16.《染色问题》专题过关检测卷带解析
高中染色问题练习题及讲解
高中染色问题练习题及讲解练习题一：题目：一个平面图有5个顶点，其中顶点A、B、C、D、E的度数分别为4、3、2、2、1。
请判断该图是否可平面染色。
解答：首先，我们需要了解平面图的定义。
一个图被称为平面图，如果它能够被画在平面上，使得其边不相交，除了在顶点处。
根据欧拉公式，对于一个连通的平面图，顶点数V、边数E和面数F满足以下关系：\[ V - E + F = 2 \]对于给定的图，我们有5个顶点，假设边数为E，根据题目中的度数信息，我们可以计算出E的值：\[ E = 4A + 3B + 2C + 2D + 1E = 4 \times 4 + 3 \times 3 + 2 \times 2 + 2 \times 2 + 1 \times 1 = 26 \]现在我们使用欧拉公式来检查图是否可能为平面图：\[ 5 - 26 + F = 2 \]\[ F = 23 \]然而，由于每个面至少由3条边组成，我们有：\[ 3F \leq 2E \]\[ 3F \leq 52 \]\[ F \leq \frac{52}{3} \approx 17.33 \]这与我们计算出的F值23相矛盾，因此该图不可能是平面图，所以该图不可平面染色。
练习题二：题目：一个图有7个顶点，每个顶点的度数都至少为5。
请证明这个图不可能是平面图。
解答：根据平面图的性质，我们知道一个图是平面图当且仅当它满足欧拉公式。
然而，对于一个图来说，如果每个顶点的度数都至少为5，则其边数E至少为：\[ E \geq 5V \]对于7个顶点的图，我们有：\[ E \geq 5 \times 7 = 35 \]现在，我们再次使用欧拉公式：\[ V - E + F = 2 \]代入V=7和E的最小值35：\[ 7 - 35 + F = 2 \]\[ F = 30 \]然而，每个面至少由3条边组成，这意味着：\[ 3F \leq 2E \]\[ 3 \times 30 \leq 2 \times 35 \]\[ 90 \leq 70 \]这显然是错误的，因此不存在这样的F值，这表明该图不可能是平面图。
小学思维数学讲义：乘法原理之染色问题-带详解
乘法原理之染色问题教学目标1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．知识要点一、乘法原理概念引入老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A种不同的方法，第二步有B种不同的方法，……，第n步有N种不同的方法．那么完成这件事情一共有A×B×……×N种不同的方法．结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？DC B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D 四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?例题精讲DCB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有3种颜色可选．根据分步计数的乘法原理，用5种颜色给地图染色共有5433180⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】180【巩固】 如图，一张地图上有五个国家A ，B ，C ，D ，E ，现在要求用四种不同的颜色区分不同国家，要求相邻的国家不能使用同一种颜色，不同的国家可以使用同—种颜色，那么这幅地图有多少着色方法？ED C BA【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，给A 国上色，可以任选颜色，有四种选择；第二步，给B 国上色，B 国不能使用A 国的颜色，有三种选择；第三步，给C 国上色，C 国与B ，A 两国相邻，所以不能使用A ，B 国的颜色，只有两种选择；第四步，给D 国上色，D 国与B ，C 两国相邻，因此也只有两种选择；第五步，给E 国上色，E 国与C ，D 两国相邻，有两种选择． 共有4322296⨯⨯⨯⨯=种着色方法．【答案】96【例 4】 如图：将一张纸作如下操作，一、用横线将纸划为相等的两块，二、用竖线将下边的区块划为相等的两块，三、用横线将最右下方的区块分为相等的两块，四、用竖线将最右下方的区块划为相等的两块……，如此进行8步操作，问：如果用四种颜色对这一图形进行染色，要求相邻区块颜色不同，应该有多少种不同的染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 对这张纸的操作一共进行了8次，每次操作都增加了一个区块，所以8次操作后一共有9个区块，我们对这张纸，进行染色就需要9个步骤，从最大的区块从大到小开始染色，每个步骤地染色方法有：4、3、2、2、2……，所以一共有：4322222221536⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种．【答案】1536【巩固】 用三种颜色去涂如图所示的三块区域，要求相邻的区域涂不同的颜色，那么共有几种不同的涂法？ABC【考点】乘法原理之染色问题【难度】2星【题型】解答【解析】涂三块毫无疑问是分成三步．第一步，涂A部分，那么就有三种颜色的选择；第二步，涂B部分，由于要求相邻的区域涂不同的颜色，A和B相邻，当A确定了一种颜色后，B只有两种颜色可选择了；第三步，涂C部分，C和A、B都相邻，A和B确定了两种不相同的颜色，那么C只有一种颜色可选择了．然后再根据乘法原理．3216⨯⨯=【答案】6【例 5】如图，有一张地图上有五个国家，现在要用四种颜色对这一幅地图进行染色，使相邻的国家所染的颜色不同，不相邻的国家的颜色可以相同．那么一共可以有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】这一道题实际上就是例题，因为两幅图各个字母所代表的国家的相邻国家是相同的，如果将本题中的地图边界进行直角化就会转化为原题，所以对这幅地图染色同样一共有4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．【讨论】如果染色步骤为----C A BD E,那么应该该如何解答？答案：也是4322296⨯⨯⨯⨯=种方法．如果染色步骤为----C AD B E那么应该如何解答？答案：染色的前两步一共有4×3种方法，但染第三步时需要分类讨论，如果D与A颜色相同，那么B有2种染法，E也有2种方法，如果D与A染不同的颜色，那么D有2种染法那么B只有一种染法，E有2种染法，所以一共应该有43(122212)96⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种方法，(教师应该向学生说明第三个步骤用到了分类讨论和加法原理，加法原理在下一讲中将会讲授)，染色步骤选择的经验方法：每一步骤所染的区块应该尽量和之前所染的区块相邻．【答案】96【巩固】某沿海城市管辖7个县，这7个县的位置如右图．现用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色给右图染色，要求任意相邻的两个县染不同颜色，共有多少种不同的染色方法?【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】为了便于分析，把地图上的7个县分别编号为A、B、C、D、E、F、G(如左下图)．GF DC B AE为了便于观察，在保持相邻关系不变的情况下可以把左图改画成右图．那么，为了完成地图染色这件工作需要多少步呢?由于有7个区域，我们不妨按A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 的顺序，用红、黑、绿、蓝、紫五种颜色依次分7步来完成染色任务．第1步：先染区域A ，有5种颜色可供选择；第2步：再染区域B ，由于B 不能与A 同色，所以区域B 的染色方式有4种；第3步：染区域C ，由于C 不能与B 、A 同色，所以区域C 的染色方式有3种；第4步：染区域D ，由于D 不能与C 、A 同色，所以区域D 的染色方式有3种；第5步：染区域E ，由于E 不能与D 、A 同色，所以区域E 的染色方式有3种；第6步：染区域F ，由于F 不能与E 、A 同色，所以区域F 的染色方式有3种；第7步：染区域G ，由于G 不能与C 、D 同色，所以区域G 的染色方式有3种．根据分步计数的乘法原理，共有54333334860⨯⨯⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法．【答案】4860【例 6】 用3种颜色把一个33⨯的方格表染色，要求相同行和相同列的3个格所染的颜色互不相同，一共有 种不同的染色法．【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 根据题意可知，染完后这个33⨯的方格表每一行和每一列都恰有3个颜色．用3种颜色染第一行，有336P =种染法；染完第一行后再染第一列剩下的2个方格，有2种染法；当第一行和第一列都染好后，再根据每一行和每一列都恰有3个颜色对剩下的方格进行染色，可知其余的方格都只有唯一一种染法．所以，根据乘法原理，共有326⨯=种不同的染法．【答案】6【例 7】 如右图，有A 、B 、C 、D 、E 五个区域，现用五种颜色给区域染色，染色要求：每相邻两个区域不同色，每个区域染一色．有多少种不同的染色方式？EDC BA 【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 先采用分步：第一步给A 染色，有5种方法；第二步给B 染色，有4种方式；第三步给C 染色，有3种方式；第四步给D 染色，有3种方式；第五步，给E 染色，由于E 不能与A 、B 、D 同色，但可以和C 同色．此时就出现了问题：当D 与B 同色时，E 有3种颜色可染；而当D 与B 异色时，E 有2种颜色可染．所以必须从第四步就开始分类：第一类，D 与B 同色．E 有3种颜色可染，共有5433180⨯⨯⨯=（种）染色方式；第二类，D 与B 异色．D 有2种颜色可染，E 有2种颜色可染，共有54322240⨯⨯⨯⨯=（种）染色方式．根据加法原理，共有180240420+=（种）染色方式．【注意】给图形染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，但如果碰到有首尾相接的图形往往需要分类解决．【答案】420【巩固】 如右图，有A ，B ，C ，D 四个区域，现用四种颜色给区域染色，要求相邻区域的颜色不同，每个区域染一色．有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有4种颜色可选，然后分类：第一类：B ，D 取相同的颜色．有3种颜色可染，此时D 也有3种颜色可选．根据乘法原理，不同的染法有43336⨯⨯=（种）；第二类：当B ，D 取不同的颜色时，B 有3种颜色可染，C 有2种颜色可染，此时D 也有2种颜色可染．根据乘法原理，不同的染法有432248⨯⨯⨯=（种）．根据加法原理，共有364884+=(种)染色方法．【答案】84【巩固】用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法?学奥而思数【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法．【答案】72【例 8】分别用五种颜色中的某一种对下图的A，B，C，D，E，F六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】解答【解析】先按A，B，D，C，E的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E与D的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E和D同色，有6种E和D异色．最后染F，当E与D同色时有3种颜色可选，当E与D异色时有2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【答案】840【例 9】将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA【考点】乘法原理之染色问题【难度】3星【题型】解答【解析】如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【例 10】用4种不同的颜色来涂正四面体（如图，每个面都是完全相同的正三角形）的4个面，使不同的面涂有不同的颜色，共有________种不同的涂法.（将正四面体任意旋转后仍然不同的涂色法，才被认为是不同的）【考点】乘法原理之染色问题【难度】4星【题型】填空【关键词】迎春杯，中年级，复赛，第9题【解析】不旋转时共有4×3×2×1=24种染色方式，而一个正四面体有4×3=12种放置方法（4个面中选1个作底面，再从剩余3个面中选1个作正面），所以每种染色方式被重复计算了12次，则不同的染色方法有24÷12=2种。
染色问题练习题
染色问题练习题1.（2012•常州模拟）用3种不同的颜色给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率是 23 ．解：根据题意，每个矩形有3种涂色方法，则3个矩形有33327⨯⨯=种涂色方法； 要使3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同，分2步进行， ①、在3个矩形中任取2个，有233C =种取法，②、为选出的2个矩形选1种颜色，有3种情况，剩余的1个再选1种，有2种情况， 则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同有33218⨯⨯=种情况，则3个矩形中有且仅有两个矩形颜色相同的概率为182273=；故答案为23．2.（2017春•莲湖区校级月考）用五种不同的颜色，给图中的（1）（2）（3）（4）的各部分涂色，每部分涂一种颜色，相邻部分涂不同颜色，则涂色的方法有( )种．A ．240B ．120C ．60D ．180 解：由题意知本题是一个分步计数问题， 第一步先给（3）涂色共有5种结果， 第二步再给（1）（2）涂色共有43⨯种结果， 第三步给（4）涂色有4种结果，∴由分步计数原理知共有5434240⨯⨯⨯= 故选：A ．3.（2008•温州模拟）用4种不同的颜色对圆上依次排列的A ，B ，C ，D 四点染色，每个点染一种颜色，且相邻两点染不同的颜色，则染色方案的总数为( ) A ．72 B ．81 C ．84 D ．108 解：根据题意，按选取颜色的数目分3种情况讨论；①、4种颜色都选取，无论如何排列，相邻两点颜色不同；此时染色方案有4424A =种； ②、选取3种颜色，有34C 种方法；选取后，有32212⨯⨯=种染色方法；此时染色方案有41248⨯=种； ③、选取2种颜色，有24C 种方法；选取后，各有有2种染色方法；此时染色方案有24212C ⨯=种； 共24481284++=种； 故选：C ．4.若给一个正方体的八个顶点染色，要求相邻的两个顶点（即同一条棱的两个端点）颜色不能相同，则至少需要 2 种颜色；现有5种不同的颜色，要给正方体的六个面涂色，要求相邻的两个面不能用同一种颜色，则共有 种不同的涂色方法． 解：（1）如图，顶点A 的先选一种，则B ，D ，1A ，可以相同选另一种颜色，若C ，1D ，1B 与A 的颜色相同，1C 和B 的颜色相同，故至少需要2种颜色．（2）解：由于涂色过程中，要保证满足用五种颜色，且相邻的面不同色，对于正方体的三对面来说，必然有三对同色或两对同色，一对不同色，而且三对面具有“地位对等性”，因此，三对同色：3510C =种不同的涂法； 两对同色，一对不同色：只需从四种颜色中选择2种涂在其中两对面上，剩下的两种颜色涂在另外两个面即可．因此共有2510C =种不同的涂法．故共有101020+=种不同的涂法 故答案为：2，20．5.（2011•潜江校级模拟）将正三棱柱ABC A B C -'''的六个顶点染色，要求每条棱的两个端点不同色，现在有四种不同的颜色供选择，则不同的染法总数为 264 ．解：根据题意，三棱柱的下底面的颜色互不相同，有3424A =种情况， 对上底面分情况讨论可得：①、A 点用第四种颜色，按B 的颜色不同又分2种情况； 1︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有2种方法， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有1种方法； 共3种方法；②、A 点的颜色与B '处一致时；按B 的颜色不同又分3种情况； 1︒当B 处用第四种颜色时，C 处有1种情况， 2︒当B 与A '处颜色一致时，C 处有2种方法， 3︒当B 与C '处颜色一致时，C 处有1种方法， 共1214++=种方法；③、A 点的颜色与C '处一致时，与②的情况相同，有4种方法； 上底面共11种不同的方法；综合可得：不同的染法总数为2411264⨯=种； 故答案为：264．6.（2013春•海州区校级期末）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点不同色，现有5种不同颜色可用，则不同染色方法的总数是 420 ．（用数字作答） 解：四棱锥为P ABCD -．下面分两种情况即C 与B 同色与C 与B 不同色来讨论，（1）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 同色：13:D C ，故共有11115433C C C C g g g 种．（2）各个点的不同的染色方法15:P C ，14:A C ，13:B C ，C 与A 不同色12C ，12:D C ，故共有1111154322C C C C C g g g g种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：111111111543354322420C C C C C C C C C +=g g g g g g g ． 故答案为：420．7.（2018春•三明期末）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI 中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为 6 ．解：根据题意，分3步分析：①，对于A 、B 、C 三点，A 、B 、C 三点两两相邻，颜色互补相同，则A 、B 、C 三点的涂法有336A =种，②，对于E 、D 、F 三点，E 与A 、B 相邻，则E 只有1种涂色方法，同理D 、F 都只有一种颜色，则E 、D 、F 三点只有1种涂色方法，③，对于G 、H 、I 三点，G 与D 、E 相邻，则G 只有1种涂色方法，同理H 、I 都只有一种颜色，则G 、H 、I 三点只有1种涂色方法，则有6116⨯⨯=种不同的染色方案种数； 故答案为：68. （2008春•南通期末）用五种不同的颜色给图中的“五角星”的五个顶点染色，（每点染一色，有的颜色也可以不用）使每条线段上的两个顶点皆不同色，则不同的染色方法有 1020 种．解：将其转化为具有五个扇形格的圆盘染五色，使邻格不同色的染色问题．设有k 个扇形格的圆盘染五色的方法数 为k x ，则有1154k k k x x --+=g ，于是43255443322()()()5(4444)1020x x x x x x x x =+-+++-=-+-=，故答案为10209.用五种不同的颜色，把ABC ∆的3个顶点染上其中的一种颜色．（1）如果要求三条边的两端点都有不同的颜色，则有多少种不同的染色方法？ （2）如果只要求A 、B 异色，则有多少种不同的染色法？ 解：（1）Q 三条边的两端点都有不同的颜色，∴顶点A ，B ，C 上的颜色都不相同， ∴有五种不同的颜色，∴点A 处有5种染色方法，点B 在点A 用过剩余的4种颜色中，选用一种染色，有4种染色方法， 点C 在剩余的三种颜色中，任选一种，有3种染色方法， 所以一共有54360⨯⨯=种不同的染色方法；（2）A Q 、B 异色，∴点A 在5中颜色种选用一种，则点B 在剩余的4种颜色中，选用一种染色，有四种方法，点C 五种颜色中，任选一种，有5种染法，所以，一共有545100⨯⨯=种不同的染色方法．10.（2017春•徐州期末）给一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使得同一条棱的两端异色如果有4种颜色可供使用，则共有x 种不同的染色方法；如果有5种颜色可供使用，则共有y 种不同的染色方法，那么y x -的值为 348 ．解：设四棱锥为P ABCD -．如果有5种颜色可供使用， 下面分两种情况即B 与D 同色与B 与D 不同色来讨论，（1）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 同色：:1D ，13:C C ．（2）15:P C ，14:A C ，13:B C ，B 与D 不同色：12:D C ，12:C C ．共有1111111115433543221420C C C C C C C C C +=g g g g g g g g ．则420y =种， 如果有4种颜色可供使用，下面分两种情况即C 与A 同色与C 与A 不同色来讨论，（1）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为12C ， C 与A 同色时C 的着色方法种数为1，D 的着色方法种数为12C ．（2）P 的着色方法种数为14C ，A 的着色方法种数为13C ，B 的着色方法种数为12C ，C 与A 不同色时C 的着色方法种数为11C ，D 的着色方法种数为11C ．共有1143C C g ．11124322482472C C C +=+=gg g 种结果． 则72x =种，故42072348y x -=-=，故答案为：34810.（2016春•万州区校级期中）如图，用五种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有 1920 种．解：分两步来进行，先涂A 、B 、C ，再涂D 、E 、F ．①若5种颜色都用上，先涂A 、B 、C ，方法有35A 种；再涂D 、E 、F 中的两个点，方法有23A 种，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共有32532720A A =g g 种． ②若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，方法有45C 种；先涂A 、B 、C ，方法有34A 种；再涂D 、E 、F 中的1个点，方法有3种， 最后剩余的两个点只有3种涂法，故此时方法共有4354331080C A =g g g 种． ③若5种颜色只用3种，首先选出3种颜色，方法有35C 种； 先涂A 、B 、C ，方法有33A 种；再涂D 、E 、F ，方法有2种，故此时方法共有33532120C A =g g 种． 综上可得，不同涂色方案共有72010801201920++=种， 故答案为：1920．11.（2015秋•德州校级月考）如图所示，积木拼盘由A 、B 、C 、D 、E 五块积木组成，若每块积木都要涂一种颜色，且为了体现拼盘的特色，相邻的区域需涂不同的颜色（如:A 与B 为相邻区域，A 与D 为不相邻区域），现有五种不同的颜色可供挑选，则可组成的不同的积木拼盘的种数是( )A ．780B ．840C ．900D ．960解：先涂A ，则A 有5种涂法，再涂B ，因为B 与A 相邻，所以B 的颜色只要与A 不同即可，有4种涂法，同理C 有3种涂法，D 有4种涂法，E 有4种涂法，由分步乘法计数原理可知，可组成的不同的积木拼盘的种数为54344960⨯⨯⨯⨯=， 故选：D ．12.（2011•邢台一模）如图，某学校要用鲜花布置花圃中ABCDE 五个不同区域，要求同一区域上用一种颜色的鲜花，相邻区域使用不同颜色的鲜花，现有红、黄、蓝、白、紫五种不同颜色的鲜花可供任意选择．()I 求恰有两个区域用红色鲜花的概率；()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，求布置花圃的不同方法的种数．解：()I 设M 表示事件“恰有两个区域用红色鲜花”，如图： 当区域A 、D 同色时，共有54313180⨯⨯⨯⨯=种； 当区域A 、D 不同色时，共有54322240⨯⨯⨯⨯=种； 因此，所有基本事件总数为：180240420+=种 又因为A 、D 为红色时，共有43336⨯⨯=种； B 、E 为红色时，共有43336⨯⨯=种；因此，事件M 包含的基本事件有：363672+=种所以，恰有两个区域用红色鲜花的概率726()42035P M ==． ()II 当A 、D 区域同时用红色鲜花时，其它区域不能用红色， 布置花圃的不同方法的种数3336⨯⨯=种．（2015春•晋江市校级期中）已知四棱锥P ABCD -的底面是一个边长为2的正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD AD =，E 是线段PC 的中点 （Ⅰ）求证：//PA 面BDE ；（Ⅱ）求二面角A BD E --所成的平面角的余弦值大小；（Ⅲ）若将四棱锥P ABCD -的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总是多少．【解答】()I 证明：连接AC 交BD 于O ，连接OE ，易知O 为AC 的中点， OE ∴为APC ∆的中位线 //AP OE ∴，又OE ⊂平面BDE ，AP ⊂/平面BDE ， //AP ∴平面BDE ．()II 解：以DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则(2A ，0，0)，(2B ，2，0)，(0D ，0，0)，(0E ，1，1)，(0P ，0，2)， (0DE =u u u r ，1，1)，(2DB =u u u r，2，0)，设平面BDE 的一个法向量(n x =r ，y ，)z ，00n DE n DB ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u rr g ，0220y z x y +=⎧⎨+=⎩， (1n =r，1-，1)，又(0DP =u u u r ，0，2)． 设二面角A BD E --的平面角为θ．则||3cos |cos ,|||||23DP n DP n DP n θ=-<>=-==u u u r ru u u r g r u u u r r ．∴二面角A BD E --所成的平面角的余弦值为3-． ()III 解：若A 与C 同色则有54313180⨯⨯⨯⨯=， 若A 与C 不同色则有54322240⨯⨯⨯⨯=． ∴共有180240420+=（种)．。
排列组合题型全归纳 专题06 染色问题(原卷版)
专题06染色问题【方法技巧与总结】涂色问题常用方法：(1)根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理区域染色问题的基本方法；(2)根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出各种情形的种数，再用分类计数原理求出不同的涂色方法种数；(3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用分类计数原理求出不同涂色方法总数.k 种颜色圆周染色问题如图，把一个圆分成(2)n n ≥个扇形，每个扇形用k 种颜色之一染色，要求相邻扇形不同色，有(1)(1)(1)n n n a k k =-+-⨯-种方法.正常着色定理如图，用k （k 为正整数）种颜色给图的n 个顶点着色，则正常着色的方法为：,(1)(1)(1),2n n n k F k k n =-+--≥，1,k F k =.【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）如图是某届国际数学家大会的会标，现在有4种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为（）A．72B．48C．36D．24例2．（2023·全国·高三专题练习）如图，湖北省分别与湖南、安徽、陕西、江西四省交界，且湘、皖、陕互不交界，在地图上分别给各省地域涂色，要求相邻省涂不同色，现有5种不同颜色可供选用，则不同的涂色方案数为（）A．480B．600C．720D．840例3．（2023·全国·高三专题练习）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（）种不同的染色方案.A．96B．144C．240D．360例4．（2023·全国·高三专题练习）有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（）A．1512种B．1346种C．912种D．756种例5．（2023·全国·高三专题练习）在一个正六边形的六个区域涂色（如图），要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域（有公共边）涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有（）A．720种B．2160种C．4100种D．4400种例6．（2023·全国·高三专题练习）用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A．120种B．720种C．840种D．960种例7．（2023秋·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考开学考试）用黑白两种颜色随机地染如图所示表格中5个格子，每个格子染一种颜色，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子的染色方法种数为（）A ．6B ．10C ．16D ．20例8．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的5个区域内种植花卉，每个区域种植1种花卉，且相邻区域种植的花卉不同，若有6种不同的花卉可供选择，则不同的种植方法种数是（）A ．1440B ．720C ．1920D ．960例9．（2023·全国·高三专题练习）如图，用五种不同的颜色给图中的O ，A ，B ，C ，D ，E 六个点涂色（五种颜色不一定用完），要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂法种数是（）A ．480B ．720C ．1080D ．1200例10．（2023·全国·高三专题练习）用五种不同颜色给三棱柱111ABC A B C -的六个顶点涂色，要求每个顶点涂一种颜色，且每条棱的两个顶点涂不同颜色，则不同的涂法有（）A ．840种B ．1200种C ．1800种D ．1920种例11．（2023·全国·高三专题练习）正方体六个面上分别标有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个字母，现用5种不同的颜色给此正方体六个面染色，要求有公共棱的面不能染同一种颜色，则不同的染色方案有（）种.A ．420B ．600C ．720D ．780例12．（2023春·内蒙古赤峰·高二赤峰二中校考阶段练习）如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种例13．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（）A．192B．336C．600D．以上答案均不对例14．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是()A．420B．210C．70D．35例15．（2023·全国·高二专题练习）如图，给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，若有四种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有______种.例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F，G，H八个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段上的点颜色不同，则不同的涂色方法有___________种.例17．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种(以数字作答)．例18．（2023·全国·高三专题练习）如图，用4种不同的颜色给图中的8个区域涂色，每种颜色至少使用一次，每个区域仅涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色互不相同，则区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂2种不同颜色的涂色方法共有_________种；区域A，B，C，D和1A，1B，1C，1D分别各涂4种不同颜色的涂色方法共有_________种.例19．（2023·陕西宝鸡·统考一模）七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形､一个正方形和一个平行四边形.若用四种颜色给各板块涂色，要求正方形板块单独一色，其余板块两块一种颜色，而且有公共边的板块不同色，则不同的涂色方案有______种.例20．（2023秋·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.例21．（2023·高二课时练习）如图，用5种不同的颜色给图中的A、B、C、D、E、F6个不同的点涂色，要求每个点涂1种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有______种.例22．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的十一面体ABCDEFGHI中，用3种不同颜色给这个几何体各个顶点染色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为__________．例23．（2023·全国·高二专题练习）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，如图所示．将一个正四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．例24．（2023·全国·高三专题练习）如图，一个正方形花圃被分成5份．(1)若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有5种颜色不同的花，求有多少种不同的种植方法？(2)若向这5个部分放入7个不同的盆栽，要求每个部分都有盆栽，问有多少种不同的放法？例25．（2023·全国·高三专题练习）用()3,n n n N *≥∈种不同的颜色给如图所示的A 、B 、C 、D 四个区域涂色．（1）若相邻区域能用同一种颜色，则图①有多少种不同的涂色方案？（2）若相邻区域不能用同一种颜色，当6n =时，图①、图②各有多少种不同的涂色方案？（3）若相邻区域不能用同一种颜色，图③有180种不同的涂色方案，求n 的值．例26．（2023·全国·高二专题练习）如图所示的A ，B ，C ，D 按照下列要求涂色．（1）用3种不同颜色填涂图中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？（2）若恰好用3种不同颜色给A，B，C，D四个区域涂色，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？（3）若有3种不同颜色，恰好用2种不同颜色涂完四个区域，且相邻区域不同色，共有多少种不同的涂色方案？例27．（2023·全国·高二专题练习）（1）从5种颜色种选出3种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种；（2）从5种颜色种选出4种颜色，涂在一个四棱锥的五个顶点上，每一个顶点涂一种颜色，并使同一条棱上的两个顶点异色，则不同的涂色方法有______种．。
20181125小学奥数练习卷(知识点：染色问题)含答案解析
小学奥数练习卷（知识点：染色问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．102．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，463．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．64．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．42245．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有个．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有个．9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有块．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有个．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有条黑边．14．将一个8×8×8的立方体的三个面染红色，三个面染蓝色（要求任意三个有公共顶点的面不能全都染同一种颜色），然后将其切割成512个1×1×1的小立方体．这512个小立方体中，有个小立方体上既有红色面又有蓝色面．15．如图，5×5的方格中有三个小方格已经染黑．现在要将一个1×3的白长方形（不能选已经染黑的方格）染黑，要求其不能与已经染黑的方格产生公共边或者公共点．有种选法．16．这是一个由72个相同小四边形组成的图形，有一些四边形被病毒感染变成黑色．当某个健康的小四边形（白色），其周围至少有两个相邻的小四边形被感染时，则该四边形也将被感染变黑，依次扩散开来．那么至少再增加个病毒源（即黑色小四边形），可以使整个大图形都被感染．（相邻是指两个小四边形有公共边）．17．将一个4×4×4的立方体切割成64个1×1×1的小立方体，然后将其中16个1×1×1的小立方体染成红色，要求与任意一条棱平行的4个小立方体中，都正好有1个小正方体被染成红色，不同的染色方法有种（旋转后相同的染色方法也视为不同的染色方法）．18．小明想要对图中的每个小三角形进行染色，要求任意一个三角形的三边都是一条染红色、一条染绿色、一条染蓝色．图中给出了某些边的颜色，则AB边应该染色．19．如图是一个被挖空的长方体，每个洞都是贯穿的，如果把它丢进染缸里，4个面染色的小正方体比3个面染色的小正方体多个．20．如图，一个长方形的表格有8列，将数字1，2，…按一定顺序填入表格中（从左往右填，等一行填满后进入下一行，还是从左往右填），一个学生先将填有数字1的格子涂黑，接下来跳过1个格子，将填有数字3的格子涂黑；接下来跳过2个格子，将填有数字6的格子涂黑；接下来跳过3个格子，将填有数字10的格子涂黑．依此类推，直到所有列都含有至少一个黑格为止（不再继续涂黑了）．那么，他涂黑的最后一个格子里的数字为．21．将1，2，3，4，5填入如图表格中（表中的字母和数字用来标注行、列或者小方格，比如D3就表示D行3列那个白色小方格），要求每行每列上的五个数互不相同，接下来给出一些提示：（1）第4列的黑色小方格内的数之和为9；（2）第C行的黑色小方格内的数之和为7；（3）第2列的白色小方格内的数之和为8；（4）第B行的黑色小方格内的数之和小于第D行的黑色小方格内的数之和．则D4中填的数字为．22．图中的网格是由6个相同的小正方形构成，将其中4个小正方形涂上灰色，要求每行每列都有涂色的小正方形，经旋转后两种涂色的网格相同，则视为相同的涂法，那么有种不同的涂色方法．23．如图所示的多面体叫做正二十面体，是5个柏拉图立体（正多面体）中的一个，这个多面体由20个面（正三角形）围成，现将这20个面着色，要求有共同棱的两个面染有不同的颜色，则至少需要种颜色．24．由一些顶点和边构成的图形称为一个图，对一个图用不同颜色给顶点染色，要求具有相同边的两个顶点染不同的颜色．称为图的点染色，图的点染色通常要研究的问题是完成染色所需要的最少的颜色数，这个数称为图的色数．如图的图称为皮特森图，皮特森图的色数为．25．一块长、宽、高分别为15cm、12cm、9cm的长方体木块表面涂上红色后，将它切成大小相等的正方体且没有废料，至少可以切块，其中六个面都没有涂上红色的正方体有块．26．把一个棱长为n的大正方体表面涂上红色，然后切成n3个棱长为1的小正方体，经统计，恰好有一面涂红色的小正方体数量刚好是有三面涂红色的小正方体的12倍，那么n=．27．七个正方形拼成如图，我们要对其中的若干个正方形进行涂色，要求：（1）至少涂其中的两个正方形；（2）相邻正方形不能同时被涂色（有公共边或者公共顶点的正方形称为相邻正方形）．那么，有种不同的涂色方法．28．我们有27个1×1×1的小立方体，将其拼成一个3×3×3的大立方体，其中的一些小立方体的某些面被涂成了灰色，最后拼成的大立方体如图所示，那么，六个面都是白色的小立方体最多有个．29．图2的8×8表格中共含有168个如图1的“T”形．现对图2中的每个小方格染成黑色或白色；如果一个“T”形中黑白小方格各2个，则称这个“T”形为“和谐”的；那么对图2的各种染色方案，“和谐”的“T”形至多有个．30．将图中的边染色，要求有共同顶点的两个相邻的边染不同的颜色，则至少需要中颜色．31．四个黑色1×1×1的正方体和四个白色1×1×1的正方体可以组成种不同的2×2×2的正方体（经过旋转得到相同的正方体视为同一种惰况）．32．一个大正方形表面涂上红色后，按如图方式切成27个小正方形，这些小正方形中，恰好有三个面涂有红色的有个．33．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则至少需要种颜色．34．有9个表面涂有红漆的正方体，它们的棱长分别是2，3，4，…，9，10．将这些正方体都锯成棱长是1 的小正方体，在得到的小正方体中，至少有一个面是红色的有个．35．用1024个棱长是1的小正方体组成体积是1024的一个长方体．将这个长方体的六个面都涂上颜色，则六个面都没有涂色的小正方体最多有个．36．如图是64个小正方体组成的大正方体，把它的表面全部涂上绿色，请回答：三面涂上绿色的小正方体有个．没有涂上绿色的小正方体有个．两面涂上绿色的小正方体有个．37．将图中的圆圈染色．要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要种颜色．38．36个相同的小正方体叠成如图所示的长方体，取走A、B、C三个小正方体后，在这个几何体的整个表面涂满红漆，其中有个正方体是三面有漆的．39．x是一个正整数，将x×4×5的长方体的表面涂满红色后，锯成棱长全部是1的小正方体．这些正方体中，至少有一面是红色的小正方体有110个．那么，x=．40．由四个完全相同的正方体堆积成如图所示的立体，则立体的表面上（包括底面）所有黑点的总数至少是个．41．把一个大长方体表面涂满红色后，分割成若干个同样大小的长方体，其中只有两个面涂上红色的小长方体恰好是12块，那么可以把这个大长方体分割成个小长方体．A.20个B.27个C.32个D.42个．42．如图是一个变形的红十字一共分为六块区域．现在要用n种颜色对其染色，要求相邻的两块区域（有公共边的两块区域称为相邻）染成不同的颜色．如果颜色能反复使用，那么一共有种不同的染色方法（用n表示）．三．解答题（共8小题）43．将图中的O分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻O涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？44．7×7的方格黑白染色，如果黑格比白格少的列的个数为m，黑格比白格多的行的个数为n，求m+n的最大值．45．如图是一个等边三角形，等分为4个小的等边三角形，用红和黄两种颜色涂染它们的顶点，要求每个顶点必须涂色，且只能涂一种颜色．涂完后，如果经过旋转，等边三角形的涂色相同，则认为是相同的涂色，则共有多少种不同的涂法？46．三阶魔方的国际标准配色：白顶黄底，绿前蓝后，橙左红右．现在规定：白色═1，黄色═2，绿色═3，蓝色═4，橙色═5，红色═6．一个复原状态三阶魔方放在桌面上（如图1所示），今天这个魔方按照动态图片的方式打乱，最终变成图2的形态．此时图片中可以看到7个角块，那么看不到的那一个角块儿中与桌面完全接触的颜色代码是．47．用红、绿、蓝三种颜色涂正八面体（如图）的八个面，要求相邻面涂不同的颜色（有一条公共棱的面称为相邻面），一共有多少种不同的涂色方法？（旋转后相同的视为同一种涂色方法）48．下面是一张把4×6的方格纸去掉两个角所得的图形．（1）请把其中的一些格子涂上阴影，使得每个1×2小长方形（不论横竖）的2个方格中都恰有1个阴影方格和1个空白方格；（2）能否用11个1×2小长方形恰好拼满这张方格纸？如果能，请给出一种方法；如果不能，请说明理由．49．将每个最简分数（其中m，n 互质的非零自然数）染成红色或蓝色，染色规则如下：（1）将1染成红色；（2）相差为1的两个数颜色不同，（3）不为1的数与其倒数颜色不同．问：和分别染成什么颜色？50．在给你的卡纸上画有分别由1、2、3、4、5、6、7、8个小正三角形组成的8块拼板，并涂上黑、白两种颜色．（1）请你把这8块拼板剪下并拼成图1所示大的正三角形，且小三角形间的黑、白两种颜色必须相间．请在图1中用粗线条直接画出拼法，并标上每块拼板的标号．（2）图1的三角形金字塔我们称其为边长为6的金字塔（计每个小正三角形的边长为1）．图1金字塔中有个如图2所示的菱形．（注意，只要和图2中的形状一样即可，可旋转．）（3）是否存在整数n，使得边长为n的金字塔中菱形的个数为2012202201220132如果存在，请求出n；如果不存在，请证明．参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．连接正方形ABCD的对角线，并将四个顶点分别染成红色或黄色，将顶点颜色全相同的三角形称为同色三角形，则图中有同色三角形的染色方法共有（）A．12B．17C．22D．10【分析】本题考察染色问题．【解答】解：全部为红色或全部为黄色，2种；三红一黄或者三黄一红，4×2=8种，所以有同色三角形的染色方法有2+8=10（种），故选：D．【点评】本题只需简单分类进行枚举即可．2．由210块小正方体构成5×6×7的长方体，如果将其表面涂成红色，那么其中一面涂红的小正方体有（）块，两面涂红的小正方体有（）块．A．92，48B．94，48C．90，50D．94，46【分析】根据立体图形切拼可知：三个面均为红色的是各顶点处的小正方体，在各棱处，除去顶点处的正方体的有两面红色，在每个面上，除去棱上的正方体都是一面红色，所有的小正方体的个数减去有红色的小正方体的个数即是没有涂色的小正方体．根据上面的结论，即可求得答案．【解答】解：一面涂红的小正方体在每个面的中间，有：5﹣2=3（块），6﹣2=4（块），7﹣2=5（块）（3×4+3×5+4×5）×2=47×2=94（块）两面涂红的小正方体在12条棱的中间部分（除去顶点），有：（3+4+5）×4=12×4=48（块）答：其中一面涂红的小正方体有94块，两面涂红的小正方体有48块．故选：B．【点评】关键是理解正方体表面涂色的特点，知道切割后的小正方体涂色面的排列特点．注意数形结合与正方体表面涂色的特点的应用．3．一个由边长为1的小正方形组成的n×n的方格网，用白色或黑色对每个小正方形涂色，要求满足在任意矩形的4个角上的小正方形不全同色，那么正整数n的最大值是（）A．3B．4C．5D．6【分析】此题要充分利用抽屉原理和假设推理．根据题目所给的选项不妨选一个中间的数5为假设n的值，进行一步步地推理，进而推出与题目要求矛盾．从而得出n的取值范围，即得出答案．【解答】解：①假设n=5，（由抽屉原理知）第一行中至少有3个格子颜色相同．不妨设前3格为黑色（如图1）．在这3个黑格下方可以分割为4个横着的3×1的长方形，若其中有一个中有2个黑格（如图2），则存在着图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是黑格；所以这4个横着的3×1的长方形中，每个至多1个黑格．②假设这4个横着的3×1的长方形中，有两个对应格子颜色都一样（如图3），则一样存在图中的粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；而3×1的长方形中至多1个黑格的只有如图4的这4种．如果这4种都存在的话如图5，则同样存在图中粗线长方形4个角上的小正方形都是白格；这均与题目要求的矛盾．所以，n＜5，正整数n的最大值是4．而图6给出了n=4的一种构造．故选：B．【点评】对于选择题（特别是类似本题的），我们可以用题目选项所给答案进行推理，而选项正确的答案．4．如图，一块草地被开垦出11块正六边形耕地，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，如果相邻的耕地种植的植物不能相同，她有（）种不同的种植办法．（相邻耕地是指有公共边，每块耕地内只能种植一种植物）A．6912B．6144C．4608D．4224【分析】由题意，菲菲在这些耕地内种植向日葵、豌豆射手、闪电芦苇、冰冻西瓜4种植物，相邻的耕地种植的植物不能相同，如图所示，发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，求出中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，即可得出结论．【解答】解：如图所示发现阴影六边形一圈是关键，中间选好种后，周围一圈3种植物，3×25﹣（A、F同色，相当于5个围一圈），5个围一圈=3×24﹣（4个围一圈），4个围一圈=3×23﹣（3个围一圈），3个围一圈=3×2×1=6，中间一圈3×25×[3×24﹣（3×23﹣3×2×1）]=66，所以总共有4×66×24=4224（种）故选：D．【点评】本题考查染色问题．分情况讨论，发现阴影六边形一圈是关键．5．将一个大三角形分割成36 个小三角形，并且将其中一部分小三角形涂成红色，另一部分涂成蓝色，并且使得两个有公共边的三角形的颜色不同，如果红色的三角形比蓝色的多，那么多（）个．A．1B．4C．6D．7【分析】按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．【解答】解：根据分析，按题目要求来涂色的话，只有1 种涂法，如图：红色比蓝色多：（1+2+3+4+5+6）﹣（1+2+3+4+5）=6个．故选：C．【点评】本题考查染色问题，突破点是：逆向思维，推出按题意要求来染色只有一种符合条件，从而得出红色比蓝色的个数．二．填空题（共37小题）6．把一个正方体的表面积全涂成黑色，然后切成27个小正方体（如图），那么两面是黑色的小正方体共有12个．【分析】根据正方体表面涂色的特点，分别得出切割后的小正方体涂色面的排列特点：（1）三面涂色的在每个顶点处；（2）两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体）；（3）一面涂色的都在每个面上（除去棱长上的小正方体）；（4）没有涂色的都在内部．【解答】解：两面涂色的在每条棱长上（除去顶点处的小正方体），有：（3﹣2）×12=12（个）故答案为：12．【点评】解决此类问题的关键是抓住：三面涂色的在顶点处；两面涂色的在每条棱长的中间上；一面涂色的在每个面的中心上；没有涂色的在内部．7．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要4种颜色．【分析】要保证使用的颜色最少，则两个相邻的圆圈的颜色要尽可能多的相同，尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，据此解答即可．【解答】解：尝试2种颜色和3种颜色都不行，需要4种颜色，如下图：【点评】本题考查染色问题．8．一个长方体的棱长都是整数，表面涂上色后，切成棱长为1的正方体，若没有颜色的小正方体共有12个，则一面有色的正方体最少有32个．【分析】设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，分有四种情形求解即可．【解答】解：设把表面涂色的小正方形去了，得到的长方体的长、宽、高分别为a、b、c，由题意abc=12，有四种情形：①1×1×12时，一面有色的正方体有2（1×1+1×12+1×12）=50个，②1×2×6时，一面有色的正方体有2（1×2+1×6+2×6）=40个，③1×3×4时，一面有色的正方体有2（1×3+1×4+3×4）=38个，④2×2×3时，一面有色的正方体有2×（2×2+2×3+2×3）=32个，综上所述，一面有色的正方体最少有32个．故答案为32．【点评】本题考查染色问题，记住长方体（a×b×c）的染色规律：①3面染色的有8个（与长方体的顶点有关）；②2面染色的有4[（a﹣2）+（b﹣2）+（c ﹣2）]个（与长方体的棱长有关）；③1面染色的有2[（a﹣2）（b﹣2）+（a ﹣2）（c﹣2）+（b﹣2）（c﹣2）]个（与长方体的表面积有关）；④0面染色的有（a﹣2）（b﹣2）（c﹣2）个（与长方体的体积有关）；9．将图中的圆圈染色，要求有连线的两个相邻的圆圈染不同的颜色，则最少需要2种颜色．【分析】可以用不同的字母或数字表示不同的颜色，在图中进行标示，本题要求是有线段相连的两个圆圈颜色不同．【解答】解：用字母A、B、C…表示不同的颜色，先在左上角的圆圈填入A，为了使用的颜色种类尽量少，下一步在与它相连的三个圆圈都填入B，最后得到下面的涂色方法：共使用了2种颜色．故本题答案为：2．【点评】简单涂色类题目可以用标字母的方法，方便分析和解答．10．一个宝库有9个藏宝室，成九宫格状排列，但只有一个进口和一个出口分别开在如图所示的藏宝室，每个藏宝室至多只能进去一次，相邻的藏宝室之间都有门相通，每个藏宝室中的宝贝价值已标在图中，大盗买通守护，夜间进入宝库，他能带走的宝物价值最多是39．【分析】本题首先能想到根据染色问题进行分析，可将房间黑白相间染色，根据进口和出口所染颜色不同可知大盗应该经过了偶数个房间，因此最多经过8个房间，据此解答．【解答】解：借助染色解题，给3×3的方格黑白相同染色（如图），进口为黑格，若全部走完9个方格，出口应为黑格，而图中出口为白格，故至少有一个黑格不能走到，标数最小的（进口除外）应为6，即标6的房间无法进入，所以大盗能带走的宝物最多是45﹣6=39．故答案为：39．【点评】本题的突破口在于能用染色的方法进行解题，难度较大．11．如图是一个由26个相同的小正方体堆成的几何体，它的底层由5×4个小正方体构成，如果把它的外表面（包括底面）全部涂成红色，那么当这个几何体被拆开后，有3个面是红色的小正方体有14块．【分析】首先分析染色的方法，3个面的红色的上层的角块和下层的边块是符合条件的．【解答】解：依题意可知：第一层的共有4个角满足条件．第二层的4个角是4面红色，去掉所有的角块其余的符合条件．分别是3+2+3+2=10（个）；共10+4=14（个）；故答案为：14【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键是底面边长不同计算时要分开计算．同时注意底面是涂色的，问题解决．12．如图所示，用64个棱长为1的小立方体组成一个棱长为4的大立方体，再从上到下取走4个小立方体（图中阴影部分）．将剩余立体图形的内外表面都染成红色，那么恰有两个面染色的小立方体共有28个．【分析】首先分析棱上的小块，面上的除了空心通道以外其他是没有的，空心通道的数字计算出来相加即可．【解答】解：依题意可知：在大正方体的棱上的，上下各有6个，侧面棱上8个，棱上共20个．空心通道产生的上下各有2个，通道内有4个共8个．共20+8=28（个）．故答案为：28．【点评】本题考查对染色问题的理解和运用，关键问题是从棱上分析再分析空心通道即可，问题解决．13．一个5×5的方格由25个1×1的小方格组成，每个小方格都被分成四个相同的等腰直角三角形，其中三个被涂成了黑色（如图a所示）．小正方形的边如果位于黑色部分，就称为黑边，反之就是白边．在5×5的方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，那么5×5方格的四条长边（如图b 所示）上最少有5条黑边．【分析】由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．再判断内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条．【解答】解：由题意，角上的小方格每个有2条边在外面，故其中至少有1条是黑边，这样5×5方格的四条长边上，黑边不少于1×4=4条．每个小方格有3条黑边，5×5=25个小方格一共有3×25=75条黑边，而在5×5方格内，相邻（有公共边）小方格的公共边必须是同色的，故内部的黑边的条数为偶数，则四条长边上的黑边的条数为奇数，所以5×5方格的四条长边上，黑边不少于5条，如图所示为5×5方格的四条长边上有5条黑边的例子，综上所述，5×5方格的四条长边（如图b所示）上最少有5条黑边．故答案为5．。
专题06 染色问题(解析版)
专题6 染色问题例1．如图所示的几何体由三棱锥P ABC -与三棱柱111ABC A B C -组合而成，现用3种不同颜色对这个几何体的表面涂色(底面111A B C 不涂色)，要求相邻的面均不同色，则不同的涂色方案共有（ ）A ．6种B ．9种C ．12种D ．36种【解析】 先涂三棱锥P ABC -的三个侧面，有1113216C C C =种情况，然后涂三棱柱的三个侧面，有1112112C C C =种情况，共有6212⨯=种不同的涂法．故选：C ．例2．如图，用四种不同的颜色给图中的A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ）A ．192种B ．336种C ．600种D ．624种【解析】 由题意，点E ，F ，G 分别有4，3，2种涂法，（1）当A 与F 相同时，A 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有3种涂色方法；②若C 与F 不同，则D 有2种涂色方法.故此时共有()432121312240⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.（2）当A 与G 相同时，A 有1种涂色方法，①若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有2种涂色方法；②若C 与F 不同，则C 有2种涂色方法，此时B 有2种涂色方法，D 有1种涂色方法.故此时共有()4321122221192⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=种涂色方法.（3）当A 既不同于F 又不同于G 时，A 有1种涂色方法.①若B 与F 相同，则C 与A 相同时，D 有2种涂色方法，C 与A 不同时，C 和D 均只有1种涂色方法； ②若B 与F 不同，则B 有1种涂色方法，（i ）若C 与F 相同，则C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法；（ii ）若C 与F 不同，则必与A 相同，C 有1种涂色方法，此时D 有2种涂色方法.故此时共有()()43211121111212168⨯⨯⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯=⎡⎤⎣⎦种涂色方法.综上，共有240192168600++=种涂色方法.故选：C.例3．现有6种不同的颜色，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同的涂色方法共有（ ）A ．720种B ．1440种C ．2880种D ．4320种【解析】 根据题意分步完成任务：第一步：完成3号区域：从6种颜色中选1种涂色，有6种不同方法；第二步：完成1号区域：从除去3号区域的1种颜色后剩下的5种颜色中选1种涂色，有5种不同方法；第三步：完成4号区域：从除去3、1号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第四步：完成2号区域：从除去3、1、4号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；第五步：完成5号区域：从除去1、2号区域的2种颜色后剩下的4种颜色中选1种涂色，有4种不同方法；第六步：完成6号区域：从除去1、2、5号区域的3种颜色后剩下的3种颜色中选1种涂色，有3种不同方法；⨯⨯⨯⨯⨯=种.所以不同的涂色方法：6543434320故选：D.例4．将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（）．A．420 B．180 C．64 D．25【解析】由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行区域A有5种涂法，B有4种涂法，⨯⨯⨯=种，A，D不同色，D有3种，C有2种涂法，有5432120⨯⨯=种，A，D同色，D有1种涂法，C有3种涂法，有54360共有180种不同的涂色方案．故选：B．例5．用红、黄、蓝、绿、橙五种不同颜色给如图所示的5块区域A、B、C、D、E涂色，要求同一区域用同一种颜色，有共公边的区域使用不同颜色，则共有涂色方法（）A ．120种B ．720种C ．840种D ．960种【解析】 法一：A 有5种颜色可选，B 有4种颜色可选，D 有3种颜色可选，若CA 同色，E 有4种颜色可选；若CB 同色，E 有4种颜色可选；若C 与A 、B 都不同色，则C 有2种颜色可选，此时E 有4种颜色可选，故共有()5434424960⨯⨯⨯++⨯=种．法二：当使用5种颜色时，有55120A =种涂色方法；当使用4种颜色时，必有两块区域同色，可以是AC ，BC ，AE ，BE ，CE ，共有455600A =种涂色方法；当使用3种颜色时，只能是AC 同色且BE 同色，AE 同色且BC 同色，ACE 同色，BCE 同色，共有354240A =种涂色方法，∴共有120600240960++=种涂色方法.故选：D.例6．如图，某伞厂生产的太阳伞的伞篷是由太阳光的七种颜色组成，七种颜色分别涂在伞篷的八个区域内，且恰有一种颜色涂在相对区域内，则不同颜色图案的此类太阳伞最多有（ ）.A．40320种B．5040种C．20160种D．2520种【解析】先从7种颜色中任意选择一种，涂在相对的区域内，有177C=种方法，再将剩余的6种颜色全部涂在剩余的6个区域内，共有66A种方法，由于图形是轴对称图形，所以上述方法正好重复一次，所以不同的涂色方法，共有66725202A⨯=种不同的涂法.故选：D.例7．如图所示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种色可供使用，则不同的染色方法种数为（）A．240 B．360 C．420 D．960【解析】⨯⨯=种染色方法.由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有54360设5种颜色为1，2，3，4，5，当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染法.⨯=（种）.可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有607420故选：C⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相例8．如图所示，将3333邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最小值为( )A．33 B．56 C．64 D．78【解析】记分隔边的条数为L，首先将方格按照按图分三个区域，分别染成三种颜色，粗线上均为分隔边，此时共有56条分隔边，即56L =，其次证明：56L ≥，将将方格的行从上至下依次记为1233,,,A A A ，列从左至右依次记为1233,,B B B ，行i A 中方格出现的颜色数记为()i n A ，列i B 中方格出现的颜色个数记为()i n B ，三种颜色分别记为123,,c c c ，对于一种颜色j c ，设()j n c 为含有j c 色方格的行数与列数之和，定义当i A 行含有j c 色方格时，(),1i j A c δ=，否则(),0i j A c δ=，类似的定义(),i j B c δ，所以()()()()()()()3333331111,,i i i ji j j i i i j n A n B A c B c n c δδ====⎫+=+=⎪⎭∑∑∑∑， 由于染j c 色的格有21333633⨯=个，设含有j c 色方格的行有a 个，列有b 个，则j c 色的方格一定再这个a 行和b 列的交叉方格中，从而363ab ≥，所以()()3839(1,2,3)j j n c a b n c j =+≥≥>⇒≥=①，由于在行i A 中有()i n A 种颜色的方格，于是至少有()1i n A -条分隔边，类似的，在列i B 中有()i n B 种颜色的方格，于是至少有()1i n B -条分隔边， 则()()()()()()()3333113311166i i i ii i i L n A n B n A n B ===≥-+-=+-∑∑∑② ()3166j j n c ==-∑③下面分两种情形讨论，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨设有一行均为1c 色，则方格的33列均含有1c 的方格，又1c 色的方格有363个,故至少有11行有1c 色方格，于是()1113344n c ≥+=④由①③④得()()()123664439396656L n c n c n c ≥++-≥++-=，(2)没有一行也没有一列的所有方格同色,则对任意133i ≤≤均有()()2,2i i n A n B ≥≥，从而，由式②知：()()()33166334666656i i i L n A n B =≥+-≥⨯-=>∑，综上，分隔边条数的最小值为56.故选：B.例9．如图给三棱柱ABC DEF -的顶点染色，定义由同一条棱连接的两个顶点叫相邻顶点，规定相邻顶点不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的染色方法有_________________.【解析】首先先给顶点,,A B C 染色，有3424A =种方法，再给顶点D 染色，①若它和点B 染同一种颜色，点E 和点C 染相同颜色，点F 就有2种方法，若点E 和点C 染不同颜色，则点E 有2种方法，点F 也有1种方法，则,,DEF 的染色方法一共有2214+⨯=种方法，②若点D 和点B 染不同颜色，且与点C 颜色不同，则点D 有1种方法，点E 与点C 颜色不同，则点E 有1种方法，则点F 有1种方法，此时有1种方法；若最后E 与C 相同，则F 有2种方法，则共有2种方法；点D 与点C 颜色相同，则点D 有1种方法，则点E 有2种方法，则点F 有2种方法，共有224⨯=种方法，所以点D 和点B 染不同，颜色共有1247++=种方法，所以点,,D E F 的染色方法一共有4711+=种，所以共有2411264⨯=种方法.故答案为：264例10．现用五种不同的颜色，要对如图中的四个部分进行着色，要求公共边的两块不能用同一种颜色，共有__________种不同着色方法【解析】先排I ，有5种方法；然后排II,IV ，最后排III ：①当II,IV 相同时，方法有44⨯种，故方法数有54480⨯⨯=种.②当II,IV 不同时，方法有433⨯⨯种，故方法数有5433180⨯⨯⨯=种.综上所述，不同的着色方法数有80180260+=种.故答案为：260例11．如图所示的五个区域中，中心区E 域是一幅图画，现要求在其余四个区域中涂色．．．．．．．．．，有四种颜色可供选择．要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法种数为______．【解析】分三种情况：（1）用四种颜色涂色，有4424A =种涂法；（2）用三种颜色涂色，有34248A =种涂法；（3）用两种颜色涂色，有2412A =种涂法；所以共有涂色方法24481284++=.故答案为：84例12．从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.【解析】从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色有4种选法.因为每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，分两类：一类是，前三个圆用3种颜色，有336A =种方法，后3个圆也有3种颜色，有11224C C =种方法，此时不同方法有6×4=24方法； 二类是，前3个圆2种颜色，后3个圆2种颜色，共有11326C C =方法.综上可知，所有的涂法共有()4246120⨯+=种方法.故答案为： 120例13．如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有_________种【解析】先对E 部分种植，有4种不同的种植方法；再对A 部分种植，又3种不同的种植方法；对C 部分种植进行分类：①若与A 相同，D 有2种不同的种植方法，B 有2种不同的种植方法，共有432248⨯⨯⨯=（种）， ②若与A 不同，C 有2种不同的种植方法，D 有1种不同的种植方法，B 有1种不同的种植方法，⨯⨯⨯⨯=（种），共有4321124综上所述，共有72种种植方法．故答案为：72.例14．现有五种不同的颜色，要对图形中的四个部分进行着色，要求有公共边的两块不能用同一种颜色，不同的涂色方法有_______种．【解析】依题意，I、II、III区域有共同边颜色互不相同，按I、II、III、IV顺序着色，则区域I有5种着色方法，区域II有4种着色方法，区域III有3种着色方法，IV只与II、III相邻，因此区域IV有3种着色方法，根据分步乘法计数原理，不同的着色方法种数为⨯⨯⨯=.5433180故答案为：180例15．现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有__________种(用数字作答).【解析】当涂红色两个相邻的小正方形在两端时是有12224A A =， 当涂红色两个相邻的小正方形在不在两端时是有122A =，则不同的涂法种数共有426+=种．故答案为：6．例16．四色猜想是近代数学难题之一，四色猜想的内容是：“任何一张地图最多用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”，如图，一张地图被分成了五个区域，每个区域只使用一种颜色，现有4种颜色可供选择（四种颜色不一定用完），则满足四色猜想的不同涂色种数为__________【解析】设五个区域分别为,,,,A B C D E ，依题意由公共边的两个区域颜色不同，用四种颜色进行涂色则有两个区域颜色相同，可以是A 与C ，A 与E ，B 与E 同色，有涂色方法44372A =；或用三种颜色涂色，则有2组颜色同色，为A 与C 同色，B 与E 同色，有涂色方法3424A =，根据分类加法原理，共有涂色方法722496+=.故答案为：96.例17．如图，将标号为1，2，3，4，5的五块区域染上红、黄、绿三种颜色中的一种，使得相邻区域(有公共边)的颜色不同，则不同的染色方法有______种.【解析】对于1，有三种颜色可以安排；若2和3颜色相同，有两种安排方法，4有两种安排，5有一种安排，此时共有322112⨯⨯⨯=；若2和3颜色不同，则2有两种，3有一种.当5和2相同时，4有两种；当5和2不同，则4有一种，此时共有()322118⨯⨯+=⎡⎤⎣⎦，综上可知，共有121830+=种染色方法.故答案为：30.例18．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，则不同的栽种方法有______种.（用数字作答）【解析】由题意，6个部分.栽种4种不同颜色的花，必有2组颜色相同的花，若2、5同色，则3、6同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；若2、4同色，则3、6同色，所以共有4424A =种栽种方法；若3、5同色，则2、4同色或4、6同色，所以共有44248A =种栽种方法；所以共有482448120++=种栽种方法.故答案为：120例19．给图中A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域进行染色，每个区域只染一种颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有___种不同的染色方案.【解析】解：要完成给图中A、B、C、D、E、F六个区域进行染色，染色方法可分两类，第一类是仅用三种颜色染色，即AF同色，BD同色，CE同色，则从四种颜色中取三种颜色有344C=种取法，三种颜色染三个区域有3 36A=种染法，共4624⨯=种染法；第二类是用四种颜色染色，即AF，BD，CE中有一组不同色，则有3种方案(AF不同色或BD不同色或CE不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有2412A=种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共有312272⨯⨯=种染法．∴由分类加法原理得总的染色种数为247296+=种．故答案为：96．20．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有种.（用数字作答）例21．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【解析】（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色： ①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种； 综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++=种； （2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种；综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++=种. 故答案为：252；1040.例22．如图，用四种不同的颜色给三棱柱ABC A B C '''-的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色．若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有________种；若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有________种．【解析】（1）由题得每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有3344576A A =；（2）若B '，A '，A ，C 用四种颜色，则有4424A =； 若B '，A '，A ，C 用三种颜色，则有33442222192A A ⨯⨯+⨯⨯=；若B '，A '，A ，C 用两种颜色，则有242248A ⨯⨯=.所以共有2419248++=264种．故答案为：①576；②264.。
四年级数学奥数题知识点《染色问题》专项训练及答案
四年级数学奥数题知识点《染色问题》专项训练
及答案
题型：染色问题难度：★★
如图，把A、B、C、D、M这五个部分用5种不同的颜色染色，且相邻的部分不能使用同一种颜色，有的颜色也可以不用，不相邻的部分可以使用同一种颜色，那么这幅图一共有多少种不同的染色方法?
【答案解析】
如果5种颜色全部使用，那么共有5×4×3×2×1=120种染色方法。
如果只使用4种颜色，可以是B和D同色，也可以是A和C 同色，那么共有5×4×3×2×2=240种染色方法。
如果只使用3种颜色，那么有B和D同色并且A和C同色，共有5×4×3=60种染色方法。
120+240+60=420，所以这幅图一共有420种不同的染色方法。
题型：染色问题难度：★★
如图，9条小线段组成了4个小三角形，现在将每条线段分别染上红、黄、蓝三种颜色之一，使得每个三角形三条边的颜色互不相同，那么共有多少种不同的染色方式?
【答案解析】
任选一个小三角形的一条边，当这条边的颜色确定时，这个小三角形的染色方法有2种，同时每种方法都会确定与其相邻的小三角形的一条边的颜色。
24×3=48，所以共有48种不同的染色方式。
小学数学五年级《染色与操作问题》练习题(含答案)
《染色与操作问题》练习题（含答案）染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.【例1】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？分析：（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【例2】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？分析：划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?分析：如图，将5×9长方形自然染色，发现黑格的邻座都是白格，白格的邻座都是黑格，因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例3】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?分析：如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【巩固】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?分析：如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【例4】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？分析：下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例5】一只电动老鼠从左下图的A点出发，沿格线奔跑，并且每到一个格点不是向左转就是向右转。
初中数学染色问题及答案
参考答案1. （1）首先用12块3×3地板砖与6块2×2地板砖能铺成12×11的长方形地面，再利用4个12×11的板块，恰用1块1×1地板砖，可以铺满23×23的正方形地面．（2）我们将23×23的大正方形分成23行23列共计529个1×1的小方格，再将第1行，第4行，第7行，第10行，第13行，第16行，第19行，第22行这八行染红色，其余的15行都染白色，任意2×2或3×3的小正方块无论怎样放置（边线与大正方形格线重合），每块2×2或3×3的正方块都将盖住偶数块1×1的白色小方格．假设用2×2及3×3的正方形地板砖可以铺满23×23后正方形地面，则它们盖住的白色1×1的小方格总数为偶数个．然而23×23地面染色后共有23×15（奇数）个1×1的白色小方格，矛盾．所以，只用2×2，3×3两种型号地板砖无论如何铺设，都不能铺满23×23的正方形地面而不留空隙．2. 对这五个区域，我们分五步依次给予着色：（1）区域A共有5种着色方式；（2）区域B因不能与区域A同色，故共有4种着色方式；（3）区域C因不能与区域B同色，故共有4种着色方式；（4）区域D因不能与区域A，B，C同色，故共有2种着色方式；（5）区域E因不能与区域A，D同色，故共有3种着色方式．（6）区域F因不能与区域D，E同色，故共有3种着色方式．（7）区域G因不能与区域A，E，F同色，故共有2种着色方式．于是，根据乘法原理共有5×4×4×2×3×3×2=2880种不同的着色方式．故答案为：2880．3. 因为绿色小方格的上方和右方不能与红色方格邻接，根据要求按照左上、右上、左下、右下的顺序所有可能的结果为：绿、绿、绿、绿，绿、绿、红、红，红、绿、红、绿，红、红、红、绿，红、红、红、红共5种涂色方法．故答案为5．4. 如下图3所示，将8×8方格黑白交替地染色此题允许右上图4所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数，所以图1中白格中的数字之和减去黑格的数字之和，与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等，都等于32，由（31+A）-32=32，得出A=33．5. （1）第一个三角形染色有4种，第二个三角形有3种颜色可以涂色，第三个三角形就只有两种颜色涂色了，最后一个三角形只有1种选择了，故不同的涂色方法种数N=4×3×2×1=24种，（2）上方三角形染色有4种，右边三角形有3种颜色可以涂色，下边三角形就只有两种颜色涂色了，左边三角形只有1种选择了，故不同的涂色方法种数N=4×3×2×1=24种，（3）正四面体四个三角形的涂色原理和种数和图①和图②都相同，也是24种6. 假设六个面有6个数字，1号上若染红色，则2，3，4，5，6每个都有两种可能的颜色，共10种；1号上若染蓝色，则2，3，4，5，6每个都有两种可能的颜色，共10种．故答案为：20．7. ∵因为M与m分别是红色方格与绿色方格中的数，故M-m≠0．∴M-m可能有8个不同的值：-4，-3，-2，-1，1，2，3，4．故M-m可以有8个不同的值．故答案为：8．8. ∵m表示至少包含5个黑色小方格的行的数目，∴5m小于29，∴m的最大值为5，当m=5时，则n的最大值为5．故m+n的最大值为5+5=10．故答案为10．9. 由于顶点A是4条线段AB，AC，AD，AE的公共点，因此至少需要4种颜色．若只有4种颜色，不妨设为红、黄、蓝、绿，则每个顶点引出的4条线段的颜色包含红、黄、蓝、绿各一种，因此，红色的线段共有条，矛盾．所以，至少需要5种颜色．下面的例子说明5种颜色可以将这10条线段染为满足条件的颜色．将AB，CE染为1号颜色；将BC，DA染为2号颜色；将CD，EB染为3号颜色；将D E，AC染为4号颜色；将EA，BD染为5号颜色，则任意有公共顶点的两条线段不同色．综上所述，颜色数目的最小值为5．。
六年级上册奥数试题-第19讲 简单染色问题 全国通用(含答案)
第19讲简单染色问题知识网络数学竞赛中的“染色”一般包括两个方面：染色问题和染色方法。
如果染色作为题目的条件给出，那么一般要考虑的是存在与否，有何性质以及有多少种染法等，这就是染色问题。
如果题目中没有提到染色，在解题中运用形象、直观的染色来进行分类，帮助解决问题这就是染色方法。
重点·难点我们在前面几讲中也涉及到染色问题。
一般来说，染色问题涉及分类、奇偶性、排列组合等多方面的知识。
因此如何应用这些相关的知识点解题，是很关键的。
在下面的例题中也可以看出，这些知识在解题中的应用。
学法指导染色作为一种数学思维方法，可以用来推证说理，使一些难以讲清楚的问题一目了然。
有时染色题可能很难想清楚，比如“四色问题”，但可以运用上面的知识点解决一些比较简单的染色问题。
经典例题[例1]如图1所示，一个长方形被分成6块区域，若给每一块区域都染色，并且要求相邻的区域颜色不同，请问至少需要多少种不同的颜色？思路剖析由于A、B、C两两相邻，所以要使相邻的区域颜色不同，至少A、B、C的颜色不能相同。
但是，仅有3种颜色够不够呢？对于区域较少的情形可以逐一试验，如果区域较多时，可以考虑取有多相邻区域的区域来先染色。
解答先考虑有最多相邻区域的A，染第1种颜色；其次考虑与A相邻的B、C、D、E中，有最多相邻区域的E，染第2种颜色；再考虑B，它与A、E都相邻，染第3种颜色。
由C 和E不相邻，故C可用第2种颜色，D与B不相邻，D可用第3种颜色，F和A不相邻，F 可染第一种颜色。
这样，用第一种颜色染在A和F上，用第二种颜色染在C和E上，用第三种颜色染在B和D上即可满足题意要求。
所以，满足条件的染色，至少需要三种颜色。
[例2]用红、黄、蓝三种颜色涂一个正方体的六个面，两个面涂一种颜色，那么共有几种涂法？思路剖析本题要用到分类和组合的一些思想，同进，在解题时要注意，如果两种所谓不同涂法的正方体经翻转或旋转之后得到同样的效果，它只能是一种涂法。
六年级下册数学试题-专题复习：染色问题(含答案pdf) 全国通用
染色问题的解题思路染色问题是解题中的难点，这类问题初看起来好像无从着手，其实只要认真思考问题也很容易解决，下面就染色问题的解题思路说一下。
图一首先，拿到一道题先认真观察，看这个题的突破点。
什么是染色问题的突破点呢？那就是找染色区域中的一个最多，这个最多是指一个区域，其他区域与它连接的最多。
例如图一中A区域A与B、C、D、E、F连接最广所以A为特殊区域。
找到这个区域问题就容易解决了。
这个区域可以任意添色就是染最多的颜色。
本题中有4种颜色那么A可以染4种颜色了。
完成这个事件需要A、B、C、D、E、F6步所以用乘法原理。
这道题找到了最特殊的A区域第二特殊区域和第三区域的确定也就容易了，C区域是与A相连，连接区域的数量仅次于A区域图一中的C和E区域都可以做第二个特殊区域了，但只能选一个，我们把C 当成第二特殊的区域，则C可以染3种颜色。
区域B跟A、C相连那么B可以染2种。
D 与A、C、E相连则只能选1种，对吗？我们仔细观察，按顺序说A----4，C------3，B-------2，D则连接A、C当A选色后C有3种可能，D在A、C选色后只有2种可能。
E连接A、D也有两种可能。
F也是连接着A、E有两种可能。
这道题就解出来了。
有4×3×2×2×2=96种可能。
这道题跟以下一道题有异曲同工之效，大家不妨一起看下图二。
图二图中A与B、C相连有4种染色方式，为第一特殊区域。
而B是与A相连的第二特殊区域（切记，此时选第二特殊区域，乃是跟第一特殊区域相连的一个区域）B有3种可能，C连接A、B则有2种可能，D连接B、C则有2种可能，同理E也有2种可能。
所以此题有4×3×2×2×2=96种可能的染色。
再来看一个稍微复杂点的问题如图三图三图中A有5种染色方式C------4，B-----3，D-----3，E------3，F------3，G------3。
微生物染色试题及答案详解
微生物染色试题及答案详解微生物染色是微生物学中非常重要的技术，它可以帮助我们更清楚地观察和识别微生物。
以下是关于微生物染色的试题及答案详解。
一、选择题1. 微生物染色的主要目的是什么？A. 杀菌B. 灭活C. 观察形态D. 培养答案：C2. 革兰氏染色法的发现者是谁？A. 李斯特B. 巴斯德C. 柯赫D. 革兰答案：D3. 革兰氏染色法中，阳性菌和阴性菌的主要区别是什么？A. 细胞壁的厚度B. 细胞膜的类型C. 核糖体的大小D. 染色剂的吸附能力答案：A二、填空题4. 革兰氏染色法包括____、____、____、____四个基本步骤。
答案：固定、初染、脱色、复染5. 革兰氏阳性菌的细胞壁主要由____组成，而革兰氏阴性菌的细胞壁主要由____组成。
答案：肽聚糖层、脂多糖层三、简答题6. 简述革兰氏染色法的原理。
答案：革兰氏染色法的原理是基于革兰氏阳性菌和阴性菌细胞壁结构的差异。
阳性菌的细胞壁较厚，主要由肽聚糖构成，能够保持染色剂（如结晶紫）在细胞内，即使经过脱色剂（如碘和酒精）的处理，颜色也不会褪去。
而阴性菌的细胞壁较薄，主要由脂多糖构成，染色剂容易被脱色剂洗去，因此在脱色后呈现无色或淡色。
四、论述题7. 论述微生物染色在临床诊断中的重要性。
答案：微生物染色在临床诊断中具有至关重要的作用。
首先，它可以帮助医生快速识别病原体的形态特征，从而初步判断可能的感染类型。
其次，通过染色技术，可以观察到微生物的某些特殊结构，如芽孢、荚膜等，这些结构对于病原体的鉴定和分类具有重要意义。
此外，染色技术还可以用于检测微生物的耐药性，为临床选择合适的抗生素提供依据。
最后，染色技术在病原微生物的定量分析中也发挥着重要作用，有助于评估感染的严重程度和治疗效果。
结束语通过本试题的学习和练习，相信同学们对微生物染色技术有了更深入的了解和掌握。
希望同学们能够将所学知识应用于实际工作中，不断提高自己的专业技能和科研水平。
三年级染色问题练习题
三年级染色问题练习题染色问题是数学中的一种经典题型，常常出现在小学三年级的数学练习题中。
本文将通过解析染色问题的思路和方法，让同学们能够准确地解答这类题目。
一、问题描述在染色问题中，通常会给出一些图案或几何形状，每个图案或几何形状都有一定数量的区域需要染色。
题目要求我们计算染色不同区域所需的颜料数量。
二、解题思路解决染色问题的关键是找到合适的方法来计算不同区域的数量。
下面介绍一种常用的解题思路。
1. 分析图案首先，我们需要仔细观察给定的图案或几何形状，理解每个区域的形状和数量关系。
可以根据实际情况，画出简化版的图案，便于我们进行计算。
2. 划分区域接下来，我们根据图案的特点，将其划分为不同的区域，并标记出每个区域。
可以使用数字或字母来进行标记，便于我们进行计数。
3. 计算数量对于每个区域，我们需要分别计算其所需的颜料数量。
可以根据图案的形状和要求，使用相应的计算方法来求解。
三、例题演练为了更好地理解染色问题的解题过程，我们来做一些例题演练。
例题一：某幼儿园有一块正方形花坛，每条边长1米。
园长要求将该花坛划分为4个相等的小花坛，并为每个小花坛上不同的染色。
请问，染色4个小花坛共需多少颜料？解题思路：1. 分析图案：正方形花坛划分成4个相等的小花坛。
2. 划分区域：将花坛划分为4个小花坛，分别用A、B、C、D来表示。
3. 计算数量：由于4个小花坛都是相等的正方形，且每个小花坛只需要染色一次，所以每个小花坛所需的颜料数量都一样。
假设每个小花坛需要X单位颜料。
总共需要的颜料数量 = 每个小花坛所需颜料数量 ×小花坛的数量 = X × 4= 4X（单位）例题二：小明要染色他的长方形围墙，长为4米，宽为2米。
染色时，他要将整个围墙染成黄色，然后在围墙左边和右边各刷上一条蓝色的带子。
请问，染色围墙共需多少颜料？解题思路：1. 分析图案：长方形围墙，先染黄色，然后在左右两边各刷一条蓝色的带子。
人教版小学数学经典例题 乘法原理之染色问题（含解析答案）
1.使学生掌握乘法原理主要内容，掌握乘法原理运用的方法；2.使学生分清楚什么时候用乘法原理，分清有几个必要的步骤，以及各步之间的关系．3.培养学生准确分解步骤的解题能力；乘法原理的数学思想主旨在于分步考虑问题，本讲的目的也是为了培养学生分步考虑问题的习惯．一、乘法原理概念引入 老师周六要去给同学们上课，首先得从家出发到长宁上8点的课，然后得赶到黄埔去上下午1点半的课．如果说申老师的家到长宁有5种可选择的交通工具（公交、地铁、出租车、自行车、步行），然后再从长宁到黄埔有2种可选择的交通工具（公交、地铁），同学们，你们说老师从家到黄埔一共有多少条路线？我们看上面这个示意图，老师必须先的到长宁，然后再到黄埔．这几个环节是必不可少的，老师是一定要先到长宁上完课，才能去黄埔的．在没学乘法原理之前，我们可以通过一条一条的数，把线路找出来，显而易见一共是10条路线．但是要是老师从家到长宁有25种可选择的交通工具，并且从长宁到黄埔也有30种可选择的交通工具，那一共有多少条线路呢？这样数，恐怕是要耗费很多的时间了．这个时候我们的乘法原理就派上上用场了．二、乘法原理的定义完成一件事，这个事情可以分成n 个必不可少的步骤（比如说老师从家到黄埔，必须要先到长宁，那么一共可以分成两个必不可少的步骤，一是从家到长宁，二是从长宁到黄埔），第1步有A 种不同的方法，第二步有B 种不同的方法，……，第n 步有N 种不同的方法．那么完成这件事情一共有A ×B ×……×N 种不同的方法．教学目标 知识要点乘法原理之染色问题结合上个例子，老师要完成从家到黄埔的这么一件事，需要2个步骤，第1步是从家到长宁，一共5种选择；第2步从长宁到黄埔，一共2种选择；那么老师从家到黄埔一共有5×2个可选择的路线了，即10条．三、乘法原理解题三部曲1、完成一件事分N 个必要步骤；2、每步找种数（每步的情况都不能单独完成该件事）；3、步步相乘四、乘法原理的考题类型1、路线种类问题——比如说老师举的这个例子就是个路线种类问题；2、字的染色问题——比如说要3个字，然后有5种颜色可以给每个字然后，问3个字有多少种染色方法；3、地图的染色问题——同学们可以回家看地图，比如中国每个省的染色情况，给你几种颜色，问你一张包括几个部分的地图有几种染色的方法；4、排队问题——比如说6个同学，排成一个队伍，有多少种排法；5、数码问题——就是对一些数字的排列，比如说给你几个数字，然后排个几为数的偶数，有多少种排法．【例 1】 地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？D C B A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 A 有3种颜色可选；当B ，C 取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D 也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B ，C 取不同的颜色时，B 有2种颜色可选，C 仅剩1种颜色可选，此时D 也只有1种颜色可选(与A 相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．【答案】18【巩固】 如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给例题中的地图染色，使相邻国家的颜例题精讲色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．【注意】给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．【答案】84【例 2】 在右图的每个区域内涂上A 、B 、C 、D四种颜色之一，使得每个圆里面恰有四种颜色，则一共有__________种不同的染色方法．7654321【考点】乘法原理之染色问题 【难度】4星 【题型】解答【解析】 因为每个圆内4个区域上染的颜色都不相同，所以一个圆内的4个区域一共有43224⨯⨯=种染色方法．如右图所示，当一个圆内的1、2、3、4四个区域的颜色染定后，由于6号区域的颜色不能与2、3、4三个区域的颜色相同，所以只能与1号区域的颜色相同，同理5号区域只能与4号区域的颜色相同，7号区域只能与2号区域的颜色相同，所以当1、2、3、4四个区域的颜色染定后，其他区域的颜色也就相应的只有一种染法，所以一共有24种不同的染法．【答案】24【例 3】 如图，地图上有A ，B ，C ，D 四个国家，现用五种颜色给地图染色，要使相邻国家的颜色不相同，有多少种不同染色方法?D CB A【考点】乘法原理之染色问题 【难度】3星 【题型】解答【解析】 为了按要求给地图上的这四个国家染色，我们可以分四步来完成染色的工作：第一步：给A 染色，有5种颜色可选．第二步：给B 染色，由于B 不能与A 同色，所以B 有4种颜色可选．第三步：给C 染色，由于C 不能与A 、B 同色，所以C 有3种颜色可选．第四步：给D 染色，由于D 不能与B 、C 同色，但可以与A 同色，所以D 有。
五年级下学期数学 长方体与正方体的染色问题 完整版 带答案解析
长方体与正方体的染色问题【知识点总结】三个面都染色的在8个顶点处，两个面都染色的在12条棱的中间段（去掉每条横两头的各一个），一面有色的在各个面的中央，没有着色的在长方体的里面。
对于一个n×n×n的正方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：（n－2）×12一面涂色的：（n－2）×（n－2）×6没有颜色的：（n－2）×（n－2）×（n－2）验算的方法：上面的总数=体积数对于一个a×b×c的长方体，其涂色情况如下：三面涂色的：8块二面涂色的：[（a－2）＋（b－2）＋（c－2）]×4一面涂色的：[（a－2）×（b－2）＋（a－2）×（c－2）＋（b－2）×（c－2）]×2 没有颜色的：（a－2）×（b－2）×（c－2）验算的方法：上面的总数=体积数【针对性训练】1、下图是一个表面被涂上红色的棱长为10厘米的正方体木块，如果把它洞虚线切成8个正方体，这些小正方体的所有表面的面积和是（）平方厘米。
解答：一共切了3刀，共增加6个面，加上原来表面的6个面，一共12个面，总面积为：10×10×12=1200（平方厘米）2、一个正方体形状的木块儿，棱长为1米，若沿着正方体的三个方向分别锯成3份，四份、五份，如下图，得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？解答：一共切了2+3+4=9刀，共增加9×2=18个面，加上原来表面的6个面，一共18+6=24个面，总面积为：1×1×24=24（平方米）3、一个表面积为56平方厘米的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体的表面积的和是（）平方厘米。
解答：在长、宽、高的方向上各切1刀，会在每个方向上增加两个面，总共增加的就是一个表面积，现在切成了27个小长方体，说明在长宽高的方向上各切割了2刀，会增加2个表面积，加上原本就有1个表面积，则现在的总表面积为3个原来的表面积，即：56×3=168（平方厘米）。
2021年小升初数学：染色与操作问题(附答案解析)
2021年小升初数学：染色问题一、染色问题这里的染色问题不是要求如何染色，然后问有多少种染色方法的那类题目，它指的是一种解题方法.染色方法是一种将题目研究对象分类的形象化方法，通过将问题中的对象适当染色，我们可以更形象地观察分析出其中所蕴含的关系，再经过一定的逻辑推理，便能得出问题的答案.这类问题不需要太多的数学知识，但技巧性，逻辑性较强，要注意学会几种典型的染色问题.二、操作问题实际操作与策略问题这类题目能够很好的提高学生思考问题的能力，激发学生探索数学规律的兴趣，并通过寻找最佳策略过程，培养学生的创造性思维能力，这也是各类考试命题者青睐的这类题目的原因。
模块一、染色问题【例 1】六年级一班全班有35名同学，共分成5排，每排7人，坐在教室里，每个座位的前后左右四个位置都叫做它的邻座．如果要让这35名同学各人都恰好坐到他的邻座上去，能办到吗?为什么？【解析】划一个5×7的方格表，其中每一个方格表示一个座位．将方格黑白相间地染上颜色，这样黑色座位与白色座位都成了邻座．因此每位同学都坐到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有17个黑格18个白格，个数不等，故不能办到．【巩固】右图是某一湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.(1)如果P点在岸上，那么A点是在岸上还是在水中？(2)某人过此湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果他从A点出发走到某点B，他穿鞋与脱鞋的总次数是奇数，那么B点是在岸上还是在水中？为什么？【解析】（1）已知P点在陆地上，如果在图上用阴影表示陆地，就可以看出A点在水中.（2）从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数的和为2，由于A点在水中，所以不管怎么走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数.既然题中说“脱鞋的次数与穿鞋的次数的和是个奇数”，那么B点必定在岸上.【巩固】某班有45名同学按9行5列坐好．老师想让每位同学都坐到他的邻座(前后左右)上去，问这能否办到?到他的邻座相当于所有白格的坐到黑格，所有黑格的坐到白格．而实际图中有23个黑格22个白格，个数不等，故不能办到．【例 2】右图是某一套房子的平面图，共12个房间，每相邻两房间都有门相通．请问：你能从某个房间出发，不重复地走完每个房间吗?【解析】如图所示，将房间黑白相间染色，发现只有5个白格，7个黑格．因为每次只能由黑到白或由白到黑，路线必然黑白相问，显然应该从多的白格开始．但路线上1白1黑1白1黑……直到5白5黑后还余2黑，不可能从黑格到黑格，故无法实现不重复走遍．【巩固】有一次车展共6×6=36个展室，如右图，每个展室与相邻的展室都有门相通，入口和出口如图所示．参观者能否从入口进去，不重复地参观完每个展室再从出口出来?【解析】如右下图，对每个展室黑白相间染色，同样每次只能黑格到白格或白格到黑格．入口和出口处都是白格，故路线黑白相间，首尾都是白格，于是应该白格比黑格多1个，而实际上白格、黑格都是18个，故不可能做到不重复走遍每个展室．【例 3】在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列，如图（1）.守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏(不许斜走)，最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，如图（2），连小屋排成九行九列呢？【解析】下图(1)中可以回到小屋，守园人只能黑白相间地走，走到的第奇数棵树是白的，第偶数棵树是黑的，走到第63棵树应是白的，在小屋相邻的树都标注白色，所以可以回到小屋.图(2)不行,从小屋出发,当走到80棵树应是黑色, 而黑树与小木屋不相邻，无法直接回到小木屋.【例 4】右图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马. 众所周知，马是走“日”字的. 请问：这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？点处相间标上○和●，图中共有22个○和23个● . 因为马走“日”字，每步只能从○跳到●，或由●跳到○，所以马从某点跳到同色的点（指○或●），要跳偶数步；跳到不同色的点，要跳奇数步。
小学二年级数学第三讲.染色问题拓展题及答案（2）（1）（2）
第3讲染色问题关于正方体相关问题的重点：一、（已学）正方体的基本特点：正方体有6 个面、8 个顶点、12 条棱，每个面都是正方形。
二、（已学）数小方块1、按层数（横着看）；2、按列数（竖着看）三、（本讲）求未染色的面数1、方法：①逐个小方块分析，依次累加；（适合一层的情况）②找重合面（按方向分类：上下、前后、左右）；（适合多层的情况）注：重合一处，两个面；拓展练习1、数一数，下面的方块各有多少？（）块（）块（）块（）块2、下面这堆方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)3、这堆木方块共有多少块？(中间阴影部分是空心)4、下图中至少添加多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？⑴⑵5、下面是用小正方体堆成的图形，现在把这个图形的表面涂上黄色，想一想有多少个小正方形没有被涂色？6、用10个小正方体摆成一个“工"字形（如下图），然后又将表面涂成黄色（下面也被涂色），最后又把小正方体分开，数一数：⑴ 3面涂成黄色的小正方体有（）个．⑵ 4面涂成黄色的小正方体有（）个．⑶ 5面涂成黄色的小正方体有（）个．7、将8个小立方块组成“Ｔ”字型，再将表面都涂成红色，然后再把小立方块分开．⑴ 3面被涂成红色的小立方块有（）个．⑵ 4面被涂成红色的小立方块有（）个．⑶ 5面被涂成红色的小立方块有（）个．答案：1、【答案】复杂图形的计数复习．（ 9 ）块（ 10 ）块列式：549++=（块）+=（块）列式：63110或：639+=（块）（ 9 ）块（ 12 ）块列式：639++=（块）+=（块）列式：15612或：549+=（块）2、【答案】在这道题中，一定要注意观察的到中间是空心的，那么从不同的角度观察，方法也就不同，具体分析如下：方法一：因为中间是空心的，所以一层只有8块，4层一共8432⨯= (块)．方法二：第一列有12个，第二列有8个，第三列有12个，一共有：1281232++=（块）方法三：不看阴影部分一共有：12336⨯=（块），中间缺的部分是4个，一共有方块：36432-=（块）．3、【答案】3352339⨯=（块）．⨯⨯-⨯=（块）或3336239⨯⨯+⨯=（块）或313394、【答案】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体，再数出已有的小正方体的个数，便能得出相差的个数．⑴组成较大的正方体需要的小正方体个数：33327⨯⨯=（个）．已有小正方体个数：96318-=（个）．至++=（个）．还差正方体个数：27189少添加9个小正方体可以组成一个较大的正方体．⑵组成较大的正方体需要的小正方体个数：33327⨯⨯=（个）．已有小正方体个数：96419-=（个）．至++=（个）．还差正方体个数：27198少添加8个小正方体可以组成一个较大的正方体．5、【答案】如果把两个小正方体堆在一起，那么两个小正方体有一个面会重合，观察这个图一共由四个小正方体堆成，把这个图形表面涂上黄色，要想知道有几个小正方形没有被染色，我们可以先来观察有多少个重合面，数一数一共有3个重合面，每个重合面有2个小正方形重合在一起，这2个小正方形没有被涂色，那么在这个图形中一共有⨯=（个）面没有被涂成黄色．3266、【答案】整个图形表面涂成黄色，只有那些“黏在一起”的面没有被涂色．左、右两端中间各有1个小正方体3面涂色，中间的4个小正方体4面涂色，剩下的4个小正方体都是5面涂色．3面涂成黄色的小正方体有2个；4面涂成黄色的有4个；5面涂成黄色的有4个．7、【答案】看着图，想象涂色情况．当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色．每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数．每个小立方体涂色面数都写在了它的上面．3面涂色的小立方体共有1个；4面涂色的小立方体共有4个；5面涂色的小立方体共有3个．。
高中生物第二章染色体与遗传过关检测含解析浙科版
第二章过关检测（时间：60分钟满分：100分）一、选择题(每题只有一个正确答案。
共25小题,每小题2分，共50分）1.下列关于生物染色体的叙述，正确的是（)A。
性染色体只存于生殖细胞中B.含有两个异型的性染色体的个体就是雄性个体C。
显微镜观察有丝分裂中期的细胞,可以看到染色体组型D.位于性染色体上的基因所控制的性状表现出与性别相联系A项错误;在XY型性别决定方式中，含有两个异型的性染色体的个体就是雄性个体，在ZW型性别决定方式中,含有两个异型的性染色体的个体就是雌性个体，B项错误;有丝分裂中期的细胞染色体的形态清晰，数目稳定，在显微镜下观察可以看到染色体，而染色体组型是对处于中期的染色体进行显微摄影、测量、剪贴、配对、分组和排队,最后形成图像，因此观察不到,C项错误;位于性染色体上的基因所控制的性状表现出与性别相联系，D项正确.2。
(2018浙江11月学考)正常女性体细胞有丝分裂某时期的显微摄影图如下,该图可用于核型分析。
下列叙述正确的是（）A。
该图为女性染色体组型图B.该细胞处于有丝分裂前期C。
图中染色体共有23种形态D。
核型分析可诊断单基因遗传病,没有形成染色体组型的图像，A项错误;由“该图可用于核型分析”可知，题图中的细胞处于有丝分裂中期,B项错误；该细胞为正常女性体细胞，且处于有丝分裂中期,细胞中含有22对常染色体和1对性染色体XX,因此图中染色体共有23种形态,C项正确；核型分析可诊断染色体异常遗传病,无法诊断单基因遗传病，D项错误。
3.（2020浙江“超级全能生”高考选考科目联考)某同学在完成了“模拟孟德尔杂交实验”的活动后,对一对相对性状的杂交模拟实验提出了以下说法，下列相关叙述错误的是(）A。
实验中不能用小球代替卡片，因为小球容易滚落丢失B。
实验中能认识到受精作用时雌、雄配子的结合是随机的C.若要模拟果蝇性别决定，可以在“雌1"中放入卡片X 10张，在“雄1”中放入卡片X 20张、Y 20张D.若要模拟F2中能稳定遗传的个体随机交配的子代基因型种类和比例,可在“雌1”和“雄1”信封中各放入10张Y卡片和10张y卡片,小球容易混匀,实验精度比纸片还高,A项错误；从两个信封中各取一个卡片,组合在一起模拟受精,体现出受精作用时雌、雄配子的结合是随机的,B项正确；果蝇是XY型性别决定,一般情况下,雄配子多于雌配子，且含X染色体与含Y染色体的雄配子数量相等，若要模拟果蝇性别决定，可以在“雌1”中放入卡片X10张,在“雄1”中放入卡片X20张、Y20张，C项正确;F2中能稳定遗传的个体基因型是纯合的，即YY和yy，若要模拟随机交配的子代基因型种类和比例,可在“雌1"和“雄1"信封中各放入10张Y卡片和10张y卡片,D项正确。
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16．《染色问题》专题过关检测卷A卷(50分)一、解答题（1～7题每题3分，第8题每小题3分，共30分）1．某影院有31排，每排29个座位。
某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众。
如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他（前、后、左、右）相邻的某一观众变换座位，这样能办到吗？为什么？2．如图是一所房子的示意图，图中数字表示房间号码，每间房子都与隔壁的房间相通。
问能否从1号房间开始，不重复地走遍所有房间又回到1号房间？3．在一个正方形的果园里，种有63棵果树，加上右下角的一间小屋，整齐地排列成八行八列（图①）。
守园人从小屋出发经过每一棵树，不重复也不遗漏（不许斜走），最后又回到小屋，行吗？如果有80棵果树，连小屋在内排成九行九列（图②）呢？图l 图24．一个8×8国际象棋（下图）去掉对角上两格后，是否可以用31个2×1的“骨牌”（形如)把象棋盘上的62个小格完全盖住？（第4题）（第5题）5．如果在中国象棋盘上放了多于45只马，求证：至少有两只马可以“互吃”。
6．空间6个点，任三点不共线，对以它们为顶点的线段随意涂以红色或蓝色，是否必有两个同色三角形？7．如图，把正方体分割成27个相等的小正方体，在中心的那个小正方体中有一只甲虫，甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任一个中去。
如果要求甲虫能走到每个小正方体一次，那么甲虫能走遍所有的正方体吗？8．中国象棋的马走“日”字，车走横线或竖线，右图是半张中国象棋盘，试回答下面的问题：(1) 一只马从起点出发，跳了n步又回到起点。
证明：n一定是偶数。
(2) 一只马能否跳遍这半张棋盘，每一点都不重复，最后一步又跳回起点？(3) 证明：一只马不可能从位置B出发，跳遍半张棋盘而每个点都只经过一次（不要求最后一步跳回起点）。
二、证明题(20分)1.8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以，请给出一种剪法；如果不行，请说明理由。
2．表1是由数字O，1交替构成的，表2是由表1中任选、、三种形式组成的图形，并在每个小方格全部加1或减1，如此反复多次进行形成的，试问表2中的A格上的数字是多少？并说明理由。
表1 表2B卷（50分）一、解答题（每题3分，共30分）1．右图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？2．展览会有36个展室（如图），每两相邻展室之间均有门相通。
能不能从人□进去，不重复地参观完全部展室后，从出□出来呢？3．图中的16个点表示16个城市，两个点之间的连线表示这两个城市有公路相通。
问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线？4．右图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片，用若干张这种纸片无重叠地拼成一个4×规的长方形，试证明：n一定是偶数。
5．中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”（“马”走“日”字，另不考虑“别马腿”的情况）?6．能否用一个田字和15个4×1矩形覆盖8×8棋盘？7．能否用1个田字和15个T字纸片，拼成一个8×8的正方形棋盘？8．在8×8棋盘上，马能否从左下角的方格出发，不重复地走遍棋盘，最后回到起点？若能，请找出一条路；若不能，请说明理由。
9．下面三个图形都是从4×4的正方形分别剪去两个1×1的小方格得到的，可否把它们分别剪成1×2的七个小矩形？10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色，每个小格染上红、蓝两种色中的一种。
求证：．总可以找到4个同色小方格，处于某个矩形的4个角上（如图）。
二、证明题（20分）1. 17个科学家互相通信，在他们的通信中共讨论3个问题，而任意两个科学家之间仅讨论1个问题。
证明：至少有3个科学家，他们彼此通信讨论的是同一个问题。
2. 用一批1×2×4的长方体木块，能不能把一个容积为6×6×6的正方体木箱充塞填满？说明理由。
3．在平面上有一个27×27的方格棋盘，在棋盘的正中间摆好81枚棋子，它们被摆成一个9×9的正方形。
按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子，放进紧挨着这枚棋子的空格中，并把越过的这格棋子取出来。
问：是否存在一种走法，使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？4．在12×12的超级棋盘上，一匹超级马每步跳至3×4矩形的另一角（如图）。
问：能否从任一点出发遍历每一格恰一次，再回到出发点（这种情况又称马有“回路”）?16．《染色问题>专题过关检测卷A卷一、1．把影院的座位图画成黑白相间的矩形。
共有29×31—899个小方格。
不妨假定四角为黑格，则共有黑格450个，白格449个。
要求看第二场电影，每位观众必须跟他相邻的某一观众交换位置，即要求每一黑白格必须互换，因黑白格的总数不相等，因此是不可能的。
2．将编号为奇数的房间染成黑色，编号为偶数的房间染成白色。
从1号房间出发，只能按黑一白一黑一白一……的次序，当走遍九个房间时应在黑色房间中，这个房间不与l号房间相邻，故不能不重复地走遍所有房间又回到1号房间。
3．图1行，走法如图所示。
图2不行，将小屋染成黑色，果树染成黑白相间的颜色，则图2中有41个黑色的，40个白色的。
从小屋出发，按黑→白→黑→白→……的次序，当走遍80棵树后，到达的树的颜色还是黑色，与小屋不相邻，故不可能最后回到小屋。
4．不能。
原因是每一个2×1的矩形骨牌一定恰好盖住一个黑格和一个白格，31个这样的骨牌恰好盖住31个黑格和31个白格。
但是国际象棋棋盘上对角两格的颜色是相同的，把它们去掉后剩下的是30个白格，32个黑格，或32个白格，30个黑格，因此不能盖住。
5．中国象棋棋盘上有90个交叉点，把棋盘分成10个小部分，每部分有3×3=9（个）交叉点，由抽屉原理知，至少有一个小部分内含有6只马。
将这一小部分的9个交叉点分别涂上黑色及白色。
总有两只马在不同颜色交叉点上，故一定有两只马“互吃”。
6．设这六个点分别为A，B，C，D，E，F。
我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由A点引出的五条线段AB，AC，AD，AE，AF，其中必有三条被染成了相同的颜色，不妨设AB，AC，AD三条同为红色。
再考虑三角形BCD的三边：若其中有一条为红色，则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色，则三角形BCD为蓝色三角形。
下面再来证明有两个同色三角形，不妨设三角形ABC的三边同为红色。
(1)若三角形DEF也是红色三角形，则存在两个同色三角形。
(2)若三角形DEF中有一条边为蓝色(不妨设DE)，下面考虑DA，DB，DC三条线段，其中必有两条同色。
①若其中有两条是红色的，如DA，DB是红色的，则三角形DAB为第二个同色三角形。
②若其中有两条是蓝色的，设DA，DB为蓝色。
此时在EA，EB两条线段中，若有一条为蓝色，则存在一个蓝色三角形；若两条都是红色的，则三角形EAB为红色三角形。
综上所述，一定有两个同色三角形。
7．我们将大正方体如图分割成27个小正方体，涂上黑白相间的两种颜色，使得中心的小正方体染成白色，再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。
显然在27个小正方体中，14个是黑的，13个是白的。
甲虫从中间的白色正方体出发，每走一步，小正方体就改变一种颜色。
故它走27步，应该经过14个白色的小正方体，13个黑色的小正方体。
因此在27步中至少有一个白色的小正方体，甲虫进去过两次。
故若要求甲虫到每个小正方体只去一次，甲虫就不能走遍所有的小正方体。
8．(1)将棋盘上的各点按黑白相间的方式染上黑白二色。
由“马步”的行走规则，当“马”从黑点出发，下一步只能跳到白点，以后依次是黑、白、黑、白……要回到原出发点（黑点），它必须跳偶数步。
(2)半张象棋盘共有45个格点，马从起点出发跳遍半张棋盘，则起点与最后一步同色。
故不可能最后一步跳回起点。
(3)与．B点同色的点（白点）有22个，异色的点（黑色）有23个。
马从B点出发，跳了42步时，已经跳遍了所有的白色，还剩下两个黑点，但是马不能够连续跳过两个黑点。
图1 图2二、1．如图，对8×8的棋盘染色，则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格，而每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或1黑3白小方格，那么7个2×2的正方形盖住的黑色小方格数总是一个奇数，但图中黑格数为32是一个偶数。
故这种剪法是不存在的。
2．如下图所示，将表1黑白相间地染色。
本题条件允许如图所示的6个操作，这6个操作无论实行在哪个位置上，白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是一个常数，所以表1中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即32，等于表2中白格中数字之和与黑格中数字之和的差即(31+A) -32，于是(31+A)-32=32，故A=33。
B卷一、1．对房间染色，把最下面的两个房间染成黑色，与黑色相邻的房间染成白色，则图中有7个黑色房间和5个白色房间。
如果要想不重复地走过每一个房间，黑色与白色房间数应该相等。
故题中的想法是不能实现的。
2．不能。
对展室进行染色，使相邻两房间分别是黑色和白色的。
此时人口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的，而不重复参观完36个展室，入口与出口展室的颜色应该不相同。
3．不能。
对这16个城市进行黑白相间的染色，一种颜色有9个，另一种颜色有7个。
而要不重复地走遍这16个城市，黑色与白色的个数应该相等。
4．如图，对4×n长方形的各列分别染上黑色和白色。
任一L形纸片所占的方格只有两类：第一类占3黑1白，第二类占3白1黑。
设第一类有a个，第二类有6个，因为涂有两种颜色的方格数相等，故有3b+a =3a+b，即a=b，也就是说第一类与第二类相等，因此各种颜色的方格数都是4的倍数，总数是8的倍数，从而n是偶然。
5．将棋盘黑白相间染色，由“马”的走法可知，放在黑点上的“马”，只能吃放在某些白点上的马。
整个棋盘上黑、白点的个数均为45，故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的。
6．如图的方式对棋盘染色。
那么一个田字形盖住1个或3个白格，而一个4×1的矩形盖住2个白格。
这样一来一个田字和15个4×1的矩形能盖住的白格数是一个奇数，但图中的白格数是一个偶数，因此一个田字形和15个4×1的矩形不能覆盖8×8的棋盘。
7．将棋盘里黑白相间涂色。
一个田字形盖住2个白格，一个T字形盖住3个或1个白格。
故1个田字和15个T 字盖住的白格数是一个奇数，但棋盘上的白格数是一个偶数。