作AB的中垂线．如图，一共有5个C点，注意，与B重合及与AB共线的点要排除。
1.1等腰三角形复习课(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们回顾了等腰三角形的基本概念、性质和判定方法，并通过实践活动和小组讨论加深了对等腰三角形应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调等腰三角形的判定方法和性质这两个重点。对于难点部分，如等腰三角形性质的证明，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题，如等腰三角形在桥梁设计中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用尺子和圆规绘制等腰三角形，并验证其性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“等腰三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（2）等腰三角形的判定方法：掌握两边相等或两角相等的三角形是等腰三角形，以便在复杂图形中识别出等腰三角形。
（3）等腰三角形的周长与面积计算：熟练运用底乘高除以二的方法，以及勾股定理在等腰直角三角形中的应用，求解周长和面积。
（4）实际问题中的应用：将等腰三角形知识应用于解决实际问题，如计算建筑物的高度、设计图案等。
5.培养学生的合作交流与批判性思维，课堂中鼓励学生参与讨论、提问，形成良好的学术氛围，提升学生的团队协作和独立思考能力。
中考数学一轮复习 第四单元 三角形 第18讲 等腰三角形课件
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变式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度数. (1)请你解答(jiědá)以上的变式题; (2)解答(1)后,小敏发现,∠A的度数不同,得到∠B的度数的个数也可能不同,如 果在等腰三角形ABC中,设∠A=x°,当∠B有三个不同的度数时,请你探索x的
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(2018·绍兴(shào xīnɡ))数学课上,张老师举了下面的例题:
例1 等腰三角形ABC中,∠A=110°,求∠B的度数.(答案:35°) 例2 等腰三角形ABC中,∠A=40°,求∠B的度数.(答案:40°或70°或100°)
张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下一题:
综上所述,当0<x<90且x≠60时,∠B有三个不同的度数.
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内容 总结 (nèiróng)
第18讲 等腰三角形。以学生熟悉的一副三角板为背景结合中点和垂线求线段的长度,看似简单实 则不易(bù yì),是考查能力的一道好题.。①当点C在线段OB上时,如图1,。②当点C在线段OB的延长线上时,如图2,。错误鉴定
或5
25
2
或
试真题·练易
命题(mìng tí)点 等腰三角形的性质
1.(2016·山西,15,3分)如图,已知点C为线段(xiànduàn)AB的中点,CD⊥AB且CD=AB=4,连 接AD,BE⊥AB,AE是∠DAB的平分线,与DC相交于点F,EH⊥DC于点G,交AD 于点H,则HG的长为3- .5
A.2 cm2 B.3 cm2 C.4 cm2 D.5 cm2
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2022年中考数学一轮复习学案-第18课时 三角形基础知识
第18课时 三角形基础知识学习目标掌握三角形中边、角及相关线段的概念，正确运用相关性质和判定解决问题. 一．小题唤醒1.如图，过△ABC 的顶点B ，作AC 边上的高，以下作法正确的是（ ）.2. 已知三角形其中两边长为4=a ,7=b ，则第三边c 的长度可以是 .3． 如图，方格中的点A 、B 、C 、D 、E 称为“格点”，以这5个格点中的任意3点为顶点，一共可以画 个三角形，其中 是直角三角形， 钝角三角形， 锐角三角形， 是等腰三角形.4．等腰三角形的一边长为3㎝，另一边长是5㎝，则它的第三边长为 . 5．在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝60°，点D 在BC 的延长线上，则∠ACD ＝ 度.6 . 如图在△ABC 中AD 是角平分线BE 是中线，∠BAD =400则∠CAD = 若AC =6cm 则AE = . 一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为 ，一个多边形的每一个内角是144，则它是 边形. 二．体系建构EDCB三．典型例题例1．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC =63°．求∠DAC 的度数．例2.如图，P 是等边三角形ABC 内的一点，连结P A 、PB 、PC ，•以BP 为边作∠PBQ =60°，且BQ =BP ，连结CQ ．（1）观察并猜想AP 与CQ 之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若P A ：PB ：PC =3：4：5，连结PQ ，试判断△PQC 的形状，并说明理由．例3．如图，∠ABC =90°，D 、E 分别在BC 、AC 上，AD ⊥DE ，且AD =D E ，点F 是AE 的中点，FD 与AB 相交于点M ．（1）求证：∠FMC =∠FCM ；（2）AD 与MC 垂直吗？并说明理由．4321D CB A四．当堂训练*1. 已知一个三角形三个内角度数的比是1:5:6，则其最大内角度数为 .*2．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF .若∠A ＝60°,∠ABD ＝24°,则∠ACF 的度数为 .*3．在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC ＝42°, ∠A ＝60°,则∠BFC ＝ .*4．已知三角形的两边长分别为3、4，则第三边x 的取值范围是 ；当x = 时，该三角形是直角三角形．*5．等腰△ABC 的周长为21，底边BC = 5，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则△BEC 的周长为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．1 **6.如图，在△ABC 中，∠B ＝63°，∠C ＝51°,AD 是BC 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 的度数.五．课后巩固*1.已知△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 的度数是 .*2.如图，点D 在△ABC 边BC 的延长线上，CE 平分∠ACD ，∠A ＝80°, ∠B ＝40°，则∠ACE 的大小是 度.*3.如图，在△ABC 中，∠B ＝46°，∠C ＝54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，则∠ADE 的大小是 .第2题 第3题**4.如图，AD为△ABC 的中线，BE 为三角形ABD 中线，⑴∠ABE ＝15°，∠BAD ＝35°，求∠BED 的度数；ED ABC第5题⑵在△BED 中作BD 边上的高；⑶若△ABC 的面积为60，BD ＝5，则点E 到BC 边的距离为多少？**5. 如图，△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．（1）求证：AE =CD ：（2）若AC =12cm ，求BD 的长．ED CBA。
第18讲 等腰三角形与直角三角形-2023年中考数学一轮复习备考(考点清单+强化演练+答案)
2023年中考数学一轮复习备考第18讲等腰三角形与直角三角形考点清单考点1 等腰三角形的性质与判定性质(1)两底角相等，即∠B＝∠C(等边对等角)；(2)两腰相等，即AB＝AC；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即AD所在的直线；(4)“三线合一”(即顶角的①、底边上的中线和底边上的高互相重合)判定(1)两边相等的三角形是等腰三角形；(2)②相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)周长、面积周长：C＝a＋2b；面积：S＝③(其中a是底边长，b是腰长，h是底边上的高)【易错警示】等腰三角形中的分类讨论：(1)当顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验；(2)当腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验．考点2 等边三角形的性质与判定性质(1)等边三角形的三条边相等，即AB＝BC＝AC；(2)等边三角形的三个内角相等且每一个角都等于④，即∠B＝∠C＝∠BAC＝60°；(3)等边三角形是轴对称图形，有⑤条对称轴；(4)等边三角形“三线合一”；(5)等边三角形的内心、外心重合判定(1)三条边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是⑥的等腰三角形是等边三角形周长、面积周长：C＝3a；面积：S＝12ah＝34a2(h＝32a)(其中a是边长，h是任一边上的高)考点3 直角三角形的性质与判定性质(1)两锐角之和等于90°，即∠A＋∠B＝90°；(2)斜边上的中线等于斜边的⑦；(3)30°角所对的直角边等于斜边的⑧；(4)勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么⑨；【拓展】在直角三角形中，如果一条直角边长等于斜边长的一半，那么这条直角边所对的锐角等于⑩；外接圆半径R＝c2，内切圆半径r＝12(a＋b－c)判定(1)有一个角为⑪的三角形是直角三角形；(2)有两个角互余的三角形是直角三角形；(3)勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑫，那么这个三角形是直角三角形；【拓展】一条边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形周长、面积周长：C＝a＋b＋c；面积：S△ABC＝12ab＝12ch(其中a，b分别为两个直角边长，c为斜边长，h为斜边上的高)考点4 等腰直角三角形的性质与判定性质(1)两直角边相等，即AC＝BC；(2)两锐角相等且都等于45°；(3)是轴对称图形，有一条对称轴，即CD所在的直线；(4)“三线合一”判定(1)顶角为⑬的等腰三角形是等腰直角三角形；(2)有两个角为⑭的三角形是等腰直角三角形；(3)有一个角为⑮的直角三角形是等腰直角三角形；(4)两直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形周长、面积 周长：C ＝2a ＋c ；面积：S ＝12a 2＝12ch ＝22ah (其中a 为直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高)强 化 演 练基础练1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 作 CD ⊥AB ，垂足为D ，E 为BC 的中点，AE 与CD 交于点F .若DF 的长为23，则AE 的长为( )A ．2B ．2C ．5D ．2 52．已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 满足2a －3b ＋5＋(2a ＋3b －13)2＝0，则此等腰三角形的周长为( )A ．8B ．6或8C ．7D ．7或83．如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，AD ⊥AC 交BC 于点D ，则AD 的值为( )A ．125B ．154C ．5D ．2034．如图，AD 是等边三角形ABC 的中线，AE ＝AD ，则∠EDC 的度数为( )A ．30°B ．20°C ．25°D ．15°5．如图是“人字形”钢架，其中斜梁AB ＝AC ，顶角∠BAC ＝120°，跨度BC ＝10 m ，AD 为支柱(即底边BC 上的中线)，两根支撑架DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则DE ＋DF 等于( )A ．10 mB ．5 mC ．2.5 mD ．9.5 m6．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，由图中的尺规作图痕迹得到的射线BD 与AC 交于点E ，点F 为BC 的中点，连接EF .若BE ＝AC ＝2，则△CEF 的周长为( )A ．3＋1B ．5＋3C ．5＋1D ．47．如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C , 使得△ABC 是等腰直角三角形，满足条件的格点C 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，在△ABC 中AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 作AH ⊥BC 于点H ，交DE 于点F .若∠C ＝40°，则∠AFE 的度数为( )A ．60°B ．65°C ．75°D ．80°9．如图，在△ABC 中，点O 是角平分线AD ，BE 的交点．若AB ＝AC ＝10，BC ＝12，则tan ∠OBD 的值是( )A ．12B ．2C ．63D ．6410．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的中线．若CD ＝2，则AB ＝ .11．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，P 是BC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F .若S △ABC ＝1，则PE ＋PF ＝ .12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AF＝EF.若∠CFE＝72°，则∠B＝.13．如图，EA＝EB＝EC，∠AEB＝70°，则∠ACB＝°.14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于点D，E为垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是 .15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E.已知∠ABC＝60°，∠C ＝45°.(1)求证：AB＝BD；(2)若AE＝3，求△ABC的面积．16．如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至点E，使得CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．强化练17．如图，在等边三角形ABC中，AB＝10，E为AC的中点，点F，G为AB边上的动点，且FG＝5，则EF＋CG的最小值是()A．57 B．5 6 C．53＋5 D．1518．如图，在△ABC中，AD和BE是高，∠ABE＝45°，F是AB的中点，AD与FE，BE分别交于点G，H，∠CBE＝∠BAD.有下列结论：①FD＝FE；②AH＝2CD；③BC·AD＝2AE2；④S△ABC＝4S△ADF.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个提升练19．七巧板是大家熟悉的一种益智类玩具，用七巧板能拼出许多有趣的图案．小聪同学将一个直角边长为20 cm的等腰直角三角形纸板，切割七块，正好制成一副七巧板，则图中阴影部分的面积为cm2.20．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，P是BC上的动点，Q是AC上的动点(Q不与A，C重合)．(1)线段P A的最小值为；(2)当△ABP 为直角三角形，△PCQ 也为直角三角形时，CQ 的长度为 .参 考 答 案考点清单①两角 ②两角 ③12ah ④60° ⑤三 ⑥60° ⑦一半 ⑧一半 ⑨a 2＋b 2＝c 2 ⑩30° ⑪90° ⑫a 2＋b 2＝c 2 ⑬90° ⑭45° ⑮45°强化演练1. C2. D3. B4. D5. B6. C7. B8. C9. A 10. 4 11. 1 12. 54° 13. 35 14. 2 3 15. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ，∠ABC ＝60°，∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°. ∵∠C ＝45°，∴∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ＝75°，∠BAC ＝180°－∠ABC －∠C ＝75°，∴∠BAC ＝∠ADB ，∴AB ＝BD .(2)解：在Rt △ABE 中，∵∠ABC ＝60°，AE ＝3，∴BE ＝AE tan ∠ABC ＝ 3. 在Rt △AEC 中，∵∠C ＝45°，AE ＝3，∴EC ＝AE tan C ＝3，∴BC ＝3＋3，∴S △ABC ＝12BC ·AE ＝9＋332.16. (1)证明：在△ADB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ADB ≌△ADC (SAS)，∴∠B ＝∠ACB .(2)解：在Rt △ADB 中，∵AB ＝5，AD ＝4，∴BD ＝AB 2－AD 2＝52－42＝3，∴BD ＝CD ＝3，AC ＝AB ＝CE ＝5，∴BE ＝2BD ＋CE ＝2×3＋5＝11，DE ＝CD ＋CE ＝8. 在Rt △ADE 中，由勾股定理，得AE ＝AD 2＋DE 2＝42＋82＝45，∴C △ABE ＝AB ＋BE ＋AE ＝5＋11＋45＝16＋45，S △ABE ＝12BE ·AD ＝12×11×4＝22.17. A 18. D 19.25420. (1)3 (2)4.5或4或3。
中考第一轮复习(数学)《三角形和等腰三角形》共16页PPT
60、生活的道路Βιβλιοθήκη 旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
1、不要轻言放弃，否则对不起自己。
2、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
中考第一轮复习（数学）《三角形和等腰 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。 三角形》
2020届中考数学一轮复习三角形与多边形教案等腰三角形
第18讲:三角形与多边形一、复习目标1、掌握三角形三边关系，会运用三角形三边关系解决问题．2、探索并掌握三角形中位线的性质3、了解多边形和正多边形的概念，会运用多边形的内角和、外角和公式解决问题.4、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌．二、课时安排1课时三、复习重难点1、探索并掌握三角形中位线的性质。
2、能运用三角形、四边形进行镶嵌，会判断几种正多边形能否进行镶嵌。
四、教学过程（一）知识梳理三角形概念及其基本元素三角形的分类1．按角分：三角形形⎩⎪⎨⎪⎧直角三角形斜三角形⎩⎪⎨⎪⎧锐角三角形钝角三角形 2．按边分：三角形⎩⎪⎨⎪⎧不等边三角形等腰三角形⎩⎪⎨⎪⎧底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形三角形中的重要线段重要线段交点位置中线三角形的三条中线的交点在三角形的______部角平分线三角形的三条角平分线的交点在三角形的______部高______三角形的三条高的交点在三角形的内部；____三角形的三条高的交点是直角顶点；______三角形的三条高所在直线的交点在三角形的外部三角形的中位线定义连接三角形两边的______的线段叫三角形的中位线定理三角形的中位线______于第三边，并且等于它的______总结(1)一个三角形有三条中位线．(2)三角形的中位线分得三角形两部分的面积比为1∶3三角形的三边关系定理三角形的两边之和____第三边推理三角形的两边之差____第三边三角形的稳定性三条线段组成三角形后，形状无法改变是稳定性的体现三角形的内角和定理及推理三角形的内角和等于________1.三角形的一个外角等于和它________________的和2.三角形的一个外角大于任何一个和它______的内角3.直角三角形的两个锐角________4.三角形的外角和为________在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角；最多有一个钝角，最多有一个直角多边形多边形的定义在同一平面内，不在同一直线上的一些线段__________相接组成的图形叫做多边形多边形的性质内角和n边形内角和____________外角和任意多边形的外角和为360°多边形对角线n边形共有______条对角线不稳定性n边形具有不稳定性(n>3)拓展n边形的内角中最多有________个是锐角正多边形定义各个角________，各条边________的多边形叫正多边形对称性正多边形都是________对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形平面图形的镶嵌定义用______、______完全相同的一种或几种____________进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，就是平面图形的________平面镶嵌的条件在同一顶点的几个角的和等于360°常见形式(1)用同一种正多边形可以镶嵌的只有三种情况：________个正三角形或________个正四边形或________个正六边形(2)用两种正多边形镶嵌①用正三角形和正四边形镶嵌：三个正三角形和________个正四边形；②用正三角形和正六边形镶嵌：用________个正三角形和________个正六边形或者用________个正三角形和________个正六边形；③用正四边形和正八边形镶嵌：用________个正四边形和________个正八边形可以镶嵌常见形式(3)用三种不同的正多边形镶嵌用正三角形、正四边形和正六边形进行镶嵌，设用m块正三角形、n块正方形、k块正六边形，则有60m＋90n＋120k＝360，整理得______________，因为m、n、k为整数，所以m＝______，n＝________，k＝________，即用________块正方形，________块正三角形和________块正六边形可以镶嵌防错提醒能镶嵌平面的关键是几个正多边形在同一个顶点的几个角的和等于360°（二）题型、技巧归纳考点1三角形三边的关系技巧归纳：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形，通常只要两短边之和大于最长的边，这三条线段就能组成三角形．考点2三角形的重要线段的应用技巧归纳：三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题，题目中有中点，就要想到三角形的中位线定理．全套资料联系QQ/微信：1403225658考点3三角形内角与外角的应用技巧归纳：综合运用三角形的内角和定理与外角的性质、角平分线的性质，灵活地运用这些基础知识，合理地推理，可以灵活的解决内外角的关系，得到结论．考点4多边形的内角和与外角和技巧归纳：如果已知n边形的内角和，那么可以求出它的边数n；对于多边形的外角和等于360°，应明确两点：(1)多边形的外角和与边数n无关；(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果．（三）典例精讲例1 若三角形的两边长分别为6 cm、9 cm，则其第三边的长可能为( )A．2 cm B．3 cmC．7 cm D．16 cm[解析] 设第三边的长为x，根据三角形三边关系得9－6＜x＜9＋6，即3 cm＜x＜15 cm，符合条件的只有选项C.例2 如图在△ABC 中， D ，E 分别是边AB 、AC 的中点，BC ＝8，则DE ＝__________。
初三数学等腰三角形导学案
课题：等腰三角形【教学目标】1.通过数学活动，让学生进一步掌握和运用等腰三角形的性质与判定，并能灵活运用其轴对称性解决问题；2.增强对知识的整体认识和思维的灵活性，提高提出问题、分析解决问题的能力．【教学重点】利用等腰三角形的相关知识解决实际问题，培养问题意识；【教学过程】一、知识梳理1．概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形有三边相等的三角形叫做等边三角形2．性质（1）等腰三角形①等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴②等腰三角形的两个底角相等③等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合（2）等边三角形的各角都等于60°.3．判定（1）等腰三角形①有两边相等的三角形叫做等腰三角形②有两个角相等的三角形是等腰三角形（2）等边三角形①有三边相等的三角形叫做等边三角形②有三个角相等的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.二、知识运用例1．（1）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形中，若∠A＝80°，则它的特征值k=.（2）若实数m、n满足等式|m-2|+n-4=0,且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是.例2.如图1，在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过O点作EF∥BC交AB，AC 于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由;变式：如图2所示，若将图1中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其他条件不变，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由;图1图2例3．如图，A、B、C三点的坐标分别为（-3,0），（4,0）（0,4）,M是x轴上一动点，过点M作直线QM⊥x轴,交线段BC与点Q.试探究:在点M运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在,请说明理由.三、跟踪练习1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则底角的度数为.2.如图，等边△ABC中,P,Q是BC边上两点,AP=AQ,∠BAP=20°.①∠AQB=;②求证：BP=CQ。
中考复习：等腰三角形教案
中考复习课题：等腰三角形设计理念：等腰三角形是一类特殊的三角形，因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛。
这节复习课的重点就是等腰三角形的性质、判定以及它的应用。
大纲对此的要求是“掌握等腰三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，并能灵活应用它们进行论证和计算”（“灵活应用”是大纲中“了解、理解、掌握、灵活应用”四个层次中的最高要求）。
在学过等腰三角形的性质和判定后，推理依据增多了，学生所接触到的题目难度也会明显加大，证明思路不再那么简单。
近几年的许多中考题目常以等腰三角形为背景命题，结合四边形、相似形、圆、函数等相关知识点出一些综合性题目和压轴题目，所以要求学生能掌握这部分知识并能灵活应用。
教学目标：1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的有关性质2．熟练运用等腰三角形的性质和判定方法解决有关问题复习重点能灵活运用等腰三角形的性质和判定来解决问题。
复习难点在运用等腰三角形的知识解题时时，体会分类讨论思想。
教学过程：一、课前热身1．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为______。
2．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC ＝_____°。
3．在△ABC中，AB＝AC，D为AC边上一点，且BD＝BC＝AD。
•则∠A 等于（）A．30°B．36°C．45°D．72°二、考点链接（一）等腰三角形的性质与判定：1．性质（1）等腰三角形是轴对称图形，对称轴是__________。
（2）等腰三角形的两腰_________。
（3）等腰三角形的两底角相等，简记为__________。
（4）等腰三角形底边上的______，底边上的________，顶角的_______互相重合，简称为三线合一。
2．判定（1）根据定义：有______相等的三角形是等腰三角形。
（2）有两个角_______相等的三角形是等腰三角形，简记为________。
初三数学一轮复习等腰三角形综合教案(含练习)
Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.5等腰三角形存在§5-1等腰基础如图，在平面直角坐标系中，直线443y x=-+与x 轴、y轴分别交于A，B两点，点C在第二象限．若BC OC OA==，则点C的坐标为（）A.()5,2- B.()2,5-C.()2,2- D.()3,2-如图，在平面直角坐标系中，等边ABC△的BC边在x轴上，其中点()2,0B，()4,0C．将ABC△向左平移，当点A落在直线112y x=+上时，平移的距离是．含45 角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，其中()2,0A-，()0,1B，则直线BC的解析式为．1.如图，在平面直角坐标系中，点()0,4C，射线CE x 轴，直线12y x b=-+交线段OC于点B，交x轴于点A，D是射线CE上一点．若存在点D，使得ABD△恰为等腰直角三角形，则b的值为．等腰性质12Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved. 2.如图，直线24y x =+与x ，y 轴分别交于点A ，B ，以OB 为底边在y 轴右侧作等腰OBC △，将点C 向左平移4个单位，使其对应点'C 恰好落在直线AB 上，则点C 的坐标为（）A.()5,2 B.()4,2C.()3,2 D.()1,2-如图，已知一次函数y ax b =+（a ，b 为常数，0a ≠）的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ，且与反比例函数k y x=（k 为常数，0k ≠）的图象在第二象限内交于点C ，作CD x ⊥轴于点D ，若334OA OD OB ===．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）观察图象直接写出不等式0k ax b x<+≤的解集；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得PBC △是以BC 为一腰的等腰三角形?如果存在，请直接写出P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．定线段为腰3如图，直线3y x =-+与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线2y ax bx c =++过()1,0A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 是抛物线在x 轴下方图形上的动点，过点M 作MN y 轴交直线BC 于点N ，求线段MN 的最大值．（3）在（2）条件下，当MN 取得最大值时，在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使PBN △是以BN 为腰的等腰三角形?若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图，已知直线33y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A ，B 两点的抛物线交x 轴于另一点()3,0C ．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使ABP △是等腰三角形?若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）在抛物线上求一点Q ，使得ACQ △为等腰三角形，并写出Q 点的坐标；（4）除（3）中所求的Q 点外，在抛物线上是否还存在其它的点Q 使得ACQ △为等腰三角形?若存在，请求出一共有几个满足条件的点Q （要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点Q ，请说明理由．4定线段为底如图，经过点()0,6A -的抛物线212y x bx c =++与x 轴相交于()2,0B -，C 两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D 的坐标；（2）求直线AC 所对应的函数关系式；（3）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移()0m m >个单位长度得到新抛物线1y ，若新抛物线1y 的顶点P 在ABC △内，求m 的取值范围．（4）在（3）的结论下，新抛物线1y 上是否存在点Q ，使得QAB △是以AB 为底边的等腰三角形，请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m 的取值范围．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.§5-2等腰综合如图，直线33y x =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，抛物线()22y a x k =-+经过点A ，B ，并与x 轴交于另一点C ，其顶点为P ．（1）求a ，k 的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q ，使ABQ △是以AB为底边的等腰三角形，求Q 点的坐标．（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M ，N ，使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．1如图1，抛物线()20y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0A -，()4,0B 两点，与y 轴交于点C ，且3OC OA =．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE x ⊥轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，过点P 作PF BC ⊥于点F ，试问PDF △的周长是否有最大值?如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将CPD △沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否能成为菱形?如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．Presented by Csuzzy，All Rights Reserved.如图，抛物线2y ax bx c=++经过ABC△的三个顶点，与y轴相交于90,4⎛⎫⎪⎝⎭，点A坐标为()1,2-，点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．（1）求该抛物线的函数关系表达式．（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE x⊥轴，FG y⊥轴，垂足分别为E，G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为t，正方形的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使DMN△是等腰三角形?若存在，求t的值；若不存在请说明理由．2如图，在平面直角坐标系中，抛物线23233y =--与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴与x 轴交于点D ，点()4,E n 在抛物线上．（1）求直线AE 的解析式；（2）点P 为直线CE 下方抛物线上的一点，连接PC ，PE ．当PCE 的面积最大时，连接CD ，CB ，点K 是线段CB 的中点，点M 是CP 上的一点，点N 是CD 上的一点，求KM MN NK ++的最小值；（3）点G 是线段CE 的中点，将抛物线2323333y x x =--沿x 轴正方向平移得到新抛物线y '，y '经过点D ，y '的顶点为点F ．在新抛物线y '的对称轴上，是否存在点Q ，使得FGQ △为等腰三角形?若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.如图，已知抛物线2y x bx c =++图象经过点以()1,0-，()0,3B -，抛物线与x 轴的另一个交点为C ．（1）求这个抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴上有一动点D ，且BCD △为等腰三角形()CB CD ≠，试求点D 的坐标；（3）若点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 也在直线BC 上，且2PQ ，设点P 的横坐标为t ，PMQ △的面积为S ，求出S 与t之间的函数关系式．3已知抛物线2221y x mx m m =-++-（m 是常数）的顶点为P ，直线:1l y x =-．（1）求证点P 在直线l 上；（2）当3m =-时，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，与直线l 的另一个交点为Q ，M 是x 轴下方抛物线上的一点，ACM PAQ ∠=∠（如图），求点M 的坐标；（3）若以抛物线和直线l 的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m 的值．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第5次课同步练习1.如图所示，直线24y x =+与x ，y 轴分别交于A ，B 两点，以OB 为边在y 轴右侧作等边三角形OBC ，将点C 向左平移，使其对应点C '恰好落在直线AB 上，则点C '的坐标为．2.如图，一次函数()0y kx b b =+>与反比例函数m y x=的图象有一个公共点C ．直线l x ⊥轴于点()(),01F a a >，与一次函数和反比例函数的图象分别交于点D ，E ，其中点()0,2A ，点()1,4C ．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若四边形OADE 的面积为S ，求S 与a 之间的关系式，并求22S =时点E 的坐标；（3）当CDE △是以DE 为底的等腰三角形时，求a 的值．3.（2018泰安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点，，交轴于点，在轴上有一点，连接．（1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．Presented by Csuzzy ，All Rights Reserved.第5次课作业1.如图，已知反比例函数k y x =的图象经过()3,A b -，过点A 作AB x ⊥轴于点B ．AOB △的面积为3．（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数1y ax =+的图象经过点A ，并且与x 轴交于点M ，求:AO AM ；（3）以AM 为一边作等边三角形AMP ，求点P 的坐标．2.如图，已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点为()3,0A ，与y 轴的交点为()0,3B ，其顶点为C ，对称轴为1x =．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 为y 轴上的一个动点，当ABM △为等腰三角形时，求点M 的坐标。
2018年数学中考第一轮复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形学案(无答案)
课题：等腰三角形与直角三角形课程标准：1.掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质及判定； 2.理解线段中垂线的性质及判定； 3.应用相关知识解决问题。
教学重点：掌握等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质及判定。
教学难点：应用相关知识解决问题。
二、考点知识精讲：考点（一）等腰三角形、等边三角形的性质与判定例1．(1)如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC ，∠ABC ＝72°，则∠ABD ＝( ) A ．36° B ．54° C ．18° D ．64°(2)若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长是( ) A ．12 B ．9 C ．12或9 D ．9或7（3）如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，D 是BC 的中点．将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，那么线段DE 的长度为________．考点（二）线段的垂直平分线例2（1）如图，在Rt ABC △中， 90=∠B ，ED 是AC 的垂直平分线，交AC 于点D ，交BC 于点E ．已知 10=∠BAE ，则C ∠的度数为（ ）A ． 30 B ． 40 C ． 50 D ． 60(2)如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线交边AB 于D 点，交边AC 于E 点，若△ABC 与△EBC 的周长分别是40cm,24cm ，则AB ＝________cm.(3)如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ，DF 分别是△ABD 和△ACD 的高．得到下面四个结论：①OA ＝OD ；②AD ⊥EF ；③当∠A ＝90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE 2＋DF 2＝AF 2＋DE 2.其中正确的是( ) A ．②③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④ 考点三：直角三角形的性质与判定例3、（1）如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC ＝6 cm 、BC ＝8 cm ，现将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则BE 的长为（2）．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线．若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是________．（3）．如图，有一矩形纸片ABCD ，AB ＝6，AD ＝8，将纸片折叠使AB 落在AD 边上，折痕为AE ，再将△ABE 以BE 为折痕向右折叠，AE 与CD 交于点F ，则 CFCD 的值是（ ）（4）如图，△ABC 中，AB ＝BC ，BE ⊥AC 于点E ，AD ⊥BC 于点D ，∠BAD ＝45°，AD 与BE 交于点F ，连接CF. (1)求证：BF ＝2AE ；(2)若CD ＝2，求AD 的长．A （1）B CD EAAABB B DCE DE CFD⎩⎩实战演练1如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为()A．35°B．45°C．55°D．60°2．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是()A．45°B．54°C．40°D．50°3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD.若BD＝1，则AC的长是()A．2 B．C．4 D．4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝5，则BC的长为5．由于木质衣架没有柔性，在挂置衣服的时候不太方便操作．小敏设计了一种衣架，在使用时能轻易收拢，然后套进衣服后松开即可．如图1，衣架杆OA＝OB＝18cm，若衣架收拢时，∠AOB＝60°，如图2，则此时A，B两点之间的距离是________cm.6．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是________．7．已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为________．8．在△ABC中，AB＝AC，点E，F分别在AB，AC上，AE＝AF，BF与CE相交于点P.求证：PB＝PC，并直接写出图中其他相等的线段9．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米．10．如图，ACD△和BCE△都是等腰直角三角形，90ACD BCE AE∠=∠=°，交CD于点F BD，分别交CE AE、于点.G H、试猜测线段AE和BD的数量和位置关系，并说明理由.。
2020年九年级数学中考复习之 三角形与等腰三角形 教案设计
三角形与等腰三角形一、中考要点二、知识梳理1．三角形的概念及分类2.三角形中的重要线段3.三角形中三边的关系三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。
推论：三角形的两边之差小于第三边。
4.三角形的内角和外角三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.推论：①直角三角形的两个锐角互余。
②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
5.等腰三角形的性质和判定（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ （3）等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
6.三角形的面积公式三角形的面积=21×底×高 三、题型分类题型一 三角形的有关概念例1.记若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形”，则图中以BC 为公共边的“共边三角形”有( )A ．2对B ．3对C ．4对D ．6对答案B 解析：△BCD 、△BCE 、△BCA 两两组合共3对.变式训练1．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是( )答案C 解析：根据三角形的分类：直角三角形、锐角三角形、钝角三角形进行判断即可．A 、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型；B 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；C 、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型；D 、露出的角是钝角，因此是钝角三角形；故选：C ．题型二 三角形中的三边关系例2已下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是( )A ．2 cm,3 cm,4 cmB ．1 cm,2 cm,3 cmC ．3 cm,4 cm,5 cmD ．4 cm,5 cm,6 cm 答案B 解析：三角形的两边之和大于第三边，B 选项1+2=3，不能搭成三角形.变式训练2. 已一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A ．11B ．12C ．13D ．14例3.已知已知a ，b ，c 是三角形的三边长．(1)化简：|a －b －c|＋|b －c －a|＋|c －a －b|；(2)若a ＋b ＝11，b ＋c ＝9，a ＋c ＝10，求这个三角形的各边长；【总结升华】（1）若已知三条线段长，通常只需将其中两条较短的线段的和与最长的线段比较即可判断是否能构成三角形；（2）若已知三角形的两边长，求第三边的取值范围,则需要根据第三边大于两边之差，小于两边之和求解；（3）在应用三角形三边关系化简含有绝对值的代数式时，先根据三角形的三边关系判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值进行计算.答案（1）|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|=a＋b＋c；（2）a＝6，b＝5，c＝4；解析：(1)∵a，b，c是三角形的三边长，∴a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|＝－a＋b＋c－b＋c＋a－c＋a＋b＝a＋b＋c.(2)∵a＋b＝11①，b＋c＝9②，a＋c＝10③，∴由①－②，得a－c＝2④，由③＋④，得2a＝12，∴a＝6，∴b＝11－6＝5，∴c＝10－6＝4.∴a＝6，b＝5，c＝4.变式训练3．如图，已知P是△ABC内任意一点．(1)试判断PB＋PC<BA＋AC是否成立，若成立，请说明理由；(2)连接PA，试比较PA＋PB＋PC与AB＋BC＋AC的大小关系，并说明理由．答案（1）成立；（2）PA+PB+PC<AB+BC+AC；解析：（1）成立，延长BP交AC于D，在△ABD中，AB+AD>BD，在△DPC中，DP+CD>PC，两式相加，则结论成立。
中考数学复习方案 第四单元 三角形 第18课时 等腰三角形数学课件
∴△PFD≌△QCD(AAS),∴FD=CD.
1
∵AE=EF,∴EF+FD=AE+CD,∴AE+CD=DE=2AC.
∵AC=AB=6,∴DE=3.
| 考向精练 |
1.[2019·鄂尔多斯4题]如图18-10,在正方形ABCD的外侧作等边三角形ABE,则
∠BED为( C )
A.15°
在△PDF 和△QDC 中, ∠ = ∠,
= ,
∴△PDF≌△QDC(AAS),∴PD=DQ.
例3 如图18-9①,P为等边三角形ABC的边AB上一点,Q为BC延长线上一点,且
PA=CQ,连接PQ交AC边于点D.
(2)如图②,过P作PE⊥AC于点E,若AB=6,求DE的长.
图18-9
∴AD=CD,∴∠DAC=∠C=28°,
∴∠ADB=∠C+∠DAC=28°+28°=56°.
∵AB=BD,∴∠BAD=∠ADB=56°.
在△ABD中,∠B=180°-∠BAD-∠ADB=180°-56°-56°=68°.
题组二
易错题
【失分点】忽视分类讨论或分类讨论不全;分类讨论时忘记考虑三角形的三边
PE=PF可得∠1=∠2 的平分线上
对点演练
题组一
必会题
1.[2018·湖州]如图18-1,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD
=20°,则∠ACE的度数是
A.20°
(
)
B.35°
C.40°
图18-1
D.70°
[答案] B
[解析] ∵AD 是△ABC 的中线,AB=AC,∠CAD=20°,
(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高
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A
B C D E 第18课时：三角形和等腰三角形
一、下列各题已有解答的有“病”吗？如果有“病”，请写出“病因”。
没有解答的，你认
为易让别人犯错的“陷阱”在哪儿？
1．等腰三角形两边长分别是4和9，则周长是（ C ）
A ．17
B ．22
C ．17或22
D ．19.5
▲错因分析或陷阱是_______________________________________________________
▲正确解答是_____________________________________________________________
2．如图，AD 是△ABC 的高，则以AD 为高的三角形共有（ A ）个 A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
▲错因分析或陷阱是
▲正确解答是
3．已知等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成9cm 和15cm 两部分，则这个三角形的腰长和底边长是6cm 和12cm 或10cm 和4cm
▲错因分析或陷阱是_______________________________________________________
▲正确解答是_____________________________________________________________
4．（2008恩施自治州）为了让州城居民有更多休闲和娱乐的地方，政府又新建了几处广
场，工人师傅在铺设地面时，准备选用同一种正多边形地砖.现有下面几种形状的正多边形
地砖，其中不能．．
进行平面镶嵌的是（D ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正五边形 D ．正六边形
▲错因分析或陷阱是_______________________________________________________
▲正确解答是_____________________________________________________________
二、“三角形和等腰三角形”给你留下多少？尝试填写下列知识点（并在脑海中构建知识
体系）
1、 叫三角形。
按边可分
为 ，按角可分为
2、 叫等边三角形， 叫等腰三角形， 叫不等边三角形。
三角形的性质是
3、 叫三角形的高，锐角三角形的三条高交于
三角形的 ，直角三角形的三条高交于三角形的 ，钝角三角形的三条高交于三
角形的 。
叫三角形的中线，三角形的中
线交于三角形的内部； 叫三角形的角平分线，三
角形的角平分线交于三角形的内部；三角形的高线、中线和角平分线都是线段。
4、三角形具有 ，三角形的内角和等于
5、 叫三角形的外角，三角形的外角和等于 ，
三角形外角的性质是 6、等腰三角形的性质1 ，等腰三角形的性质2
A B C E P ；等腰三角形的判定定理 ；等边三角形的判定定理 1 ，判定定理 2 ，判定定理 3 三、下列例题请先做做，看自己有无“漏洞”如果有请偿试写出“病因”
例1．（1）若等腰三角形的底边长为10cm ，则腰长x 的取值范围是
（2）若等腰三角形的腰长为10cm ，则底边长x 的取值范围是
（3）若等腰三角形的周长是6，则底边长x 的取值范围是 例2．若三角形的三边长分别为5、2x-1和8，则x 的取值范围是 例3．已知等腰三角形的两边之比是3：4 ，其周长为110cm ，求三边长
例4．（1）若三角形三个外角之比是2：3：4，则三个内角之比是
（2）若三角形三个内角之比是2：3：4，则三个外角之比是
例5．在△ABC 中，OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB
（1）若∠ABC=60°，∠ACB=40°，则∠BOC= （2）若∠A=80°，则∠BOC=
（3）若∠A=100°，则∠BOC= （4）若∠A=m °，则∠BOC= （5）∠BOC
和∠A 之间的关系是 例6．如图，△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于点P （1）若∠A=70°，则∠P=
（2）写出∠A 与∠P 的关系
例7．请说出“三族鼎立”的科学依据 例8．(2008年西宁市) 5．如图2，将一副三角板折叠放在一起，使直角的顶点重合于点，
则
例9．（2008年南京市）若等腰三角形的一个外角为70°，
则它的底角为
例10．11.（2008乌鲁木齐）在一次数学课上，王老师在黑板上画出图6，
并写下了四个等式：①AB DC =，②BE CE =，③B C ∠=∠，④BAE CDE ∠=∠．
要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出AED △是等腰三角形．请你试着
完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）
已知：
求证：AED △是等腰三角形．
证明：
四、你能以知识点或题型给上面例题分类？你认为这些题目的典型性怎么样？你有没有发
现解题规律或数学思想方法？有什么补充？请先写下来，以便交流。
B E D A C
图6
第18课时：三角形和等腰三角形 班级： 姓名 学号 成绩
一：选择题（6分×6）
1、（2009年温州）一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长
22．5cm ．现沿 底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，
如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条
是( )
A ．第4张
B ．第5张 C.第6张 D ．第7张
2、（2009，龙岩）将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．75°
3、(2009，齐齐哈尔)如图，为估计池塘岸边的距离，小方
在池塘的一侧选取一点，测得米，=10米，
间的距离不可能是（ ） A ．20米 B ．15米 C ．10米 D ．5米
4、（2009，衡阳）如图2所示，A 、B 、C 分别表示三个村庄，AB=1000
米，BC=600米， AC=800米，在社会主义新农村建设中，为
了丰富群众生活，拟建一个 文化活动中心，要求这三个村庄到活动中
心的距离相等，则活动中心P 的位置应在（ ）
A ．A
B 中点 B ．B
C 中点
C ．AC 中点
D ．∠C 的平分线与AB 的交点 5、（2008嘉兴市）已知等腰三角形的一个内角为50，则这个等腰三角形的顶角为（ ）
A ．50°
B ．80°
C ．50°或80°
D ．40°或65°
6、（2008年龙岩市）如图，在边长为4的等边三角形ABC 中，AD 是BC 边上的高，点E 、
F 是AD 上的两点，则图中阴影部分的面积是（ ）
A ．43
B ．33
C ．23
D ．3 二：填空题（8分×5）
7、（2009年潍坊）已知边长为a 的正三角形ABC ，两顶点A B
、分别在平面直角坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C
在第一象限，连结OC ，则OC 的长的最大值是
A B 、O 15OA OB A B 、O y x
A C
B O A B A C
B
F E B C D A
35°
F
E C
P
8、(2009,朝阳)如图，ABC △是等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE AB ⊥于点
E ，D
F AC ⊥于点F ．若2BC =，则DE DF +=
9、（2008年甘肃省白银市）已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6， 则它底边上的高为 ．
10、(08年宁夏回族自治区)已知a 、b 、c 为三个正整数，
如果a+b+c=12，那么以a 、b 、c 为边能组成的三角形是： ①等腰三角形；②等边三角形；③直角三角形；④钝角三角形。
以上符合条件的正确结论是 。
（只填序号）
11、（2008年南昌市）如图，有一底角为35°的等腰三角形纸片，现过底边上一点，沿与
底边垂直的方向将其剪开，分成三角形和四边形两部分，则四边形中，最大角的度数是 ．
三：解答题（12题12分，13题12分）
12、 ( 2008年杭州市) 如图，在等腰△ABC 中，CH 是底边上的高线，点P 是线段CH 上不与端点重合的任意一点，连接AP 交
BC 于点E ，连接BP 交AC 于点F . (1) 证明：CBF CAE ∠=∠； (2) 证明：BF AE =；
(3) 以线段BF AE ,和AB 为边构成一个新的三角形ABG （点E 与点F 重合于点G ），记△ABC 和△ABG 的面积分别为ABC S ∆和ABG S ∆，如果存在点P ，能使得
ABG ABC S S ∆∆= , 求∠C 的取值范围.
13、(2008年内江市) 如图，在ABC △中，点E 在AB 上，点D 在BC 上，BD BE =，BAD BCE =∠∠，AD 与CE 相交于点F ，试判断AFC △的形状，并说明理由．
B
C D F A
E。