河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试试题(四)数学理科试卷

绝密★启用前河南省豫东、豫北十所名校2013届高中毕业班阶段性测试（四）数学（理科）本试题卷分第I 卷(选择题)和第II 卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在 答题卡上(答题注意事项见答题卡），在本试题卷上答题无效.考试结束后，将本试题卷和 答题卡一并交回.第I 卷 选择题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.bi a -=，则a + b = (A)1 (B)3 (C)-1 (D)-3(2) 已知全集U={x∈Z|x 2-9x+8<0}，M={3,5,6},N={x|x 2-9x+20=0},则集合 {2,7}为 (A) N M (B) N M (C) )(N M C U (D) )(N M C U (3) 设x ∈R 向量 a=(2,x),b=(3，-2)，且 a 丄b ，则|a-b| =(4) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(5)将函数t )32sin()(π+=x x f 的图象向右平移4π个单位后得到函y=g(x)的图象，则g (x)的单调递增区间为(6)如果执行下面的程序框图，输出的S=240，则判断框中为(A)k≥15? (B) k≤16? (C) k≤15? (D) k≥16?(7) 巳知中心在坐标原点的双曲线C 与拋物线x 2=2PY (P >0)有相同的焦点F,点A 是两 曲线的交点，且AF丄y 轴，则双曲线的离心率为(A)12+ (C) 13+ (D) 2122+ (8) 已知实数％，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤≥m y x x y y 131，如果目标函数z=5x-4y 的最小值为=3，则实数M =132，AB丄平面汲ACD ,则四面体ABCD 外接球的表面积为(A) π36 (B) π88 ( C) π92 (D) π128(10) 设函数f(x)=2a -x- 2ka x(a>0且a ≠1)在（-∞ , +∞ )上既是奇函数又是减函数，则g(x)=log a (x -k)的图象是(11) 若直线y=-nx +4n(*N n ∈)与两坐标轴所围成封闭区域内（不含坐标轴）的整点的个数为a n (其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则20141(a 1+a 3 +a 5十…+a 2013 )= (A)1012 (B)2 012(C)3 021(D)4001(12)定义在实数集R 上的函数y=f(x)的图象是连续不断的，若对任意实数x 存在实常数t 使得f(t+x)=-tf(x)恒成立，则称f(x)是一个“关于t函数”•有下列“关于t 函数”的结论①f(x) =0是常数函数中唯一一个“关于t 函数”；②“关于函数”至少有一个零点;③f(x)=x 2是一个“关于t 函数”.其中正确结论的个数是(A)1 (B)2(C)3(D)0第II 卷 非选择题本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答二、填空题:本大题共4小题，每小题5分.(13)已知某化妆品的广告费用x(万元)与销售额y(百万元）的统计数据如下表所示：从散点图分析，y 与x 有较强的线性相关性，且yˆ=0. 95x +x ˆ若投入广告费用为5万 元，预计销售额为_______百万元.(14) 已知递增的等比数列{b n }(*N n ∈)满足b 3 + b 5 = 40，b 3 • b 5 = 256，则数列{b n }的前10 项和 S 10=_______.(15) 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为X 2+Y 2 -8X +15 = 0，若直线Y =KX -2上至 少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值 为______(16) 对于m n，且m ，N n ∈且m,n ≥2)可以按如下的方式进行“分解”，例如72的“分解”中 最小的数是1，最大的数是13.若m 3的“分解”中最小的数是651，则m =_____三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分）在ΔABC中，角A,B,C的对边分别是a，b，c，点（a，b)在直线4xcos B - ycos C = ccos B上.(I)求cosB的值；(II)若，求a和c(18)(本小题满分12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B株数分别为12与18，现将这30株树苗的高度编写成茎叶图如图（单位:cm):若树高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“生长良好”，树高在175 cm以下（不包 括175 cm)定义为“非生长良好”，且只有生长良好”的才可以出售.(I)如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中抽取5株，再从这5株中选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？(II)若从所有“生长良好”中选3株，用X表示所选中的树苗中能出售的株数，试写出X的分布列，并求X的数学期望.(19)(本小题满分12分）如图，在平面四边形ABCD 中,AB=BC = CD ＝DA=BD=6,0为AC,BD 的交点。

将四边形ABCD(I)若M 点是BC 的中点，求证:0M//平面ABD （I I ）求二面角A －B D －O的余弦值.(20)(本小题满分12分）设椭圆C: 0(12222>>=+b a by a x (I)求椭圆C 的方程；(II)过点Q(1，0)作直线L (不与x 轴垂直)与该椭圆交于M ，N 两点，与y 轴交于点 R ，若，试判断μλ+是否为定值，并说明理由.(21)(本小题满分12分）已知函数g(x) =b 2lnx-bx-3(b ∈R)的极值点为x=1，函数h(x)=ax 2+bx+4b-l. (I)求函数g(x)的单调区间，并比较g(x)均与g(1)的大小关系； (II)当a=21时，函数t(x)=ln(1+x 2) -H (X ) + x +4-k(k ∈R)，试判断函数 t(x) 的零点个数；(III ）如果函数f(x),f 1(x),f 2(x)在公共定义域D 上，满足f 1(x) <f(x) <f 2(x),那么就称f(x)为f 1(x)，f 2(x)的“伴随函数”，已知函数ax x x f x a ax x a x f 221)(,ln )1(2)21()(22212+=-++-=，若在区间（1，+∞)上，函数f(x)=G (X )+h(x)是f 1(x)；f 2(x)的“伴随函数”，求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作 答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲如图，四边形ACED 是圆内接四边形，延长AD 与的延长线CE 交于点B ，且AD=DE ， AB =2AC.(I)求证:BE =2AD ；(II)当AC=2，BC=4时，求AD 的长.(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线C 1:x 2 +y 2 = 1，以平面直角坐标系xOy 的原点0为 极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l:3cos θ-2sin θ=ρ8-(I )将曲线C 1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的2倍、3倍后得到曲线C 2，试写出直线L 的直角坐标方程和曲线C 2的参数方程；(II)求C 2上一点P 到L 的距离的最大值.(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x ）=|x-m| +|x+6|(m∈R).(I)当m =5时，求不等式f(x)<≤12的解集；(II)若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求M 的取值范围.2013年豫东、豫北十所名校高中毕业班阶段性测试(四)数学(理科)·答案（1）D （2）C （3）B （4）D（5）C（6）C（7）B（8）A（9）B （10）A （11）C （12）A （13）7.35（14）2 046（15）43（16）26（17）解：（Ⅰ）由题意得 4cos cos cos a B b C c B -=，……………………………（1分） 由正弦定理得2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =，所以4sin cos sin cos sin cos A B B C C B ⋅-⋅=⋅，………………………………………（3分） 即4sin cos sin cos sin cos A B C B B C ⋅=⋅+⋅，所以，…………………………………………………（5分） 又sin 0A ≠， 所以1cos 4B =.………………………………………………………………………………（6分）(Ⅱ）由3BA BC ⋅= 得cos 3ac B =，又1cos 4B =，所以12ac =.………………（9分）由2222cos b a c ac B =+-，b =2224a c +=，所以()20a c -=，即a c =，………………………………………………………………（11分）所以a c ==…………………………………………………………………………（12分） （18）解：（Ⅰ）根据茎叶图知，“生长良好”的有12株，“非生长良好”的有18株. …………………………………………………………………………………………………（1分）用分层抽样的方法抽取，每株被抽中的概率是51306=.…………………………………（2分） “生长良好”的有11226⨯=株，“非生长良好”的有11836⨯=株.用事件A 表示“至少有一株‘生长良好’的被选中”，则2325C 37()11,C 1010P A =-=-= 因此从5株树苗中选2株，至少有一株“生长良好”的概率是710.……………………（6分） （Ⅱ）依题意，一共有12株生长良好，其中A 种树苗有8株，B 种树苗有4株，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，321884331212C C C 1428(0);(1);C 55C 55P X P X ======213484331212C C C 121(2);(3).C 55C 55P X P X ======………………………………………（9分）因此X 的分布列如下：…………………………………………………………………………………………(10分)所以1428121()0123155555555E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.………………………………………（12分）19.解：（Ⅰ）因为AB BC CD DA ===，所以四边形ABCD 是菱形， 因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点.又点M 是BC 的中点，所以OM 是ABC △的中位线，所以//OM AB .…………………………………………（3分） 因为OM ⊄平面ABD ,AB ⊂平面ABD ,所以//OM 平面ABD .……………………………………………………………………（5分） （Ⅱ）由题意知，3OB OD ==，因为BD =所以90BOD ∠= ，OB OD ⊥. ……………………………（6分） 又因为四边形ABCD 为菱形，所以OB AC ⊥，OD AC ⊥. 以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则(0,3,0),(0,0,3)A D B .所以((AB AD =-=-……………………………………………（7分）设平面ABD 的一个法向量为n =(,,)x y z ，则00AB AD ⎧⋅⎪⎨⋅=⎪⎩n =n，即3030z y ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩， 令1x =，则y z ==所以n=.……………………………………（9分） 因为,AC OB AC OD ⊥⊥,,OB OD O = 所以AC ⊥平面BOD . 平面BOD 的法向量与AC 平行，不妨取平面BOD 的一个法向量为0(1,0,0)=n ，则000cos ,||||⋅===n n n n n n又二面角A BD O --是锐二面角，所以二面角A BD O --.………………………………………………（12分） （20）解：（Ⅰ）因为圆229x y +=的直径为6，依题意知26a =，所以3a =，……（2分）又因为c a =c =1b =，……………………………………………（5分）所以椭圆C 的方程为2219x y +=.…………………………………………………………（6分） （Ⅱ）λμ+是定值，且94λμ+=-.……………………………………………………（7分） 理由如下：依题意知，直线l 的斜率存在，故可设直线l 的方程为(1)y k x =-，设11223(,),(,),(0,)M x y N x y R y ，由22(1),19y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理， 得2222(19)18990k x k x k +-+-=，所以21221819k x x k +=+ ①， 21229919k x x k -⋅=+ ②， …………………………………（9分）因为RM MQ λ=，所以11311(,)(0,)[(1,0)(,)]x y y x y λ-=-，即11131(1),x x y y y λλ=-⎧⎨-=-⎩又l 与x 轴不垂直，所以11x ≠， 所以111x x λ=-，同理221x x μ=-，………………………………………………………（11分） 所以121212121212()2111()x x x x x x x x x x x x λμ+-⋅+=+=---++⋅， 将①②代入上式可得94λμ+=-，即λμ+为定值.……………………………………（12分）（21）解：（Ⅰ）易知函数()g x 的定义域是(0,)+∞，且2()b g x b x'=-，……………（1分） 因为函数2()ln 3()g x b x bx b =--∈R 的极值点为1x =,所以2(1)0g b b '=-=，且0b ≠, 所以1b =或0b =（舍去）,…………………………………………………………………（2分）所以()ln 3g x x x =--，1() (0)x g x x x-'=> ， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 为增函数，当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 为减函数，所以1x =是函数()g x 的极大值点，且最大值为(1)g ，所以()g x 的递增区间为(0,1)，递减区间为(1,)+∞，()(1)g x g ≤.……………………（4分）(Ⅱ)当12a =时，2()ln(1)()4t x x h x x k =+-++-221ln(1)12x x k =+-+-.……（5分） 所以22()1x t x x x'=-+， 令22()01x t x x x '=-=+，解得1x =-或0x =或1x =，…………………………………（6分） 当1-<x 时，()0t x '>，当01<<-x 时，()0t x '<，当10<<x 时，()0t x '>，当1>x 时，()0t x '<， 所以1()(1)ln 22t x t k =±=+-极大值，()(0)1t x t k ==-极小值，………………………（7分） 所以当1ln 22k >+时，函数()t x 没有零点； 当11ln 22k <<+时，函数()t x 有四个零点； 当1ln 22k =+时，函数()t x 有两个零点； 当1k =时，函数()t x 有三个零点；当1k <时，函数()t x 有两个零点.…………………………………………………………（8分）（Ⅲ）()()()f x g x h x =+ 2ln ax x =+，在区间),1(+∞上，函数)(x f 是)(),(21x f x f 的“伴随函数”，则)()()(21x f x f x f <<恒成立，令221()()()2ln 2p x f x f x a x ax x ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 2211()()()2ln ,2q x f x f x x ax a x =-=-+-则()0,()0p x q x <<对于任意的(1,)x ∈+∞恒成立. 因为1(21)1(1)()(21)2a x x p x a x a x x ---'=--+=［］（*）， ………………………（9分） ①若21>a ，令0)(='x p ，得121,121-==a x x ，当112=>x x ，即121<<a 时，在),(2+∞x 上有0)(>'x p ， 此时)(x p 是增函数，并且在该区间上有)),(()(2+∞∈x p x p ，不合题意；当21x x ≤，即1a ≥时，在(1,)+∞上，)),1(()(+∞∈p x p ，也不合题意；…（10分） ②若12a ≤，则有210a -≤，此时在区间),1(+∞上恒有0)(<'x p ，从而)(x p 在区间),1(+∞上是减函数,要使0)(<x p 在此区间上恒成立，只需满足11(1)022p a a =--⇒-≤≥，所以1122a -≤≤.……………………………………………………………………………（11分） 因为22222()()20a x ax a x a q x x a x x x-+---'=-+-==<,所以()q x 在),1(+∞上是减函数,要使()0q x <在(1,)+∞上恒成立，则1()(1)202q x q a <=-+≤，所以14a ≤. 综合①②可知a 的取值范围是11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………………………………………(12分)（22）解：(Ⅰ) 因为四边形ACED 为圆的内接四边形,所以,BDE BCA ∠=∠………（1分）又,DBE CBA ∠=∠所以BDE △∽BCA △，则BE DE BA CA=.……………………………（3分）而2AB AC =，所以2BE DE =.…………………………………………………………（4分） 又AD DE =，从而2.BE AD =……………………………………………………………（5分）(Ⅱ)由条件得 24AB AC ==.……………………………………………………………（6分）设AD t =，根据割线定理得 BD BA BE BC ⋅=⋅，即()24,AB AD BA AD -⋅=⋅ 所以(4)424t t -⨯=⨯，解得 43t =,即43AD =.……………………………………（10分）（23）解：(Ⅰ) 由题意知，直线l 的直角坐标方程为3280x y -+=.………………（2分）由题意得曲线2C 的直角坐标方程为22123x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以曲线2C 的参数方程为2cos (3sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）.………………………………（5分）(Ⅱ) 设点P 的坐标为2cos ,3sin )θθ（，则点P 到直线l 的距离为d ==，所以当πcos 14θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，max 13d =.……………………………………（10分） （24）解：（Ⅰ）当5m =时，()12f x ≤即5612x x -++≤，当6x <-时，得213x -≤，即132x -≥，所以1362x -<-≤； 当65x -≤≤时，得1112≤成立，所以65x -≤≤； 当5x >时，得211x ≤，即112x ≤，所以1152x <≤. 故不等式()12f x ≤的解集为1311|22x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤.………………………………………（5分）（Ⅱ）因为()()()666f x x m x x m x m =-++--+=+≥， 由题意得67m +≥，则67m +≥或67m +-≤，解得1m ≥或13m -≤,故m 的取值范围是(][),131,-∞-+∞ .…………………………………………………（10分）。