八上数学第三章 第12课时 矩形、菱形、正方形(5)

第12课时矩形、菱形、正方形(5)
预学目标
1．动手实践课本P98“操作”，初步感受正方形的中心对称性．
2．利用中心对称的性质初步了解正方形中相等的角和线段．
3．从边、角以及对角线三个方面尝试归纳正方形的性质．
4．通过课本P98中矩形、菱形、正方形的关系图，尝试了解正方形的识别方法．
知识梳理
1．正方形是中心对称图形
如图1，将△AOB绕点O旋转180°，得到△_______；将△BOC绕点O
旋转180°，得到△_______；将Rt△ABC绕斜边中点O旋转180°，得到
Rt△_______；将△ABD绕点O旋转180°，得到△_______．
2．正方形的概念
3．正方形的性质（如图2）
(1)正方形是平行四边形，具有平行四边形的一切性质．
①AB_//_______，AD_______，即____________________________；
②∠ABC＝∠_______，∠BAD＝∠_______，即______________；
③OA＝_______，OB＝_______，即____________________________．
(2)正方形是特殊的平行四边形，具有自身特殊的性质．
①AB＝_______＝_______＝_______，即___________________________________；
②∠ABC＝∠_______＝∠_______＝∠_______＝_______°，即______________；
③AC＝_______或OA＝_______＝_______＝_______，即_____________________；
④∠OAB＝∠________＝∠_______＝∠_______，∠OBA＝∠_______＝∠_______＝∠_______，即____________________________________________________________．4．正方形的识别方法（如图2）
(1)从“平行四边形”的角度考虑
∵□ABCD中，_______＝_______，∠_______°＝_______°，
∴四边形ABCD为正方形( )．
(2)从“矩形”的角度考虑
∵在矩形ABCD中，_______＝_______，
∴四边形ABCD为正方形( )．
(3)从“菱形”的角度考虑
∵在菱形ABCD中，∠_______＝∠_______°，
∴四边形ABCD为正方形( )．
例题精讲
例1 如图，四边形ABCD是正方形，E、F分别为AB、AD的中点，连接ED、FC
交于点O，试说明DE⊥FC．
提示：本题需利用正方形的边和角的性质先说明△ADE≌△DCF，
再根据∠1、∠2、∠3之间的关系说明∠DOF＝90°．
解答：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADC＝90°，AB＝AD＝DC．
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴AE＝DF．，∴/\ADE≌△DCF．∴∠1＝∠2．
∵∠ADC＝90°，∴∠2＋∠3＝90°，∴∠1＋∠3＝90°．
∴∠DOF＝90°．∴DE⊥FC．
点评：由于正方形具有较多的性质，所以在解题时应准确分析题意，明确解题思路，正确选择和运用性质．
例2 如图，D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE．
(1)试说明△ABC是等腰三角形．
(2)当∠A＝90°时，四边形AFDE是怎样的四边形？请说明理由．
提示：(1)说明∠B＝∠C即可；
(2)判断四边形AFDE的形状时，除了考虑角的关系外，还要结合边的
关系考虑．
解答：(1)∵DF⊥AB，DE⊥AC．∴∠BFD＝∠CED＝90°，
∵D是BC边的中点，∴BD＝CD．
∵BF＝CE，∴Rt△BFD≌Rt△CED．
∴∠B＝∠C，∴AB＝AC．
∴△ABC是等腰三角形．
(2)当∠A＝90°时，四边形AFDE是正方形．
∵∠AFD＝∠AED＝∠A＝90°∴四边形AFDE是矩形．
∵Rt△BFD≌Rt△CED，∴FD＝ED．
∴四边形AFDE是正方形．
点评：本题是探索结论型题目，解答时往往考虑不够全面、具体，仅仅认为是矩形．
热身练习
1．平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线相等B．对角线互相平分
C．对角线平分一组对角D．对角线互相垂直
2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角线相等B．对角线互相平分C．四个角都是直角D．对角线互相垂直3．如果一个四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形( )
A．一定是平行四边形B．一定是矩形
C．一定是菱形D．形状无法确定
4．(1)如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件：_______，使得该菱形为正方形．
(2)已知正方形的一条边长为 4 cm，则这个正方形的周长为_______cm，对角线长为
_______cm．面积为_______cm2．
5．如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．试说明：(1)△ABF≌△DAE．
(2)DE＝EF＋FB．
6．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC、∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F．问：四边形CFDE是正方形吗？请说明理由．。