2021年高中数学本册综合测试题(A)新人教B版必修1

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2021学年高一数学必修一第3.4 函数(A卷基础篇)同步双测新人教B版[原卷版]

『高一教材·同步双测』『A卷基础篇』『B卷提升篇』试题汇编前言：本试题选于近一年的期中、期末、中考真题以及经典题型，精选精解精析，旨在抛砖引玉，举一反三，突出培养能力，体现研究性学习的新课改要求，实现学生巩固基础知识与提高解题能力的双基目的。

（1）A卷注重基础，强调基础知识的识记和运用；（2）B卷强调能力，注重解题能力的培养和提高；（3）单元测试AB卷，期中、期末测试。

构成立体网络，多层次多角度为考生提供检测，查缺补漏，便于寻找知识盲点或误区，不断提升。

祝大家掌握更加牢靠的知识点，胸有成竹从容考试！专题3.4 《函数》单元测试卷（A 卷基础篇）参考答案与试题解析第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·浙江省高二期末）已知()2231f x x x =-+，则()1f =（）A ．15B ．21C ．3D ．02．（2020·江苏省响水中学高一月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（） A ．()()()22,f x x g x x ==B ．()()()22,2f x x g x x ==- C ．()(),0,,0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．()()211,1f x x x g x x =+⋅-=-3．（2020·浙江省高二期末）已知常数1a >，则||ay x x =-的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．（2020·广西壮族自治区北流市实验中学高二期中（理））已知函数()()3,10{5,10n n f n f f n n -≥=⎡⎤+<⎣⎦，其中n N ∈，则()8f =（）A ．6B ．7C ．2D ．45．（2019·海南省海口一中高二月考）设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，则()3f ，()4f -的大小关系是（）A ．()()34f f >-B ．()()34f f <-C ．()()34f f =-D ．无法比较6．（2020·天津市蓟州区擂鼓台中学高二期末）下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（） A ．()3f x x =- B ．2()3f x x x =- C ．1()f x x=-D ．()f x x =-7．（2020·全国高一）若函数()f x 满足(32)98f x x +=+，则()f x 的解析式是（） A ．()98f x x =+ B ．()=32f x x +C ．()=34f x x --D ．()=32f x x +或()=34f x x --8．（2020·全国高一）函数2232y x x =--的定义域为( ) A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评课后练习含解析新人教B版选择性必修第一册

模块综合测评(时间:120分钟总分为:150分)一、选择题:此题共8小题,每一小题5分,共40分.在每一小题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.直线kx-y-1=0与直线x+2y-2=0的交点在第四象限,如此实数k 的取值X 围为()A.(-12,12)B.(-12,0)C.(12,+∞)D.(-∞,-12){kx -y -1=0,x +2y -2=0,解得{x =41+2k ,y =2k -11+2k,∴41+2k >0且2k -11+2k <0,∴-12<k<12.2.(2020某某某某期末)在空间直角坐标系中,假如直线l 的方向向量为a =(1,-2,1),平面α的法向量为n =(2,3,4),如此()A.l ∥αB.l ⊥αC.l ⊂α或l ∥αD.l 与α斜交a·n=1×2+(-2)×3+1×4=0,可知a⊥n.∴l∥α或l⊂α.3.设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0,如此l1与l2的交点一定在()A.2x2+3y2=1(x≠0)上B.x2+2y2=1(x≠0)上C.2x2+y2=1(x≠0)上D.3x2+2y2=1(x≠0)上l1:y=k1x+1,∴k1=y-1x(x≠0);直线l2:y=k2x-1,∴k2=y+1x(x≠0).又k1k2+2=0,∴y-1x ·y+1x+2=0,整理得2x2+y2=1(x≠0),∴l1与l2的交点一定在2x2+y2=1(x≠0)上.4.假如双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,如此C的离心率为()A.2B.√3C.√2D.2√33bx±ay=0,圆心(2,0)到渐近线距离为d=√22-12=√3,如此点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为d=√a2+b2=2bc=√3,即4(c2-a2)c2=3,整理可得c2=4a2,双曲线的离心率e=√c2a2=√4=2.5.圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,如此实数m的取值X围是()A.(1,3)B.(-1,1)C.(3,+∞)D.(-3,-1)∪(1,3)圆C1:x2+(y+m)2=2与圆C2:(x-m)2+y2=8恰有两条公切线,∴两圆相交.又C 1圆心为(0,-m ),半径为√2,C 2圆心为(m ,0),半径为2√2,∴√2<√2|m|<3√2,即1<|m|<3,解得-3<m<-1或1<m<3.6.(2020某某池州模拟)MN 是正方体内切球的一条直径,点P 在正方体外表上运动,正方体的棱长是2,如此PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值X 围为() A.[0,4]B.[0,2]C.[1,4]D.[1,2]O ,如此OM=ON=1,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵MN 为球O 的直径,∴OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1, ∴PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1. 又点P 在正方体外表上移动,当P 为正方体顶点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最大,最大值为√3; 当P 为内切球与正方体的切点时,|PO⃗⃗⃗⃗⃗ |最小,最小值为1,∴PO⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1∈[0,2], 即PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值X 围为[0,2]. 7.过双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A ,假如以双曲线C 的右焦点F 为圆心、以2为半径的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),如此双曲线C 的离心率为()A.√3B.2C.√5D.3y=±ba x ,所以A (a ,b )或A (a ,-b ),因此|AF|=c=2,即√(2-a)2+b 2=2,整理可得a 2+b 2-4a=0.因为a 2+b 2=c 2=4,解得a=1,所以双曲线的离心率为e=ca=2.8.(2021某某某某一模)由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面,用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质:一束平行于抛物线轴的光线,经过抛物面的反射集中于它的焦点.用一过抛物线轴的平面截抛物面,将所截得的抛物线放在平面直角坐标系中,对称轴与x 轴重合,顶点与原点重合,如图,假如抛物线过点A (14,1),平行于对称轴的光线经过点A 反射后,反射光线交抛物线于点B ,如此线段AB 的中点到准线的距离为()A.254B.258C.174D.2y 2=mx ,将A 的坐标代入可得12=14m ,可得m=4,所以抛物线的方程为y 2=4x ,可得焦点F (1,0),准线方程为x=-1,由题意可得反射光线过焦点(1,0),所以直线AB 的方程为y -01-0=x -114-1,整理可得y=-43(x-1),联立{y =-43(x -1),y 2=4x,解得{y 1=-4,y 2=1,代入直线方程可得{x 1=4,x 2=14,所以反射光线与抛物线的两个交点A (14,1),B (4,-4),所以AB 的中点为(178,-32),所以AB 的中点到准线的距离d=178+1=258.二、选择题:此题共4小题,每一小题5分,共20分.在每一小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,局部选对的得3分.9.点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),如此如下结论正确的有()A.AP⊥ABB.AP⊥ADC.AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量D.AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(-1)+(-1)×2+(-4)×(-1)=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AB,故A正确;∵AP⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1)×4+2×2+(-1)×0=0,∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP⊥AD,故B正确;由AP⊥AB,AP⊥AD,且AB∩AD=A,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的一个法向量,故C正确;由AP⃗⃗⃗⃗⃗ 是平面ABCD的法向量,得出AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故D错误.10.设F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A为双曲线的左顶点,以F1,F2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M,N两点(M在x轴上方,N在x轴下方),c为双曲线的半焦距,O 为坐标原点.如此如下说法正确的答案是()A.点N 的坐标为(a ,b )B.∠MAN>90°C.假如∠MAN=120°,如此双曲线C 的离心率为√213D.假如∠MAN=120°,且△AMN 的面积为2√3,如此双曲线C 的方程为x 23−y 24=1y=bax ,代入圆x 2+y 2=c 2=a 2+b 2,解得M (a ,b ),N (-a ,-b ),故A 错误;由于A (-a ,0),M (a ,b ),N (-a ,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a ,b ),AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-b ),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-b 2<0,如此∠MAN>90°,故B 正确;假如∠MAN=120°,由余弦定理得4c 2=(a+a )2+b 2+b 2-2√(a +a)2+b 2·b cos120°,化简得7a 2=3c 2,即e=ca =√213,故C 正确;由△AMN 的面积为2√3,得12ab ×2=2√3,再由a 2+b 2=c 2,7a 2=3c 2,解得a=√3,b=2,即有双曲线C 的方程为x 23−y 24=1,故D 正确.11.过抛物线y 2=2px (p>0)焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,作AC ,BD 垂直抛物线的准线l 于C ,D 两点,其中O 为坐标原点,如此如下结论正确的答案是()A.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA⃗⃗⃗⃗⃗ B.存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ 成立 C.FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.准线l 上任意一点M ,都使得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >0⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确; 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),可得C (-p 2,y 1),D (-p2,y 2),又直线OA 的斜率k OA =y 1x 1=2p y 1,直线AD 的斜率k AD =y 1-y 2x 1+p2,设直线AB 方程为x=my+p2,代入抛物线的方程,可得y 2-2pmy-p 2=0,可得y 1y 2=-p 2,即有y 1(y 1-y 2)=y 12-y 1y 2=2px 1+p 2,如此k OA =k AD ,即存在λ∈R ,使得AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAO⃗⃗⃗⃗⃗ 成立,故B 正确; FC⃗⃗⃗⃗⃗ ·FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-p ,y 1)·(-p ,y 2)=y 1y 2+p 2=0,故C 正确;由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB 为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等,即该圆与CD 相切,设切点为M ,即AM ⊥BM ,如此AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故D 不正确.12.(2021某某海安检测)双纽线像数字“8〞,不仅表现了数学的对称、和谐、简洁、统一的美,同时也具有特殊的有价值的艺术美,是形成其他一些常见的漂亮图案的基石,也是许多设计者设计作品的主要几何元素.曲线C :(x 2+y 2)2=4(x 2-y 2)是双纽线,如此如下结论正确的答案是()A.曲线C 经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)B.曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2C.曲线C 关于直线y=x 对称的曲线方程为(x 2+y 2)2=4(y 2-x 2)D.假如直线y=kx 与曲线C 只有一个交点,如此实数k 的取值X 围为(-∞,-1]∪[1,+∞)y=0时,x 4=4x 2,解得x=0或2或-2,即曲线过整点(0,0),(2,0),(-2,0),结合图像可知-2≤x ≤2,令x=±1,得y 2=2√3-3,不是整点,∴曲线C共经过3个整点,故A错误;x2+y2=4(x2-y2)≤4,曲线C上任取一点P(x,y)到原点的距离d=√x2+y2≤2,故B正确;x2+y2曲线C上任取一点M关于y=x的对称点为N,设N(x,y),如此M(y,x),M在曲线C上,∴(x2+y2)2=4(y2-x2),故C正确;y=kx与曲线C一定有公共点(0,0),∵y=kx与曲线C只有一个公共点,如此x4(1+k2)=4x2(1-k2),∴1-k2≤0,∴k≥1或k≤-1,故D正确.三、填空题:此题共4小题,每一小题5分,共20分.13.设向量a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),假如cos<a,b>=4,如此实数λ的值为.9-122或27a=(1,2,λ),b=(2,2,-1),所以a·b=2+4-λ=6-λ,|a|=√1+4+λ2=√5+λ2,|b |=√4+4+1=3.假如cos <a ,b >=49,如此a ·b|a||b|=√5+λ2×3=49,化简得7λ2+108λ-244=0,解得λ=-1227或λ=2,如此实数λ的值为-1227或2.14.(2020某某某某期末)如图,在空间四边形OABC 中,E ,F 分别是AB ,BC 的中点,H 是EF 上一点,且EH=14EF ,记OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,如此(x ,y ,z )=;假如OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,如此|OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=.(38,12,18) √308OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +14EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14(OF ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+14×12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴(x ,y ,z )=(38,12,18).∵OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∠BOC=60°,且|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1, ∴OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(38OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +18OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=964|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+164|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2×12×18×cos60° =964+14+164+116=3064,∴|OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√308. 15.(2021某某某某检测)在△ABC 中,A ,B 分别是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点,点C 在椭圆上,且∠ABC=30°,(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,如此该椭圆的离心率为.,作平行四边形ABEC ,由(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AE ⊥BC , 故|AC|=|AB|=2c.又∠ABC=30°,∴|BC|=2×2c sin60°=2√3c.由椭圆的定义知2a=|AC|+|BC|=2(1+√3)c ,故a=(√3+1)c ,∴离心率e=c a =√3+1=√3-12. 16.(2020某某某某期末)如图,光线从P (a ,0)(a>0)出发,经过直线l :x-3y=0反射到Q (b ,0),该光线又在Q 点被x 轴反射,假如反射光线恰与直线l 平行,且b ≥13,如此实数a 的最小值是.P 关于直线l 的对称点P'(m ,n ),直线l 的斜截式方程y=13x ,所以{0+n2=13·a+m2,n -0m -a ·13=-1,解得{m =45a,n =35a, 所以点P'(45a,35a).根据两点式得到直线P'Q 的方程为y -035a -0=x -b 45a -b,整理可得3ax-(4a-5b )y-3ab=0.因为反射光线恰与直线l 平行,所以3a 4a -5b =-13,所以a=513b.又因为b ≥13,所以a ≥5,如此a 的最小值是5.四、解答题:此题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2020某某某某期末)圆心为C 的圆经过点A (-4,1),B (-3,2),且圆心C 在直线l :x-y-2=0上.(1)求圆C 的标准方程;(2)过点P (3,-1)作直线m 交圆C 于M ,N 两点且|MN|=8,求直线m 的方程.由直线AB 的斜率k AB =1,AB 中点坐标为(-72,32),所以AB 垂直平分线的方程为x+y+2=0. 如此由{x +y +2=0,x -y -2=0,解得{x =0,y =-2,所以圆心C (0,-2),因此半径r=|AC|=5,所以圆C 的标准方程为x 2+(y+2)2=25.(2)由|MN|=8可得圆心C 到直线m 的距离d=√52-42=3,所以当直线m 斜率不存在时,其方程为x=3,即x-3=0;当直线m 斜率存在时,设其方程为y+1=k (x-3),如此d=√k 2+1=3,解得k=-43,此时其方程为4x+3y-9=0.所以直线m的方程为x-3=0或4x+3y-9=0.18.(12分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点.(1)借助向量证明平面A1BD∥平面B1CD1;(2)借助向量证明MN⊥平面A1BD.建立如下列图的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,如此D(0,0,0),A1(2,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),C(0,2,0),D1(0,0,2),设平面A1BD的法向量为m=(x,y,z),⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,2),DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0),∵DA1∴{DA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{2x +2z =0,2x +2y =0,令x=-1,如此平面A 1BD 的一个法向量m =(-1,1,1).同理平面B 1CD 1的一个法向量为n =(-1,1,1),∴m ∥n ,∴平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.(2)∵M ,N 分别为AB ,B 1C 的中点,∴M (2,1,0),N (1,2,1),∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),∴MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥m , ∴MN ⊥平面A 1BD.19.(12分)如图,在矩形ABCD 中,AB=3,AD=6,点E ,F 分别在AD ,BC 上,且AE=1,BF=4,沿EF 将四边形AEFB 折成四边形A'EFB',使点B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上.(1)求证:平面B'CD ⊥平面B'HD ;(2)求证:A'D ∥平面B'FC ;(3)求直线HC与平面A'ED所成角的正弦值.ABCD中,CD⊥DE,点B'在平面CDEF上的射影为H,如此B'H⊥平面CDEF,且CD⊂平面CDEF,∴B'H⊥CD.又B'H∩DE=H,∴CD⊥平面B'HD.又CD⊂平面B'CD,∴平面B'CD⊥平面B'HD.A'E∥B'F,A'E⊄平面B'FC,B'F⊂平面B'FC, ∴A'E∥平面B'FC.由DE∥FC,同理可得DE∥平面B'FC.又A'E∩DE=E,∴平面A'ED∥平面B'FC,∴A'D∥平面B'FC.,过点E作ER∥DC,过点E作ES⊥平面EFCD,分别以ER ,ED ,ES 为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系.∵B'在平面CDEF 上的射影H 在直线DE 上,∴设B'(0,y ,z )(y>0,z>0).∵F (3,3,0),且B'E=√10,B'F=4,∴{y 2+z 2=10,9+(y -3)2+z 2=16,解得{y =2,z =√6,∴B'(0,2,√6),∴FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-1,√6), ∴EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14FB'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-34,-14,√64.又ED⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,5,0), 设平面A'DE 的法向量为n =(a ,b ,c ),如此有{n ·EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{-3a -b +√6c =0,5b =0,解得b=0,令a=1,得平面A'DE 的一个法向量为n =(1,0,√62). 又C (3,5,0),H (0,2,0),∴CH⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,-3,0), ∴直线HC 与平面A'ED 所成角的正弦值为sin θ=|cos <CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n||CH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |=√1+0+64×√9+9+0=√55. 20.(12分)抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,点M 在抛物线C 上,点A (-2p ,0).假如当MF ⊥x 轴时,△MAF 的面积为5.(1)求抛物线C 的方程;(2)假如∠MFA+2∠MAF=π,求点M 的坐标.当MF ⊥x 轴时,点M (p 2,±p),F (p2,0),如此|AF|=p 2+2p=5p 2,|MF|=p ,∴S △MAF =12|AF|·|MF|=12×5p 2×p=5,解得p=2,∴抛物线方程为y 2=4x.(2)设M (x 0,y 0),由(1)可知A (-4,0),F (1,0),∴|AF|=5.∵∠MFA+2∠MAF=π,在△FAM中,有∠MFA+∠MAF+∠AMF=π,∴∠MAF=∠AMF,∴|FA|=|FM|.=x0+1,又|MF|=x0+p2∴x0+1=5,∴x0=4,∴y0=±4.故点M的坐标为(4,4)或(4,-4).21.(12分)(2021某某某某模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是等腰梯形,AB∥DC,BC=CD=2,AB=4.M,N分别是AB,AD的中点,且PD⊥NC,平面PAD⊥平面ABCD.(1)证明:PD⊥平面ABCD;,求平面PNC与平面PNM的夹角的大小.(2)三棱锥D-PAB的体积为23DM,如此DC∥BM且DC=BM,所以四边形BCDM为平行四边形,所以DM∥BC且DM=BC,所以△AMD是等边三角形,所以MN ⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD ,且平面PAD ∩平面ABCD=AD ,所以MN ⊥平面PAD. 因为PD ⊂平面PAD ,所以PD ⊥MN.又因为PD ⊥NC ,且MN ∩NC=N ,MN ⊂平面ABCD ,NC ⊂平面ABCD ,所以PD ⊥平面ABCD.BD ,如此BD ∥MN ,所以BD ⊥AD ,BD ⊥PD.在Rt △DAB 中,DA 2+DB 2=AB 2,又AD=2,AB=4,所以DB=2√3,故△DAB 的面积为S △DAB =12·DA ·DB=2√3. 由等体积法可得V D-PAB =V P-DAB =13·PD ·S △DAB =13·PD ·2√3=23,所以PD=√33. 建立空间直角坐标系如下列图,如此D (0,0,0),N (1,0,0),C (-1,√3,0),M (1,√3,0),P (0,0,√33), 所以PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-√33),NC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,√3,0),NM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0). 设平面PNC 的法向量为n =(x ,y ,z ),如此有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,NC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -√33z =0,-2x +√3y =0,令x=1,如此y=2√33,z=√3, 所以平面PNC 的一个法向量n =(1,2√33,√3). 设平面PNM 的法向量为m =(a ,b ,c ),如此有{PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,NM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0, 即{a -√33c =0,√3b =0,解得b=0, 令a=1,如此c=√3,所以平面PNM 的一个法向量m =(1,0,√3). 所以n ·m =1+3=4,|n |=4√33,|m |=2,所以|cos <n ,m >|=|n ·m||n||m|=4√33×2=√32, 如此平面PNC 与平面PNM 的夹角的大小为30°.22.(12分)(2020某某某某期末)椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)经过点P (2,1),且离心率为√32,直线l 与椭圆交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M. (1)求椭圆C 的方程;(2)假如∠APB 的角平分线与x 轴垂直,求PM 长度的最小值.因为椭圆经过点P ,且离心率为√32, 所以{22a 2+12b 2=1,c a=√32,其中a 2=b 2+c 2,解得{a 2=8,b 2=2, 所以椭圆的方程为x 28+y 22=1.(2)因为∠APB 的角平分线与x 轴垂直,所以直线PA 的斜率与直线PB 的斜率互为相反数. 设直线PA 的斜率为k (k ≠0),如此直线PA 的方程为y=k (x-2)+1,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k(x -2)+1,x 28+y 22=1,得(1+4k 2)x 2+8k (1-2k )x+16k 2-16k-4=0, 所以2x 1=16k 2-16k -41+4k 2,即x 1=8k 2-8k -21+4k 2,y 1=k (8k 2-8k -21+4k 2-2)+1=-4k 2-4k+11+4k 2,即A(8k2-8k-21+4k2,-4k2-4k+11+4k2),同理可得B(8k2+8k-21+4k2,-4k2+4k+11+4k2),如此M在直线x+2y=0上,所以PM的最小值为P到直线x+2y=0的距离,即d=√5=4√55,此时M(65,-35)在椭圆内,所以PM的最小值为4√55.。

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模块综合测评（满分：150分时间：120分钟)一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A＝｛x｜2x2－x≥0},B＝｛y|y＞－1}，则A∩B＝()A．(－1，0］B．（－1，0]∪错误!C．错误!D．错误!B[A＝错误!，∴A∩B＝（－1,0]∪错误!。

故选B.］2．命题p:∀x∈N，x3＞x2的否定形式¬p为()A．∀x∈N，x3≤x2B．∃x∈N，x3＞x2C．∃x∈N，x3＜x2D．∃x∈N，x3≤x2D［全称量词命题的否定是存在量词命题，不等号要改变，故选D。

］3．已知p:x－a＞0，q:x＞1，若p是q的充分条件，则实数a 的取值范围为（）A．(－∞，1) B．(－∞,1]C．(1，＋∞）D．［1，＋∞)D［已知p：x－a＞0，x＞a，q:x＞1,若p是q的充分条件，根据小范围推出大范围得到a≥1.故选D。

］4．已知f 错误!＝2x ＋3，f (m ）＝6，则m 等于（ )A ．－错误!B ．错误!C ．错误!D ．－错误!A [令错误!x －1＝t ,则x ＝2t ＋2，所以f (t ）＝2×（2t ＋2)＋3＝4t ＋7。

令4m ＋7＝6，得m ＝－错误!.故选A 。

］5．函数f (x )＝x ＋1＋错误!的定义域为( )A ．(－3，0］B ．（－3，1］C ．[－1，3)∪（3,＋∞)D ．［－1，3）C ［由条件知⎩⎨⎧x ＋1≥0x －3≠0,∴x ≥－1且x ≠3，故选C 。

］ 6．函数f (x ）＝mx 2＋(m －1）x ＋1在区间（－∞，1]上为减函数，则m 的取值范围为( ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．错误!C ［当m ＝0时，f （x )＝1－x ，满足在区间(－∞，1]上为减函数，当m ≠0时，因为f （x ）＝mx 2＋(m －1）x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝错误!，且函数在区间（－∞，1］上为减函数，所以错误!解得0＜m ≤错误!。

2021-2022学年新教材高中数学模块综合训练课后练习(含解析)新人教B版选择性必修第一册

模块综合训练一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗ B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( )A.13B.12C.9D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3, 则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,若点Q(-1,-1),那么|PQ|的取值范围为()A.[√2,3√2]B.[√2,2√2]C.[2√2,3√2]D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m(x-2)+n(y-2)=0,故直线过定点M(2,2),坐标原点O(0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P,故∠OPM=90°,所以P 在以OM为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2,故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy ,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y 2=2px ,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,则p 2=2.5,即焦点坐标为(2.5,0), 则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm .7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗||n |·|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗=√2x -√2z =0,m ·SB ⃗⃗⃗⃗⃗=√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33, ∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x 4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4. 又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误; 过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b |a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P 是椭圆C :x 26+y 2=1上的动点,Q 是圆D :(x+1)2+y 2=15上的动点,则( ) A.C 的焦距为√5B.C 的离心率为√306C.圆D 在C 的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l 的斜率k= .(1,√2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,就是弦长最小,就是与圆心(2,0)和点(1,√2)的连线垂直的直线,连线的斜率是√2-01-2=-√2,直线l的斜率k=√22.14.(2021新高考Ⅰ,14)已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.x=-32PF⊥x轴,∴x P=x F=p2,将x P=p2代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P(p2,p),即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,∴|OF||PF|=|PF||QF|,即p2p=p6,解得p=3.故C的准线方程为x=-32.15.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=AC=BC=1,则异面直线BC1与A1B1所成角为;二面角A-BC1-C的余弦值是.√33C 为原点建立如图空间直角坐标系,则A (0,1,0),B (1,0,0),C 1(0,0,1),A 1(0,1,1),B 1(1,0,1),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,1),A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0).由cos <BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=|√2×√2|=12,故异面直线BC 1与A 1B 1所成角为π3, 设平面ABC 1的一个法向量为m =(a ,b ,c ),由{m ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +c =0,m ·AB⃗⃗⃗⃗⃗ =a -b =0,设a=1,得m =(1,1,1),平面BC 1C 的一个法向量n =(0,1,0),cos <m ,n >=√3=√33.16.已知抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,|AB|=8,则p= ,M 为抛物线弧AOB⏜上的动点,△AMB 面积的最大值是 .4√2抛物线的方程为x 2=2py (p>0),过抛物线的焦点F ,且斜率为1的直线与抛物线交于A ,B 两点,故直线AB 的方程为y-p 2=x-0,即y=x+p2,且直线AB 的倾斜角为45°. 代入抛物线的方程x 2=2py ,可得x 2-2px-p 2=0.设A ,B 两点的横坐标分别为m ,n ,m<n ,由根与系数的关系可得m+n=2p ,mn=-p 2.∵|AB|=|AF|+|BF|=(yA +p2)+y B+p2=(m+p2)+p2+(n+p2)+p2=8=m+n+2p=4p=8,∴p=2,故抛物线的方程为x2=4y,直线AB为y=x+1.设与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x+m,代入抛物线方程,得x2-4x-4m=0.由Δ=42+16m=0,得m=-1.与直线AB平行且与抛物线相切的直线方程为y=x-1,两直线间的距离为d=√2=√2,∴△AMB面积的最大值为12·|AB|·d=12×8×√2=4√2.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)求分别满足下列条件的直线l的方程.(1)已知点P(2,1),l过点A(1,3),P到l距离为1;(2)l过点P(2,1)且在x轴,y轴上截距的绝对值相等.当l斜率不存在时,l的方程为x=1,满足条件.当l斜率存在时,设l:y-3=k(x-1),即kx-y+3-k=0,由d=√k2+1=1,得k=-34,即l:3x+4y-15=0.故直线l的方程为x=1或3x+4y-15=0.(2)当直线过原点时,直线的斜率为1-02-0=12,直线l的方程为x-2y=0.当直线截距相等时,设为xa +ya=1,代入(2,1),则a=3,即x+y-3=0.当直线截距互为相反数时,设为xa +y-a=1代入(2,1),则a=1,即x-y-1=0.综上,要求的直线l 的方程为x-2y=0或x+y-3=0或x-y-1=0. 18.(12分)(2021新高考Ⅰ,21)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C.(1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x=12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.∵|MF 1|-|MF 2|=2,且F 1(-√17,0),F 2(√17,0),∴点M的轨迹为双曲线的右支,且满足{2a =2,c =√17,c 2=a 2+b 2,∴{a 2=1,b 2=16,c 2=17.∴C 的方程为x 2-y 216=1(x ≥1).(2)设T (12,m),显然直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率都存在.设直线AB 的方程为y=k 1(x -12)+m ,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 由{y =k 1(x -12)+m ,16x 2-y 2=16,得16x 2-k 12(x 2-x +14)+2k 1m (x -12)+m2=16,即(16-k 12)x 2+(k 12-2k 1m )x-14k 12+k 1m-m 2-16=0. ∴|TA|·|TB|=(1+k 12)x 1-12x 2-12=(1+k 12)x 1x 2-12(x 1+x 2)+14=(1+k 12)k 1m -14k 12-m 2-1616-k 12−12·2k 1m -k 1216-k 12+14=(1+k 12)-m 2-1216-k 12=(1+k 12)·m 2+12k 12-16.设k PQ =k 2,同理可得|TP|·|TQ|=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∵|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,∴(1+k 12)·m 2+12k 12-16=(1+k 22)·m 2+12k 22-16. ∴k 22-16k 12=k 12-16k 22.∴k 12=k 22.∵k 1≠k 2,∴k 1=-k 2. ∴k 1+k 2=0.19.(12分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)过点A (-2,0),点B 为其上顶点,且直线AB 的斜率为√32.(1)求椭圆C 的方程;(2)设P 为第四象限内一点且在椭圆C 上,直线PA 与y 轴交于点M ,直线PB 与x 轴交于点N ,求证:四边形ABNM 的面积是定值.,设直线AB :y-0=√32(x+2),令x=0,则y=√3,于是B (0,√3), 所以a=2,b=√3, 故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)设P (x 0,y 0)(x 0>0,y 0<0),且3x 02+4y 02=12,又A (-2,0),B (0,√3),所以直线AP :y -0y 0-0=x+2x 0+2,令x=0,y M =2y 0x 0+2,则|BM|=√3-y M =√3−2y 0x 0+2=√3x 0+2√3-2y 0x 0+2. 直线BP :√3y -√3=x -0x 0-0,令y=0,x N =√3x 0y -√3,则|AN|=2+x N=2+√3x0y-√3=0√3-√3x0y-√3.所以四边形ABNM的面积为S=12|BM|·|AN|=1 2×√3x0+2√3-2y0x0+2×0√3-√3x0y-√3=0202√3x000√3y02(x y-√3x+2y-2√3)=√3(00√3x00√3)2(λy-√3x+2y-2√3)=2√3,所以四边形ABNM的面积为定值2√3.20.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠ABC=120°,PA=PC,PB=PD,AC∩BD=O.(1)证明:PO⊥平面ABCD;(2)若PA与平面ABCD所成的角为30°,求二面角B-PC-D的余弦值.四边形ABCD是菱形,∴O为AC,BD的中点.又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,且AC,BD⊂平面ABCD,∴PO⊥平面ABCD.ABCD的边长为2t(t>0).∵∠ABC=120°,∴∠BAD=60°,∴OA=√3t.由(1)知PO ⊥平面ABCD ,∴PA 与平面ABCD 所成的角为∠PAO=30°,得到PO=t ,建立如图所示的空间直角坐标系,则B (0,t ,0),C (-√3t ,0,0),P (0,0,t ),D (0,-t ,0),得到BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-t ,t ),CP⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3t ,0,t ). 设平面PBC 的法向量n 1=(x 1,y 1,z 1),平面PCD 的法向量n 2=(x 2,y 2,z 2).则{n 1·BP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,n 1·CP ⃗⃗⃗⃗⃗=0,即{-ty 1+tz 1=0,√3tx 1+tz 1=0.令x=1,则y=z=-√3,得到n 1=(1,-√3,-√3). 同理可得n 2=(1,√3,-√3),所以|cos <n 1,n 2>|=|n 1·n 2||n 1||n 2|=17.因为二面角B-PC-D 为钝二面角,则余弦值为-17.21.(12分)在平面直角坐标系xOy 中,曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R )与x 轴交于不同的两点A ,B ,曲线Γ与y 轴交于点C.(1)是否存在以AB 为直径的圆过点C ?若存在,求出该圆的方程;若不存在,请说明理由. (2)求证:过A ,B ,C 三点的圆过定点,并求出该定点的坐标.由曲线Γ:y=x 2-mx+2m (m ∈R ),令y=0,得x 2-mx+2m=0. 设A (x 1,0),B (x 2,0),则可得Δ=m 2-8m>0,x 1+x 2=m ,x 1x 2=2m. 令x=0,得y=2m ,即C (0,2m ).若存在以AB 为直径的圆过点C ,则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得x 1x 2+4m 2=0,即2m+4m 2=0, 所以m=0或m=-12.由Δ>0,得m<0或m>8,所以m=-12,此时C (0,-1),AB 的中点M (-14,0)即圆心,半径r=|CM|=√174.故所求圆的方程为(x +14)2+y 2=1716. (2)设过A ,B ,C 的圆P 的方程为(x-a )2+(y-b )2=r 2满足{(x 1-a )2+b 2=r 2,(x 2-a )2+b 2=r 2,a 2+(2m -b )2=r 2,x 1x 2=2m ,x 1+x 2=m⇒{ a =m2,r 2=5m 24-m +14,b =m +12,代入P 得(x -m 2)2+y-m-122=5m 24-m+14,展开得(-x-2y+2)m+x 2+y 2-y=0, 当{-x -2y +2=0,x 2+y 2-y =0,即{x =0,y =1或{x =25,y =45时方程恒成立, ∴圆P 方程恒过定点(0,1)或(25,45).22.(12分)某高速公路隧道设计为单向三车道,每条车道宽4米,要求通行车辆限高5米,隧道全长1.5千米,隧道的断面轮廓线近似地看成半个椭圆形状(如图所示).(1)若最大拱高h 为6米,则隧道设计的拱宽l 至少是多少米?(结果取整数)(2)如何设计拱高h 和拱宽l ,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小?(结果取整数) 参考数据:√11≈3.3,椭圆的面积公式为S=πab ,其中a ,b 分别为椭圆的长半轴和短半轴长.建立直角坐标系xOy如图所示,则点P(6,5)在椭圆x2a2+y2b2=1上,将b=h=6与点P(6,5)代入椭圆方程,得a=√11,此时l=2a=√11≈21.8,因此隧道设计的拱宽l至少是22米.(2)由椭圆方程x2a2+y2b2=1,得36a2+25b2≤1,因为1≥36a2+25b2≥2×6×5ab,即ab≥60,S=πab2≥30π,当且仅当6a=5b时,等号成立.由于隧道长度为1.5千米,故隧道的土方工程量V=1.5S≥45π,当V取得最小值时,有6a =5b,且ab=60,得a=6√2,b=5√2,此时l=2a=12√2≈16.97,h=b≈7.07.①若h=b=8,此时l=2a=17,此时V1=3πab4=3×17×8π8=51π,②若h=b=7,此时l=2a=18,此时V2=3πab4=3×9×7π4=47.25π,因为V1>V2,故当拱高为7米、拱宽为18米时,土方工程量最小.。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合测评一含解析新人教B版选择性必修第一册202106021

模块综合测评(一)(时间：120分钟总分为：150分)一、选择题：此题共8小题，每一小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．假如向量a ＝(1，0，z )与向量b ＝(2，1，2)的夹角的余弦值为23，如此z ＝( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 A [由题意可知cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a||b|＝2＋2z 1＋z 2×4＋1＋4＝23，解得z ＝0，应当选A ．]2．四面体ABCD 的所有棱长都是2，点E ，F 分别是AD ，DC 的中点，如此EF →·BA →＝( ) A ．1 B ．－1 C ． 3 D ．－3B [如下列图，EF →＝12AC →，所以EF →·BA →＝12AC →·(－AB →)＝－12×2×2×cos 60°＝－1，应当选B ．]3．假如A (－2，3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点共线，如此m 的值为( )A ．12B ．－12 C ．－2 D ．2A [由－2－33－－2＝m ＋212－3，解得m ＝12．]4．假如P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，如此直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0D [圆心C (1，0)，k PC ＝0－－11－2＝－1，如此k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2，即x －y －3＝0，应当选D ．]5．双曲线x 2m－y 2n＝1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，如此mn 的值为( )A ．316 B ．38 C ．163 D ．83A [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1，0)，故双曲线的一个焦点是(1，0)，所以m ＋n ＝1，且1m＝2，解得m ＝14，n ＝34，故mn ＝316．]6．阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父〞的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法〞得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的面积为8π，直线l 过椭圆C 的两个顶点，且椭圆的中心到直线l 的距离为43417，如此椭圆C 的方程为( )A ．x 216＋y 24＝1B ．x 220＋y 214＝1C ．x 264＋y 2＝1D ．x 232＋y 22＝1D [依题意，8π＝ab ·π，故ab ＝8． ① 不妨设直线l ：x a ＋yb＝1，即bx ＋ay －ab ＝0，如此椭圆的中心到直线l 的距离为ab a 2＋b 2＝43417，解得a 2＋b 2＝34， ②联立①②，解得a ＝42，b ＝2，故椭圆C 的方程为x 232＋y 22＝1．应当选D ．]7．如下列图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60°和45°，如此异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为( )A ．64B ．63C ．26D ．23A [∵B 1B ⊥平面ABCD ， ∴∠BCB 1是B 1C 与底面所成角， ∴∠BCB 1＝60°． ∵C 1C ⊥底面ABCD ，∴∠CDC 1是C 1D 与底面所成的角， ∴∠CDC 1＝45°．连接A 1D ，A 1C 1(图略)，如此A 1D ∥B 1C ．∴∠A 1DC 1或其补角为异面直线B 1C 与C 1D 所成的角．不妨设BC ＝1，如此CB 1＝DA 1＝2，BB 1＝CC 1＝3＝CD ，∴C 1D ＝6，A 1C 1＝2．在等腰△A 1C 1D 中，cos ∠A 1DC 1＝12C 1DA 1D＝64．]8．在棱长为a 的正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 是AA 1的中点，如此点A 1到平面MBD 的距离是 ()A ．6a 6B ．3a 6 C ．3a 4 D ．6a3A [建立如下列图的空间直角坐标系，如此D (0，0，0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，B (a ，a ，0)，A 1(a ，0，a )，∴DM →＝⎝⎛⎭⎪⎫a ，0，a 2，DB →＝(a ，a ，0)，DA 1→＝(a ，0，a )．设平面MBD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，如此⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋a2z ＝0，ax ＋ay ＝0，令x ＝1，如此可得n ＝(1，－1，－2)．∴d ＝|DA 1→·n ||n |＝|a －2a |6＝66a ．]二、选择题：此题共4小题，每一小题5分，共20分，在每一小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分．9．直线l 1：x ＋my －1＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋3＝0，如此如下说法正确的答案是( ) A ．假如l 1∥l 2，如此m ＝－1或m ＝3 B ．假如l 1∥l 2，如此m ＝3C ．假如l 1⊥l 2，如此m ＝－12D ．假如l 1⊥l 2，如此m ＝12BD [直线l 1∥l 2，如此3－m (m －2)＝0，解得m ＝3或m ＝－1，但m ＝－1时，两直线方程分别为x －y －1＝0，－3x ＋3y ＋3＝0即x －y －1＝0，两直线重合，只有m ＝3时两直线平行，A 错，B 正确；l 1⊥l 2，如此m －2＋3m ＝0，m ＝12，C 错，D 正确．应当选BD ．]10．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0．假如直线y ＝k (x ＋1)上存在一点P ，使过P 点所作的圆的两条切线相互垂直，如此实数k 的取值可以是( )A ．1B ．2C ．3D ．4AB [圆C 的方程为x 2＋y 2－4x ＝0，如此圆心为C (2，0)，半径r ＝2．设两个切点分别为A ，B ，如此由题意可得四边形PACB 为正方形，故有PC ＝2r ＝22，∴圆心到直线y ＝k (x ＋1)的距离小于或等于PC ，即|2k －0＋k |k 2＋1≤22，解得k 2≤8，可得－22≤k ≤22，∴结合选项，实数k 的取值可以是1，2．]11．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A BD C ，如此如下结论正确的答案是( )A ．AC ⊥BDB ．△ACD 是等边三角形C ．AB 与平面BCD 所成的角为90° D ．AB 与CD 所成的角为60°ABD [如图，取BD 的中点O ，连接AO ，CO ，AC ，如此AO ⊥BD ，CO ⊥BD ，又AO ∩CO ＝O ，∴BD ⊥平面AOC ，又AC ⊂平面AOC ，∴AC ⊥BD ，A 正确；∵AC ＝2AO ＝AD ＝CD ，∴△ACD 是等边三角形，B 正确；易知AO ⊥平面BCD ，∴∠ABD 是AB 与平面BCD 所成的角，为45°，C 错误；∵AC →＝AB →＋BD →＋DC →，不妨设AB ＝1，如此AC 2→＝(AB →＋BD →＋DC →)2＝AB 2→＋BD 2→＋DC 2→＋2AB →·BD →＋2BD →·DC →＋2AB →·DC →，∴1＝1＋2＋1＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋22×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22＋2cos 〈AB→，DC →〉，∴cos 〈AB →，DC →〉＝12，∴AB 与CD 所成的角为60°，D 正确．应当选ABD ．]12．设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点．假如∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，如此( )A ．|BF |＝3B ．△ABF 是等边三角形C ．点F 到准线的距离为3D ．抛物线C 的方程为y 2＝6xBCD [因为|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，所以FA ＝FB ，假如∠ABD ＝90°，可得FA ＝AB ，所以可得△ABF 为等边三角形，所以B 正确；过F 作FC ⊥AB 交AB 于C ，如此C为AB 的中点，C 的横坐标为p 2，B 的横坐标为－p2，所以A 的横坐标为3p2，代入抛物线可得y 2＝3p 2，|y A |＝3p ，△ABF 的面积为93，即12(x A －x B )·|y A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋p 2×3p ＝93，解得p ＝3，所以抛物线的方程为y 2＝6x ，所以D 正确；焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以焦点到准线的距离为32×2＝3，所以C 正确；此时A 点的横坐标为92，所以BF ＝AF ＝AB ＝92＋32＝6，所以A 不正确．]三、填空题：此题共4小题，每一小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．经过两条直线2x ＋y ＋2＝0和3x ＋4y －2＝0的交点，且垂直于直线3x －2y ＋4＝0的直线方程为________．2x ＋3y －2＝0 [由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得交点A (－2，2)，因为所求直线垂直于直线3x －2y ＋4＝0，故所求直线的斜率k ＝－23，由点斜式得所求直线方程为y －2＝－23(x＋2)，即2x ＋3y －2＝0．]14．从原点向圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0作两条切线，如此该圆夹在两条切线间的劣弧长为________．2π [(数形结合法)如图，圆x 2＋y 2－12y ＋27＝0可化为x 2＋(y －6)2＝9，圆心坐标为(0，6)，半径为3．在Rt △OBC 中可得∠OCB ＝π3，∴∠ACB ＝2π3，∴所求劣弧长为2π．]15．三棱锥A BCD 的所有棱长均相等，E 为DC 的中点，假如点P 为AC 的中点，如此直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为________，假如点Q 在棱AC 所在直线上运动，如此直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为________________________________________________________________________________． (此题第一空2分，第二空3分)63223 [连接BE ，AE ，过A 作AO ⊥底面BCD ，垂足为O ，连接OD ，如此∠ADO是直线PE 与平面BCD 所成角(图略)，因三棱锥A BCD 的所有棱长均相等，设棱长为2，如此DO ＝BO ＝23BE ＝234－1＝233，AO ＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2332＝263， ∴sin ∠ADO ＝AOAD ＝2632＝63．∴直线PE 与平面BCD 所成角的正弦值为63．当Q 与A 重合时，直线QE 与平面BCD 所成角正弦值取最大值，此时直线QE 与平面BCD 所成角为∠AEO ，AE ＝4－1＝3，∴直线QE 与平面BCD 所成角正弦值的最大值为sin ∠AEO ＝AO AE＝2633＝223．]16．点F 1，F 2是椭圆C ：x 2a2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，|F 1F 2|＝4，点Q (2，2)在椭圆C 上，P 是椭圆C 上的动点，如此PQ →·PF 1→的最大值为________．92 [由题意可得c ＝2，4a 2＋2b2＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得a 2＝8，b 2＝4，所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1，可得F 1(－2，0)，设P (x ，y )，由x 28＋y 24＝1，可得x 2＝8－2y 2，如此PQ →·PF 1→＝(2－x ，2－y )(－2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2－2y ＝－y 2－2y ＋4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y ＋222＋12＋4，当且仅当y ＝－22∈[－2，2]时，PQ →·PF 1→取得最大值为92．]四、解答题：此题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题总分为10分)如图，点A (2，3)，B (4，1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．[解] (1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3，2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为y －2＝x －3，即x －y －1＝0．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4，3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2．18．(本小题总分为12分)如下列图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2，3)，C (2，1)．(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)假如B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． [解] (1)AC 的中点E (0，2)即为圆心，半径r ＝12|AC |＝1242＋－22＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5． (2)直线BC 的斜率k ＝1－－22－－2＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0．点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2．19．(本小题总分为12分)在①(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，②|DE →|＝172，③0<cos 〈EF →，DB →〉<1这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz ．点D 1的坐标为(0，0，2)，E 为棱D 1C 1上的动点，F 为棱B 1C 1上的动点，________，试问是否存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0？假如存在，求AE →·BF →的值；假如不存在，请说明理由．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．[解] 由题意，正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2．如此A (2，0，0)，B (2，2，0)，A 1(2，0，2)，D (0，0，0)，C (0，2，0)，设E (0，a ，2)(0≤a ≤2)，F (b ，2，2)(0≤b ≤2)，如此EF →＝(b ，2－a ，0)，A 1C →＝(－2，2，－2)，AE →＝(－2，a ，2)，BF →＝(b －2，0，2)，所以EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )，AE →·BF →＝8－2b ．选择①，因为(DE →＋CF →)⊥(DE →－CF →)，所以(DE →＋CF →)·(DE →－CF →)＝DE →2－CF →2＝0，即DE →2＝CF →2，即0＋(a －0)2＋(2－0)2＝(b －0)2＋(2－2)2＋(2－0)2，所以a ＝b ．因为EF →·A 1C →＝4－2×(a ＋b )＝0，所以a ＝b ＝1，故存在点E (0，1，2)，F (1，2，2)，满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝6．选择②，|DE →|＝172，即a 2＋22＝172，a ＝12，因为EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )＝0，所以b ＝32，故存在点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，2，满足EF →·A 1C →＝0，且AE →·BF →＝8－2b ＝5．选择③，EF →＝(b ，2－a ，0)，DB →＝(2，2，0)，因为0＜cos 〈EF →，DB →〉<1，所以EF →与DB →不共线，所以b ≠2－a ，即a ＋b ≠2，如此EF →·A 1C →＝4－2(a ＋b )≠0，故不存在点E ，F 满足EF →·A 1C →＝0．20．(本小题总分为12分)椭圆C 的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，直线y ＝t 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，以线段MN 为直径作圆P ，圆心为P ． (1)求椭圆C 的方程；(2)假如圆P 与x 轴相切，求圆心P 的坐标．[解] (1)因为c a ＝63，且c ＝2，所以a ＝3，b ＝a 2－c 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1． (2)由题意知P (0，t )(－1＜t ＜1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝t ，x 23＋y 2＝1得x ＝±31－t 2，所以圆P 的半径为31－t 2．当圆P 与x 轴相切时，|t |＝31－t 2，解得t ＝±32．所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，±32． 21．(本小题总分为12分)如下列图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AD ⊥DC ，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 为PC 的中点，PA ＝PD＝2，BC ＝12AD ＝1，CD ＝3．(1)求证：PQ ⊥AB ；(2)求二面角P QB M 的余弦值．[解] (1)证明：在△PAD 中，PA ＝PD ，Q 为AD 的中点，所以PQ ⊥AD ．因为平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，所以PQ ⊥底面ABCD ．又AB ⊂平面ABCD ，所以PQ ⊥AB ．(2)在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝12AD ，Q 为AD 的中点，所以四边形BCDQ 为平行四边形．因为AD ⊥DC ，所以AD ⊥QB ．由(1)，可知PQ ⊥平面ABCD ，故以Q 为坐标原点，建立空间直角坐标系Qxyz 如下列图，如此Q (0，0，0)，A (1，0，0)，P (0，0，3)，C (－1，3，0)，B (0，3，0)，QB →＝(0，3，0)．因为AQ ⊥PQ ，AQ ⊥BQ ，所以AQ ⊥平面PQB ，即QA →为平面PQB 的一个法向量，且QA →＝(1，0，0)．因为M 是棱PC 的中点，所以点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，32，所以QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，32．设平面MQB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，如此⎩⎨⎧ m ·QB →＝0，m ·QM →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3y ＝0，－12x ＋32y ＋32z ＝0，令z ＝1，得x ＝3，y ＝0，所以m ＝(3，0，1)，所以cos 〈QA →，m 〉＝QA →·m |QA →||m |＝32．由题意知，二面角P QB M 为锐角，所以二面角P QB M 的余弦值为32． 22．(本小题总分为12分)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0和抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)，圆心C 到抛物线焦点F 的距离为17． (1)求抛物线E 的方程；(2)不过原点的动直线l 交抛物线E 于A ，B 两点，且满足OA ⊥OB ．①求证：直线l 过定点；②设点M 为圆C 上任意一动点，求当动点M 到直线l 的距离最大时直线l 的方程．[解] (1)圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y ＋1＝0，可得圆心C (－1，1)，半径r ＝1，抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p 2，圆心C 到抛物线焦点F的距离为17，即有⎝⎛⎭⎪⎫－1－p 22＋12＝17，解得p ＝6，即抛物线方程为y 2＝12x ．(2)①证明：设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如此⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝12x ，x ＝my ＋t ，整理得：y 2－12my －12t ＝0，所以y 1＋y 2＝12m ，y 1y 2＝－12t ．由于OA ⊥OB ，如此x 1x 2＋y 1y 2＝0．即(m 2＋1)y 1y 2＋mt (y 1＋y 2)＋t 2＝0．整理得t 2－12t ＝0，由于t ≠0，解得t ＝12．故直线的方程为x ＝my ＋12，直线经过定点P (12，0)．②当CP ⊥l 且动点M 经过PC 的延长线时，动点M 到动直线l 的距离取得最大值． k MP ＝k CP ＝－113，如此m ＝113．此时直线l 的方程为x ＝113y ＋12，即13x －y －156＝0．。

新教材人教B版高中数学选择性必修第一册全册书各章节课时练习题及章末综合测验含答案解析

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第一章空间向量与立体几何...................................................................................................... - 2 -1.1空间向量及其运算......................................................................................................... - 2 -1.1.1空间向量及其运算.............................................................................................. - 2 -1.1.2空间向量基本定理.............................................................................................. - 9 -1.1.3空间向量的坐标与空间直角坐标系................................................................ - 17 -1.2空间向量在立体几何中的应用................................................................................... - 25 -1.2.1空间中的点、直线与空间向量........................................................................ - 25 -1.2.2空间中的平面与空间向量................................................................................ - 32 -1.2.3直线与平面的夹角............................................................................................ - 44 -1.2.4二面角 ............................................................................................................... - 53 -1.2.5空间中的距离 ................................................................................................... - 70 -第一章综合测验 ................................................................................................................... - 81 - 第二章平面解析几何 ................................................................................................................... - 95 -2.1坐标法 .......................................................................................................................... - 95 -2.2直线及其方程............................................................................................................. - 102 -2.2.1直线的倾斜角与斜率...................................................................................... - 102 -2.2.2直线的方程 ..................................................................................................... - 108 -2.2.3两条直线的位置关系...................................................................................... - 119 -2.2.4点到直线的距离.............................................................................................. - 126 -2.3圆及其方程 ................................................................................................................ - 133 -2.3.1圆的标准方程 ................................................................................................. - 133 -2.3.2圆的一般方程 ................................................................................................. - 140 -2.3.3直线与圆的位置关系...................................................................................... - 146 -2.3.4圆与圆的位置关系.......................................................................................... - 154 -2.4曲线与方程................................................................................................................. - 162 -2.5椭圆及其方程............................................................................................................. - 168 -2.5.1椭圆的标准方程.............................................................................................. - 168 -2.5.2椭圆的几何性质.............................................................................................. - 176 -2.6双曲线及其方程......................................................................................................... - 186 -2.6.1双曲线的标准方程.......................................................................................... - 186 -2.6.2双曲线的几何性质.......................................................................................... - 194 -2.7抛物线及其方程......................................................................................................... - 202 -2.7.1抛物线的标准方程.......................................................................................... - 202 -2.7.2抛物线的几何性质.......................................................................................... - 209 -第二章综合训练 ................................................................................................................. - 217 -第一章空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算1.1.1 空间向量及其运算1.下列命题中为真命题的是( ) A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等2.下列向量的运算结果为零向量的是( ) A.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗B.PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +GM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ +QG ⃗⃗⃗⃗⃗D.BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗3.已知e 1,e 2为单位向量,且e 1⊥e 2,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( ) A.-6 B.6C.3D.-3a ·b=0,e 1·e 2=0,|e 1|=|e 2|=1,所以(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=0,所以2k-12=0, 所以k=6.故选B .4.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ,点E ,F 分别是BC ,AD 的中点,则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为( ) A.a 2 B.12a 2 C .14a 2 D .√34a 2⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·12AD ⃗⃗⃗⃗⃗=14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14a×a×12+a×a×12=14a 2.5.(多选)已知四边形ABCD 为矩形,PA ⊥平面ABCD 连接AC ,BD ,PB ,PC ,PD ,则下列各组向量中,数量积一定为零的是( ) A.PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B .DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与PB ⃗⃗⃗⃗⃗ C.PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D .PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2+(BC⃗⃗⃗⃗⃗ )2≠0. 因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥CD , 即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,又因为AD ⊥AB ,AD ⊥PA ,所以AD ⊥平面PAB ,所以AD ⊥PB ,所以DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,同理PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,因此B,C,D 中的数量积均为0.故选B,C,D .6.设e 1,e 2是平面内不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+k e 2,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+3e 2,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1-e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k= .87.化简:12(a +2b -3c )+5(23a -12b +23c)-3(a -2b +c )= .+92b -76c8.如图,平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,AB=AD=1,AA'=2,∠BAD=∠BAA'=∠DAA'=60°,则AC'的长为 .√11AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12+12+22+2×1×1×cos60°+2×1×2×cos60°+2×1×2×cos60°=11,则|AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√11. 9.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 10.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1D 1,D 1D 的中点,正方体的棱长为1. (1)求<CE⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值; (2)求证:BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12.又|AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√52,所以cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AF⃗⃗⃗⃗⃗ >=25.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ), 所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗⃗ .11.已知空间向量a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),则|a -b |的最小值为( ) A.√2 B.√3C.2D.4a =(t ,1,t ),b =(t-2,t ,1),∴a -b =(2,1-t ,t-1),则|a-b |=√22+(1-t )2+(t -1)2=√2(t -1)2+4, ∴当t=1时,|a-b |取最小值为2.故选C .12.设平面上有四个互异的点A ,B ,C ,D ,已知(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则△ABC 是( ) A.直角三角形 B .等腰三角形 C.钝角三角形 D .锐角三角形DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ -2DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(DC ⃗⃗⃗⃗⃗ −DA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=0,所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |,即△ABC 是等腰三角形. 13.如图,已知PA ⊥平面ABC ,∠ABC=120°,PA=AB=BC=6,则PC 等于( )A.6√2 B .6C.12D .144PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =36+36+36+2×36×cos60°=144,所以PC=12. 14.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中所有真命题的序号为 .①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.15.等边三角形ABC 中,P 在线段AB 上,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,若CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 .-√22|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=a (a>0),由题知,0<λ<1.如图, CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =-AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |cos A=a 2λ-12a 2, PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(1-λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(λ-1)|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=λ(λ-1)a 2, 则a 2λ-12a 2=λ(λ-1)a 2, 解得λ=1-√22λ=1+√22舍.16.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = ,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |= .−AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2√29CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16+36+64=116,∴|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√29.17.已知ABCD-A'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'.(1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ;(2)设点M 是底面ABCD 的中心,点N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点(靠近C'),设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C',因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(-AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.18.如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)若∠BAC=90°,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,AB=AC=AA 1=1,求MN 的长.MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(c-a )+a+13(b-a ) =13a+13b+13c.(2)因为(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2a ·b+2b ·c+2a ·c=1+1+1+0+2×1×1×12+2×1×1×12=5,所以|a+b+c|=√5,所以|MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=13|a+b+c |=√53,即MN=√53. 19.如图所示,已知线段AB 在平面α内,线段AC ⊥α,线段BD ⊥AB ,且AB=7,AC=BD=24,线段BD 与α所成的角为30°,求CD 的长.AC ⊥α,可知AC ⊥AB ,过点D 作DD 1⊥α, D 1为垂足,连接BD 1,则∠DBD 1为BD 与α所成的角,即∠DBD 1=30°,所以∠BDD 1=60°,因为AC ⊥α,DD 1⊥α,所以AC ∥DD 1,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=60°,所以<CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=120°.又CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 因为BD ⊥AB ,AC ⊥AB , 所以BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.故|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗=242+72+242+2×24×24×cos120°=625, 所以|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25,即CD 的长是25.20.如图所示,在矩形ABCD 中,AB=1,BC=a ,PA ⊥平面ABCD (点P 位于平面ABCD 的上方),则边BC 上是否存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?Q (点Q 在边BC 上),使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 连接AQ ,因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥QD. 又PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 即点Q 在以边AD 为直径的圆上,圆的半径为a2.又AB=1,所以当a2=1,即a=2时,该圆与边BC 相切,存在1个点Q 满足题意; 当a2>1,即a>2时,该圆与边BC 相交,存在2个点Q 满足题意; 当a 2<1,即a<2时,该圆与边BC 相离,不存在点Q 满足题意. 综上所述,当a ≥2时,存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 当0<a<2时,不存在点Q ,使PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥QD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .1.1.2 空间向量基本定理1.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点.若A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.-12a +12b +c B.12a +12b +c C.12a -12b +c D.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .2.对于空间一点O 和不共线的三点A ,B ,C ,且有6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( ) A.O ,A ,B ,C 四点共面 B.P ,A ,B ,C 四点共面 C.O ,P ,B ,C 四点共面 D.O ,P ,A ,B ,C 五点共面6OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )+3(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ),即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3PC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面.又三个向量的基线有同一公共点P ,∴P ,A ,B ,C 四点共面. 3.(多选)已知点M 在平面ABC 内,并且对空间任意一点O ,有OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x 的值不可能为 ( ) A.1 B .0 C .3D .13OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且M ,A ,B ,C 四点共面,∴x+13+13=1,∴x=13.4.已知向量a ,b ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +2b ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-5a +6b ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7a -2b ,则一定共线的三点是( ) A.A ,B ,D B .A ,B ,C C.B ,C ,D D .A ,C ,DAD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a +6b =3(a +2b )=3AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 有公共点A ,所以A ,B ,D 三点共线. 5.下列说法错误的是( )A.设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b =b ·aC.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 一定不共面D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c设a ,b 是两个空间向量,则a ,b 一定共面,正确,因为向量可以平移;B.设a ,b 是两个空间向量,则a ·b=b ·a ,正确,因为向量的数量积满足交换律;C.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ,b ,c 可能共面,可能不共面,故C 错误;D.设a ,b ,c 是三个空间向量,则a ·(b+c )=a ·b+a ·c ,正确,因为向量的数量积满足分配律.故选C .6.设e 1,e 2是空间两个不共线的向量,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+k e 2,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =5e 1+4e 2,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-e 1-2e 2,且A ,B ,D 三点共线,实数k= .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =7e 1+(k+6)e 2,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即7e 1+(k+6)e 2=x e 1+xk e 2,故(7-x )e 1+(k+6-xk )e 2=0,又e 1,e 2不共线, ∴{7-x =0,k +6-kx =0,解得{x =7,k =1,故k 的值为1. 7.在以下三个命题中,所有真命题的序号为 .①三个非零向量a ,b ,c 不能构成空间的一个基底,则a ,b ,c 共面;②若两个非零向量a ,b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则a ,b 共线; ③若a ,b 是两个不共线的向量,而c=λa +μb (λ,μ∈R 且λμ≠0),则{a ,b ,c }构成空间的一个基底.与a ,b 共面,不能构成基底.8.已知平行六面体OABC-O'A'B'C',且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c . (1)用a ,b ,c 表示向量AC'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设G ,H 分别是侧面BB'C'C 和O'A'B'C'的中心,用a ,b ,c 表示GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .AC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b+c-a .(2)GH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =GO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-OG ⃗⃗⃗⃗⃗ +OH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OO '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(a+b+c+b )+12(a+b+c+c )=12(c-b ).9.已知三个向量a ,b ,c 不共面,并且p =a +b -c ,q =2a -3b -5c ,r =-7a +18b +22c ,向量p ,q ,r 是否共面?λ,μ,使p =λq +μr ,则a +b -c =(2λ-7μ)a +(-3λ+18μ)b +(-5λ+22μ)c .∵a ,b ,c 不共面,∴{2λ-7μ=1,-3λ+18μ=1,-5λ+22μ=-1,解得{λ=53,μ=13,即存在实数λ=53,μ=13,使p =λq +μr ,∴p ,q ,r 共面.10.如图所示,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不共面,M ,N 分别是AC ,BF 的中点.判断CE ⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是否共线?M ,N 分别是AC ,BF 的中点,而四边形ABCD ,ABEF 都是平行四边形,∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB⃗⃗⃗⃗⃗ .又MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +12FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −12FB⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FN ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即CE⃗⃗⃗⃗⃗ 与MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线.11.如图,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间内任意一点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 分别是 ( ) A.1,-1,2 B.-12,12,1 C.12,-12,1 D.12,-12,-1⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12OA⃗⃗⃗⃗⃗ −12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a -12b+c ,因此,x=12,y=-12,z=1.故选C .12.在平行六面体ABCD-EFGH 中,若AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -2y BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3z DH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x+y+z 等于( )A.76 B .23C .34D .56于AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,对照已知式子可得x=1,-2y=1,3z=1,故x=1,y=-12,z=13,从而x+y+z=56.13.(多选)在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,P ,M 为空间任意两点,如果有PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,那么对点M 判断错误的是( ) A.在平面BAD 1内 B .在平面BA 1D 内 C.在平面BA 1D 1内 D .在平面AB 1C 1内=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +7BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -4A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +6(PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )-4(PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =11PA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -6PB ⃗⃗⃗⃗⃗ -4PD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,且11-6-4=1, 于是M ,B ,A 1,D 1四点共面.14.已知空间单位向量e 1,e 2,e 3,e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,若空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,则x+y+z= ,|m |=.√34为e 1⊥e 2,e 2⊥e 3,e 1·e 3=45,空间向量m =x e 1+y e 2+z e 3满足:m ·e 1=4,m ·e 2=3,m ·e 3=5,所以{(xe 1+ye 2+ze 3)·e 1=4,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 2=3,(xe 1+ye 2+ze 3)·e 3=5,即{x +45z =4,y =3,45x +z =5,解得{x =0,y =3,z =5,所以x+y+z=8,|m |=√34.15.已知O 是空间任一点,A ,B ,C ,D 四点满足任三点均不共线,但四点共面,且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,则2x+3y+4z= .1=2x BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +3y CO ⃗⃗⃗⃗⃗ +4z DO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -3y OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -4z OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .由四点共面的充要条件知-2x-3y-4z=1, 即2x+3y+4z=-1.16.如图,设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点,E 为OC 的中点,若AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +x OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求x ,y 的值.AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-32OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12OB ⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以x=12,y=-32.17.已知非零向量e 1,e 2不共线,如果AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1+e 2,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+8e 2,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =3e 1-3e 2,求证:A ,B ,C ,D 四点共面.:令λ(e 1+e 2)+μ(2e 1+8e 2)+v (3e 1-3e 2)=0,则(λ+2μ+3v )e 1+(λ+8μ-3v )e 2=0.∵e 1,e 2不共线,∴{λ+2μ+3v =0,λ+8μ-3v =0.易知{λ=-5,μ=1,v =1是其中一组解,则-5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴A ,B ,C ,D 四点共面.证法二:观察易得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+8e 2)+(3e 1-3e 2)=5e 1+5e 2=5(e 1+e 2)=5AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AD ⃗⃗⃗⃗⃗ .由共面向量知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共面. 又它们有公共点A ,∴A ,B ,C ,D 四点共面.18.如图,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 是B 1D 1的中点,求证:B 1C ∥平面ODC 1.1C ⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵O 是B 1D 1的中点,∴B 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 1O ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,且B 1C ⊄平面OC 1D. ∴B 1C ∥平面ODC 1.19.如图所示,四边形ABCD 是空间四边形,E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,F ,G 分别是边CB ,CD 上的点,且CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CG ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:四边形EFGH 是梯形.E ,H 分别是边AB ,AD 的中点,∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =CG ⃗⃗⃗⃗⃗ −CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =34FG⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥FG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,|EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=34|FG ⃗⃗⃗⃗⃗ |. ∵点F 不在EH 上,∴四边形EFGH 是梯形. 20.已知平行四边形ABCD ,从平面ABCD 外一点O 引向量OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .求证:(1)点E ,F ,G ,H 共面; (2)直线AB ∥平面EFGH.∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB⃗⃗⃗⃗⃗ . 而OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ . 同理,EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =k AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AC⃗⃗⃗⃗⃗ . ∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴EG ⃗⃗⃗⃗⃗ k =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ k+EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ k,即EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 又它们有同一公共点E ,∴点E ,F ,G ,H 共面. (2)由(1)知EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥EF⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AB ∥EF .又AB ⊄平面EFGH , ∴AB 与平面EFGH 平行,即AB ∥平面EFGH.1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系1.已知向量a =(1,-2,1),a +b =(-1,2,-1),则向量b 等于( ) A.(2,-4,2) B .(-2,4,-2) C.(-2,0,-2) D .(2,1,-3)2.向量a =(1,2,x ),b =(2,y ,-1),若|a |=√5,且a ⊥b ,则x+y 的值为( ) A.-2 B .2 C.-1 D .1{√12+22+x 2=√5,2+2y -x =0,即{x=0,y=-1,∴x+y=-1.3.若△ABC中,∠C=90°,A(1,2,-3k),B(-2,1,0),C(4,0,-2k),则k的值为()A.√10B.-√10C.2√D.±√10⃗⃗⃗ =(-6,1,2k),CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-3,2,-k),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ ·CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6)×(-3)+2+2k(-k)=-2k2+20=0,∴k=±√10.4.若△ABC的三个顶点坐标分别为A(1,-2,1),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形=(3,4,2),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,1,3),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-3,1).由AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得A为锐角;由CA⃗⃗⃗⃗⃗ ·CB⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得C为锐角;由BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ >0,得B为锐角.所以△ABC为锐角三角形.5.(多选)如图所示,设Ox,Oy是平面内相交成θ(θ≠π2)角的两条数轴,e1,e2分别是与x,y轴正方向同向的单位向量,则称平面坐标系xOy为θ反射坐标系,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x e1+y e2,则把有序数对(x,y)叫做向量OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的反射坐标,记为OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x,y),在θ=2π3的反射坐标系中,a=(1,2),b=(2,-1).则下列结论正确的是()A.a-b=(-1,3)B.|a|=√3C.a⊥bD.a∥b=(e1+2e2)-(2e1-e2)=-e1+3e2,则a-b =(-1,3),故A 正确; |a |=√(e 1+2e 2)2=√5+4cos2π3=√3,故B 正确;a ·b =(e 1+2e 2)·(2e 1-e 2)=2e 12+3e 1·e 2-2e 22=-32,故C 错误;D 显然错误.6.已知向量a =(1,2,3),b =(x ,x 2+y-2,y ),并且a ,b 同向,则x+y 的值为 .a ∥b ,所以x1=x 2+y -22=y3,即{y =3x ,①x 2+y -2=2x ,②把①代入②得x 2+x-2=0,即(x+2)(x-1)=0, 解得x=-2或x=1. 当x=-2时,y=-6;当x=1时,y=3.则当{x =-2,y =-6时,b =(-2,-4,-6)=-2a ,向量a ,b 反向,不符合题意,故舍去. 当{x =1,y =3时,b =(1,2,3)=a , a 与b 同向,符合题意,此时x+y=4.7.已知向量a =(5,3,1),b =-2,t ,-25,若a 与b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围为 . 答案-∞,-65∪-65,5215解析由已知得a ·b =5×(-2)+3t+1×-25=3t-525,因为a 与b 的夹角为钝角,所以a ·b <0,即3t-525<0,所以t<5215.若a 与b 的夹角为180°,则存在λ<0,使a =λb (λ<0), 即(5,3,1)=λ-2,t ,-25, 所以{5=-2λ,3=tλ,1=-25λ,解得{λ=-52,t =-65, 故t 的取值范围是-∞,-65∪-65,5215.8.已知O 为坐标原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,2),OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),点Q 在直线OP 上运动,则当QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值时,求Q 的坐标. 解设OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ),QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-λ,1-λ,2-2λ),所以QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-λ,2-λ,3-2λ)·(2-λ,1-λ,2-2λ)=2(3λ2-8λ+5)=23λ-432-13.当λ=43时,QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·QB⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最小值,此时点Q 的坐标为43,43,83.9.已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长AB=2,AB 1⊥BC 1,点O ,O 1分别是棱AC ,A 1C 1的中点.建立如图所示的空间直角坐标系. (1)求该三棱柱的侧棱长;(2)若M 为BC 1的中点,试用向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; (3)求cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >.设该三棱柱的侧棱长为h ,由题意得A (0,-1,0),B (√3,0,0),C (0,1,0),B 1(√3,0,h ),C 1(0,1,h ),则AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,h ),BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,h ),因为AB 1⊥BC 1,所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1+h 2=0,所以h=√2.(2)AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .(3)由(1)可知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,√2),BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,1,0), 所以AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+1=-2,|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=2√6=-√66.10.(多选)已知点P 是△ABC 所在的平面外一点,若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,4),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-2,1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),则( ) A.AP ⊥AB B.AP ⊥BP C.BC=√53 D.AP ∥BC⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2-2+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB ,故A 正确;BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)+(1,-2,1)=(3,-3,-3),BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3+6-3=6≠0,∴AP 与BP 不垂直,故B 不正确;BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0)-(-2,1,4)=(6,1,-4),∴|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√62+12+(-4)2=√53,故C 正确;假设AP⃗⃗⃗⃗⃗ =k BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则{1=6k ,-2=k ,1=-4k ,无解,因此假设不成立,即AP 与BC 不平行,故D 不正确.11.已知点A (1,0,0),B (0,-1,1),若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)的夹角为120°,则λ的值为( ) A.√66 B .-√66C.±√66D .±√6OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-λ,λ), cos120°=(OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2λ2+1×2=-12,可得λ<0,解得λ=-√66.故选B .12.已知点A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为 .4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(5,-6,2)-(1,-1,2)=(4,-5,0),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3,-1)-(1,-1,2)=(0,4,-3), ∴cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√42+(-5)×√42+(-3)=-5√41,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ > =√42+(-5)2×-5√41=-4.13.已知空间向量a =(1,-2,3),则向量a 在坐标平面xOy 上的投影向量是 .-2,0)14.已知A ,B ,C 三点的坐标分别是(2,-1,2),(4,5,-1),(-2,2,3),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ ),则点P 的坐标是 .,12,0)CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(6,3,-4),设P (a ,b ,c ), 则(a-2,b+1,c-2)=(3,32,-2),∴a=5,b=12,c=0,∴P (5,12,0). 15.如图所示,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,侧棱P A ⊥底面ABCD ,AB=√3,BC=1,P A=2,E 为PD 的中点.建立空间直角坐标系, (1)求cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB⃗⃗⃗⃗⃗ >; (2)在侧面P AB 内找一点N ,使NE ⊥平面P AC ,求N 点的坐标.解(1)由题意,建立如图所示的空间直角坐标系,则A (0,0,0),B (√3,0,0),C (√3,1,0),D (0,1,0),P (0,0,2),E 0,12,1,从而AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0,-2). 则cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ | =2√7=3√714.∴<AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ >的余弦值为3√714. (2)由于N 点在侧面P AB 内,故可设N 点坐标为(x ,0,z ),则NE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x ,12,1-z , 由NE ⊥平面P AC 可得,{NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,NE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{(-x ,12,1-z)·(0,0,2)=0,(-x ,12,1-z)·(√3,1,0)=0,化简得{z -1=0,-√3x +12=0,∴{x =√36,z =1,即N 点的坐标为√36,0,1.16.已知点A (0,2,3),B (-2,1,6),C (1,-1,5).(1)求以向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在有向线段为边的平行四边形的面积; (2)若|a |=√3,且向量a 分别与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 垂直,求向量a .AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-1,3),AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-3,2), 设θ为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角, 则cos θ=AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4+1+9·√1+9+4=12,∴sin θ=√32.∴S ▱=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ=7√3. ∴以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为边的平行四边形面积为7√3. (2)设a =(x ,y ,z ),由题意,得{-2x -y +3z =0,x -3y +2z =0,x 2+y 2+z 2=3.解得{x =1,y =1,z =1或{x =-1,y =-1,z =-1.∴a =(1,1,1)或a =(-1,-1,-1). 17.P是平面ABC外的点,四边形ABCD是平行四边形,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,2,0),AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1).(1)求证:P A ⊥平面ABCD ; (2)对于向量a =(x 1,y 1,z 1),b =(x 2,y 2,z 2),c =(x 3,y 3,z 3),定义一种运算:(a×b )·c =x 1y 2z 3+x 2y 3z 1+x 3y 1z 2-x 1y 3z 2-x 2y 1z 3-x 3y 2z 1,试计算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值;说明其与几何体P-ABCD 的体积关系,并由此猜想向量这种运算(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的绝对值的几何意义.⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,-1,-4)·(-1,2,-1)=-2+(-2)+4=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AP ⊥AB.同理,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1)·(4,2,0)=-4+4+0=0,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ , 即P A ⊥AD.又AB ⊂平面ABCD ,AD ⊂平面ABCD ,AB ∩AD=A ,∴P A ⊥平面ABCD.(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=48, 又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=√105,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√21,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√5,|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6, V=13|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |·sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ >·|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=16,可得|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=3V P-ABCD . 猜测:|(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ×AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |在几何上可表示以AB ,AD ,AP 为棱的平行六面体的体积(或以AB ,AD ,AP 为棱的四棱柱的体积).18.正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 是边长为4的正方形,A 1C 1与B 1D 1交于点N ,BC 1与B 1C 交于点M ,且AM ⊥BN ,建立空间直角坐标系. (1)求AA 1的长; (2)求<BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >;(3)对于n 个向量a 1,a 2,…,a n ,如果存在不全为零的n 个实数λ1,λ2,…,λn ,使得λ1a 1+λ2a 2+…+λn a n =0成立,则这n 个向量a 1,a 2,…,a n 叫做线性相关,不是线性相关的向量叫线性无关,判断AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 是否线性相关,并说明理由.以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系.设AA 1的长为a ,则B (4,4,0),N (2,2,a ),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,a ),A (4,0,0),M (2,4,a 2),AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,a2),由BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,得BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即a=2√2,即AA 1=2√2.(2)BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,0,2√2),cos <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√63, <BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=arccos √63.(3)由AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,4,√2),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,-2,2√2),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-4,0),λ1(-2,4,√2)+λ2(-2,-2,2√2)+λ3(0,-4,0)=(0,0,0),得λ1=λ2=λ3=0,则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性无关.1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量1.已知l 1的方向向量为v 1=(1,2,3),l 2的方向向量为v 2=(λ,4,6),若l 1∥l 2,则λ等于( ) A.1 B .2 C .3 D .4l 1∥l 2,得v 1∥v 2,得1λ=24=36,故λ=2.2.空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是( ) A.[0,π] B.(0,π) C.(0,π2] D.(0,π2),空间中异面直线a 与b 所成角的取值范围是(0,π2]. 3.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 为A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( ) A.BDB.ACC.A 1DD .A 1A。

【成才之路】2021学年高中数学本册综合测试题（A卷）新人教B版必修1(1)

本册综合测试题(A)(时刻：120分钟总分值：150分)一、(本大题共12个小题，每题5分，共60分，每题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是正确的)1．(2021～2021学年度吉林长春外国语学校高一期中测试)已知集合A ＝{－2，－1,0,1,2}，B ＝{－3，－1,0,2}，那么A ∩B ＝( )A ．{－1,0,2}B ．{－3，－2，－1,0,1,2}C ．{0,2}D ．{x |－3≤x ≤2} [答案] A[解析] A ∩B ＝{－2，－1,0,1,2}∩{－3，－1,0,2}＝{－1,0,2}．2．(2021～2021学年度江西吉安一中高一期中测试)已知集合A ＝{x |y ＝lg x }，B ＝{x |x <1}，那么A ∪B ＝( )A ．RB ．{x |0<x <1}C ．∅D ．{x |x >1} [答案] A[解析] ∵A ＝{x |y ＝lg x }＝{x |x >0}，∴A ∪B ＝R .3．函数f (x )＝3x 21－x ＋3x ＋1的概念域是( )A ．(－13，＋∞)B ．(－13，1)C ．[－13，1) D ．[0,1) [答案] C[解析] 要使函数成心义，应知足⎩⎪⎨⎪⎧1－x >03x ＋1≥0， ∴－13≤x <1，应选C.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x >00，x ＝0－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ∈Q 0，x ∈∁R Q ，则f [g (π)]的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π[答案] B [解析] g (π)＝0，∴f [g (π)]＝f (0)＝0.5．设(x ，y )在映射f 下的象是(2x ＋y ，x －2y )，那么在f 下，象(2,1)的原象是( )A ．(12，32) B ．(1,0) C ．(1,2)D ．(3,2)[答案] B [解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝2x －2y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1y ＝0，应选B. 6．用二分法求方程x －2lg1x ＝3的近似解，能够取的一个区间是( ) A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] C [解析] 此题考查用二分法求解函数零点所在区间．设f (x )＝x －2lg 1x －3＝x ＋lg x －3，因为f (2)·f (3)＝(lg2－1)×lg3<0，且函数图象在(2,3)上持续，因此能够取的一个区间是(2,3)，应选C.7．函数y ＝(12)x 的反函数的图象为( ) [答案] D[解析] 函数y ＝(12)x 的反函数为y ＝log 12x ，应选D. 8．假设奇函数f (x )在[1,3]上为增函数且有最小值0，那么它在[－3，－1]上( )A ．是减函数，有最大值0B ．是减函数，有最小值0C ．是增函数，有最大值0D ．是增函数，有最小值0[答案] C[解析] 奇函数在对称区间上单调性相同，且图象关于原点对称，应选C.9．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，那么以下关系式中成立的是( )A ．f (－72)<f (－3)<f (4) B ．f (－3)<f (－72)<f (4) C ．f (4)<f (－3)<f (－72) D ．f (4)<f (－72)<f (－3) [答案] D[解析] ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，又－4<－72<－3， ∴f (4)＝f (－4)<f (－72)<f (－3)． 10．设函数y ＝x 3与y ＝22－x 的图象的交点为(x 0，y 0)，那么x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 令f (x )＝x 3－22－x ，由题意知x 0是函数f (x )的零点，又f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－1＝7>0，应选B.11．设a ＝60.5，b ＝0.56，c ＝log 60.5，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b[答案] A[解析] a ＝60.5>60＝1，b ＝0.56<0,50＝1，又0.56>0，∴0<0.56<1， c ＝log 60.5<log 61＝0，∴a >b >c .12．对实数a 和b ，概念运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －1)，x ∈R .假设函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，那么实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1] [答案] B [解析] 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2 作出其示用意如下图．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1.二、填空题(本大题共4个小题，每空4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋4，那么f (x )的解析式为________________．[答案] f (x )＝3x ＋1[解析] 设x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋4＝3t ＋1，∴f (x )＝3x ＋1.14．3log 925＋log2－1(2＋1)的值为__________． [答案] 4[解析] 3 log 925＋log 2－1(2＋1)＝3 log 35＋log 2－1(2－1)－1＝5－1＝4.15．概念域为R 的函数y ＝f (x )的值域是[a ，b ]，那么函数y ＝f (x ＋a )的值域是________．[答案] [a ，b ][解析] 函数f (x ＋a )的图象只是由f (x )的图象向左或向右平移取得，函数值y 没有转变．16．关于概念域在R 上的函数f (x )，假设实数x 0知足f (x 0)＝x 0，那么称x 0是函数f (x )的一个不动点．假设函数f (x )＝x 2＋ax ＋1没有不动点，那么实数a 的取值范围是__________．[答案] (－1,3)[解析] 由题意，得方程x 2＋ax ＋1＝x ，即x 2＋(a －1)x ＋1＝0无实根，∴Δ＝(a －1)2－4＝a 2－2a －3＜0，∴－1＜a ＜3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解许诺写出文字说明，证明进程或演算步骤)17．(本小题总分值12分)(2021～2021学年度河南信阳市高一期末测试)已知函数f (x )＝log 2x －1的概念域为集合A ，函数g (x )＝(12)x (－1≤x ≤0)的值域为集合B . (1)求A ∩B ；(2)假设C ＝{x |a ≤x ≤2a －1}，且C ⊆B ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)要使函数f (x )成心义，应知足log 2(x －1)≥0，∴x －1≥1，∴x ≥2.∴A ＝{x |x ≥2}．∴g (x )＝(12)x (－1≤x ≤0)是减函数， ∴当x ＝－1时，g (x )取最大值2，当x ＝0时，g (x )取最小值1，∴B ＝{x |1≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{2}．(2)∵C ⊆B ，①当C ＝∅时知足题意，即a >2a －1，解得a <1； ②当C ≠∅时，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a －1≤2，解得1≤a ≤32.综上实数a 的取值范围是(－∞，32]． 18．(本小题总分值12分)设a ，b ，c 为正数，且知足a 2＋b 2＝c 2.(1)求证：log 2(1＋b ＋ca )＋log 2(1＋a －cb )＝1；(2)假设log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b －c )＝23，求a ，b ，c 的值． [解析] (1)log 2(1＋b ＋ca )＋log 2(1＋a －cb )＝log 2a ＋b ＋c a＋log 2a ＋b －c b＝log 2a ＋b 2－c 2ab＝log 2a 2＋b 2－c 2＋2ab ab＝log 22＝1.(2)由log 4(1＋b ＋c a )＝1，log 8(a ＋b ＋c )＝23，得1＋b ＋ca ＝4，a ＋b －c ＝4，又a 2＋b 2＝c 2，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3a a ＋b －c ＝4a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝6，b ＝8，c ＝10.19．(本小题总分值12分)2020年某个体企业受金融危机和国家政策调整的阻碍，经历了从亏损到盈利的进程，下面的二次函数图象(部份)刻画了该公司年初以来的积存利润S (万元)与时刻t (月)之间的关系(即前t 个月的利润总和S 与t 之间的关系，0≤t ≤12)．请依照图象提供的信息解答以下问题：(1)求积存利润S (万元)与时刻t (月)之间的函数关系式；(2)截止到第几月末公司积存利润可达到9万元？(3)该企业第四季度所获利润是多少？[解析]设S (t )＝at 2＋bt ＋c ，将点(0,0)，(6,0)，(3，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 36a ＋6b ＝09a ＋3b ＝－3c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝13b ＝－2c ＝0.∴函数关系式S (t )＝13t 2－2t (0≤t ≤12)． (2)令S ＝9即13t 2－2t ＝9，解得t ＝9或t ＝－3(舍)，∴截止到9月末公司积存利润可达到9万元．(3)S (12)＝13×144－2×12＝24(万元)， S (9)＝13×81－2×9＝9(万元)， ∴第四季度获利S (12)－S (9)＝24－9＝15(万元)．答：第四季度所获利润为15万元．20．(本小题总分值12分)假设关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．[解析] 依照题意，画出f (x )＝x 2＋mx ＋m －1的图象，如下图．图象的对称轴为直线x ＝－m 2. 因为方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，那么函数f (x )有两个零点x 1，x 2，由题意不妨设x 1>0，x 2<0，且|x 1|<|x 2|.由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧ f 0<0－m 2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0m >0. ∴ 0<m <1. 即所求的取值范围为(0,1)．21．(本小题总分值12分)已知概念在R 上的函数f (x )知足f (log 2x )＝x ＋a x，a 为常数． (1)求函数f (x )的表达式；(2)若是f (x )为偶函数，求a 的值；(3)若是f (x )为偶函数，用函数单调性的概念讨论f (x )的单调性．[解析] (1)令log 2x ＝t ，那么x ＝2t .∴f (t )＝2t ＋a 2t . ∴f (x )＝2x ＋a2x (x ∈R )．(2)由f (－x )＝f (x )，那么2－x ＋a2－x ＝2x ＋a2x ， ∴(2x －2－x )(1－a )＝0对x ∈R 均成立．∴1－a ＝0，即a ＝1.(3)当a ＝1时，f (x )＝2x ＋12x ，设0≤x 1<x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝2x 1＋12x 1－(2 x 2＋12x 2)＝(2 x 1－2 x 2)(1－12 x 1＋x 2)， ∵2 x 1－2 x 2<0,1－12 x 1＋x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)<0.即f (x 1)<f (x 2)．因此f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数．同应当x 1<x 2<0时，f (x 1)－f (x 2)>0，∴f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．22．(本小题总分值14分)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3，g (x )＝(6＋a )·2x －1.(1)假设f (1)＝f (3)，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判定函数F (x )＝21＋g x的单调性，并给出证明； (3)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a (a ∉(－4,4))恒成立，求实数a 的最小值．[解析] (1)∵f (1)＝f (3)，∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2，即－a2＝2，故a ＝－4. (2)由(1)知，g (x )＝(6－4)·2x －1＝2x ， F (x )＝21＋2x (x ∈R ) 函数F (x )在R 上是减函数设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.∴Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝21＋2x 2－21＋2x 1＝22 x 1＋1－2 x 2－11＋2 x 11＋2 x 2＝22 x 1－2 x 21＋2 x 11＋2 x 2.依照指数函数性质及x 1<x 2，得2 x 1－2 x 2<0，由上式得Δy <0，因此F (x )在R 上是减函数．(3)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a 2)2＋3－a 24，x ∈[－2,2]，又a ∉(－4,4)，故－a 2∉(－2,2)． ①当－a 2≥2，即a ≤－4时， f (x )在[－2,2]上单调递减， f (x )min ＝f (2)＝7＋2a ，故7＋2a ≥a ，即a ≥－7. 因此－7≤a ≤－4.②当－a 2≤－2，即a ≥4时， f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－2a ，故7－2a ≥a ，即a ≤73，这与a ≥4矛盾，故此情形不存在．因此，实数a 的最小值为－7.。

2021-2022学年新教材高中数学综合测评(A)(含解析)北师大版必修第一册

综合测评(A)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合N={x|12<2x+1<4,x∈Z},M={-1,1},则M∩N=()B.{0}C.{-1}D.{-1,0}集合N={x|12<2x+1<4,x∈Z}={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,x∈Z}={-1,0},M={-M∩N={-1},故选C.,现在需要估计平均产量.用分层随机抽样的方法按5%抽取15公顷旱地和45公顷水田进行调查,则这个村的旱地与水田的公顷数分别为()B.300,900C.660,600D.75,225,该村有旱地15÷5%=300(公顷),水田45÷5%=900(公顷).中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.1B.13C.14D.161,2,3,4中任取2个不同的数,试验的样本空间共有6个样本点,而事件“2个2”包含的样本点有(1,3),(2,4),共有2个,所以取出的2个数之差的绝对值为2的概率是26=13.4.设a=lo g123,b=(13)0.2,c=213,则()A.a<b<cB.c<b<aD.b<a<c由指数函数、对数函数的性质可知,a=lo g123<lo g121=0,0<b=(13)0.2<1,而c=213>1,因此,a<b<c.f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2-2x,则y=f(x)在R上的解析式为()A.f(x)=-x(x+2)B.f(x)=|x|(x-2)=x(|x|-2) D.f(x)=|x|(|x|-2)x<0时,-x>0,则f(-x)=x2+2x.是奇函数,∴f(x)=-f(-x)=-x2-2x.∴f(x)={x2-2x,x≥0,-x2-2x,x<0.=x(|x|-2).,一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系,要从这10 000人中再用分层随机抽样方法抽出100人做进一步调查,因此在[2.5,3)h 时间段内应抽出的人数是( )B.30C.50D.7510000人中平均每天看电视的时间在区间[2.5,3)上的频率是.5=0.25,所以这10000人中平均每天看电视的时间在区间[2.5,3)上的人数是10000×0.25=2500,抽样比是10010000=1100,则在[2.5,3)(h)时间段内抽出的人数是2500×1100=25.5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )A.1B.25C.35D.45ABCD 的中心为O.从五个点中任取两个点,有10种取法,分别是AC ,AD ,OB ,OC ,OD ,BC ,BD ,CD ,其中两点间的距离不小于正方形边长的有AB ,AC ,AD ,BC ,BD ,CD.故所求概率为610=35.M={x|-2≤x ≤2},N={y|0≤y ≤2},给出下列四个图形,其中能表示以集合M 为定义域,N 为值域的函数关系的是( ),知中,函数的定义域为[-2,0],不是[-2,2]; 选项C 中,不是唯一对应,故不是函数; 选项D 中,函数的值域不是[0,2]; 中图象符合.故选B .f (x )=x 3+x 2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为()B.1.3C.1.4D.1.5,方程x3+x2-2x-2=0的根在区间(1.4065,1.438)内,故方程的一个近0.1为1.4.:①年人均收入不低于7 000元;②年人均食品支出不大于收入的35%.则该县()A.是“小康县”B.达到标准①,未达到标准②,不是“小康县”C.达到标准②,未达到标准①,不是“小康县”,不是“小康县”,年人均收入为7050>7000,达到了标准①;年人均食品支出为2695,×100%≈38.2%>35%,未达到标准②,所以不是“小康而年人均食品支出占收入的26957050,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组、……第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()B.8C.12D.18n.由题意得n(0.24+0.16)=20,所以n=50.所以第三组的频数为36=18.因此,第三组中有疗效的人数为18-6=12.6张卡片,上面分别写着如下6个定义域为R 的函数:f 1(x )=x ,f 2(x )=x 2,f 3(x )=x 3,f 4(x )=x 5,f 5(x )=a x (a>0,且a ≠1),f 6(x )=|x|.现从盒子中任取2张卡片,将卡片上的函数相加得到一个新函数,则所得函数是奇函数的概率是( )A.1B.14C.34D.25,f 1(x ),f 3(x ),f 4(x )是奇函数,从中抽取2个的情形有3种,而从6张2张的情形有15种,故所求的概率为315=15.(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4,现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取 .3∶3∶4,高二年级学生人数在总体中所占的比例是33+3+4=310,因为用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,所以要从高二年级抽取310×50=15(名).(方差较小)的那名运动员成绩的方差为环2.由表中数据可得x 甲=90环,x 乙=90环.于是s 甲2=15[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4(环2),s 乙2=15[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2(环2).由s 甲2>s 乙2,可知乙运动员成绩稳2.,B 是非空集合,则A ∩B=A 是A=B 的条件.A ∩B=A ,则A ⊆B ,A ⊆B 得不到A=B , 不是A=B 的充分条件. ②若A=B ,则A ∩B=A ,∴A ∩B=A 是A=B 的必要条件.是A=B 的必要不充分条件.16.已知函数f (x )={2-x -1,x ≤0,√x ,x >0.若f (f (x 0))=1,则x 0= .x 0=0,则f (x 0)=f (0)=2-0-1=0,f (f (x 0))=f (0)=0,不符合题意. 0则f (x 0)=2-x 0-1>0,从而f (f (x 0))=f (2-x 0-1)=√2-x 0-1=1,解得x 0=-1.若x 0>0,则f (x 0)=√x 0>0,从而f (f (x 0))=√√x 0=1,解得x 0=1.1或x 0=1.1或1(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 分)设全集为R ,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B.全集为R ,A ∪B={x|2<x<10}, R (A ∪B )={x|x ≤2或x ≥10}. ∵A={x|3≤x<7},∴∁R A={x|x<3或x ≥7}.∴(∁R A )∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.18.(12分)不用计算器求下列各式的值: (1)(214)12-(-9.6)0-(338)-23+(1.5)-2;(2)log 3√2743+lg 25+lg 4+7log 72.原式=(94)12-1-(278)-23+(32)-2=(32)2×12-1-(32)3×(-23)+(32)-2=32-1-(32)-2+(32)-2=12.(2)原式=log 33343+lg(25×4)+2=log 33-14+lg102+2=-14+2+2=154.19.(12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标.根据相关报道提供的全网传播2018年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.(1)现从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1家的融合指数在区间[7,8]内的概率;(2)根据分组统计表,求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.(同一组中)方法一)融合指数在区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1,A 2,A 3;融合指[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1,B 2.从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有可能结果为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2),共有10种等可能的结果.其中,至少有1家融合指数在区间[7,8]内的可能结果是(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),共9种.故所求的概率P=910.(方法二)(1)融合指数在区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A 1,A 2,A 3; 融合指数在区间[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B 1,B 2.从融合指数在区间[4,5)和区间[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有可能结果为(A 1,A 2),(A 1,A 3),(A 2,A 3),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 3,B 1),(A 3,B 2),(B 1,B 2),共有10种等可能的结果.其中,没有1家融合指数在区间[7,8]内的可能结果是(B 1,B 2),共1种.故所求的概率P=1-110=910.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数为4.5×220+5.5×820+6.5×720+7.5×320=6.05. 20.(12分)设f (x )={x +2(x ≤-1),x 2(-1<x <2),2x (x ≥2).(1)在下列直角坐标系中画出f (x )的图象; (2)若f (t )=3,求t 的值;(3)用单调性定义证明函数在区间[2,+∞)上单调递增.解:(1)如图:(2)由函数的图象可得f (t )=3,即t 2=3,且-1<t<2,因此,t=√3. (3)设2≤x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=2x 1-2x 2=2(x 1-x 2).∵x 1<x 2,∴x 1-x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2). 故f (x )在区间[2,+∞)上单调递增.21.(12分)为了解某地高二年级女生的身高情况,从其中的一个学校随机选取容量为60(1)求表中a ,m 的值;(2)画出频率分布直方图;165.5 cm 的概率.m=0.1×60=6,a=1-660−2160-0.1=0.45.(2)(3)由题意及所求a 的值知这60名女生中身高不低于165.5cm 的频率是0.45+0.1=0.55.故估计该地区高二年级女生身高不低于165.5cm 的概率是0.55.22.(12分)为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y (单位:mg)与时间t (单位:h)成正比;药物释放完毕后,y 与t 的函数关系式为y=(116)t -a(a 为常数),函数的大致图象如图所示.根据图中提供的信息,回答下列问题:(1)写出从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y 与时间t 之间的函数关系式; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg 以下时,学生方可进教室,那么,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?由题意和题图可知,当0≤t ≤0.1时,可设函数关系式为y=kt (k>0).因为当1时,y=1,所以1=0.1k ,解得k=10.所以y=10t (0≤t ≤0.1).当t ≥0.1时,由t=0.1,y=1,得(116)0.1-a=1,解得a=0.1.所以y 与t 的函数关系式为y={10t (0≤t ≤0.1),(116)t -110(t >0.1).(2)由题意得(116)t -110<14,即(14)2t -15<14,解得t>35(h).故至少需要经过0.6h后,学生才能回到教室.。

(2021年整理)高中数学必修1综合测试题及答案(2)

高中数学必修1综合测试题及答案(2)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修1综合测试题及答案(2)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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必修1综合检测(时间:120分钟满分：150分)一、选择题(每小题5分，共50分）1．函数y ＝错误!ln(1－x)的定义域为（ ) A ．(0,1) B ．[0，1) C ．（0，1] D ．［0,1］2．已知U ＝｛y|y ＝log 2x ，x>1},P ＝错误!，则∁U P ＝（） A 。

错误! B.错误! C ．(0，＋∞) D ．(－∞,0)∪错误!3．设a>1，函数f(x ）＝log a x 在区间［a,2a]上的最大值与最小值之差为错误!，则a ＝( ）A. 2 B ．2 C ．2 错误! D ．44．设f(x)＝g （x)＋5，g(x ）为奇函数，且f(－7)＝－17，则f(7)的值等于（ ) A ．17 B ．22 C ．27 D ．125．已知函数f(x)＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g （x)＝bx 2－ax －1的零点是( ）A ．－1和－2B ．1和2C 。

12和错误! D ．－错误!和－错误!6．下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是( ）A ．f(x ）＝xB ．f(x ）＝x 2C ．f （x ）＝x －3D ．f （x ）＝x －1 7．直角梯形ABCD 如图Z 1(1)，动点P 从点B 出发，由B→C→D→A 沿边运动，设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为f(x)．如果函数y ＝f(x)的图象如图Z.1（2），那么△ABC 的面积为（ )A ．10B ．32C ．18D ．168．设函数f(x ）＝错误!若f （－4)＝f(0)，f （－2）＝－2，则关于x 的方程f(x ）＝x 的解的个数为( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．下列四类函数中，具有性质“对任意的x〉0，y>0,函数f（x）满足f（x＋y)＝f （x）f(y)”的是( )A．幂函数 B．对数函数 C．指数函数 D．一次函数10．甲用1000元人民币购买了一支股票,随即他将这支股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这支股票返卖给甲，但乙损失了10%,最后甲按乙卖给甲的价格九折将这支股票卖给了乙，在上述股票交易中（）A．甲刚好盈亏平衡 B．甲盈利1元 C．甲盈利9元 D．甲亏本1。

2021年高中数学综合测试题新人教A版必修1

2021年高中数学综合测试题新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设A ∪{－1,1}＝{－1,0,1}，则满足条件的集合A 共有( ) A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．8个解析可用列举法写出A ＝{0}，{－1,0}，{0,1}，{－1，0,1}共4个．答案 B2．设集合M ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，N ＝{x |y ＝log a (x ＋1)，a >0，a ≠1}，则M 与N 的关系是( )A ．MN B ．M NC ．M ＝ND ．M ∩N ＝∅解析 M ＝{y |y >0，y ∈R }，N ＝{x |x >－1，x ∈R }， ∴MN .答案 A3．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)解析 ∵f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－|x |＝2|x |.∴f (－2)＝22＝4，f (－1)＝2. ∴f (－2)>f (－1)．答案 A4．函数f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．不存在解析由f (0)＝0，得a ＝－1. 答案 C5．函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x )＝12f (x ＋1)，当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则f (－1.5)的值是( )A.14 B ．－54C.18D.116解析由题意知，f (－1.5)＝12f (－1.5＋1)＝12f (－0.5)＝14f (－0.5＋1)＝14f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝14×12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝116. 答案 D6．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 24－xx ≤0，f x －1－fx －2x >0，则f (3)的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2解析 ∵3>0，∴f (3)＝f (3－1)－f (3－2)＝f (2)－f (1)＝f (2－1)－f (2－2)－f (1)＝－f (0)＝－log 24＝－2.答案 B7．函数f (x )＝1＋log 2x 与g (x )＝2－x ＋1在同一坐标系下的图象大致是( )解析f(x)＝1＋log2x过点(1,1)，g(x)＝2－x＋1也过点(1,1)．答案 C8．三个数60.7,0.76，log0.76的大小顺序是( )A．0.76<log0.76<60.7B．0.76<60.7<log0.76C．log0.76<0.76<60.7D．log0.76<60.7<0.76解析∵60.7>1,0<0.76<1，log0.76<0，∴60.7>0.76>log0.76，故选C.答案 C9．下列给出的四个函数f(x)的图象中能表示函数y＝f(x)－1没有零点的是( )答案 C10．已知函数f (x )＝log 12x ，则方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |＝|f (x )|的实根个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．2 006解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (2)＝f (－2)．又∵－2<－32<－1，且f (x )在(－∞，－1)上是增函数，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．在同一平面直线坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |及y ＝|log 12x |的图象如图，易得B.答案 B11．某新品牌电视投放市场后，第一个月销售100台，第二个月销售200台，第3个月销售400台，第四个月销售810台，则下列函数模型中能较好反映销售量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50·2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析把x ＝1,2,3,4分别代入A 、B 、C 、D 知，C 正确．答案 C12．若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图象(图略)，由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．函数y ＝(log 3a )x在R 上为增函数，则a 的取值范围是________．解析由题意知log 3a >1.∴a >3 答案 (3，＋∞)14．已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上有定义，且对任意正数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )，则f (1)＝________.解析令x ＝y ＝1，则有f (1)＝f (1)＋f (1)， ∴f (1)＝0. 答案 015．设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内实根有________个．解析依题意知，f (x )＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12内有一个实根，又知f (x )在[－1,1]内是增函数，所以在[－1,1]内f (x )＝0只有一个实根．答案 116．已知函数f (x )＝lg(2x－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．解析 ∵要使f (x )＝lg(2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1. 答案 (－∞，1]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分10分)设集合A ＝{x |0<x －a <3}，B ＝{x |x ≤0或x ≥3}，分别求满足下列条件的实数a 的取值范围：(1)A ∩B ＝∅； (2)A ∪B ＝B .解 ∵A ＝{x |0<x －a <3}， ∴A ＝{x |a <x <a ＋3}．(1)当A ∩B ＝∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋3≤3，解得a ＝0.(2)当A ∪B ＝B 时，有A ⊆B ，所以a ≥3或a ＋3≤0，解得a ≥3或a ≤－3.18．(本小题满分12分)(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫279 12 ＋(lg5)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2764－ 13 ； (2)解方程：log 3(6x－9)＝3.解 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫259 12 ＋(lg5)0＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫343－ 13 ＝53＋1＋43＝4. (2)由方程log 3(6x－9)＝3得 6x－9＝33＝27，∴6x ＝36＝62， ∴x ＝2.经检验，x ＝2是原方程的解．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，求证：存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，使f (x 0)＝x 0.证明令g (x )＝f (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，∵g (0)＝14>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－⎝ ⎛⎭⎪⎫122－14＋14＝－18<0，∴g (0)·g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0. 又函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是连续的， ∴存在x 0∈(0，12)，使得g (x 0)＝0，即f (x 0)＝x 0.20．(本小题满分12分)f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,0)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．解 (1)设x ∈(－1,0)，则－x ∈(0,1)，由x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1知f (－x )＝2－x 4－x ＋1＝2x4x ＋1，又f (x )为奇函数知，－f (x )＝2x4x ＋1，即f (x )＝－2x4x ＋1.故当x ∈(－1,0)时，f (x )＝－2x4x ＋1.(2)证明：设0<x 1<x 2<1，则f (x 2)－f (x 1)＝2x 24x 2＋1－2x 14x 1＋1＝2x 1＋x 2－12x 1－2x 24x 1＋14x 2＋1.由0<x 1<x 2<1知，2x 1<2x 2， ∴2x 1－2x 2<0.又4x 1＋1>0,4x 2＋1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)．因此，f (x )在(0,1)上是减函数．21．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )的定义域为R ，并且满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，当x >0时，f (x )>0.(1)求f (0)的值； (2)判断函数的奇偶性；(3)如果f (x )＋f (2＋x )<2，求x 的取值范围．解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＝f (0)， ∴f (0)＝0.(2)令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0， ∴f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )是R 上的奇函数． (3)任取x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，则x 2－x 1>0.∵f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)>0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )是R 上的增函数．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝2. ∴f (x )＋f (2＋x )＝f [x ＋(2＋x )]＝f (2x ＋2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23.又由y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，得2x ＋2<23，解之得x <－23.故x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23.22．(本小题满分12分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的产品．已知该单位每月处理二氧化碳最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)若该单位每月成本支出不超过105000元，求月处理量x 的取值范围；(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)设月处理量为x 吨，则每月处理x 吨二氧化碳可获化工产品价值为100x 元，则每月成本支出f (x )为f (x )＝12x 2－200x ＋80000－100x ，x ∈[400,600]．若f (x )≤105000，即12x 2－300x －25000≤0，即(x －300)2≤140000，∴300－10014≤x ≤10014＋300.∵10014＋300≈674>600，且x ∈[400,600]，∴该单位每月成本支出不超过105000元时，月处理量x 的取值范围是{x |400≤x ≤600}．(2)f (x )＝12x 2－300x ＋80000＝12(x 2－600x ＋90000)＋35000 ＝12(x －300)2＋35000，x ∈[400,600]， ∵12(x －300)2＋35000>0， ∴该单位不获利．由二次函数性质得当x ＝400时，f (x )取得最小值．f (x )min ＝12(400－300)2＋35000＝40000.∴国家至少需要补贴40000元．y26913 6921 椡32355 7E63 繣vT25127 6227 戧37182 913E 鄾31378 7A92 窒E|21108 5274 剴3]E20385 4FA1価。

2021_2022学年新教材高中数学模块综合检测新人教B版必修第一册

模块综合检测(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题：此题共12小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.假设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}，那么A ∩B ＝( ) A.{x |－1≤x ≤2} B.{－1，0，1，2} C.{－1，2}D.{0，1}解析：选B.因为A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{－1，0，1，2}；所以A ∩B ＝{－1，0，1，2}，应选B.2.函数f (x )＝1－x ＋1x的定义域为( )A.(－∞，1]B.(－∞，0)C.(－∞，0)∪(0，1]D.(0，1]解析：选C.要使函数有意义，那么⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0x ≠0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x ≠0，即x ≤1且x ≠0，即函数的定义域为(－∞，0)∪(0，1]，应选C. 3.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否认形式綈p 为( ) A.∀x ∈N ，x 3≤x 2B.∃x ∈N ，x 3＞x 2C.∃x ∈N ，x 3＜x 2D.∃x ∈N ，x 3≤x 2解析：选D.命题p ：∀x ∈N ，x 3＞x 2的否认形式是存在量词命题；所以綈p ：“∃x ∈N ，x 3≤x 2〞.应选D. 4.“a ＞0〞是“a 2＋a ≥0〞的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：选A.解二次不等式a 2＋a ≥0得：a ≥0或a ≤－1，又“a ＞0〞是“a ≥0或a ≤－1〞的充分不必要条件，即“a ＞0〞是“a 2＋a ≥0〞的充分不必要条件，应选A.5.假设函数y ＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，那么m 的取值范围是( )A.(0，2]B.(2，4]C.[2，4]D.(0，4)解析：选C.函数f (x )＝x 2－4x －4的图像是开口向上，且以直线x ＝2为对称轴的抛物线，所以f (0)＝f (4)＝－4，f (2)＝－8，因为函数f (x )＝x 2－4x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－8，－4]，所以2≤m ≤4，即m 的取值范围是[2，4]，应选C.6.函数f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5，那么f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝x 2＋1 B.f (x )＝x 2＋1(x ≥2) C.f (x )＝x 2 D.f (x )＝x 2(x ≥2)解析：选B.f (x ＋2)＝x ＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1；所以f (x )＝x 2＋1(x ≥2). 应选B.7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1(x ≥0)1x (x ＜0)，假设f (a )＝a ，那么实数a 的值为( )A.±1B.－1C.－2或－1D.±1或－2解析：选B.由题意知，f (a )＝a ；当a ≥0时，有12a －1＝a ，解得a ＝－2(不满足条件，舍去)；当a ＜0时，有1a＝a ，解得a ＝1(不满足条件，舍去)或aa 的值是a B.8.函数y ＝x ＋4x －1(x ＞1)，那么此函数的最小值等于( ) A.4xx －12＋1解析：选C.因为x ＞1，所以x －1＞0，y ＝x ＋4x －1＝(x －1)＋4x －1＋1≥2(x －1)×4x －1＋1＝5⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x －1＝4x －1即x ＝3时取等号，故此函数的最小值等于5，应选C.9.f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3).假设对任意的x ∈[－1，0]，f (x )＋m ≥4恒成立，那么m 的取值范围是( )A.(－∞，2]B.[4，＋∞)C.[2，＋∞)D.(－∞，4]解析：选B.由f (x )＝－2x 2＋bx ＋c ，不等式f (x )＞0的解集为(－1，3)，那么－1和3是方程2x 2－bx －c ＝0的实数根，所以b ＝4，c ＝6；所以f (x )＝－2x 2＋4x ＋6，所以f (x )＋m ≥4，化为m ≥2x 2－4x －2对任意的x ∈[－1，0]恒成立，设g (x )＝2x 2－4x －2，其中x ∈[－1，0]，所以g (x )在[－1，0]内单调递减，且g (x )的最大值为g max ＝g (－1)＝4，所以m 的取值范围是[4，＋∞).应选B.10.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ，x ≤0ax 2＋x ，x ＞0为奇函数，那么a ＝( )A.－1 C.0D.±1解析：选A.因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，那么f (－1)＝－f (1)，即1＋a ＝－a －1，即2a ＝－2，得a ＝－1，应选A.11.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，那么不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫1β，1α B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1β∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1α，＋∞C.{x |α＜x ＜β}D.(－∞，α)∪(β，＋∞)解析：选B.不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是{x |α＜x ＜β}(α＞0)，那么α，β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，且a ＜0；所以α＋β＝－ba ，α·β＝c a；所以不等式cx2＋bx ＋a ＜0化为c ax 2＋b ax ＋1＞0，所以αβx 2－(α＋β)x ＋1＞0；化为(αx －1)(βx －1)＞0；又0＜α＜β，所以1α＞1β＞0；所以不等式cx 2＋bx ＋a ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1β或x ＞1α.应选B.12.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ，－3≤x ≤02x －3，x ＞0，假设方程f (x )＋|x －2|－kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，那么实数k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－23，3－22B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，3＋22C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－23D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23，16 解析：选A.设h (x )＝f (x )＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ＋2(－3≤x ≤0)x －1(0＜x ≤2)3x －5(x ＞2)，方程f (x )＋|x －2|－kx＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像有三个交点，又y ＝h (x )的图像与y ＝kx 的图像如下图，求得k 1＝－23，k 2＝3－2 2.即实数k 的取值范围是－23≤k ＜3－22，应选A.二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.假设a ∈R ，且a 2－a ＜0，那么a ，a 2，－a ，－a 2从小到大的排列顺序是 . 解析：因为a 2－a ＜0，所以0＜a ＜1，－a 2－(－a )＝－(a 2－a )＞0，所以－a 2＞－a ，所以－a ＜－a 2＜0＜a 2＜a . 答案：－a ＜－a 2＜a 2＜a14.f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2在[1，3]上是单调函数，那么实数m 的取值范围为 . 解析：根据题意，f (x )＝x 2－(m ＋2)x ＋2为二次函数，其对称轴为x ＝m ＋22，假设f (x )在[1，3]上是单调函数，那么有m ＋22≤1或m ＋22≥3，解可得m ≤0或m ≥4，即m 的取值范围为m ≤0或m ≥4. 答案：m ≤0或m ≥415.x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，假设a ≤1x ＋9y恒成立，那么实数a 的最大值为 .解析：因为x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1. 所以1x ＋9y＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋y x ＋9x y≥10＋2y x ·9x y ＝16，当且仅当y ＝3x ＝34时取等号.因为不等式a ≤1x ＋9y恒成立⇔⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y min≥a .所以a ∈(－∞，16]，即实数a 的最大值为16. 答案：1616.假设关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解，那么实数m 的取值范围为_____.解析：x ∈[1，2]时，不等式x 2＋mx ＋2＞0可化为m ＞－x －2x，设f (x )＝－x －2x，x ∈[1，2]，那么f (x )在[1，2]内的最小值为f (1)＝f (2)＝－3，所以关于x 的不等式x 2＋mx ＋2＞0在区间[1，2]上有解，实数m 的取值范围是m ＞－3. 答案：m ＞－3三、解答题：此题共6小题，共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题总分值10分)x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y＝1.(1)求xy 的最小值； (2)求4x ＋6y 的最小值. 解：(1)x ，y ∈R ＋，且2x ＋3y＝1.由均值不等式可得，1＝2x ＋3y ≥26xy，解不等式可得，xy ≥24，当且仅当2x ＝3y ＝12即x ＝4，y ＝6时取最小值24.(2)4x ＋6y ＝(4x ＋6y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y ＝26＋12y x ＋12x y≥26＋24＝50，当且仅当x ＝y ＝5时取得最小值50.18.(本小题总分值12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)假设f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)假设f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围.解：(1)根据题意，假设f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有且只有一个零点，那么Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＝0；解可得：m ＝－1或4，即m 的值为－1或4.(2)根据题意，假设f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4有两个零点且均比－1大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(2m )2－4(3m ＋4)＞0－m ＞－1f (－1)＝1－2m ＋3m ＋4＞0，解得－5＜m ＜－1，即m 的取值范围为(－5，－1). 19.(本小题总分值12分)函数f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数f (x )在(－1，1)上的单调性，并证明. 解：(1)根据题意，f (x )＝x ＋ax 2＋1为奇函数，那么f (－x )＋f (x )＝0，即－x ＋a x 2＋1＋x ＋a x 2＋1＝0，解得a ＝0. (2)由(1)的结论，f (x )＝xx 2＋1在(－1，1)上为增函数；证明如下：任取x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，那么f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)x 1x 22＋x 1－x 2x 21－x 2(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 2(x 2－x 1)－(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝(x 1x 2－1)(x 2－x 1)(x 21＋1)(x 22＋1)，又由x 1，x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2，那么x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，x 21＋1＞0，x 22＋1＞0，那么有f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在(－1，1)上单调递增.20.(本小题总分值12分)二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞－2x 的解集为(1，3)，方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：因为f (x )＋2x ＞0的解集为(1，3)，设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a ＜0，所以f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的实根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.又a ＜0，所以a ＝－15，将a ＝－15代入①得f (x )＝－15x 2－65x －35.21.(本小题总分值12分)二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a2＋1(a ∈R ).(1)假设函数f (x )为偶函数，求a 的值.(2)假设函数f (x )在区间[－1，1]上的最大值为g (a )，求g (a )的最小值.解：(1)二次函数f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，由f (x )为偶函数，可得a ＝0；(2)f (x )＝－x 2＋ax －a 2＋1的对称轴为x ＝a2，当a 2≥1即a ≥2时，f (x )在[－1，1]单调递增，可得g (a )＝f (1)＝a2，且g (a )的最小值为1；当a 2≤－1即a ≤－2时，f (x )在[－1，1]单调递减，可得g (a )＝f (－1)＝－32a ，且g (a )的最小值为3；当－1＜a2＜1，即－2＜a ＜2时，f (x )的最大值为g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24－a2＋1，当a ＝1时，g (a )取得最小值34，综上可得，g (a )的最小值为34.22.(本小题总分值12分)近几年来，，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵抗华为5G ，，，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，，生产此款手机全年需投入固定本钱250万，每生产x (千部)手机，需另投入本钱R (x )万元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2＋100x ，0＜x ＜40701x ＋10 000x －9 450，x ≥40，由市场调研知，，且全年内生产的手机当年能全部销售完.(1)求出2021年的利润W (x )(万元)关于年产量x (千部)的函数关系式(利润＝销售额－本钱)；(2)2021年产量为多少(千部)时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)当0＜x ＜40时，W (x )＝700x －(10x 2＋100x )－250＝－10x 2＋600x －250；当x ≥40时，W (x )＝700x －⎝⎛⎭⎪⎫701x ＋10 000x－9 450－250＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x＋9 200，所以W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－10x 2＋600x －250，0＜x ＜40－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ＋9 200，x ≥40.(2)假设0＜x ＜40，W (x )＝－10(x －30)2＋8 750，当x ＝30时，W max ＝8 750万元，假设x ≥40，W (x )＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x＋9 200≤9 200－210 000＝9 000，当且仅当x ＝10 000x时，即x ＝100时，W max ＝9 000万元，所以2021年产量为100(千部)时，企业所获利润最大，最大利润是9 000万元.。

2021_2022学年新教材高中数学模块质量检测(含解析)新人教B版必修第一册

模块质量检测一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．集合A ＝{x|2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x∈Z |x ≤2}，A ∩B 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－12≤x ≤3，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0,1,2}，应选B.答案：B2．对于实数x ，y ，假设p ：x ＋y ≠4，q ：x ≠3或y ≠1，那么p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：考虑该命题的逆否命题．綈q ：x ＝3且y ＝1，綈p ：x ＋y ＝4，显然綈q ⇒綈p ，但綈p⇒綈q ，所以綈q 是綈p 的充分不必要条件，那么p 是q 的充分不必要条件．答案：A3．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，那么A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B解析：由题意得，B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B . 答案：B4．如果a ，b ，c 满足c <b <a ，且ac <0，那么以下选项中不一定成立的是( ) A ．ab >ac B ．c (b －a )>0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )<0解析：由题意知c <0，a >0，那么A 一定正确；B 一定正确；D 一定正确；当b ＝0时C 不正确．答案：C5．函数y ＝1－x22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1解析：由函数y ＝1－x22x 2－3x －2得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以所求函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1. 答案：D6．设A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }．假设A ∩B ＝∅，那么实数t 的取值范围是( )A ．t <－3B ．t ≤－3C ．t >3D ．t ≥3解析：B ＝{y |y ≤t }，结合数轴可知t <－3.答案：A7．关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，那么关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，即不等式ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0，∴不等式(ax ＋b )·(x －3)>0可化为(x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3，∴所求解集为(－1,3)．答案：C8．0<x <1，那么3x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23解析：因为0＜x ＜1，所以3x ＞0,3－3x ＞0，所以3x (3－3x )≤⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝94，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立，故3x (3－3x )取得最大值时x 的值为12.应选B.答案：B 9．函数y ＝x ln |x ||x |的图像可能是( )解析：易知函数y ＝x ln |x ||x |为奇函数，故排除A 、C ，当x >0时，y ＝ln x ，只有B 项符合，应选B.答案：B10．函数f (x )＝6x－x .在以下区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3，＋∞) 解析：f (2)＝3－2＝1>0f (3)＝2－3＝－1<0∴f (2)·f (3)<0. 答案：C11．函数f (x )的图像向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，那么a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c解析：根据可得函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f (52)，且2<52<3，所以b >a >c .答案：D12．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是( )A ．(8，＋∞) B．(8,9] C ．[8,9] D ．(0,8) 解析：∵f (9)＝f (3)＋f (3)＝2， ∴不等式f (x )＋f (x －8)≤2可化为f (x (x －8))≤f (9)，∵⎩⎪⎨⎪⎧x (x －8)≤9x >0x －8>0，解得8<x ≤9，∴x 的取值范围是(8,9]，应选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．命题∃x ∈R ，x 2－2x >0的否认是________．解析：存在量词命题的否认是全称量词命题，即∀x ∈R ，x 2－2x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－2x ≤014．f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2,4]的单调递增区间为________，f (x )max ＝________. 解析：函数f (x )的对称轴x ＝1，单调增区间为[1,4]，f (x )max ＝f (－2)＝f (4)＝8. 答案：[1,4] 8 15．假设对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，那么a 的取值范围是________．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x≥2，所以x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12＋3＝15(当且仅当x ＝1时取等号)，所以x x 2＋3x ＋1的最大值为15，所以由不等式恒成立得a ≥15.故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞16．a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋2ax －2a ，x >0.假设关于x 的方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解，那么a 的取值范围是________．解析：设函数g (x )＝f (x )－ax ，那么g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2＋ax －2a ，x >0，即g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋a －a 24，x ≤0，－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋a24－2a ，x >0.依题意得，函数g (x )恰有两个零点，即函数g (x )与x 轴有两个交点．又因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2>0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2>0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24>0，a 24－2a >0，或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，a －a 24<0，a 24－2a <0，或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －a 24＝0，a 24－2a ＝0，解得4<a <8.所以a 的取值范围为(4,8)．答案：(4,8)三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．假设x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围．解析：由x 2－8x －20≤0，得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 那么⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.∴当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件，即所求m 的取值范围是[0,3]．18．(12分)命题p ：存在一个实数x ，使ax 2＋ax ＋1<0，当a ∈A 时，非p 为真命题，求集合A .解析：非p 为真，即“∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1≥0”为真．假设a ＝0，那么1≥0成立，即a ＝0时非p 为真；假设a ≠0，那么非p 为真⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0⇔0<a ≤4.综上知，所求集合A ＝{a |0≤a ≤4}．19．(12分)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x －1.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[－1,2]时，求函数的最大值和最小值．解析：(1)由f (0)＝2，得c ＝2，又f (x ＋1)－f (x )＝2x －1，得2ax ＋a ＋b ＝2x －1，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a ＋b ＝－1，解得：a ＝1，b ＝－2.所以f (x )＝x 2－2x ＋2.(2)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1函数f (x )图像的对称轴为x ＝1，且开口向上，所以f (x )单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(－∞，1)． (3)f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，对称轴为x ＝1∈[－1,2]，故f min (x )＝f (1)＝1，又f (－1)＝5，f (2)＝2，所以f max (x )＝f (－1)＝5.20．(12分)a ∈R ，讨论关于x 的方程|x 2－6x ＋8|＝a 的实数解的个数．解析：令f (x )＝|x 2－6x ＋8|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋8(x >4或x <2)－x 2＋6x －8(2≤x ≤4)，g (x )＝a (a ∈R )，在同一坐标系中作出两个函数的图像，如下图，由图知：(1)当a <0时，方程无解．(2)当a ＝0时，有两解：x ＝2或4. (3)当0<a <1时，有四解：x ＝3±1±a . (4)当a ＝1时，有三解：x ＝3或3± 2. (5)当a >1时，有两解：x ＝3±1＋a .21．(12分)设定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，假设f (m )＋f (m －1)>0，求实数m 的取值范围．解析：由f (m )＋f (m －1)>0，得f (m )>－f (m －1)，即f (1－m )<f (m )．又因为f (x )在[0,2]上单调递减且f (x )在[－2,2]上为奇函数，所以f (x )在[－2,2]上为减函数．所以1－m >m ，又－2≤m －1≤2，－2≤m ≤2，所以解得－1≤m <12.故m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12. 22．(12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度到达200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究说明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以到达最大，并求出最大值．(准确到1辆/小时)解析：(1)由题意可知当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，显然v (x )＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003，故函数v (x )的表达式为 v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13(200－x )，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x (200－x )，20≤x ≤200，当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x ≤200时， f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以到达最大，最大值约3 333辆/小时．。

2021年高中数学本册综合素能检测新人教A版必修1

2021年高中数学本册综合素能检测新人教A版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则下列结论中正确的是( )A．A⊆B B．A∩B＝{2}C．A∪B＝{1,2,3,4,5} D．A∩(∁U B)＝{1}[答案] D[解析] A显然错误；A∩B＝{2,3}，B错；A∪B＝{1,2,3,4}，C错，故选D.2．(xx·全国高考陕西卷理，1题)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( )A．[0,1] B．(0,1]C．[0,1) D．(－∞，1][答案] A[解析] M＝{0,1}，N＝{x|0<x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.3．已知方程kx＋3＝log2x的根x0满足x0∈(1,2)，则( )A．k＜－3 B．k＞－1C．－3＜k＜1 D．k＜－3或k＞－1[答案] C[解析] 令f(x)＝kx＋3－log2x，∵x0∈(1,2)，∴f(1)·f(2)＜0，即(k＋3)(2k＋2)＜0，∴－3＜k ＜－1.4．下列函数中，在R 上单调递减的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝log 2x C ．y ＝x 2D ．y ＝(12)x[答案] D[解析] 由四种函数的图象可知D 正确． 5．函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞) [答案] D[解析] 由题意知x －4≥0且lg x ≠1，解得x ≥4且x ≠10.故选D.6．(xx·全国高考卷Ⅰ文科，10题)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1－log 2x ＋1，x >1且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14[答案] A[解析] 当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log a ＋12＝－3，∴a ＝7，∴f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.7．若关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，则y ＝f (x )的图象可以是( )[答案] D[解析] 因为关于x 的方程f (x )－2＝0在(－∞，0)内有解，所以函数y ＝f (x )与y ＝2的图象在(－∞，0)内有交点，观察图象可知只有D 中图象满足要求．8．设f (x )＝3x＋3x －8，用二分法求方程3x＋3x －8＝0在x ∈[1,3]上的近似解的过程中取区间中点x 0＝2，那么下一个有根区间为( )A ．[1,2]B ．[2,3]C ．[1,2]或[2,3]都可以D ．不能确定[答案] A[解析] 由于f (1)＜0，f (2)＞0，f (3)＞0，所以下一个有根区间为[1,2]． 9．若函数f (x )＝lg(10x＋1)＋ax 是偶函数，g (x )＝4x－b2x 是奇函数，则a ＋b 的值是( )A.12 B ．1 C ．－12D ．－1[答案] A[解析] ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即lg(10－x＋1)－ax ＝lg(10x＋1)－(a ＋1)x ＝lg(10x＋1)＋ax ，∴a ＝－(a ＋1)，a ＝－12.又g (x )是奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，即2－x－b2－x＝－2x＋b 2x ，∴b ＝1.∴a ＋b ＝12. 10．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12 a ，(12)b ＝log 12 b ，(12)c ＝log 2c ，则( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c[答案] A[解析] 因为a ，b ，c 均为正数，所以由指数函数和对数函数的单调性得： log 12 a ＝2a＞1⇒0＜a ＜12，log 12b ＝(12)b ∈(0,1)⇒12＜b ＜1，log 2c ＝(12)c＞0⇒c ＞1，所以a ＜b ＜c ，故选A.11．定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，且f (13)＝0，则满足f (log 18 x )＞0的x 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(0，12)∪(2，＋∞)C ．(0，18)∪(12，2)D ．(0，12)[答案] B[解析] 由题意知f (x )＝f (－x )＝f (|x |)，所以f (|log 18 x |)＞f (13)，因为f (x )在[0，＋∞)上递增，所以|log 18x |＞13，解得0＜x ＜12或x ＞2.12．已知函数f (x )＝|2x－1|，当a ＜b ＜c 时，f (a )＞f (c )＞f (b )，那么正确的结论是( )A ．2a ＞2bB ．2a ＞2cC ．2－a＜2cD ．2a＋2c＜2[答案] D[解析] 函数y ＝|2x－1|如图，当a ＜b ＜c 时f (a )＞f (c )＞f (b )，a ，b ，c 不可能同时大于0或小于0，∴a ＜0，c ＞0，∴0＜2a ＜1,2c＞1.又f (a )＝|2a －1|＝1－2a ，f (c )＝|2c －1|＝2c－1， ∴1－2a ＞2c －1，即2a ＋2c＜2. 故应选D.第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．已知f (x )＝ax 3＋bx －4，其中a ，b 为常数，若f (－2)＝2，则f (2)的值等于________． [答案] －10[解析] 设g (x )＝ax 3＋bx ，显然g (x )为奇函数，则f (x )＝ax 3＋bx －4＝g (x )－4，于是f (－2)＝g (－2)－4＝－g (2)－4＝2，所以g (2)＝－6，所以f (2)＝g (2)－4＝－6－4＝－10.14．幂函数f (x )的图象过点(3，3)，则f (x 2－2x )的减区间为________． [答案] (－∞，0][解析] 设f (x )＝x α，则3α＝3，则α＝12，从而f (x )＝x 12，f (x 2－2x )＝x 2－2x .依题意可知，x 2－2x ≥0，则x ≤0或x ≥2.令t＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，在(－∞，1]为减函数，在[1，＋∞)上为增函数，从而f (x 2－2x )的减区间为(－∞，0]．15．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于________．[答案] 2[解析] ∵0＜1，∴f (0)＝20＋1＝2. ∵2＞1，∴f (2)＝4＋2a ， ∴f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ＝4a ， ∴a ＝2.16．已知函数f (x )＝lg(2x－b )(b 为常数)，若x ∈[1，＋∞)时，f (x )≥0恒成立，则b 的取值范围是________．[答案] (－∞，1][解析] ∵要使f (x )＝lg(2x－b )在x ∈[1，＋∞)上，恒有f (x )≥0，∴有2x－b ≥1在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即2x ≥b ＋1恒成立．又∵指数函数g (x )＝2x在定义域上是增函数．∴只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算2723 －2log23×log 218＋log 23×log 34；(2)已知0＜x ＜1，且x ＋x －1＝3，求x 12－x －12.[解析] (1)2723 －2 log23×log 218＋log 23×log 34＝9－3×(－3)＋2＝20.(2)(x 12 －x －12 )2＝x 1＋x －1－2＝1，∵0＜x ＜1⇒x 12 －x －12 <0⇒x 12 －x －12 ＝－1. 18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}． (1)若a ＝－2，求A ∩∁R B ； (2)若A ⊆B ，求a 的取值范围．[解析] (1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}； ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，A ⊆B ，∴a ＋3<－1，∴a <－4.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2,0.5)，其中a ＞0，且a ≠1.(1)求a 的值； (2)求函数f (x )＝ax －1(x ≥0)的值域．[解析] (1)∵函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点(2,0.5)，∴0.5＝a2－1，即a ＝12.(2)由(1)知f (x )＝(12)x －1(x ≥0)．∵0＜12＜1，∴f (x )＝(12)x －1(x ≥0)在[0，＋∞)上为减函数．又f (x )＝(12)x －1的定义域为[0，＋∞)，且f (0)＝2.∴f (x )＝(12)x －1(x ≥0)的值域为(0,2]．20．(本小题满分12分)(xx·安徽屯溪一中期中)已知函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ，c ∈N *)满足：①f (1)＝5；②6＜f (2)＜11.(1)求a ，c 的值；(2)若对任意的实数x ∈[12，32]，都有f (x )－2mx ≤1成立，求实数m 的取值范围．[解析] (1)∵f (1)＝a ＋2＋c ＝5， ∴c ＝3－a .①又∵6＜f (2)＜11，∴6＜4a ＋c ＋4＜11，② 将①代入②，得－13＜a ＜43.又∵a ，c ∈N *，∴a ＝1，c ＝2. (2)由(1)知f (x )＝x 2＋2x ＋2.设g (x )＝f (x )－2mx ＝x 2＋2(1－m )x ＋2，x ∈[12，32]．①当－21－m 2≤1，即m ≤2时， g (x )max ＝g (32)＝294－3m ，故只需294－3m ≤1，解得m ≥2512，又∵m ≤2，故无解．②当－21－m 2＞1，即m ＞2时， g (x )max ＝g (12)＝134－m ，故只需134－m ≤1，解得m ≥94. 又∵m ＞2，∴m ≥94.综上可知，m 的取值范围是m ≥94.21．(本小题满分12分)(xx·河北石家庄一中期中)已知函数f (x )＝ax ＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝25.(1)求函数f (x )的解析式；(2)证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.[解析] (1)∵f (x )是(－1,1)上的奇函数， ∴f (0)＝0，∴b ＝0，又f (12)＝25，∴12a 1＋122＝25，∴a ＝1， ∴f (x )＝x1＋x2.(2)证明：设x 1，x 2∈(－1,1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝x 1－x 21－x 1x 21＋x 211＋x 22.∵－1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1－x 2＜0，－1＜x 1x 2＜1， ∴1－x 1x 2＞0，又1＋x 21＞0,1＋x 22＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数． (3)∵f (x )是(－1,1)上的奇函数，∴不等式可化为f (t －1)＜－f (t )＝f (－t )，即f (t －1)＜f (－t )，又f (x )在(－1,1)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t －1＜1，－1＜－t ＜1，t －1＜－t ，解得0＜t ＜12.∴不等式的解集为{t |0＜t ＜12}．22．(本小题满分12分)我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．某市用水收费标准是：水费＝基本费＋超额费＋定额损耗费．且有如下三条规定：①若每月用水量不超过最低限量，即m 立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a 元；②若每月用水量超过m 立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n 元的超额费；③每户每月的定额损耗费a 不超过5元．(1)求每户每月水费y (元)与月用水量x (立方米)的函数关系式； (2)该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元) 一 4 17 二 5 23 三2.511m ，n ，a 的值．[解析] (1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9＋a ， 0＜x ≤m ， ①9＋n x －m ＋a ，x ＞m ， ②其中0＜a ≤5.(2)∵0＜a ≤5，∴9＜9＋a ≤14.由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m 立方米．将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝17和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝23分别代入②，得⎩⎪⎨⎪⎧17＝9＋n 4－m ＋a ，23＝9＋n 5－m ＋a .两式相减，得n ＝6.把n ＝6代入17＝9＋n (4－m )＋a ，得a ＝6m －16.又三月份用水量为2.5立方米，水费为11元＜14元，∴将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2.5，y ＝11代入①，得11＝9＋a ，解得a ＝2，将a ＝2代入a ＝6m －16，得m ＝3.∴该家庭今年一、二月份的用水量超过了最低限量，三月份的用水量没有超过最低限量，且m ＝3，n ＝6，a ＝2.20228 4F04 伄37110 90F6 郶 39258 995A 饚W21567 543F 吿28265 6E69 湩31390 7A9E 窞 26925 692D 椭40236 9D2C 鴬22014 55FE 嗾37834 93CA 鏊31306 7A4A 穊。

(2021年整理)高中数学必修1综合测试题

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刘老师辅导·高中数学必修1综合测试题姓名本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分,共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝｛1，2，3，4}，B＝｛x｜x＝n2，n∈A｝,则A∩B＝（)A．{1,4｝B．{2，3｝C．｛9,16｝D．｛1，2}2. 已知函数f（x)的定义域为(－1,0），则函数f（2x＋1)的定义域为( ）A．(－1，1) B．（－1，－错误!)C．（－1，0）D．（错误!，1）3．在下列四组函数中，f(x)与g（x)表示同一函数的是( ）A．f（x)＝错误!，g(x)＝错误! B．f(x)＝|x＋1｜，g（x)＝错误!C．f(x）＝x＋2，x∈R，g(x）＝x＋2，x∈Z D．f(x）＝x2,g(x）＝x|x|4．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A．y＝错误!B．y＝（x－1）2C．y＝2-x D．y＝log0。

5(x＋1)5．函数y＝ln x＋2x－6的零点,必定位于如下哪一个区间（）A．（1，2）B．(2,3）C．（3，4）D．(4，5)6．已知f(x)是定义域在(0，＋∞)上的单调增函数，若f(x）>f(2－x），则x的取值范围是（)A．x〉1 B．x<1C．0<x〈2 D．1<x〈27．设y1＝40。

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2021年高中数学本册综合测试题（A ）新人教B 版必修1一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(xx ～xx 学年度辽宁沈阳二中高一上学期期中测试)已知集合A ＝{x |x －1>0}，B ＝{y |y ＝2x }，则A ∩B ＝( )A ．{x |x >1}B ．{x |x >0}C ．{x |x <－1}D ．∅[答案] A[解析] ∵A ＝{x |x －1>0}＝{x |x >1}，B ＝{y |y ＝2x }＝R ， ∴A ∩B ＝{x |x >1}．2．(xx·陕西文，1)设集合M ＝{x |x 2＝x }，N ＝{x |lg x ≤0}，则M ∪N ＝( )A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(－∞，1][答案] A[解析] ∵x 2＝x ，∴x ＝0或x ＝1， ∵lg≤0＝lg1，∴0<x ≤1， ∴M ＝{0,1}，N ＝{x |0<x ≤1}， ∴M ∪N ＝{x |0≤x ≤1}＝[0,1]，选A ．3．(xx ～xx 学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x ≤－1x 2－1<x <22x x ≥2，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或± 3D ． 3[答案] D[解析] 当x ≤－1时，x ＋2＝3，∴x ＝1(不合题意)， ∴x ≠1；当－1<x <2时，x 2＝3，∴x ＝±3，又∵－1<x <2，∴x ＝3；当x ≥2时，2x ＝3，∴x ＝32(不合题意)，∴x ≠32.故x ＝ 3.4．化简x ·3x 2x ·6x的结果是( )A ．xB ．xC ．1D ．x 2[答案] C[解析]x ·3x 2x ·6x＝x 12·x 23x ·x 16＝x 76x 76＝1.5．函数f (x )的定义域为[－6,2]，则函数y ＝f (x )的定义域为( ) A ．[－4,4] B ．[－2,2] C ．[0，2] D ．[0,4][答案] D[解析] ∵函数f (x )的定义域为[－6,2]， ∴－6≤x ≤2，又∵x ≥0， ∴0≤x ≤2，∴0≤x ≤4，故选D ． 6．用二分法求方程x －2lg 1x＝3的近似解，可以取的一个区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] C[解析] 本题考查用二分法求解函数零点所在区间．设f (x )＝x －2lg1x－3＝x ＋lg x－3，因为f (2)·f (3)＝(lg2－1)×lg3<0，且函数图象在(2,3)上连续，所以可以取的一个区间是(2,3)，故选C ．7．函数y ＝(12)x的反函数的图象为( )[答案] D[解析] 函数y ＝(12)x 的反函数为y ＝log 12x ，故选D ．8．(xx ～xx 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若奇函数f (x )在[1,3]上为增函数且有最小值0，则它在[－3，－1]上( )A ．是减函数，有最大值0B ．是减函数，有最小值0C ．是增函数，有最大值0D ．是增函数，有最小值0[答案] C[解析] 奇函数在对称区间上单调性相同，且图象关于原点对称，故选C ． 9．已知偶函数f (x )在(－∞，－2]上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A ．f (－72)<f (－3)<f (4)B ．f (－3)<f (－72)<f (4)C ．f (4)<f (－3)<f (－72)D ．f (4)<f (－72)<f (－3)[答案] D[解析] ∵f (x )在(－∞，－2]上是增函数，又－4<－72<－3，∴f (4)＝f (－4)<f (－72)<f (－3)．10．设函数y ＝x 3与y ＝22－x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)[答案] B[解析] 令f (x )＝x 3－22－x，由题意知x 0是函数f (x )的零点，又f (1)＝1－2＝－1<0，f (2)＝8－1＝7>0，故选B ．11．设a ＝60.5，b ＝0.56，c ＝log 60.5，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >b >aD ．a >c >b[答案] A[解析] a ＝60.5>60＝1，b ＝0.56<0,50＝1，又0.56>0，∴0<0.56<1，c ＝log 60.5<log 61＝0，∴a >b >c .12．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1b ，a －b >1，设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x－1)，x ∈R .若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )A ．(－1,1]∪(2，＋∞)B ．(－2，－1]∪(1,2]C ．(－∞，－2)∪(1,2]D ．[－2，－1][答案] B[解析] 依题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，－1≤x ≤2x －1，x <－1或x >2作出其示意图如图所示．由数形结合知，实数c 需有1<c ≤2或－2<c ≤－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，将正确答案填在题中横线上) 13．已知函数f (x ＋1)＝3x ＋4，则f (x )的解析式为________________． [答案] f (x )＝3x ＋1[解析] 设x ＋1＝t ，∴x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋4＝3t ＋1，∴f (x )＝3x ＋1. 14．3log 925＋log2－1(2＋1)的值为__________．[答案] 4 [解析] 3l og 925＋log2－1(2＋1)＝3log 35＋log2－1(2－1)－1＝5－1＝4.15．(xx ～xx 学年度宁夏育才中学高一上学期月考)用长度为48的材料围成一个矩形场地，中间有两道隔墙，要使矩形场地的面积最大，则隔墙的长度为______．[答案] 6[解析] 设隔墙的长度为x ，则矩形场地的另一边长为(24－2x )，矩形场地的面积S ＝x (24－2x )＝－2x 2＋24x ＝－2(x －6)2＋72，∴当x ＝6时，矩形场地的面积最大．16．(xx ～xx 学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为__________．[答案] (0，＋∞)[解析] ∵3x＋1>1，∴log 2(3x＋1)>log 21＝0，故函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为(0，＋∞)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)(xx ～xx 学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为A ，B ＝{x ∈Z |2<x <10}，C ＝{x |x <a 或x >a ＋1}．(1)求A ，(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围．[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥07－x >0，∴3≤x <7，∴A ＝{x |3≤x <7}， ∴∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}．又B ＝{x ∈Z |2<x <10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， ∴(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)若A ∪C ＝R ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<7a ≥3，∴3≤a <6.故实数a 的取值范围是3≤a <6.18．(本小题满分12分)(xx ～xx 学年度山东烟台高一上学期期中测试)计算下列各式的值：(1)(32×3)6＋(22)43 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫164912 －42×80.25－(－2 014)0；(2)log 3.19.61＋lg11 000＋ln(e 2·3e)＋log 3(log 327)． [解析] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫213×3126＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23443 －4⎝ ⎛⎭⎪⎫164912 －214 ×814 －1＝108＋2－167－2－1＝7337. (2)原式＝log 3.13.12＋lg10－3＋ln e 73 ＋log 33＝2－3＋73＋1＝73.19．(本小题满分12分)在某服装批发市场，季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(7天)涨价2元，5周后开始保持20元的价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周降价2元，直到16周周末，该服装已不再销售．(1)试建立价格P (元)与周次t 之间的函数关系式；(2)若此服装每周进价Q (元)与周次t 之间的关系式为Q ＝－0.125(t －8)2＋12，t ∈[0,16]，t ∈N *，试问该服装第几周销售利润最大？[解析] (1)当t ∈[0,5]时，P ＝10＋2t ；当t ∈(5,10]时，P ＝20；当t ∈(10,16]时，P ＝40－2t .所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10＋2t ， t ∈[0，5]20， t ∈5，10]， t ∈N*40－2t ， t ∈10，16].(2)由于销售利润为：售价－进价，所以销售利润L ＝P －Q . 所以，当t ∈[0,5]时，L ＝10＋2t ＋0.125(t －8)2－12＝0.125t 2＋6，当t ＝5时，L 取得最大值9.125；当t ∈(5,10]时，L ＝20＋0.125(t －8)2－12＝0.125t 2－2t ＋16，此时L <9.125；当t ∈(10,16]时，L ＝40－2t ＋0.125(t －8)2－12＝0.125t 2－4t ＋36，L <8.5，因此，该服装第5周销售利润最大．20．(本小题满分12分)若关于x 的方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，且负根的绝对值较大，求实数m 的取值范围．[解析] 根据题意，画出f (x )＝x 2＋mx ＋m －1的图象，如图所示．图象的对称轴为直线x ＝－m2.因为方程x 2＋mx ＋m －1＝0有一个正根和一个负根，则函数f (x )有两个零点x 1，x 2，由题意不妨设x 1>0，x 2<0，且|x 1|<|x 2|.由题意，有⎩⎪⎨⎪⎧f 0<0－m2<0，故⎩⎪⎨⎪⎧m －1<0m >0.∴ 0<m<1.即所求的取值范围为(0,1)．21．(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)满足f(log2x)＝x＋ax，a为常数．(1)求函数f(x)的表达式；(2)如果f(x)为偶函数，求a的值；(3)如果f(x)为偶函数，用函数单调性的定义讨论f(x)的单调性．[解析] (1)令log2x＝t，则x＝2t.∴f(t)＝2t＋a2t .∴f(x)＝2x＋a2x(x∈R)．(2)由f(－x)＝f(x)，则2－x＋a2－x＝2x＋a2x，∴(2x－2－x)(1－a)＝0对x∈R均成立．∴1－a＝0，即a＝1.(3)当a＝1时，f(x)＝2x＋12x ，设0≤x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1＋12 x1－(2x2＋12 x2)＝(2x1－2x2)(1－12 x1＋x2)，∵2x1－2x2<0,1－12 x1＋x2>0，∴f(x1)－f(x2)<0.即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数．同理当x1<x2<0时，f(x1)－f(x2)>0，∴f(x)在区间(－∞，0)上是减函数．22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝x2＋ax＋3，g(x)＝(6＋a)·2x－1.(1)若f(1)＝f(3)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，判断函数F(x)＝21＋g x的单调性，并给出证明；(3)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a(a∉(－4,4))恒成立，求实数a的最小值．[解析] (1)∵f (1)＝f (3)，∴函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝2，即－a2＝2，故a ＝－4.(2)由(1)知，g (x )＝(6－4)·2x －1＝2x，F (x )＝21＋2x (x ∈R ) 函数F (x )在R 上是减函数设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. ∴Δx ＝x 2－x 1>0，Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝21＋2 x 2－21＋2 x 1＝22 x1＋1－2 x2－11＋2 x 11＋2 x2＝22 x1－2 x21＋2 x 11＋2 x2.根据指数函数性质及x 1<x 2，得2 x1－2 x 2<0，由上式得Δy <0，所以F (x )在R 上是减函数．(3)f (x )＝x 2＋ax ＋3＝(x ＋a2)2＋3－a 24，x ∈[－2,2]，又a ∉(－4,4)，故－a2∉(－2,2)．①当－a2≥2，即a ≤－4时，f (x )在[－2,2]上单调递减，f (x )min ＝f (2)＝7＋2a ，故7＋2a ≥a ，即a ≥－7.所以－7≤a ≤－4.②当－a2≤－2，即a ≥4时，f (x )在[－2,2]上单调递增，f (x )min ＝f (－2)＝7－2a ，故7－2a ≥a ，即a ≤73，这与a ≥4矛盾，故此情形不存在．因此，实数a 的最小值为－7.p22510 57EE 埮s22148 5684 嚄 28399 6EEF 滯 20362 4F8A 侊039839 9B9F 鮟$R:24827 60FB 惻2。

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