快速排序算法的平均计算量分析
实验报告算法分析
实验报告算法分析实验报告：算法分析引言在计算机科学领域中，算法是解决问题的一种方法或步骤的描述。
通过对算法的分析，我们可以评估其效率和性能，从而选择最优的算法来解决特定的问题。
本实验报告旨在介绍算法分析的基本概念和方法，并通过实例来说明其应用。
一、算法分析的背景算法分析是计算机科学中的重要研究领域，它关注如何评估算法的效率和性能。
在实际应用中，我们经常面临着需要在有限的时间内解决大规模问题的挑战。
因此，选择一个高效的算法是至关重要的。
算法分析的目标是通过定量分析算法的时间复杂度和空间复杂度，为选择最佳算法提供依据。
二、算法分析的方法1. 时间复杂度分析时间复杂度是衡量算法执行时间的一种指标。
通常使用大O表示法来表示时间复杂度。
通过计算算法执行所需的基本操作次数，可以得到算法的时间复杂度。
常见的时间复杂度有O(1)、O(log n)、O(n)、O(n log n)和O(n^2)等。
时间复杂度越低，算法执行所需的时间越短。
2. 空间复杂度分析空间复杂度是衡量算法内存使用的一种指标。
通过计算算法执行所需的额外空间大小，可以得到算法的空间复杂度。
常见的空间复杂度有O(1)、O(n)和O(n^2)等。
空间复杂度越低，算法所需的内存空间越小。
三、算法分析的应用算法分析在计算机科学的各个领域都有广泛的应用。
以下是几个常见的应用示例：1. 排序算法排序算法是计算机科学中的经典问题之一。
通过对不同排序算法的时间复杂度进行分析，可以选择最适合特定需求的排序算法。
例如，快速排序算法的平均时间复杂度为O(n log n)，在大规模数据排序中表现出色。
2. 图算法图算法是解决图结构相关问题的一种方法。
通过对图算法的时间复杂度和空间复杂度进行分析，可以选择最适合解决特定图问题的算法。
例如，广度优先搜索算法的时间复杂度为O(V+E)，其中V和E分别表示图的顶点数和边数。
3. 动态规划算法动态规划算法是解决具有重叠子问题性质的问题的一种方法。
算法实验报告结果分析
一、实验背景随着计算机科学技术的不断发展，算法作为计算机科学的核心内容之一，其重要性日益凸显。
为了验证和评估不同算法的性能，我们进行了一系列算法实验，通过对比分析实验结果，以期为后续算法研究和优化提供参考。
二、实验方法本次实验选取了三种常见的算法：快速排序、归并排序和插入排序，分别对随机生成的数据集进行排序操作。
实验数据集的大小分为10000、20000、30000、40000和50000五个级别，以验证算法在不同数据量下的性能表现。
实验过程中，我们使用Python编程语言实现三种算法，并记录每种算法的运行时间。
同时，为了确保实验结果的准确性，我们对每种算法进行了多次运行，并取平均值作为最终结果。
三、实验结果1. 快速排序快速排序是一种高效的排序算法，其平均时间复杂度为O(nlogn)。
从实验结果来看，快速排序在所有数据量级别下均表现出较好的性能。
在数据量较小的10000和20000级别，快速排序的运行时间分别为0.05秒和0.1秒；而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为0.8秒和1.2秒。
总体来看，快速排序在各个数据量级别下的运行时间均保持在较低水平。
2. 归并排序归并排序是一种稳定的排序算法，其时间复杂度也为O(nlogn)。
实验结果显示，归并排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.15秒和0.25秒，而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为1.5秒和2.5秒。
与快速排序相比，归并排序在数据量较小的情况下性能稍逊一筹，但在数据量较大时，其运行时间仍然保持在较低水平。
3. 插入排序插入排序是一种简单易实现的排序算法，但其时间复杂度为O(n^2)。
实验结果显示，插入排序在数据量较小的10000和20000级别下的运行时间分别为0.3秒和0.6秒，而在数据量较大的40000和50000级别，运行时间分别为8秒和15秒。
可以看出，随着数据量的增加，插入排序的性能明显下降。
排序算法在数据分析中的应用
排序算法在数据分析中的应用在现代社会中，数据分析已经成为业界和科学领域中不可或缺的一部分。
为了有效地分析数据，我们需要对数据进行排序。
排序是计算机科学重要的研究领域之一。
在排序算法中，常见的排序方式包括冒泡排序、选择排序、插入排序、归并排序、快速排序等等。
这些排序算法在数据分析中，发挥着非常重要的作用。
一、常见的排序算法1、冒泡排序：冒泡排序通过依次比较相邻两个元素的大小，将较大（或较小）的值向右交换（或左交换），最终得到一个有序序列。
其时间复杂度为O（n^2）。
2、选择排序：选择排序通过依次选取未排序部分的最小（或最大）值，将其与第一个未排序元素交换，最终得到一个有序序列。
其时间复杂度也为O（n^2）。
3、插入排序：插入排序通过将一个元素插入到已排序序列的相应位置，最终得到一个有序序列。
其时间复杂度为O（n^2）。
4、归并排序：归并排序是应用分治思想的一种排序方式。
它将待排序数组分成若干个小段，每一段相互独立地进行排序，最终合并得到有序数组。
其时间复杂度为O（nlogn）。
5、快速排序：快速排序也是应用分治思想的一种排序方式。
它选择一个基准元素，将待排序数组分为小于基准元素和大于基准元素的两个子序列，对子序列进行递归排序，最终得到有序数组。
其时间复杂度为O（nlogn）。
二、排序算法在数据分析中具有广泛应用，以下是其应用领域的几个例子：1、数据预处理：为了提高模型训练的效率和预测的准确性，在训练模型之前需要对数据进行预处理，其中包括排序。
采用快速排序和归并排序，可以大幅提高排序时间，并更快地得到结果。
2、数据清洗：当大量数据来源于不同的平台或者渠道时，很容易产生重复数据。
为了去重，一种简单的方法是将数据排序，然后遍历数据寻找重复值。
排序算法可以帮助我们快速地找到重复值。
3、数据分析：在数据分析中，我们需要通过比较不同数据的大小，来寻找规律和关联性。
有序或部分有序的数据集可以让我们更容易地识别这种规律和关联性。
软件测试开发人员需要掌握的一些基本数据结构算法（php编写）
软件测试开发⼈员需要掌握的⼀些基本数据结构算法（php编写）⼀：冒泡排序算法 冒泡排序（Bubble Sort）算法是⼀种典型的交换排序算法，通过两两数据交换进⾏排序。
如果有n个数，则要进⾏n-1趟⽐较，在第1趟⽐较中要进⾏n-1次两两⽐较，在第j趟⽐较中要进⾏n-j次两两⽐较。
复杂度分析：冒泡排序需要次交换。
1 <?php2/**3 *冒泡排序算法4**/56//定义⼀个数组，并赋值7$arr=array(3,5,8,4,9,6,1,7,2);89//封装⼀个⽅法BubbleSort10function BubbleSort($arr){1112$length=count($arr);//count()函数是计算数组中单元数⽬或者对象中的属性个数1314if($length<=1){15return$arr;16 }1718for($i=0;$i<$length-1;$i++){19for($j=0;$j<$length-1-$i;$j++){20if($arr[$j]>$arr[$j+1])21$t=$arr[$j];22$arr[$j]=$arr[$j+1];23$arr[$j+1]=$t;24 }25 }26 }2728return$arr;29 }3031echo '冒泡排序：';32echo implode(',',BubbleSort($arr))."<br/>"; 运⾏结果如下： 上⾯是升序排序，如果是倒序的话，将代码第20⾏>改为<。
⼆：快速排序算法 快速排序（Qucik Sort）⼜称划分交换排序，快速排序的基本思想是划分、分治，递归。
在平均状况下，排序个项⽬要（⼤O符号）次⽐较。
在最坏状况下则需要次⽐较，但这种状况并不常见。
事实上，快速排序通常明显⽐其他算法更快，因为它的内部循环（inner loop）可以在⼤部分的架构上很有效率地达成。
算法分析与设计实验报告合并排序快速排序
算法分析与设计实验报告：合并排序与快速排序一、引言算法是计算机科学中非常重要的一部分，它涉及到解决问题的方法和步骤。
合并排序和快速排序是两种经典而常用的排序算法。
本文将对这两种排序算法进行分析和设计实验，通过对比它们的性能和效率，以期得出最优算法。
二、合并排序合并排序是一种分治算法，它将原始数组不断分解为更小的数组，直到最后细分为单个元素。
然后，再将这些单个元素两两合并，形成一个有序数组。
合并排序的核心操作是合并两个有序的数组。
1. 算法步骤（1）将原始数组分解为更小的子数组，直到每个子数组只有一个元素；（2）两两合并相邻的子数组，同时进行排序，生成新的有序数组；（3）重复步骤（2），直到生成最终的有序数组。
2. 算法性能合并排序的最优时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
无论最好情况还是最坏情况，合并排序的复杂度都相同。
合并排序需要额外的存储空间来存储临时数组，所以空间复杂度为O(n)。
三、快速排序快速排序也是一种分治算法，它将原始数组根据一个主元（pivot）分成两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元。
然后，递归地对这两个子数组进行排序，最后得到有序数组。
快速排序的核心操作是划分。
1. 算法步骤（1）选择一个主元（pivot），可以是随机选择或者固定选择第一个元素；（2）将原始数组根据主元划分为两个子数组，一个子数组的元素都小于主元，另一个子数组的元素都大于主元；（3）递归地对这两个子数组进行快速排序；（4）重复步骤（2）和（3），直到每个子数组只有一个元素，即得到最终的有序数组。
2. 算法性能快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，其中n为待排序数组的长度。
最坏情况下，当每次选择的主元都是最小或最大元素时，时间复杂度为O(n^2)。
快速排序是原地排序，不需要额外的存储空间，所以空间复杂度为O(1)。
四、实验设计为了验证合并排序和快速排序的性能和效率，我们设计以下实验：1. 实验目的：比较合并排序和快速排序的时间复杂度和空间复杂度。
对快速排序的研究
CC++实现快速排序算法的思路及原理解析
CC++实现快速排序算法的思路及原理解析⽬录快速排序2. 实现原理3. 动态演⽰4. 完整代码5. 结果展⽰6. 算法分析快速排序1. 算法思想快速排序的基本思想：通过⼀趟排序将待排记录分隔成独⽴的两部分，其中⼀部分记录的关键字均⽐另⼀部分的关键字⼩，则可分别对这两部分记录继续进⾏排序，以达到整个序列有序。
2. 实现原理2.1、设置两个变量 low、high，排序开始时：low=0，high=size-1。
2.2、整个数组找基准正确位置，所有元素⽐基准值⼩的摆放在基准前⾯，所有元素⽐基准值⼤的摆在基准的后⾯默认数组的第⼀个数为基准数据，赋值给key，即key=array[low]。
因为默认数组的第⼀个数为基准，所以从后⾯开始向前搜索（high–），找到第⼀个⼩于key的array[high]，就将 array[high] 赋给 array[low]，即 array[low] = array[high]。
（循环条件是 array[high] >= key；结束时 array[high] < key）此时从前⾯开始向后搜索（low++），找到第⼀个⼤于key的array[low]，就将 array[low] 赋给 array[high]，即 array[high] = array[low]。
（循环条件是 array[low] <= key；结束时 array[low] > key）循环 2-3 步骤，直到 low=high，该位置就是基准位置。
把基准数据赋给当前位置。
2.3、第⼀趟找到的基准位置，作为下⼀趟的分界点。
2.4、递归调⽤（recursive）分界点前和分界点后的⼦数组排序，重复2.2、2.3、2.4的步骤。
2.5、最终就会得到排序好的数组。
3. 动态演⽰4. 完整代码三个函数基准插⼊函数：int getStandard(int array[],int low,int high)（返回基准位置下标）递归排序函数：void quickSort(int array[],int low,int high)主函数：int main()#include <stdio.h>#include <stdlib.h>void display(int* array, int size) {for (int i = 0; i < size; i++) {printf("%d ", array[i]);}printf("\n");}int getStandard(int array[], int i, int j) {// 基准数据int key = array[i];while (i < j) {// 因为默认基准是从左边开始，所以从右边开始⽐较// 当队尾的元素⼤于等于基准数据时,就⼀直向前挪动 j 指针while (i < j && array[j] >= key) {j--;}// 当找到⽐ array[i] ⼩的时，就把后⾯的值 array[j] 赋给它if (i < j) {array[i] = array[j];}// 当队⾸元素⼩于等于基准数据时,就⼀直向后挪动 i 指针while (i < j && array[i] <= key) {i++;}// 当找到⽐ array[j] ⼤的时，就把前⾯的值 array[i] 赋给它if (i < j) {array[j] = array[i];}}// 跳出循环时 i 和 j 相等,此时的 i 或 j 就是 key 的正确索引位置// 把基准数据赋给正确位置array[i] = key;return i;}void QuickSort(int array[], int low, int high) {// 开始默认基准为 lowif (low < high) {// 分段位置下标int standard = getStandard(array, low, high);// 递归调⽤排序// 左边排序QuickSort(array, low, standard - 1);// 右边排序QuickSort(array, standard + 1, high);}}// 合并到⼀起快速排序// void QuickSort(int array[], int low, int high) {// if (low < high) {// int i = low;// int j = high;// int key = array[i];// while (i < j) {// while (i < j && array[j] >= key) {// j--;// }// if (i < j) {// array[i] = array[j];// }// while (i < j && array[i] <= key) {// i++;// }// if (i < j) {// array[j] = array[i];// }// }// array[i] = key;// QuickSort(array, low, i - 1);// QuickSort(array, i + 1, high);// }// }int main() {int array[] = {49, 38, 65, 97, 76, 13, 27, 49, 10};int size = sizeof(array) / sizeof(int);// 打印数据printf("%d \n", size);QuickSort(array, 0, size - 1);display(array, size);// int size = 20;// int array[20] = {0}; // 数组初始化// for (int i = 0; i < 10; i++) { // 数组个数// for (int j = 0; j < size; j++) { // 数组⼤⼩// array[j] = rand() % 1000; // 随机⽣成数⼤⼩ 0~999// }// printf("原来的数组：");// display(array, size);// QuickSort(array, 0, size - 1);// printf("排序后数组：");// display(array, size);// printf("\n");// }return 0;}5. 结果展⽰（递归调⽤，不好展⽰每次排序结果）6. 算法分析时间复杂度：最好： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)最坏： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)平均： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)空间复杂度： O ( n l o g 2 n ) O(n log_{2} n) O(nlog2n)稳定性：不稳定到此这篇关于C/C++实现快速排序算法的思路及原理解析的⽂章就介绍到这了,更多相关C++实现快速排序算法内容请搜索以前的⽂章或继续浏览下⾯的相关⽂章希望⼤家以后多多⽀持！。
《算法设计与分析基础(第3版)》部分习题答案
作业一学号：______ 姓名：________P1352.a.为一个分治算法编写伪代码，该算法同时求出一个n元素数组的最大元素和最小元素的值。
解：算法：EXTREMUM(A[m..n],EXTREMUM_MAX, EXTREMUM_MIN)//递归调用EXTREMUM函数来找出数组A[m..n]的最大元素和最小元素。
//输入：数值数组A[m..n]//输出：最大值EXTREMUM_MAX和最小值EXTREMUM_MINif(m=n) //只有一个元素EXTREMUM_MAX←A[m];EXTREMUM_MIN←A[n];elseif n−m=1 //有两个元素if A[m]≤A[n]EXTREMUM_MAX←A[n]; EXTREMUM_MIN←A[m]; elseEXTREMUM_MAX←A[m]; EXTREMUM_MIN←A[n]; elseEXTREMUM(A[m..(m+n)/2],EXTREMUM_MAX_01,EXTREMUM_MIN_01);EXTREMUM(A[(m+n)/2..n],EXTREMUM_MAX_02,EXTREMUM_MIN_02);if EXTREMUM_MAX_01< EXTREMUM_MAX_02EXTREMUM_MAX = EXTREMUM_MAX_02;If EXTREMUM_MIN_02< EXTREMUM_MIN_01EXTREMUM_MIN = EXTREMUM_MIN_02;b. 假设n=2k,为该算法的键值比较次数建立递推关系式并求解。
解：C(n)=C(2k)=2C(2k−1)+2=2[2C(2k−2)+2]+2=22[2C(2k−3)+2]+22+2=2k−1C(2)+2k−1+2k−2+...+2=3n2−2c.将该算法与解决同样问题的蛮力法做一个比较蛮力法时间时间复杂度为2n-2，分治算法的为3n/2-2,虽然都属于Θ(n)级别，但是分治算法速度要比蛮力算法快。
【转】三种快速排序算法以及快速排序的优化
【转】三种快速排序算法以及快速排序的优化⼀. 快速排序的基本思想快速排序使⽤分治的思想，通过⼀趟排序将待排序列分割成两部分，其中⼀部分记录的关键字均⽐另⼀部分记录的关键字⼩。
之后分别对这两部分记录继续进⾏排序，以达到整个序列有序的⽬的。
⼆. 快速排序的三个步骤1) 选择基准：在待排序列中，按照某种⽅式挑出⼀个元素，作为 “基准”（pivot）；2) 分割操作：以该基准在序列中的实际位置，把序列分成两个⼦序列。
此时，在基准左边的元素都⽐该基准⼩，在基准右边的元素都⽐基准⼤；3) 递归地对两个序列进⾏快速排序，直到序列为空或者只有⼀个元素；三. 选择基准元的⽅式对于分治算法，当每次划分时，算法若都能分成两个等长的⼦序列时，那么分治算法效率会达到最⼤。
也就是说，基准的选择是很重要的。
选择基准的⽅式决定了两个分割后两个⼦序列的长度，进⽽对整个算法的效率产⽣决定性影响。
最理想的⽅法是，选择的基准恰好能把待排序序列分成两个等长的⼦序列。
⽅法⼀：固定基准元（基本的快速排序）思想：取序列的第⼀个或最后⼀个元素作为基准元。
/// <summary>/// 1.0 固定基准元（基本的快速排序）/// </summary>public static void QsortCommon(int[] arr, int low, int high){if (low >= high) return; //递归出⼝int partition = Partition(arr, low, high); //将 >= x 的元素交换到右边区域，将 <= x 的元素交换到左边区域QsortCommon(arr, low, partition - 1);QsortCommon(arr, partition + 1, high);}/// <summary>/// 固定基准元，默认数组第⼀个数为基准元，左右分组，返回基准元的下标/// </summary>public static int Partition(int[] arr, int low, int high){int first = low;int last = high;int key = arr[low]; //取第⼀个元素作为基准元while (first < last){while (first < last && arr[last] >= key)last--;arr[first] = arr[last];while (first < last && arr[first] <= key)first++;arr[last] = arr[first];}arr[first] = key; //基准元居中return first;}注意：基本的快速排序选取第⼀个或最后⼀个元素作为基准。
快速排序性能分析
快速排序性能分析---2016/03/10更新-start--【快速排序性能分析】今天阅读上边的这篇资料，让我对快速排序的性能分析的关键点有了更深⼊的理解。
前⾔我们都知道快速排序的时间复杂度⼀般为O(N*logN)，最坏为O(N*N)，那么这两个值是怎么算出来的呢？每个值的概念：（1）快速排序的性能取决于递归树的深度。
（2）在最优情况下，递归树深度log2n。
（数量级也属于logn）partition每次均匀划分，如果排序n个关键字，递归树深度为.log2n. + 1(.x.表⽰对x向下取整)，即仅需递归log2n次。
（3）在最坏情况下，递归树深度n。
待排序的序列为正序或者逆序（即有序），每次划分得到的序列只会减少⼀个记录，另⼀个为空序列。
此时的递归树，是⼀棵斜树。
（4）在平均情况下，递归树深度数量级也为logn。
平均情况，也就是说基准元素位于第k（1<=k<=n）个位置。
（5）⽆论划分好坏，每次划分之后都需要进⾏n次⽐较；结论现在应该可以理解快排时间复杂度的含义了：快速排序的时间复杂度 = 递归树的深度*每层⽐较的次数所以，当最优情况以及⼀般情况下，时间复杂度为O(N*logN)，最坏情况下，时间复杂度为O(N*N)。
---2016/03/10更新-end--快速排序的性能分析 快速排序的运⾏时间与划分是否对称有关，⽽后者⼜与选择了那⼀个元素来进⾏划分有关。
如果划分是对城的，那么快排从渐近意义上来讲，就与合并算法⼀样快；如果划分是部队称的，那么快排渐近上就和插⼊算法⼀样慢。
最坏情况划分 快速排序的最坏情况划分⾏为发⽣在划分过程产⽣的两个区域分别包含n-1个元素和1个0元素的时候。
假设算法中的每⼀次递归调⽤中都出现了这种不对称的划分。
划分的时间代价为Θ(n)。
因为对⼀个⼤⼩为0的数组进⾏递归调⽤后，返回T(0) = Θ(1)，故算法的运⾏时间可以递归的表⽰为：T(n) = T(n-1)+Ｔ(0)+Θ(n)=T(n-1)+Θ(n) 从直观上来看，如果将每⼀层递归的代价加起来，就可以得到⼀个算术级数，其和值的量级为Θ(n^2)。
数据结构(C语言版)实验报告 (内部排序算法比较)
《数据结构与算法》实验报告一、需求分析问题描述：在教科书中，各种内部排序算法的时间复杂度分析结果只给出了算法执行时间的阶，或大概执行时间。
试通过随机数据比较各算法的关键字比较次数和关键字移动次数，以取得直观感受。
基本要求：（l）对以下6种常用的内部排序算法进行比较：起泡排序、直接插入排序、简单选择排序、快速排序、希尔排序、堆排序。
（2）待排序表的表长不小于100000；其中的数据要用伪随机数程序产生；至少要用5组不同的输入数据作比较；比较的指标为有关键字参加的比较次数和关键字的移动次数（关键字交换计为3次移动）。
（3）最后要对结果作简单分析，包括对各组数据得出结果波动大小的解释。
数据测试：二．概要设计1.程序所需的抽象数据类型的定义：typedef int BOOL; //说明BOOL是int的别名typedef struct StudentData { int num; //存放关键字}Data; typedef struct LinkList { int Length; //数组长度Data Record[MAXSIZE]; //用数组存放所有的随机数} LinkList int RandArray[MAXSIZE]; //定义长度为MAXSIZE的随机数组void RandomNum() //随机生成函数void InitLinkList(LinkList* L) //初始化链表BOOL LT(int i, int j,int* CmpNum) //比较i和j 的大小void Display(LinkList* L) //显示输出函数void ShellSort(LinkList* L, int dlta[], int t,int* CmpNum, int* ChgNum) //希尔排序void QuickSort (LinkList* L, int* CmpNum, int* ChgNum) //快速排序void HeapSort (LinkList* L, int* CmpNum, int* ChgNum) //堆排序void BubbleSort(LinkList* L, int* CmpNum, int* ChgNum) //冒泡排序void SelSort(LinkList* L, int* CmpNum, int* ChgNum) //选择排序void Compare(LinkList* L,int* CmpNum, int* ChgNum) //比较所有排序2 .各程序模块之间的层次（调用）关系：二、详细设计typedef int BOOL; //定义标识符关键字BOOL别名为int typedef struct StudentData //记录数据类型{int num; //定义关键字类型}Data; //排序的记录数据类型定义typedef struct LinkList //记录线性表{int Length; //定义表长Data Record[MAXSIZE]; //表长记录最大值}LinkList; //排序的记录线性表类型定义int RandArray[MAXSIZE]; //定义随机数组类型及最大值/******************随机生成函数********************/void RandomNum(){int i; srand((int)time(NULL)); //用伪随机数程序产生伪随机数for(i=0; i小于MAXSIZE; i++) RandArray[i]<=(int)rand(); 返回;}/*****************初始化链表**********************/void InitLinkList(LinkList* L) //初始化链表{int i;memset(L,0,sizeof(LinkList));RandomNum();for(i=0; i小于<MAXSIZE; i++)L->Record[i].num<=RandArray[i]; L->Length<=i;}BOOL LT(int i, int j,int* CmpNum){(*CmpNum)++; 若i<j) 则返回TRUE; 否则返回FALSE;}void Display(LinkList* L){FILE* f; //定义一个文件指针f int i;若打开文件的指令不为空则//通过文件指针f打开文件为条件判断{ //是否应该打开文件输出“can't open file”;exit(0); }for (i=0; i小于L->Length; i++)fprintf(f,"%d\n",L->Record[i].num);通过文件指针f关闭文件;三、调试分析1.调试过程中遇到的问题及经验体会:在本次程序的编写和调试过程中，我曾多次修改代码，并根据调试显示的界面一次次调整代码。
对于一个规模为n的问题
分治法简介对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
分治法的基本思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解，并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法的适用条件分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；2.该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4.该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑贪心法或动态规划法。
快速排序算法实验报告
快速排序算法实验报告《快速排序算法实验报告》摘要：本实验通过对快速排序算法的理论分析和实际测试，验证了快速排序算法在处理大规模数据时的高效性和稳定性。
实验结果表明，快速排序算法在平均情况下具有较高的时间复杂度和空间复杂度，能够在短时间内对大规模数据进行快速排序，适用于各种实际应用场景。
1. 算法简介快速排序算法是一种基于分治思想的排序算法，通过不断地将数据分割成较小的子集，然后分别对子集进行排序，最终将所有子集合并成有序序列。
其基本思想是选择一个基准元素，将小于基准的元素放在基准的左边，大于基准的元素放在基准的右边，然后递归地对左右两部分进行排序，直到整个序列有序。
2. 实验设计为了验证快速排序算法的效率和稳定性，我们设计了以下实验步骤：（1）编写快速排序算法的实现代码；（2）使用不同规模的随机数据进行排序，并记录排序所需的时间；（3）对比快速排序算法与其他排序算法的效率和稳定性。
3. 实验结果我们使用C++语言编写了快速排序算法的实现代码，并对不同规模的随机数据进行了排序实验。
实验结果显示，快速排序算法在处理大规模数据时表现出了较高的效率和稳定性，排序时间与数据规模呈线性关系，且远远快于其他排序算法。
此外，快速排序算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，但在平均情况下的时间复杂度为O(nlogn)，具有较好的性能表现。
4. 结论通过实验验证，我们得出了以下结论：（1）快速排序算法在处理大规模数据时具有较高的效率和稳定性；（2）快速排序算法在平均情况下具有较高的时间复杂度和空间复杂度，适用于各种实际应用场景；（3）快速排序算法在最坏情况下的时间复杂度为O(n^2)，需要注意避免最坏情况的发生。
综上所述，快速排序算法是一种高效且稳定的排序算法，能够在短时间内对大规模数据进行快速排序，适用于各种实际应用场景。
在实际开发中，我们应该充分利用快速排序算法的优势，并注意避免最坏情况的发生，以提高算法的效率和稳定性。
快速排序三平均划分
快速排序三平均划分快速排序也是⼀种采⽤分治法解决问题的⼀个典型应⽤。
在很多编程语⾔中，对数组，列表进⾏的⾮稳定排序在内部实现中都使⽤的是快速排序。
⽽且快速排序在⾯试中经常会遇到。
本⽂⾸先介绍快速排序的思路，的实现、分析、优化及改进，最后分析了.NET 中列表排序的内部实现。
⼀原理快速排序的基本思想如下：1. 对数组进⾏随机化。
2. 从数列中取出⼀个数作为中轴数(pivot)。
3. 将⽐这个数⼤的数放到它的右边，⼩于或等于它的数放到它的左边。
4. 再对左右区间重复第三步，直到各区间只有⼀个数。
如上图所⽰快速排序的⼀个重要步骤是对序列进⾏以中轴数进⾏划分，左边都⼩于这个中轴数，右边都⼤于该中轴数，然后对左右的⼦序列继续这⼀步骤直到⼦序列长度为1。
下⾯来看某⼀次划分的步骤，如下图：上图中的划分操作可以分为以下5个步骤：1. 获取中轴元素2. i从左⾄右扫描，如果⼩于基准元素，则i⾃增，否则记下a[i]3. j从右⾄左扫描，如果⼤于基准元素，则i⾃减，否则记下a[j]4. 交换a[i]和a[j]5. 重复这⼀步骤直⾄i和j交错，然后和基准元素⽐较，然后交换。
划分过程的代码实现如下：/// <summary>/// 快速排序中的划分过程/// </summary>/// <param name="array">待划分的数组</param>/// <param name="lo">最左侧位置</param>/// <param name="hi">最右侧位置</param>/// <returns>中间元素位置</returns>private static int Partition(T[] array, int lo, int hi){int i = lo, j = hi + 1;while (true){//从左⾄右扫描，如果碰到⽐基准元素array[lo]⼩，则该元素已经位于正确的分区，i⾃增，继续⽐较i+1；//否则，退出循环，准备交换while (array[++i].CompareTo(array[lo]) < 0){//如果扫描到了最右端，退出循环if (i == hi) break;}//从右⾃左扫描，如果碰到⽐基准元素array[lo]⼤，则该元素已经位于正确的分区，j⾃减，继续⽐较j-1//否则，退出循环，准备交换while (array[--j].CompareTo(array[lo]) > 0){//如果扫描到了最左端，退出循环if (j == lo) break;}//如果相遇，退出循环if (i >= j) break;//交换左a[i],a[j]右两个元素，交换完后他们都位于正确的分区Swap(array, i, j);}//经过相遇后，最后⼀次a[i]和a[j]的交换//a[j]⽐a[lo]⼩，a[i]⽐a[lo]⼤，所以将基准元素与a[j]交换Swap(array, lo, j);//返回扫描相遇的位置点return j;}划分前后，元素在序列中的分布如下图：⼆实现与合并算法基于合并这⼀过程⼀样，快速排序基于分割(Partition)这⼀过程。
数组排序算法与时间复杂度分析
数组排序算法与时间复杂度分析在计算机科学中，数组排序是一项基本的操作。
排序算法的目的是将一个无序的数组按照一定的规则重新排列，使得数组中的元素按照升序或降序排列。
在实际应用中，排序算法被广泛应用于数据处理、搜索和数据库等领域。
本文将介绍几种常见的数组排序算法，并分析它们的时间复杂度。
一、冒泡排序（Bubble Sort）冒泡排序是一种简单直观的排序算法，它重复地遍历数组，每次比较相邻的两个元素，如果顺序错误就交换它们。
通过多次遍历，将最大（或最小）的元素逐渐“冒泡”到数组的末尾。
冒泡排序的时间复杂度为O(n^2)，其中n是数组的长度。
这是因为冒泡排序需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较n-1次相邻元素。
二、选择排序（Selection Sort）选择排序是一种简单直观的排序算法，它重复地从未排序的部分选择最小（或最大）的元素，将其放到已排序部分的末尾。
选择排序的时间复杂度也为O(n^2)，因为它需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较n-1次未排序元素。
三、插入排序（Insertion Sort）插入排序是一种简单直观的排序算法，它将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的正确位置。
插入排序的时间复杂度为O(n^2)，因为它需要遍历n次数组，并且每次遍历需要比较最多n-1次已排序元素。
四、快速排序（Quick Sort）快速排序是一种高效的排序算法，它采用分治法的思想。
首先选择一个基准元素，然后将数组分成两部分，使得左边的元素都小于基准元素，右边的元素都大于基准元素。
然后递归地对左右两部分进行快速排序。
快速排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，最坏情况下为O(n^2)。
这是因为在最坏情况下，每次选择的基准元素都是数组中的最大或最小元素，导致分割不均匀。
五、归并排序（Merge Sort）归并排序是一种稳定的排序算法，它采用分治法的思想。
将数组分成两部分，分别对左右两部分进行归并排序，然后将排序好的两个部分合并成一个有序的数组。
数组各种排序算法和复杂度分析
数组各种排序算法和复杂度分析Java排序算法1）分类：插⼊排序（直接插⼊排序、希尔排序）交换排序（冒泡排序、快速排序）选择排序（直接选择排序、堆排序）归并排序分配排序（箱排序、基数排序）所需辅助空间最多：归并排序所需辅助空间最少：堆排序平均速度最快：快速排序不稳定：快速排序，希尔排序，堆排序。
2）选择排序算法的时候要考虑数据的规模、数据的类型、数据已有的顺序。
⼀般来说，当数据规模较⼩时，应选择直接插⼊排序或冒泡排序。
任何排序算法在数据量⼩时基本体现不出来差距。
考虑数据的类型，⽐如如果全部是正整数，那么考虑使⽤桶排序为最优。
考虑数据已有顺序，快排是⼀种不稳定的排序（当然可以改进），对于⼤部分排好的数据，快排会浪费⼤量不必要的步骤。
数据量极⼩，⽽起已经基本排好序，冒泡是最佳选择。
我们说快排好，是指⼤量随机数据下，快排效果最理想。
⽽不是所有情况。
3）总结：——按平均的时间性能来分：时间复杂度为O(nlogn)的⽅法有：快速排序、堆排序和归并排序，其中以快速排序为最好；时间复杂度为O(n2)的有：直接插⼊排序、起泡排序和简单选择排序，其中以直接插⼊为最好，特别是对那些对关键字近似有序的记录序列尤为如此；时间复杂度为O(n)的排序⽅法只有，基数排序。
当待排记录序列按关键字顺序有序时，直接插⼊排序和起泡排序能达到O(n)的时间复杂度;⽽对于快速排序⽽⾔，这是最不好的情况，此时的时间性能蜕化为O(n2)，因此是应该尽量避免的情况。
简单选择排序、堆排序和归并排序的时间性能不随记录序列中关键字的分布⽽改变。
——按平均的空间性能来分（指的是排序过程中所需的辅助空间⼤⼩）：所有的简单排序⽅法(包括：直接插⼊、起泡和简单选择)和堆排序的空间复杂度为O(1)；快速排序为O(logn )，为栈所需的辅助空间;归并排序所需辅助空间最多，其空间复杂度为O(n );链式基数排序需附设队列⾸尾指针，则空间复杂度为O(rd )。
——排序⽅法的稳定性能：稳定的排序⽅法指的是，对于两个关键字相等的记录，它们在序列中的相对位置，在排序之前和经过排序之后，没有改变。
数据结构与算法-排序
假定待排序文件由 n 条记录组成，记录依次存储在 r[1]～r[n]中。使用简单冒泡排
序算法对待排序文件中的记录进行排序，具体处理流程如下。
（1）遍历待排序文件 r[1]～r[n]，每访问一条记录 r[j]时，比较所访问记录排序关
键字与所访问记录后一记录排序关键字的大小，核对所访问记录 r[j]与所访问记录后一
则，此排序算法是不稳定的。例如， 给定待排序文件 A={1,2,3,1,4}和B={1,3,1,2,4}，假定某
一排序算法对文件 A 和B 的排序结果分别为{1,1,2,3,4}和{1,1,2,3,4}，由于文件 B 中存在多
项同为 1 的记录，且排序后同为 1 的记录相对位置发生了改变，因此，此算法是不稳定
排序
目
CONTENTS
录
01
排序的概述
02
插入排序算法
03
交换排序算法
04
选择排序算法
05
归并排序算法
06
分配排序算法
07
各种排序技术比较
08
本章小结
01
PART
排序的概述
排序是以某一数据项（称为排序关键字）为依据，将一组无序记录调整成一组有序
记录，形成有序表的过程。排序问题可以定义为以下形式。
件排序时，记录分组以及每趟排序结果如右
图所示。
插入排序算法
2.3希尔排序算法
第一趟排序时，增量 h=4，因此，以
h=4 为记录间隔，将待排序文件中的记录分
为 4 组：{r[1],r[5],r[9]}、{r[2],r[6]}、{r[3],r[7]}
和{r[4],r[8]}，并分别对 4 组记录进行直接插入
快速排序算法实现快速排序的原理和时间复杂度分析
快速排序算法实现快速排序的原理和时间复杂度分析快速排序是一种常用的排序算法，其基本思想是通过分治法将一个大问题分解为多个小问题进行排序，最终得到有序的结果。
本文将介绍快速排序算法的实现原理，并对其时间复杂度进行分析。
一、快速排序的原理快速排序的思想非常简单，可以概括为以下几个步骤：1. 选择一个基准元素（pivot），通常选择数组第一个或最后一个元素。
2. 对数组进行分区操作，将小于基准元素的数移到基准元素的左边，将大于基准元素的数移到基准元素的右边，相同大小的数可以放到任意一边。
3. 对分区后的两个子数组重复上述步骤，直到每个子数组只剩下一个元素，即完成排序。
具体实现时，可以使用递归或者迭代的方式来进行快速排序。
递归方式需要定义一个递归函数，不断对子数组进行分区和排序，直到排序完成。
迭代方式则使用栈或队列来保存每次分区的起始位置和结束位置，循环进行分区和排序的操作。
二、快速排序的时间复杂度分析快速排序的时间复杂度主要取决于分区操作的效率和递归或迭代的次数。
1. 分区操作的时间复杂度分区操作的时间复杂度为O(n)，其中n表示数组的长度。
在最理想的情况下，每次分区都能将数组均匀地分为两个部分，此时时间复杂度为O(nlogn)。
但在最坏的情况下，每次分区都只能将数组分为一个较小的部分和一个较大的部分，此时时间复杂度为O(n^2)。
平均情况下，快速排序的时间复杂度为O(nlogn)。
2. 递归或迭代的次数递归或迭代的次数取决于快速排序每次选择的基准元素和数组的初始状态。
如果基准元素的选择不合理，可能导致递归或迭代次数过多，增加了时间复杂度。
而如果基准元素的选择合理，可以使得每次分区都接近均匀划分，从而减少递归或迭代的次数，降低时间复杂度。
通常情况下，平均时间复杂度为O(nlogn)。
三、总结快速排序是一种高效的排序算法，其核心思想是通过分治法将一个大问题分解为多个小问题进行排序。
快速排序的时间复杂度主要取决于分区操作的效率和递归或迭代的次数。
算法快速排序01背包N皇后问题实验报告
算法分析与设计实验报告姓名：专业班级学号：学院：信息科学与工程实验一：快速排序实验实验目的理解递归算法的思想和递归程序的执行过程，并能熟练编写递归程序。
掌握分治算法的思想，对给定的问题能设计出分治算法予以解决。
实验预习内容编程实现讲过的例题：二分搜索、合并排序、快速排序。
对本实验中的问题，设计出算法并编程实现。
试验内容和步骤快速排序快速排序：在待排序的数组的n个元素中取一个元素(一般取第一个)，将其移动到这样的位置：在其之前的元素的值都小于它，在其之后的元素都大于它，这样是一趟快速排序；然后对数组的两个部分进行同样的操作，直到每部分只有一个记录为止；总之，每趟使表的第一个元素放在适当位置，将表两分，再对两子表进行同样的递归划分，直至划分的子表长度为1。
一、递归程序执行的过程1 实现快速排序的实现基于分治法，具体分为三个步骤。
假设待排序的序列为L[m..n]。
分解：序列L[m .. n]被划分成两个可能为空的子序列L[m .. pivot-1]和L[pivot+1 .. n]，使L[m .. pivot-1]的每个元素均小于或等于L[pivot]，同时L[pivot+1.. n]的每个元素均大于L[pivot]。
其中L[pivot]称为这一趟分割中的主元（也称为枢轴、支点）。
解决：通过递归调用快速排序，对子序列L[m .. pivot-1]和L[pivot+1 .. r]排序。
合并：由于两个子序列是就地排序的，所以对它们的合并不需要操作，整个序列L[m .. n]已排好序。
2.概述快速排序(Quick Sort)是一种有效的排序算法。
虽然算法在最坏的情况下运行时间为O(n^2)，但由于平均运行时间为O(nlogn)，并且在内存使用、程序实现复杂性上表现优秀，尤其是对快速排序算法进行随机化的可能，使得快速排序在一般情况下是最实用的排序方法之一。
快速排序被认为是当前最优秀的内部排序方法。
3.性质内部排序快速排序是一种内部排序方法。
运行算法实验报告
一、实验目的1. 理解算法的基本概念，掌握算法的表示方法。
2. 掌握常见排序算法（冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序）的原理和实现方法。
3. 分析和比较不同排序算法的性能，提高算法设计和分析能力。
二、实验环境1. 操作系统：Windows 102. 编程语言：C++3. 开发工具：Visual Studio 2019三、实验内容1. 实现冒泡排序、选择排序、插入排序、快速排序、归并排序算法。
2. 对每种排序算法进行性能测试，包括最好、平均、最坏情况下的时间复杂度。
3. 比较不同排序算法的性能，分析其优缺点。
四、实验步骤1. 实现冒泡排序算法：- 将待排序的序列中的相邻元素进行比较，如果顺序错误就交换它们的位置。
- 经过一轮比较后，最大的元素被交换到最后的位置。
- 重复以上步骤，直到整个序列有序。
2. 实现选择排序算法：- 找到未排序部分的最小（或最大）元素，将其与未排序部分的第一个元素交换。
- 在剩余未排序部分中重复以上步骤，直到整个序列有序。
3. 实现插入排序算法：- 从第二个元素开始，将其作为插入数字。
- 将插入数字之前已经排序好的数字从后到前与其进行比较并后移，直到达到数组首位置或出现一个数字不大于插入数字。
- 将插入数字插入到合适的位置。
4. 实现快速排序算法：- 选择一个基准元素。
- 将序列划分为两个子序列，一个包含小于基准元素的元素，另一个包含大于基准元素的元素。
- 递归地对两个子序列进行快速排序。
5. 实现归并排序算法：- 将序列划分为若干个长度为1的子序列。
- 将相邻的子序列进行合并，形成新的子序列。
- 重复以上步骤，直到整个序列有序。
6. 对每种排序算法进行性能测试，记录最好、平均、最坏情况下的时间复杂度。
7. 比较不同排序算法的性能，分析其优缺点。
五、实验结果与分析1. 冒泡排序算法的时间复杂度：最好情况为O(n)，平均和最坏情况均为O(n^2)。
2. 选择排序算法的时间复杂度：最好、平均和最坏情况均为O(n^2)。
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用冒泡法对 100 亿个网页的得分进行排名，每秒万亿次功能的计算机至少需要 运行 1 年多的时间! ********************************************************** 快速排序（quicksort）算法，英国学者霍尔 (C.A.R.Hoare)1962 年提出 问题：将 n 个互不相同的数按升序排列。
2
算法思想描述： 首先在 n 个数中，任选一个数，作为基准元素。将剩下的 n 1 个数与基准元素进 行比较，大于基准元素的数放在右边，小于基准元素的数放在左边； 对左右两个子集再各选一个基准元素，比基准元素小的放左边，比其大的放右 边，重复同样的操作； 继续在基准元素划分出的各部分选定新的基准元素，重复同样的操作； 直至所有元素排定位置 ********************************************************** 快速排序算法实现过程示例 3 7 8 4 5 2 1 9 6 3 7 8 4 5 2 1 9 6 3 2 1 4 7 8 5 9 6 1 3 2 4 7 5 6 8 9 → → → 3 2 1 4 7 8 5 9 6 1 3 2 4 7 5 6 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9
n 1 n 2
21
n n 1 2
计算机速度： 1012 次基本运算/秒
Google 搜索引擎的运行需要对至少 10
1020
10
10 个数字进行排序：
10
2
2
1020 2
2 10 秒， 12 10 2
8
1 年 365 24 3600 31536000 3.15 107 秒
第3步 …….
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
第m步
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3
1 2 22
2m1 2m 1 ，
2m 1 n m log 2 n
, xn ，按照从小到大的顺序将其排列。
( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 )， 4 < 5，不作交换
1
( 1 2 4 5 8 ) ********************************************************** 第 3 轮比较 ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) 第 4 轮比较 ( 1 2 4 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ) ( 1 2 4 5 8 ) ********************************************************** 冒泡法需要的比较运算的次数
********************************************************** 第1步 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
第2步
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
k 2
n n k 1
i 1
n n 2 2 2 n k 1 n 1 2 n 1 k k 2 k k2 k
1 1 2n 2n 2 n 1 2 k 1 k k 2 k Nhomakorabean
n
k ln nO1 k 1 ~
总比较次数：最理想的情况，不超过 n log 2 n ；而最坏情况，
n n 1 2
********************************************************** 平均计算量分析结果 假设随机化快速排序算法对 n 个不同的数， x 1 , x 2 , , x n ，进行排序，每一次都 是从所有可能的元素中独立且均匀地选取基准元素，那么所做比较次数的期望 为 2n ln n O n 。 证明：设 y1 , y 2 ,, y n 是 x 1 , x 2 , , x n 按照升序排列后的结果， y1 y2 对 1 i j n ，定义随机变量 X ij 。 如果在算法过程中 y i 与 y j 进行了比较 X ij 1 ，否则 X ij 0 。 那么总的比较次数 X
快速排序算法的平均计算量分析
排序问题 给定 n 个数字， x1 , x2 , 冒泡法： 冒泡法的基本想法是从数列的开始，对元素进行两两比较，如果前面的数字大 于后面的数字，就交换它们的顺序，否则的话，保持原来的顺序不变。这样将 全体数字扫描一遍，最右端就得到了整个数列的最大值元素，再对前 n-1 个元 素做同样的操作，得到第二大的元素。依次进行 n-1 次扫描，就得到了原数列 按升序排列的结果。 ********************************************************** 冒泡法实现过程示例 第 1 轮比较： ( 5 1 4 2 8 ) → ( 1 5 4 2 8 ), ( 1 5 4 2 8 ) → ( 1 4 5 2 8 ), ( 1 4 5 2 8 ) →( 1 4 2 5 8 ), ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 4 2 5 8 ), ( 1 4 2 5 8 ) ********************************************************** 第 2 轮比较 ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 4 2 5 8 )， 1 < 4，不作交换 ( 1 4 2 5 8 ) → ( 1 2 4 5 8 ), 4 > 2，交换位置 5 > 1，交换位置； 5 > 4，交换位置 5 > 2，交换位置 5 < 8，不作交换
n 1
yn
i 1 j i 1
X
n
ij
，
**********************************************************
n 1 n n 1 n EX E X ij E X ij 。 i 1 j i 1 i 1 j i 1
n
1
2n ln n O n 。
5
考虑 y i , y i 1 , , y j ，当且仅当 y i 或 y j 是集合 y i , y i 1 , , y j 中第一个被选作基 准的元素时， y i 与 y j 进行比较。
所以 P X ij 1
2 2 ， E X ij 。 ji 1 j i 1
EX
n1
i 1 j i 1
EX
ij
n
n1
n
i 1 j i 1
2 j i 1
4
j i 1
n
2 j i 1
n i 1 k2
2 k
k
i 1 k 2
n 1 n i 1
2
交换 ������ 和 ������ 求和顺序