2013深圳一模文科数学答案

2013 年深圳市高三年级第一次调研考试数学（文科）答案及评分标准说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题 5 分，满分 50 分．二、填空题：本大题每小题 5 分；第 14、15 两小题中选做一题，如果两题都做，以第 14题的得分为最后得分)，满分 20 分．11． 63 . 12．[2，6] . 13． 5． 14 15．3三、解答题：本大题 6 小题，满分 80 分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，M （sin 2 θ , 1），N （1, - 2 c os 2 θ）（θ ∈ R ），且OM ⋅ ON = - 3.2（1）求点 M , N 的坐标； （2）若角 α , β 的顶点都为坐标原点且始边都与 x 轴的非负半轴重合，终边分别经过点M , N ，求tan (α + β )的值. 3 解：(1) OM ⋅ ON = - 2 ,∴sin 2 θ - 2 c os 2 θ = - 3,2∴sin 2 θ - 2(1 - sin 2 θ ) = - 3,2解得sin 2 θ = 1 ， cos 2 θ = 5………………….2 分6 6 所以 M ( 1 ,1) ， N (1, - 5)………………….6 分63- （2）由（1）可知 M ( 1,1) ， N (1, - 56 ∴tan α = 6 ，tan β 53……………………………….10 分∴ tan(α + β ) ==- 3tan α + tan β1 - tan α ⋅ tan β6 - 5=3 1 - 6 ⨯ ( 5)3= 13 33……………………………….12 分【说明】 本小题主要考查了同角三角函数的关系、三角函数的定义、两角和正切公式， 以及向量的有关知识.考查了运算能力．17．（本小题满分 12 分） 一次考试中，五名学生的数学、物理成绩如下表所示：（1）要从 5 名学生中选 2 人参加一项活动，求选中的学生中至少有一人的物理成绩高于90分的概率；（2）请在所给的直角坐标系中画出它们的散点图，并求这些数据的线性回归方程 yˆ = bx + a ．解：（1）从 5 名学生中任取2 名学生的所有情况为: ( A 4 , A 5 ) 、 ( A 4 , A 1 ) 、 ( A 4 , A 2 ) 、( A 4 , A 3 ) 、( A 5 , A 1 ) 、( A 5 , A 2 ) 、( A 5 , A 3 ) 、( A 1 , A 2 ) 、( A 1 , A 3 ) 、( A 2 , A 3 ) 共种情10 况.………3分其中至少有一人物理成绩高于 90 分的情况有： ( A 4 , A 5 ) 、 ( A 4 , A 1 ) 、 ( A 4 , A 2 ) 、( A 4 , A 3 ) 、 ( A 5 , A 1 ) 、 ( A 5 , A 2 ) 、 ( A 5 , A 3 ) 共 7 种情况，故上述抽取的5 人中选 2 人，选中的学生的物理成绩至少有一人的成绩高于90 分的概7率 P = .………………………………………… 5 分10（2）散点图如右所示. …………………………………………… 6 分可求得：x =89 + 91+ 93 + 95 + 97= 93 ，5y = 87 + 89 + 89 + 92 + 93 = 90 ， ……………………………………………8 分55∑ ( xi- x )( y i - y ) = 30i =15∑i =1( x i - x )2= (-4)2 + (-2)2 + 02 + 22 + 42 =40，b =30=0.75， 40a = y -b x =20.25 ，……………………………………………11 分 故 y 关于x 的线性回归方程是： yˆ = 0.75x + 20.25 . ……………………………………………12 分【说明】 本题主要考查了古典概型和线性回归方程等知识，考查了学生的数据处理 能力和应用意识． 18．（本小题满分 14 分）如图甲， ⊙O 的直径 AB = 2 ，圆上两点 C 、D 在直径 AB 的两侧，使 ∠CAB = π，4 ∠DAB = π．沿直径 AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， F 为 BC 的中3点， E 为 AO 的中点．根据图乙解答下列各题：（1）求三棱锥C BOD 的体积；AA（2）求证： CB ⊥ DE ；（3）在 B D 上是否存在一点G ，使得 FG // 平面 ACD ？若存在，试确定点 G 的位置；若不存在，请说明理由．CF··BOEO·BD(第 18 题图甲)DG(第 18 题图乙)解:（1） C 为圆周上一点，且 AB 为直径，∴∠C = 90︒π∠CAB = 4, ∴ AC = BC ,∵ O 为 AB 中点，∴CO ⊥ AB ，AB = 2,∴CO = 1 . ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ， ∴ CO ⊥ 平面 ABD ，∴CO ⊥ 平面 BOD . ∴ CO 就是点 C 到平面 BOD 的距离，在 Rt ∆ABD 中， S = 1 S= 1 ⨯ 1 ⨯1= ∆BOD 2 ∆ABD2 2 4∴V = 1 S ⋅ CO = 1 ⨯ 1 =. ……………………………………… 4 分 C - BOD 3 ∆BOD3 4 12（2）在 ∆AOD 中， ∠OAD = 60︒, OA = OD ,∴∆AOD 为正三角形，又 E 为OA 的中点，∴DE ⊥ AO ， ∵两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB ， ∴DE ⊥ 平面 ABC . ∴ CB ⊥ DE .………………………………………9 分（3）存在，G 为B D 的中点.证明如下： 连接OG , OF , FG ，n n ∴ OG ⊥ BD ， ∵ AB 为⊙O 的直径， ∴ AD ⊥ BD ∴ OG // AD ，OG ⊄ 平面 ACD ， AD ⊂ 平面 ACD ， ∴ OG // 平面 ACD .在 ∆ABC 中，O , F 分别为AB , BC 的中点，∴OF // AC ， OF ⊄ 平面 ACD ，∴OF // 平面 ACD ，OG OF = O , ∴平面OFG // 平面 ACD ， 又 FG ⊂ 平面OFG ，∴ F G // 平面 ACD .………………………………………14 分【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查空间想象能力、运算能力和逻 辑推理能力． 19．（本题满分 14 分）设{a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 为数列{a n } 的前 n 项和．已知 S 3 = 7 ，且3a 2 是 a 1 + 3 和 a 3 + 4 的等差中项． （1）求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = a n ，数列{b } 的前 n 项和为T ，求证：T < 1 ．(a n + 1)(a n +1 + 1) n n 2⎧a 1 + a 2 + a 3 = 7， ⎪ 解：（1）由已知，得 ⎨ (a+ 3) + (a + 4)……………………………………… 3 分 1 3⎩⎪2= 3a 2 .解得 a 2 = 2 ．设数列{a n } 的公比为 q ，则a 1q = 2 ，∴ a = 2 ，a= a q 2= 2q ． 1 q 3 12由S 3 = 7 ，可知 q+ 2 + 2q = 7 ，⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= - + - + - + + - PQ HP ，直线 ==- n ∴ 2q 2- 5q + 2 = 0 ，1解得 q 1 = 2，q 2 = ．2 由题意，得 q > 1，∴q = 2 ．…………………………………………………5 分∴ a 1 = 1 ．故数列{a n } 的通项为 a n = 2 n -1 ． …………………………………………………7 分a n(2)∵b n =n -12n -1n1n -11， (11)分(a n + 1)(a n +1 + 1)(2 + 1)(2 + 1)2 + 1 2 + 1∴ S n ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 + 1 21 + 1 ⎪ 21 + 1 22 + 1 ⎪ 22 + 1 23+ 1 ⎪ 2n -1 + 1 2n + 1 ⎪=1 -1= 1 - 1 < 1.……………………………………………14 分1 + 1 2n+12 2n+ 12【说明】考查了等差数列、等比数列的概念及其性质，考查了数列求和的“裂项相消法”； 考查了学生的运算能力和思维能力． 20．（本题满分 14 分）已知椭圆 C 的中心为原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为（1, 上．在该椭圆（1）求椭圆 C 的方程；（2）如图，椭圆 C 的长轴为 AB ，设 P 是椭圆上异于 A 、 B 的任意一点， PH ⊥ x 轴， H为垂足，点 Q 满足 =AQ 与过点 B 且垂直于 x 轴的直线交于点 M ，BM = 4BN ．求证： ∠OQN 为锐角．（第 20 题图）2x 2 y 2 c 20．解：（1）设椭圆 C 的方程为 + a 2 b 2 = 1, (a > b > 0) ，由题意可得 e = =,a 2又 a 2= b 2+ c 2，∴ 4b 2= a 2.………………………………………… 2 分3∵椭圆 C 经过 ，代入椭圆方程有1 + 4=1 ， 24b 2 b 2解得 b 2 = 1.…………………………………………5 分∴ a 2 = 4 ，故椭圆 C 的方程为 x + y 2= 1.…………………………………………6 分4（2）设 P ( x 0 , y 0 ) (-2 < x 0 < 2) ，…………………………………………7 分∵ A (-2, 0) ，∵ PQ = HP ，∴ Q ( x 0 ,2 y 0 ) ，∴直线 AQ 的方程为 y =2 y 0x 0 + 2( x + 2) ．…………………………………………9 分⎛ 令 x = 2 ，得 M 2,8 y 0 ⎫ ．⎪ ⎝ x 0 + 2 ⎭∵ B (2, 0) ， BM = 4BN ，⎛y ⎫ ∴ N 2,0 ．⎪⎝ x 0 + 2 ⎭⎛ -2 y0 (1 +x) ⎫∴QO =(-x0 , -2 y0 )，QN = 2 -x0 ,⎝⎪．x+ 2 ⎭QO QN 2 0 2 ∴ ⋅ = - x (2 - x ) + (-2 y ) ⋅ -2 y 0 (1 + x 0 ) = x ( x - 2) + 4 y 0 (1 + x 0 ) 0 0 0 x + 20 0 x 0 + 2x 2 ∵ 0 4+ y 0= 1 ，∴ 22 4 y= 4 - x∴ QO ⋅ QN = 2 - x 0…………………………………………12 分∵ -2 < x 0 < 2 ，∴ QO ⋅ Q N = 2 - x 0 > 0 ．又 O 、Q 、 N 不在同一条直线，∴ ∠OQN 为锐角. …………………………………………………14 分【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、向量等基础知识，考查学生运算能力、推 理论证以及分析问题、解决问题的能力． 21．（本小题满分 14 分）已知函数 （f x ）= a x + x 2- x ln a - b （a , b ∈ R , a > 1）， e 是自然对数的底数． （1）试判断函数 （f x ）在区间（0, + ∞）上的单调性； （2）当 a = e ， b = 4 时，求整数 k 的值，使得函数 （f x ）在区间（k , k + 1）上存在零点； （3）若存在 x 1 , x 2 ∈[-1, 1]，使得| （f x 1）- （f x 2）|≥ e - 1 ，试求 a 的取值范围．解：（1） f '( x ) = a x ln a + 2x - ln a = 2x + (a x-1) ln a…………………………1 分由于 a > 1 ，故当x ∈ (0, +∞) 时， ln a > 0, a x -1 > 0 ，所以 f '(x ) > 0 ，…………2 分 故函数 f (x ) 在 (0, +∞) 上单调递增 . …………………………………………3 分 （2） f ( x ) = e x + x 2 - x - 4 ，∴ f ' ( x ) = e x + 2x -1 ，∴ f '(0) = 0 ，……………………………………4 分当 x > 0 时，e x > 1 ，∴f '(x ) > 0 ，故 f (x ) 是 (0, +∞) 上的增函数；同理， f (x ) 是 (-∞, 0) 上的减函数.…………………………………5 分f (0) = -3 < 0, f (1) = e - 4 < 0, f (2) = e 2 - 2 > 0 ，当 x > 2 ， f ( x ) > 0 ，故当 x > 0 时，函数 f (x ) 的零点在 (1, 2) 内，∴k = 1满足条件；f (0) = -3 < 0, f (-1) = 1 - 2 < 0, f (-2) = 1+ 2 > 0 ，当 x < -2 ， f ( x ) > 0 ，e e 2故当 x < 0 时，函数 f (x ) 的零点在 (-2, -1) 内，∴k = -2 满足条件.综上所述 k = 1 或 -2 .………………………………………7 分（3） f ( x ) = a x + x 2 - x ln a - b ，因为存在 x 1 , x 2 ∈[-1,1] ，使得 | f ( x 1 ) - f ( x 2 ) |≥ e -1 ，所以当 x ∈[- 1 , 1时] ， | f ( x )m a x - f ( x )m i n =| f (x )m -a x f (x )m ≥i n -e 1…………………………8 分f '( x ) = a x ln a + 2x - ln a = 2x + (a x -1) ln a ，①当 x > 0 时，由 a > 1 ，可知 a x -1 > 0 ， ln a > 0 ，∴ f '( x ) > 0 ； ②当 x < 0 时，由 a > 1 ，可知 a x -1 < 0 ， ln a > 0 ，∴ f '( x ) < 0 ； ③当 x = 0 时， f '( x ) = 0 .∴ f (x ) 在[-1, 0] 上递减，在[0,1] 上递增，…………………………………11 分∴当 x ∈[-1,1] 时， f (x )m in = f (0) = 1- b , f (x )m ax = max { f (-1), f (1)} ，1 1而 f (1) - f (-1) = (a +1 - ln a - b ) - (1 +1 + ln a - b ) = a -- 2 ln a ， a a1 2 1 设 g (t ) = t - - 2 ln t (t > 0) ，因为 g '(t ) = 1 + - = ( -1)2≥ 0 （当 t = 1 时取等t 号），1t 2 t t∴ g (t ) = t - - 2 ln t 在t ∈ (0, +∞) 上单调递增，而 g (1) = 0 ，t∴当t > 1时， g (t ) > 0 ，∴当 a > 1 时， a - 1 - 2 ln a > 0 ，a∴ f (1) > f (-1) ，∴f (1) -f (0) ≥e -1 ，∴a - ln a ≥e -1，即a - ln a ≥e - ln e ，设h(a) =a - ln a(a >1) ，则h'(a) =1 -1=a -1> 0 .a a∴函数h(a) =a -ln a(a >1) 在(1, +∞) 上为增函数，∴a ≥e .即a 的取值范围是[e, +∞)……………………………………14 分【说明】本小题主要考查函数、导数、不等式证明等知识,通过运用导数知识解决函数、不等式问题,考查考生综合运用数学知识解决问题的能力，同时也考查函数与方程思想、化归与转化思想.。