带电粒子在圆形磁场中的偏转分析
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结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。
例3 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射 时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。 结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。 结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
答案 (1)2.41 m (2)5.74×10－7 s
解析
(1)设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为 R. mv 0 2 则 qv0B＝mv0 /R R＝ Bq ＝1.0 m 如图甲所示，由几何关系得 R1 2＋R2＝R2－R R2＝(1＋ 2) m＝2.41 m (2)设粒子此时在磁场中做圆周运动的半径为 r. mv 3mv0 3 则 r＝ Bq ＝ ＝ m 3Bq 3 3
3
甲
Leabharlann Baidu
如图乙所示， 由几何关系得 θ＝arctan
＝30° ， ∠POP′
＝60° 故带电粒子进入磁场绕圆心 O′转过 360° －(180° －60° )＝240° 又回到中空部分，粒子的运动轨迹如图所示， 故粒子从 P 点进入磁场到第一次回到 P 点时， 粒子在磁场 2T 2πm 中运动时间为 t1＝3× ＝2T T＝ Bq 3 6R1 粒子在中空部分运动时间为 t2＝ v ， 粒子运动的总时间为 4πm 6R1 t＝t1＋t2＝ ＋ ＝5.74×10－7 s
例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一 群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域， 如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最 大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子 的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速 O4 率范围是多大？
3BeR v 4m
O3 O2 O1
“让圆动起来”
【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析 （3）与x同相交的区域范围是x>0. y
y
【解析】 略 【关键】 图示
v A
P v
R R Q
θ O/ O
R
C
O/ O 图 (a)
x 图 (b)
x y
装带 置点 微 粒 发 射
P
v R
C
r
O/
Q
O 图 (c)
x
例3 可控热核聚变反应堆产生能的方式和 太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”． 热核反应的发生，需要几千万度以上的高温， 然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上 的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置， 磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模 型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 其截面内半径为R1＝1.0 m，磁感应强度为B＝1.0 T，被约束粒子的 比荷为q/m＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面 的P点以速度v0＝4.0×107 m/s沿环的半径方向射入磁场(不计带电 粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)． (1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R2 (2)若改变该粒子的入射速度v，使v＝ 3 v0，求该粒子从P点进入磁 3 场开始到第一次回到P点所需要的时间t.
带电粒子在圆形磁场中的运动
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出
例1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技 术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一 圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。 磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束 将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到 屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ， 此时磁场的磁感应强度B应为多少？
y
v0 O
O1 O2 O3 O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
(1)R＝5×10－2 m. (2)37o 74o
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长 对应时间越长。(直径对应的弧最长)
例4、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R
平行会聚于一点
r
R r
区域半径 R 与运动半径 r 相等
例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x
例3 在真空中，半径r＝3×10－2 m的圆形区域内 有匀强磁场，方向如图2所示，磁感应强度B＝0.2 T， 一个带正电的粒子以初速度v0＝1×106 m/s从磁场 边界上直径ab的一端a射入磁场，已知该粒子的比荷 q/m ＝1×108 C/kg，不计粒子重力． (1)求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径； (2)若要使粒子飞离磁场时有最大偏转角，求入射 时v0与ab的夹角θ及粒子的最大偏转角．
2 m2v0 1 2 r2 S 2( r ) ( 1) 2 2 4 2 2 eB
带电粒子在圆形磁场中运动的四个结论 结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出 结论2：对准圆心射入，速度越大，偏转角和圆 心角都越小，运动时间越短。 结论3：运动半径相同(v相同)时，弧长越长对 应时间越长。 结论4：磁场圆的半径与轨迹圆的半径相同时,
答案 (1)2.41 m (2)5.74×10－7 s
解析
(1)设粒子在磁场中做圆周运动的最大半径为 R. mv 0 2 则 qv0B＝mv0 /R R＝ Bq ＝1.0 m 如图甲所示，由几何关系得 R1 2＋R2＝R2－R R2＝(1＋ 2) m＝2.41 m (2)设粒子此时在磁场中做圆周运动的半径为 r. mv 3mv0 3 则 r＝ Bq ＝ ＝ m 3Bq 3 3
3
甲
Leabharlann Baidu
如图乙所示， 由几何关系得 θ＝arctan
＝30° ， ∠POP′
＝60° 故带电粒子进入磁场绕圆心 O′转过 360° －(180° －60° )＝240° 又回到中空部分，粒子的运动轨迹如图所示， 故粒子从 P 点进入磁场到第一次回到 P 点时， 粒子在磁场 2T 2πm 中运动时间为 t1＝3× ＝2T T＝ Bq 3 6R1 粒子在中空部分运动时间为 t2＝ v ， 粒子运动的总时间为 4πm 6R1 t＝t1＋t2＝ ＋ ＝5.74×10－7 s
例2：在圆形区域的匀强磁场的磁感应强度为B，一 群速率不同的质子自A点沿半径方向射入磁场区域， 如图所示，已知该质子束中在磁场中发生偏转的最 大角度为1060，圆形磁场的区域的半径为R，质子 的质量为m，电量为e，不计重力，则该质子束的速 O4 率范围是多大？
3BeR v 4m
O3 O2 O1
“让圆动起来”
【答案】（1）；方向垂直于纸面向外（2）见解析 （3）与x同相交的区域范围是x>0. y
y
【解析】 略 【关键】 图示
v A
P v
R R Q
θ O/ O
R
C
O/ O 图 (a)
x 图 (b)
x y
装带 置点 微 粒 发 射
P
v R
C
r
O/
Q
O 图 (c)
x
例3 可控热核聚变反应堆产生能的方式和 太阳类似，因此，它被俗称为“人造太阳”． 热核反应的发生，需要几千万度以上的高温， 然而反应中的大量带电粒子没有通常意义上 的容器可装．人类正在积极探索各种约束装置， 磁约束托卡马克装置就是其中一种．如图15所示为该装置的简化模 型．有一个圆环形区域，区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，已知 其截面内半径为R1＝1.0 m，磁感应强度为B＝1.0 T，被约束粒子的 比荷为q/m＝4.0×107 C/kg ，该带电粒子从中空区域与磁场交界面 的P点以速度v0＝4.0×107 m/s沿环的半径方向射入磁场(不计带电 粒子在运动过程中的相互作用，不计带电粒子的重力)． (1)为约束该粒子不穿越磁场外边界，求磁场区域的最小外半径R2 (2)若改变该粒子的入射速度v，使v＝ 3 v0，求该粒子从P点进入磁 3 场开始到第一次回到P点所需要的时间t.
带电粒子在圆形磁场中的运动
结论1：对准圆心射入,必定沿着圆心射出
例1 电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技 术实现的。电子束经过电压为U的加速电场后，进入一 圆形匀强磁场区，如图所示。磁场方向垂直于圆面。 磁场区的中心为O，半径为r。当不加磁场时，电子束 将通过O点而打到屏幕的中心M点。为了让电子束射到 屏幕边缘P，需要加磁场，使电子束偏转一已知角度θ， 此时磁场的磁感应强度B应为多少？
y
v0 O
O1 O2 O3 O5 O4
x
解2: 磁场上边界如图线1所示。 设P(x，y)为磁场下边界上的一 点，经过该点的电子初速度与x轴 夹角为 ，则由图可知： x = rsin， y = r－rcos ， 得: x2 + (y－r)2 = r2。
y 1
P (x,y)
v0
O
θ r
r
x
O
所以磁场区域的下边界也是半径为r，圆心为(0，r)的 圆弧应是磁场区域的下边界。 两边界之间图形的面积即为所求。图中的阴影区域面 积，即为磁场区域面积：
(1)R＝5×10－2 m. (2)37o 74o
结论3：运动速度v相同,方向不同，弧长越长 对应时间越长。(直径对应的弧最长)
例4、在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐
标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如 图所示．现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀 强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且 沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为 多大？（不考虑电子间的相互作用）
“磁会聚”与“磁扩散”
磁聚焦概括：
迁移与逆向、对称的物理思想！
一点发散成平行
R
平行会聚于一点
r
R r
区域半径 R 与运动半径 r 相等
例、（2009年浙江卷）如图，在xOy平面内与y轴平行的匀强
电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。 在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发 射出一束具有相同质量m、电荷量q(q＞0)和初速度v的带 电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。 已知重力加速度大小为g。 （1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区 域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感 应强度的大小与方向。 y （2）请指出这束带电微粒与x轴相 带 点 微 交的区域，并说明理由。 粒 R 发 v O/ （3）在这束带电磁微粒初速度变为 射 C 装 2v，那么它们与x轴相交的区域又在 置 O 哪里？并说明理由。 x