圆形磁场中的几个典型问题

圆形磁场中的几个典型问题

许多同学对带电粒子在圆形有界磁场中的运动问题常常无从下手，一做就错．常见问题分别是“最值问题、汇聚发散问题、边界交点问题、周期性问题”．对于这些问题，针对具体类型，抓住关键要素，问题就能迎刃而解，下面举例说明．

一、最值问题的解题关键——抓弦长

1．求最长时间的问题

例1 真空中半径为R=3×10-2m的圆形区域内，有一磁感应强

度为B=0.2T的匀强磁场，方向如图1所示一带正电的粒子以初速

度v0=106m / s 从磁场边界上直径ab 一端a 点处射入磁场，已知

该粒子比荷为q/m=108C / kg ，不计粒子重力，若要使粒子飞离磁

场时偏转角最大，其入射时粒子初速度的方向应如何？（以v0与

Oa 的夹角 表示）最长运动时间多长？

小结：本题涉及的是一个动态问题，即粒子虽然在磁场中均做同一半径的匀速圆周运动，但因其初速度方向变化，使粒子运动轨迹的长短和位置均发生变化，并且弦长的变化一定对应速度偏转角的变化，同时也一定对应粒子做圆周运动轨迹对应圆心角的变化，因而当弦长为圆形磁场直径时，偏转角最大．

2 ．求最小面积的问题

例2 一带电质点的质量为m，电量为q，以平行于Ox 轴

的速度v从y轴上的a点射人如图3 所示第一象限的区域．为

了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度v 射出，可

在适当的地方加一个垂直于xoy平面、磁感应强度为B的匀强

磁场．若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求此圆形磁场区

域的最小面积，重力忽略不计．

小结：这是一个需要逆向思维的问题，而且同时考查了空间想象能力，即已知粒子运动轨迹求所加圆形磁场的位置．解决此类问题时，要抓住粒子运动的特点即该粒子只在所加磁场中做匀速圆周运动，所以粒子运动的 1 / 4 圆弧必须包含在磁场区域中且圆运动起点、终点必须是磁场边界上的点，然后再考虑磁场的最小半径．

上述两类“最值”问题，解题的关键是要找出带电粒子做圆周运动所对应的弦长．

二、汇聚发散问题的解题关键——抓半径

当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；

规律一：带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入

射点的切线方向平行，如甲图所示。

规律二：平行射入圆形有界磁场的相同带电粒

子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所

有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点

的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。

例3 如图5所示，x 轴正方向水平向右，y 轴正方向竖直向

上．在半径为R 的圆形区域内加一与xoy平面垂直的匀强磁场．在

坐标原点O 处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射

具有相同质量m 、电荷量q ( q > 0 ）且初速为v0的带电粒子，不

计重力．调节坐标原点O 处的带电微粒发射装置，使其在xoy平

面内不断地以相同速率v0沿不同方向将这种带电微粒射入x 轴上

方，现要求这些带电微粒最终都能平行于x 轴正方向射出，则带电

微粒的速度必须满足什么条件？

小结：研究粒子在圆形磁场中的运动时，要抓住圆形磁场的半径和圆周运动的半径，建立二者之间的关系，再根据动力学规律运动规律求解问题．

三、边界交点问题的解题关键―抓轨迹方程

例 4 如图7 所示，在xoy平面内x＞0区域中，有一半圆形

匀强磁场区域，圆心为O，半径为R =0.10m ，磁感应强度大小为

B=0.5T，磁场方向垂直xoy平面向里．有一线状粒子源放在y 轴

左侧（图中未画出），并不断沿平行于x 轴正方向释放出电荷量为

q=+1.6×10-19C ，初速度v0 = 1.6×106m / s 的粒子，粒子的质量

为m =1.0×10-26kg ，不考虑粒子间的相互作用及粒子重力，求：

从y 轴任意位置（0，y）入射的粒子离开磁场时的坐标．

点评：带电粒子在磁场中的运动是最能反映抽象思维与数学方法相结合的物理模型，本题则利用圆形磁场与圆周运动轨迹方程求交点，是对初等数学的抽象运用，能较好的提高学生思维．

四、周期性问题的解题关键——寻找圆心角

1 ．粒子周期性运动的问题

例 5 如图9 所示的空间存在两个匀强磁场，其分界线是半径为

R 的圆，两侧的磁场方向相反且垂直于纸面，磁感应强度大小都为

B ．现有一质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子（不计重力）从A

点沿aA 方向射出．求：

（1）若方向向外的磁场范围足够大，离子自 A 点射出后在两个

磁场不断地飞进飞出，最后又返回A 点，求返回A 点的最短时间及

对应的速度．

（2）若向外的磁场是有界的，分布在以O 点为圆心、半径为R 和2R的两半圆环之间的区域，上述粒子仍从A 点沿QA 方向射出且粒子仍能返回 A 点，求其返回 A 点的最短时间．

2．磁场发生周期性变化

例 6 如图12 所示，在地面上方的真空室内，两块正对的平行金属板水平放置．在两板之间有一匀强电场，场强按如图13

所示规律变化（沿y 轴方向为正方向）

在两板正中间有一圆形匀强磁场区

域，磁感应强度按图14 所示规律变化，

如果建立如图12 所示的坐标系，在

t=0时刻有一质量m=9.0×10-9kg 、电

荷量q =9.0×10-6C 的带正电的小球，

以v0=1m / s 的初速度沿y 轴方向从O 点射入，分析小球在

磁场中的运动并确定小球在匀强磁场中的运动时间及离开时

的位置坐标．

小结：对于周期性问题，因为粒子运动轨迹和磁场边界都是圆，所以要充分利用圆的对称性及圆心角的几何关系，寻找运动轨迹的对称关系和周期性．

五、磁场问题的规律

前面分析的六个典型例题，其物理情景各异，繁简不同，但解题思路和方法却有以下四个共同点．

（1）物理模型相同即带电粒子在匀强磁场中均做匀速圆周运动．

（2）物理规律相同即洛伦兹力提供运动的向心力，通常都由动力学规律列方程求解．（3）数学规律相同即运用几何知识求圆心角、弧长、半径等物理量．

（4）解题关键相同：一是由题意画出正确轨迹；二是寻找边界圆弧和轨迹圆弧的对应圆心角关系；三是确定半径和周期，构建合适的三角形或平行四边形，再运用解析几何知识求解圆的弦长、弧长、圆心角等，最后转化到题目中需求解的问题．

【同步练习】

1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁

场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大

量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间

的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）

A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上

B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心

C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长

D．只要速度满足

qBR

v

m

，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上

2．如图所示，长方形abcd的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e 为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四

分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场(边界上无

磁场)磁感应强度B=0.25T。一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电

荷量q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方

向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）

A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边

B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边

C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边

D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点