北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷4
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北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷1 选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.设集合，，则等于 A B C D 2.已知，，，当∥时，实数等于 A B 0 C D 3.设是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是A 若，则B 若，则C 若，则D 若，则 4.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则等于 A B C D 5.设抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为，A -4B 4C - 8D 8 6. a=0是函数为奇函数的 A 充分但不必要条件 B必要但不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 7.已知点的坐标满足条件，那么点P到直线的距离的最小值为 A B C 2 D 1 8.已知定义在区间上的函数的图像关于直线对称，当时，，如果关于的方程有解，记所有解的和为S, 则S不可能为 A B C D 二．填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9.在复平面内，复数对应的点的坐标为________________________. 10. 在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中任取一张卡片，则两数之和等于5的概率为______________________. 11.在△ABC中，若b=1,c=,,则a=________,________________. 12.如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则____________________. 13.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中随机抽测100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量 的重要指标）。
所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，由图中数据可知_______， 在抽测的100根中，棉花纤维的长度在内的有__________根。
14.给定集合A，若对于任意，有，且,则称集合A为闭集合，给出如下三个结论： ①集合为闭集合； ②集合为闭集合； ③若集合为闭集合，则为闭集合； 其中正确结论的序号是________________________. 三．解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.） 15. （本小题满分13分） 已知函数， 求函数的最小正周期； （2）求f(x)在区间上的最小值及f(x)取最小值时x的值。
北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试数学(文)试题
北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题数 学（文科） 2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =<，那么AB =（ ） （A ）(2,2)- （B ）(1,2)- （C ）(1,2)（D ）(1,4) 2．执行如图所示的程序框图，若输入3x =，则输出y 的值为（ ）（A ）5（B ）7（C ）15（D ）313．若2log 3a =，3log 2b =，41log 3c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）a c b <<（B ）c a b << （C ）b c a << （D ）c b a <<4．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是 OA ，OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ） （A ）第一象限（B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限5．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2cm ，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ）（A）2（B）2 （C ）28cm （D ）24cm 6．若实数x ，y 满足条件0,10,01,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则|3|x y -的最大值为（ ）（A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）37．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．则“10a >”是“32S S >”的（ ）（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件8．已知集合230123{|222}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1}k a ∈(0,1,2,3)k =，且30a ≠.则A 中所有元素之和是（ ）（A ）120 （B ）112 （C ）92 （D ）84第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知向量(1,2)=a ，(,2)λ=-b .若,90︒〈-〉=a b a ，则实数λ=_____.10. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．11. 函数22sin 3cos y x x =+的最小正周期为_____．12. 圆22430x y x +-+=的圆心到直线0x =的距离是_____. 13. 已知函数122,09,(),20.x x f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 则()f x 的零点是_____；()f x 的值域是_____． 14. 如图，已知抛物线2y x =及两点11(0,)A y 和22(0,)A y ，其中120y y >>.过1A ，2A 分别作 y 轴的垂线，交抛物线于1B ，2B 两点，直线12B B 与y 轴交于点33(0,)A y ，此时就称1A ，2A 确定了3A .依此类推，可由2A ，3A 确定4A ，.记(0,)n n A y ，1,2,3,n =.给出下列三个结论： ① 数列{}n y 是递减数列；② 对*n ∀∈N ，0n y >；③ 若14y =，23y =，则523y =.其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知2sin cos sin()B A A C =+．（Ⅰ）求角A ； （Ⅱ）若2BC =，△ABC AB ．16.（本小题满分13分）某校高一年级开设研究性学习课程，（1）班和（2）班报名参加的人数分别是18和27．现用分层抽样的方法，从中抽取若干名学生组成研究性学习小组，已知从（2）班抽取了3名同学．（Ⅰ）求研究性学习小组的人数；（Ⅱ）规划在研究性学习的中、后期各安排1次交流活动，每次随机抽取小组中1名同学发言．求2次发言的学生恰好来自不同班级的概率．17．（本小题满分14分）如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ；（Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥； （Ⅲ）求四面体NFEC 体积的最大值．18.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>F ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线5:2l y kx =-交椭圆C 于A ，B 两点，若点A ，B 都在以点(0,3)M 为圆心的圆上，求k 的值．A B CDE F19.（本小题满分13分）如图，抛物线29y x =-+与x 轴交于两点,A B ，点,C D 在抛物线上（点C 在第一象限），CD ∥AB ．记||2CD x =，梯形ABCD 面积为S ．（Ⅰ）求面积S 以x 为自变量的函数式； （Ⅱ）若||||CD k AB ≤，其中k 为常数，且01k <<，求S 的最大值．数学（文科）参考答案及评分标准 2012.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. D ；4. B ；5. A ；6. B ；7. C ；8. C .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 9； 10. 54； 11. π；12. 1； 13. 1-和0，1[,3]4-； 14. ① ② ③.注：13题第一问2分，第二问3分; 14题少选1个序号给2分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由πA B C ++=，得sin()sin(π)sin A C B B +=-=． …………3分所以原式化为B A B sin cos sin 2=． ………4分因为(0,π)B ∈，所以 0sin >B ， 所以 21cos =A ． ………6分 因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……7分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222222cos BC AB AC AB AC A AB AC AB AC =+-⋅⋅=+-⋅． ……9分因为 2BC =，1πsin 23AB AC ⋅⋅= 所以 228AB AC +=． ……………11分因为 4AB AC ⋅=， 所以 2AB =. ……………13分16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设从（1）班抽取的人数为m ，依题意得27318=m ，所以2m =， 研究性学习小组的人数为35m +=． ……5分 （Ⅱ）设研究性学习小组中（1）班的2人为12,a a ，（2）班的3人为123,,b b b ．2次交流活动中，每次随机抽取1名同学发言的基本事件为：11(,)a a ，),(21a a ，),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12a a ，22(,)a a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，11(,)b b ，),(21b b ，),(31b b ，),(12a b ，),(22a b ，21(,)b b ，22(,)b b ，),(32b b ，),(13a b ，),(23a b ，31(,)b b ，),(23b b ，33(,)b b ，共25种． …9分 2次发言的学生恰好来自不同班级的基本事件为：),(11b a ，),(21b a ，),(31b a ，),(12b a ，),(22b a ，),(32b a ，),(11a b ，),(21a b ，),(12a b ，),(22a b ，),(13a b ，),(23a b ，共12种． ………12分所以2次发言的学生恰好来自不同班级的概率为1225P =． ……13分17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形MNEF ，EFDC 都是矩形，所以 MN ∥EF ∥CD ，MN EF CD ==．所以 四边形MNCD 是平行四边形，……………2分所以 NC ∥MD ， ………………3分因为 NC ⊄平面MFD ，所以 NC ∥平面MFD ． ………………4分（Ⅱ）证明：连接ED ，设ED FC O =．因为平面⊥MNEF 平面ECDF ，且EF NE ⊥，所以 ⊥NE 平面ECDF ， ……5分所以 FC NE ⊥． …………6分又 EC CD =， 所以四边形ECDF 为正方形，所以 FC ED ⊥． ………………7分 所以 ⊥FC 平面NED ， ………………8分所以 FC ND ⊥． ………………9分 （Ⅲ）解：设x NE =，则x EC -=4，其中04x <<．由（Ⅰ）得⊥NE 平面FEC ，所以四面体NFEC 的体积为11(4)32NFEC EFC V S NE x x ∆=⋅=-． ………11分 所以 21(4)[]222NFEC x x V +-≤=． ……………13分当且仅当x x -=4，即2=x 时，四面体NFEC 的体积最大． ………………14分18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，则c = ………………1分由c e a ==， 得a =， 从而2224b ac =-=………………4分 所以，椭圆C 的方程为141222=+y x ． ……………5分 （Ⅱ）解：设),(),,(2211y x B y x A ．将直线l 的方程代入椭圆C 的方程，消去y 得 224(13)60270k x kx +-+=． ……………7分由22360016(13)270k k ∆=-+⨯>，得2316k >，且1221513k x x k +=+． …………9分设线段AB 的中点为D ，则21526D k x k =+，255226D D y kx k-=-=+． ……………10分由点A ，B 都在以点(0,3)为圆心的圆上，得1MD k k ⋅=-， …………11分即 2532611526k k k k ++⋅=--+， 解得 229k =，符合题意． …………13分 所以3k =±． ……………14分19.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，点C 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为29C y x =-+． ……1分点B 的横坐标B x 满足方程290B x -+=，解得3B x =，舍去3B x =-． ……2分 所以2211(||||)(223)(9)(3)(9)22C S CD AB y x x x x =+⋅=+⨯-+=+-+． ……4分 由点C 在第一象限，得03x <<． 所以S 关于x 的函数式为 2(3)(9)S x x =+-+，03x <<．…………5分（Ⅱ）解：由 03,,3x x k <<⎧⎪⎨≤⎪⎩ 及01k <<，得03x k <≤． ……………6分 记2()(3)(9),03f x x x x k =+-+<≤，则2()3693(1)(3)f x x x x x '=--+=--+． ………………8分 令()0f x '=，得1x =． ………………9分① 若13k <，即113k <<时，()f x '与()f x 的变化情况如下： x(0,1) 1 (1,3)k ()f x '+ 0 - ()f x ↗ 极大值 ↘所以，当1x =时，()f x 取得最大值，且最大值为(1)32f =． …………11分② 若13k ≥，即103k <≤时，()0f x '>恒成立， 所以，()f x 的最大值为2(3)27(1)(1)f k k k =+-． …………13分综上，113k ≤<时，S 的最大值为32；103k <<时，S 的最大值为227(1)(1)k k +-．20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列:2,6,4A 不能结束，各数列依次为4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2；…．以下重复出现，所以不会出现所有项均为0的情形． ………3分（Ⅱ）解：（ⅰ）因为B 的各项之和为2012，且a b ≥， 所以a 为B 的最大项，所以13||a a -最大，即123a a a ≥≥，或321a a a ≥≥． …………5分当123a a a ≥≥时，可得122313,2,.b a a a a a a a =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩由22012a b ++=，得132()2012a a -=，即1006a =，故1004b =．…7分 当321a a a ≥≥时，同理可得 1006a =，1004b =． ………8分（ⅱ）方法一：由:B ,2,2b b +，则B 经过6次“T 变换”得到的数列分别为：2,,2b b -；2,2,4b b --；4,2,6b b --；6,8,2b b --；2,10,8b b --；12,2,10b b --．由此可见，经过6次“T 变换”后得到的数列也是形如“,2,2b b +”的数列，与数列B “结构”完全相同，但最大项减少12．因为1006128310=⨯+，所以，数列B 经过683498⨯=次“T 变换”后得到的数列为8,2,10． 接下来经过“T 变换”后得到的数列分别为：6,8,2；2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2；2,0,2，……从以上分析可知，以后重复出现，所以数列各项和不会更小．所以经过4984502+=次“T 变换”得到的数列各项和最小，k 的最小值为502．……………13分方法二：若一个数列有三项，且最小项为2，较大两项相差2，则称此数列与数列B “结构相同”． 若数列B 的三项为2,,2(2)x x x +≥，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为,2,2x x -(不考虑顺序) ． 所以与B 结构相同的数列经过“T 变换”得到的数列也与B 结构相同，除2外其余各项减少2，各项和减少4．因此，数列:1004,2,1006B 经过502次“T 变换”一定得到各项为2,0,2 (不考虑顺序)的数列．通过列举，不难发现各项为0,2,2的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项和不再减少．所以，至少通过502次“T 变换”，得到的数列各项和最小，故k 的最小值为502．……………13分。
北京市通州区2012届高三上学期文科数学期末摸底考试及答案
北京市通州区2012届高三上学期期末摸底考试数学（文科）试卷2012年1月本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷2至4页，共150分．考试时间长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试题卷上作答无效．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 （选择题 共40分）一、本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．把正确答案选项的标号填涂在答题卡上． 1．已知集合{} |10A x x =-<，{} |02B x x ≤=<，那么A B 等于A ．{}1x x <- B ．{}2x x >C ．{} |01x x ≤<D ．{}|12x x <<2．复数11ii-+等于 A ．1- B ．i - C ．1 D ．i3．已知向量()1,2=-a ，(),4m =b ，且//a b ，那么2-a b 等于A ．()4,0B ．()0,4C ．()4,8-D ．()4,8-4．已知数列{n a } 是等差数列，且121a a +=，511a =，那么数列{n a }的前5项的和5S 等于A ．22B ．25C ．30D ．355．已知,a b ∈R ，那么“1122log log a b >”是 “a b <”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件6．如右图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为（其中2 1.414=⋅⋅⋅，3 1.732=⋅⋅⋅，精确到0.1）A ．70.7mB ．78.7mC ．86.6mD ．90.6m7．过圆()()22125x y -++=上一点()3,1M -的切线方程是 A ．270x y +-= B ．250x y +-= C ．210x y +-=D ．250x y --=8．当()3,4x ∈时，不等式()()2log 230a x x -+-<恒成立，则实数a 的取值范围是 A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．(]1,2D ．[)2,+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡相应的位置上. 9．观察下列式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，… ，根据以上式子可以猜想：2221111232012++++< _________________.10．如图，已知图中的三个直角三角形是一个几何体的三视图，那么这个几何体的体积等于________________.11．某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的x 值是______________.12．已知不等式组 3,1,30,x y x y x +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤ 那么2z x y =+的最小值是________________.13．已知双曲线的一个焦点与抛物线218x y =-的焦点相同，且双曲线的离心率是2，那么双曲线的渐近线方程是___________________.开 始n =n +1x =2x +1n ≤3输出x 结束是否 n =1，x =1（第11题图）（第10题图）14．下面四个命题：①已知函数(),0,,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-<⎪⎩≥ 且()()44f a f +=，那么4a =-；②一组数据18，21，19，a ，22的平均数是20，那么这组数据的方差是2；③要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移3π单位； ④已知奇函数()f x 在(0,)+∞为增函数，且(1)0f -=，则不等式()0f x <的解集{}1x x <-.其中正确的是__________________.三、解答题：本大题共6个小题，共80分.解答题写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15．（本小题共13分）已知函数()2sin 22cos 1f x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）求函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.16．（本小题共13分）如图，四边形ABCD 是矩形，BC ⊥平面ABE ，F 是CE 上一点，BF ⊥平面ACE ，点M ，N 分别是CE ，DE 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ABE ； （Ⅱ）求证：AE BE ⊥.17．（本小题共13分）已知甲袋中有1只白球，2只红球；乙袋中有2只白球，2只红球，现从两袋中各取一球. （Ⅰ）两球颜色相同的概率； （Ⅱ）至少有一个白球的概率.18．（本小题共13分）已知函数()ln .f x ax x =-（Ⅰ）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=平行，求a 的值； （Ⅱ）求()f x 的单调区间.19．（本小题共14分）已知数列{}n a 中，1a a =，22a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且()123n n S n a a =+，n N *∈.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若()()1221,82,n n n n b n a a++=⎧⎪=⎨⎪⋅⎩≥ n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T . 20．（本小题共14分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点分别是1F ，2F ，点31,2M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆上，且124MF MF +=. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0,0y kx t k t =+≠>与椭圆C ：22221x y a b+=交于A ，B 两点，点P 满足0AP BP += ，点Q 的坐标是30,2⎛⎫⎪⎝⎭，设直线PQ 的斜率是1k ，且12k k ⋅=，求实数t 的取值范围.(考生务必将答案答在答题卡上,在实体卷上作答无效)摸底考试文科参考答案2012、1 一、选择题1． C 2． B 3 C 4． B 5． A 6． A 7． B 8． B二、填空题 9．4023201210．10 11．15 12．3 13．3y x =± 14．② 三、解答题15．解：（Ⅰ）因为()2sin 22cos 1f x x x =+-，所以()sin 2cos 2f x x x =+2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ……………………….. 3分所以2.2πωπ== ………………………….. 5分 又因为1sin 214x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 所以()22f x -≤≤.所以函数()f x 的最小正周期是π；最大值是2. …………………….. 7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 2sin 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为344x ππ≤≤， 所以372444x πππ≤+≤. 所以当3244x ππ+=，即4x π=时，函数()f x 有最大值是1；当3242x ππ+=，即58x π=时，函数()f x 有最小值是2-.所以函数()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是1，最小值是2-. ……………….. 13分 16．（Ⅰ）证明：∵点M ，N 分别是CE ，DE 的中点，∴MN 是CDE ∆的中位线. ∴//.MN CD∵四边形ABCD 是矩形， ∴//.CD AB ∴//.MN AB∵AB ⊂平面ABE ，MN ⊄平面ABE ，∴//MN 平面ABE . ……………………….. 6分 （Ⅱ）证明：∵BF ⊥平面ACE ，AE ⊂平面ACE ， ∴.BF AE ⊥∵BC ⊥平面ABE ，AE ⊂平面ACE ， ∴.BC AE ⊥∵BF BC B = ，BF ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ， ∴AE ⊥平面BCE .∴.AE BE ⊥ ……………….. 13分17． 解：设甲袋中1只白球记为1a ，2只红球记为12,b b ；乙袋中2只白球记为23,a a ，2只红球记为34,b b .所以“从两袋中各取一球”包含基本事件()12,a a ，()13,a a ，()13,a b ，()14,a b ，()12,b a ，()13,b a ，()13,b b ，()14,b b ，()22,b a ，()23,b a ，()23,b b ，()24,b b 共有12种.……………….. 4分 （Ⅰ）设A 表示“从两袋中各取一球，两球颜色相同”，所以事件B 包含基本事件()12,a a ，()13,a a ， ()13,b b ，()14,b b ， ()23,b b ，()24,b b 共有6种. 所以()61.122P A == ……………………….. 8分 （Ⅱ）设B 表示“从两袋中各取一球，至少有一个白球”，所以事件A 包含基本事件()12,a a ，()13,a a ，()13,a b ，()14,a b ，()12,b a ，()13,b a ，()22,b a ，()23,b a 共有8种.所以()82.123P B == …………………….. 13分18．解：（Ⅰ）因为()ln f x ax x =-， 所以()1.f x a x'=-因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线10x y -+=平行， 所以切线的斜率 1.k = 所以()11f '=，即1 1.a -=所以 2.a = ………………….. 4分 （Ⅱ）因为函数()f x 的定义域是()0,+∞，且()11ax f x a x x-'=-=， …………………….. 6分 ①当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在()0,+∞上是减函数. …………………….. 8分 ②当0a >时，令()0f x '=，1.x a= 所以当10,a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数； ……………….. 10分 当1,a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数. ………………….. 12分 所以当0a ≤时，()f x 的递减区间是()0,+∞； 当0a >时，()f x 的递减区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x 的递增区间是1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. …………….. 13分 19．解：（Ⅰ）因为()123n n S n a a =+，11S a a ==，所以0.a = ………….. 3分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知 2nn na S =， 所以()111.2n n n a S +++=所以()1111.22n n n n n n a na a S S ++++=-=-所以()11.n n n a na +-= 所以当2n ≥时，1.1n n a na n +=- 所以11n n a n a n +=-112n n a n a n --=-，，⋅⋅⋅，3221a a =， 所以12.n a n a += 所以()21n a n =-，2n ≥. 因为10a a ==满足上式，所以()21n a n =-，n N *∈. …………….. 8分（Ⅲ）当2n ≥时，()()82112.22111n b n n n n n n ⎛⎫===- ⎪⋅+++⎝⎭…………….. 10分又12b =， 所以12n n T b b b =++⋅⋅⋅+ 1111222231n n ⎛⎫⎛⎫=+-+⋅⋅⋅+-⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭……………….. 12分 112221n ⎛⎫=+- ⎪+⎝⎭311n n +=+ 所以31.1n n T n +=+ ………….. 14分20．解：（Ⅰ）因为点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>上，且124MF MF +=，所以221314a b +=，2 4.a = 所以24a =，21.b =所以椭圆C 的标准方程是22 1.4x y += ………………………….. 3分（Ⅱ）联立方程组22,1,4y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得()()222148410.k x ktx t +++-= 所以()()222264161410k t kt∆=-+->， ………………………….. 4分即2214.k t +> ① ………………………….. 5分 设()()1122,,,A x y B x y ，所以1228.14ktx x k-+=+ ………………………….. 6分 因为0AP BP +=所以点P 是AB 的中点，设(),P P P x y ， 所以2414p kt x k -=+，21.14p Py kx t k =+=+ ………………………….. 8分 因为点Q 的坐标是30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线PQ 的斜率是1k ，所以()21323142.8P P y t k k x kt--+==- …………………….. 10分 因为12k k ⋅=，所以()22314 2.8t k k kt-+⋅=-所以2146.k t += ② ………………………….. 12分所以由①，②式，可得 26.t t > 所以0 6.t <<所以实数t 的取值范围是0 6.t << ………………………….. 14分。
北京市各区2012届高三第一学期文科数学期末试卷汇编
北京市昌平区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市朝阳区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市东城区2012届高三上学期期末教学统一检测（数学文）北京市房山区2012届高三上学期期末统测数学（文）试题北京市丰台区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市海淀区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）北京市石景山区2012届高三上学期期末考试数学（文）试卷北京市西城区2012届高三上学期期末考试试题（数学文）2012年2月昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测数 学 试 卷（文科） 2012 .1考生注意事项：1.本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，满分150分，考试时间 120分钟．2.答题前，考生务必将学校、班级、考试编号填写清楚．答题卡上第一部分(选择题)必须用2B 铅笔作答，第二部分(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔．3.修改时，选择题用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面整洁，不要折叠、折皱、破损．不得在答题卡上作任何标记．4.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域作答或超出答题区域的作答均不得分． 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1．设全集}7,5,3,1{=U ，集合}7,3,1{},5,3{==B A ，则()U A B ð等于A ．{5}B ．{3，5}C ．{1，5，7}D ．Φ2．21i -等于A ． 22i -B ．1i -C ．iD ．1i +3．“x y >”是“22x y>”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学中至少有一名男同学的概率是A ．910B ．45C ．25D ．125.若某空间几何体的三视图如图所示，则该 几何体的体积是 A ．2 B ．4 C ．6. D ．8 6. 某程序框图如图所示，则输出的S =A ．120B ． 57C ．56D ． 267.某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元.主视俯视同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品.则获得利润最大时生产产品的档次是A.第7档次B.第8档次C.第9档次D.第10档次8. 一圆形纸片的圆心为点O ,点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点.把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点.当点A 运动时点P 的轨迹是 A ．圆 B ．椭圆 C ． 双曲线 D ．抛物线第Ⅱ卷（非选择题 共110分）填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）．9.已知函数x x y cos sin = ，则函数的最小正周期是 .10.已知向量(2,1)=a ，10⋅=a b ， 7+=a b ，则=b .11.某工厂对一批产品进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的 产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100)，[100，102)，[102，104)，[104，106] .已知样本中产品净重小于100克的个数是48，则a =___________ ；样本中净重在[98，104）的产品的个数是__________ .12. 已知双曲线122=-y m x 的右焦点恰好是抛物线x y 82=的焦点，则m = .13. 已知D是由不等式组0,0,x y x -≥⎧⎪⎨+≥⎪⎩所确定的平面区域，则圆224x y +=在区域D 内的弧长为_____________；该弧上的点到直线320x y ++=的距离的最大值等于__________ .14.设函数)(x f 的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使|||)(|x M x f ≤对一切实数x 均成立，a则称)(x f 为有界泛函.在函数①x x f 5)(-=，②x x f 2sin )(=，③xx f )21()(=，④x x x f cos )(=中，属于有界泛函的有__________(填上所有正确的序号) .三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 15.（本小题满分13分）在ABC ∆中，AA A cos cos 2cos 212-=．（I ）求角A 的大小；（II ）若3a =，sin 2sin B C =，求ABCS ∆．16．（本小题满分13分） 已知数列}{n a 是等差数列,22, 1063==a a ，数列}{n b 的前n 项和是nS ，且131=+n n b S .（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）求证：数列}{n b 是等比数列；17.（本小题满分14分）如图在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，ABCD PA 底面⊥，垂足为点A ，2==AB PA ,点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．（I ）求证:ACM PB 平面// ； （II ）求证:⊥MN 平面PAC ；（III ）求四面体A MBC -的体积.18.(本小题满分13分)已知函数ax x x x f ++=1ln )(（a 为实数）.（I ）当0=a 时， 求)(x f 的最小值；（II ）若)(x f 在),2[+∞上是单调函数，求a 的取值范围.19.(本小题满分14分)已知椭圆C 的中心在原点，左焦点为(，离心率为23．设直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点P ，记点P 在第一象限时直线l 与x 轴、y 轴的交点分别为B A 、，且向量+=.求： （I ）椭圆C 的方程；（II ）||的最小值及此时直线l 的方程.20. (本小题满分13分)M 是具有以下性质的函数()f x 的全体：对于任意s ，0t >，都有()0f s >，()0f t >，且()()()f s f t f s t +<+.（I ）试判断函数12()log (1)f x x =+，2()21x f x =-是否属于M ？（II ）证明：对于任意的0x >，0(x m m +>∈R 且0)m ≠都有[()()]0m f x m f x +->；（III ）证明：对于任意给定的正数1s >，存在正数t ，当0x t <≤时，()f x s <.昌平区2011－2012学年第一学期高三年级期末质量抽测 数学(文科)试卷参考答案及评分标准 2012.1一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．) 9．π 10. 26 11. 0.125；120 12. 313． 65π;5102+14. ① ② ④三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题满分13分）解：（I ）由已知得：AA A cos cos )1cos 2(2122-=-，……2分.21cos =∴A ……4分 π<<A 0 ，.3π=∴A …………6分（II ）由C c B b sin sin = 可得：2sin sin ==c bC B ………7分∴ c b 2= …………8分214942cos 222222=-+=-+=c c c bc a c b A ………10分 解得：32b , 3==c ………11分2332333221sin 21=⨯⨯⨯==A bc S . ……13分16（本小题满分13分）解：（1）由已知⎩⎨⎧=+=+.225,10211d a d a 解得 .4,21==d a.244)1(2-=⨯-+=∴n n a n ………………6分（2）由于nn b S 311-=， ① 令n =1，得.31111b b -= 解得431=b ，当2≥n 时，11311---=n n b S ② －②得n n n b b b 31311-=- ， 141-=∴n n b b 又0431≠=b ,.411=∴-n n b b ∴数列}{n b 是以43为首项，41为公比的等比数列.……………………13分17.（本小题满分14分）证明：（I ）连接O BD AC MN MO MC AM BD AC = 且,,,,,,的中点分别是点BD PD M O ,, ACM PB PB MO 平面⊄∴,//∴ACM PB 平面//. …… 4分(II) ABCD PA 平面⊥ ，ABCD BD 平面⊂BD PA ⊥∴是正方形底面ABCDBD AC ⊥∴又A AC PA =⋂ PAC BD 平面⊥∴ ……7分在中PBD ∆，点M ，N 分别是PD ，PB 的中点．∴BD MN //PAC MN 平面⊥∴. …… 9分（III ）由h S V V ABC ABC M MBC A ⋅⋅==∆--31 ……11分PAh 21= ……12分 32212131=⋅⋅⋅⋅⋅=∴-PA AD AB V MBC A . ……14分18.(本小题满分13分)解：(Ⅰ) 由题意可知：0>x ……1分当0=a 时21)(x x x f -=' …….2分当10<<x 时，0)(<'x f 当1>x 时，0)(>'x f ……..4分故1)1()(m in ==f x f . …….5分(Ⅱ) 由222111)(x x ax a x x x f -+=+-='① 由题意可知0=a 时，21)(x x x f -=',在),2[+∞时，0)(>'x f 符合要求 …….7分② 当0<a 时，令1)(2-+=x ax x g 故此时)(x f 在),2[+∞上只能是单调递减0)2(≤'f 即04124≤-+a 解得41-≤a …….9分 当0>a 时，)(x f 在),2[+∞上只能是单调递增 0)2(≥'f 即,04124≥-+a 得41-≥a 故0>a …….11分综上),0[]41,(+∞⋃--∞∈a …….13分19. （本小题满分14分） 解：(Ⅰ)由题意可知3=c ，23==a c e ，所以2=a ，于是12=b ，由于焦点在x 轴上，故C 椭圆的方程为2214x y += ………………………………5分（Ⅱ）设直线l 的方程为：m kx y +=)0(<k ，),0(),0,(m B k mA -⎪⎩⎪⎨⎧=++=,14,22y x m kx y 消去y 得：012)41(222=-+++m kmx x k …………………7分直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，0)1)(41(42222=-+-=∆m k m k即1422+=k m ① …………………… 9分 ∵OB OA OM +=222||m k m OM +=∴② ……………………11分将①式代入②得：||3OM ==当且仅当22-=k 时，等号成立，故min ||3OM =，此时直线方程为：03222=-+y x . …………………14分20（本小题满分13分）(Ⅰ)由题意可知，0)(,0)(,0)(,0)(2211>>>>t f s f t f s f 若)1(log )1(log )1(log 222++<+++t s t s 成立 则1)1)(1(++<++t s t s 即0<st与已知任意s ，0t >即0>st 相矛盾，故M x f ∉)(1； ……2分 若12222-<-++ts ts成立 则01222<--++ts t s即0)21)(12(<--t s s ，0t > 021,12<->∴t s 即0)21)(12(<--ts 成立 …..4分故M x f ∈)(2.综上，M x f ∉)(1，M x f ∈)(2. ……5分(II) 当0>m 时，)()()()(x f m f x f m x f >+>+ 0)()(>-+∴x f m x f 当0<m 时，)()()()()(m x f m f m x f m m x f x f +>-++>-+=0)()(<-+∴x f m x f故0)]()([ >-+x f m x f m . ……9分(III) 据（II ））上为增函数在（∞+.0)(x f ，且必有)(2)2(x f x f >（*） ①若s f <)1(，令1=t ，则t x ≤<0时 s x f <)(；②若,)1(s f >则存在*N ∈k ，使t f k 12)1(=<由（*）式可得s f f f kk k <<<<<-1)1(21)21(21)21(1即当s x f t x <≤<)(0时， 综①、②命题得证。
2012届高三摸底考试文科数学试题
2012届高三摸底考试数学试题（文科）本卷分选择题非选择题两部分，共4页，满分150分.考试用时间120分钟. 注意事项：1． 考生务必将自己的姓名、班级、学校用蓝、黑墨水钢笔签字笔写在答题卷上；2． 选择题、填空题每小题得出答案后，请将答案填写在答题卷相应指定位置上。
答在试题卷上不得分；3．考试结束，考生只需将答题卷交回. 4. 参考公式：球体的体积公式343V r π=，其中r 是球体的半径． 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．函数y =）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞ 2．复数2ii -（i 为虚数单位）等于（ ） A. 12i -- B. 12i -+C. 12i -D. 12i +3．已知命题2:,210p x R x ∀∈+>，则（ ） A ．2:,210p x R x ⌝∃∈+≤ B ．2:,210p x R x ⌝∀∈+≤C ．2:,210p x R x ⌝∃∈+<D ．2:,210p x R x ⌝∀∈+<4．圆1)3()1(22=++-y x 的一条切线方程是（ ）A ．0x y -=B ．0x y +=C ．0x =D ．0y = 5．不等式32x x -+＜0的解集为（ ） A ．{}23x x -<< B ．{}2x x <- C ．{}23x x x <->或 D ．{}3x x > 6．若平面向量(1,2)=-a 与b 的夹角是180°，且||=b b 等于( ) A ．(6,3)- B ．(3,6)- C ．(6,3)- D ．(3,6)-7．设变量x 、y 满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+3213y x y x y x ，则目标函数y x z 32+=的最小值为（ ）.A 6 .B 7 .C 8 .D 23（图3）8．一个几何体的三视图如图1所示，其中俯视图与左视图均为半径是1的圆，则这个几何体的体积是（ ） A ．43π B ．π C ．23π D ．3π9． 执行图2中的程序框图，若0.8p =，则输出的n =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ． 5 10．对函数()sin f x x x =，现有下列命题：①函数()f x 是偶函数；②函数()f x 的最小正周期是2π；③点(,0)π是函数()f x 的图象的一个对称中心；④函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减。
2012北京高三数学一模文科科试题及答案之房山篇
北京市房山区2012年高三第一次模拟试题高三数学(文科)考生须知1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150分,考试时间为120分钟 。
2. 第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题直接写在答题卡上的指定位置，在试卷上作答无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回，试卷按学校要求自己保存好。
第I 卷 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项,直接涂在答题卡上.1．设全集,R =U 集合{}21≤≤-=x x A ,{}10≤≤=x x B ，则=B C A U ( ) （A ）{}10><x x x 或 （B ）{}2101≤<<≤-x x x 或（C ）{}2101≤≤≤≤-x x x 或（D ）{}21>-<x x x 或2．命题:p ∀R ∈x ，012>+x ，命题:q R ∈∃θ,5.1cos sin 22=+θθ，则下列命题中真命题是 （ ）（A ）q p ∧ （B ）q p ∧⌝ （C ）q p ∨⌝ （D ）)(q p ⌝∧3．一个几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为 ( )4．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是 （ ）（A ）32 （B ）2（C ）4 （D ）5（A ）1y x=- （B ）||e x y = （C ）23y x =-+（D ）cos y x =5．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为 （ ）（A ）6-（B ）29-（C ）3- （D ）96．阅读下边程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为 （ ） （A ）≤i 4 （B ）≤i 5 （C ）≤i 6 （D ）≤i 77．已知双曲线122=-my x 与抛物线x y 82=的一个交点为P ，F 为抛物线的焦点，若5=PF ，则双曲线的渐近线方程为 （ ） （A ）02=±y x（B ）02=±y x（C ）03=±y x（D ）03=±y x8．设集合W 由满足下列两个条件的数列{}n a 构成： ①21;2n n n a a a +++< ②存在实数M ，使n a M ≤．（n 为正整数）．在以下数列 ⑴{}21n +;（2）29211n n +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭; （3）42n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭;（4）1{1}2n -中属于集合W 的数列编号为 （ ） （A ）（1）（2） （B ）(3) (4)（C ）（2）（3）（D ）(2) (4)第II 卷 非选择题(共110分）二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上指定位置. 9. i 是虚数单位，则=+i12___.若(1,3)AB=，(2,5)AC=，则向量AD的10．在平行四边形ABCD中，坐标为__．11．过原点且倾斜角为60︒的直线被圆2240x y y+-=所截得的弦长为.12．已知函数()ϕω+=xxf sin)(（ω>0,2πϕ<<）的图象如图所示，则ω=____，ϕ=___.13．某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，当工厂和仓库之间的距离为___千米时，运费与仓储费之和最小，最小值为__万元．14．设函数2()1f x x=-，101()|()|2f x f x=-，11()|()|2n n nf x f x-=-，（1,n n N≥∈）,则方程31)(1=xf有___个实数根，方程1()3nnf x⎛⎫= ⎪⎝⎭有___个实数根．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.15．（本小题共13分）已知ABC△中，内角CBA,,的对边分别为cba,,，且552cos=A，10103cos=B．（Ⅰ）求()BA+cos的值；（Ⅱ）设10=a，求ABC△的面积．16.（本小题共13分）某中学高三（1）班有男同学30名，女同学10名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的校本教材自学实验小组．（Ⅰ）求小组中男、女同学的人数；（Ⅱ）从这个小组中先后选出2名同学进行测试，求选出的2名同学中恰有一名女同学的概率.17.（本小题共14分）在直三棱柱111ABC A B C-中，1CCBC=，BCAB⊥.点NM,分别是1CC，CB1的中点，G是棱AB上的动点.（Ⅰ）求证：⊥C B 1平面BNG ； （Ⅱ）若CG //平面M AB 1，试确定G 点的位置，并给出证明.18.（本小题共13分） 设函数3221()23()3f x x ax a x a a R =-+-+∈. （Ⅰ）当1=a 时，求曲线)(x f y =在点())3(,3f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间和极值；（Ⅲ）若对于任意的∈x (3,)a a ，都有()1f x a <+，求a 的取值范围.19.（本小题共14分）已知椭圆12222=+by a x )0(>>b a 的长轴长为24，点P （2，1）在椭圆上，平行于OP （O 为坐标原点）的直线l 交椭圆于B A ,两点，l 在y 轴上的截距为m . （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求m 的取值范围；（Ⅲ）设直线PB PA ,的斜率分别为1k ，2k ，那么1k +2k 是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由.20.（本小题共13分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图象上，记n a 与1+n a 的等差中项为n k ．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若n k na b n ⋅=2，求数列}{n b 的前n 项和n T ；（Ⅲ）设集合},2{},,{**N N ∈==∈==n a x x B n k x x A n n ，等差数列}{n c 的任意一项B A c n ∈，其中1c 是B A 中的最小数，且11511010<<c ，求}{n c 的通项公式.北京市房山区2012高三第一次模拟试题参考答案高三数学(文科)一、选择题（每题5分，共40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABCACD二、填空题（每题5分，共30分）9．i -1; 10. （1,2）; 11. 32; 12. 2，3π ； 13. 2,20; 14. 4，12+n 三、解答题（写出必要的文字说明，计算或证明过程。
2012年北京市某校高三数学会考模拟试卷(4)(附答案解析)
2012年北京市某校高三数学会考模拟试卷（4）一、选择题（每题3分，共60分）1. 若a >b ，c ∈R ，则下列命题中成立的是（ ） A.ac >bc B.ab>1C.ac 2≥bc 2D.1a<1b2. 不等式|x −1|<2的解集是（ ） A.x <3 B.x >−1 C.x <−1或x >3 D.−1<x <33. 下列函数中，在(0, +∞)上是减函数的是（ ） A.y =1x B.y =x 2+1 C.y =2xD.y =log 3x4. 在区间[−1, 2]上随机取一个数x ，则|x|≤1的概率为（ ） A.13 B.12C.14D.235. 函数f(x)=ln x−1x+1的定义域是（ ）A.x <−1或x >1B.x <−1且x ≥1C.x ≥1D.−1<x <16. 若sin α=45，α∈(0,π2)则cos 2α等于（ ） A.725 B.−725C.1D.√757. 已知角α的终边经过点P(4, −3)，则sin (π2+α)的值为（ ） A.35 B.−35C.45D.−458. 函数y =3x 的图象与y =3−x 的图象（ ） A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于直线y =x 对称D.关于直线y =−x 对称9. 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A =( ) A.60∘ B.45∘C.120∘D.30∘10. 为了得到函数y =3sin 2x ，x ∈R 的图象，只需将函数y =3sin (2x −π3)，x ∈R 的图象上所有的点（ ） A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度11. 如果a →=(−2,3)，b →=(x,−6)，而且a →⊥b →，那么x 的值是（ ） A.4 B.−4C.9D.−912. 在等差数列{a n }中，a 2=3，a 7=13，则S 10等于（ ）A.19B.50C.100D.12013. 为改善生态环境，某城市对排污系统进行了整治．如果经过三年整治，城市排污量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么排污量平均每年降低的百分率是（ ） A.50%B.40%C.30%D.20%14. 若a 、b 是异面直线，则一定存在两个平行平面α、β，使（ ） A.a ⊂α，b ⊂β B.a ⊥α，b ⊥βC.a // α，b ⊥βD.a ⊂α，b ⊥β15. 从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字（不允许重复），则这两个数字之和为奇数的概率为（ ） A.45 B.35C.25D.1516. 圆x 2+y 2−2x +4y −20=0截直线5x −12y +c =0所得弦长为8，则c 的值为（ ） A.10B.−68C.12D.10或−6817. 已知等比数列{a n}满足a1+a2=3，a2+a3=6，则a7=()A.64B.81C.128D.24318. 已知点P(x, y)在不等式组{x−2≤0y−1≤0x+2y−2≥0表示的平面区域上运动，则z=−12x+y的取值范围是（）A.[−1, −1]B.[−1, 1]C.[1, −1]D.[1, 1]19. 如果执行如程序框图，那么输出的S等于（）A.20B.90C.110D.13220. 国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买100送20，连环送活动”即顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，可以当作现金继续购物．如果你有680元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（）A.120元B.136元C.140元D.160元二、填空题（每题3分，共12分）点(−2, 1)到直线3x−4y−2=0的距离等于________．函数y=x+1x+1的值域是________．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是________．已知圆C的圆心在第一象限，其半径小于5，那么圆C的方程是________．（只要求写出满足条件的一个方程）三、解答题如图，在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，E为A1A中点．（1）求证：A1C // 平面EBD；（2）求证：BD⊥A1C；（3）若AA1=4√2，A1C=8，求三棱锥E−BDA的体积．在F(x)中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m→=(2sin B,−√3)，n→=(cos2B,2cos2B2−1)，且m→ // n→（1）求锐角B的大小；（2）如果b=2，求F(x)的面积S△ABC的最大值．设S n为数列{a n}的前n项和，Sn=λa n−1（λ为常数，n=1，2，3，…）．（1）若a3=a22，求λ的值；（2）是否存在实数λ，使得数列{a n}是等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在．请说明理由（3）当λ=2时，若数列{b n }满足b n+1=a n +b n (n =1, 2, 3,…)，且b 1=32，令c n =a n(a n +1)b n，求数列{c n }的前n 项和T n ．已知点A(0, 1)，B ，C 是x 轴上两点，且|BC|=6（B 在C 的左侧）．设△ABC 的外接圆的圆心为M ．（1）已知AB →⋅AC →=−4，试求直线AB 的方程；（2）当圆M 与直线y =9相切时，求圆M 的方程；（3）设|AB|=l 1，|AC|=l 2，s =l 1l 2+l2l 1，试求s 的最大值．参考答案与试题解析2012年北京市某校高三数学会考模拟试卷（4）一、选择题（每题3分，共60分）1.【答案】C【考点】不等式的概念与应用【解析】观察四个选项，本题是考查等式与不等关系的题目，由不等式的性质对四个选项逐一进行研究得出正解答案即可．【解答】解：A选项不对，由于c的符号不知，当c<0时，此不等式不成立；B选项不正确，当b<0<a时，此不等式无意义；C选项是正确的，因为c2≥0，故ac2≥bc2；D选项不正确，当当b<0<a时，此不等式无意义；故选C2.【答案】D【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】利用|x|<a(a>0)等价于−a<x<a求得此不等式的解集．【解答】解：由不等式|x−1|<2得−2<x−1<2，∴−1<x<3，故选D．3.【答案】A【考点】函数单调性的判断与证明【解析】逐一根据基本初等函数的单调性判断四个答案中的四个函数，分析他们在区间(0, +∞)上的单调性，即可得到答案．【解答】解：A中y=1x在(0, +∞)上是减函数，满足条件；B中y=x2+1在(0, +∞)上是增函数，不满足条件；C中y=2x在(0, +∞)上是增函数，不满足条件；D中y=log3x在(0, +∞)上是增函数，不满足条件；故选A 4.【答案】D【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间[−1, 2]的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．∵|x|≤1得−1≤x≤1，∴|x|≤1的概率为：P(|x|≤1)=1−(−1)2−(−1)=23．故选：D．5.【答案】A【考点】对数函数的定义域【解析】由题意可得x−1x+1>0，即(x−1)(x+1)>0，由此求得函数的定义域．【解答】解：∵函数f(x)=ln x−1x+1，∴x−1x+1>0，即(x−1)(x+1)>0，解得x>1，或x<−1，即定义域是{x|x>1, 或 x<−1}故选A．6.【答案】B【考点】求二倍角的余弦【解析】由余弦的二倍角公式cos2α=1−2sin2α即可得到答案．【解答】解：∵sinα=45，α∈(0, π2)，∴cos2α=1−2sin2α=1−2×1625=−725．故选B．7.【答案】 C【考点】运用诱导公式化简求值 三角函数 【解析】利用任意角函数的定义求出cos α，利用三角函数的诱导公式化简sin (π2+α)求出值． 【解答】解：∵ 角α的终边经过点P(4, −3)， ∴ P 到原点的距离为5, ∴ sin α=−35，cos α=45,∴ sin (π2+α)=cos α=45. 故选C . 8.【答案】 B【考点】指数函数的图象 【解析】本题是研究两个底数互为倒数的函数的图象之间的关系，在指数型函数中，如果两个函数的底数互为倒数，则这两个函数的图象关于y 对称． 【解答】解：由于y =3−x =(13)x ，故与其图象关于y 轴对称的图象对应的函数的解析式为y =3x 故函数y =3x 的图象与y =3−x 的图象关于y 对称， 太选B ． 9. 【答案】 C【考点】 余弦定理 【解析】利用余弦定理表示出cos A ，将已知的等式变形后代入，求出cos A 的值，由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A 的度数． 【解答】解：∵ a 2=b 2+c 2+bc ，即b 2+c 2−a 2=−bc ， ∴ 由余弦定理得：cos A =b 2+c 2−a 22bc=−bc 2bc=−12，又A 为三角形的内角，则A =120∘． 故选C 10.【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】 将y =3sin (2x −π3)→向左平行移动π6个单位长度y =3sin [2(x +π6)−π3]即可得答案．【解答】解：∵ y =3sin (2x −π3)→向左平行移动π6个单位长度y =3sin [2(x +π6)−π3]=3sin 2x ，∴ 得到函数y =3sin 2x ，x ∈R 的图象，只需将函数y =3sin (2x −π3)，x ∈R 的图象上所有的点向左平行移动π6个单位长度．故选C ． 11.【答案】 D【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系 【解析】利用向量垂直时，数量积为0，建立方程，即可求得结论． 【解答】解：∵ a →=(−2,3)，b →=(x,−6)，a →⊥b →， ∴ −2x −18=0 ∴ x =−9 故选D ． 12. 【答案】 C【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式【解析】设公差为d ，则由题意可得a 1+d =3，a 1+6d =13，求出首项和公差d 的值，代入等差数列的前n 项和公式运算求得S 10的值． 【解答】解：在等差数列{a n }中，a 2=3，a 7=13，设公差为d ，则有a 1+d =3，a 1+6d =13． 解得a 1=1，d =2，∴S10=10a1+10×92d=100，故选C．13.【答案】B【考点】数列的应用【解析】设排污量平均每年降低的百分率是x，则经过三年整治，排污量应为125(1−x)3=27，解得x即可．【解答】解：设排污量平均每年降低的百分率是x，经过三年整治，排污量为：125(1−x)3=27，∴(1−x)3=27125；∴1−x=35，∴x=1−35；∴x=25=40%；故选：B．14.【答案】A【考点】空间中平面与平面之间的位置关系【解析】根据异面直线的定义，可得A项正确；根据面面平行的性质和线面垂直的性质，可得B不正确；根据面面平行的性质和线面垂直、线面平行的性质，可得C、D均不正确．【解答】解：对于A，因为a、b是异面直线，根据异面直线的定义可得存在两个平行平面α、β，使a⊂α，b⊂β，故A正确；对于B，若存在两个平行平面α、β，使a⊥α，b⊥β，则有a // b的矛盾，故B不正确；对于C，若存在两个平行平面α、β，使a // α，b⊥β，则有a、b互相垂直，但题设中并没有a⊥b这一条件，故C不正确；对于D，若存在两个平行平面α、β，使a⊂α，b⊥β，则b⊥α，从而a⊥b，但题设中并没有a⊥b这一条件，故D不正确．故选A15.【答案】B【考点】古典概型及其概率计算公式【解析】首先计算出所以基本事件总数为：C52=10，再计算出这两个数字之和为奇数的取法，进而计算出事件发生的概率．【解答】解：由题意可得：从数字1，2，3，4，5中，随机抽取2个数字共有不同的取法有：C52=10．则这两个数字之和为奇数的取法有：(1, 2)，(1, 4)．(2, 3)，(2, 5)，(3, 4)，4，5)；共有6中取法．所以这两个数字之和为奇数的概率为：610=35．故选B．16.【答案】D【考点】直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】将圆的方程化为标准方程，找出圆心坐标和半径r，利用垂径定理及勾股定理，根据弦长为8及半径为5求出圆心到直线的距离，然后利用点到直线的距离公式可列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．【解答】解：将圆的方程化为标准方程得：(x−1)2+(y+2)2=25，可得出圆心坐标为(1, −2)，半径r=5，∵圆被直线5x−12y+c=0截得的弦长为8，∴圆心到直线的距离d=√52−(82)2=3，即22=3，整理得：|c+29|=39，即c+29=±39，解得：c=10或c=−68，则c的值为10或−68．故选D17.【答案】A【考点】等比数列的通项公式【解析】由a1+a2=3，a2+a3=6的关系求得q，进而求得a1，再由等比数列通项公式求解．【解答】解：由a2+a3=q(a1+a2)=3q=6，∴q=2，∴a1(1+q)=3，∴a1=1，∴a7=26=64．故选A．18.【答案】B【考点】简单线性规划【解析】根据步骤：①画可行域，②z为目标函数纵截距，③画直线0=y−12x，平移可得直线过A或B时，z有最值即可解决．【解答】解：画不等式组{x−2≤0 y−1≤0x+2y−2≥0表示的可行域如图，令z=0，画直线0=y−12x，平移直线0=y−12x过点A(0, 1)时z有最大值1；平移直线0=y−12x过点B(2, 0)时z有最小值−1；则z=y−12x的取值范围是[−1, 1].故选B．19.【答案】C【考点】循环结构的应用【解析】先根据循环条件和循环体判定循环的次数，然后根据运行的后s的值找出规律，从而得出所求．【解答】根据题意可知该循环体运行10次第一次：s＝2，第二次：s＝2+4，第三次：s＝2+4+6…∴S＝2+4+6+...+20＝110．20.【答案】D【考点】进行简单的合情推理【解析】顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元，则600元可得120元购物券，120+80=200元可得40元购物券，故可得结论．【解答】解：由题意，顾客购物每满100元，就可以获赠商场购物券20元∴600×20%=120，(120+80)×20%=40∴120+40=160∴在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计160元故选D．二、填空题（每题3分，共12分）【答案】125【考点】点到直线的距离公式【解析】根据点到直线的距离公式，求出点(−2, 1)到直线3x−4y−2=0的距离d．【解答】解：由点到直线的距离公式得，点(−2, 1)到直线3x−4y−2=0的距离d=√9+16=125，故答案为：125．【答案】(−∞, −3]∪[1, +∞)【考点】基本不等式【解析】y=x+1x+1=(x+1)+1x+1−1，分x+1>0与x+1<0两种情况讨论，应用基本不等式即可求得函数y=x+1x+1的值域．【解答】解：∵y=x+1x+1=(x+1)+1x+1−1，①若x+1>0，即x>−1，y=(x+1)+1x+1−1≥2−1=1，（当且仅当x=0时取“=”）；②若x+1<0，即x<−1，−[(x+1)+1x+1]=−(x+1)−1x+1≥2，（当且仅当x=−2时取“=”）；于是(x+1)+1x+1≤−2，故y=(x+1)+1x+1−1≤−3；综上所述：函数y=x+1x+1的值域是：(−∞, −3]∪[1, +∞)．故答案为：(−∞, −3]∪[1, +∞)．【答案】12π【考点】由三视图求体积【解析】三视图复原几何体是一个半球，求出底面积和半球面积即可．【解答】解：几何体的表面积是2π⋅22+π⋅22=12π．故答案为：12π．【答案】(x−1)2+(y−1)2=4（本题答案不唯一，只要符合题意即可）【考点】圆的标准方程【解析】由圆心C在第一象限，任取一点横纵坐标都大于0的点作为圆心C的坐标，然后再取小于5的数作为圆C的半径，根据圆心和半径写出圆C的标准方程即可．【解答】解：由圆C的圆心在第一象限，其半径小于5，可设圆心C(1, 1)，半径为2，则圆C的方程为(x−1)2+(y−1)2=4（本题答案不唯一，只要符合题意即可）．故答案为：(x−1)2+(y−1)2=4（本题答案不唯一，只要符合题意即可）三、解答题【答案】解：（1）连接AC，交BD于O点，连接OE∵正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，∴O为AC中点又∵E为A1A的中点，∴△AA1C中，EO // A1C∵EO⊂平面EBD，A1C⊄平面EBD，∴A1C // 平面EBD；（2）∵四棱柱ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱∴A1A⊥平面ABCD∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，A1A和AC是平面AA1C内的相交直线∴BD⊥平面AA1C∵A1C⊂平面AA1C，∴BD⊥A1C；（3）∵Rt△AA1C中，AA1=4√2，A1C=8∴AC=√A1C2−AA12=4√2∴正方形ABCD中，边长AB=√22AC=4因此，三角形ABD的面积S=12×4×4=8∵三棱锥E−BDA的高AE=12AA1=2√2∴三棱锥E−BDA的体积V=13×8×2√2=163√2【考点】直线与平面垂直的性质柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面平行的判定【解析】（1）连接AC，交BD于O点，连接OE．在△AA1C中利用中位线定理，可得EO // A1C，再用线面平行的判定定理，得到A1C // 平面EBD；（2）根据正棱柱的性质，证出A1A⊥BD，结合AC⊥BD，可得BD⊥平面AA1C，最后根据线面垂直的性质可得BD⊥A1C；（3）RtRt△AA1C中，利用勾股定理算出AC=4√2，从而得到正方形ABCD的边长为4，可得三角形ABD面积为8，最后结合三棱锥E−BDA的高AE=2√2，利用锥体体积公式算出三棱锥E−BDA的体积．【解答】解：（1）连接AC，交BD于O点，连接OE∵正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，∴O为AC中点又∵E为A1A的中点，∴△AA1C中，EO // A1C∵EO⊂平面EBD，A1C⊄平面EBD，∴A1C // 平面EBD；（2）∵四棱柱ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱∴A1A⊥平面ABCD∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，A1A和AC是平面AA1C内的相交直线∴BD⊥平面AA1C∵A1C⊂平面AA1C，∴BD⊥A1C；（3）∵Rt△AA1C中，AA1=4√2，A1C=8∴AC=√A1C2−AA12=4√2∴正方形ABCD中，边长AB=√22AC=4因此，三角形ABD的面积S=12×4×4=8∵三棱锥E−BDA的高AE=12AA1=2√2∴ 三棱锥E −BDA 的体积V =13×8×2√2=163√2【答案】 解：(1)m → // n →由向量平行的坐标表示可得，由向量平行的坐标表示可得，2sin B ×(2cos 2B2−1)−(−√3)×cos 2B =0即2sin B cos B +√3cos 2B =0 ∴ sin 2B +√3cos 2B =0 ∴ 2sin (2B +π3)=0 ∵ 0<B <π2 ∴ B =π3（2）∵ b =2，B =60∘由余弦定理可得，4=b 2=a 2+c 2−2ac ×12=a 2+c 2−ac ≥ac ∴ ac ≤4∴ S △ABC =12ac sin B =√34ac ≤√3三角形的面积最大值为√3 【考点】 解三角形平面向量共线（平行）的坐标表示 三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】（1）由向量平行的坐标表示可得，2sin B ×(2cos 2B2−1)−(−√3)×cos 2B =0，整理可得2sin (2B +π3)=0结合已经知道0<B <π2可求B（2）；利用余弦定理可得4=a 2+c 2−ac ，利用基本不等式可得ac ≤4，代入面积公式S △ABC =12ac sin B 可求 【解答】 解：(1)m → // n →由向量平行的坐标表示可得，由向量平行的坐标表示可得，2sin B ×(2cos 2B2−1)−(−√3)×cos 2B =0 即2sin B cos B +√3cos 2B =0 ∴ sin 2B +√3cos 2B =0 ∴ 2sin (2B +π3)=0∵ 0<B <π2∴ B =π3（2）∵ b =2，B =60∘由余弦定理可得，4=b 2=a 2+c 2−2ac ×12=a 2+c 2−ac ≥ac∴ ac ≤4∴ S △ABC =12ac sin B =√34ac ≤√3三角形的面积最大值为√3【答案】 解：（1）因为S n =λa n −1，所以a 1=λa 1−1，a 2+a 1=λa 2−1，a 3+a 2+a 1=λa 3−1， 由a 1=λa 1−1可知λ≠1，所以a 1=1λ−1，a 2=λ(λ−1)2，a 3=λ2(λ−1)3，因为a 3=a 22，所以λ2(λ−1)4=λ2(λ−1)3，所以λ=0或λ=2．（2）假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3， 由（1）可知，2λ(λ−1)2=1λ−1+λ2(λ−1)3，所以2λ(λ−1)2=2λ2−2λ+1(λ−1)3，即1=0，矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列． （3）当λ=2时，S n =2a n −1， 所以S n−1=2a n−1−1，且a 1=1，所以a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1 (n ≥2)． 所以a n ≠0(n ∈N ∗)，且a nan−1=2(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2a n−1(n ∈N ∗)，因为b n+1=a n +b n (n =1, 2, 3,…)，且b 1=32，所以b n =a n−1+b n−1=a n−1+a n−2+b n−2=...=a n−1+a n−2+...+a 1+b 1 =2n +12n ≥2．当n =1时上式也成立． 所以b n =2n +12n ∈N ∗． 因为c n =a n (a n +1)b n，所以c n =2n−1(2n−1+1)2n +12=2⋅2n−1(2n−1+1)(2n +)因为2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1， 所以T n =C 1+C 2+...+C n=2(12−12+1+12+1−122+1+⋯+12n−1+1−12n +1)=1−2n=2n −12n +1．【考点】 数列递推式 等差关系的确定 数列的求和【解析】（1）利用S n =λa n −1，通过n =1，2，3，求出a 1，a 2，a 3，利用a 3=a 22，即可求λ的值；（2）通过反证法，假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3，推出矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列．（3）当λ=2时，求出数列{a n }、数列{b n }的通项公式，通过c n =a n (a n +1)b n，化简裂项，然后求数列{c n }的前n 项和T n ．【解答】 解：（1）因为S n =λa n −1，所以a 1=λa 1−1，a 2+a 1=λa 2−1，a 3+a 2+a 1=λa 3−1， 由a 1=λa 1−1可知λ≠1， 所以a 1=1λ−1，a 2=λ(λ−1)2，a 3=λ2(λ−1)3，因为a 3=a 22，所以λ2(λ−1)4=λ2(λ−1)3，所以λ=0或λ=2．（2）假设存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列，则2a 2=a 1+a 3， 由（1）可知，2λ(λ−1)2=1λ−1+λ2(λ−1)3，所以2λ(λ−1)2=2λ2−2λ+1(λ−1)3，即1=0，矛盾，所以不存在实数λ，使得数列{a n }是等差数列． （3）当λ=2时，S n =2a n −1，所以S n−1=2a n−1−1，且a 1=1，所以a n =2a n −2a n−1，即a n =2a n−1 (n ≥2)． 所以a n ≠0(n ∈N ∗)，且a nan−1=2(n ≥2)．所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以a n =2a n−1(n ∈N ∗)，因为b n+1=a n +b n (n =1, 2, 3,…)，且b 1=32，所以b n =a n−1+b n−1=a n−1+a n−2+b n−2=...=a n−1+a n−2+...+a 1+b 1 =2n +12n ≥2．当n =1时上式也成立． 所以b n =2n +12n ∈N ∗． 因为c n =a n(a n +1)b n，所以c n =2n−1(2n−1+1)2n +12=2⋅2n−1(2n−1+1)(2n +)因为2n−1(2n−1+1)(2n +1)=12n−1+1−12n +1，所以T n =C 1+C 2+...+C n=2(1−1+1−12+⋯+1n−1−1n )=1−22n +1 =2n −12n +1．【答案】 解：（1）设B(a, 0)，则C(a +6, 0)．∵ A(0, 1)，∴ AB →=(a,−1)，AC →=(a +6,−1)， 由AB →⋅AC →=−4得a(a +6)+1=−4， 解得：a =−1或−5，所以，直线AB 的方程为y =x +1或y =15x +1（2）设圆心为(a, b)，半径为r ，则{√a 2+(b −1)2=r √b 2+9=r|9−b|=r，解之得：a =±4，b =4，r =5， 所以，圆M 的方程为(x ±4)2+(y −4)2=25．（3）设B(m −3, 0)，C(m +3, 0)，则l 1=√(m −3)2+1，l 2=√(m +3)2+1， 所以，s =l 1l 2+l2l 1=l 12+l 22l 1l 2=2222令m 2+10=t(t ≥10)，则s =√t 2−36t+360=√360(1t −120)+110≤2√10等号当且仅当t =20，即m =±√10时取得．∴ 当m =±√10时，s 的最大值为2√10 【考点】第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页 向量在几何中的应用圆的标准方程【解析】（1）设出B ，C 的坐标，利用AB →⋅AC →=−4，建立方程，求得B ，C 的坐标，从而可得直线AB 的方程；（2）设圆心为(a, b)，半径为r ，利用圆M 与直线y =9相切，建立方程组，从而可求圆M 的方程；（3）设B(m −3, 0)，C(m +3, 0)，求出|AB|=l 1，|AC|=l 2，s =l 1l 2+l2l 1，利用换元法、配方法即可求得结论．【解答】解：（1）设B(a, 0)，则C(a +6, 0)．∵ A(0, 1)，∴ AB →=(a,−1)，AC →=(a +6,−1)，由AB →⋅AC →=−4得a(a +6)+1=−4，解得：a =−1或−5，所以，直线AB 的方程为y =x +1或y =15x +1（2）设圆心为(a, b)，半径为r ，则{√a 2+(b −1)2=r√b 2+9=r |9−b|=r，解之得：a =±4，b =4，r =5，所以，圆M 的方程为(x ±4)2+(y −4)2=25．（3）设B(m −3, 0)，C(m +3, 0)，则l 1=√(m −3)2+1，l 2=√(m +3)2+1，所以，s =l 1l 2+l 2l 1=l 12+l 22l 1l 2=2√(m 2+10)2−36m 2令m 2+10=t(t ≥10)，则s =√t 2−36t+360=√360(t −20)2+10≤2√10等号当且仅当t =20，即m =±√10时取得．∴ 当m =±√10时，s 的最大值为2√10。
2012年4月北京市西城区高三二模数学试题(文科)
北京市西城区2012年高三二模试卷数 学（文科） 2012.5第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知复数z 满足(1i)1z -⋅=，则z =（ ） （A ）1i22+ （B ）1i 22- （C ）1i 22-+ （D ）1i 22--2．给定函数：①3y x =；②21y x =-；③sin y x =；④2log y x =，其中奇函数是（ ） （A ）① ② （B ）③ ④（C ）① ③（D ）② ④3．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数： ①2x y =； ②2x y =-； ③1()f x x x -=+； ④1()f x x x -=-． 则输出函数的序号为（ ） （A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④4．设m ，n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且,m n α⊂. 则“α∥β”是“m ∥β且n ∥β”的（ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分又不必要条件5．已知双曲线221x ky -=的一个焦点是(5,0)，则其渐近线的方程为（ ） （A ）14y x =± （B ）4y x =± （C ）12y x =±（D ）2y x =±6．右图是1，2两组各7名同学体重（单位：kg ） 数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,,n x x x 的平均数）（A ）12x x >，12s s > （B ）12x x <，12s s < （C ）12x x >，12s s < （D ）12x x <，12s s >7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人．因 特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为S ．则S 最小时，电梯所停的楼层是（ ） （A ）7层 （B ）8层（C ）9层（D ）10层8．已知集合1220{,,,}A a a a = ，其中0(1,2,,20)k a k >= ，集合{(,)|,B a b a A =∈,}b A a b A ∈-∈，则集合B 中的元素至多有（ ）（A ）210个 （B ）200个 （C ）190个 （D ）180个第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．在△ABC 中，3BC =，2AC =，π3A =，则B =_____．10．设变量x ，y 满足11,11,x y x y -≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩ 则2x y +的最小值是_____．11．已知向量(,1)x =-a ，(3,)y =b ，其中x 随机选自集合{1,1,3}-，y 随机选自集合{1,3}，那么⊥a b 的概率是_____．12．已知函数2()1f x x bx =++是R 上的偶函数，则实数b =_____；不等式(1)f x x -<的解集为_____．13．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体 的体积是_____；若该几何体的所有顶点在同一球面 上，则球的表面积是_____．14．已知曲线C 的方程是22||||()()8x y x y x y-+-=，给出下列三个结论： ① 曲线C 与两坐标轴有公共点；② 曲线C 既是中心对称图形，又是轴对称图形； ③ 若点P ，Q 在曲线C 上，则||PQ 的最大值是62. 其中，所有正确结论的序号是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）在等差数列{}n a 中，2723a a +=-，3829a a +=-．AD C BE（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．16．（本小题满分13分）已知函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+++的部分图象如图所示，其中0ω>，ππ(,)22ϕ∈-． （Ⅰ）求ω与ϕ的值； （Ⅱ）若554)4(=αf ，求αααα2sin sin 22sin sin 2+-的值．17．（本小题满分13分）如图，四棱锥ABCD E -中，EA EB =，AB ∥CD ，BC AB ⊥，CD AB 2=． （Ⅰ）求证：ED AB ⊥；（Ⅱ）线段EA 上是否存在点F ，使DF // 平面BCE ？若存在，求出EFEA；若不存在，说明理由．18．（本小题满分13分）已知函数2221()1ax a f x x +-=+，其中a ∈R ． （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在原点处的切线方程；（Ⅱ）求)(x f 的单调区间．19．（本小题满分14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，且经过点31(,)22．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 的直线交椭圆C 于A ，B 两点，求△AOB （O 为原点）面积的最 大值．20．（本小题满分14分）若正整数*12(,1,2,,)n k N a a a a k n =+++∈=N ，则称12n a a a ⨯⨯⨯ 为N 的 一个“分解积”．（Ⅰ）当N 分别等于6,7,8时，写出N 的一个分解积，使其值最大；（Ⅱ）当正整数(2)N N ≥的分解积最大时，证明：*()N k a k ∈中2的个数不超过2； （Ⅲ）对任意给定的正整数(2)N N ≥，求出(1,2,,)k a k n = ，使得N 的分解积最 大．北京市西城区2012年高三二模试卷数学（文科）参考答案及评分标准2012.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．A ； 2．C ； 3．D ； 4．A ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．π4； 10．2-； 11．16； 12．0，{|12}x x <<； 13．13，3π； 14．② ③．注：12、13题第一问2分，第二问3分;14题少选、错选均不给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）解：由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++ 21(31)(1)2n n n c c c --=+++++ ． ………………10分 从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………13分16．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：π()2sin()3f x x ωϕ=++． ………………2分 设()f x 的最小正周期为T ．由图可得 πππ()2442T =--=，所以 πT =，2=ω． ………………4分 由 2)0(=f ，得 πsin()13ϕ+=，因为 ππ(,)22ϕ∈-，所以 π6ϕ=． ………………6分（Ⅱ）解：π()2sin(2)2cos 22f x x x =+=． ………………8分由 5542cos2)4(==ααf ，得 5522cos =α， ………………9分 所以 5312cos2cos 2=-=αα． ………………11分GF OADCB E所以2sin sin 22sin (1cos )1cos 12sin sin 22sin (1cos )1cos 4αααααααααα---===+++． ………………13分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）证明：取AB 中点O ，连结EO ，DO ．因为 EA EB =，所以 AB EO ⊥． ……………2分因为 AB ∥CD ，CD AB 2=， 所以 BO ∥CD ，CD BO =．又因为 BC AB ⊥，所以四边形OBCD 为矩形，所以 DO AB ⊥． ………………4分 因为 O DO EO = ，所以 ⊥AB 平面EOD ． ………………5分所以 ED AB ⊥． ………………6分 （Ⅱ）解：点F 满足12EF EA =，即F 为EA 中点时，有DF // 平面BCE ．……………7分 证明如下：取EB 中点G ，连接CG ，FG ． ………………8分 因为F 为EA 中点，所以FG ∥AB ，AB FG 21=． 因为AB ∥CD ，AB CD 21=，所以FG ∥CD ，CD FG =． 所以四边形CDFG 是平行四边形，所以 DF ∥CG ． ………………11分 因为 ⊄DF 平面BCE ，⊂CG 平面BCE ， ………………12分所以 DF // 平面BCE ． ………………13分 18．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：当1a =时，22()1xf x x =+，22(1)(1)()2(1)x x f x x +-'=-+． ………………2分由 (0)2f '=， 得曲线()y f x =在原点处的切线方程是20x y -=．…………4分 （Ⅱ）解：2()(1)()21x a ax f x x +-'=-+． ………………6分 ① 当0a =时，22()1xf x x '=+．所以()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减． ………………7分当0a ≠，21()()()21x a x a f x ax +-'=-+．② 当0a >时，令()0f x '=，得1x a =-，21x a =，()f x 与()f x '的情况如下：故)(x f 的单调减区间是(,)a -∞-，1(,)a +∞；单调增区间是1(,)a a-．………10分 ③ 当0a <时，()f x 与()f x '的情况如下：所以()f x 的单调增区间是1(,)a -∞；单调减区间是1(,)a a--，(,)a -+∞． ………………13分 综上，0a >时，()f x 在(,)a -∞-，1(,)a+∞单调递减；在1(,)a a-单调递增.0a =时，()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减；0a <时，()f x 在1(,)a-∞，(,)a -+∞单调递增；在1(,)a a-单调递减．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解： 由 222222213a b b e a a -==-=， 得 13b a =． ① ………………2分 由椭圆C 经过点31(,)22，得2291144a b +=． ② ………………3分 联立① ②，解得 1b =，3a =． …………4分所以椭圆C 的方程是 2213x y +=． …………5分 （Ⅱ）解：易知直线AB 的斜率存在，设其方程为2+=kx y ．将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去y 得 0912)31(22=+++kx x k ． ………………7分令2214436(13)0k k ∆=-+>，得21k >．x1(,)x -∞ 1x 12(,)x x2x 2(,)x +∞ ()f x ' -+-()f x↘1()f x ↗2()f x ↘x2(,)x -∞2x 21(,)x x 1x 1(,)x +∞()f x ' +-+()f x↗2()f x↘1()f x↗设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1221213k x x k +=-+，122913x x k=+． ……………9分 所以 1212122AOB POB POA S S S x x x x ∆∆∆=-=⨯⨯-=-． ………………10分 因为 22221212122222123636(1)()()4()1313(13)k k x x x x x x k k k --=+-=--=+++， 设 21(0)k t t -=>， 则 21223636363()16(34)4169242924t x x t t t t t-==≤=+++⨯+． ……………13分 当且仅当169t t =，即43t =时等号成立，此时△AOB 面积取得最大值23． ………………14分20．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：633=+，分解积的最大值为339⨯=； ………………1分732234=++=+，分解积的最大值为3223412⨯⨯=⨯=； ………………2分 8332=++，分解积的最大值为33218⨯⨯=． ………………3分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，(1,2,,)k a k n = 中可以有2个2． ………………4分 当(1,2,,)k a k n = 有3个或3个以上的2时， 因为22233++=+，且22233⨯⨯<⨯， 所以，此时分解积不是最大的．因此，*()N k a k ∈中至多有2个2． ………………7分 （Ⅲ）解：① 当(1,2,,)k a k n = 中有1时， 因为1(1)i i a a +=+，且11i i a a ⨯<+，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ………………8分 ② 由（Ⅱ）可知，(1,2,,)k a k n = 中至多有2个2． ③ 当(1,2,,)k a k n = 中有4时，若将4分解为13+，由 ① 可知分解积不会最大； 若将4分解为22+，则分解积相同；若有两个4，因为44332+=++，且44332⨯<⨯⨯，所以将44+改写为332++，使得分解积更大． 因此，(1,2,,)k a k n = 中至多有1个4，而且可以写成22+． ………………10分 ④ 当(1,2,,)k a k n = 中有大于4的数时，不妨设4i a >， 因为2(2)i i a a <-，所以将i a 分解为2(2)i a +-会使得分解积更大． ………………11分 综上所述，(1,2,,)k a k n = 中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个． 于是，当*3()N m m =∈N 时，333m N =+++个使得分解积最大； …………12分 当*31()N m m =+∈N 时，(1)(1)333223334m m N --=+++++=++++个个使得分解积最大； ………………13分 当32()N m m =+∈N 时，3332m N =++++个使得分解积最大． ………………14分。
2012年新课标数学仿真模拟试卷四(文理合卷)
2012年新课标数学仿真模拟试卷四（文理合卷）一、选择题：（本大题共10题，每小题5分，共50分,在每小题给出的四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的.1.（河北省石家庄市2011年高三第一次模拟）设M ＝{9|<x x }, N ＝{9|2<x x },则( ) A ．M ⊆N B ．N ⊆M C ．M ⊆R C N D ．N ⊆R C M2. (河南省商丘市2011年高三第二次模拟)若复数312a ii＋＋（a ∈R ，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为( )（A ）－2 （B ）4 （C ）－6 （D ）6 【答案】C 【解析】因为复数312a i i ＋＋=(3)(12)5a i i -=＋(32)5a a i-＋6)+(是纯虚数，所以实数a 的值为-6,选C.3.(福建省厦门市2011年高三质量检查)下列命题中，真命题是 （ ） A ．2,x R x x ∀∈≥B ．命题“若21,1x x ==则”的逆命题 C ．2,x R x x∃∈≥D ．命题“若,sin sin x y x y ≠≠则”的逆否命题【答案】C【解析】本题考查常用逻辑用语,容易得出选项C 正确.4.(江西省师大附中等重点学校2011届高三联考)抛物线22y x =-的焦点坐标是( )A ．1(,0)2-B ．(1,0)-C ．1(0,)4-D ．1(0,)8- 【答案】D【解析】因为抛物线的开口方向向下,且122p =-,故选D. 5．(天津市十二所重点学校2011年高三毕业班联考一）函数2()21log f x x x =-+的零点所在区间是（ ）A ．11(,)84B ．11(,)42C ．1(,1)2D ．（1，2）【答案】C【解析】因为1()12f =-<0,(1)10f =>,故选C. 6．(广东省遂溪县2011年高考第一次模拟)已知3sin()45x π-=，则s i n 2x 的值为 ( )A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．725【答案】D【解析】sin 2x =cos 2()4x π-=212sin ()4x π--=725. 7．(重庆市2011届高三下学期第二次联合诊断性考试)已知向量,a b为非零向量，则“a//b ”是“||||||a b a b +=+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 【答案】B【解析】本题与平面向量相结合,考查充分必要条件.8．（广东省深圳市2011年3月高三第一次调研）设数列{}1n -()的前n 项和为n S ，则对任意正整数n ，n S =( )A ．112n n ⎡⎤--⎣⎦()B ．1112n --+() C ．112n -+() D ．112n --()【答案】D【解析】数列{}(1)n-是首项与公比均为1-的等比数列.9. (湖南省衡阳市2011届高中毕业班联考试卷一)若b<a <0则下列结论不正确的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查不等式,容易得出选项C 正确.10．(陕西省西安市2011届高三五大名校第一次模拟考试)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其表面积．．．等于 ( )(B)(C)6(D)6+【答案】C【解析】由题意知, 三棱柱是底面边长为2,高为1的正三棱柱,故可求出其表面积. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14、15题是选做题，考 生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分。
2012年高考终极仿真模拟试题数学文(北京卷).pdf
20.2.1正比例函数 2006 年7月12日，我国著名运动员刘翔在瑞士洛桑的田径110米栏的决赛中，以12.88秒的成绩打破了尘封13年的世界纪录，为我们中华民族争得了荣誉． （1）刘翔大约每秒钟跑多少米呢？ （2）刘翔奔跑的路程s（单位：米）与奔跑时间t（单位：秒）之间有什么关系？ （3）在前5秒，刘翔跑了多少米？ 新课导入 分析：（1）刘翔大约每秒钟跑 110÷12.88=8.54（米）． （2）假设刘翔每秒奔跑的路程为8.54米，那么他奔跑的路程s（单位：米）就是其奔跑时间t（单位：秒）的函数，函数解析式为 s=8.54t (0≤t ≤12.88)． （3）刘翔在前5秒奔跑的路程，大约是t=5时函数s=8.54t 的值，即 s=8.54×5=42.7（米）． 写出下列问题中的函数关系式 （1）圆的周长 随半径r变化的关系； （2)每个练习本的厚度为0.5cm,一些练习本 叠在一起的总厚度 h随练习本的本数n变化 的关系； (3)冷冻一个0℃的物体，使它每分下降2℃， 物体的温度T(单位：℃）随冷冻时间t变化 的关系（单位：分） (3)h=0.5n (4)T=-2t 这些函数有什么共同点？ 这些函数都是常数与自变量的乘积的形式。
（2）T=-2t （1）l=2πr （3）h=0.5n （4） s=8.54t(0≤t ≤12.88) 一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数． 思考 为什么强调k是常数， k≠0呢？ y=k x (k≠0的常数) 比例系数 自变量 X的正比例函数 注: 正比例函数y=kx（k≠0） 的结构特征 ①k≠0 ②x的次数是1 1．下列函数是否是正比例函数？比例系数是 多少？ 是，比例系数k=8． 不是． 不是． 是，比例系数k=． 练一练 （5）y=2x-1 不是． 应用新知 例1 （1）若y=5x3m-2是正比例函数，m= 。
北京市密云县2012年高中模拟试卷及答案(文数)含答案
2012年密云县高三模拟考试数学（文科）、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.21•设集合M {x|x 1}, P {x|x 1}，则下列关系中正确的是C . 1A • M=PB.M UP=P2.函数y cosx 的一个单调递增区间为C.M U P=M3.已知向量aB .0, C .D .M n P =PD • ,21,1 , b2, n ,若agD ，则 n4.已知等比数列a n 的前三项依次为则a n25.抛物线y 4x 上一点M 至憔点的距离为A . 1B . 2C . 36 .如图1所示，是关于闰年的流程，则以下年份是闰年的为 A . 2012年 B . 2010 年 C . 2100 年 D . 1998年x 2,7.设变量x , y 满足约束条件y x,则目标函数z 2x y 的最小值为3,则点M 的横坐标x D . 4输小//输出：于長国甲/ /眷出‘棗倒年/1 1&给出定义：若m x m (其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数,2 2记作x = m.在此基础上给出下列关于函数f(x) x x的四个命题：1①函数y= f (x)的定义域为R,值域为0,-；2k②函数y= f (x)的图像关于直线x - ( k Z )对称；2③函数y= f (x)是周期函数，最小正周期为 1 ；1 1④函数y= f (x)在-,-上是增函数.2 2其中正确的命题的个数为A . 1 B.2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分. 9 .某校对全校男女学生共样本•已知女生抽了设复数z满足iz 10.1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为95人，则该校的女生人数应是_________ 人.i，贝y z __________ .200的11.x2已知双曲线 -41的离心率为2，则实数m12.如图2所示，函数y f (x)的图象在点P处的切线方程是13.已知8，则f 5是平面, m , n是直线，给出下列命题①若m，则②若m,m P , n P ，则③如果m,n ,m、n是异面直线，那么相交.④若I// m，且，则n// 且n// 其中正确命题的有(填命题序号) ①④14 •规定一种运算：a a, abb, ab，例如：1b 2=1 ,3 2=2，则函数f (x) sinx cosxx的值域为三、解答题：本大题共6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.15. (本小题满分12分)1 在厶ABC中，角A, B,C所对的边分别为a,b,c，已知a2 , c 3, cosB -.4(I)求b的值；(II)求sin C的值.16. （本小题满分13分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第 1 组［75，80），第 2 组［80，85），第 3 组［85，90），第 4 组［90，95），第 5 组［95，100］, 得到的频率分布直方图如图所示.（I ）分别求第3, 4, 5组的频率；（II ）若该校决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进入第二轮面试，求第3, 4, 5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试?（川）在（I）的前提下，学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受甲考官的面试，求第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率.频率17. (本小题满分14分)女口图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，点E在棱CC1的延长线上，且1 CC1C1E BC AB 1.2(I )求证：D1E //平面ACB1；(n )求证：平面D1B1E 平面DCB1；(川)求四面体D1 B1AC的体积.A B1 设函数f(x) —X32ax23a2x 1, 0 a 1.3(I)求函数f (x)的极大值；(II)若x 1 a,1 a时，恒有a f (x) a成立(其中f x是函数f x的导函数)，试确定实数a的取值范围.已知曲线上任意一点P到两个定点R, .3,0和F2 .3,0的距离之和为4. (I)求曲线的方程；(II)设过0, 2的直线I与曲线交于C、D两点，且OO C OD 0 ( O为坐标原点),求直线I的方程.2，已知数列a n中，a i 2, a23，其前n项和&满足& i S n 1 2& 1 ( n * n N *)．(I)求数列a n的通项公式；(II)设b n 4n ( 1)n 1 2a n(为非零整数，n N*)，试确定的值，使得对任意n N *，都有b n 1 b n 成立．2012年密云县高三模拟测试数学（文科）试题参考答案及评分标准9. 76010. 1 2i 11. 1212. 3;— 113.①④14. [ 1,]2三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15.（本小题满分12分）解：（I ）由余弦定理， b 2 a 2 c 2 2accosB , ............................................................ 2分1得 b 2 22 322 2 310, .................................................................... 4 分4b .10 . ............................................................................................................. 6 分16.解：（I ）由题意，第3组的频率为0.06 50.3 ,（II ）方法1：由余弦定理，得 cosC2 , 2 2a b c 2ab4 10 9 迈 ...........................2 2 10 8 '•/ C 是ABC 的内角,二 sin C • 1 cos 2 C3,6 8 1方法2：v cosB ，且B 是ABC 的内角,4sin B ■. 1 cos 2 B根据正弦定理,b c sin B sin C得 sin Ccsin B b15—4 103-6 8 .8分10分12分8分10分12分3分第4组的频率为0.04 5 0.2 , 第5组的频率为0.02 5 0.1 .(n )第3组的人数为0.3 100 30 , 第4组的人数为0.2 100 20 , 第5组的人数为0.1 100 10 •因为第3 , 4 , 5组共有60名学生，所以利用分层抽样的方法在 60名学生中抽取6名学生，每组抽取的人数分别为：第3组： 3060 6 3 , 第4组：20 6 2,60第5组：10 6 1.60所以第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人. ...................... 8分 (川)设第3组的3名学生为A , A 2 , A 3,第4组的2名学生为B 1, B 2 , 第5组的1名学生为C 1 • 则从六名学生中抽两名学生有：(A 1,A 2),(A 1 ,A 3),( A 1 ,B 1 ),(A 1,B 2),(A 1,C 1),(A 2,A 3),( A 2 , B 1),( A 2,B 2 ),(A 2 ,C 1 ),(A 3, BJ,(A 3,B 2),( A 3,G),(B 1, B 2),( B 1 ,C 1 ),(B2C),共15种可能.其中第4组的2名学生为B 1, B 2至少有一名学生入选的有：(A 1, B 1 ),( A 1, B 2),( A 2, B 1 ),( A 2, B 2),(A 3, BJ,( B 1,B 2),( A 3, B 2),( B 1,CJ,( B2G),共 9种可能，93所以第4组至少有一名学生被甲考官面试的概率为....... 13分15 517.解：(I)证明：连AD 1四边形AB i ED i 是平行四边形2分由长方体的特征可知:CD 平面 B i BCE平面D i B i E 平面DCB i (川)四面体D i B i AC 的体积i i 2 i i 2 4 3 2i8.(本小题满分i4分)••• f (x)的单调递增区间为(a,3a)；i a —时，i3• f (x)在区间i a,i a 内是单调递减.AD 1//BC 1//B 1E则 D 1E//AB 1 又AB i 平面AB i C , D i E 平面AB i C D i E //平面 ACB i (n) 由已知得B i C 2 B i E 2 4 CE 2则 B 1E B 1C6分E5分i而B i E 平面B 1 BCE ,则 CD B i E B i E 平面 DCB i又B i E平面D 1B 1E10分VABCD A i B i C i D i iV A A i^D i V B ACB iV C B 1C i D i V D ACD ii4分解：(I )： f (x)x 2 4ax 3a 2,当f (x)0时，得3a ； 当 f (x) 0时，得x a 或x 3a ；f (x)的单调递减区间为(,a)和(3a,故当x 3a 时,f (x)有极大值，其极大值为x 2 4ax 3a 2x 2aa 2a ,此时,a9分19.（本小题满分14分）解：（I ）根据椭圆的定义，可知动点 M 的轨迹为椭圆， .......................... 1分其中a 2，c 3， 则b a 2 c 21 . ............................. ............. 2分2所以动点M 的轨迹方程为—y 21 . ........................................................ 4分4（2）当直线l 的斜率不存在时，不满足题意............................... 5分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx 2，设C (x-i , y-i ) , D(x 2, y 2), uur uuur••• OC OD 0，二 x-j x 2 y-j y 2 0 . ............................................................. 7 分••• y 1 kx 1 2, y 2 kx ?2,2y 1y 2 k x-i x 2 2k (为 x 2) 4 .2•- (1 k )X 1X 2 2k(X 1 X 2) 4 0 .................................. ① ............................................................................ 9 分2X21 由方程组4 71,y kx 2.得 1 4k 2 x 2 16kx 12 0. .......................................................................... 11 分f (x)f 1-a8 a 28a 2 2a 16a 1, f(x) minf 1+a 2a 1.6a 1 a, a.当13a 1时, f (x )f 2amaxf (x)2a a,2a 1 a, 8a 2 6a 1此时,7 .,17 16综上可知, 实数a.716a 1, 1 3'帀7 .17 1611分13分a 的取值范围为丄,71731614分二 a n n 1 . ....................................................................................................................... 4 分 (II )•「a nn 1 ,• b n 4n ( 1)n12n1，要使 b n 1 b n 恒成立，•- 01 04n1 4n 1 n 2n 2 1 n 1 2n 1 0 恒成立，•- 3 4n 31 n 1 2n 1 0恒成立，n 1n 1•- 1 2 恒成立. ................................................ 6分(i) 当n 为奇数时，即2n 1恒成立， ............................... 7分当且仅当n 1时，2n 1有最小值为1, •1 . .......................................................... 9 分(ii)当n 为偶数时，即......................... 2n 1恒成立， 10分则 x 1 x 216k 1 4k 2,x 1 x 2代入①，得12121 4k 216k ’ 门2 4 0.4k 22k 1 即 k 2 4, 解得，k13分所以，直线 I 的方程是 y 2x 2x14分20. 解：(本小题满分 13 分) (I )由已知, S n 1 S n S n S n 12，n N )，即 a n 1 a n )，且 a 2•••数列a n2为首项，公差为1的等差数列.当且仅当n 2时，2n 1有最大值2 ,• 2 . ....................................................................................................... 12 分即2 1,又为非零整数，则 1 .综上所述，存在1，使得对任意n N*，都有b n 1 b n. ............................................................. 13分。
2012年高考数学 仿真模拟卷 文4 新课标版
2012届高考数学仿真模拟卷——新课标版（文4）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知p ：关于x 的不等式220x ax a +->的解集是,q R ：10a -<<，则p 是q 的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分有非必要条件2. 已知结论：“在正三角形ABC 中，若D 的边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则2AGGD=”。
若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD 中，若BCD ∆的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3. 已知定义域为R 的函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，当2x <时，()f x 单调递减，如果124x x +>且12(2)(2)0x x --<，则12()()f x f x +的值（ ） A ．等于0 B ．是不等于0的任何实数 C ．恒大于0D ．恒小于04. 若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点，则实数a 的取值X 围是（ ） A ．（－2，2）B ．[－2，2]C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞5. 已知函数2()n f x x ax =+的导数'()23f x x =+，则数列1(*)()2n f n ⎧⎫∈⎨⎬+⎩⎭N 的前n 项和是（ ）A ．1nn + B ．12(1)n n -+C ．2(2)nn +D ．(1)(2)nn n ++6. 若tan 2θ=，则cos2θ的值为（ ） A ．－3B ．3C ．35-D ．357. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ） A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π8. 下列命题中：①一条直线和两条平行线都相交，那么这三条直线共面；②每两条都相交，但不共点的四条直线一定共面；③两条相交直线上的三个点确定一个平面；④空间四点不共面，则其中任意三点不共线.其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9. 设12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，若双曲线上存在点A ，使120AF AF ⋅=，且123AF AF =,则双曲线的离心率为（ ）A B C D 10. 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏，其中任何一人每射击一次击中目标得2分，未击中目标得0分。
北京市高三数学文科仿真模拟卷 4
北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷4第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U =R ，集合{|21}xA x =>，1{|0}1B x x =>-，则()U A B IC = （A ）{|1}x x > （B ）{|01}x x << （C ）{|01}x x <≤ （D ）{|1}x x ≤（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“ 1>yx”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件（3）已知3cos 5α=，0πα<<，则πtan()4α+=（A ）15 （B ）-1 （C ）17（D ）7-（4）双曲线221169x y-=的焦点到渐近线的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （A ） 8 （B ） 4（C ）（D（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(, )a b 与向量(1,1)-垂直的概率是（A ）512 （B ）16 （C ） 13 （D ）12（7）已知函数2()cos f x x x =-，则(0.5)f -，(0)f ，(0.6)f 的大小关系是（A ）(0)(0.5)(0.6)f f f <-< （B ）(0.5)(0.6)(0)f f f -<< （C ）(0)(0.6)(0.5)f f f <<- （D ）(0.5)(0)(0.6)f f f -<<（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC . 设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，定义123()(, , )M P λλλ=．当23λλ⋅取最大值时，则()M P 等于（A ）111(,,)244 （B ）111(,,)442 （C ）111(,,)333 （D ）111(,,)222第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）设为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = .（10）已知向量a ，b 的夹角为60，||3=a ，||2=b ，若(2)m ⊥a a +b ，则实数m 的值为 .（11）如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距n mile ，则此船的航行速度是 n mile/h.（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：环数 8 9 10 次 数 2 2 1则这5次射击的平均环数为 ；5次射击环数的方差为 .（14）已知区域D ：2,20,10.y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤ 则22x y +的最小值是 ；若圆C ：22()(2)2x a y -+-=与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2sin 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及值域； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间. （16）（本小题满分13分）设{}n a 是一个公差为2的等差数列，1a ，2a ，4a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）数列{}n b 满足2n an b =，求12n b b b ⋅⋅⋅（用含n 的式子表示）.（17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如左图）.将此长方形沿1CC 对折，使平面11AAC C ⊥平面11CC B B （如右图），已知D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求三棱锥11C A BE -的体积. （18）（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1 (0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(3, 0)的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值． （20）（本小题满分14分）对于整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0||r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3, , 23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191q r =+(091)r <≤，试求q ，r 的值；（Ⅱ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，b a ，则称B 为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”0B 和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m A ∈，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.参考答案 1. C 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =>=>，所以{}1U C B x x =≤，(){}01.U AC B x x =<≤2. B 【解析】 当0>>y x 时1>y x 成立，若1>yx，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形。
2012年高考数学最新密破仿真模拟卷第4周测试(教师解析版)
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C.充分必要条件
D.既非充分又非必要条件 【解析】：由题意： Δ ＝ 4a2+4a≤0, 解得 -1 ≤ a≤ 0, 所以 p 是 q 的必要非充分条件 .
【答案】： B
6. 已知 sin(2
1
A.
B.
7
) 4, 5
1 7
【解析】：由 sin(2
)
所以 cos
3
sin
, 所以
5
sin
(3 ,2 ) , 则 sin
2
sin
C.-7
sin( ) sin
43
cos
55
cos
43
55
cos 等于 cos
D.7
4 , 得 sin
5 1
. 选 A. 7
(
4 ,又
5
)
3 ( , 2 ),
2
【答案】： A
7. 设 a、 b、 c 都是正数，则 a+ 1 、 b+ 1 、 c+ 1 三个数
.
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后， 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使
现用分层抽样的方法在全 校抽取 300 名学生，
300
应在高三年级抽取的人数为：
×990＝ 99.
3 000
x2 y2
15. 椭圆
M： a
2＋
北京市怀柔区2012届高三4月调研考试文科数学试题
Q2012年怀柔区高三年级调研考试数 学（文科） 2012.4一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 有且只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C UA ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ2．已知i 为虚数单位，2=iz，则复数=zA ．i -1B ．i +1C ．2iD ．－2i 3．“a=2”是“直线ax 十2y=0与直线x+y=l 平行”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主 视图是腰长为1的等腰直角三角形，则 这个几何体的体积是A ．21B ．1C ．23D ．2 5．函数2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π2的偶函数C ．最小正周期为π的奇函数D ．最小正周期为π的偶函数6．如图所示的方格纸中有定点 O P Q E F G H ,,,,,,，则OP OQ +=A ．OHB ．OGC ．EOD ．FO7．设x>1，S=min ｛log x 2，log 2（4x 3）｝，则S 的最大值为A ．3B ．4C ． 5D ．6主视图俯视图8．若函数()() y f x x R =∈满足()()2f x f x +=，且[]1,1x ∈-时，()21f x x =-，函数()()()lg 01 0x x g x x x ⎧>⎪=⎨-<⎪⎩，则函数()()()h x f x g x =-在区间[]5,5-内的零点的个数为A ．5B ．7C ．8D ．10 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．函数xx f )21(1)(-=的定义域是 .10．如图给出的是计算2011151311+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件 是 ．11．如图，ABC ∆中，90=∠C ，30=∠A ，1=BC ．在三角形内挖去半圆（圆心O 在边AC 上，半圆与BC 、AB 相切于点 C 、M ，与AC 交于N ，见图中 非阴影部分），则该半圆的半径 长为 ．12． 当(1,2)x ∈时，不等式2(1)log a x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为 ．13．已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-≥-≤+122y y x y x 表示的平面区域为M ，若直线13+-=k kx y 与平面区域M 有公共点，则k 的取值范围是 ．14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为22的圆周上．从整点i到整点（i ＋1）的向量记作1+i i t t ，则2111243323221t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅＝ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ．17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围．19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是“T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2013项的和．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．．9．),0[∞ 10．2011≤i 11．3312．]2,1( 13．)0,31[- 14．936-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．15．（本小题满分13分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的所对应边分别为a,b,c ，且.sin 2sin ,3,5A C b a ===（Ⅰ）求c 的值； （Ⅱ）求)32sin(π-A 的值．解：（Ⅰ）根据正弦定理，sin sin c a C A =,所以sin 2sin Cc a a A===-------------5分（Ⅱ）根据余弦定理，得222cos 2c b a A bc +-==于是sin A ==从而4sin 22sin cos 5A A A == 223cos 2cos sin 5A A A =-=………12分所以sin(2)sin 2coscos 2sin333A A A πππ-=-=-------------------13分16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 与BD 的交点为O ，E 为侧棱SC 上一点．（Ⅰ）当E 为侧棱SC 的中点时，求证：SA ∥平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面SAC ． 证明：（Ⅰ）连接OE ，由条件可得SA ∥OE . 因为SA Ë平面BDE ，OE Ì平面BDE ，所以SA ∥平面BDE（Ⅱ）证明：由已知可得，SB SD =,O 是BD 中点，所以BD SO ^，又因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ^因为ACSO O =，所以BD SAC ⊥面.又因为BD BDE ⊂面，所以平面BDE ⊥平面17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（Ⅰ）求出表中,M p 及图中a 的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=， 所以40M =.------------------------------------------------------------------------------2分 因为频数之和为40，所以1024240m +++=，4m =.----------------------3分40.1040m p M ===.---------------------------------------------------------------------4分 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以240.12405a ==⨯------6分 （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有26m +=人， 设在区间[20,25)内的人为{}1234,,,a a a a ，在区间[25,30)内的人为{}12,b b . 则任选2人共有1213141112232421(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a b a b a a a a a b2234(,),(,)a b a a ，3132414212(,),(,),(,),(,),(,)a b a b a b a b b b 15种情况，-------------10分而两人都在[25,30)内只能是()12,b b 一种，------------------------------------------12分 所以所求概率为11411515P =-=.（约为0.93）--------------------------------------13分 18．（本小题满分13分）设a ∈R ，函数233)(x ax x f -=．（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求实数a 的值；（Ⅱ）若函数()()xg x e f x =在]2,0[上是单调减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=， 所以1a =．经检验，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． 即1a =．----------------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由题设，'322()(336)xg x e ax x ax x =-+-，又0xe >，所以，(0,2]x ∀∈，3223360ax x ax x -+-≤，这等价于，不等式2322363633x x x a x x x x++≤=++对(0,2]x ∈恒成立．令236()3x h x x x+=+（(0,2]x ∈），则22'22223(46)3[(2)2]()0(3)(3)x x x h x x x x x ++++=-=-<++，---------------------------10分 所以()h x 在区间0,2]（上是减函数， 所以()h x 的最小值为6(2)5h =．----------------------------------------------------12分 所以65a ≤．即实数a 的取值范围为6(,]5-∞．-----------------------------------13分 19．（本小题满分14分）已知椭圆C 的两焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，并且经过点⎪⎭⎫⎝⎛23,1M ． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O :122=+y x ，直线l :1=+ny mx ，证明当点()n m P ,在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围．解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，由椭圆的定义知:22224,1,3a c b a c ====-= 得 3,2==b a故C 的方程为13422=+y x .-------------------------- ---------------------------4分 解法二：设椭圆C 的标准方程为)0(12222>>=+b a by a x ，依题意，122=-b a ①， 将点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1M 坐标代入得12312222=⎪⎭⎫⎝⎛+b a ②由①②解得3,422==b a ，故C 的方程为13422=+y x .-------------------.4分（Ⅱ）因为点()n m P ,在椭圆C 上运动，所以22143m n +=，则1342222=+>+n m n m ， 从而圆心O 到直线1:=+ny mx l 的距离r nm d =<+=1122，所以直线l 与圆O 相交.------------------------------------------------------------------8分 直线l 被圆O 所截的弦长为22211212n m d L +-=-=341112413112222+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=m m m-----------------------------------------------------------------------------------10分,31341141,4341340222≤+≤≤+≤∴≤≤m m m 3362≤≤∴L .-----------------------------------------------------------------------14分 20．（本题满分13分）对于给定数列{}n c ，如果存在实常数,p q 使得1n n c pc q +=+对于任意*n N ∈都成立，我们称数列{}n c 是 “T 数列”．（Ⅰ）若n a n 2=，32n n b =⋅，*n N ∈，数列{}n a 、{}n b 是否为“T 数列”？若是，指出它对应的实常数,p q ，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”，则数列}{1++n n a a 也是“T 数列”；（Ⅲ）若数列{}n a 满足12a =，)(23*1N n t a a n n n ∈⋅=++，t 为常数．求数列{}n a 前2013项的和．解：（Ⅰ）因为2,n a n =则有12,n n a a +=+*n N ∈故数列{}n a 是“T 数列”， 对应的实常数分别为1,2．因为32n n b =⋅，则有12n n b b += *n N ∈故数列{}n b 是“T 数列”， 对应的实常数分别为2,0．---------------4分 （Ⅱ）证明：若数列{}n a 是“T 数列”， 则存在实常数,p q ，使得1n n a pa q +=+对于任意*n N ∈都成立， 且有21n n a pa q ++=+对于任意*n N ∈都成立，因此()()1212n n n n a a p a a q ++++=++对于任意*n N ∈都成立，故数列{}1n n a a ++也是“T 数列”．对应的实常数分别为,2p q ．------------------------------------8分（Ⅲ）因为 *132()n n n a a t n N ++=⋅∈，则有22332a a t +=⋅，44532a a t +=⋅，=+20112010a a 201023⋅t ，=+20132012a a 201223⋅t 。
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北京市2012届高三数学文科仿真模拟卷4第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.（1）已知全集U =R ，集合{|21}xA x =>，1{|0}1B x x =>-，则()U A B IC = （A ）{|1}x x > （B ）{|01}x x << （C ）{|01}x x <≤ （D ）{|1}x x ≤（2）设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“ 1>yx”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分又不必要条件（3）已知3cos 5α=，0πα<<，则πtan()4α+=（A ）15 （B ）-1 （C ）17（D ）7-（4）双曲线221169x y-=的焦点到渐近线的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形.若三棱柱的正视图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （A ） 8 （B ） 4（C ）43 （D ）3（6）连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b ，则向量(, )a b 与向量(1,1)-垂直的概率是（A ）512 （B ）16 （C ） 13 （D ）12（7）已知函数2()cos f x x x =-，则(0.5)f -，(0)f ，(0.6)f 的大小关系是（A ）(0)(0.5)(0.6)f f f <-< （B ）(0.5)(0.6)(0)f f f -<< （C ）(0)(0.6)(0.5)f f f <<- （D ）(0.5)(0)(0.6)f f f -<<（8）已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC . 设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S S λ=，22SS λ=，33S Sλ=，定义123()(, , )M P λλλ=．当23λλ⋅取最大值时，则()M P 等于（A ）111(,,)244 （B ）111(,,)442 （C ）111(,,)333 （D ）111(,,)222第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. （9）设为虚数单位，复数z 满足i 1i z =-，则z = .（10）已知向量a ，b 的夹角为60，||3=a ，||2=b ，若(2)m ⊥a a +b ，则实数m 的值为 .（11）如图，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距42n mile ，则此船的航行速度是 n mile/h.（12）右边程序框图的程序执行后输出的结果是 .（13）某射击运动员在一组射击训练中共射击5次，成绩统计如下表：环数8 9 10 次 数2 2 1 则这5次射击的平均环数为 ；5次射击环数的方差为 .（14）已知区域D ：2,20,10.y x y x y ⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≥≤ 则22x y +的最小值是 ；若圆C ：22()(2)2x a y -+-=与区域D 有公共点，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）已知函数2()2sin cos 2sin 1f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及值域； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间. （16）（本小题满分13分）设{}n a 是一个公差为2的等差数列，1a ，2a ，4a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；（Ⅱ）数列{}n b 满足2n an b =，求12n b b b ⋅⋅⋅ （用含n 的式子表示）. （17）（本小题满分13分）在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点（如左图）.将此长方形沿1CC 对折，使平面11AAC C ⊥平面11CC B B （如右图），已知D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点.（Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ；（Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求三棱锥11C A BE -的体积. （18）（本小题满分13分）已知函数()xf x e ax =-，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当[0,)x ∈+∞时，都有()0f x ≥成立，求实数a 的取值范围. （19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1 (0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A ，离心率为22.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(3, 0)的直线与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证：AM AN k k +为定值． （20）（本小题满分14分）对于整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0||r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3, , 23}A =⋅⋅⋅.（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191q r =+(091)r <≤，试求q ，r 的值；（Ⅱ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，b a ，则称B 为“谐和集”.请写出一个含有元素7的“谐和集”0B 和一个含有元素8的非“谐和集”C ，并求最大的m A ∈，使含m 的集合A 有12个元素的任意子集为“谐和集”，并说明理由.参考答案 1. C 【解析】分别把两个集合表示为{}{}0,1A x x B x x =>=>，所以{}1U C B x x =≤，(){}01.U A C B x x =<≤2. B 【解析】 当0>>y x 时1>y x 成立，若1>yx，则出现0>>y x 和0x y <<两种情形。
3. D 【解析】由3cos 5α=，0πα<<得44sin ,tan ,53αα== 所以π1tan tan()7.41tan ααα++==--4. B 【解析】由221169x y-=可知其中一个焦点为()5,0，一条渐近线方程为3,3404y x x y =-=，所以223540 3.34d ⨯-⨯==+ 5. C 【解析】侧视图应为矩形，高为4，宽为323,2⨯=因此侧视图的面积为4 3. 6.B 【解析】连续抛两枚骰子分别得到的点数是a ，b 的情形共有36种，而向量(, )a b 与向量(1,1)-垂直，只需满足a b =，共有6种情况，所以61.366P ==7. A 【解析】'()2sin ,f x x x =+ 则函数()f x 在[]0,0.6上单调递增，所以(0)(0.5)(0.6),f f f <<又因为2()cos f x x x =-是偶函数，(0)(0.5)(0.6),f f f <-<8. A 【解析】 不难发现，123123111,,22λλλλλλ++==+=， 223232311,2164λλλλλλ+⎛⎫≤=== ⎪⎝⎭时取等号. 所以123111()(, , ),,.244M P λλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭9. 1.i --【解析】 把1iz i =-两边同乘以i -，则()()11.z i i i =-⋅-=--10. 2.3-【解析】由 (2)m ⊥a a +b 得220m a a b +⋅= ，所以29232cos 600,.3m m ︒+⨯⨯⨯==-11. 16.【解析】由图可知,8,sin 45sin 30AB BSAB ︒︒==所以此船的航行速度是16n mile/h. 12. 35.【解析】依次做以下运算3,35,87,159,2411,35.n S n S n S n S n S ==→==→==→==→==13. 8.8,0.56. 【解析】平均数为8292108.85⨯+⨯+=，方差为()()()222288.8298.8218.80.565s -⨯+-⨯+-==.14. []4,2,5.-【解析】画出不等式组对应的平面区域，则()()222200x y x y +=-+-，显然过点()0,2时()22min4.x y+=当圆22()(2)2x a y -+-=与两直线分别相切时， 利用点到直线距离公式求得2a =-和5a =， 显然当[]2,5a ∈-时圆C 与区域D 有公共点。
（15）【解析】（Ⅰ）()sin 2cos 22sin(2)4f x x x x π=+=+， ……………………………4分则函数()f x 的最小正周期是π. ……………………………………………6分 函数()f x 的值域是2, 2⎡⎤-⎣⎦. ………………………………………8分（Ⅱ）依题意得222242k x k ππππ-+π+≤≤()k ∈Z . …………………………10分则388k x k πππ-π+≤≤()k ∈Z . ………………………………………12分 即()f x 的单调递增区间是3, 88k k π⎡⎤π-ππ+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z . …………………13分16.【解析】（Ⅰ）由1a ，2a ，4a 成等比数列得：2111(2)(6)a a a +=+. …………2分 解得12a =. ………………………………………………………4分 数列{}n a 的通项公式是n a =2n ()n *∈N . …………………………………6分 （Ⅱ）22n n b ==4n ()n *∈N . …………………………………………………8分则12n b b b ⋅⋅⋅ =12 (4)n+++ …………………………………………………10分=1(1)24n n +=(1)2n n +()n *∈N . ……………………………13分17.【解析】（Ⅰ）取1A B 的中点F ，连接DF ，EF . ……………1分因为D ，F 分别是11A B ，1A B 的中点所以DF 是△11A BB 的中位线. ……………2分 所以DF ∥1BB ∥1CC ，且111122DF BB CC ==. 又因为E 是1CC 的中点， 所以1112C E CC =. 所以DF ∥1C E ，且1DF C E =.所以四边形1C EFD 是平行四边形. …………3分 所以1C D ∥EF .又EF ⊂平面1A BE ，1C D ⊄平面1A BE ， …………………………………4分 所以1C D ∥平面1A BE . ……………………………………………5分 （Ⅱ）因为111CC AC ⊥，111CC B C ⊥，且11111AC B C C = ，所以1CC ⊥平面111AC B .因为1BB ∥1CC ，所以1BB ⊥平面111AC B .因为1C D ⊂平面111AC B ，所以11BB C D ⊥. …………………………………6分 又因为1111AC C B =，且D 是11A B 的中点， 所以111C D A B ⊥. ………………7分 因为1111A B BB B = ，所以1C D ⊥平面11AA B B . …………………………8分 由（Ⅰ）知EF ∥1C D ， 所以EF ⊥平面11AA B B . 又因为EF ⊂平面1A BE ，所以平面1A BE ⊥平面11AA B B . …………………………………………10分 解：（Ⅲ）由已知，长方形11AA B B 沿1CC 对折后2AC BC ==，22AB =. 所以222AB AC BC =+.所以BC AC ⊥，且1BC CC ⊥，1AC CC C = . 所以BC ⊥平面11AAC C .即BC ⊥平面11A EC . ……………………………………………………11分所以11111113C A BE B A EC A EC V V S BC --∆==⋅. ……………………………………12分 其中111111121122A EC S AC C E ∆=⋅=⋅⋅=. 所以11111111212333C A BE B A EC A EC V V S BC --∆==⋅=⋅⋅=. ………………………13分18.【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-. ………………2分（1）当0a ≤时，()0f x '>成立，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞； ……3分 （2）当0a >时，令()0f x '>，得ln x a >，则()f x 的单调增区间是()ln ,a +∞. …………4分 令()0f x '<,得ln x a <，则()f x 的单调减区间是(),ln a -∞. …………5分 综上所述，当0a ≤时，)(x f 的单调增区间为(),-∞+∞；当0a >时，()f x 的单调减区间是(),ln a -∞，()f x 的单调增区间是()ln ,a +∞. ………………………6分 （Ⅱ）当0x =时，()10f x =≥成立，a ∈R . ………………………………7分当()0,x ∈+∞时，()e 0x f x ax =-≥成立，即()0,x ∈+∞时，e xa x≤成立.设e ()xg x x =， …………………………………………………………9分所以2e e ()x x x g x x -'==2(1)e xx x-. ………………………………10分 当x ∈(0, 1)时，()0g x '<，函数()g x 在(0, 1)上为减函数； …………11分()1,x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 在()1,x ∈+∞上为增函数. …………12分则()g x 在1x =处取得最小值，(1)e g =. 则e a ≤.综上所述，[)0,x ∈+∞时，()0f x ≥成立的a 的范围是(, e]-∞. …………13分19.【解析】（Ⅰ）由题意得22222411,,2.2a b a b c c a⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩ ……………………2分解得6a =，3b =． ……………………………………………………4分故椭圆C 的方程为22163x y +=． ……………………………………………5分（Ⅱ）由题意可设直线方程为(3)y k x =-，由22(3),1,63y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. ……………………7分因为直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，所以42221444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<． …8分设,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则21221212k x x k +=+，212218612k x x k -=+， ………………………………………10分11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．所以AM AN k k +12121122y y x x --=+-- ………………………………………12分 122112(31)(2)(31)(2)(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=--121212122(51)()1242()4kx x k x x k x x x x -++++=-++2222222(186)(51)12(124)(12)186244(12)k k k k k k k k k --+⋅+++=--++ 2244222k k -+==--． 所以AM AN k k +为定值2-． ………………………………………14分20.【解析】（Ⅰ）因为201191q r =+，所以201191229=⨯+. …………………2分又因为q A ∈，所以22, 9q r ==. ……………………………4分（Ⅱ）含有元素7的一个“和谐集”0{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}B =.…5分含有元素8的一个非“和谐集”{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}C =.…7分 当8m =时，记{7|1, 2, , 16}M i i =+=⋅⋅⋅，{2(7)|1, 2, 3, 4}N i i =+=， 记P =M N C ，则12)(=P card .显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 23}P =.同理，当9, 10, 11, 12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”. 因此7m ≤. …………………………………………………10分下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”.设1211{, , , , 7}B a a a =⋅⋅⋅，若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集” . 现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合1{2, 4, 8, 16}B =，2{3, 6, 12}B =，3{5, 10, 20}B =，4{9, 18}B =，5{11, 22}B =，{13, 15, 17, 19, 23}B '=.…12分以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '⊆的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.综上，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为7. …………14分。